CONEXIONES LÓGICAS - símbolos lenguajes lógicos, utilizado para la educación declaraciones complejas(fórmulas) de las elementales. Las conjunciones correspondientes a estos símbolos también se denominan conectivos lógicos. lenguaje natural. Normalmente se utilizan conectivos lógicos como conjunción (la conjunción “y”, notaciones simbólicas: &, ∧ y un punto en forma de signo de multiplicación, que a menudo se omiten, escribiendo la conjunción de A y B como AB), disyunción (una conjunción vaga “o”, denotada como “∨”), implicación (“si…, entonces”, indicada por el signo “⊃” y varios tipos de flechas), negación (“no es cierto que… .”, indicado por: , ~ o una barra sobre la expresión negada) . De los anteriores, la negación es un conectivo unario. Otros son dobles (binarios). En principio, los conectivos lógicos pueden ser tan locales como se desee, pero en la práctica, muy raramente se utilizan más que los conectivos binarios. En lógica clásica (Lógica, Lógica Proposicional), cualquier conectivo lógico multilugar se puede expresar a través de los enumerados. Algún significado práctico se obtiene mediante el uso de un conectivo lógico ternario, llamado disyunción condicional, que conecta tres enunciados A, B y C y significa que “A en el caso de B, y C en el caso caso no B"o formalmente: (B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Cálculo proposicional con disyunción condicional. - En el libro: Métodos análisis lógico. M., 1977).

La lógica clásica considera los conectivos lógicos de manera extensiva (ignorando el significado sustantivo de los enunciados que conectan) como funciones de verdad determinadas por los valores de verdad de los enunciados que conectan. Dados los dos valores de verdad en esta lógica, 1 (verdadero) y 0 (falso), los enunciados A y B pueden tener cuatro conjuntos posibles de valores de verdad ordenados:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. La función de verdad proposicional asigna a cada conjunto enumerado uno de los valores de verdad: 1 o 0. Hay 16 funciones de este tipo en total. La conjunción asigna el valor 1 a la expresión A&B solo en el caso en que A y B sean verdaderos. , es decir. ambos tienen el valor 1, de lo contrario el valor de A&B es 0. La disyunción A ∨ B, por el contrario, es falsa sólo en un caso, cuando tanto A como B son falsos. La implicación A ⊃ B es falsa sólo si el antecedente. A es verdadera y el antecedente es falso (consecuente) B. En otros casos, A ⊃ B toma el valor 1. De las cuatro funciones unarias, sólo interesa la negación, cambiando el significado del enunciado al opuesto: cuando A es verdadero, A es falso y viceversa. Todas las demás funciones clásicas unarias y binarias se pueden expresar en términos de las presentadas. Cuando el sistema de conectivos lógicos adoptado en la semántica correspondiente nos permite definir todos los demás, se le llama funcionalmente completo. Los sistemas completos en lógica clásica incluyen, en particular, conjunción y negación; disyunción y negación; implicación y negación. La conjunción y la disyunción son definibles entre sí debido a las equivalencias (A&B)≡(A∨B) y (A∨B)≡(A&B), llamadas leyes de Morgan, así como: (Α⊃Β)≡(Α∨ B), (A&B)≡(A⊃B), (Α∨B)≡((A⊃B)⊃A). Cualquier equivalencia de la forma A ≡ B es válida sólo si la conjunción (A⊃B)&(B⊃A) es generalmente válida (siempre verdadera).

Las funciones antidisyunción y anticonjunción, definidas respectivamente como (A∨B) y (A&B), también representan cada una por separado un sistema funcionalmente completo de conectivos. Esta última circunstancia ya era conocida por C. Pierce (obra inédita en 1880 durante su vida) y fue redescubierta por H.M. Utilizando la antidisyunción como único conectivo lógico, Schaeffer construyó en 1913 calculo completo declaraciones. La antidisyunción se denota por A∣B y se llama prima de Schaeffer, leyendo esta expresión, como "ni A ni B". J. G. P. Nicod usó la misma notación para la anticonjunción (“No es cierto que tanto A como B sean ambos”) y, usando solo este conectivo, en 1917 formuló un cálculo proposicional completo con un (¡único!) axioma y una regla de inferencia. . Así, el trazo de Schaeffer es esencialmente la propia línea vertical, que, según distintos autores, puede significar tanto antidisyunción como anticonjunción.

