Definiciones básicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos y definiciones de ecuaciones diferenciales.

Ecuación diferencial ordinaria Es una ecuación que relaciona una variable independiente, una función desconocida de esta variable y sus derivadas (o diferenciales) de varios órdenes.

El orden de la ecuación diferencial. se llama orden de la derivada más alta contenida en él.

Además de las ordinarias, también se estudian las ecuaciones diferenciales parciales. Son ecuaciones que relacionan variables independientes, una función desconocida de estas variables y sus derivadas parciales con respecto a las mismas variables. Pero sólo consideraremos ecuaciones diferenciales ordinarias y por lo tanto, en aras de la brevedad, omitiremos la palabra “ordinario”.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

La ecuación (1) es de cuarto orden, la ecuación (2) es de tercer orden, las ecuaciones (3) y (4) son de segundo orden, la ecuación (5) es de primer orden.

Ecuación diferencial norte El orden no necesariamente tiene que contener una función explícita, todas sus derivadas desde la primera hasta la norte-ésimo orden y variable independiente. No puede contener derivadas explícitas de ciertos órdenes, una función o una variable independiente.

Por ejemplo, en la ecuación (1) claramente no hay derivadas de tercer y segundo orden, ni tampoco una función; en la ecuación (2) - la derivada de segundo orden y la función; en la ecuación (4) - la variable independiente; en la ecuación (5) - funciones. Sólo la ecuación (3) contiene explícitamente todas las derivadas, la función y la variable independiente.

Resolver una ecuación diferencial cada función se llama y = f(x), cuando se sustituye en la ecuación se convierte en una identidad.

El proceso de encontrar una solución a una ecuación diferencial se llama integración.

Ejemplo 1. Encuentra la solución a la ecuación diferencial.

Solución. Escribamos esta ecuación en la forma. La solución es encontrar la función a partir de su derivada. La función original, como se sabe en el cálculo integral, es una antiderivada de, es decir,

Eso es lo que es solución a esta ecuación diferencial . cambiando en ello C, recibiremos varias soluciones. descubrimos que hay conjunto infinito soluciones de una ecuación diferencial de primer orden.

Solución general de la ecuación diferencial. norte El orden es su solución, expresada explícitamente con respecto a la función desconocida y que contiene norte constantes arbitrarias independientes, es decir

La solución de la ecuación diferencial del ejemplo 1 es general.

Solución parcial de la ecuación diferencial. Se llama una solución en la que a constantes arbitrarias se les dan valores numéricos específicos.

Ejemplo 2. Encontrar decisión común ecuación diferencial y una solución particular para .

Solución. Integramos ambos lados de la ecuación un número de veces igual al orden de la ecuación diferencial.

,

.

Como resultado, recibimos una solución general:

de una ecuación diferencial de tercer orden dada.

Ahora busquemos una solución particular para condiciones especificadas. Para hacer esto, sustituya sus valores en lugar de coeficientes arbitrarios y obtenga

.

Si, además de la ecuación diferencial, condición inicial en la forma, entonces tal problema se llama problema de cauchy . Sustituye los valores y en la solución general de la ecuación y encuentra el valor de una constante arbitraria. C, y luego una solución particular de la ecuación para el valor encontrado C. Ésta es la solución al problema de Cauchy.

Ejemplo 3. Resuelva el problema de Cauchy para la ecuación diferencial del Ejemplo 1 sujeto a.

Solución. Sustituyamos los valores de la condición inicial en la solución general. y = 3, X= 1. Obtenemos

Anotamos la solución al problema de Cauchy para esta ecuación diferencial de primer orden:

Resolver ecuaciones diferenciales, incluso las más simples, requiere buenas habilidades de integración y derivación, incluidas funciones complejas. Esto se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

Solución. La ecuación está escrita de tal forma que puedas integrar ambos lados inmediatamente.

.

Aplicamos el método de integración por cambio de variable (sustitución). Que así sea entonces.

Requerido para tomar dx y ahora - atención - hacemos esto de acuerdo con las reglas de diferenciación de una función compleja, ya que X y ahí está función compleja("manzana" - extracción raíz cuadrada o, lo que es lo mismo, elevar a la potencia "la mitad" y "carne picada" es la expresión misma debajo de la raíz):

Hallamos la integral:

Volviendo a la variable X, obtenemos:

.

