Deja que la función F(t) está definido y es continuo en algún intervalo que contiene el punto a. Entonces cada número X a partir de este intervalo podemos hacer coincidir el número,
definiendo así en el intervalo la función I(X), que se denomina integral definida con límite superior variable. Tenga en cuenta que en el punto x = un esta función es igual a cero. Calculemos la derivada de esta función en el punto X. Para hacer esto, primero considere el incremento de la función en el punto X al incrementar el argumento D X:
D I(X) = I(x+ D X) – I(X) = 
.
Como se muestra en la Fig. 4, el valor de la última integral en la fórmula para el incremento D I(X) es igual al área trapecio curvo, marcado con sombreado. En valores pequeños de D X(aquí, como en otras partes de este curso, cuando hablamos de pequeños incrementos de un argumento o función, nos referimos valores absolutos incrementos, ya que los incrementos en sí pueden ser tanto positivos como negativos), esta área resulta ser aproximadamente igual al área del rectángulo marcado en la figura con doble rayado. El área de un rectángulo viene dada por la fórmula F(X)D X. De aquí obtenemos la relación
.
En la última igualdad aproximada, la precisión de la aproximación es mayor cuanto menor es el valor de D X.
De lo anterior se deduce la fórmula para la derivada de la función. I(X):
.
La derivada de la integral definida con respecto al límite superior en el punto x es igual al valor del integrando en el punto x. De ello se deduce que la función 
es una antiderivada de la función F(X), y una antiderivada que toma en el punto x = un significado, igual a cero. Este hecho permite representar una integral definida en la forma
. (1)
Dejar F(X) también es una antiderivada de la función F(X), luego por el teorema sobre vista general todas las antiderivadas de la función I(X) = F(X) + C, Dónde C- algún número. Donde parte derecha la fórmula (1) toma la forma
I(X) – I(a) = F(X) + C– (F(a) +C) = F(X) – F(a). (2)
De las fórmulas (1) y (2) después del reemplazo X en b sigue la fórmula para calcular la integral definida de la función F(t) a lo largo del intervalo [ a;b]:
,
Lo que es llamado Fórmula de Newton-Leibniz. Aquí F(X)- cualquier antiderivada de una función F(X).
Para calcular la integral definida de una función. F(X) a lo largo del intervalo [ a;b], necesitas encontrar alguna antiderivada F(X) funciones F(X) y calcular la diferencia entre los valores de la antiderivada en los puntos b Y a. La diferencia entre estos valores antiderivados generalmente se indica con el símbolo, es decir 
.
Cambio de variable en una integral definida. Al calcular integrales definidas utilizando la fórmula de Newton-Leibniz, es preferible no diferenciar estrictamente las etapas de resolución del problema (encontrar la antiderivada del integrando, encontrar el incremento de la antiderivada). Este enfoque, que utiliza, en particular, fórmulas de cambio de variable e integración por partes para una integral definida, normalmente permite simplificar la redacción de la solución.
TEOREMA. Sea la función φ(t) una derivada continua en el intervalo [α,β], a=φ(α), β=φ(β) y la función f(x) sea continua en cada punto x de la forma x =φ(t), donde t [α,β].
Entonces se cumple la siguiente igualdad:
Esta fórmula se llama fórmula para cambiar una variable en una integral definida.
Al igual que fue el caso con la integral indefinida, usar un cambio de variable nos permite simplificar la integral, acercándola a la(s) tabular(es). Además, en contraste con la integral indefinida en en este caso no es necesario volver a la variable de integración original. Basta encontrar los límites de integración de α y β sobre una nueva variable t como solución a la variable t de las ecuaciones φ(t)=a y φ(t)=b. En la práctica, cuando se realiza un reemplazo de variable, a menudo se comienza indicando la expresión t=ψ(x) de la nueva variable en términos de la anterior. En este caso, encontrar los límites de integración sobre la variable t se simplifica: α=ψ(a), β=ψ(b).
Ejemplo 19. Calcular 
Pongamos t=2-x 2. Entonces dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx y xdx=- dt. Si x=0, entonces t=2-0 2 =2, y si x=1, entonces t=2-1 2 =1. Por lo tanto:
Integración por partes. El método de integración por partes nos permite reducir la integral indefinida original a más vista sencilla o a una integral de tabla. Este método se utiliza con mayor frecuencia si el integrando contiene valores logarítmicos, exponenciales, trigonométricos inversos, funciones trigonométricas, así como sus combinaciones.
La fórmula de integración por partes es la siguiente.
Eso es, integrando f(x)dx representarlo como un producto de la función tu(x) en re(v(x))- función diferencial v(x). A continuación encontramos la función. v(x)(más a menudo por método integración directa) Y d(u(x))- función diferencial tu(x). Sustituimos las expresiones encontradas en la fórmula de integración por partes y la integral indefinida original se reduce a la diferencia 
. La última integral indefinida se puede tomar utilizando cualquier método de integración, incluido el método de integración por partes.