La extensionalidad de los conectivos lógicos les da unicidad, simplifica el problema de construir cálculos lógicos y permite resolver problemas metateóricos de consistencia, decidibilidad e integridad para estos últimos (ver Metalógica). Sin embargo, en algunos casos, la interpretación funcional de verdad de los conectivos conduce a una discrepancia significativa con la forma en que se entienden en el lenguaje natural. Por lo tanto, la interpretación de verdad indicada de la implicación obliga a reconocer como verdaderas oraciones de la forma "Si A, entonces B" incluso en el caso de que entre las declaraciones A y B (y, en consecuencia, los eventos sobre los cuales estamos hablando acerca de) no hay conexión real. Basta que A sea falso o B sea verdadero. Por lo tanto, de las dos oraciones: “Si A, entonces B” y “Si B, entonces A”, al menos una debe ser reconocida como verdadera, lo que no encaja bien con el uso habitual del conectivo condicional. Implicación en en este caso especialmente llamado "material", distinguiéndolo así de una conjunción condicional, que supone que existe una conexión real entre el antecedente y el consecuente de un enunciado condicional verdadero. Al mismo tiempo, la implicación material se puede utilizar perfectamente en muchos contextos, por ejemplo matemáticos, siempre que no se olvide de ella. características específicas. En algunos casos, sin embargo, es el contexto el que no permite interpretar la conjunción condicional como una implicación material, sugiriendo la interconexión de enunciados. Para analizar tales contextos, es necesario construir lógicas especiales no clásicas, por ejemplo, relevantes (ver Lógica relevante), en cuyo lenguaje en lugar implicación material(o junto con ellas) se introducen otras implicaciones que se entienden intencionalmente (sustantivamente) y cuya verdad no puede justificarse verazmente funcionalmente. También se pueden interpretar intensivamente otros conectivos lógicos.

E.A. Sidorenko

Nuevo enciclopedia filosófica. En cuatro volúmenes. / Instituto de Filosofía RAS. Educación científica. consejo: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G.Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, vol.II, E – M, pág. 439-440.

Literatura:

Church A. Introducción a la lógica matemática, vol 1. M., 1960;

Curry H. Fundamentos de la lógica matemática. M., 1969.

Definición. Bajo declaración Es costumbre entender una oración lingüística sobre la cual tiene sentido decir que es verdadera o falsa en este momento tiempo.

Las declaraciones suelen designarse como pequeñas con letras latinas a, b, c, x1, x2,…

En la lógica proposicional, a uno no le interesa el contenido, sino la verdad o falsedad de los enunciados. Los valores de verdad (verdadero y falso) se indicarán con I y L, respectivamente. Un montón de (ILLINOIS) se llama conjunto de valores de verdad.

Definición. La declaración se llama simple(elemental), si se considera como una especie de todo indivisible (similar a un elemento de un conjunto). Difícil(compuesto) es un enunciado formado por enunciados simples que utilizan conectivos lógicos.

En el lenguaje natural, el papel de los conectivos en la composición de oraciones complejas a partir de oraciones simples lo desempeñan los siguientes: medios gramaticales: conjunciones “y”, “o”, “no”; las palabras "si... entonces", "o... o", "si y sólo si", etc. En lógica proposicional, los conectivos lógicos utilizados para componer enunciados complejos deben definirse con precisión. Consideremos conectivos lógicos (operaciones) en enunciados para los cuales la verdad vale declaraciones compuestas están determinados únicamente por los valores de verdad de los enunciados constituyentes y no por su significado.

En lo que sigue, asociaremos el significado de “verdad” con 1 , y "mentir" - 0 . Cada operación lógica está asociada con mesa de la verdad. Una tabla de verdad expresa los valores de verdad de los enunciados en función de los valores de los enunciados elementales. En el futuro, utilizaré la tabla de verdad para establecer los valores de verdad de enunciados complejos dados los valores de los enunciados elementales incluidos en ella.

Luego - "No es cierto que a Stepan le guste bailar".

Definición. Conjunción dos afirmaciones es una afirmación nueva, que es verdadera sólo si ambas afirmaciones originales son verdaderas (Tabla 4).

GRÁFICOS. OPERACIONES SOBRE GRÁFICOS.

MATRICES Y ACCIONES SOBRE ELLAS.

Matrices (y en consecuencia sección de matemáticas- álgebra matricial) tener importante en matemáticas aplicadas, ya que permiten escribir una parte importante de modelos matemáticos objetos y procesos. El término "matriz" apareció en 1850. Las matrices fueron mencionadas por primera vez en China antigua, más tarde por matemáticos árabes.

Matriz A=A mn orden m*n se llama mesa rectangular números que contienen m - filas yn - columnas.

Elementos de la matriz aij, para los cuales i=j se llaman diagonales y forman diagonal principal.

Para matriz cuadrada(m=n) la diagonal principal está formada por los elementos a 11, a 22,..., a nn.

Igualdad matricial.

A=B, si la matriz ordena A Y B son iguales y a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Acciones sobre matrices.

1. Suma de matrices: operación por elementos

2. Resta de matrices: operación por elementos

3. El producto de una matriz y un número es una operación de elementos

4. Multiplicación A*B matrices según la regla fila a columna(el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz B)

§ 4. Expresión de conectivos lógicos (constantes lógicas) en lenguaje natural

Al pensar, operamos no solo con juicios simples, sino también complejos, formados a partir de simples a través de conectivos (u operaciones) lógicos: conjunción, disyunción, implicación, equivalencia, negación, que también se llaman constantes lógicas o constantes lógicas. Analicemos cómo se expresan los conectivos lógicos enumerados en lenguaje natural (ruso).

