El concepto de modelado matemático es breve. Modelado matemático

CONFERENCIA 4

Definición y propósito del modelado matemático.

Bajo modelo(del latín módulo - medida, muestra, norma) entenderemos un objeto representado material o mentalmente que en el proceso de cognición (estudio) reemplaza al objeto original, conservando algunas de sus características típicas que son importantes para este estudio. El proceso de construir y utilizar un modelo se llama modelado.

la esencia modelado matemático (MM) consiste en sustituir el objeto (proceso) en estudio por un modelo matemático adecuado y el posterior estudio de las propiedades de este modelo mediante métodos analíticos o experimentos computacionales.

A veces es más útil, en lugar de dar definiciones estrictas, describir un concepto particular en términos de ejemplo específico. Por lo tanto, ilustramos las definiciones anteriores de MM usando el ejemplo del problema de calcular el impulso específico. A principios de los años 60, los científicos se enfrentaron a la tarea de desarrollar combustible para cohetes con el mayor impulso específico. El principio de propulsión de un cohete es el siguiente: el combustible líquido y el oxidante de los tanques del cohete se suministran al motor, donde se queman y los productos de la combustión se liberan a la atmósfera. De la ley de conservación del impulso se deduce que en este caso el cohete se moverá con velocidad.

El impulso específico de un combustible es el impulso recibido dividido por la masa del combustible. La realización de experimentos era muy costosa y provocaba daños sistemáticos a los equipos. Resultó que era más fácil y económico calcular las funciones termodinámicas de los gases ideales, utilizándolas para calcular la composición de los gases que se escapan y la temperatura del plasma, y ​​luego el impulso específico. Es decir, realizar el MM del proceso de combustión del combustible.

El concepto de modelado matemático (MM) es uno de los más comunes en la literatura científica actual. La gran mayoría de los trabajos de diploma y disertación modernos están relacionados con el desarrollo y uso de recursos apropiados. modelos matemáticos. La computadora MM hoy es parte integrante muchas áreas de la actividad humana (ciencia, tecnología, economía, sociología, etc.). Ésta es una de las razones de la actual escasez de especialistas en el campo de la tecnología de la información.

El rápido crecimiento de los modelos matemáticos se debe a la rápida mejora de la tecnología informática. Si hace 20 años sólo un pequeño número de programadores se dedicaban a los cálculos numéricos, ahora la capacidad de memoria y la velocidad de los ordenadores modernos permiten resolver problemas de modelización matemática accesibles a todos los especialistas, incluidos los estudiantes universitarios.

En cualquier disciplina, primero se da una descripción cualitativa de los fenómenos. Y luego – cuantitativo, formulado en forma de leyes que establecen conexiones entre diferentes cantidades(intensidad de campo, intensidad de dispersión, carga de electrones, ...) en la forma ecuaciones matemáticas. Por tanto, podemos decir que en cada disciplina hay tanta ciencia como matemáticas, y este hecho permite resolver con éxito muchos problemas utilizando métodos de modelización matemática.

Este curso está diseñado para estudiantes con especialización en matemáticas aplicadas que están completando su trabajo de posgrado bajo la supervisión de científicos destacados que trabajan en diversos campos. Por lo tanto, este curso es necesario no sólo como material educativo, sino también como preparación para trabajo de diploma. Para estudiar este curso necesitaremos las siguientes secciones de matemáticas:

1. Ecuaciones de física matemática (mecánica de peraltes, gases e hidrodinámica)

2. Álgebra lineal (teoría de la elasticidad)

3. Escalar y campos vectoriales(teoría de campo)

4. Teoría de la probabilidad (mecánica cuántica, física estadística, cinética física)

5. Funciones especiales.

6. Análisis tensorial (teoría de la elasticidad)

7. Análisis matemático

MM en ciencias naturales, tecnología y economía.

Consideremos primero varias secciones de las ciencias naturales, la tecnología y la economía en las que se utilizan modelos matemáticos.

ciencias naturales

La física, que establece las leyes básicas de las ciencias naturales, se ha dividido durante mucho tiempo en teórica y experimental. La física teórica se ocupa de la derivación de ecuaciones que describen fenómenos físicos. Por tanto, la física teórica también puede considerarse una de las áreas de la modelización matemática. (Recuerde que el título del primer libro sobre física: "Los principios matemáticos de la filosofía natural" de I. Newton se puede traducir al lenguaje moderno como "Modelos matemáticos de las ciencias naturales"). Sobre la base de las leyes obtenidas, se realizan cálculos de ingeniería, que se llevan a cabo en varios institutos, empresas y oficinas de diseño. Estas organizaciones desarrollan tecnologías para la fabricación de productos modernos que requieren un uso intensivo de conocimientos. Por tanto, el concepto de tecnologías intensivas en ciencia incluye cálculos que utilizan modelos matemáticos apropiados.

