El círculo es la figura principal de la geometría, cuyas propiedades se estudian en la escuela en el octavo grado. Uno de tareas tipicas asociado a un círculo es encontrar el área de alguna parte del mismo, lo que se llama sector circular. El artículo proporciona fórmulas para el área de un sector y la longitud de su arco, así como un ejemplo de su uso para resolver. tarea específica.
El concepto de circunferencia y círculo.
Antes de dar la fórmula para el área de un sector de un círculo, consideremos cuál es la cifra indicada. De acuerdo a definición matemática, se entiende por círculo una figura en un plano, cuyos puntos son equidistantes de un solo punto (centro).
Al considerar un círculo, se utiliza la siguiente terminología:
- El radio es un segmento dibujado desde el punto central hasta la curva del círculo. Generalmente se denota con la letra R.
- Un diámetro es un segmento de línea que conecta dos puntos de un círculo, pero que también pasa por el centro de la figura. Generalmente se denota con la letra D.
- Un arco es parte de un círculo curvo. Se mide en unidades de longitud o mediante ángulos.
El círculo es otra figura importante en geometría; es un conjunto de puntos que está delimitado por la curva de un círculo.
Área de un círculo y circunferencia.
Los valores anotados en el título del artículo se calculan utilizando dos fórmulas simples. Se dan a continuación:
- Circunferencia: L = 2*pi*R.
- Área de un círculo: S = pi*R 2 .
En estas fórmulas, pi es una determinada constante llamada número Pi. Es irracional, es decir, no se puede expresar con precisión como una fracción simple. El valor aproximado de Pi es 3,1416.
Como se puede ver en las expresiones anteriores, para calcular el área y la longitud, basta con conocer solo el radio del círculo.
Área de un sector de un círculo y longitud de su arco.
Antes de considerar las fórmulas correspondientes, recordemos que los ángulos en geometría suelen expresarse de dos formas principales:
- en grados sexagesimales y vuelta completa alrededor de su eje es igual a 360 o;
- en radianes, que se expresan en fracciones del número pi y se relacionan con los grados mediante la siguiente igualdad: 2*pi = 360 o.
Un sector de círculo es una figura delimitada por tres líneas: un arco de círculo y dos radios ubicados en los extremos de este arco. En la foto de abajo se muestra un ejemplo de un sector circular.
Habiendo tenido una idea de qué es un sector de un círculo, es fácil entender cómo calcular su área y la longitud del arco correspondiente. En la figura anterior se puede ver que el arco del sector corresponde al ángulo θ. Lo sabemos círculo completo corresponde a 2*pi radianes, lo que significa que la fórmula para el área de un sector circular tomará la forma: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 *θ/(2*pi ) = θ*R2/2. Aquí el ángulo θ se expresa en radianes. Una fórmula similar para el área del sector si el ángulo θ se mide en grados se verá así: S 1 = pi*θ*R 2 /360.
La longitud del arco que forma el sector se calcula mediante la fórmula: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Y si θ se conoce en grados, entonces: L 1 = pi*θ*R/180.
Ejemplo de solución de problema
Usando un problema simple como ejemplo, mostraremos cómo usar las fórmulas para el área de un sector de un círculo y la longitud de su arco.
Se sabe que la rueda tiene 12 radios. Cuando la rueda da una vuelta completa, recorre una distancia de 1,5 metros. ¿Cuál es el área encerrada entre dos radios adyacentes de la rueda y cuál es la longitud del arco entre ellos?
Como se puede ver desde fórmulas correspondientes Para usarlos, necesitas conocer dos cantidades: el radio del círculo y el ángulo del arco. El radio se puede calcular basándose en el conocimiento de la circunferencia de la rueda, ya que la distancia que recorre en una revolución le corresponde exactamente. Tenemos: 2*R*pi = 1,5, de donde: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metros. El ángulo entre los radios más cercanos se puede determinar conociendo su número. Suponiendo que los 12 radios dividen uniformemente el círculo en sectores iguales, obtenemos 12 sectores idénticos. En consecuencia, la medida angular del arco entre los dos radios es igual a: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radianes.
Hemos encontrado todas las cantidades necesarias, ahora podemos sustituirlas en las fórmulas y calcular los valores requeridos por la condición del problema. Obtenemos: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2, o 149 cm 2; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 mo 12,5 cm.
El círculo, sus partes, sus tamaños y relaciones son cosas con las que un joyero se topa constantemente. Anillos, pulseras, castas, tubos, bolas, espirales: hay que hacer muchas cosas redondas. ¿Cómo puedes calcular todo esto, especialmente si tuviste la suerte de saltarte las clases de geometría en la escuela?
