Razón del coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Seno, coseno, tangente: ¿qué es? ¿Cómo encontrar seno, coseno y tangente? Signos de similitud de triángulos rectángulos.

Para estudiar los términos y propiedades básicos de una sección tan importante de la geometría como la trigonometría, es necesario observar cuidadosamente las características de un triángulo rectángulo, así como las definiciones de sus elementos.

Un triángulo se llama rectángulo, en el que uno de los ángulos es igual a 90 grados, respectivamente, la suma de los otros dos es igual a 90, de la propiedad de todos los triángulos sobre cantidad total esquinas Por lo general, este ángulo recto se denota con la letra C. El video muestra un triángulo rectángulo ABC con un ángulo C = 90 grados. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa del triángulo y los otros dos lados se llaman catetos. En nuestro caso, AB es la hipotenusa y AC y BC son los catetos de un rectángulo. triangulo abc.

Los principales indicadores trigonométricos son el seno, el coseno y la tangente. Inmediatamente es importante señalar que estos conceptos caracterizan absolutamente cualquier ángulo plano individualmente o como parte de cualquier polígono. Sin embargo, siempre se especifican mediante un triángulo rectángulo.
El seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Por supuesto, si el ángulo es simple y separado, o es parte de otra figura, el seno se establece solo después de dibujar las guías y formar un triángulo rectángulo completo. En la ilustración que se muestra, sen ABC (B) = AC/AB. Para calcular el seno, basta con dividir las dimensiones lineales de los segmentos, pero su dimensión en trigonometría no importa, por lo tanto, el seno y todos los demás indicadores de esta serie son valores adimensionales.

El coseno de un ángulo es la relación. pierna adyacente a la hipotenusa. En nuestro caso, cos ABC (B) = CB/AB. La tangente del ángulo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente, es decir tg ABC (B) = AC/CB. La dimensión y los cálculos son similares a los del seno. Además, también existe el concepto de cotangente y varios otros indicadores trigonométricos, pero todos tienen un papel secundario.
En nuestro triángulo ABC, puedes calcular el seno, el coseno y la tangente de otro ángulo:

sen CAB (A) = CB/AB
porque CAB (A) = CA/AB
tg CAB (A) = CB/SA
Lo esencial igualdad trigonométrica, que consideraremos con más detalle, se deriva de las definiciones de seno y coseno, así como del famoso teorema de Pitágoras. Para deducir la identidad es necesario recordar el teorema del triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa igual a la suma cuadrados de patas. En otras palabras, AB2 = AC2 + CB2 para el triángulo ABC en ángulo recto C. Usando las definiciones de seno, coseno y el teorema de Pitágoras, obtenemos para el ángulo A:

pecado B = AC/AB
porque B = CB/AB
AB2 = AC2 + CB2
sen 2 V + cos 2 V = (AC/AB) 2 + (CB/AB) 2 = AC 2 /AB 2 + CB 2 /AB 2 = (AC 2 + CB 2)/AB 2 = AB 2 /AB 2 = 1
Por tanto, sen 2 V + cos 2 V = 1. Esto es lo principal. identidad trigonométrica, que se puede denotar en forma verbal: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno.

Supongamos que tenemos varios triangulos rectángulos diferentes tamaños, pero siempre que uno de sus ángulos sea igual para todos. Si un triángulo tiene dos ángulos iguales entre sí, entonces el tercero es igual (por la propiedad de una suma constante de ángulos) y los triángulos mismos son similares entre sí. Ud. triangulos semejantes, por definición, los lados están proporcionalmente relacionados. Esta proporción también se conserva en las razones para determinar exponentes trigonométricos. Por tanto, el seno, el coseno, la tangente y otros indicadores trigonométricos son iguales para cualquier triángulo rectángulo y, en general, son una característica constante. Estos valores dependen únicamente de medida de grado la misma esquina.

Comenzaremos nuestro estudio de trigonometría con el triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y cotangente de un ángulo agudo. Estos son los conceptos básicos de la trigonometría.

Te recordamos que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. Es decir, medio ángulo girado.