Una de las ramas más extensas de la física es mecanica clasica(a veces esta sección se llama mecánica teórica o analítica). Esta sección fisica teorica Estudia el movimiento y la interacción de los cuerpos. Los cálculos utilizando fórmulas de mecánica teórica son necesarios al estudiar la rotación de cuerpos (cálculo de momentos de inercia, girostatos, dispositivos que mantienen estacionarios los ejes de rotación), analizando el movimiento de un cuerpo en espacio sin aire, etc. Una de las secciones de la mecánica teórica se llama teoría de la estabilidad y subyace a muchos modelos matemáticos que describen el movimiento de aviones, barcos y cohetes. Secciones de mecánica práctica: cursos "Teoría de máquinas y mecanismos", "Piezas de máquinas", son estudiados por estudiantes de casi todos universidades técnicas(incluido MGIU).

Teoría de la elasticidad– parte de una sección mecánica continua, que supone que el material de un cuerpo elástico es homogéneo y está distribuido continuamente por todo el volumen del cuerpo, de modo que el elemento más pequeño cortado del cuerpo tiene las mismas propiedades físicas que todo el cuerpo. La aplicación de la teoría de la elasticidad – el curso “Resistencia de los materiales”, lo estudian estudiantes de todas las universidades técnicas (incluida la Universidad Estatal de Moscú). Esta sección es necesaria para todos los cálculos de resistencia. Esto incluye el cálculo de la resistencia de los cascos de barcos, aviones, cohetes, el cálculo de la resistencia de las estructuras de acero y hormigón armado de los edificios y mucho más.

Gas e hidrodinámica, al igual que la teoría de la elasticidad, es parte de la sección mecánica continua, examina las leyes del movimiento de líquidos y gases. Las ecuaciones de gases e hidrodinámica son necesarias al analizar el movimiento de cuerpos en medios líquidos y gaseosos (satélites, submarinos, cohetes, proyectiles, automóviles), al calcular la salida de gas de las boquillas de los motores de cohetes y aviones. Aplicación práctica de la hidrodinámica - hidráulica (freno, dirección,...)

Las secciones anteriores de mecánica consideraron el movimiento de los cuerpos en el macrocosmos, y las leyes físicas del macrocosmos no son aplicables en el microcosmos, en el que se mueven partículas de materia: protones, neutrones, electrones. Aquí se aplican principios completamente diferentes, y para describir el micromundo es necesario mecánica cuántica. La ecuación básica que describe el comportamiento de las micropartículas es la ecuación de Schrödinger: . Aquí está el operador hamiltoniano (hamiltoniano). Para una ecuación unidimensional del movimiento de partículas https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-energía potencial. La solución a esto la ecuación es el conjunto valores propios energía y funciones propias..gif" width="55" height="24 src=">– densidad de probabilidad. Los cálculos de la mecánica cuántica son necesarios para el desarrollo de nuevos materiales (microcircuitos), la creación de láseres y el desarrollo de métodos de análisis espectral. , etc.

Resolver una gran cantidad de problemas. cinética, que describe el movimiento y la interacción de partículas. Aquí tenemos la difusión, la transferencia de calor y la teoría del plasma, el cuarto estado de la materia.

Física estadística considera conjuntos de partículas, nos permite decir sobre los parámetros del conjunto en función de las propiedades de las partículas individuales. Si el conjunto consta de moléculas de gas, entonces los métodos derivados física estadística las propiedades del conjunto son las ecuaciones de estado del gas, bien conocidas en la escuela secundaria: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=" >.gif" width="16" height="17">-peso molecular del gas. K – constante de Rydberg. Métodos estadísticos También se calculan las propiedades de soluciones, cristales y electrones en los metales. MM de física estadística – base teórica termodinámica, que subyace al cálculo de motores, redes de calefacción y estaciones.

teoría de campo describe utilizando métodos MM una de las principales formas de la materia: el campo. En este caso, el principal interés son los campos electromagnéticos. Maxwell derivó las ecuaciones del campo electromagnético (electrodinámica): , , . Aquí y https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - densidad de carga, - densidad de corriente. Las ecuaciones de electrodinámica subyacen a los cálculos de la propagación. de ondas electromagnéticas necesarias para describir la propagación de ondas de radio (radio, televisión, comunicaciones celulares) y explicar el funcionamiento de las estaciones de radar.

