vamos a tratar con conceptos simples: seno y coseno y cálculo coseno al cuadrado y seno al cuadrado.

El seno y el coseno se estudian en trigonometría (el estudio de los triángulos rectángulos).

Por eso, primero, recordemos los conceptos básicos de un triángulo rectángulo:

Hipotenusa- el lado que siempre está opuesto ángulo recto(ángulo de 90 grados). La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo.

Los dos lados restantes de un triángulo rectángulo se llaman piernas.

También debes recordar que tres ángulos en un triángulo siempre suman 180°.

Ahora pasemos a coseno y seno del ángulo alfa (∠α)(esto puede llamarse cualquier ángulo indirecto en un triángulo o usarse como designación x - "x", lo que no cambia la esencia).

Seno del ángulo alfa (sin ∠α)- esta es una actitud opuesto cateto (el lado opuesto al ángulo correspondiente) a la hipotenusa. Si nos fijamos en la figura, entonces sen ∠ABC = AC / BC

Coseno del ángulo alfa (cos ∠α)- actitud adyacente al ángulo del cateto con respecto a la hipotenusa. Mirando nuevamente la figura anterior, cos ∠ABC = AB / BC

Y solo como recordatorio: el coseno y el seno nunca serán mayores que uno, ya que cualquier rollo es más corto que la hipotenusa (y la hipotenusa es el lado más largo de cualquier triángulo, porque el lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande del triángulo) .

Coseno al cuadrado, seno al cuadrado

Pasemos ahora a las fórmulas trigonométricas básicas: calcular el coseno al cuadrado y el seno al cuadrado.

Para calcularlos conviene recordar la identidad trigonométrica básica:

pecado 2 α + cos 2 α = 1(El seno cuadrado más el coseno cuadrado de un ángulo siempre es igual a uno).

De la identidad trigonométrica sacamos conclusiones sobre el seno:

pecado 2 α = 1 - cos 2 α

seno cuadrado alfa igual a uno menos coseno doble angulo alfa y dividirlo todo por dos.

sen 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​De la identidad trigonométrica sacamos conclusiones sobre el coseno:

cos 2 α = 1 - sen 2 α

o más opcion dificil fórmulas: coseno cuadrado alfa es igual a uno más el coseno del doble ángulo alfa y además dividir todo por dos.

porque 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Estos dos son más fórmulas complejas El seno al cuadrado y el coseno al cuadrado también se denominan "reducir el grado de los cuadrados de funciones trigonométricas". Aquellos. había un segundo grado, lo bajaron al primero y los cálculos se volvieron más convenientes.

Tabla de valores de funciones trigonométricas.

Nota. Esta tabla de valores de funciones trigonométricas utiliza el signo √ para indicar raíz cuadrada. Para indicar una fracción, utilice el símbolo "/".

ver también materiales útiles:

Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntralo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, seno 30 grados: buscamos la columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la fila "30 grados", en su intersección leemos el resultado: la mitad. De manera similar encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin y la línea de 60 grados encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. Los valores de los senos, cosenos y tangentes de otros ángulos “populares” se encuentran de la misma forma.

Seno pi, coseno pi, tangente pi y otros ángulos en radianes

La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulos. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.

El número pi expresa inequívocamente la dependencia de la circunferencia de medida de grado esquina. Por tanto, pi radianes equivalen a 180 grados.

Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando pi (π) por 180..

Ejemplos:
1. Seno pi.
pecado π = pecado 180 = 0
por tanto, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.

2. coseno pi.
porque π = porque 180 = -1
por tanto, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.

3. pi tangente
tg π = tg 180 = 0
por tanto, la tangente pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.

Tabla de valores de seno, coseno y tangente para ángulos de 0 a 360 grados (valores comunes)

Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas se indica un guión en lugar del valor de la función (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces para un valor dado de la medida en grados del ángulo la función no tiene un valor específico. Si no hay ningún guión, la celda está vacía, lo que significa que aún no hemos ingresado valor deseado. Nos interesa saber qué consultas nos solicitan los usuarios y complementar la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulos más comunes son suficientes para resolver la mayoría. problemas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 grados
(valores numéricos “según tablas Bradis”)

Una de las áreas de las matemáticas con las que más luchan los estudiantes es la trigonometría. No es de extrañar: para dominar con fluidez esta área del conocimiento es necesario tener pensamiento espacial, capacidad para encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expresiones, poder usar pi en los cálculos. Además, es necesario poder utilizar la trigonometría al demostrar teoremas, y esto requiere un conocimiento desarrollado memoria matemática, o la capacidad de derivar cadenas lógicas complejas.