Esta es la solución general a esta ecuación diferencial de primer grado.

No solo las habilidades de las secciones anteriores Matemáticas avanzadas Se requerirán habilidades para resolver ecuaciones diferenciales, pero también habilidades elementales, es decir. matematicas escolares. Como ya se mencionó, en una ecuación diferencial de cualquier orden puede no haber una variable independiente, es decir, una variable X. El conocimiento sobre las proporciones de la escuela que no se ha olvidado (sin embargo, dependiendo de quién) de la escuela ayudará a resolver este problema. Este es el siguiente ejemplo.

Este artículo es un punto de partida en el estudio de la teoría de ecuaciones diferenciales. Aquí están las definiciones y conceptos básicos que aparecerán constantemente en el texto. Para una mejor asimilación y comprensión, las definiciones se proporcionan con ejemplos.

Ecuación diferencial (DE) es una ecuación que no incluye función conocida bajo el signo derivativo o diferencial.

Si la función desconocida es función de una variable, entonces la ecuación diferencial se llama común(EDO abreviada - ecuación diferencial ordinaria). Si la función desconocida es función de muchas variables, entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial parcial.

El orden máximo de la derivada de una función desconocida incluida en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación diferencial.

A continuación se muestran ejemplos de EDO de primer, segundo y quinto orden, respectivamente.

Como ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, damos

Además, consideraremos solo ecuaciones diferenciales ordinarias de enésimo orden de la forma o , donde Ф(x, y) = 0 es una función desconocida especificada implícitamente (cuando sea posible, la escribiremos en representación explícita y = f(x)).

El proceso de encontrar soluciones a una ecuación diferencial se llama integrando la ecuación diferencial.

Resolver una ecuación diferencial- está implícito función dadaФ(x, y) = 0 (en algunos casos la función y se puede expresar explícitamente mediante el argumento x), lo que convierte la ecuación diferencial en una identidad.

NOTA.

La solución de una ecuación diferencial siempre se busca en un intervalo predeterminado X.

¿Por qué hablamos de esto por separado? Sí, porque en muchos problemas no se menciona el intervalo X. Es decir, normalmente la condición de los problemas se formula de la siguiente manera: “encontrar una solución a la ecuación diferencial ordinaria " En este caso, se implica que se debe buscar la solución para todo x para el cual tanto la función deseada y como la ecuación original tienen sentido.

La solución de una ecuación diferencial a menudo se llama integral de la ecuación diferencial.

Funciones o se puede llamar solución de una ecuación diferencial.

Una de las soluciones de la ecuación diferencial es la función. De hecho, sustituyendo esta función en la ecuación original, obtenemos la identidad . Es fácil ver que otra solución a esta EDO es, por ejemplo, . Por tanto, las ecuaciones diferenciales pueden tener muchas soluciones.

Solución general de una ecuación diferencial. es un conjunto de soluciones que contiene todas, sin excepción, las soluciones de esta ecuación diferencial.

La solución general de una ecuación diferencial también se llama integral general de la ecuación diferencial.

Volvamos al ejemplo. La solución general de la ecuación diferencial tiene la forma o, donde C es una constante arbitraria. Arriba indicamos dos soluciones a esta EDO, que se obtienen de integral general ecuación diferencial al sustituir C = 0 y C = 1, respectivamente.

Si la solución de la ecuación diferencial satisface el requisito inicialmente especificado. condiciones adicionales, entonces se llama solución parcial de la ecuación diferencial.

Una solución parcial de la ecuación diferencial que satisface la condición y(1)=1 es. En realidad, Y .

Los principales problemas de la teoría de ecuaciones diferenciales son los problemas de Cauchy, problemas de valores límite y el problema de encontrar una solución general a una ecuación diferencial en cualquier intervalo X dado.

problema de cauchy es el problema de encontrar una solución particular a una ecuación diferencial que satisfaga la condición dada condiciones iniciales, donde están los números.

Problema de valor límite es el problema de encontrar una solución particular a una ecuación diferencial de segundo orden que satisfaga condiciones adicionales en los puntos límite x 0 y x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, donde f 0 y f 1 reciben números.

El problema del valor límite a menudo se llama problema de límites.

Una ecuación diferencial ordinaria de enésimo orden se llama lineal, si tiene la forma , y los coeficientes son funciones continuas del argumento x en el intervalo de integración.