La química se puede presentar en dos vertientes, destacando la química descriptiva - el descubrimiento de factores químicos y su descripción - y la química teórica - el desarrollo de teorías que permiten generalizar factores establecidos y presentarlos en forma de un sistema específico (L. Pauling ). quimica teorica También se llama química física y es, en esencia, una rama de la física que estudia las sustancias y sus interacciones. Por tanto, todo lo dicho sobre la física se aplica plenamente a la química. Las ramas de la química física serán la termoquímica, que estudia efectos térmicos reacciones, cinética química (velocidad de reacción), química cuántica (estructura de las moléculas). Al mismo tiempo, los problemas químicos pueden ser extremadamente complejos. Por ejemplo, para resolver los problemas de la química cuántica (la ciencia de la estructura de los átomos y las moléculas) se utilizan programas de alcance comparable a los programas de defensa aérea del país. Por ejemplo, para describir la molécula UCl4, que consta de 5 núcleos atómicos y +17*4) electrones, es necesario escribir la ecuación de movimiento: ecuaciones diferenciales parciales.

Biología

Las matemáticas realmente llegaron a la biología recién en la segunda mitad del siglo XX. Los primeros intentan describir matemáticamente procesos biológicos relacionados con modelos de dinámica de poblaciones. Una población es una comunidad de individuos de una misma especie que ocupan una determinada zona del espacio de la Tierra. Esta área de la biología matemática, que estudia los cambios en el tamaño de la población en diversas condiciones (presencia de especies competidoras, depredadores, enfermedades, etc.) y posteriormente sirvió como campo de pruebas matemáticas en el que se “probaron” modelos matemáticos en diferentes áreas biología. Incluyendo modelos de evolución, microbiología, inmunología y otras áreas relacionadas con poblaciones celulares.
El primer modelo conocido formulado en una formulación biológica es la famosa serie de Fibonacci (cada número posterior es la suma de los dos anteriores), que Leonardo de Pisa citó en su obra del siglo XIII. Esta es una serie de números que describe la cantidad de parejas de conejos que nacen cada mes si los conejos comienzan a reproducirse a partir del segundo mes y producen una pareja de conejos cada mes. La fila representa una secuencia de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

8, 13, …

Otro ejemplo es el estudio de los procesos de transporte transmembrana de iones en una membrana bicapa artificial. Aquí, para estudiar las leyes de formación del poro a través del cual el ion pasa a través de la membrana hacia la célula, es necesario crear un sistema modelo que pueda estudiarse experimentalmente y para el cual pueda realizarse una descripción física bien desarrollada por la ciencia. utilizarse.

Un ejemplo clásico de MM es también la población de Drosophila. Un modelo aún más conveniente son los virus, que pueden propagarse in vitro. Los métodos de modelado en biología son métodos de la teoría de sistemas dinámicos, y las medias son ecuaciones diferenciales y en diferencias, métodos de la teoría cualitativa. ecuaciones diferenciales,modelado de simulación.
Objetivos del modelado en biología:
3. Aclaración de los mecanismos de interacción entre elementos del sistema.
4. Identificación y verificación de parámetros del modelo utilizando datos experimentales.
5. Evaluación de la estabilidad del sistema (modelo).

6. Pronosticar el comportamiento del sistema bajo diversas influencias externas, diversos métodos de control, etc.
7. Control óptimo del sistema de acuerdo con el criterio de optimización seleccionado.

Técnica

Mejora la tecnología gran número especialistas que basan su trabajo en los resultados investigación científica. Por lo tanto, el MM en tecnología es el mismo que el MM en ciencias naturales, que se analizó anteriormente.

Procesos económicos y sociales.

Generalmente se acepta que el modelado matemático como método de análisis macro. procesos económicos Fue utilizado por primera vez por el médico del rey Luis XV, el Dr. François Quesnay, quien en 1758 publicó la obra “Tabla Económica”. Este trabajo hizo el primer intento de describir cuantitativamente la economía nacional. Y en 1838 en el libro. O. Cournot"Estudiar principios matemáticos teorías de la riqueza" métodos cuantitativos se utilizaron por primera vez para analizar la competencia en el mercado de productos en diversas situaciones de mercado.

