Determinación del valor de verdad de los enunciados. Establecer la verdad de declaraciones complejas.

Lógica proposicional , también llamada lógica proposicional, es una rama de las matemáticas y la lógica que estudia las formas lógicas de enunciados complejos construidos a partir de enunciados simples o elementales mediante operaciones lógicas.

La lógica proposicional hace abstracción del contenido de los enunciados y estudia su valor de verdad, es decir, si el enunciado es verdadero o falso.

La imagen de arriba es una ilustración de un fenómeno conocido como la paradoja del mentiroso. Al mismo tiempo, en opinión del autor del proyecto, tales paradojas sólo son posibles en entornos no libres de problemas políticos, donde a priori alguien puede ser tildado de mentiroso. En el mundo natural de múltiples capas. el tema de "verdad" o "falso" sólo se evalúan declaraciones individuales . Y más adelante en esta lección se le presentará la oportunidad de evaluar usted mismo muchas declaraciones sobre este tema (y luego mire las respuestas correctas). Incluyendo declaraciones complejas en las que las más simples están interconectadas por signos de operaciones lógicas. Pero primero, consideremos estas operaciones sobre las declaraciones mismas.

La lógica proposicional se utiliza en informática y programación en forma de declarar variables lógicas y asignarles valores lógicos "falso" o "verdadero", de los cuales depende el curso de la ejecución posterior del programa. En programas pequeños donde solo interviene una variable booleana, a la variable booleana a menudo se le da un nombre como "bandera" y el significado es "bandera arriba" cuando el valor de la variable es "verdadero" y "bandera abajo", cuando el valor de la variable es "verdadero". el valor de esta variable es "falso". En programas grandes, en los que hay varias o incluso muchas variables lógicas, se requiere que los profesionales encuentren nombres para las variables lógicas que tengan una forma de enunciado y un significado semántico que las distinga de otras variables lógicas y que sea comprensible para otros profesionales que leerá el texto de este programa.

Por lo tanto, una variable lógica con el nombre "UserRegistered" (o su análogo en inglés) se puede declarar en forma de declaración, a la que se le puede asignar el valor lógico "verdadero" si se cumplen las condiciones de que se enviaron los datos de registro. por el usuario y estos datos son reconocidos como válidos por el programa. En cálculos posteriores, los valores de las variables pueden cambiar según el valor lógico (verdadero o falso) de la variable UserRegistered. En otros casos, a una variable, por ejemplo, con el nombre "Quedan más de tres días antes del día", se le puede asignar el valor "Verdadero" antes de un determinado bloque de cálculos, y durante la ejecución posterior del programa, este valor se puede guardado o cambiado a "falso" y el progreso de la ejecución posterior depende del valor de esta variable del programa.

Si un programa utiliza varias variables lógicas, cuyos nombres tienen la forma de declaraciones, y a partir de ellas se construyen declaraciones más complejas, entonces es mucho más fácil desarrollar el programa si, antes de desarrollarlo, anotamos todas las operaciones del declaraciones en forma de fórmulas utilizadas en la lógica de declaraciones que las que hacemos durante esta lección es lo que haremos.

Operaciones lógicas sobre declaraciones.

Para los enunciados matemáticos siempre se puede elegir entre dos alternativas diferentes, “verdadero” y “falso”, pero para los enunciados hechos en lenguaje “verbal”, los conceptos de “verdad” y “falso” son algo más vagos. Sin embargo, por ejemplo, tales formas verbales, como “Vete a casa” y “¿Está lloviendo?” no son declaraciones. Por lo tanto es claro que Las declaraciones son formas verbales en las que se afirma algo. . No son declaraciones las oraciones interrogativas o exclamativas, las apelaciones, así como los deseos o demandas. No se pueden evaluar con los valores "verdadero" y "falso".

Los enunciados, por el contrario, pueden considerarse como cantidades que pueden adquirir dos significados: “verdadero” y “falso”.

Por ejemplo, se dan los siguientes juicios: “un perro es un animal”, “París es la capital de Italia”, “3

La primera de estas afirmaciones se puede evaluar con el símbolo “verdadero”, la segunda con “falso”, la tercera con “verdadero” y la cuarta con “falso”. Esta interpretación de enunciados es objeto de álgebra proposicional. Denotaremos declaraciones con letras grandes. con letras latinas A, B, ..., y sus significados, es decir, verdadero y falso, respectivamente Y Y l. En el habla ordinaria, se utilizan conexiones entre las declaraciones "y", "o" y otras.

Estas conexiones permiten, al conectar diferentes declaraciones entre sí, formar nuevas declaraciones: declaraciones complejas . Por ejemplo, el conectivo "y". Que se den las declaraciones: " π más de 3" y la declaración " π menos de 4". Puede organizar una nueva declaración compleja " π más de 3 y π menos de 4". Declaración "si π irracional entonces π "² también es irracional" se obtiene conectando dos enunciados con el conectivo "si - entonces". Finalmente, podemos obtener de cualquier enunciado uno nuevo -un enunciado complejo- negando el enunciado original.

Considerar los enunciados como cantidades que adquieren significados. Y Y l, definiremos más operaciones lógicas en declaraciones , que nos permiten obtener nuevas declaraciones complejas a partir de estas declaraciones.

Dejemos que se den dos declaraciones arbitrarias. A Y B.

1 . La primera operación lógica en estos enunciados, la conjunción, representa la formación de un nuevo enunciado, que denotaremos A ∧ B y que es verdadera si y sólo si A Y B son verdaderas. En el habla ordinaria, esta operación corresponde a la conexión de enunciados con el conectivo "y".

Tabla de verdad para la conjunción:

2 . Segunda operación lógica sobre declaraciones. A Y B- disyunción expresada como A ∨ B, se define de la siguiente manera: es verdadera si y sólo si al menos una de las afirmaciones originales es verdadera. En el habla ordinaria, esta operación corresponde a conectar enunciados con el conectivo “o”. Sin embargo, aquí tenemos un “o” que no divide, que se entiende en el sentido de “cualquiera o” cuando A Y B ambas cosas no pueden ser ciertas. Al definir la lógica proposicional A ∨ B verdadero tanto si solo una de las afirmaciones es verdadera como si ambas afirmaciones son verdaderas A Y B.