Primero veamos qué partes tiene un círculo y cómo se llaman.
- Un círculo es una línea que encierra un círculo.
- Un arco es parte de un círculo.
- El radio es un segmento que conecta el centro de un círculo con cualquier punto del círculo.
- Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos de una circunferencia.
- Un segmento es parte de un círculo delimitado por una cuerda y un arco.
- Un sector es parte de un círculo delimitado por dos radios y un arco.
Las cantidades que nos interesan y sus designaciones:
Ahora veamos qué problemas relacionados con partes de un círculo hay que resolver.
- Encuentre la longitud del desarrollo de cualquier parte del anillo (pulsera). Se especifica el diámetro y la cuerda (opción: diámetro y ángulo central), encuentre la longitud del arco.
- Hay un dibujo en un plano, es necesario averiguar su tamaño en proyección después de doblarlo formando un arco. Dadas la longitud y el diámetro del arco, encuentre la longitud de la cuerda.
- Descubra la altura de la pieza obtenida doblando una pieza de trabajo plana formando un arco. Opciones de datos de origen: longitud y diámetro del arco, longitud y cuerda del arco; Encuentre la altura del segmento.
La vida te dará otros ejemplos, pero los di sólo para mostrar la necesidad de establecer dos parámetros para encontrar todos los demás. Esto es lo que haremos. Es decir, tomamos cinco parámetros del segmento: D, L, X, φ y H. Luego, seleccionando todos los pares posibles de ellos, los consideraremos como datos iniciales y por lluvia de ideas encontrar todos los demás.
Para no agobiar en vano al lector, soluciones detalladas No daré, solo daré resultados en forma de fórmulas (aquellos casos en los que no hay decisión formal, hablaré de ello a medida que avancemos).
Y una nota más: sobre unidades de medida. Todas las cantidades, excepto el ángulo central, se miden en las mismas unidades abstractas. Esto significa que si, por ejemplo, especifica un valor en milímetros, entonces no es necesario especificar el otro en centímetros y los valores resultantes se medirán en los mismos milímetros (y áreas en milímetros cuadrados). Lo mismo puede decirse de las pulgadas, los pies y las millas náuticas.
Y sólo el ángulo central en todos los casos se mide en grados y nada más. Porque, como regla general, las personas que diseñan algo redondo no tienden a medir ángulos en radianes. La frase “ángulo pi de cuatro” confunde a muchos, mientras que “ángulo de cuarenta y cinco grados” es comprensible para todos, ya que es sólo cinco grados más alto de lo normal. Sin embargo, en todas las fórmulas habrá un ángulo más, α, presente como valor intermedio. En significado, esta es la mitad del ángulo central, medida en radianes, pero no puedes profundizar en este significado.
1. Dado el diámetro D y la longitud del arco L
; longitud de la cuerda 
;
altura del segmento 
; ángulo central 
.
2. Dado el diámetro D y la longitud de la cuerda X
; longitud de arco ;
altura del segmento ; ángulo central 
.
Dado que la cuerda divide el círculo en dos segmentos, este problema no tiene una, sino dos soluciones. Para obtener el segundo, debes reemplazar el ángulo α en las fórmulas anteriores con el ángulo .
3. Dado el diámetro D y el ángulo central φ
; longitud de arco ;
longitud de la cuerda ; altura del segmento .
4. Dado el diámetro D y la altura del segmento H
; longitud de arco ;
longitud de la cuerda ; ángulo central .
6. Dada la longitud del arco L y el ángulo central φ
; diámetro;
longitud de la cuerda ; altura del segmento .
8. Dada la longitud de la cuerda X y el ángulo central φ
; longitud de arco 
;
diámetro; altura del segmento .
9. Dada la longitud de la cuerda X y la altura del segmento H
; longitud de arco ;
diámetro; ángulo central .
10. Dado el ángulo central φ y la altura del segmento H
; diámetro 
;
longitud de arco; longitud de la cuerda .
El lector atento no pudo evitar notar que me perdí dos opciones:
5. Dada la longitud del arco L y la longitud de la cuerda X
7. Dada la longitud del arco L y la altura del segmento H
Estos son solo esos dos incidente desagradable, cuando el problema no tiene una solución que pueda escribirse en forma de fórmula. Y la tarea no es tan rara. Por ejemplo, tienes una pieza plana de longitud L y quieres doblarla para que su longitud se convierta en X (o su altura se convierta en H). ¿Qué diámetro debo tomar el mandril (barra transversal)?