También es ampliamente conocida la teoría de la población de Malthus, en la que propuso la idea: el crecimiento de la población no siempre es deseable, y este crecimiento es más rápido que el crecimiento de la capacidad de proporcionar alimentos a la población. El modelo matemático de tal proceso es bastante simple: supongamos que el crecimiento de la población durante el tiempo https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> sea igual a . y - coeficientes que tienen en cuenta la fecundidad y la mortalidad (personas/año).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Métodos instrumentales y matemáticos " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">métodos matemáticos de análisis (por ejemplo, en las últimas décadas, teorías matemáticas Se construyeron y estudiaron el desarrollo de la cultura, modelos matemáticos de movilización, desarrollo cíclico de los procesos socioculturales, un modelo de interacción entre el pueblo y el gobierno, un modelo de carrera armamentista, etc.

En términos más generales, el proceso de MM de los procesos socioeconómicos se puede dividir en cuatro etapas:

formulación de un sistema de hipótesis y desarrollo de un modelo conceptual; desarrollo de un modelo matemático; análisis de los resultados de los cálculos del modelo, que incluye compararlos con la práctica; formulación de nuevas hipótesis y refinamiento del modelo en caso de discrepancia entre los resultados del cálculo y los datos prácticos.

Tenga en cuenta que, por regla general, el proceso de modelado matemático es de naturaleza cíclica, ya que incluso cuando se estudian procesos relativamente simples, rara vez es posible construir un modelo matemático adecuado y seleccionar sus parámetros exactos desde el primer paso.

Actualmente la economía se considera compleja sistema en desarrollo, para una descripción cuantitativa de qué modelos matemáticos dinámicos de diversos grados de complejidad se utilizan. Una de las áreas de investigación en dinámica macroeconómica está asociada con la construcción y análisis de modelos de simulación no lineales relativamente simples que reflejan la interacción de varios subsistemas: el mercado laboral, el mercado de bienes, el sistema financiero, entorno natural etc.

La teoría de las catástrofes se está desarrollando con éxito. Esta teoría considera la cuestión de las condiciones bajo las cuales un cambio en los parámetros de un sistema no lineal hace que un punto en el espacio de fases, que caracteriza el estado del sistema, se mueva desde la región de atracción a la posición de equilibrio inicial a la región de atracción. a otra posición de equilibrio. Esto último es muy importante no sólo para el análisis de sistemas técnicos, sino también para comprender la sostenibilidad de los procesos socioeconómicos. En este sentido, los hallazgos son de interés. sobre la importancia de estudiar modelos no lineales para la gestión. En el libro "La teoría de las catástrofes", publicado en 1990, escribe, en particular: "... la reestructuración actual se explica en gran medida por el hecho de que al menos algunos mecanismos han comenzado a funcionar comentario(miedo a la destrucción personal)”.

(parámetros del modelo)

Al construir modelos de objetos y fenómenos reales, a menudo uno tiene que lidiar con una falta de información. Para el objeto en estudio, la distribución de propiedades, los parámetros de impacto y el estado inicial se conocen con distintos grados de incertidumbre. Al construir un modelo, son posibles las siguientes opciones para describir parámetros inciertos:

Clasificación de modelos matemáticos.

(métodos de implementación)

Los métodos para implementar MM se pueden clasificar según la siguiente tabla.

La computadora ha entrado firmemente en nuestras vidas y prácticamente no hay ámbito de la actividad humana donde no se utilice una computadora. Las computadoras ahora se utilizan ampliamente en el proceso de creación e investigación de nuevas máquinas, nuevos procesos tecnológicos y la búsqueda de sus opciones óptimas; al resolver problemas económicos, al resolver problemas de planificación y gestión de la producción en varios niveles. La creación de objetos de gran tamaño en cohetes, fabricación de aviones, construcción naval, así como el diseño de presas, puentes, etc., es generalmente imposible sin el uso de ordenadores.

Usar una computadora para resolver problemas aplicados, en primer lugar, el problema aplicado debe "traducirse" a un lenguaje matemático formal, es decir, para un objeto, proceso o sistema real, se debe construir su modelo matemático.

La palabra "modelo" proviene del latín modus (copia, imagen, esquema). El modelado es el reemplazo de algún objeto A por otro objeto B. El objeto reemplazado A se llama objeto original o de modelado, y el reemplazo B se llama modelo. En otras palabras, un modelo es un objeto sustituto del objeto original, que permite el estudio de algunas propiedades del original.

