Definición. Punto al infinito plano complejo llamado punto singular aislado inequívoco función analíticaF(z), Si afuera círculo de algún radio R,
aquellos. porque no existe un punto singular finito de la función F(z).
Para estudiar la función en un punto del infinito, hacemos la sustitución 
Función
tendrá una singularidad en el punto ζ
= 0, y este punto estará aislado, ya que
dentro del circulo 
No hay otros puntos especiales según la condición. Ser analítico en esto
círculo (excepto los llamados ζ
= 0), función 
se puede ampliar en una serie de Laurent en potencias ζ
. La clasificación descrita en el párrafo anterior se mantiene completamente inalterada.
Sin embargo, si volvemos a la variable original z, luego series en potencias positivas y negativas z'Cambiar lugares. Aquellos. clasificación sin fin puntos remotos se verá así:
Ejemplos. 1.
. Punto z =
i
− polo de 3er orden.
2.
. Punto z =
∞
− significativamente punto singular.
§18. Residuo de una función analítica en un punto singular aislado.
deja el punto z 0 es un punto singular aislado de una función analítica de un solo valor
F(z). Según lo anterior, en las proximidades de este punto F(z) puede estar representado únicamente por la serie Laurent: 
Dónde 
Definición.Deducción función analítica F(z) en un punto singular aislado z 0
llamado Número complejo, igual al valor de la integral 
, tomado en la dirección positiva a lo largo de cualquier contorno cerrado que se encuentre en el dominio de analiticidad de la función y que contenga dentro de sí un único punto singular z 0 .
La deducción se indica con el símbolo Res [F(z),z 0 ].
Es fácil ver que el residuo se encuentra en un punto singular regular o removible. igual a cero.
En un polo o punto esencialmente singular, el residuo es igual al coeficiente Con-1 fila Laurent:
.
Ejemplo. Encuentra el residuo de una función. 
.
(Que sea fácil ver que
coeficiente Con-1 se obtiene al multiplicar los términos con norte= 0:Res[ F(z),i
]
=
}
A menudo es posible calcular residuos de funciones sobre de una manera sencilla. Deja que la función F(z) tiene incl. z 0 polos de primer orden. En este caso, el desarrollo de la función en una serie de Laurent tiene la forma (§16):. Multipliquemos esta igualdad por (z−z 0) y vayamos al límite en 
. Como resultado obtenemos: Res[ F(z),z 0 ] =
Entonces, en
En el último ejemplo tenemos Res[ F(z),i
]
=
.
Para calcular los residuos en polos de orden superior, multiplique la función
en 
(metro− orden de los polos) y diferenciar la serie resultante ( metro −
1 vez.
En este caso tenemos: Res[ F(z),z 0 ]
Ejemplo. Encuentra el residuo de una función. 
en el punto z= −1.
{
res[ F(z),
−1]
}
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Definición
Subsecuencia (βn) llamada secuencia infinitamente grande, si por alguien, arbitrariamente gran número M, existe un número natural N M que depende de M tal que para todos los números naturales n > N M la desigualdad
|β norte | >M.
En este caso escriben
.
O en .
Dicen que tiende al infinito, o converge al infinito.
Si, a partir de algún número N 0
, Eso
( converge a más infinito).
si entonces
( converge a menos infinito).
Escribamos estas definiciones usando los símbolos lógicos de existencia y universalidad:
(1)
.
(2)
.
(3)
.
Las secuencias con límites (2) y (3) son casos especiales de infinitamente secuencia grande(1). De estas definiciones se deduce que si el límite de una secuencia es igual a más o menos infinito, entonces también es igual a infinito:
.
Lo contrario, por supuesto, no es cierto. Los miembros de una secuencia pueden tener signos alternos. En este caso, el límite puede ser igual al infinito, pero sin un signo específico.
Tenga en cuenta también que si alguna propiedad se cumple para una secuencia arbitraria con un límite igual al infinito, entonces la misma propiedad se cumple para una secuencia cuyo límite es igual a más o menos infinito.