Este problema se reduce a resolver las ecuaciones: 
; - en la opción 5
; - en la opción 7
y aunque no se pueden resolver analíticamente, se pueden resolver fácilmente mediante programación. E incluso sé dónde conseguir dicho programa: en este mismo sitio, bajo el nombre . Todo lo que les cuento aquí detalladamente, lo hace en microsegundos.
Para completar el cuadro, agreguemos a los resultados de nuestros cálculos la circunferencia y tres valores de área: círculo, sector y segmento. (Las áreas nos ayudarán mucho a la hora de calcular la masa de todas las piezas redondas y semicirculares, pero hablaremos más sobre esto en un artículo aparte). Todas estas cantidades se calculan utilizando las mismas fórmulas:
circunferencia ;
área de un círculo 
;
área del sector 
;
área del segmento 
;
Y para concluir, permítanme recordarles una vez más la existencia de absolutamente programa gratuito, que realiza todos los cálculos anteriores, liberándote de tener que recordar qué es un arcotangente y dónde buscarlo.
¡No es necesario aprender el área de un sector de un círculo y el área de un segmento! ¡Queridos amigos!Probablemente hayas consultado el directorio más de una vez. fórmulas matemáticas, y, seguro, surgió el pensamiento: "¿Es realmente posible aprenderlos todos?" Te diré lo que es posible, pero ¿por qué? ¿Por qué llenarte la cabeza con un montón de fórmulas, repetirlas constantemente, horrorizarte de haber olvidado algunas y repetirlas de nuevo? ¡No hay necesidad!
De hecho, basta con recordar un tercio de todas las fórmulas, fórmulas básicas o incluso menos. A continuación entenderás de qué estamos hablando. Todas las demás fórmulas se pueden deducir rápidamente conociendo los conceptos básicos, aplicando la lógica y recordando los principios a seguir.
Déjame ponerte un ejemplo: hay 32 fórmulas de reducción; aprenderlas es un ejercicio inútil. Cómo recordar rápidamente cualquiera de ellos se describe en el artículo "", eche un vistazo.
En este artículo veremos cómo restaurar rápidamente en la memoria las fórmulas para el área de un sector de un círculo, el área de su segmento y la longitud del arco de un círculo. Son estas fórmulas las que serán necesarias para resolver series en planimetría, que analizaremos en el próximo artículo.Entonces, fórmulas “básicas”, ¡necesitas aprenderlas y conocerlas!
Área de un círculo (fórmula):
Fórmula de circunferencia:
Representaremos un sector correspondiente a un determinado ángulo central n:
Razonamos lógicamente: si el área de un círculo es S= PR 2 , entonces el área correspondiente a un sector de un grado será igual a 1/360 del área del círculo (sabemos que todo el círculo es un ángulo de 360 grados), es decir
Es además claro que el área del sector correspondiente al ángulo central de n grados es igual al producto de un trescientos sesentavo del área del círculo y el ángulo central n (correspondiente al sector) , eso es
Aquí está la fórmula para el área del sector.
O puedes estructurar tu razonamiento así:
Un sector de 1 grado es 1/360 de un círculo, respectivamente, un sector de n grados es n/360 de un círculo. Es decir, el área del sector será igual al producto del área del círculo por esta parte:
Es sencillo. Es necesario restar el área del triángulo del área del sector (se designa amarillo). El área de un triángulo, como sabemos, es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos (es necesario conocer esta fórmula, no escomplejo). EN en este caso Este:
Medio,
¡Hasta aquí el área del segmento!
El área del segmento donde el ángulo central es mayor a 180 grados es simplemente:
Del área del círculo, resta el área del segmento resultante:
El ángulo 360 -n grados es el ángulo que corresponde al sector representado (amarillo):
Es decir, en otras palabras, sumamos el área del triángulo a su área y obtenemos el área del segmento especificado.
De manera similar, determinamos la longitud del arco de un círculo. Como ya se dijo, la circunferencia es igual a:
Esto significa que la longitud del arco de círculo correspondiente a un grado será igual a trescientas sexagésima parte de 2πR, es decir
Obtenemos la longitud del arco de círculo. Ciertamente, esta informacion los profesores dan a los estudiantes y tú no has aprendido nada tan secreto. Pero estoy seguro de que el artículo te resultará útil.
Repito que lo más importante es conocer las fórmulas del área de un círculo y de la circunferencia, y entonces solo funciona la lógica.
Sugiero ver una lección adicional de Dmiry Tarasov sobre este tema. Se consideran fórmulas para la longitud de un arco circular y el área de un sector, donde el ángulo central se da en medida en radianes.
Eso es todo.¡¡Te deseo éxito!!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
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