El propósito del modelado es obtener, procesar, presentar y utilizar información sobre objetos que interactúan entre sí y con el entorno externo; y el modelo aquí actúa como un medio para comprender las propiedades y patrones de comportamiento de un objeto.

El modelado matemático es un medio para estudiar un objeto, proceso o sistema real reemplazándolo con un modelo matemático que sea más conveniente para investigación experimental usando una computadora.

El modelado matemático es el proceso de construir y estudiar modelos matemáticos de procesos y fenómenos reales. Todo natural y ciencia social, que utilizan aparatos matemáticos, se dedican esencialmente a la modelización matemática: reemplazan objeto real su modelo y luego estudiar este último. Como ocurre con cualquier modelo, un modelo matemático no describe completamente el fenómeno que se está estudiando y las preguntas sobre la aplicabilidad de los resultados obtenidos de esta manera son muy significativas. Un modelo matemático es una descripción simplificada de la realidad utilizando conceptos matemáticos.

Un modelo matemático expresa las características esenciales de un objeto o proceso en el lenguaje de ecuaciones y otras herramientas matemáticas. De hecho, las matemáticas mismas deben su existencia a lo que intentan reflejar, es decir. modela por tu cuenta lenguaje específico patrones del mundo circundante.

En modelado matemático el estudio de un objeto se realiza a través de un modelo formulado en el lenguaje de las matemáticas utilizando ciertos métodos matemáticos.

El camino del modelado matemático en nuestro tiempo es mucho más completo que el modelado a gran escala. La llegada de las computadoras dio un gran impulso al desarrollo de los modelos matemáticos, aunque el método en sí se originó simultáneamente con las matemáticas hace miles de años.

El modelado matemático como tal no siempre requiere soporte informático. Todo especialista involucrado profesionalmente en el modelado matemático hace todo lo posible para estudiar analíticamente el modelo. Las soluciones analíticas (es decir, presentadas mediante fórmulas que expresan los resultados del estudio a través de los datos iniciales) suelen ser más convenientes e informativas que las numéricas. Sin embargo, las capacidades de los métodos analíticos para resolver problemas matemáticos complejos son muy limitadas y, por regla general, estos métodos son mucho más complejos que los numéricos.

Un modelo matemático es una representación aproximada de objetos, procesos o sistemas reales, expresados ​​en términos matemáticos y preservando las características esenciales del original. Los modelos matemáticos en forma cuantitativa, utilizando construcciones lógicas y matemáticas, describen las propiedades básicas de un objeto, proceso o sistema, sus parámetros, conexiones internas y externas.

Todos los modelos se pueden dividir en dos clases:

1. real,
2. perfecto.

A su vez, los modelos reales se pueden dividir en:

1. escala completa,
2. físico,
3. matemático.

Los modelos ideales se pueden dividir en:

1. visual,
2. icónico,
3. matemático.

Los modelos reales a escala real son objetos, procesos y sistemas reales en los que se llevan a cabo experimentos científicos, técnicos e industriales.

Real modelos fisicos- estos son modelos, muñecos, reproducciones propiedades fisicas originales (modelos cinemáticos, dinámicos, hidráulicos, térmicos, eléctricos, de iluminación).

Los verdaderos modelos matemáticos son los modelos analógicos, estructurales, geométricos, gráficos, digitales y cibernéticos.

Los modelos visuales ideales son diagramas, mapas, dibujos, gráficos, gráficos, análogos, modelos estructurales y geométricos.

Los modelos de signos ideales son símbolos, alfabeto, lenguajes de programación, notación ordenada, notación topológica y representación de red.

Los modelos matemáticos ideales son los modelos analíticos, funcionales, de simulación y combinados.

En la clasificación anterior, algunos modelos tienen una doble interpretación (por ejemplo, analógico). Todos los modelos, excepto los de escala real, se pueden combinar en una clase de modelos mentales, porque son un producto del pensamiento abstracto humano.

Elementos de la teoría de juegos

EN caso general Resolver el juego es una tarea bastante difícil y la complejidad del problema y la cantidad de cálculos necesarios para resolverlo aumentan considerablemente a medida que aumenta . Sin embargo, estas dificultades no son de carácter fundamental y están asociadas únicamente con un volumen muy grande de cálculos, que en algunos casos pueden resultar prácticamente imposibles. El aspecto principal del método para encontrar una solución sigue siendo para cualquier el mismo.