La conjunción (el signo “l”) se expresa mediante las conjunciones “y”, “a”, “pero”, “sí”, “aunque”, “cuál”, “pero”, “sin embargo”, “no sólo”. .., pero también ", etc. En lógica proposicional, el signo "l" conecta enunciados simples, formando a partir de ellos otros complejos. En el lenguaje natural, la conjunción “y” y otras palabras de conjunción pueden unir sustantivos, verbos, adverbios, adjetivos y otras partes del discurso. Por ejemplo, "El abuelo tenía boletus y boletus en su canasta" (ab), "Sobre la mesa hay un libro interesante y bellamente diseñado". La última afirmación no se puede dividir en dos simples conectadas por una conjunción: “ Libro interesante yace sobre la mesa” y “Sobre la mesa hay un libro bellamente decorado”, ya que parece que hay dos libros sobre la mesa y no uno.

En lógica proposicional se aplica la ley de conmutatividad de la conjunción (ab)(ba). En el idioma ruso natural no existe tal ley, ya que opera el factor tiempo. Cuando se tiene en cuenta la secuencia en el tiempo, el uso de la conjunción "y" no es conmutativo. Por lo tanto, por ejemplo, las siguientes dos afirmaciones no serán equivalentes: 1) “Engancharon una locomotora a vapor y el tren empezó a moverse” y 2) “El tren empezó a moverse y engancharon una locomotora a vapor”.

En el lenguaje natural, la conjunción se puede expresar no solo mediante palabras, sino también mediante signos de puntuación: coma, punto y coma, guión. Por ejemplo: “Cayó un relámpago, retumbó un trueno y empezó a llover”.

S. Kleene escribe sobre la expresión de conjunciones utilizando el lenguaje natural en su libro “Lógica Matemática”. En la sección "Análisis de razonamiento", proporciona una lista (no exhaustiva) de expresiones en lenguaje natural que pueden reemplazarse por los símbolos "L" o "&". Fórmula A^B en lenguaje natural se puede expresar así:

"No solo A, pero también EN. Cómo A, y entonces EN.

EN, aunque l. A Juntos con EN.

EN, a pesar de A.A, mientras EN" 7 .

Dejamos al lector la tarea de encontrar ejemplos de todas estas estructuras.

En lenguaje natural (ruso), la disyunción (indicada por ab y ab) se expresa mediante conjunciones: "o", "o", "o... o", etc. Por ejemplo, "Por la noche yo irá al cine o a la biblioteca"; “Este animal pertenece a un vertebrado o a un invertebrado”; "El informe tratará sobre las obras de L. N. Tolstoi o sobre las obras de F. M. Dostoievski".

Para ambos tipos de disyunción se aplica la ley de conmutatividad: (ab(ba) y (ab)(ba). En el lenguaje natural, esta equivalencia se conserva. Por ejemplo, la sentencia “ Compraré mantequilla o pan” equivale al juicio “Compraré pan o mantequilla”. S. Kleene muestra cómo la implicación (AB) y la equivalencia ( () pueden expresarse en lenguaje natural. A~B).

(En letras A Y EN Se indican declaraciones variables.)

Presentamos diagramas lógicos y ejemplos correspondientes que ilustran varias formas de expresar implicaciones A -> B(Dónde A- antecedente, EN- consecuente).

1. Si A, entonces B.

Si los proveedores entregarán las piezas a tiempo, Eso la planta cumplirá su plan de producción.

2. Si A, entonces B.

si pronto las fuerzas aplicadas se eliminan, Eso el resorte comprimido vuelve a su forma original.

3. Cuando ocurre A, B.

Cuando se acerca el mal tiempo ocurre aumento de la incidencia de enfermedades cardiovasculares en las personas.

4. Para B, A es suficiente.

Para para que los gases se expandan suficiente calentarlos.

5. A requiere B.

Para manteniendo la paz en la tierra necesario unir los esfuerzos de todos los estados en la lucha por la paz.

6. A, sólo si B.

Los estudiantes de este curso no asistieron al día de la limpieza, si solo ellos estaban enfermos.

7. B. si A.

I Te dejaré ir a caminar Si Completarás toda tu tarea.

Presentamos diagramas lógicos y ejemplos correspondientes de varias formas de expresar equivalencia.

1. A, si y sólo si B.

Ivanov no terminará sus experimentos antes de la fecha límite. si y solo si el personal no lo ayudará.

2. Si A, entonces B y viceversa.

Si el estudiante aprobó todos los exámenes y prácticas con excelentes calificaciones, Eso recibe un diploma con honores, y viceversa.

3. A si B y B si A.

Un polígono está inscrito en una circunferencia, Si sus vértices se encuentran en el círculo, Y los vértices del polígono se encuentran en el círculo, Si este polígono está inscrito en un círculo.

4. Para A, B es necesario y suficiente.

Para para que un número sea divisible por 3 sin resto, necesario y suficiente, de modo que la suma de los dígitos de este número sea divisible por 3 sin resto.