Orígenes de la trigonometría

Para familiarizarse con esta ciencia, debe comenzar con la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo, pero primero debe comprender qué hace la trigonometría en general.

Históricamente, el principal objeto de estudio en esta sección ciencia matemática eran triángulos rectángulos. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar diversas operaciones que permiten determinar los valores de todos los parámetros de la figura en cuestión utilizando dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. En el pasado, la gente notó este patrón y comenzó a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso en el arte.

Primera etapa

Inicialmente, la gente hablaba de la relación entre ángulos y lados utilizando exclusivamente el ejemplo de los triángulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que permitieron ampliar los límites de uso en La vida cotidiana esta rama de las matemáticas.

El estudio de la trigonometría en la escuela hoy comienza con los triángulos rectángulos, después de lo cual los estudiantes utilizan los conocimientos adquiridos en física y la resolución de ecuaciones trigonométricas abstractas, que comienzan en la escuela secundaria.

trigonometría esférica

Más tarde, cuando la ciencia alcanzó el siguiente nivel de desarrollo, en la geometría esférica comenzaron a usarse fórmulas con seno, coseno, tangente y cotangente, donde se aplican diferentes reglas y la suma de los ángulos en un triángulo es siempre superior a 180 grados. Esta sección No se estudia en la escuela, pero es necesario conocer su existencia al menos porque superficie de la Tierra, y la superficie de cualquier otro planeta es convexa, lo que significa que cualquier marca de superficie estará en espacio tridimensional"en forma de arco".

Toma el globo y el hilo. Conecte el hilo a dos puntos cualesquiera del globo para que quede tenso. Tenga en cuenta que ha adquirido la forma de un arco. La geometría esférica se ocupa de estas formas y se utiliza en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados.

Triángulo rectángulo

Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, volvamos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar.

El primer paso es comprender los conceptos relacionados con triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Es el más largo. Recordemos que según el teorema de Pitágoras, su valor numérico igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Por ejemplo, si los dos lados miden 3 y 4 centímetros respectivamente, la longitud de la hipotenusa será de 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.

Los dos lados restantes, que forman un ángulo recto, se llaman catetos. Además, debemos recordar que la suma de los ángulos de un triángulo es sistema rectangular Las coordenadas son 180 grados.

Definición

Finalmente, con una comprensión firme de la base geométrica, se puede recurrir a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.

El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (es decir, el lado opuesto al ángulo deseado) y la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón. pierna adyacente a la hipotenusa.

¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué? Debido a que la hipotenusa es por defecto la más larga, no importa qué tan largo sea el cateto, será más corta que la hipotenusa, lo que significa que su proporción siempre será menor que uno. Así, si en tu respuesta a un problema obtienes un seno o coseno con un valor mayor a 1, busca un error en los cálculos o razonamientos. Esta respuesta es claramente incorrecta.

Finalmente, la tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Dividir el seno por el coseno dará el mismo resultado. Mira: según la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Por tanto, obtenemos la misma relación que en la definición de tangente.

La cotangente, por tanto, es la relación entre el lado adyacente a la esquina y el lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado dividiendo uno por la tangente.

Entonces, hemos visto las definiciones de qué son seno, coseno, tangente y cotangente y podemos pasar a las fórmulas.

Las fórmulas más simples.

En trigonometría no puedes prescindir de fórmulas: ¿cómo encontrar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente sin ellas? Pero esto es exactamente lo que se requiere al resolver problemas.

La primera fórmula que debes saber al empezar a estudiar trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si necesitas saber el tamaño del ángulo en lugar del lado.

Muchos estudiantes no pueden recordar la segunda fórmula, que también es muy popular al resolver tareas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente del ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Mire más de cerca: esta es la misma afirmación que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad fueron divididos por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática no fórmula trigonométrica completamente irreconocible. Recuerda: saber qué es seno, coseno, tangente y cotangente, reglas de conversión y varios fórmulas básicas En cualquier momento usted mismo podrá derivar las fórmulas más complejas necesarias en una hoja de papel.