Si la función y = f(x) es integrable en el intervalo , entonces es integrable en cualquier intervalo más pequeño, es decir para "xО hay una integral
Para no confundir las designaciones del límite y la variable de integración, denotamos variable de integración a través de. Entonces la integral (4) se escribirá en la forma El valor de esta integral es una función limite superior x y se denota por Ф(х):
. (5)
La función Ф(х) se llama integral con un límite superior variable.
Consideremos algunas propiedades de la función Ф(х).
T.3.1.(continuidad de la función Ф(х))
Si la función f(x) es continua en el intervalo, entonces la función Ф(x) también será continua en el intervalo.
T.3.2. (diferenciación de funciones Ф(х))
Si la función f(x) es continua en el intervalo, entonces la función Ф(x) es derivable en cualquier punto interno x de este segmento, y la igualdad es verdadera
.
Consecuencia
Si la función f(x) es continua en el intervalo, entonces para esta función hay una primitiva en este segmento, y la función Ф(x), una integral con un límite superior variable, es una antiderivada de la función f(x).
Dado que cualquier otra primitiva de la función f(x) difiere de Ф(x) sólo en un término constante, podemos establecer conexión entre integrales indefinidas y definidas:
,
donde C es una constante arbitraria.
Pregunta 4. Cálculo de una integral definida. Fórmula de Newton-Leibniz
El cálculo de integrales definidas mediante un método basado en la definición de integral como el límite de sumas integrales suele estar asociado con grandes dificultades. Existe un método más conveniente para calcular integrales definidas, que se basa en la conexión establecida entre integrales indefinidas y definidas.
T.4.1. Si la función f(x) es continua en un intervalo y F(x) es cualquier antiderivada de la función f(x) en , entonces la fórmula es válida
. (6)
La fórmula (6) se llama Fórmula de Newton-Leibniz.
Si ingresa la designación 
entonces la fórmula de Newton-Leibniz (6) se puede reescribir como
.
La fórmula de Newton-Leibniz da manera conveniente cálculos de integrales definidas. Para calcular la integral definida, es necesario encontrar cualquier función antiderivada F(x) para f(x) y tomar la diferencia F(b) ‒ F(a) en los extremos del segmento.
Ejemplo
Pregunta 5. Cambio de variable e integración por partes en una integral definida
Método de reemplazo variable
Al calcular integrales definidas, se utiliza ampliamente el método de sustitución o el método de cambio de variable.
T.5.1. (cambio de variable en una integral definida)
Sea la función y = f(x) continua en el intervalo. Entonces sí:
1) la función x = j(t) y su derivada x′ = j′(t) son continuas en el intervalo;
2) el conjunto de valores de la función x = j(t) es el segmento;
3) j(a) = a, j(b) = b,
entonces es justo fórmula para cambiar una variable en una integral definida:
.
Comentario
1. Al calcular una integral definida mediante el método de sustitución, no es necesario volver a la variable anterior.
2. A menudo, en lugar de la sustitución x = j(t), se utiliza la sustitución t = g(x).
3. Al utilizar la fórmula, es necesario comprobar el cumplimiento de las condiciones enumeradas en el teorema. Si se violan estas condiciones, se puede obtener un resultado incorrecto.
Ejemplo. Calcular
Integración por partes
T.5.2. (integración por partes en una integral definida)
Si las funciones u = u(x) y v = v(x) tienen derivadas continuas en el intervalo , entonces fórmula para la integración por partes en una integral definida:
.
Ejemplo. calcular integrales
En la conferencia de hoy continuaremos estudiando la integral definida y obtendremos una fórmula para calcularla. Como veremos más adelante, la integral definida es igual al incremento de la primitiva, y representa numero constante, igual al área trapezoide curvilíneo. Por tanto, todos los métodos para calcular la integral indefinida también son válidos para la integral definida.
Pregunta 1. Propiedades básicas de la integral definida.
Integral
se introdujo para el caso a< b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.
Propiedad 1. .
Esta fórmula se obtiene de (1) siempre que todo Δx i = 0.
Propiedad 2. 
.
Esta fórmula se obtiene de (1) siempre que el segmento se ejecute en la dirección opuesta (de b a a), es decir todos Δx i< 0.
Propiedad 3. (propiedad de aditividad)
Si la función f(x) es integrable en un intervalo y a< c < b, то
. (2)
La igualdad (2) es válida para cualquier ubicación de los puntos a, b y c (asumimos que la función f(x) es integrable en el mayor de los segmentos resultantes).
Propiedad 4.
multiplicador constante se puede sacar como signo de una integral definida, es decir
,
donde k = constante.
Propiedad 5.
Integral definida de suma algebraica dos funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de estas funciones, es decir
.
Comentario
- La propiedad 5 se aplica al monto de cualquier Número finito términos.
- Las propiedades 4 y 5 juntas representan propiedad de linealidad integral definida.
Pregunta 2. Estimaciones de la integral. Teorema del valor medio
1. Si la función f(x) ≥ 0 en cualquier lugar del intervalo, entonces .
2.