5. A es equivalente a B(A veces).

El hecho de que el área de un polígono regular es igual al producto del semiperímetro por la apotema, equivalente que el área de un polígono regular es igual al producto del perímetro por la mitad de la apotema.

6. Y entonces y sólo si V.

La empresa aceptará la oferta de compra de los bienes. entonces y sólo cuando El precio de este producto se reducirá un 15%.

A partir de los diagramas anteriores y las declaraciones correspondientes con contenido específico y variado, queda claro cuán multifacéticos son los medios para expresar implicación, equivalencia y otros conectivos lógicos (términos lógicos) en el lenguaje natural (en particular, en ruso). Esto se puede decir de otros lenguajes naturales 9.

La implicación (ab) no corresponde del todo en significado a la conjunción “si... entonces” del lenguaje natural, ya que puede carecer de una conexión significativa entre los juicios. A Y b. En lógica proposicional, la ley es la fórmula: (ab)(ab).

Pero en el lenguaje natural las cosas son diferentes. A veces la conjunción “si, entonces” no expresa una implicación, sino una conjunción. Por ejemplo: “Si ayer estaba nublado, hoy brilla intensamente el sol”. Este juicio complejo se expresa mediante la fórmula ab. Además de los conectivos lógicos, en lógica se utilizan el cuantificador general y el cuantificador de existencia para expresar juicios generales y particulares. La notación con el cuantificador general VP() suele leerse así: “Todos X(de algún dominio de objetos) tienen la propiedad R", y el registro con el cuantificador de existencia Z xP(X) dice así: “Existen tales X(en esta zona), que tienen la propiedad R". Por ejemplo, 3x(x>100) dice “Existen tales X, que son más de 100", donde bajo X Los números están implícitos. El cuantificador de generalidad se expresa con las palabras: “todos”, “todos”, “cada uno”, “ninguno”, etc. El cuantificador de existencia se expresa con las palabras: “algunos”, “existen”, “mayoría”, “minoría”, “sólo algunos”, “a veces”, “ese”, “no todos”, “muchos”, “muchos”, “pocos”, “muchos”, “casi todos”, etc.

S. Kleene escribe que al traducir expresiones del lenguaje ordinario utilizando conectivos proposicionales tabulares, perdemos algunos matices de significado, pero ganamos exactamente 10.

En la práctica del razonamiento matemático y de otro tipo existen los conceptos de "condición necesaria" y " condición suficiente" La condición se llama necesario, si se sigue de la conclusión (consecuencia). Una condición se considera suficiente si de ella se desprende una conclusión (consecuencia). En implicación un ->b variable A es la base. Se llama antecedente. Variable b- consecuencia (conclusión). Se llama consecuente.

A los estudiantes en las lecciones de matemáticas se les ofrecen tareas del tipo 1-4, que requieren en cada una de las siguientes oraciones reemplazar las elipses con las palabras: "necesario" o "suficiente", o "necesario y suficiente":

1. Para que la suma de dos números enteros sea un número par... de modo que cada término sea par.

2. Para que un número sea divisible por 15... para que sea divisible por 5.

3. Para el trabajo (X- 3) (X+2) (X- 5) era igual a 0, ... de modo que X= 3.

4. Para que un cuadrilátero sea un rectángulo... de modo que todos sus ángulos sean iguales a 11.

Formulemos las reglas básicas para la formación de nuevas oraciones a partir de las originales utilizando los conectivos y conjunciones básicos de los habituales. lengua hablada. Las reglas del idioma ruso por sí solas no son suficientes, ya que a veces le damos diferentes significados a la misma oración formulada en ruso. Por ejemplo, consideremos el giro de la frase “Si, entonces”, con el que formulamos dos oraciones:

• 1) “Si Misha aprueba el examen con gran éxito, irá a la discoteca”.
• 2) "Si Misha no aprueba el examen con gran éxito, entonces no irá a la discoteca".

Pregunta: ¿Estas oraciones dicen lo mismo o hay una situación en la que una de las oraciones es verdadera y la otra es falsa? En otras palabras, la pregunta es si estas oraciones son equivalentes.

Hasta que definamos claramente las reglas para construir frases de este tipo, es imposible responder a la pregunta sin ambigüedades. Por un lado, cuando formulamos la primera oración, a menudo nos referimos a la segunda oración. Sin embargo, veamos estas propuestas desde una perspectiva diferente.

Primero, escribamos los diagramas de oraciones. Para hacer esto, denotamos la oración "Misha aprobará el examen con gran éxito" con la letra A, y la frase "Misha irá a la discoteca" - con la letra EN. Entonces estas propuestas se pueden escribir esquemáticamente de la siguiente manera:

yo) "si A, Eso EN", 2) “Si no A, entonces no EN".

Ahora sustituyamos A Y EN otras predicciones. En lugar de A Tomemos: "La mesa es de roble", en lugar de EN"La mesa es de madera." Luego obtenemos otro par de oraciones:

• 1) “Si la mesa es de roble, entonces es de madera”
• 2) “Si la mesa no es de roble, entonces no es de madera”.