Fórmulas para ángulos dobles y suma de argumentos.

Dos fórmulas más que debes aprender están relacionadas con los valores del seno y el coseno para la suma y diferencia de ángulos. Se presentan en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo, se suma el producto por pares del seno y el coseno.

También hay fórmulas asociadas con argumentos de doble ángulo. Se derivan completamente de los anteriores; como entrenamiento, intenta conseguirlos tú mismo tomando el ángulo alfa. igual al ángulo beta.

Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de ángulos dobles se pueden reorganizar para reducir la potencia del seno, coseno y tangente alfa.

Teoremas

Los dos teoremas principales de la trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, podrás entender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente, y por tanto el área de la figura, y el tamaño de cada lado, etc.

El teorema del seno establece que al dividir la longitud de cada lado de un triángulo por el ángulo opuesto, obtenemos mismo número. Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, del círculo que contiene todos los puntos de un triángulo dado.

El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras, proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Por tanto, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.

Errores por descuido

Incluso sabiendo qué es el seno, el coseno y la tangente, es fácil equivocarse por despiste o por un error en los cálculos más simples. Para evitar este tipo de errores, echemos un vistazo a los más populares.

En primer lugar, no debes convertir fracciones a decimales hasta que obtengas el resultado final; puedes dejar la respuesta como fracción común, salvo que se indique lo contrario en las condiciones. Tal transformación no puede considerarse un error, pero conviene recordar que en cada etapa del problema pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, conviene reducir. En este caso, estará perdiendo el tiempo en cosas innecesarias. Operaciones matemáticas. Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o la raíz de dos, porque se encuentran en los problemas en cada paso. Lo mismo ocurre con el redondeo de números "feos".

Además, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si por error te olvidas de restar el doble del producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no sólo obtendrás un resultado completamente erróneo, sino que además demostrarás una total falta de comprensión del tema. Esto es peor que un error por descuido.

En tercer lugar, no confunda los valores de los ángulos de 30 y 60 grados con senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Recuerda estos valores, porque el seno es 30 grados. igual al coseno 60 y viceversa. Es fácil confundirlos, por lo que inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.

Solicitud

Muchos estudiantes no tienen prisa por empezar a estudiar trigonometría porque no comprenden su significado práctico. ¿Qué es el seno, el coseno y la tangente para un ingeniero o astrónomo? Estos son conceptos gracias a los cuales puedes calcular la distancia a estrellas distantes, predecir la caída de un meteorito, enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga sobre una superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son sólo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se utiliza en todas partes, desde la música hasta la medicina.

Finalmente

Entonces eres seno, coseno, tangente. Puedes utilizarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.

El objetivo de la trigonometría se reduce al hecho de que utilizando los parámetros conocidos de un triángulo es necesario calcular las incógnitas. Hay seis parámetros en total: longitud tres lados y los tamaños de los tres ángulos. La única diferencia entre las tareas radica en el hecho de que se proporcionan datos de entrada diferentes.

Ahora sabes cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente basándose en las longitudes conocidas de los catetos o la hipotenusa. Dado que estos términos no significan más que una razón, y una razón es una fracción, objetivo principal problema trigonométrico es encontrar las raíces de una ecuación ordinaria o de un sistema de ecuaciones. Y aquí las matemáticas escolares habituales te ayudarán.

En este artículo echaremos un vistazo completo. Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una conexión entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través de otra conocida.

Enumeremos inmediatamente las principales identidades trigonométricas que analizaremos en este artículo. Anotémoslos en una tabla y, a continuación, daremos el resultado de estas fórmulas y brindaremos las explicaciones necesarias.

Navegación de páginas.

Relación entre seno y coseno de un ángulo

A veces no se habla de las principales identidades trigonométricas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola. identidad trigonométrica básica amable . La explicación de este hecho es bastante simple: las igualdades se obtienen a partir de la identidad trigonométrica principal después de dividir ambas partes por y, respectivamente, y las igualdades Y se desprende de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos de esto con más detalle en los siguientes párrafos.

Eso es, interés especial representa precisamente la igualdad, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica principal.

Antes de demostrar la identidad trigonométrica básica, demos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo.

La identidad trigonométrica básica se utiliza muy a menudo cuando transformación expresiones trigonométricas . Permite sustituir por uno la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo. No menos a menudo se utiliza la identidad trigonométrica básica en orden inverso: unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y coseno de cualquier ángulo.