En muchos libros de texto de cálculo, la definición de secuencia infinitamente grande establece que el número M es positivo: M > 0 . Sin embargo, este requisito es innecesario. Si se cancela, no surgen contradicciones. Lo que pasa es que los valores pequeños o negativos no nos interesan. Estamos interesados en el comportamiento de la secuencia para arbitrariamente grandes valores positivos METRO. Por lo tanto, si surge la necesidad, entonces M puede limitarse desde abajo por cualquiera, de antemano numero dado
a, es decir, supongamos que M > a. ¿Cuándo definimos ε - vecindad? punto final > 0 , entonces el requisito ε es una importante. En valores negativos
, la desigualdad no puede satisfacerse en absoluto.
Barrios de puntos en el infinito.
Cuando consideramos límites finitos, introdujimos el concepto de vecindad de un punto. Recuerde que una vecindad de un punto final es un intervalo abierto que contiene este punto. También podemos introducir el concepto de vecindades de puntos en el infinito.
Sea M un número arbitrario. Barrio del punto "infinito"
, , se llama conjunto. Barrio del punto "infinito"
Barrio del punto "más infinito" Barrio del punto "infinito"
En las proximidades del punto "menos infinito"
(4)
,
Estrictamente hablando, la vecindad del punto "infinito" es el conjunto 1
donde m 2
y M
- números positivos arbitrarios. Usaremos la primera definición, ya que es más sencilla. Aunque todo lo que se dice a continuación también es cierto cuando se utiliza la definición (4). Ahora podemos dar una definición unificada del límite de una secuencia que se aplica tanto a finitos como a.
hasta límites infinitos.
Definición universal de límite de secuencia
Un punto a (finito o en el infinito) es el límite de una secuencia si para cualquier vecindad de este punto existe un número natural N tal que todos los elementos de la secuencia con números pertenecen a esa vecindad. Por tanto, si existe un límite, entonces fuera de la vecindad del punto a sólo puede haber un número finito de miembros de la secuencia, o un conjunto vacío. Esta condición es necesaria y suficiente. La prueba de esta propiedad es exactamente la misma que para.
límites finitos
Propiedad de vecindad de una secuencia convergente
Para que un punto a (finito o en el infinito) sea límite de la secuencia, es necesario y suficiente que fuera de cualquier vecindad de este punto haya un número finito de términos de la secuencia o un conjunto vacío.
Prueba .
También a veces se introducen los conceptos de ε - vecindades de puntos en el infinito.
Introduzcamos la siguiente notación. Sea ε la vecindad del punto a. Luego, para el punto final,
.
Para puntos en el infinito:
;
;
.
Usando los conceptos de ε - vecindades, podemos dar otra definición universal límite de secuencia:
Un punto a (terminal o en el infinito) es el límite de la secuencia si para cualquier numero positivo ε > 0
existe un número natural N ε que depende de ε tal que para todos los números n > N ε los términos x n pertenecen a la ε-vecindad del punto a:
.
Utilizando los símbolos lógicos de existencia y universalidad, esta definición se escribirá de la siguiente manera:
.
Ejemplos de secuencias infinitamente grandes.
Primero veremos tres ejemplos simples similares y luego resolveremos uno más complejo.
Ejemplo 1
.
.
Anotemos la definición de una secuencia infinitamente grande:
(1)
.
En nuestro caso
.
Introducimos números y , conectándolos con desigualdades:
.
Según las propiedades de las desigualdades, si y , entonces
.
Tenga en cuenta que esta desigualdad es válida para cualquier n. Por lo tanto, puedes elegir así:
en ;
en .
Entonces, para cualquiera podemos encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad. Entonces para todos,
.
Esto significa que . Es decir, la secuencia es infinitamente grande.
Ejemplo 2
Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.
(2)
.
El término general de la secuencia dada tiene la forma:
.
Ingrese los números y:
.
.
Entonces, para cualquiera se puede encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad, por lo que para todos,
.
Esto significa que .
.
Ejemplo 3
Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.
Anotemos la definición del límite de una secuencia igual a menos infinito:
(3)
.
El término general de la secuencia dada tiene la forma:
.
Ingrese los números y:
.
De esto queda claro que si y , entonces
.
Dado que para cualquiera es posible encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad, entonces
.