Tabla de verdad para la disyunción:

3 . La tercera operación lógica sobre declaraciones. A Y B, expresado como A → B; la afirmación así obtenida es falsa si y sólo si A cierto, pero B FALSO. A llamado por paquete , B - consecuencia , y la declaración A → B - siguiente , también llamado implicación. En el habla ordinaria, esta operación corresponde al conectivo “si-entonces”: “si A, Eso B". Pero en la definición de lógica proposicional, este enunciado siempre es verdadero independientemente de si el enunciado es verdadero o falso. B. Esta circunstancia se puede formular brevemente de la siguiente manera: “de lo falso se sigue todo”. A su vez, si A cierto, pero B es falso, entonces toda la declaración A → B FALSO. Será cierto si y sólo si A, Y B son verdaderas. Brevemente, esto se puede formular de la siguiente manera: “lo falso no puede derivarse de lo verdadero”.

Tabla de verdad a seguir (implicación):

4 . La cuarta operación lógica sobre enunciados, más precisamente sobre un enunciado, se llama negación de un enunciado. A y se denota por ~ A(también puede encontrar el uso no del símbolo ~, sino del símbolo ¬, así como un sobrepuntuación arriba A). ~ A hay una afirmación que es falsa cuando A cierto, y verdadero cuando A FALSO.

Tabla de verdad para la negación:

5 . Y finalmente, la quinta operación lógica sobre enunciados se llama equivalencia y se denota A ↔ B. La declaración resultante A ↔ B un enunciado es verdadero si y sólo si A Y B ambas son verdaderas o ambas son falsas.

Tabla de verdad para equivalencia:

La mayoría de los lenguajes de programación tienen símbolos especiales para indicar los significados lógicos de las declaraciones; en casi todos los lenguajes están escritos como verdadero y falso;

Resumamos lo anterior. Lógica proposicional estudia las conexiones que están completamente determinadas por la forma en que unos enunciados se construyen a partir de otros, lo que se denomina elemental. En este caso, los enunciados elementales se consideran como un todo y no pueden descomponerse en partes.

Sistematicemos en la siguiente tabla los nombres, notaciones y significado de las operaciones lógicas sobre enunciados (pronto los necesitaremos nuevamente para resolver ejemplos).

Verdadero para operaciones lógicas leyes de la lógica del álgebra, que se puede utilizar para simplificar expresiones lógicas. Cabe señalar que en lógica proposicional uno hace abstracción del contenido semántico de un enunciado y se limita a considerarlo desde la posición de que es verdadero o falso.

Ejemplo 1.

1) (2 = 2) Y (7 = 7);

2) No(15;

3) ("Pino" = "Roble") O ("Cerezo" = "Arce");

4) No("Pino" = "Roble");

5) (No(15 20) ;

6) (“Los ojos están dados para ver”) y (“Debajo del tercer piso está el segundo piso”);

7) (6/2 = 3) O (7*5 = 20).

1) El significado de la afirmación entre corchetes es “verdadero”, el significado de la expresión entre corchetes también es verdadero. Ambas declaraciones están conectadas por la operación lógica "Y" (consulte las reglas para esta operación más arriba), por lo tanto, el valor lógico de esta declaración completa es "verdadero".

2) El significado de la afirmación entre paréntesis es “falso”. Ante este enunciado hay una operación lógica de negación, por lo tanto el significado lógico de todo este enunciado es “verdadero”.

3) El significado de la afirmación entre los primeros corchetes es "falso", el significado de la afirmación entre los segundos corchetes también es "falso". Las declaraciones están conectadas por la operación lógica "O" y ninguna de las declaraciones tiene el valor "verdadero". Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "falso".

4) El significado de la afirmación entre paréntesis es “falso”. Esta afirmación está precedida por la operación lógica de negación. Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "verdadero".

5) La afirmación entre corchetes interiores se niega en los primeros corchetes. Esta afirmación entre paréntesis interiores tiene el significado "falso", por lo tanto su negación tendrá el significado lógico "verdadero". La afirmación entre corchetes significa "falso". Estas dos declaraciones están conectadas por la operación lógica "Y", es decir, se obtiene "verdadero Y falso". Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "falso".

6) El significado de la afirmación entre los primeros corchetes es “verdadero”, el significado de la afirmación entre los segundos corchetes también es “verdadero”. Estas dos afirmaciones están conectadas por la operación lógica "Y", es decir, se obtiene "verdadero Y verdadero". Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "verdadero".

7) El significado de la afirmación entre los primeros corchetes es “verdadero”. El significado de la afirmación entre corchetes es "falso". Estas dos declaraciones están conectadas por la operación lógica "O", es decir, el resultado es "verdadero O falso". Por lo tanto, el significado lógico de toda esta afirmación es "verdadero".

Ejemplo 2. Escriba las siguientes declaraciones complejas usando operaciones lógicas:

1) "El usuario no está registrado";

2) “Hoy es domingo y algunos empleados están trabajando”;

3) “El usuario queda registrado si y sólo si los datos aportados por el usuario se consideran válidos”.

1) pag- declaración única “El usuario está registrado”, operación lógica: ;

2) pag- declaración única "Hoy es domingo", q- "Algunos empleados están en el trabajo", operación lógica: ;

3) pag- declaración única "El usuario está registrado", q- “Los datos enviados por el usuario se encontraron válidos”, operación lógica: .

Resuelva usted mismo ejemplos de lógica proposicional y luego observe las soluciones.

Ejemplo 3. Calcule los valores lógicos de las siguientes afirmaciones:

1) (“Hay 70 segundos en un minuto”) O (“Un reloj en marcha indica la hora”);

2) (28 > 7) Y (300/5 = 60);

3) ("TELEVISOR - aparato eléctrico") Y ("Vidrio - madera");

4) Not((300 > 100) OR ("Puedes saciar tu sed con agua"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Ejemplo 4. Escriba las siguientes declaraciones complejas usando operaciones lógicas y calcule sus valores lógicos:

1) “Si el reloj marca la hora incorrectamente, es posible que llegues a clase a la hora equivocada”;

2) “En el espejo puedes ver tu reflejo y París, la capital de Estados Unidos”;

Ejemplo 5. Determinar el valor booleano de una expresión

(pag → q) ↔ (r → s) ,

pag = "278 > 5" ,

q= "Manzana = Naranja",

pag = "0 = 9" ,

s= "El sombrero cubre la cabeza".

Fórmulas de lógica proposicional

Concepto forma lógica declaración compleja se aclara utilizando el concepto fórmulas lógicas proposicionales .

En los ejemplos 1 y 2 aprendimos a escribir declaraciones complejas usando operaciones lógicas. En realidad, se llaman fórmulas de lógica proposicional.