Esquina filosa- menos de 90 grados.

Ángulo obtuso- mayor a 90 grados. En relación con tal ángulo, "obtuso" no es un insulto, sino un término matemático :-)

Dibujemos un triángulo rectángulo. Un ángulo recto generalmente se denota por . Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina está indicado con la misma letra, solo que en tamaño pequeño. Por tanto, el lado opuesto al ángulo A se designa.

El ángulo está indicado por el correspondiente letra griega.

Hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.

Piernas- lados opuestos a ángulos agudos.

El cateto opuesto al ángulo se llama opuesto(relativo al ángulo). El otro cateto, que se encuentra en uno de los lados del ángulo, se llama adyacente.

Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado opuesto y el adyacente:

Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno del ángulo y su coseno:

Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado adyacente y el opuesto (o, lo que es lo mismo, la relación entre el coseno y el seno):

Tenga en cuenta las relaciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente a continuación. Nos serán útiles a la hora de resolver problemas.

Probemos algunos de ellos.

Bien, hemos dado definiciones y escrito fórmulas. Pero ¿por qué todavía necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?

Lo sabemos la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a.

Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .

Resulta que conociendo dos ángulos de un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo los dos lados de un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Esto significa que los ángulos tienen su propia proporción y los lados tienen la suya propia. Pero, ¿qué debes hacer si en un triángulo rectángulo conoces un ángulo (excepto el ángulo recto) y un lado, pero necesitas encontrar los otros lados?

Esto es lo que la gente del pasado encontraba al hacer mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.

Seno, coseno y tangente: también se les llama funciones de ángulos trigonométricos- dar relaciones entre fiestas Y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas utilizando tablas especiales. Y conociendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y de uno de sus lados, podrás encontrar el resto.

También dibujaremos una tabla con los valores de seno, coseno, tangente y cotangente para los ángulos "buenos" desde hasta.

Tenga en cuenta los dos guiones rojos en la tabla. Para valores de ángulo apropiados, la tangente y la cotangente no existen.

Veamos varios problemas de trigonometría del banco de tareas FIPI.

1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .

El problema se resuelve en cuatro segundos.

Porque el , .

2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .

Encontrémoslo usando el teorema de Pitágoras.

El problema esta resuelto.

A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y. ¡Recuerda de memoria las proporciones básicas para ellos!

Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.

Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.

Analizamos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! EN Opciones del examen estatal unificado En matemáticas existen muchos problemas donde aparece el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo externo de un triángulo. Más sobre esto en el próximo artículo.

Recordemos curso escolar matemáticas y hablar sobre qué es una tangente y cómo encontrar la tangente de un ángulo. Primero, definamos qué se llama tangente. En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente. El cateto adyacente es el que participa en la formación del ángulo, el cateto opuesto es el que se ubica frente al ángulo.

Además, la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno de este ángulo y su coseno. Para entenderlo, recordemos qué son el seno y el coseno de un ángulo. El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del lado opuesto a la hipotenusa, el coseno es la razón del lado adyacente a la hipotenusa.

También existe una cotangente, es opuesta a la tangente. La cotangente es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto y, en consecuencia, la relación entre el coseno del ángulo y su seno.

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente son funciones trigonométricas de un ángulo; muestran la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo y ayudan a calcular los lados de un triángulo.

Calcular la tangente de un ángulo agudo.

¿Cómo encontrar la tangente en un triángulo? Para no perder el tiempo buscando la tangente, puedes encontrar tablas especiales que indican las funciones trigonométricas de muchos ángulos. EN problemas escolares En geometría, ciertos ángulos son muy comunes y los profesores te piden que memorices los valores de sus senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Le ofrecemos un pequeño cartel con los valores requeridos estos rincones.

Si el ángulo cuya tangente necesita encontrar no se presenta en esta tabla, entonces puede usar dos fórmulas que presentamos anteriormente en forma verbal.

La primera forma de calcular la tangente de un ángulo es dividir la longitud del cateto opuesto por la longitud del cateto adyacente. Digamos que el lado opuesto es 4 y el lado adyacente es 8. Para encontrar la tangente, necesitas 4:8. La tangente del ángulo será ½ o 0,5.