Dado que estas oraciones se construyen según los mismos esquemas que las dos primeras, significa que la equivalencia del primer par de oraciones debe significar la equivalencia del segundo par. Sin embargo, la primera frase en el habla corriente es evidentemente declaración verdadera, ya que el roble es un árbol, y la segunda frase es generalmente falsa, ya que la mesa puede estar hecha de otro árbol, por ejemplo de pino.

Así, en caso general oraciones construidas según el método “Si A, Eso EN" y si no A, entonces no EN" no pueden considerarse lógicamente idénticos.

Entonces, para eliminar la ambigüedad en la construcción de oraciones, necesitamos reglas claras que nos permitan determinar la verdad o falsedad de la oración resultante en función de la verdad o falsedad de las oraciones originales. A Y EN.

Demos a las conjunciones "y", "o", así como a los esquemas "si, entonces", "entonces y sólo entonces", "no es cierto que" un significado lógico inequívoco.

deja que las letras A y B representan sentencias arbitrarias. Comencemos con situaciones simples.

1. signo de negación~| (-yo) o. Expresión ~ li(-l, A) dice: "No un" o "No es cierto que A."

Significados de las oraciones ~Un definir mediante una tabla de la que se desprende claramente que la propuesta ~l cierto exactamente cuando la oración original A FALSO:

Al formular oraciones de estructura simple, la partícula “no” a veces puede “llevarse dentro” de la oración. Por ejemplo, una frase

“No es cierto que el número V6 sea un número entero” se puede formular de la siguiente manera: “El número l/6 no es un número entero”. También la frase “No es cierto que los heterosexuales A Y b intersectar" formular: "Directo A Y b No preguntaremos”.

A menudo, un objeto que no tiene alguna propiedad se denomina término con la partícula "no". Por ejemplo, un número entero que no es par se llama impar. Por lo tanto, es igualmente correcto decir “El número entero es impar” y “El número entero no es par”. Pero sin la estipulación de que el número sea un número entero, tenemos oraciones con significados diferentes. Por ejemplo, "El número 0,2 no es par" es verdadero, pero la frase "El número 0,2 es impar" es falsa.

Considere la frase " Función impar" Aquí tenemos término independiente y la palabra "impar" no se puede escribir ni pronunciar por separado, es decir, la oración "La función es impar" no es una negación de la oración "La función es par". De hecho, hay un ejemplo de una función en la que ambas oraciones son falsas. Por ejemplo, la función )t=x+ no es ni par ni impar (intenta explicar esto).

2. Signo de conjunción l. Expresión LlW lee: "A y B". A veces la conjunción se denota por &.

Significados de las oraciones ALV dependiendo de las propuestas que lo componen A y B definido por la tabla:

Entonces la propuesta ALV cierto sólo en un caso, cuando ambas oraciones A Y EN son verdaderas. En otros casos esta frase es falsa. Al formular una propuesta. ALV En lugar de la conjunción “y”, puedes utilizar otras conjunciones que tengan el mismo significado lógico de cumplir simultáneamente cada una de las oraciones: “a”, “pero”.

Ejemplo 1.3.1. Oración "Número" 111 no es divisible por 2, pero es divisible por 3" - simbólicamente puedes escribir 1 AlV, Dónde A= "111 es divisible por 2", B = " 111 es divisible por 3."

3. Signo de disyunción v. Expresiones AvB lee: "A o B."

Significados de las oraciones AvB definido por la tabla:

De la tabla se puede ver que la oferta "A o EN" cierto en aquellos casos en que al menos una de las oraciones A o EN verdadero, y en el caso de que ambas oraciones A Y EN falso, frase AvB toma un valor falso.

A veces por el contenido de las frases. A Y EN de ello se deduce que las oraciones no pueden ser simultáneamente verdaderas. En este caso, la oración se formula utilizando la conjunción “o”. Por ejemplo, la oración "Un número es positivo o negativo" también tiene la forma "A o EN", pero al mismo tiempo tiene tal implicación que es a la vez positivo y numero negativo no puede ser.

Las reglas formuladas anteriormente, aparentemente, no plantean ninguna pregunta. Pasemos al diagrama comentado al principio del párrafo “Si A, Eso EN".

4. Signo de implicación-Expresión A->B lee: “Si A, entonces B”. A veces se utiliza otro símbolo de flecha => para indicar este conectivo, así como un signo z>. Junto con la frase “Si A, Eso EN" otros similares usan: "B cuando A», “A sólo cuando B.”