Si f(x) ≥ g(x) en todas partes del intervalo, entonces 
.
3.
Para una función f(x) definida en el intervalo , se cumple la desigualdad 
.
En particular, si en todas partes del intervalo entonces 
Y .
4.
Si m y M son respectivamente los más pequeños y valor más alto función f(x) en el intervalo , entonces 
.
T.2.1. (teorema del valor medio))
Si la función f(x) es continua en el segmento , entonces hay un punto c en este segmento tal que
. (3)
La igualdad (3) se llama fórmula de valor promedio, y el valor f(c) se llama valor medio de la función f(x) en el segmento .
Pregunta 3: Integral definida en función del límite superior
Si la función y = f(x) es integrable en el intervalo , entonces es integrable en cualquier intervalo más pequeño, es decir para "xО hay una integral
Para no confundir las designaciones del límite y la variable de integración, denotamos la variable de integración por t. Entonces la integral (4) se escribirá en la forma El valor de esta integral es función del límite superior x y se denota por Ф(x):
. (5)
La función Ф(х) se llama integral con un límite superior variable.
Consideremos algunas propiedades de la función Ф(х).
T.3.1.(continuidad de la función Ф(х))
Si la función f(x) es continua en el intervalo, entonces la función Ф(x) también será continua en el intervalo.
T.3.2. (diferenciación de funciones Ф(х))
Si la función f(x) es continua en el segmento , entonces la función Ф(x) es diferenciable en cualquier punto interior x de este segmento, y la igualdad es verdadera
.
Consecuencia
Si la función f(x) es continua en el intervalo, entonces para esta función hay una primitiva en este intervalo, y la función Ф(x) - una integral con un límite superior variable - es una primitiva para la función f(x) ).
Dado que cualquier otra primitiva de la función f(x) difiere de Ф(x) sólo en un término constante, podemos establecer
Deja que la función F(t) está definido y es continuo en algún intervalo que contiene el punto a. Entonces cada número X a partir de este intervalo puedes hacer coincidir el número
I(X) = I(x+X) – I(X) =
Como se muestra en la Figura 23, el valor de la última integral en la fórmula para el incremento I(X) es igual al área del trapezoide curvilíneo, marcado por sombreado. En valores pequeños X(aquí, como en otras partes de este curso, cuando hablamos de pequeños incrementos de un argumento o función, nos referimos a las magnitudes absolutas de los incrementos, ya que los incrementos en sí pueden ser positivos y negativos) esta área resulta ser aproximadamente igual al área del rectángulo marcado en la figura con doble rayado. El área de un rectángulo viene dada por la fórmula F(X)X. De aquí obtenemos la relación
.
En la última igualdad aproximada, la precisión de la aproximación es mayor cuanto menor es el valor X.
De lo anterior se deduce la fórmula para la derivada de la función. I(X):
.
Derivada de la integral definida con respecto al límite superior en el puntoX
igual al valor del integrando en el puntoX. De ello se deduce que la función 
es una antiderivada de la función F(X), y una antiderivada que toma en el punto x = un valor igual a cero. Este hecho permite representar una integral definida en la forma
. (9)
Dejar F(X) también es una antiderivada de la función F(X), luego por el teorema sobre la forma general de todas las antiderivadas de la función I(X) = F(X) + C, Dónde C- algún número. En este caso, el lado derecho de la fórmula (9) toma la forma
I(X) – I(a) = F(X) + C– (F(a) +C) = F(X) – F(a). (10)
De las fórmulas (9) y (10) después del reemplazo X en b sigue la fórmula para calcular la integral definida de la función F(t) a lo largo del intervalo [ a;b]:
,
que se llama fórmula Newton-Leibniz. Aquí F(X)- cualquier antiderivada de una función F(X).
Para calcular la integral definida de una función. F(X) a lo largo del intervalo [ a;b], necesitas encontrar alguna primitiva F(X) funciones F(X) y calcular la diferencia de los valores de la antiderivada en los puntos b Y a. La diferencia entre estos valores de primitiva generalmente se indica con el símbolo 
.
Demos ejemplos de cálculo de integrales definidas utilizando la fórmula de Newton-Leibniz.
Ejemplos. 1. 
.
2.
.
Primero, calculemos la integral indefinida de la función. F(X) = xe X. Utilizando el método de integración por partes obtenemos: 
. Como función antiderivadaF(X) elige una función mi X (X– 1) y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz:
yo = mi X (X – 1)= 1.
Al calcular integrales definidas, puedes usar fórmula para cambiar una variable en una integral definida:
.
Aquí Y se determinan, respectivamente, a partir de las ecuaciones ( ) = a; ( ) = b y las funciones F, , debe ser continuo a intervalos apropiados.
Ejemplo: 
.
Hagamos un reemplazo: ln x =t o x = mi t, Entonces sí x = 1, entonces t= 0, y si x = mi, Eso t= 1. Como resultado obtenemos:
.
Al cambiar una variable en una integral definida, no es necesario volver a la variable de integración original.
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