Dado , como N podemos tomar cualquier número natural que satisfaga la siguiente desigualdad:
.
Ejemplo 4
Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.
Lo escribiremos miembro común secuencias:
.
Anotemos la definición del límite de una secuencia igual a más infinito:
(2)
.
Como n es un número natural, n = 1, 2, 3, ...
, Eso
;
;
.
Introducimos números y M, conectándolos con desigualdades:
.
De esto queda claro que si y , entonces
.
Entonces, para cualquier número M podemos encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad. Entonces para todos,
.
Esto significa que .
Referencias:
L.D. Kudryavtsev. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 2003.
CM. Nikolski. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 1983.
Una de las áreas de aplicación más eficaz de los métodos de 2 espines resultó ser el estudio de problemas asintóticos en la teoría de la relatividad. Un ejemplo de tales problemas, tener importante, puede servir para determinar la cantidad total de energía-momento contenida en un espacio-tiempo asintóticamente plano y la radiación gravitacional. En este caso, los métodos de espinor son especialmente eficaces en combinación con el método en el que “el infinito se hace finito” mediante la transformación conforme de la métrica. Con este método, transformamos la métrica espacio-temporal reemplazando la métrica física original con una nueva métrica "no física" relacionada conformemente con
donde - bastante suave y en todas partes función positiva, definido en el tensor métrico y su tensor inverso se transforman según las fórmulas
Si tiene la estructura asintótica apropiada y se elige un factor conforme adecuado, entonces se puede “unir” alguna superficie límite 3 [esta designación dice “borde” - una abreviatura de “guión I”]. Esta superficie se introduce de tal manera que la métrica "no física" se puede extender a nuevos puntos que se encuentran en el límite sin degeneración y con hasta cierto punto suavidad. La función J también se puede continuar con el grado apropiado de suavidad, pero en la superficie desaparece. Esto significa que la métrica física debe ser infinita en el límite Y y, por tanto, no puede extenderse hasta él. Entonces, en términos de métricas físicas, los nuevos puntos (es decir, los puntos en la superficie están infinitamente distantes de
puntos adyacentes a ellos. En física, esto corresponde a "puntos en el infinito".
Adjuntar una superficie a este tipo de espacio-tiempo nos da una variedad suave con límite, que denotaremos con el símbolo y
El símbolo del borde es un símbolo de la región interna del colector). La ventaja del enfoque propuesto es que ahora se puede aplicar a potentes métodos locales geometría diferencial y álgebra de espinor, que aportarán información sobre las asintóticas del espacio-tiempo, así, a la hora de estudiar. leyes más importantes Al disminuir las cantidades físicas y geométricas, por ejemplo en cuestiones relacionadas con la radiación en un espacio-tiempo asintóticamente plano, no son necesarios pasos complejos hasta el límite. Y la definición misma de euclideanidad asintótica en teoria general La relatividad ahora se puede dar en una forma conveniente "sin coordenadas". Los métodos conformes son muy adecuados para la teoría de la relatividad por la sencilla razón de que gran parte de ellos son conformemente invariantes: las ecuaciones para sin masa campo libre, tensor conforme de Weyl, geodésicas isotrópicas, hipersuperficies isotrópicas, causalidad relativista y (especialmente en el caso del espacio de Minkowski) teoría de twistores. El método propuesto es similar al utilizado en análisis comprensivo, donde para obtener una esfera de Riemann se une un “punto en el infinito” al plano de Argand (Capítulo 1, § 2), así como el método utilizado en geometría proyectiva.
Descripción en forma de coordenadas explícitas
Primero, consideremos el procedimiento para construir el infinito conforme para el espacio de Minkowski M. En este caso, la métrica física en coordenadas esféricas parece
Por conveniencia, introducimos dos parámetros de tiempo: retrasado y adelantado. Obtenemos.