Motivamos la definición de significados de oraciones. A->B. La principal dificultad que surge aquí es asignar un significado a la oración L-»# para aquellos casos en los que A FALSO. Para determinar inteligentemente los valores, recuerde lo anterior. frase correcta: “Si la mesa es de roble, entonces es de madera”. Aquí A= “Mesa de roble”, B ="Mesa de madera." Que la mesa sea de pino. Entonces A FALSO, EN verdadero. Que la mesa sea de hierro. Entonces A falso y EN FALSO. En ambos casos la oferta A es falsa, y la oración resultante “Si A, Eso EN" verdadero. Además, ambos casos son realmente posibles. Por supuesto, es posible que tengamos mesa de roble, Entonces aw b simultáneamente cierto. Aquí hay un ejemplo de una oración verdadera. A->B, Cuando A=u>B=l, no existe.

Así, los casos en los que A=u, B=yo, o A=l y B=i, o A=l, V=l, debe determinar una oración verdadera y sólo un caso, cuando

cual A=u, Vl, significa que la oferta A->B FALSO.

Entonces, en lógica matemática, los valores de la oración T vienen dados por la siguiente tabla:

A continuación, a lo largo de la frase “Si A, Eso EN" se entenderá de esta manera. Aquí tienes una sugerencia A llamado por paquete, o condición, A En conclusión.

Ejemplo 13.2. Los padres le prometieron a su hijo Petya: si se gradúa con éxito de la universidad, le comprarán un coche. Se sabe que el hijo no se graduó de la universidad, pero sus padres aun así le compraron un coche. ¿Se puede decir que lo que dijeron los padres fue mentira?

Para responder a la pregunta, considere las propuestas: A= “Mi hijo se gradúa de la universidad”, B ="Le están comprando un coche". Donde A=l, B=i. La promesa de los padres parece A^>B. Por definición, esta es una propuesta. valores dados A Y EN verdadero (tercera fila de la tabla). Por tanto, desde un punto de vista lógico, las palabras de los padres son correctas. Pero si su hijo se graduó de la universidad, pero no le compraron un auto, en este caso (y en ningún otro) la promesa no se cumpliría.

Ahora veamos otro conectivo lógico al que a menudo se refiere cuando se dicen las palabras "si, entonces". Por ejemplo, si en las condiciones del ejemplo 1.3.2 los padres asumieron que si su hijo Petya no se graduaba de la universidad, no le comprarían un automóvil, sería correcto decir: “El automóvil se comprará si y solo si Petya se gradúa en el instituto".

5. Signo de equivalencia o. Expresión Y dice: “Y si y sólo si B.” Son posibles otras formulaciones: “Y si y sólo si B», “A exactamente cuando B” etcétera.

Significados de las oraciones AB vienen dados por la tabla:

En los casos en que A Y EN aceptar mismos valores, oferta AB verdadero, en caso contrario la oración es falsa.

Es fácil ver que la frase "A entonces y sólo cuando EN" consta de dos frases: "A entonces cuando EN" Y "A sólo cuando EN". La primera frase está escrita. B->A, y el segundo A^>B. Estas dos oraciones son simultáneamente verdaderas en dos casos: A=u, B=u, y A=l, B=l.

Entonces, hemos definido cinco signos: l (conjunción), v (disyunción), -> (implicación), (equivalencia), 1 (negación), que se denominan

sembradoras lógicas. Estos signos permiten a partir de estas frases. A Y EN recibir nuevas ofertas. En este caso, el significado (verdadero o falso) de la nueva oración está determinado únicamente por los significados de las oraciones. A Y EN. La regla para obtener una nueva oración a partir de las oraciones originales se llama operación lógica. Así, cada uno de los conectivos lógicos determina operación lógica, que tiene el mismo nombre que el paquete correspondiente.

Las operaciones consideradas se pueden utilizar tanto para declaraciones como para predicados. Por ejemplo, combinando dos predicados unarios " Número,t más 3" y "Número X negativo" con un signo de disyunción, obtenemos un predicado de un solo lugar: "Número X más de 3 o negativo”. Lo único es que para conectar dos predicados con un conectivo lógico es necesario que alguno área general D objetos válidos que pueden sustituirse en estos predicados en lugar de variables.

Definamos dos conectivos lógicos más, llamados kwaitora.mi, que nos permiten obtener enunciados a partir de predicados unarios. El término "cuantificador" traducido del latín significa "cuánto". Por lo tanto, estos signos se utilizan para responder a la pregunta de cuántos objetos satisfacen la proposición. Y- todos o al menos uno.

Tomemos un predicado arbitrario y seleccionemos una variable de la que dependa su valor. vamos a denotarlo Oh).

6. Cuantificador general v. Esta señal derivado de palabra inglesa UN y es una abreviatura de las siguientes palabras: “peso”, “cada”, “cualquiera”, “cualquiera”.

La expresión Vj&4(y) significa que el predicado Oh) ejecutado para todos los objetos válidos X. Dice: “Para todo X y de X”.

7. Cuantificador existencial 3. Este signo proviene de la palabra inglesa. Existir y es una abreviatura de las siguientes palabras: “existe”, “habrá”, “al menos uno”, “algunos”.

La expresión 3x4(*) significa que el predicado Oh) se ejecuta para al menos uno de los objetos válidos.v. Dice: "Hay x y de x".