Para denotar declaraciones, como en el ejemplo mencionado, continuaremos usando las letras

pag, q, r, ..., pag 1 , q 1 , r 1 , ...

Estas letras desempeñarán el papel de variables que toman como valores los valores de verdad “verdadero” y “falso”. Estas variables también se denominan variables proposicionales. Los llamaremos más fórmulas elementales o átomos .

Para construir fórmulas lógicas proposicionales, además de las letras indicadas anteriormente, se utilizan signos de operaciones lógicas.

~, ∧, ∨, →, ↔,

así como símbolos que brindan la posibilidad de una lectura inequívoca de fórmulas: corchetes izquierdo y derecho.

Concepto fórmulas lógicas proposicionales vamos a definirlo de la siguiente manera:

1) las fórmulas elementales (átomos) son fórmulas de lógica proposicional;

2) si A Y B- fórmulas lógicas proposicionales, entonces ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) también son fórmulas de lógica proposicional;

3) sólo aquellas expresiones son fórmulas de lógica proposicional para las cuales esto se sigue de 1) y 2).

La definición de fórmula lógica proposicional contiene una lista de las reglas para la formación de estas fórmulas. Según la definición, toda fórmula lógica proposicional es un átomo o está formada a partir de átomos como resultado de la aplicación coherente de la regla 2).

Ejemplo 6. Dejar pag- declaración única (átomo) "Todos los números racionales son reales", q- "Algunos números reales son números racionales" r- "algunos números racionales son reales". Traduzca las siguientes fórmulas de lógica proposicional a forma de enunciados verbales:

6) .

1) "no numeros reales, que son racionales";

2) "si no todos los números racionales son reales, entonces no numeros racionales, que son válidos";

3) “si todos los números racionales son reales, entonces algunos números reales son números racionales y algunos números racionales son reales”;

4) “todos los números reales son números racionales y algunos números reales son números racionales y algunos números racionales son números reales”;

5) “todos los números racionales son reales si y sólo si no se da el caso de que no todos los números racionales sean reales”;

6) “no es cierto que no todos los números racionales son reales y no hay números reales que sean racionales o no hay números racionales que sean reales”.

Ejemplo 7. Crea una tabla de verdad para la fórmula lógica proposicional. , que en la tabla se puede designar F .

Solución. Comenzamos a compilar una tabla de verdad registrando valores ("verdadero" o "falso") para declaraciones individuales (átomos). pag , q Y r. Todo valores posibles están escritos en ocho filas de la tabla. Además, al determinar los valores de la operación de implicación y movernos hacia la derecha en la tabla, recordamos que el valor es igual a "falso" cuando "falso" se deriva de "verdadero".

Tenga en cuenta que ningún átomo tiene la forma ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Las fórmulas complejas tienen este tipo.

El número de paréntesis en fórmulas de lógica proposicional se puede reducir si aceptamos que

1 en fórmula compleja omitiremos el par exterior de corchetes;

2) dispongamos los signos de las operaciones lógicas “en orden de precedencia”:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

En esta lista, el signo ↔ tiene el alcance más grande y el signo ~ tiene el alcance más pequeño. El alcance de un signo de operación se refiere a aquellas partes de la fórmula de la lógica proposicional a las que se aplica la ocurrencia de este signo en cuestión (sobre las cuales actúa). Así, es posible omitir en cualquier fórmula aquellos pares de corchetes que puedan restablecerse, teniendo en cuenta el “orden de precedencia”. Y al restaurar los paréntesis, primero se colocan todos los paréntesis relacionados con todas las apariciones del signo ~ (nos movemos de izquierda a derecha), luego con todas las apariciones del signo ∧, y así sucesivamente.

Ejemplo 8. Restaurar los paréntesis en la fórmula de lógica proposicional. B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Solución. Los brackets se restauran paso a paso de la siguiente manera:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

No todas las fórmulas de lógica proposicional pueden escribirse sin paréntesis. Por ejemplo, en fórmulas A → (B → C) y ~( A → B) no es posible una mayor exclusión de corchetes.

Tautologías y contradicciones

Las tautologías lógicas (o simplemente tautologías) son fórmulas de lógica proposicional tales que si las letras se reemplazan arbitrariamente por enunciados (verdaderos o falsos), el resultado siempre será un enunciado verdadero.

Dado que la verdad o falsedad de declaraciones complejas depende únicamente de los significados y no del contenido de las declaraciones, cada una de las cuales corresponde a una letra específica, entonces se verifica si esta declaración tautología, se puede sustituir de la siguiente manera. En la expresión en estudio, los valores 1 y 0 (respectivamente “verdadero” y “falso”) se sustituyen por las letras de todas las formas posibles y los valores lógicos de las expresiones se calculan mediante operaciones lógicas. Si todos estos valores son iguales a 1, entonces la expresión en estudio es una tautología, y si al menos una sustitución da 0, entonces no es una tautología.

Así, una fórmula lógica proposicional que toma el valor “verdadero” para cualquier distribución de los valores de los átomos incluidos en esta fórmula se llama idéntica a la verdadera fórmula o tautología .

El significado opuesto es una contradicción lógica. Si todos los valores de las declaraciones son iguales a 0, entonces la expresión es una contradicción lógica.

Así, una fórmula lógica proposicional que toma el valor “falso” para cualquier distribución de los valores de los átomos incluidos en esta fórmula se llama fórmula idénticamente falsa o contradicción .

Además de las tautologías y las contradicciones lógicas, existen fórmulas de lógica proposicional que no son ni tautologías ni contradicciones.

Ejemplo 9. Construya una tabla de verdad para una fórmula lógica proposicional y determine si es una tautología, una contradicción o ninguna de las dos.

Solución. Creemos una tabla de verdad:

En los significados de la implicación no encontramos una línea en la que “verdadero” implique “falso”. Todos los valores de la declaración original son iguales a "verdadero". Por eso, esta fórmula La lógica proposicional es una tautología.

Ejemplo 1. Establecer la verdad de una afirmación · C
Solución. Una declaración compleja incluye 3 declaraciones simples: A, B, C. Las columnas de la tabla están llenas de valores (0, 1). Todos estan indicados posibles situaciones. Las declaraciones simples están separadas de las complejas por una doble línea vertical.
Al compilar una tabla, se debe tener cuidado de no confundir el orden de las acciones; Al completar las columnas, debe moverse "de adentro hacia afuera", es decir. de fórmulas elementales a otros cada vez más complejos; la última columna completada contiene los valores de la fórmula original.