Tangente y cotangente mediante seno y coseno

Identidades que conectan tangente y cotangente con seno y coseno de un ángulo de visión y sigue inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada de y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la relación entre la ordenada y la abscisa, es decir, , y la cotangente es la relación entre la abscisa y la ordenada, es decir, .

Gracias a tal obviedad de las identidades y La tangente y la cotangente a menudo no se definen mediante la relación de abscisas y ordenadas, sino mediante la relación de seno y coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón entre el seno y el coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón entre el coseno y el seno.

Como conclusión de este párrafo, cabe señalar que las identidades y tienen lugar para todos los ángulos en los que las funciones trigonométricas incluidas en ellos tienen sentido. Entonces la fórmula es válida para cualquier distinto de (de lo contrario, el denominador tendrá cero y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todos, diferentes de, donde z es cualquiera.

Relación entre tangente y cotangente

Aún más obvio identidad trigonométrica que los dos anteriores, es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma . Está claro que es válido para cualquier ángulo distinto de , de lo contrario, ni la tangente ni la cotangente no están definidas.

Prueba de la fórmula muy simple. Por definición y de dónde . La prueba podría haberse llevado a cabo de forma un poco diferente. Desde , Eso .

Entonces, la tangente y cotangente del mismo ángulo en el que tienen sentido son.

Si construimos un círculo unitario con el centro en el origen y establecemos un valor arbitrario para el argumento x0 y contar desde el eje Buey esquina X 0, entonces esta esquina en circulo unitario corresponde a algún punto A(Figura 1) y su proyección sobre el eje Oh habrá un punto METRO. Longitud de la sección om igual a valor absoluto puntos de abscisa A. Valor del argumento dado x0 valor de función mapeado y= porque X 0 como puntos de abscisas A. En consecuencia, punto EN(X 0 ;en 0) pertenece a la gráfica de la función en= porque X(Figura 2). si el punto A está a la derecha del eje UNED, El seno actual será positivo, pero si está hacia la izquierda será negativo. Pero de todos modos, punto A no puede salir del círculo. Por tanto, el coseno se encuentra en el rango de –1 a 1:

–1 = porque X = 1.

Rotación adicional en cualquier ángulo, múltiplo de 2 pag, punto de retorno A al mismo lugar. Por lo tanto la función y = porque Xpag:

porque( X+ 2pag) = porque X.

Si tomamos dos valores del argumento, iguales en valor absoluto, pero de signo opuesto, X Y - X, encontrar los puntos correspondientes en el círculo una x Y A-x. Como se puede observar en la Fig. 3 su proyección sobre el eje Oh es el mismo punto METRO. Es por eso

porque(– X) = porque ( X),

aquellos. coseno – incluso función, F(–X) = F(X).

Esto significa que podemos explorar las propiedades de la función. y= porque X en el segmento , y luego tener en cuenta su paridad y periodicidad.

En X= 0 punto A se encuentra en el eje Oh, su abscisa es 1 y, por lo tanto, cos 0 = 1. Al aumentar X punto A se mueve alrededor del círculo hacia arriba y hacia la izquierda, su proyección, naturalmente, es solo hacia la izquierda, y en x = pag/2 coseno se vuelve igual a 0. Punto A en este momento sube a altura máxima, y luego continúa moviéndose hacia la izquierda, pero ya descendiendo. Su abscisa va disminuyendo hasta llegar a valor más bajo, igual a –1 en X= pag. Así, en el intervalo la función en= porque X disminuye monótonamente de 1 a –1 (Fig. 4, 5).

De la paridad del coseno se deduce que en el intervalo [– pag, 0] la función aumenta monótonamente de –1 a 1, tomando un valor cero en x =–pag/2. Si toma varios períodos, obtendrá una curva ondulada (Fig. 6).

Entonces la función y= porque X toma valores cero en los puntos X= pag/2 + kp, Dónde k – cualquier número entero. Se alcanzan máximos iguales a 1 en los puntos X= 2kp, es decir. en pasos de 2 pag, y mínimos iguales a –1 en los puntos X= pag + 2kp.

Función y = sen x.