I. Ecuaciones diferenciales ordinarias

1.1. Conceptos básicos y definiciones.

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una variable independiente X, la función requerida y y sus derivados o diferenciales.

Simbólicamente, la ecuación diferencial se escribe de la siguiente manera:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Una ecuación diferencial se llama ordinaria si la función requerida depende de una variable independiente.

Resolver una ecuación diferencial se llama función que convierte esta ecuación en una identidad.

El orden de la ecuación diferencial. es el orden de la derivada más alta incluida en esta ecuación

Ejemplos.

1. Considere una ecuación diferencial de primer orden.

La solución a esta ecuación es la función y = 5 ln x. De hecho, sustituyendo y" en la ecuación, obtenemos la identidad.

Y esto significa que la función y = 5 ln x– es una solución a esta ecuación diferencial.

2. Considere la ecuación diferencial de segundo orden. y" - 5y" +6y = 0. La función es la solución de esta ecuación.

En realidad, .

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación, obtenemos: , – identidad.

Y esto significa que la función es la solución de esta ecuación diferencial.

Integrando ecuaciones diferenciales es el proceso de encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales.

Solución general de la ecuación diferencial. llamada función de la forma , que incluye tantas constantes arbitrarias independientes como el orden de la ecuación.

Solución parcial de la ecuación diferencial. es una solución obtenida a partir de una solución general para varios valores numéricos de constantes arbitrarias. Los valores de constantes arbitrarias se encuentran en ciertos valores iniciales del argumento y la función.

La gráfica de una solución particular de una ecuación diferencial se llama curva integral.

Ejemplos

1. Encuentre una solución particular a una ecuación diferencial de primer orden.

xdx + ydy = 0, Si y= 4 en X = 3.

Solución. Integrando ambos lados de la ecuación, obtenemos

Comentario. Una constante arbitraria C obtenida como resultado de la integración se puede representar en cualquier forma conveniente para transformaciones posteriores. En este caso, teniendo en cuenta la ecuación canónica de un círculo, conviene representar una constante arbitraria C en la forma .

- solución general de la ecuación diferencial.

Solución particular de la ecuación que satisface las condiciones iniciales. y = 4 en X = 3 se encuentra a partir de lo general sustituyendo las condiciones iniciales en la solución general: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Sustituyendo C=5 en la solución general, obtenemos x 2 + y 2 = 5 2 .

Ésta es una solución particular de una ecuación diferencial obtenida a partir de una solución general en condiciones iniciales dadas.

2. Encuentra la solución general de la ecuación diferencial.

La solución a esta ecuación es cualquier función de la forma , donde C es una constante arbitraria. De hecho, sustituyendo en las ecuaciones obtenemos: , .

En consecuencia, esta ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones, ya que para diferentes valores de la constante C, la igualdad determina diferentes soluciones de la ecuación.

Por ejemplo, mediante sustitución directa puedes verificar que las funciones son soluciones de la ecuación.

Un problema en el que necesitas encontrar una solución particular a la ecuación. y" = f(x,y) satisfaciendo la condición inicial y(x 0) = y 0, se llama problema de Cauchy.

Resolviendo la ecuación y" = f(x,y), satisfaciendo la condición inicial, y(x 0) = y 0, se llama una solución al problema de Cauchy.

La solución al problema de Cauchy tiene un significado geométrico simple. De hecho, según estas definiciones, resolver el problema de Cauchy y" = f(x,y) dado que y(x 0) = y 0, significa encontrar la curva integral de la ecuación y" = f(x,y) que pasa por Punto dado M 0 (x 0,y 0).

II. Ecuaciones diferenciales primer orden

2.1. Conceptos básicos

Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma F(x,y,y") = 0.

Una ecuación diferencial de primer orden incluye la primera derivada y no incluye derivadas de orden superior.

La ecuacion y" = f(x,y) se llama ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada.

La solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una función de la forma , que contiene una constante arbitraria.

Ejemplo. Considere una ecuación diferencial de primer orden.

La solución de esta ecuación es la función.

De hecho, reemplazando esta ecuación con su valor, obtenemos

eso es 3x=3x

Por tanto, la función es una solución general de la ecuación para cualquier constante C.