La tabla muestra que esta afirmación es verdadera solo en el caso de que A = 0, B = 1, C = 1. En todos los demás casos es falso.

Equivalencia de declaraciones.

Utilizando tablas de verdad, puedes establecer la equivalencia de dos o más enunciados.

Se dice que los enunciados son equivalentes si los valores correspondientes de cada uno de ellos coinciden en la tabla de verdad.

Ejemplo 2. Se afirma que el enunciado A+B·C es equivalente al enunciado (A+B)· (A+C)
Solución. La verificación se realiza mediante la elaboración de una tabla de verdad.

Comparando las columnas 5 y 8, nos aseguramos de que todos los valores obtenidos por la fórmula A + B · C coincidan con los valores obtenidos por la fórmula (A + B) · (A + C) , es decir. las declaraciones son equivalentes (equivalentes). Uno puede reemplazar al otro.
Las declaraciones equivalentes (equivalentes) están conectadas por el signo º A + B · Cº (A + B) · (A + C).
Notemos la diferencia entre equivalencia y equivalencia.
La equivalencia es una operación lógica que permite, dados dos enunciados A y B dados, construir unos nuevos A y B.
La equivalencia es la relación entre dos enunciados constituyentes, consistente en que sus valores de verdad son siempre los mismos.

Tautología.

Sea un enunciado A· y es necesario construir una tabla de verdad.
El enunciado A es falso, su verdad no depende de la verdad del enunciado A.

Considere el enunciado B+.
En este caso, el enunciado B+ siempre es verdadero, independientemente de la verdad de B.

Los enunciados cuya verdad es constante y no depende de la verdad de los enunciados simples incluidos en ellos, sino que está determinada únicamente por su estructura, se denominan idénticos o tautologías.
Hay afirmaciones idénticamente verdaderas e idénticamente falsas.
En las fórmulas, cada afirmación idénticamente verdadera se reemplaza por 1 y cada afirmación idénticamente falsa se reemplaza por 0. La ley del tercero excluido.
Aº 0
B+ º 1

Ejemplo 3. Demostrar la tautología (XÙ Y)® (XÚ Y)
Solución.

Porque el enunciado (XÙ Y)® (XÚ Y) es siempre verdadero, entonces es una tautología.

Ejemplo 4. Demuestre la tautología ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Solución.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

La tabla muestra que la afirmación en estudio es una tautología, porque es verdaderamente constante.

Preguntas y tareas.

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones:

a) (A+C); b) +B; c) +C); d) A+;
declaración equivalente (B+C)

2. Utilice tablas de verdad para determinar cuáles siguientes fórmulas- tautologías:
A) " ); b) ; V) ;

GRAMO) ; e) (X® Y) « (Y® X); f) (X® Y) « ;

g) (X® Y)« .

3. Establecer la verdad de una declaración.

4. ¿Son las declaraciones equivalentes?
Y ?

5. Determine si esta afirmación es una tautología:
A) ; b)

6. Para cada fórmula, crea oraciones que formalicen:
A) ; b) ; V) .

7. De dichos simples: “Víctor es un buen nadador” - A; “Víctor bucea bien” - B; “Víctor canta bien” - C, se ha compuesto una declaración compleja, cuya fórmula se parece a:
X=(A+C)· (A+B). Determina si el enunciado X es equivalente al enunciado: “Víctor es buen nadador y Víctor canta bien”.

8.
A) ; b) ;
c) ((X1® X2)® X3)Ù (X3 « X1); d) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Determine la verdad de las declaraciones:
A) , , ;
b) , , ;
V) , , ;
G) , , .

Leyes de la lógica

Las equivalencias de fórmulas lógicas proposicionales a menudo se denominan leyes de la lógica.
El conocimiento de las leyes de la lógica le permite comprobar la exactitud del razonamiento y la evidencia.
Las violaciones de estas leyes conducen a errores lógicos y las contradicciones que de ellos surgen.
Enumeramos los más importantes de ellos:
1. Xº X Ley de identidad
2. Ley de contradicción
3. Ley del tercero excluido
4. La ley de las dobles negativas
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Leyes de idempotencia
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Leyes de conmutabilidad (conmutabilidad)
7. (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Leyes de asociatividad (combinación)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z), C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Leyes de distributividad (distribución)
9. , Las leyes de De Morgan
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Leyes de absorción
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Leyes del pegado

1ra ley formulado por el antiguo filósofo griego Aristóteles. La ley de identidad establece que el pensamiento contenido en un determinado enunciado permanece inalterado durante todo el argumento en el que aparece dicho enunciado.

Ley de contradicción Dice que ninguna oración puede ser verdadera al mismo tiempo que su negación.
"Esta manzana está madura" y "Esta manzana no está madura".

Ley del medio excluido Dice que para cada afirmación sólo hay dos posibilidades: esta afirmación es verdadera o falsa. No hay un tercero. “Hoy recibiré 5 o no”. O una proposición es verdadera o su negación.

La ley de la doble negación. Negar la negación de un enunciado es lo mismo que afirmar este enunciado.
“No es cierto que 2×2¹ 4”

Leyes de idempotencia. En el álgebra de la lógica no hay exponentes ni coeficientes. Una conjunción de “factores” idénticos equivale a uno de ellos.

Leyes de conmutatividad y asociatividad. La conjunción y la disyunción son similares a los signos de multiplicación y suma del mismo nombre.
A diferencia de la suma y la multiplicación de números, la suma y la multiplicación lógicas son iguales en relación con la distributividad: no solo la conjunción es distributiva con respecto a la disyunción, sino que también la disyunción es distributiva con respecto a la conjunción.

El significado de las leyes de De Morgan(Augustus de Morgan (1806-1871) - matemático y lógico escocés) se puede expresar en breves formulaciones verbales:
- la negación de un producto lógico equivale a la suma lógica de las negaciones de los factores.
- la negación de una suma lógica equivale al producto lógico de las negaciones de los términos.

Puedes probar las leyes de la lógica:
1) utilizar tablas de verdad;
2) usar equivalencias.
Probemos las leyes de adhesión y absorción mediante equivalencias:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Ley de pegado)

2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Ley de absorción)

Ejercicio. Demuestre las leyes de la lógica utilizando tablas de verdad.

Transformaciones de identidad

Simplificación de fórmulas.