La segunda forma de calcular la tangente es dividir el valor del seno. ángulo dado al valor de su coseno. Por ejemplo, nos dan un ángulo de 45 grados. Su pecado = raíz de dos dividida por dos; es porque igual a eso mismo número. Ahora dividimos el seno por el coseno y obtenemos una tangente igual a uno.

Sucede que es necesario utilizar exactamente esta fórmula, pero solo se conoce un elemento: seno o coseno. En este caso, será útil recordar la fórmula.

sin2 α + cos2 α = 1. Esta es la identidad trigonométrica básica. Al expresar un elemento desconocido en términos de uno conocido, se puede descubrir su significado. Y conociendo el seno y el coseno, no es difícil encontrar la tangente.

Y si la geometría claramente no es tu vocación, pero hazlo tarea Si aún la necesitas, puedes utilizar la calculadora online para calcular la tangente de un ángulo.

Te lo dijimos en ejemplos simples cómo encontrar la tangente. Sin embargo, las condiciones de la tarea pueden ser más difíciles y no siempre es posible encontrar rápidamente todos los datos necesarios. En este caso, el teorema de Pitágoras y varias funciones trigonométricas te ayudarán.

La razón del cateto opuesto a la hipotenusa se llama seno de ángulo agudo triángulo rectángulo.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

La razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama coseno de un ángulo agudo triángulo rectángulo.

\cos \alfa = \frac(b)(c)

Tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

La razón entre el lado opuesto y el lado adyacente se llama tangente de un ángulo agudo triángulo rectángulo.

tg \alfa = \frac(a)(b)

Cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

La razón entre el lado adyacente y el lado opuesto se llama cotangente de un ángulo agudo triángulo rectángulo.

ctg \alfa = \frac(b)(a)

Seno de un ángulo arbitrario

La ordenada de un punto en el círculo unitario al que corresponde el ángulo \alpha se llama seno ángulo arbitrario rotación \alpha .

\sin \alpha=y

Coseno de un ángulo arbitrario

La abscisa de un punto del círculo unitario al que corresponde el ángulo \alpha se llama coseno de un ángulo arbitrario rotación \alpha .

\cos\alpha=x

Tangente de un ángulo arbitrario

La relación entre el seno de un ángulo de rotación arbitrario α y su coseno se llama tangente de un ángulo arbitrario rotación \alpha .

tan \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangente de un ángulo arbitrario.

La relación entre el coseno de un ángulo de rotación arbitrario α y su seno se llama cotangente de un ángulo arbitrario rotación \alpha .

ctg\alfa =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Un ejemplo de cómo encontrar un ángulo arbitrario.

Si \alpha es algún ángulo AOM, donde M es un punto en el círculo unitario, entonces

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alfa=\frac(x_(M))(y_(M)).

Por ejemplo, si \angle OMA = -\frac(\pi)(4), entonces: la ordenada del punto M es igual a -\frac(\sqrt(2))(2), la abscisa es igual \frac(\sqrt(2))(2) y es por eso

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \izquierda (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabla de valores de senos de cosenos de tangentes de cotangentes

Los valores de los principales ángulos que aparecen con frecuencia se dan en la tabla:

Trigonometría - sección ciencia matemática, que explora funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en la época. antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente y la India hicieron importantes contribuciones al desarrollo de esta ciencia.

Este artículo está dedicado a conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Se analizan las definiciones de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente. Su significado se explica e ilustra en el contexto de la geometría.

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Inicialmente, las definiciones de funciones trigonométricas cuyo argumento es un ángulo se expresaban en términos de la razón de los lados de un triángulo rectángulo.

Definiciones de funciones trigonométricas

El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.

El coseno del ángulo (cos α) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Ángulo tangente (t g α): la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Ángulo cotangente (c t g α): la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

¡Estas definiciones se dan para el ángulo agudo de un triángulo rectángulo!

Pongamos una ilustración.

EN triangulo abc con ángulo recto C seno del ángulo A igual a la proporción cateto BC a la hipotenusa AB.

Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente te permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados del triángulo.

¡Importante recordar!

El rango de valores del seno y el coseno es de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de la tangente y la cotangente es la recta numérica completa, es decir, estas funciones pueden tomar cualquier valor.

Las definiciones dadas anteriormente se aplican a ángulos agudos. En trigonometría se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no se limita a 0 a 90 grados. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa mediante cualquier número real desde - ∞ hasta + ∞. .

EN en este contexto Puede definir seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de tamaño arbitrario. imaginemos circulo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas cartesiano.

El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario un cierto ángulo α y va al punto A 1. La definición se da en términos de las coordenadas del punto A 1 (x, y).

Seno (pecado) del ángulo de rotación.

El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). pecado α = y

Coseno (cos) del ángulo de rotación.

El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x

Tangente (tg) del ángulo de rotación

La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t g α = y x

Cotangente (ctg) del ángulo de rotación

La cotangente del ángulo de rotación α es la relación entre la abscisa del punto A 1 (x, y) y su ordenada. c t g α = x y

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada de un punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con la tangente y la cotangente. La tangente no está definida cuando un punto después de la rotación va a un punto con abscisas cero (0, 1) y (0, - 1). En tales casos, la expresión para la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada de un punto tiende a cero.

¡Importante recordar!

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.

La tangente se define para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

La cotangente se define para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Al decidir ejemplos prácticos no digas "seno del ángulo de rotación α". Las palabras “ángulo de rotación” simplemente se omiten, lo que implica que ya queda claro por el contexto lo que se está discutiendo.

Números

¿Qué pasa con la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un número, y no el ángulo de rotación?

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número.

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número. t es un número que es respectivamente igual a seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.

Por ejemplo, el seno del número 10 π igual al senoángulo de rotación de 10 π rad.

Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Echemos un vistazo más de cerca.

Alguien Número Real t un punto en el círculo unitario está asociado con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano rectangular. El seno, el coseno, la tangente y la cotangente se determinan a través de las coordenadas de este punto.

El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).

Numero positivo t

Numero negativo t corresponde al punto al que irá el punto de partida si se mueve alrededor del círculo en sentido antihorario y seguirá el camino t.

Ahora que se ha establecido la conexión entre un número y un punto en un círculo, pasamos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno (pecado) de t

Seno de un número t- ordenada de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. pecado t = y

Coseno (cos) de t

coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x

Tangente (tg) de t

tangente de un numero t- la relación entre la ordenada y la abscisa de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t

Las últimas definiciones están de acuerdo y no contradicen la definición dada al principio de este párrafo. Punto en el círculo correspondiente al número. t, coincide con el punto al que va el punto de partida después de girar un ángulo t radián.

Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico.

Cada valor del ángulo α corresponde a un determinado valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corresponden a un determinado valor de tangente. La cotangente, como se indicó anteriormente, se define para todos los α excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Podemos decir que sin α, cos α, t g α, c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.

De manera similar, podemos hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones de un argumento numérico. cada número real t corresponde a un cierto valor del seno o coseno de un número t. Todos los números distintos de π 2 + π · k, k ∈ Z, corresponden a un valor tangente. La cotangente, de manera similar, se define para todos los números excepto π · k, k ∈ Z.

Funciones básicas de trigonometría.

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente son las funciones trigonométricas básicas.

Generalmente queda claro por el contexto qué argumento Funcion trigonometrica (argumento del ángulo o argumento numérico) Estamos tratando con.

Volvamos a las definiciones dadas al principio y al ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Definiciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente son completamente consistentes con definiciones geométricas, dado usando las relaciones de aspecto de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.

Tome un círculo unitario con centro en un rectángulo sistema cartesiano coordenadas vamos a darle la vuelta punto de partida A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibuja una perpendicular a la abscisa desde el punto resultante A 1 (x, y). En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H igual al ángulo gire α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y). La longitud del cateto opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.

De acuerdo con la definición de geometría, el seno del ángulo α es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Esto significa que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.

De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.

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