Encuentre una solución particular a esta ecuación que satisfaga la condición inicial. y(1)=1 Sustituyendo las condiciones iniciales x = 1, y = 1 en la solución general de la ecuación, obtenemos de donde c=0.

Así, obtenemos una solución particular a partir de la general sustituyendo en esta ecuación el valor resultante c=0– solución privada.

2.2. Ecuaciones diferenciales con variables separables

Una ecuación diferencial con variables separables es una ecuación de la forma: y"=f(x)g(y) o mediante diferenciales, donde f(x) Y g(y)– funciones especificadas.

Para esos y, para lo cual , la ecuación y"=f(x)g(y) es equivalente a la ecuación, en el que la variable y está presente solo en el lado izquierdo y la variable x está solo en el lado derecho. Dicen, "en la Ec. y"=f(x)g(y Separemos las variables."

Ecuación de la forma llamada ecuación variable separada.

Integrando ambos lados de la ecuación Por X, obtenemos G(y) = F(x) + C es la solución general de la ecuación, donde G(y) Y F(x)– algunas primitivas, respectivamente, de funciones y f(x), C Constante arbitraria.

Algoritmo para resolver una ecuación diferencial de primer orden con variables separables

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación y" = xy

Solución. Derivada de una función y" reemplazarlo con

separemos las variables

Integramos ambos lados de la igualdad:

Ejemplo 2

2aa" = 1- 3x 2, Si y 0 = 3 en x0 = 1

Esta es una ecuación de variables separadas. Imaginemoslo en diferenciales. Para hacer esto, reescribimos esta ecuación en la forma De aquí

Integrando ambos lados de la última igualdad, encontramos

Sustituyendo valores iniciales x 0 = 1, y 0 = 3 lo encontraremos CON 9=1-1+C, es decir. C = 9.

Por lo tanto, la integral parcial requerida será o

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para una curva que pasa por un punto. M(2;-3) y tener una tangente con un coeficiente angular

Solución. Según la condición

Esta es una ecuación con variables separables. Dividiendo las variables obtenemos:

Integrando ambos lados de la ecuación, obtenemos:

Usando las condiciones iniciales, x = 2 Y y = - 3 lo encontraremos C:

Por lo tanto, la ecuación requerida tiene la forma

2.3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma y" = f(x)y + g(x)

Dónde f(x) Y gramo(x)- algunas funciones específicas.

Si g(x)=0 entonces la ecuación diferencial lineal se llama homogénea y tiene la forma: y" = f(x)y

Si entonces la ecuación y" = f(x)y + g(x) se llama heterogéneo.

Solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea. y" = f(x)y viene dada por la fórmula: donde CON- Constante arbitraria.

En particular, si C = 0, entonces la solución es y = 0 Si es lineal ecuación homogénea parece y" = ky Dónde k es alguna constante, entonces su solución general tiene la forma: .

Solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea. y" = f(x)y + g(x) viene dada por la fórmula ,

aquellos. es igual a la suma de la solución general de la correspondiente ecuación lineal homogénea y la solución particular de esta ecuación.

Para lineal ecuación no homogénea amable y" = kx + b,

Dónde k Y b- algunos números y una solución particular serán una función constante. Por tanto, la solución general tiene la forma.

Ejemplo. Resuelve la ecuación y" + 2y +3 = 0

Solución. Representemos la ecuación en la forma. y" = -2y - 3 Dónde k = -2, segundo = -3 La solución general viene dada por la fórmula.

Por tanto, donde C es una constante arbitraria.

2.4. Resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de Bernoulli.

Encontrar una solución general a una ecuación diferencial lineal de primer orden y" = f(x)y + g(x) se reduce a resolver dos ecuaciones diferenciales con variables separadas mediante sustitución y=uv, Dónde tu Y v- funciones desconocidas de X. Este método de solución se llama método de Bernoulli.

Algoritmo para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden

y" = f(x)y + g(x)

1. Ingrese la sustitución y=uv.

2. Diferenciar esta igualdad y" = u"v + uv"

3. Sustituto y Y y" en esta ecuación: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) o u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Agrupa los términos de la ecuación de modo que tu sácalo de paréntesis:

5. Desde el paréntesis, equiparándolo a cero, encuentra la función.

Esta es una ecuación separable:

Dividamos las variables y obtengamos:

Dónde . .