Ejemplo 1. Simplifica la fórmula (AÚB) · (AÚC)
Solución.
a) Abrir los corchetes (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
b) Según la ley de equivalencia A · A º A, por tanto,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
c) En los enunciados A y A·C, sacamos A de paréntesis y usando la propiedad AÚ1º 1 obtenemos AÚA·СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B·C
d) Al igual que en el punto c), saquemos la afirmación A de entre paréntesis.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Así, hemos demostrado la ley de distributividad.

2. Transformaciones “absorción” y “enlace”

Ejemplo 2. Simplifica la expresión AÚ A · B

Solución. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - absorción

Ejemplo 3. Simplifique la expresión A · B Ú A · - signos de suma lógica;
- signos de multiplicación lógica.
Y se utilizará:
- signos de negación y multiplicación lógica;
- signos de negación y suma lógica.

Ejemplo 5. Transforma la fórmula para que no utilice signos de suma lógica.
Solución. Usemos la ley de la doble negación y luego la fórmula de De Morgan.

Ejemplo 6. Transforma la fórmula para que no utilice signos de multiplicación lógicos.
Solución. Usando las fórmulas de De Morgan y la ley de la doble negación obtenemos:

Aquí: 1 - verdadero, 0 - falso.

• 1.X: triangulo abc- de ángulo agudo. X: No es cierto que el triángulo ABC sea agudo. Es lo mismo que: X: triángulo ABC - recto u obtuso
• 2. R: Ivanova M. obtuvo un 4 en el examen de matemáticas: No es cierto que Ivanova M. haya obtenido un 4 en matemáticas.

Definición: La disyunción de los enunciados A y B es un enunciado AB que es verdadero bajo la condición de que al menos uno de los enunciados A o B sea verdadero.

Se lee "A o B".

Tabla de verdad para AB

Ejemplo: 1. Esta vez compareció el acusado y se llevó a cabo el juicio. - verdadero

2.B triángulo rectángulo la suma de dos ángulos cualesquiera es mayor o igual que el tercer ángulo y la hipotenusa es menor que el cateto. - mentir

Definición: Una implicación de los enunciados A y B es un enunciado AB que es falso sólo si A es verdadero y B es falso.

Se lee: “Si A, entonces B”.

Mesa de la verdad

Ejemplo: 1. Si paso el examen, iré al cine.

2. Si el triángulo es isósceles, entonces los ángulos en su base son iguales. Definición: El equivalente de los enunciados A y B es un enunciado AB que es verdadero si y sólo si A y B tienen la misma verdad (es decir, ambos son verdaderos o ambos son falsos).

Dicen: “Y si y sólo si B” o “A es necesario y suficiente para B”

Mesa de la verdad

La segunda tarea, resuelta mediante álgebra proposicional, es determinar la verdad de un enunciado particular a partir de la compilación de su fórmula (proceso de formalización) y la elaboración de una tabla de verdad.

Ejemplo: si Saratov está situada a orillas del Neva, los osos polares viven en África.

R: Saratov está situada a orillas del río Neva;

P: Los osos polares viven en África.

Definición: Una fórmula que es verdadera independientemente de los valores que tomen las variables proposicionales incluidas en ella se llama tautología o fórmula idénticamente verdadera.

Definición: Las fórmulas F 1 y F 2 se denominan equivalentes si su equivalente es una tautología.

Definición: Si las fórmulas F 1 y F 2 son equivalentes, entonces las oraciones P 1 y P 2 que inician estas fórmulas se denominan equivalentes en lógica proposicional.

Las equivalencias básicas que ocurren con mayor frecuencia se denominan leyes de la lógica. Enumeremos algunos de ellos:

• 1. X X - ley de identidad
• 2. XL - ley de contradicción
• 3. XI - la ley de exclusión del tercero
• 4. X - ley de la doble negación

• 5. leyes de la conmutatividad
• 6. Ley de asociatividad X (Y Z) (X Y) Z

X (Y Z) (X Y) Z ley de distributividad

7. Leyes de De Morgan

8. leyes de articulación de una variable y una constante

Usando las leyes de la lógica, puedes transformar fórmulas.

4. De las muchas fórmulas que son equivalentes entre sí, consideremos dos. Esta es una conjuntiva perfecta forma normal(SCNF) y forma normal disyuntiva perfecta (SDNF). Se construyen para una fórmula dada basándose en su tabla de verdad.

Construcción de SDNF:

• -- se seleccionan filas que corresponden a los valores de verdad (1) de esta fórmula;
• -- para cada línea seleccionada componemos una conjunción de variables o sus negaciones para que los conjuntos de valores de las variables presentadas en la línea correspondan valores verdaderos conjunciones (para esto es necesario tomar variables que tomaron el valor falso (0) en esta línea con un signo de negación, y variables que tomaron el valor verdad (1) sin negación);
• -- se elabora una disyunción de las conjunciones resultantes.

Del algoritmo se deduce que para cualquier fórmula es posible construir un SDNF y, además, uno único, si la fórmula no es idénticamente falsa, es decir aceptando sólo valores falsos.

La compilación del SKNF se realiza según el siguiente algoritmo:

• -- resaltar aquellas filas de la tabla en las que la fórmula toma el valor falso (0);
• -- a partir de las variables en cada una de esas líneas, cree una disyunción que debería tomar los valores - falso (0). Para ello todas las variables deben ingresarlo con el valor falso, por lo tanto las que sean verdaderas (1) deben ser reemplazadas por su negación;
• -- formar una conjunción a partir de las disyunciones resultantes.

Evidentemente, cualquier fórmula que no sea una tautología tiene un SCNF.

SDNF y SCNF se utilizan para obtener consecuencias de esta fórmula.

Ejemplo: cree una tabla de verdad de SDNF y SCNF para la fórmula: .

Tabla de verdad de SDNF y SKNF

5. Considere la forma expresiva "El río desemboca en el Mar Negro". Contiene una variable y se puede representar como "El río x desemboca en el Mar Negro".

Dependiendo de los valores de la variable X, la oración es verdadera o falsa, es decir Se especifica un mapeo de un conjunto de ríos en un conjunto de dos elementos. Denotemos este mapeo, entonces:

Por tanto, tenemos una función cuyos todos los valores pertenecen al conjunto.

Definición: Una función cuyos valores pertenecen a un conjunto se llama predicado.

Las letras que denotan predicados se llaman símbolos de predicados.

Los predicados se pueden especificar:

a) una fórmula expresiva,

b) fórmula, es decir especificando la interpretación del símbolo predicado,

c) mesa.

1) P - "fluir hacia el Mar Negro".