En la esquina del círculo unitario X 0 corresponde a un punto A(Figura 7), y su proyección sobre el eje UNED habrá un punto norte.z valor de la función y 0 = pecado x0 definida como la ordenada de un punto A. Punto EN(esquina X 0 ,en 0) pertenece a la gráfica de la función y= pecado X(Figura 8). Está claro que la función y = pecado X periódico, su período es 2 pag:

pecado ( X+ 2pag) = pecado ( X).

Para dos valores de argumento, X Y - , proyecciones de sus puntos correspondientes una x Y A-x por eje UNED ubicado simétricamente con respecto al punto ACERCA DE. Es por eso

pecado(- X) = –pecado ( X),

aquellos. el seno es una función impar, f(– X) = –f( X) (Figura 9).

si el punto A rotar respecto a un punto ACERCA DE en un angulo pag/2 en sentido antihorario (en otras palabras, si el ángulo X aumentado por pag/2), entonces su ordenada en la nueva posición será igual a la abscisa en la antigua. Lo que significa

pecado ( X+ pag/2) = porque X.

De lo contrario, el seno es un coseno “tarde” por pag/2, ya que cualquier valor del coseno se “repetirá” en el seno cuando el argumento aumente en pag/2. Y para construir una gráfica de seno, basta con desplazar la gráfica de coseno en pag/2 hacia la derecha (Fig. 10). Extremadamente propiedad importante el seno se expresa por igualdad

El significado geométrico de igualdad se puede ver en la Fig. 11. Aquí X - esto es medio arco AB, como en X - la mitad del acorde correspondiente. Es obvio que a medida que los puntos se acercan A Y EN la longitud de la cuerda se acerca cada vez más a la longitud del arco. De la misma figura es fácil derivar la desigualdad.

|pecado X| x|, verdadero para cualquier X.

Los matemáticos llaman fórmula (*) límite notable. De ello, en particular, se sigue que el pecado X» X en pequeño X.

Funciones en= tg x,y=ctg X. Las otras dos funciones trigonométricas, tangente y cotangente, se definen más fácilmente como las razones del seno y el coseno que ya conocemos:

Al igual que el seno y el coseno, la tangente y la cotangente son funciones periódicas, pero sus períodos son iguales. pag, es decir. son la mitad del tamaño del seno y el coseno. La razón de esto es clara: si el seno y el coseno cambian de signo, entonces su relación no cambiará.

Dado que el denominador de la tangente contiene un coseno, la tangente no está definida en aquellos puntos donde el coseno es 0, cuando X= pag/2 +kp. En todos los demás puntos aumenta monótonamente. Directo X= pag/2 + kp para tangente son asíntotas verticales. En puntos kp tangente y pendiente son 0 y 1, respectivamente (Fig. 12).

La cotangente no está definida donde el seno es 0 (cuando x = kp). En otros puntos disminuye monótonamente y las líneas rectas x = kp – su asíntotas verticales. En puntos x = pag/2 +kp la cotangente se vuelve 0 y la pendiente en estos puntos es –1 (Fig. 13).

Paridad y periodicidad.

Se llama a una función incluso si F(–X) = F(X). Las funciones coseno y secante son pares, y las funciones seno, tangente, cotangente y cosecante son impares:

Las propiedades de paridad se derivan de la simetría de puntos. PAG un y R- a (Fig. 14) respecto al eje X. Con tal simetría, la ordenada del punto cambia de signo (( X;en) va a ( X; –у)). Todas las funciones: periódica, seno, coseno, secante y cosecante tienen un período de 2 pag, y tangente y cotangente - pag:

La periodicidad del seno y el coseno se deriva del hecho de que todos los puntos PAG un+2 kp, Dónde k= 0, ±1, ±2,…, coinciden, y la periodicidad de la tangente y cotangente se debe a que los puntos PAG un + kp caen alternativamente en dos puntos diametralmente opuestos del círculo, dando el mismo punto en el eje tangente.

Las principales propiedades de las funciones trigonométricas se pueden resumir en una tabla:

Fórmulas de reducción.

Según estas fórmulas, el valor de la función trigonométrica del argumento a, donde pag/2 a p , se puede reducir al valor de la función argumento a , donde 0 a p /2, ya sea igual o complementario.