6. Sustituir el valor resultante. v en la ecuación (del paso 4):

y encuentra la función. Esta es una ecuación con variables separables:

7. Escribe la solución general en la forma: , es decir. .

Ejemplo 1

Encuentra una solución particular a la ecuación. y" = -2y +3 = 0 Si y=1 en x = 0

Solución. Resolvámoslo usando sustitución. y=uv,.y" = u"v + uv"

Sustituyendo y Y y" en esta ecuación, obtenemos

Al agrupar el segundo y tercer término en el lado izquierdo de la ecuación, sacamos el factor común tu fuera de paréntesis

Igualamos la expresión entre paréntesis a cero y, resolviendo la ecuación resultante, encontramos la función v = v(x)

Obtenemos una ecuación con variables separadas. Integramos ambos lados de esta ecuación: Encuentra la función v:

Sustituyamos el valor resultante. v en la ecuación obtenemos:

Esta es una ecuación de variables separadas. Integramos ambos lados de la ecuación: Encontremos la función tu = tu(x,c) Encontremos una solución general: Encontremos una solución particular a la ecuación que satisfaga las condiciones iniciales. y = 1 en x = 0:

III. Ecuaciones diferenciales de orden superior

3.1. Conceptos básicos y definiciones.

Una ecuación diferencial de segundo orden es una ecuación que contiene derivadas de no más de segundo orden. En el caso general, una ecuación diferencial de segundo orden se escribe como: F(x,y,y",y") = 0

La solución general de una ecuación diferencial de segundo orden es una función de la forma , que incluye dos constantes arbitrarias C 1 Y C 2.

Una solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden es una solución obtenida a partir de una solución general para ciertos valores de constantes arbitrarias. C 1 Y C 2.

3.2. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes llamada ecuación de la forma y" + py" +qy = 0, Dónde pag Y q- valores constantes.

Algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

1. Escribe la ecuación diferencial en la forma: y" + py" +qy = 0.

2. Crea su ecuación característica, denotando y" a través de r 2, y" a través de r, y En 1: r 2 + pr + q = 0

Ecuación diferencial es una ecuación que conecta la variable independiente x, la función deseada y=f(x) y sus derivadas y",y"",\ldots,y^((n)), es decir, una ecuación de la forma

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

Si la función deseada y=y(x) es función de una variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ordinaria; Por ejemplo,

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3 ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Cuando la función deseada y es una función de dos o más variables independientes, por ejemplo, si y=y(x,t), entonces la ecuación tiene la forma

F\!\left(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ frac(\partial^m(y))(\partial(x^k)\partial(t^l))\right)=0

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (t))=\frac(\partial^2y)(\partial(x^2)).

El orden de la ecuación diferencial. es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Por ejemplo, la ecuación diferencial y"+xy=e^x es una ecuación de primer orden, la ecuación diferencial y""+p(x)y=0, donde p(x) es una función conocida, es una ecuación de segundo orden. ecuación de orden; la ecuación diferencial y^( (9))-xy""=x^2 - ecuación de noveno orden.

Resolver una ecuación diferencial Enésimo orden en el intervalo (a,b) es una función y=\varphi(x) definida en el intervalo (a,b) junto con sus derivadas hasta el enésimo orden inclusive, y tal que la sustitución de la función y=\ varphi (x) en una ecuación diferencial convierte a esta última en una identidad en x en (a,b). Por ejemplo, la función y=\sin(x)+\cos(x) es una solución de la ecuación y""+y=0 en el intervalo (-\infty,+\infty) . De hecho, derivando la función dos veces, tendremos

Y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).

Sustituyendo las expresiones y"" e y en la ecuación diferencial, obtenemos la identidad

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

La gráfica de la solución de una ecuación diferencial se llama curva integral esta ecuación.

Forma general de una ecuación de primer orden.

F(x,y,y")=0.

Si la ecuación (1) se puede resolver con respecto a y", entonces obtenemos ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada.

Y"=f(x,y).

El problema de Cauchy es el problema de encontrar una solución y=y(x) a la ecuación y"=f(x,y) que satisfaga la condición inicial y(x_0)=y_0 (otra notación y|_(x=x_0)= y_0).

Geométricamente, esto significa que estamos buscando una curva integral que pase por un punto dado.
punto M_0(x_0,y_0) del plano xOy (Fig. 1).