Esta fórmula significa que "el río a desemboca en el Mar Negro".

• 2) El predicado P viene dado por la fórmula proposicional: “ser número primo en el conjunto de los primeros 15 números naturales."
• 3) En forma tabular, el predicado tiene la forma:

El dominio de definición de predicados puede ser cualquier conjunto.

Si un predicado pierde su significado para cualquier conjunto de variables de entrada, entonces generalmente se acepta que el valor L corresponde a este conjunto.

Si un predicado contiene una variable, entonces se llama predicado unario, dos variables, un predicado doble, n variables, un predicado n-ario.

Para traducir textos al lenguaje de predicados y determinar su verdad, es necesario introducir operaciones lógicas sobre predicados y cuantificadores.

También se realizan las siguientes operaciones sobre predicados: negación, conjunción, disyunción, implicación, equivalencia.

Definición: Un subconjunto del conjunto M en el que se da el predicado P, que consta de aquellos y sólo aquellos elementos de M a los que corresponde el valor I del predicado P, se denomina conjunto de verdad del predicado P.

Se designa el conjunto de verdad.

Definición: La negación del predicado P es un predicado que es falso para aquellos conjuntos de valores de variables que convierten a P en verdadero, y verdadero para aquellos conjuntos de valores de variables que convierten a P en un predicado falso.

Se indica la negación.

Ser estudiante de ABiK.

No ser estudiante de ABiK.

Si, entonces el conjunto, donde M es el conjunto en el que se dan los predicados P y Q.

Definición: una conjunción de predicados es un predicado que es verdadero para aquellos y sólo aquellos valores de las variables incluidas en ella que hacen que ambos predicados sean verdaderos.

ser jugador de futbol

ser estudiante

: ser futbolista y ser estudiante.

Definición: una disyunción de predicados es un predicado que es falso para aquellos conjuntos de variables incluidos en ella que hacen que ambos predicados sean falsos

Se justo número natural

ser un numero natural impar

: ser un número natural.

Definición: La implicación de predicado es un predicado que es falso para aquellos y sólo aquellos conjuntos de variables incluidos en él que se convierten en un predicado verdadero y en uno falso.

Indicado por:

Ser un número primo del conjunto N.

ser un numero impar

Falso y verdadero para otros números naturales.

Definición: La equivalencia de predicados es un predicado que se vuelve verdadero si ambos predicados son verdaderos o ambos son falsos.

Indicado por:

- “ganar”, es decir x vence a y

Es mejor conocer la historia del ajedrez, x sabe mejor que y

denota que x gana a y en ajedrez si y sólo si conoce mejor la teoría.

Definición: Un predicado se deriva de un predicado si la implicación es verdadera para cualquier valor de las variables incluidas en él.

Se indican los siguientes: .

ser estudiante

Ir a la universidad

Hay 2 formas de convertir un predicado en una declaración:

1) dando una variable significado específico

; x - estudiante

Ivanov es un estudiante.

2) Adjuntar cuantificadores: cualquiera, cada, cada

Hay, hay.

La entrada donde tiene la propiedad P significa que todo objeto x tiene la propiedad P. O de otra manera, “todo x tiene la propiedad P”.

La entrada significa que hay un objeto x que tiene la propiedad P.

La lógica, creada como ciencia por Aristóteles (384-322 a. C.), se ha utilizado a lo largo de los siglos para desarrollar muchos campos del conocimiento, incluidas la teología, la filosofía y las matemáticas.

Es la base sobre la que se construye todo el edificio de las matemáticas. Esencialmente, la lógica es la ciencia del razonamiento, que permite determinar la verdad o falsedad de algo. declaración matemática, basado en un conjunto de supuestos primarios llamados axiomas. La lógica también se utiliza en informática para construir programas de computador y evidencia de su corrección. Conceptos, métodos y medios de la lógica subyacen a la modernidad. tecnologías de la información. Uno de los principales objetivos de este trabajo es sentar las bases de la lógica matemática, mostrar cómo se utiliza en informática y desarrollar métodos para analizar y probar enunciados matemáticos.

Representaciones lógicas - descripción del sistema estudiado, proceso, fenómeno en forma de conjunto declaraciones complejas compuestos de declaraciones simples (elementales) Y conectivos lógicos entre ellos. Las representaciones lógicas y sus componentes se caracterizan por ciertas propiedades y un conjunto de transformaciones permitidas sobre ellas (operaciones, reglas de inferencia, etc.), implementando las desarrolladas en formal (matemático) lógica métodos correctos razonamiento - leyes de la lógica.

Concepto de enunciación

Declaración¿Es esto una declaración o oración declarativa, que se puede decir que es verdadero o falso. En otras palabras, una afirmación sobre la verdad o falsedad de una afirmación debe tener sentido. La verdad o falsedad atribuida a una afirmación se llama valor de verdad, o valor de verdad.

Por ejemplo, declaraciones dos por dos son cuatro Y La ciudad de Chelyabinsk está situada en la parte asiática de Rusia. verdad y declaraciones tres son mas que cinco Y El río Don desemboca actualmente en el Mar Caspio. son falsas porque no son verdaderas. Las afirmaciones verdaderas generalmente se denotan t (verdadero) o Y (verdadero), y falso, respectivamente, F (FALSO) o l (mentir). En informática, la verdad suele denotarse con 1 (uno binario) y lo falso con 0 (cero binario).

A continuación se muestran ejemplos de oraciones que no son declaraciones:

¿Quien eres?(pregunta),

Lea este capítulo antes siguiente lección (orden o exclamación)

Esta afirmación es falsa(declaración internamente contradictoria),

El área del segmento es menor que la longitud del cubo.(Es imposible decir si esta oración es verdadera o falsa, porque no tiene significado).

Denotaremos declaraciones con letras. alfabeto latino R, q, r, Por ejemplo, R puede significar una declaración Lloverá mañana, A q- declaración El cuadrado de un número entero es un número positivo..

Conectivos lógicos

En el discurso cotidiano para la educación. oración compleja de los simples, se utilizan conectivos: partes especiales del discurso que conectan ofertas individuales. Los conectivos más utilizados Y, o, No, Si ... Eso, si solo, Y entonces y sólo entonces. A diferencia del habla ordinaria, en lógica el significado de tales conectivos debe determinarse sin ambigüedades. La verdad de un enunciado complejo está determinada únicamente por la verdad o falsedad de sus partes constituyentes. Un enunciado que no contiene conectivos se llama simple. Un enunciado que contiene conectivos se llama complejo. Conectivos lógicos también llamado operaciones lógicas sobre declaraciones.