Argumento b	-a	+ un	pag-a	pag+ un	+ un	+ un	2pag-a
pecado b	porque un	porque un	pecado un	–pecado un	–porque un	–porque un	–pecado un
porque b	pecado un	–pecado un	–porque un	–porque un	–pecado un	pecado un	porque un

Por lo tanto, en las tablas de funciones trigonométricas, los valores se dan solo para Esquinas filosas, y basta con limitarnos, por ejemplo, al seno y la tangente. La tabla muestra solo las fórmulas más utilizadas para seno y coseno. A partir de estos es fácil obtener fórmulas para tangente y cotangente. Al convertir una función a partir de un argumento de la forma kp/2 ± a, donde k– un número entero, a una función del argumento a:

1) el nombre de la función se guarda si k incluso, y cambia a “complementario” si k extraño;

2) el signo del lado derecho coincide con el signo de la función reducible en el punto kp/2 ± a si el ángulo a es agudo.

Por ejemplo, al emitir ctg (a – pag/2) nos aseguramos de que a – pag/2 en 0 a p /2 está en el cuarto cuadrante, donde la cotangente es negativa y, según la regla 1, cambiamos el nombre de la función: ctg (a – pag/2) = –tg a .

Fórmulas de suma.

Fórmulas para múltiples ángulos.

Estas fórmulas se derivan directamente de las fórmulas de suma:

sen 2a = 2 sen a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sen 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sen 2 a ;

pecado 3a = 3 pecado a – 4 pecado 3 a;

porque 3a = 4 porque 3 a – 3 porque a ;

La fórmula para cos 3a fue utilizada por François Viète al resolver ecuación cúbica. Fue el primero en encontrar expresiones para cos. norte un y pecado norte a, que luego se obtuvieron de forma más sencilla a partir de la fórmula de Moivre.

Si reemplaza a con /2 en fórmulas de doble argumento, se pueden convertir en fórmulas de medio ángulo:

Fórmulas de sustitución universales.

Usando estas fórmulas, una expresión que involucra diferentes funciones trigonométricas del mismo argumento se puede reescribir como expresión racional a partir de una función tg (a /2), esto puede resultar útil a la hora de resolver algunas ecuaciones:

Fórmulas para convertir sumas en productos y productos en sumas.

Antes de la llegada de las computadoras, estas fórmulas se utilizaban para simplificar los cálculos. Los cálculos se realizaron utilizando tablas logarítmicas, y después - regla de cálculo, porque los logaritmos son los más adecuados para multiplicar números, por lo que todas las expresiones originales se llevaron a una forma conveniente para la logaritmización, es decir a obras, por ejemplo:

2 pecado a pecado b = porque ( a–b) – porque ( a+b);

2cos a porque b=cos( a–b) + porque ( a+b);

2 pecado a porque b= pecado( a–b) + pecado ( a+b).

Las fórmulas para las funciones tangente y cotangente se pueden obtener a partir de lo anterior.

Fórmulas de reducción de grados.

De las fórmulas de argumentos múltiples se derivan las siguientes fórmulas:

Usando estas fórmulas ecuaciones trigonométricas se puede reducir a ecuaciones de grados inferiores. De la misma manera, podemos derivar fórmulas de reducción para más altos grados seno y coseno.

Cada función trigonométrica en cada punto de su dominio de definición es continua e infinitamente diferenciable. Además, las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas y, cuando se integran, también se obtienen funciones trigonométricas o sus logaritmos. Las integrales de combinaciones racionales de funciones trigonométricas son siempre funciones elementales.

Representación de funciones trigonométricas en forma de series de potencias y productos infinitos.

Todas las funciones trigonométricas se pueden desarrollar en serie de potencias. En este caso, las funciones sen X bcos X se presentan en filas. convergente para todos los valores X:

Estas series se pueden utilizar para obtener expresiones aproximadas del pecado. X y porque X en valores pequeños X:

en | x| p/2;

en 0x| pag

(B norte – números de Bernoulli).

funciones de pecado X y porque X se puede representar en forma de infinitos productos:

Sistema trigonométrico 1, cos X,pecado X, porque 2 X, pecado 2 X,¼,porque nx,pecado nx, ¼, se forma en el segmento [– pag, pag] sistema ortogonal funciones, lo que permite representar funciones en forma de series trigonométricas.

se definen como continuaciones analíticas de las funciones trigonométricas correspondientes del argumento real en plano complejo. si, pecado z y porque z se puede definir usando series para el pecado X y porque X, si en cambio X poner z:

Estas series convergen en todo el plano, por lo que sen z y porque z- funciones completas.