Teorema de existencia y unicidad para una solución al problema de Cauchy

Sea la ecuación diferencial y"=f(x,y), donde la función f(x,y) está definida en alguna región D del plano xOy que contiene el punto (x_0,y_0). Si la función f(x ,y) satisface las condiciones

a) f(x,y) es función continua dos variables xey en la región D;

b) f(x,y) tiene una derivada parcial limitada en el dominio D, entonces existe un intervalo (x_0-h,x_0+h) en el que existe única decisión y=\varphi(x) de esta ecuación, satisfaciendo la condición y(x_0)=y_0.

El teorema da condiciones suficientes existencia de una solución única al problema de Cauchy para la ecuación y"=f(x,y) , pero estas condiciones no son necesario. Es decir, puede haber una solución única a la ecuación y"=f(x,y) que satisfaga la condición y(x_0)=y_0, aunque en el punto (x_0,y_0) las condiciones a) o b) o ambas no se cumplen. satisfecho.

Veamos ejemplos.

1. y"=\frac(1)(y^2) . Aquí f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). En los puntos (x_0,0) del eje Ox no se cumplen las condiciones a) y b) (función f(x,y) y su derivada parcial \frac(\partial(f))(\partial(y)) son discontinuas en el eje Ox y ilimitadas en y\to0 ), pero por cada punto del eje Ox pasa una única curva integral y=\sqrt(3(x-x_0)) (Fig. 2).

2. y"=xy+e^(-y) . parte derecha ecuación f(x,y)=xy+e^(-y) y su derivada parcial \frac(\partial(f))(\partial(y))=x-e^(-y) continua en xey en todos los puntos del plano xOy. En virtud del teorema de existencia y unicidad, la región en la que una ecuación dada tiene una solución única
es todo el plano xOy.

3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). Lado derecho de la ecuación f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2) definido y continuo en todos los puntos del plano xOy. Derivada parcial \frac(\partial(f))(\partial(y))=\frac(1)(\sqrt(y)) va al infinito en y=0, es decir en el eje Ox, de modo que en y=0 se viola la condición b) del teorema de existencia y unicidad. En consecuencia, en los puntos del eje Ox, se puede violar la unicidad. Es fácil verificar que la función es una solución de esta ecuación. Además, la ecuación tiene una solución obvia y\equiv0. Por lo tanto, al menos dos líneas integrales pasan por cada punto del eje Ox y, por lo tanto, la unicidad se viola en los puntos de este eje (Fig. 3).

Las rectas integrales de esta ecuación también serán rectas compuestas por trozos de parábolas cúbicas. y=\frac((x+c)^3)(8) y segmentos del eje Ox, por ejemplo, ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x, etc., de modo que por cada punto del eje Ox pasen una infinidad de rectas integrales.

condición de lipschitz

Comentario. Condición para que la derivada esté acotada \parcial(f)/\parcial(y), que aparece en el teorema de existencia y unicidad de la solución al problema de Cauchy, puede ser algo debilitado y reemplazado por el llamado condición de lipschitz.

Se dice que una función f(x,y) definida en algún dominio D satisface la condición de Lipschitz para y en D si existe dicha constante L ( constante de lipschitz) que para cualquier y_1,y_2 de D y cualquier x de D se cumple la siguiente desigualdad:

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Existencia de una derivada acotada en la región D \frac(\partial(f))(\partial(y)) es suficiente que la función f(x,y) satisfaga la condición de Lipschitz en D. Por el contrario, la condición de Lipschitz no implica la condición de acotación \frac(\partial(f))(\partial(y)); Es posible que este último ni siquiera exista. Por ejemplo, para la ecuación y"=2|y|\cos(x) la función f(x,y)=2|y|\cos(x) no diferenciable con respecto a y en el punto (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z), pero la condición de Lipschitz se cumple en las proximidades de este punto. En efecto,

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

porque el |\cos(x)|\leqslant1, A ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. Por tanto, la condición de Lipschitz se satisface con la constante L=2.

Teorema. Si la función f(x,y) es continua y satisface la condición de Lipschitz para y en el dominio D, entonces el problema de Cauchy

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).