Ejemplo 1.3.3. deja que la variable X denota un estudiante universitario. Consideremos la propuesta. Oh)= “Estudiante l: tiene auto”. Entonces VxA(x) Significa que todos los estudiantes universitarios tienen un coche. Esta es una declaración falsa. Oferta EhA(x) Significa que algunos estudiantes tienen un automóvil, lo cual es una afirmación verdadera.

Así, inicialmente teníamos un predicado cuyo valor dependía del valor de la variable dg. Luego de realizar las operaciones se obtuvieron declaraciones cuyos valores ya no dependen de la variable X.

Que haya una fórmula L(x), que contiene una variable libre X. Entonces la afirmación de que la fórmula Oh) es idénticamente cierto, podemos escribirlo brevemente como Vj&4(jc).

La operación de obtener una oración usando cuantificadores se llama cuantificación. Al usar expresiones UhA(x) y 3 xA(x) diga también: “Se ha añadido un cuantificador a la variable x” o "La variable x está conectada por un cuantificador".

Tenga en cuenta que las operaciones de cuantificación son aplicables no sólo a predicados de un solo lugar. Si se da un predicado de dos lugares A(hu), luego puedes conectar la variable l - un cuantificador y formar una oración /xA(xy), cuya verdad dependerá de una sola variable y, y tendremos un predicado de un solo lugar. En esta entrada la variable X llamado asociado con un cuantificador y la variable y - gratis. En el caso general, al aplicar una operación cuantificadora a cualquiera de las variables de un predicado de /7 lugares, terminamos con un predicado de (n-1) lugar.

Los cuantificadores se pueden utilizar para vincular cualquier número de variables. Si tenemos un predicado de dos lugares A(hu), entonces formalmente puedes obtener 8 declaraciones.

vinculando cada variable con algún cuantificador: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /уЭхА(xy), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Algunas oraciones tienen el mismo significado, por ejemplo la primera y la segunda (predicado A debe ser cierto para cualquier valor de * e y), así como para el séptimo y el octavo. Las expresiones restantes generalmente dan afirmaciones de verdad diferente.

Ejemplo 1.3.4. Que solo haya dos niños en la clase: Petya y Kolya. Para decisión independiente Se dieron tres problemas, designémoslos con los números 1, 2, 3. Petya resolvió los problemas 1 y 2, y Kolya resolvió un problema con el número 3. Introduzcamos el predicado A(hu), lo que significa que el niño * resolvió el problema Ud. Aquí la variable X denota el nombre del niño y la variable en- número de tarea. Considere las siguientes declaraciones.

Vx3yA(xy)= “Cada niño resolvió al menos un problema” - declaración verdadera, ya que Petya resolvió dos problemas y Kolya resolvió al menos uno.

• 3_yVx4(.*,y) = “Hay un problema que todos los niños de la clase resolvieron” - falso, ya que no existe tal problema (solo Petya resolvió el primer y segundo problema, y ​​solo Kolya resolvió el tercero).
• 3xVyA(x,y) = “Al menos un niño resolvió todos los problemas” es una afirmación falsa.

V_yEx,4(;c,y) = “Cada problema fue resuelto por al menos un estudiante” - verdadero, entonces el problema número 1 lo resolvió Petya, el problema número 2 también lo resolvió Petya y el problema 3 lo resolvió Kolya.

Del ejemplo considerado podemos concluir: el orden en que se escriben los cuantificadores afecta el significado lógico de la oración. Por lo tanto, la formulación clara de la oración debe presuponer sin ambigüedades el orden en que ocurren los cuantificadores de generalidad y existencia.

Ejercicio. Analice por su cuenta el significado de las afirmaciones del Ejemplo 1.3.4, suponiendo que Petya resolvió los problemas numerados 2 y 3.

En general, del predicado Oh) puedes obtener dos declaraciones - /xA(x) y 3x4(x). Sin embargo, la fórmula escrita muy a menudo Oh) se entiende precisamente como el enunciado Vx4(.x), aunque se omite el cuantificador general al escribirlo o formularlo. Por ejemplo, al escribir d- 2 >0, quieren decir que el cuadrado de cualquier Número Real no negativo. Entrada completa La declaración es: Ulg(dg?0). Registro (4x + 6y):2, Dónde*, y - números enteros, supone que la suma especificada siempre es divisible por 2, es decir, par. Para enfatizar esto, deberíamos escribir V*Vy((4.x + 6jy):2).

Definido en los dos últimos párrafos. signos matemáticos y los signos de los conectivos lógicos constituyen el alfabeto del lenguaje matemático.

Una proposición compleja es aquella que contiene conectivos lógicos y consta de varias proposiciones simples.