Dejar R Y q defender declaraciones

r: Jane conduce un coche,

P: Bob tiene cabello castaño.

Declaración compleja

Jane conduce un auto y Bob tiene cabello castaño. consta de dos partes unidas por un enlace Y. Esta declaración se puede escribir simbólicamente como

donde el símbolo representa la palabra Y en el lenguaje de las expresiones simbólicas. La expresión se llama conjunción de proposiciones. R Y q.

También se encuentran las siguientes variantes de escritura de la conjunción:

exactamente la misma declaracion

Jane conduce un auto o Bob tiene cabello castaño.

expresado simbólicamente como

donde esta la palabra o traducido al lenguaje simbólico. La expresión se llama disyunción proposicional. R Y q.

Refutación o negación de una declaración. pag denotado por

Así, si R hay una declaración jane conduce un auto, entonces esta es una declaración Jane no conduce un coche.

Si r hay una declaración A Joe le gusta la informática., Eso Jane no conduce y Bob tiene cabello castaño o a Joe le gustan las ciencias de la computación. se escribirá simbólicamente como

.

Por el contrario, la expresión

esta es una forma simbólica de registrar una declaración Jane conduce un automóvil, Bob no tiene cabello castaño y a Joe le gusta la informática..

Consideremos la expresión. Si alguien dice: " Jane conduce un coche y Bob tiene el pelo castaño"., entonces, naturalmente, imaginamos a Jane conduciendo un automóvil y al rubio Bob. En cualquier otra situación (por ejemplo, si Bob no es castaño o Jane no conduce un coche), diremos que el hablante está equivocado.

Hay cuatro casos posibles que debemos considerar. Declaración R puede ser verdad ( t) o falso ( F) e independientemente del valor de verdad que se requiera R, declaración q también puede ser cierto ( t) o falso ( F). Mesa de la verdad enumera todo posibles combinaciones Verdad y falsedad de afirmaciones complejas.

Entonces una conjunción es verdadera si y sólo si ambas afirmaciones son verdaderas pag Y q, es decir, en el caso 1.

De la misma manera, considere la afirmación Jane conduce un auto o Bob tiene cabello castaño., que se expresa simbólicamente como . Si alguien dice: "Jane conduce un coche o Bob tiene el pelo castaño", se equivocará sólo si Jane no sabe conducir un coche y Bob no tiene el pelo castaño. Para que toda la afirmación sea verdadera, basta con que uno de sus dos componentes sea verdadero. Por lo tanto tiene una tabla de verdad.

La disyunción es falsa sólo en el caso 4, cuando ambos R Y q FALSO.

La tabla de verdad para la negación parece

El valor de verdad es siempre el opuesto al valor de verdad p. En las tablas de verdad, la negación siempre se evalúa primero, a menos que al signo de negación le siga una declaración entre paréntesis. Por lo tanto interpretado como , por lo que la negación sólo se aplica a R. Si queremos negar la declaración completa, entonces se escribe como .

Los personajes se llaman binario conectivos porque conectan dos declaraciones. El símbolo ~ es unario conectivo porque se aplica a un solo enunciado.

Otro conectivo binario es el exclusivo o, que se denota por . La afirmación es verdadera cuando es verdadera. pag o q, pero no ambas cosas al mismo tiempo. Este conectivo tiene una tabla de verdad.

usando la palabra o, podemos decir exclusivo o. Por ejemplo, cuando decimos que R- ya sea verdadero o falso, entonces, naturalmente, asumimos que esto no es cierto al mismo tiempo. en lógica exclusivo o Se utiliza muy raramente y, en el futuro, por regla general, prescindiremos de él.

Considere la declaración

,

donde los paréntesis se utilizan para mostrar qué enunciados son componentes de cada conectivo.

La tabla de verdad permite indicar sin ambigüedades aquellas situaciones en las que el enunciado es verdad; Al hacerlo, debemos asegurarnos de que se tengan en cuenta todos los casos. Dado que una declaración compleja contiene tres declaraciones principales R, q Y r, entonces ocho casos son posibles

Sucediendo	pag	q	r
	t	t	t	F	F	t
	t	t	F	F	F	t
	t	F	t	t	t	t
	t	F	F	t	F	t
	F	t	t	F	F	F
	F	t	F	F	F	F
	F	F	t	t	t	t
	F	F	F	t	F	F

Al encontrar los valores de verdad de una columna, utilizamos las columnas para y r, así como la tabla de verdad para . La tabla de verdad de muestra que un enunciado es verdadero sólo si tanto el enunciado como el r. Esto ocurre sólo en los casos 3 y 7.

Tenga en cuenta que al determinar los valores de verdad de una columna sólo importa la verdad de las declaraciones pag Y . La tabla de verdad de muestra que el único caso en el que un enunciado se forma utilizando el conectivo o, falso, es el caso cuando ambos lados de la afirmación son falsos. Esta situación se da sólo en los casos 5, 6 y 8.

Otro, forma equivalente construir una tabla de verdad consiste en anotar los valores de verdad de la expresión debajo del conectivo. Consideremos nuevamente la expresión . Primero escribimos los valores de verdad debajo de las variables. R, q Y r. Los que están debajo de las columnas de valores de verdad indican que a esas columnas se les asignan valores de verdad primero. EN caso general el número debajo de la columna indicará el número de paso en el que se calculan los valores de verdad correspondientes. Luego escribimos los valores de verdad del enunciado bajo el símbolo ~. A continuación, anotamos los valores de verdad debajo del símbolo. Finalmente, anotamos el significado de la afirmación. bajo el símbolo.

1.1.3. Declaraciones condicionales

Supongamos que alguien afirma que si ocurre un evento, ocurrirá otro. Supongamos que un padre le dice a su hijo: " Si apruebas todos tus exámenes este semestre con excelentes calificaciones, te compraré un auto.". Observe que la declaración se ve así: si p entonces q, Dónde R- declaración Este semestre aprobarás todos los exámenes con excelentes calificaciones., A q- declaración te compraré un auto. Denotamos simbólicamente una declaración compleja por . La pregunta es ¿bajo qué condiciones el padre dice la verdad? Supongamos declaraciones R Y q son verdaderas. En este caso, el feliz estudiante obtiene excelentes notas en todas las materias y su padre, gratamente sorprendido, le compra un coche. Naturalmente, nadie duda de que la afirmación del padre era cierta. Sin embargo, hay otros tres casos que es necesario considerar. Digamos que el estudiante realmente logró excelentes resultados, pero su padre no le compró un coche.