La libertad para elegir un factor conforme es bastante grande. Sin embargo, en el caso del espacio-tiempo que aquí nos interesa (es decir, asintóticamente simple), por consideraciones generales [ver. texto después de la fórmula (9.7.22)] la función debe elegirse de modo que tienda a cero a lo largo de cualquier rayo (tanto en el pasado como en el futuro) como el recíproco del parámetro afín del rayo A (es decir, para a lo largo el rayo) . Cualquier hipersuperficie es un cono de luz del futuro, construido a partir de rayos (líneas rectas isotrópicas), cuyos valores 0 y también permanecen constantes. La coordenada desempeña el papel de parámetro afín para el futuro de cada uno de estos rayos radiales. De manera similar, la coordenada sirve como parámetro afín del pasado de estos rayos. Por lo tanto, debemos exigir que las condiciones se cumplan en y sobre el rayo. Si también queremos que la función sea uniforme en porciones finitas de espacio-tiempo, entonces surge naturalmente la elección.
(el factor 2 se introduce por conveniencia más adelante), y luego
Muchas otras formas de la función son válidas, pero ésta, como veremos pronto, resulta especialmente conveniente.
Para que nuestros “puntos en el infinito” se correspondan valores finales coordenadas, u y o deben reemplazarse con parámetros tales que
Los límites de cambio de variables y se indican en la Fig. 9.1, donde cada punto representa una 2 esferas con radio. La línea vertical corresponde al origen espacial y representa solo una singularidad de coordenadas. El espacio-tiempo mismo en esta línea (y en todas partes), por supuesto, no es singular. Las líneas inclinadas representan el infinito (isotrópico) (indicado por los símbolos respectivamente) del espacio de Minkowski (ya que estas líneas corresponden a los valores). Pero la métrica (9.1.5) es obviamente idealmente regular en estas líneas. Se puede esperar que el espacio -tiempo
Arroz. 9.1. La región del espacio correspondiente al espacio M. La recta significa que es el eje de simetría esférica.
y su métrica será no singular fuera de estas regiones. La línea vertical es también una singularidad de coordenadas exactamente del mismo tipo que la línea recta. Toda la franja vertical se puede utilizar para definir el espacio-tiempo, cuya estructura global corresponde al producto de una 3-esfera espacial y una temporal infinita. línea (“El universo estático de Einstein”). Para verificar esto, elijamos nuevas coordenadas.
La parte de esta métrica contenida en tirantes, es la métrica de la unidad de 3 esferas.
La parte del espacio-tiempo conforme al espacio de Minkowski original se puede considerar como el espacio encerrado entre los conos de luz de los puntos. Un punto tiene coordenadas y un punto tiene coordenadas. Esta parte se "envuelve".
Arroz. 9.2. La región del cilindro de Einstein correspondiente al espacio M.
y se cierra en el lado "posterior" en un solo punto con coordenadas. Tenga en cuenta que en el punto a esto significa que el punto debe considerarse como un solo punto, y no como una esfera doble. La situación considerada se muestra en la Fig. 9.2, donde se descartan dos dimensiones. El dos espacios de Minkowski se ajusta al interior del cuadrado (se muestra inclinado a 45°). Este cuadrado envuelve un cilindro, que representa una versión bidimensional del universo estático de Einstein. Tener en cuenta las medidas faltantes no cambia nada significativamente. Cerca de un punto, la región que nos interesa está dentro del cono de luz futuro asociado con el punto. Este cono de luz (es decir, el conjunto de puntos "barrido" por los rayos que van desde el punto hacia el futuro) se enfoca en la parte posterior de. El universo de Einstein en un punto (que en relación espacial es diametralmente opuesto al punto. Cerca del punto, la región que nos interesa (espacio de Minkowski) se extiende en direcciones espaciales desde el futuro cono de luz del punto, nuevamente la posición espacial está enfocado en un punto.
Si alguna secuencia converge a Número finito a, luego escriben
.
Anteriormente hemos tenido en cuenta secuencias infinitamente grandes. Supusimos que eran convergentes y denotamos sus límites con los símbolos y . Estos símbolos representan puntos en el infinito. No pertenecen a la multitud. numeros reales. Pero el concepto de límite nos permite introducir dichos puntos y proporciona una herramienta para estudiar sus propiedades utilizando números reales.
Definición
Punto al infinito, o infinito sin signo, es el límite hacia el que tiende una secuencia infinitamente grande.
Punto en infinito más infinito, es el límite al que tiende una secuencia infinitamente grande con términos positivos.