La tangente y la cotangente están determinadas por las fórmulas:

funciones tg z y ctg z– funciones meromórficas. postes tg z y segundo z– simple (1er orden) y ubicado en puntos z = pag/2 + pn, Polos CTG z y cosec z– también simple y ubicado en puntos z = pn, norte = 0, ±1, ±2,…

Todas las fórmulas que son válidas para funciones trigonométricas de un argumento real también lo son para una compleja. En particular,

pecado(- z) = –pecado z,

porque(– z) = porque z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

aquellos. Se conservan las paridades pares e impares. Las fórmulas también se guardan.

pecado ( z + 2pag) = pecado z, (z + 2pag) = porque z, (z + pag) = tg z, (z + pag) = ctg z,

aquellos. también se conserva la periodicidad y los períodos son los mismos que para las funciones de un argumento real.

Funciones trigonométricas se puede expresar mediante una función exponencial de un argumento puramente imaginario:

Atrás, e iz expresado en términos de cos z y el pecado z según la fórmula:

e iz= porque z + i pecado z

Estas fórmulas se llaman fórmulas de Euler. Leonhard Euler los desarrolló en 1743.

Las funciones trigonométricas también se pueden expresar en términos de funciones hiperbólicas:

z = –i sh es, cos z = ch iz, z = –i th iz.

donde sh, ch y th – seno hiperbólico, coseno y tangente.

Funciones trigonométricas de argumento complejo. z = x + iy, Dónde X Y y – numeros reales, se puede expresar mediante funciones trigonométricas e hiperbólicas de argumentos reales, por ejemplo:

pecado ( x + iy) = pecado X ch y + i porque X sh y;

porque( x + iy) = porque X ch y + i pecado X sh y.

El seno y el coseno de un argumento complejo pueden tomar valores reales, superior a 1 en valor absoluto. Por ejemplo:

Si un ángulo desconocido entra en una ecuación como argumento de funciones trigonométricas, entonces la ecuación se llama trigonométrica. Estas ecuaciones son tan comunes que sus métodos Las soluciones son muy detalladas y están cuidadosamente diseñadas. CON Con ayuda varias técnicas y las fórmulas reducen las ecuaciones trigonométricas a ecuaciones de la forma F(X)= un, Dónde F– cualquiera de las funciones trigonométricas más simples: seno, coseno, tangente o cotangente. Luego expresa el argumento. X esta función a través de su valor conocido A.

Como las funciones trigonométricas son periódicas, lo mismo A del rango de valores hay infinitos valores del argumento, y las soluciones de la ecuación no se pueden escribir como una única función de A. Por tanto, en el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas principales, se selecciona un apartado en el que toma todos sus valores, cada uno una sola vez, y en este apartado se encuentra la función inversa a la misma. Estas funciones se denotan agregando el prefijo arco (arco) al nombre de la función original y se denominan trigonométrica inversa. funciones o simplemente funciones de arco.

Funciones trigonométricas inversas.

Por el pecado X, porque X, tg X y ctg X Se pueden definir funciones inversas. En consecuencia, se denotan por arcoseno. X(lea "arcoseno" X"), arcos X, arctán X y arcctg X. Por definición, arcosen X hay tal numero y, Qué

pecado en = X.

Lo mismo ocurre con otras funciones trigonométricas inversas. Pero esta definición adolece de cierta inexactitud.

Si reflejas el pecado X, porque X, tg X y ctg X relativo a la bisectriz del primer y tercer cuadrante Plano coordinado, entonces las funciones, por su periodicidad, se vuelven ambiguas: el mismo seno (coseno, tangente, cotangente) corresponde a número infinito esquinas

Para eliminar la ambigüedad, una sección de la curva con un ancho de pag, en este caso es necesario que se mantenga una correspondencia uno a uno entre el argumento y el valor de la función. Se seleccionan áreas cercanas al origen de las coordenadas. Para seno en Como “intervalo uno a uno” tomamos el segmento [– pag/2, pag/2], en el que el seno aumenta monótonamente de –1 a 1, para el coseno – el segmento, para la tangente y cotangente, respectivamente, los intervalos (– pag/2, pag/2) y (0, pag). Cada curva en el intervalo se refleja con respecto a la bisectriz y ahora se pueden determinar funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, supongamos que se dé el valor del argumento. x0, tal que 0 Ј X 0 Ј 1. Entonces el valor de la función. y 0 = arcosen X 0 solo habrá un significado en 0 , tal que - pag/2 Ј en 0 Ј pag/2 y X 0 = pecado y 0 .