Lo más amable que se puede decir del padre en este caso es que mintió. Por lo tanto, si R cierto, pero q falso, luego falso. Supongamos ahora que el estudiante no obtuvo calificaciones positivas, pero aun así su padre le compró un automóvil. En este caso, el padre parece muy generoso, pero no se le puede tachar de mentiroso. Por lo tanto, si R falso y q cierto, entonces la afirmación si p entonces q(es decir, ) es cierto. Finalmente, supongamos que el estudiante no logró excelentes resultados y su padre no le compró un automóvil.

Dado que el estudiante no cumplió su parte del acuerdo, el padre también queda libre de obligación. Así, si R Y q son falsas, entonces se consideran verdaderas. Así que la única vez que el padre mintió fue cuando hizo una promesa y no la cumplió.

Por tanto, la tabla de verdad del enunciado tiene la forma

El símbolo se llama implicación, o conectivo condicional.

Esto puede parecer causal, pero no es necesario. Para ver la ausencia de causa y efecto en la implicación, volvamos al ejemplo en el que R hay una declaración jane conduce el auto, A q- declaración bob tiene cabello castaño. Entonces la declaración Si Jane conduce un coche, entonces Bob tiene el pelo castaño. se escribirá como

Si pag, Eso q o como .

El hecho de que Jane conduzca un coche no tiene nada que ver causalmente con el hecho de que Bob sea de pelo castaño. Sin embargo, debe recordarse que la verdad o falsedad de un enunciado complejo binario depende únicamente de la verdad de sus partes constituyentes y no depende de la presencia o ausencia de ninguna conexión entre ellos.

Consideremos siguiente ejemplo. Necesitas encontrar la tabla de verdad para la expresión.

.

Usando la tabla de verdad para , dada anteriormente, construyamos primero tablas de verdad para y , teniendo en cuenta que la implicación es falsa solo en el caso en que .

Ahora usamos la tabla para obtener la declaración.

mesa de la verdad

Una declaración de la forma se denota por . El símbolo se llama equivalente. La equivalencia a veces también se indica como (no debe confundirse con el operador de negación unario).

Entre los posibles valores de verdad de una variable lingüística Verdad dos significados se atraen Atención especial, es decir, el conjunto vacío y el intervalo unitario, que corresponden a los más pequeños y elementos más grandes(con respecto a la inclusión) de una red de subconjuntos difusos del intervalo. La importancia de estos valores de verdad particulares se debe a que pueden interpretarse como valores de verdad. indefinido Y desconocido respectivamente. Por conveniencia, denotaremos estos valores de verdad mediante los símbolos y , entendiendo que y están determinados por las expresiones

Valores desconocido Y indefinido, interpretados como grados de membresía, también se utilizan en la representación conjuntos difusos tipo 1. En este caso, existen tres posibilidades para expresar el grado de pertenencia de un punto a: 1) un número del intervalo; 2) ( indefinido); 3) (desconocido).

Veamos un ejemplo sencillo. Dejar

Tomemos un subconjunto difuso de un conjunto de la forma

En este caso, el grado de pertenencia de un elemento al conjunto es desconocido, y el grado de membresía es indefinido. En un caso más general puede ser

donde se entiende que el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto es parcialmente desconocido, y el miembro se interpreta de la siguiente manera:

. (6.56)

Es importante comprender claramente la diferencia entre y. Cuando decimos que el grado de pertenencia de un punto a un conjunto es , queremos decir que la función de pertenencia no definido en el punto. Supongamos, por ejemplo, que es el conjunto de los números reales, y que es una función definida sobre el conjunto de los números enteros, y , si - par, y , si - impar. Entonces el grado de pertenencia de un número al conjunto es , y no 0. Por otro lado, si estuviera definido en el conjunto de números reales y si y sólo si - número par, entonces el grado de pertenencia del número al conjunto sería igual a 0.

Ya que podemos calcular los valores de verdad de los enunciados. Y, o Y No dados los valores de verdad lingüística de los enunciados y , es fácil calcular los valores de , , , cuando . Supongamos, por ejemplo, que

, (6.57)

. (6.58)

Aplicando el principio de generalización como en (6.25), obtenemos

, (6.59)

Después de la simplificación, (6.59) se reduce a la expresión

. (6.61)

En otras palabras, el valor de verdad de una afirmación. Y, Dónde , es un subconjunto difuso del intervalo, cuyo grado de pertenencia es igual al punto (la función de pertenencia) en el intervalo.

Arroz. 6.4. Conjunción y disyunción de los valores de verdad de un enunciado con valor de verdad desconocido ().

De manera similar, encontramos que el valor de verdad del enunciado o expresado como

. (6.62)

Cabe señalar que las expresiones (6.61) y (6.62) se pueden obtener fácilmente utilizando el procedimiento gráfico descrito anteriormente (ver (6.38) y siguientes). Un ejemplo que ilustra esto se muestra en la Fig. 6.4.

Volviendo al caso, encontramos

(6.63)

y de manera similar para .

Es instructivo observar lo que sucede con las relaciones anteriores cuando las aplicamos a un caso especial de lógica bivaluada, es decir, al caso en el que el conjunto universal tiene la forma

o en una forma más familiar

donde significa verdadero, A - FALSO. Como lo hay, podemos identificar el valor de verdad. desconocido con significado verdadero o FALSO, es decir.

La lógica resultante tiene cuatro valores de verdad, , y , y es una generalización de la lógica de dos valores en el sentido de la Observación 6.5.

Dado que el conjunto universal de valores de verdad consta de solo dos elementos, es aconsejable construir tablas de verdad para las operaciones, y en esta lógica de cuatro valores directamente, es decir, sin usar fórmulas generales(6.25), (6.29) y (6.31). Así, aplicando el principio de generalización a la operación, obtenemos inmediatamente

de donde se sigue necesariamente que

En este camino llegamos a definición habitual conectivos ⟹ en lógica bivaluada en la forma de la siguiente tabla de verdad:

Como muestra el ejemplo discutido anteriormente, el concepto de valor de verdad desconocido en combinación con el principio de generalización, ayuda a comprender algunos de los conceptos y relaciones de la lógica ordinaria de dos y tres valores. Estas lógicas, por supuesto, pueden considerarse como casos degenerados de lógica difusa, en los que el valor de verdad desconocido es el intervalo unitario completo, no el conjunto 0 + 1.