En lo que sigue consideraremos los juicios simples como ciertos. átomos indivisibles, como elementos de cuya combinación surgen estructuras complejas. Denotaremos proposiciones simples con letras latinas separadas: a, b, c, d, ... Cada una de estas letras representa una determinada proposición simple. ¿Dónde puedes ver esto? Tomando un descanso del complejo estructura interna un juicio simple, por su cantidad y calidad, olvidando que tiene sujeto y predicado, conservamos sólo una propiedad de un juicio: que puede ser verdadero o falso. Todo lo demás no nos interesa aquí. Y cuando decimos que la letra “a” representa una proposición, y no un concepto, no un número, no una función, queremos decir sólo una cosa: que “a” representa verdad o falsedad. Si por "a" nos referimos a la proposición "Los canguros viven en Australia", nos referimos a la verdad; si por "a" nos referimos a la proposición "Los canguros viven en Siberia", queremos decir una mentira. Así, nuestras letras "a", "b", "c", etc. – estas son variables que pueden ser reemplazadas por verdadero o falso.

Los conectivos lógicos son análogos formales de las conjunciones en nuestro lenguaje natural nativo. Cómo oraciones complejas se construyen a partir de simples con la ayuda de las conjunciones "sin embargo", "desde", "o", etc., y los juicios complejos se forman a partir de simples con la ayuda de conectivos lógicos. Aquí sentimos una conexión mucho mayor entre el pensamiento y el lenguaje, por lo que en lo que sigue, en lugar de la palabra "juicio", que denota pensamiento puro, usaremos a menudo la palabra "declaración", que denota pensamiento en su expresión lingüística. Entonces, familiaricémonos con los conectores lógicos más utilizados.

Negación. En lenguaje natural corresponde a la expresión “No es cierto que…”. La negación suele indicarse mediante el signo “¬” colocado antes de la letra que representa alguna proposición: “¬a” dice “No es cierto que a”. Ejemplo: “No es cierto que la Tierra sea una esfera”.

Debes prestar atención a una circunstancia sutil. Arriba hablamos de juicios negativos simples. ¿Cómo distinguirlos de los juicios complejos con negación? La lógica distingue dos tipos de negación: interna y externa. Cuando la negación está dentro de una proposición simple antes del conectivo “es”, entonces en este caso estamos ante una proposición negativa simple, por ejemplo: “La tierra no es una esfera”. si la negación externamente se adjunta a un juicio, por ejemplo: “No es cierto que la Tierra es una bola”, entonces tal negación se considera como un conectivo lógico que transforma un juicio simple en uno complejo.

Conjunción. En el lenguaje natural, este conectivo corresponde a las conjunciones “y”, “a”, “pero”, “sin embargo”, etc. La mayoría de las veces, una conjunción se indica con el símbolo "&". Ahora bien, este icono se encuentra a menudo en los nombres de varias empresas y empresas. Una proposición con tal conectivo se llama conjuntiva, o simplemente conjunción, y tiene este aspecto:

a y b. Ejemplo: “La canasta del abuelo contenía boletus y boletus”. Este juicio complejo es una conjunción de dos proposiciones simples: “Había boletus en la canasta de mi abuelo” y “Había boletus en la canasta de mi abuelo”.

Disyunción. En lenguaje natural, este conectivo corresponde a la conjunción “o”. Generalmente se indica con una "v". Un juicio con tal conectivo se llama disyuntivo, o simplemente disyunción, y se ve así: a v b.

La conjunción “o” en lenguaje natural se utiliza en dos diferentes significados: flojo “o” – cuando los miembros de la disyunción no se excluyen entre sí, es decir puede ser simultáneamente verdadero y estricto "o" (a menudo reemplazado por un par de conjunciones "o... o...") - cuando los miembros de la disyunción se excluyen entre sí. De acuerdo con esto, se distinguen dos tipos de disyunción: estricta y no estricta.

Implicación. En lenguaje natural corresponde a la conjunción “si… entonces”. Está indicado por el signo “->”. Una proposición con tal conectivo se llama implicativa, o simplemente implicación, y tiene este aspecto: a -> b. Ejemplo: “Si un conductor pasa electricidad, entonces el conductor se calienta”. El primer miembro de la implicación se llama antecedente o base; el segundo es un consecuente o consecuencia. En el lenguaje cotidiano, la conjunción "si... entonces" generalmente conecta oraciones que expresan la relación causa-efecto de los fenómenos, donde la primera oración fija la causa y la segunda el efecto. De ahí los nombres de los integrantes de la implicación.

Representar declaraciones en lenguaje natural en forma simbólica utilizando las notaciones anteriores significa su formalización, lo que en muchos casos resulta útil.

4) Una hermosa isla se encontraba en el cálido océano. Y todo estaría bien, pero los extraños se acostumbraron a establecerse en esta isla. Vienen y vienen de todas partes del mundo, y los indígenas han empezado a ser exprimidos. Para impedir la invasión de extranjeros, el gobernante de la isla emitió un decreto: “Todo visitante que quiera establecerse en nuestra bendita isla está obligado a hacer algún juicio. Si la sentencia resulta ser cierta, se debe fusilar al extraño; si la sentencia resulta falsa, deberá ser ahorcado”. Si tienes miedo, ¡cállate y regresa!

La pregunta es: ¿qué juicio se debe tomar para seguir con vida y establecerse en la isla?