La condición de Lipschitz es esencial para la unicidad de la solución al problema de Cauchy. Como ejemplo, considere la ecuación

\frac(dy)(dx)=\begin(cases)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(casos)

Es fácil ver que la función f(x,y) es continua; Por otro lado,

F(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

Si y=\alfa x^2,~Y=\beta x^2, Eso

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta ^2))|Y-y|,

Esta ecuación diferencial se puede resolver y=C^2-\sqrt(x^4+C^4), donde C es una constante arbitraria. Esto muestra que hay un número infinito de soluciones que satisfacen la condición inicial y(0)=0.

solución general la ecuación diferencial (2) se llama función

Y=\varphi(x,C),

1) satisface la ecuación (2) para cualquier valores aceptables C constante;

2) cualquiera que sea la condición inicial

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

decisión privada la ecuación diferencial (2) es la solución obtenida a partir de la solución general (3) para un cierto valor de una constante arbitraria C.

Ejemplo 1. Verifique que la función y=x+C es una solución general de la ecuación diferencial y"=1 y encuentre una solución particular que satisfaga la condición inicial y|_(x=0)=0. Dé una interpretación geométrica de el resultado.

Solución. La función y=x+C satisface esta ecuación para cualquier valor de una constante arbitraria C. De hecho, y"=(x+C)"=1.

Establezcamos una condición inicial arbitraria y|_(x=x_0)=y_0. Poniendo x=x_0 e y=y_0 en la igualdad y=x+C, encontramos que C=y_0-x_0. Sustituyendo este valor de C en esta función, tendremos y=x+y_0-x_0 . Esta función satisface la condición inicial dada: poniendo x=x_0, obtenemos y=x_0+y_0-x_0=y_0. Entonces, la función y=x+C es una solución general de esta ecuación.

En particular, suponiendo x_0=0 y y_0=0, obtenemos una solución particular y=x.

La solución general de esta ecuación, es decir la función y=x+C define en el plano xOy una familia de rectas paralelas con pendiente k=1. Por cada punto M_0(x_0,y_0) del plano xOy pasa una única recta integral y=x+y_0-x_0. La solución particular y=x determina una de las curvas integrales, es decir, la línea recta que pasa por el origen (Fig. 4).

Ejemplo 2. Compruebe que la función y=Ce^x es una solución general de la ecuación y"-y=0 y encuentre una solución particular que satisfaga la condición inicial y|_(x=1)=-1. .

Solución. Tenemos y=Ce^x,~y"=Ce^x. Sustituyendo las expresiones y e y" en esta ecuación, obtenemos Ce^x-Ce^x\equiv0, es decir, la función y=Ce^x satisface esta ecuación para cualquier valor de la constante C.

Establezcamos una condición inicial arbitraria y|_(x=x_0)=y_0. Sustituyendo x_0 e y_0 en lugar de x e y en la función y=Ce^x, tendremos y_0=Ce^(x_0) , de donde C=y_0e^(-x_0) . La función y=y_0e^(x-x_0) satisface la condición inicial. De hecho, suponiendo x=x_0, obtenemos y=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. La función y=Ce^x es la solución general de esta ecuación.

Para x_0=1 y y_0=-1 obtenemos una solución particular y=-e^(x-1) .

CON punto geométrico Desde el punto de vista, la solución general determina la familia de curvas integrales, que son gráficas funciones exponenciales; una solución particular es una curva integral que pasa por el punto M_0(1;-1) (Fig. 5).

Una relación de la forma \Phi(x,y,C)=0, que define implícitamente la solución general, se llama integral general ecuación diferencial de primer orden.

La relación obtenida de la integral general en significado específico La constante C se llama integral parcial ecuación diferencial.

El problema de resolver o integrar una ecuación diferencial es encontrar la solución general o integral general de una ecuación diferencial dada. Si además se especifica una condición inicial, entonces es necesario seleccionar una solución particular o integral parcial que satisfaga la condición inicial dada.

Dado que desde un punto de vista geométrico las coordenadas xey son iguales, entonces junto con la ecuación \frac(dx)(dy)=f(x,y) consideraremos la ecuación \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).

En algunos problemas de física, no es posible establecer una conexión directa entre las cantidades que describen el proceso. Pero es posible obtener una igualdad que contenga las derivadas de las funciones en estudio. Es así como surgen las ecuaciones diferenciales y la necesidad de resolverlas para encontrar una función desconocida.

Este artículo está dirigido a quienes se enfrentan al problema de resolver una ecuación diferencial en la que la función desconocida es función de una variable. La teoría está estructurada de tal manera que sin ningún conocimiento de ecuaciones diferenciales podrá afrontar su tarea.