Punto en infinito menos infinito, es el límite al que tiende una secuencia infinitamente grande con términos negativos.
Para cualquier número real a se cumplen las siguientes desigualdades:
;
.
Usando números reales, introdujimos el concepto. vecindad de un punto en el infinito.
La vecindad de un punto es el conjunto.
Finalmente, la vecindad de un punto es el conjunto.
Aquí M es un número real arbitrario y arbitrariamente grande.
Así, hemos ampliado el conjunto de números reales introduciendo en él nuevos elementos. En este sentido, hay siguiente definición:
recta numérica extendida o conjunto extendido de números reales es el conjunto de los números reales complementados por los elementos y :
.
Primero, escribiremos las propiedades que tienen los puntos y . A continuación consideramos la cuestión de la estricta definición matemática operaciones para estos puntos y pruebas de estas propiedades.
Propiedades de los puntos en el infinito.
suma y diferencia.
;
;
;
;
Producto y cociente.
;
;
;
;
;
;
;
.
Relación con números reales.
Sea a un número real arbitrario. Entonces
;
;
;
;
;
.
deja un > 0
. Entonces
;
;
.
deja un < 0
. Entonces
;
.
Operaciones indefinidas.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Pruebas de las propiedades de los puntos en el infinito.
Definición de operaciones matemáticas
Ya hemos dado definiciones para puntos en el infinito. Ahora necesitamos definir operaciones matemáticas para ellos. Dado que definimos estos puntos usando secuencias, las operaciones con estos puntos también deberían definirse usando secuencias.
Entonces, suma de dos puntos
c = a + b,
perteneciente al conjunto ampliado de números reales,
,
llamaremos al límite
,
donde y son secuencias arbitrarias que tienen límites
Y .
Las operaciones de resta, multiplicación y división se definen de forma similar. Sólo que, en el caso de la división, los elementos del denominador de la fracción no deben ser iguales a cero.
Entonces la diferencia de dos puntos:
- Este es el límite: .
Producto de puntos:
- Este es el límite: .
Privado:
- Este es el límite: .
Aquí y son secuencias arbitrarias cuyos límites son a y b, respectivamente. EN el último caso, .
Pruebas de propiedades
Para probar las propiedades de los puntos en el infinito, necesitamos usar las propiedades de secuencias infinitamente grandes.
Considere la propiedad:
.
Para demostrarlo debemos demostrar que
,
En otras palabras, necesitamos demostrar que la suma de dos secuencias que convergen a más infinito converge a más infinito.
1
se satisfacen las siguientes desigualdades:
;
.
Entonces para y tenemos:
.
Digámoslo. Entonces
en ,
Dónde .
Esto significa que .
Otras propiedades se pueden demostrar de manera similar. Como ejemplo, demos otra prueba.
Demostremos que:
.
Para ello debemos demostrar que
,
donde y son secuencias arbitrarias, con límites y .
Es decir, necesitamos demostrar que el producto de dos secuencias infinitamente grandes es una secuencia infinitamente grande.
Demostrémoslo. Dado que y , entonces existen algunas funciones y , por lo que para cualquier número positivo M 1
se satisfacen las siguientes desigualdades:
;
.
Entonces para y tenemos:
.
Digámoslo. Entonces
en ,
Dónde .
Esto significa que .
Operaciones indefinidas
Parte Operaciones matemáticas con puntos en el infinito no están definidos. Para mostrar su incertidumbre, es necesario citar un par de casos especiales en los que el resultado de la operación depende de la elección de las secuencias incluidas en ellos.
Considere esta operación:
.
Es fácil demostrar que si y , entonces el límite de la suma de secuencias depende de la elección de secuencias y .
De hecho, tomémoslo. Los límites de estas secuencias son. límite de cantidad
es igual al infinito.
Ahora tomemos. Los límites de estas secuencias también son iguales. Pero el límite de su cantidad.
igual a cero.
Es decir, siempre que y , el valor del límite de importe pueda tomar diferentes significados. Por tanto la operación no está definida.
De manera similar, puede mostrar la incertidumbre del resto de operaciones presentadas anteriormente.