Por tanto, el arcoseno es función del arcosen. A, definido en el intervalo [–1, 1] e igual para cada A a tal valor, – pag/2 a p /2 que sen a = A. Es muy conveniente representarlo mediante un círculo unitario (Fig. 15). Cuando | un| 1 en una circunferencia hay dos puntos con ordenada a, simétrico respecto al eje Ud. Uno de ellos corresponde al ángulo a= arcosen A, y el otro es la esquina pag - a. CON teniendo en cuenta la periodicidad del seno, la solución ecuaciones de pecado X= A está escrito de la siguiente manera:

x =(–1)norte arcosin a + 2pn,

Dónde norte= 0, ±1, ±2,...

Otras ecuaciones trigonométricas simples se pueden resolver de la misma forma:

porque X = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2pn,

Dónde PAG= 0, ±1, ±2,... (Fig.16);

tg X = a;

X= arctán a + pag norte,

Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.17);

ctg X= A;

X= arcctg a + pag norte,

Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.18).

Propiedades básicas de funciones trigonométricas inversas:

arcosin X(Fig. 19): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango - [- pag/2, pag/2], función monótonamente creciente;

arccos X(Fig. 20): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango de valores – ; función monótonamente decreciente;

arctg X(Fig. 21): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (– pag/2, pag/2); función monótonamente creciente; derecho en= –pag/2 y y = pag /2 – asíntotas horizontales;

arcctg X(Fig. 22): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (0, pag); función monótonamente decreciente; derecho y= 0 y y = pag– asíntotas horizontales.

Para cualquiera z = x + iy, Dónde X Y y son números reales, las desigualdades se mantienen

½| e\e y–e-y| ≤|pecado z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

de los cuales en y® Ґ siguen fórmulas asintóticas (uniformemente con respecto a X)

|pecado z| » 1/2 mi |y| ,

|porque z| » 1/2 mi |y| .

Las funciones trigonométricas aparecieron por primera vez en relación con la investigación en astronomía y geometría. Las razones de los segmentos de un triángulo y un círculo, que son esencialmente funciones trigonométricas, se encuentran ya en el siglo III. antes de Cristo mi. en las obras de los matemáticos de la antigua Grecia. – Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga y otros, sin embargo, estas relaciones no eran un objeto de estudio independiente, por lo que no estudiaron las funciones trigonométricas como tales. Inicialmente fueron considerados como segmentos y en esta forma fueron utilizados por Aristarco (finales del siglo IV - segunda mitad del siglo III a. C.), Hiparco (siglo II a. C.), Menelao (siglo I d. C.) y Ptolomeo (siglo II d. C.) cuando. Resolver triángulos esféricos. Ptolomeo compiló la primera tabla de cuerdas para ángulos agudos cada 30" con una precisión de 10 -6. Esta fue la primera tabla de senos. Como proporción función pecado a ya se encuentra en Aryabhata (finales del siglo V). Las funciones tg a y ctg a se encuentran en al-Battani (segunda mitad del siglo IX - principios del X) y Abul-Wef (siglo X), quien también usa sec a y cosec a. Aryabhata ya conocía la fórmula (sin 2 a + cos 2 a) = 1, y también fórmulas de pecado y cos del medio ángulo, con la ayuda de la cual construí tablas de senos para ángulos cada 3°45"; en base a valores conocidos funciones trigonométricas para los argumentos más simples. Bhaskara (siglo XII) dio un método para construir tablas en términos de 1 usando fórmulas de suma. Regiomontanus (siglo XV) y J. Napier derivaron fórmulas para convertir la suma y la diferencia de funciones trigonométricas de varios argumentos en un producto en relación con la invención de los logaritmos (1614) de este último. Regiomontan dio una tabla de valores de senos en 1". La expansión de funciones trigonométricas en series de potencias fue obtenida por I. Newton (1669). En forma moderna La teoría de las funciones trigonométricas fue introducida por L. Euler (siglo XVIII). Él es dueño de su definición de verdad y argumentos complejos, el simbolismo actualmente aceptado, estableciendo una conexión con funcion exponencial y ortogonalidad del sistema de senos y cosenos.