A cada tipo de ecuación diferencial se le asigna un método de solución con explicaciones y soluciones detalladas. ejemplos típicos y tareas. Todo lo que tienes que hacer es determinar el tipo de ecuación diferencial de tu problema, encontrar un ejemplo analizado similar y llevar a cabo acciones similares.

Para resolver con éxito ecuaciones diferenciales, también necesitarás la capacidad de encontrar conjuntos de antiderivadas ( Integrales indefinidas) Varias funciones. Si es necesario, le recomendamos que consulte la sección.

Primero, consideraremos los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que se pueden resolver con respecto a la derivada, luego pasaremos a las EDO de segundo orden, luego nos detendremos en ecuaciones de orden superior y terminaremos con sistemas de ecuaciones diferenciales.

Recuerde que si y es función del argumento x.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples de la forma.

Anotemos algunos ejemplos de este tipo de control remoto. .

Ecuaciones diferenciales se puede resolver con respecto a la derivada dividiendo ambos lados de la igualdad por f(x) . En este caso llegamos a una ecuación que será equivalente a la original para f(x) ≠ 0. Ejemplos de tales EDO son.

Si hay valores del argumento x en los que las funciones f(x) y g(x) desaparecen simultáneamente, entonces aparecen soluciones adicionales. Soluciones adicionales ecuaciones dada x son las funciones definidas para estos valores de argumento. Ejemplos de tales ecuaciones diferenciales incluyen:

Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

LDE con coeficientes constantes es un tipo muy común de ecuación diferencial. Su solución no es particularmente difícil. Primero se encuentran las raíces. Ecuación característica . Para diferentes p y q, son posibles tres casos: las raíces de la ecuación característica pueden ser reales y diferentes, reales y coincidentes. o conjugados complejos. Dependiendo de los valores de las raíces de la ecuación característica, la solución general de la ecuación diferencial se escribe como , o , o respectivamente.

Por ejemplo, considere una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Las raíces de su ecuación característica son k 1 = -3 y k 2 = 0. Las raíces son reales y diferentes, por tanto, la solución general del LODE con coeficientes constantes tiene la forma


Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

La solución general de un LDDE de segundo orden con coeficientes constantes y se busca en la forma de la suma de la solución general del LDDE correspondiente. y una solución particular a la ecuación original no homogénea, es decir, . El párrafo anterior está dedicado a encontrar una solución general a una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Y una solución particular está determinada por el método coeficientes inciertos en una cierta forma función f(x) en el lado derecho ecuación original, o por el método de variar constantes arbitrarias.

Como ejemplos de LDDE de segundo orden con coeficientes constantes, damos


Comprender la teoría y familiarizarse con ella. soluciones detalladas Te ofrecemos ejemplos en la página de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (LODE) y ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (LNDE) de segundo orden.

Un caso especial de ecuaciones diferenciales de este tipo son LODE y LDDE con coeficientes constantes.

La solución general de LODE en un segmento determinado está representada por una combinación lineal de dos soluciones parciales linealmente independientes y 1 e y 2 de esta ecuación, es decir, .

dificultad principal consiste precisamente en encontrar soluciones parciales linealmente independientes a una ecuación diferencial de este tipo. Normalmente, las soluciones particulares se seleccionan entre los siguientes sistemas funciones linealmente independientes:


Sin embargo, no siempre se presentan soluciones particulares de esta forma.

Un ejemplo de LOD es .

La solución general del LDDE se busca en la forma , donde es la solución general del LDDE correspondiente y es la solución particular de la ecuación diferencial original. Acabamos de hablar de encontrarlo, pero se puede determinar mediante el método de variación de constantes arbitrarias.

Se puede dar un ejemplo de LNDU. .

Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores.

Ecuaciones diferenciales que permiten una reducción de orden.

Orden de la ecuación diferencial , que no contiene la función deseada y sus derivadas hasta el orden k-1, se puede reducir a n-k reemplazando .

En este caso, la ecuación diferencial original se reducirá a . Después de encontrar su solución p(x), queda volver al reemplazo y determinar la función desconocida y.

Por ejemplo, la ecuación diferencial después del reemplazo, se convertirá en una ecuación con variables separables y su orden se reducirá de tercero a primero.