Ilustremos esto con el ejemplo de un juego. Démosle una interpretación geométrica, ya espacial. Nuestras tres estrategias estarán representadas por tres puntos en el plano. ; el primero se encuentra en el origen (Fig. 1). el segundo y tercero - en los ejes Oh Y Oh a distancias 1 desde el principio.

Los ejes I-I, II-II y III-III se trazan a través de los puntos, perpendiculares al plano. . En el eje I-I están los beneficios de la estrategia; en los ejes II-II y III-III están los beneficios de las estrategias. Cada estrategia enemiga estará representado por un avión cortando en ejes I-I, II-II y III-III, segmentos iguales a ganancias

con estrategia y estrategia adecuadas . Habiendo construido así todas las estrategias del enemigo, obtenemos una familia de aviones sobre el triángulo (Fig. 2).

Para esta familia, también puedes construir un límite inferior para el pago, como hicimos en el caso, y encontrar en este límite el punto N con la altura máxima en el plano. . Esta altura será el precio del juego.

Las frecuencias de estrategias en la estrategia óptima estarán determinadas por las coordenadas. (x,y) puntos N, a saber:

Sin embargo, esto construcción geométrica incluso en este caso no es fácil de implementar y requiere altos costos tiempo y esfuerzo de la imaginación. En el caso general del juego, se transfiere a - espacio dimensional y pierde toda claridad, aunque el uso de terminología geométrica en varios casos puede resultar útil. Al resolver juegos en la práctica, es más conveniente utilizar no analogías geométricas, sino métodos analíticos calculados, especialmente porque para resolver el problema en computadoras estos métodos son los únicos adecuados.

Básicamente, todos estos métodos se reducen a resolver un problema mediante pruebas sucesivas, pero ordenar la secuencia de pruebas le permite construir un algoritmo que conduzca a una solución de la manera más económica.

Aquí veremos brevemente un método de cálculo para resolver juegos. - sobre el llamado método " programación lineal».

Para hacer esto, primero demos entorno general Problemas para encontrar una solución a un juego. Que se dé un juego con t estrategias del jugador A Y norte estrategias del jugador EN y se da la matriz de pago

Se requiere encontrar una solución al juego, es decir, dos estrategias mixtas óptimas de los jugadores A y B.

donde (algunos de los números y pueden ser iguales a cero).

Nuestra estrategia óptima S*A debería proporcionarnos una ganancia no menor que , para cualquier comportamiento del enemigo, y una ganancia igual a , para su comportamiento óptimo (estrategia S*B).Estrategia similar S*B debe proporcionar al enemigo una pérdida no mayor que , para cualquiera de nuestros comportamientos e igual para nuestro comportamiento óptimo (estrategia S*A).

El valor del juego en este caso lo desconocemos; asumiremos que es igual a algún número positivo. Al creer de esta manera, no violamos la generalidad del razonamiento; Para que sea > 0, obviamente basta con que todos los elementos de la matriz sean no negativos. Esto siempre se puede lograr agregando un tamaño suficientemente grande. valor positivo L; en este caso, el precio del juego aumentará en L, pero la solución no cambiará.

Elijamos nuestra estrategia óptima. S*A. Entonces nuestro pago promedio bajo la estrategia del oponente será igual a:

Nuestra estrategia óptima S*A tiene la propiedad de que, por cualquier comportamiento del enemigo, proporciona una ganancia no menor que; por lo tanto, ninguno de los números no puede ser menor que . Obtenemos una serie de condiciones:

(1)

Dividamos las desigualdades (1) por un valor positivo y denotemos:

Entonces la condición (1) se escribirá como

(2)

Dónde - números no negativos. Porque las cantidades satisfacen la condición

Queremos que nuestras ganancias garantizadas sean lo más altas posible; Evidentemente, en este caso, el lado derecho de la igualdad (3) toma un valor mínimo.

Así, el problema de encontrar una solución al juego se reduce al siguiente problema matemático: determinar cantidades no negativas , satisfaciendo las condiciones (2), de modo que su suma

fue mínimo.

Por lo general, al resolver problemas relacionados con la búsqueda de valores extremos (máximos y mínimos), la función se diferencia y las derivadas se igualan a cero. Pero tal técnica es inútil en este caso, ya que la función Ф, que necesito minimizar, es lineal y sus derivadas con respecto a todos los argumentos son iguales a uno, es decir, no desaparecen en ninguna parte. En consecuencia, el máximo de la función se alcanza en algún lugar del límite del rango de cambios en los argumentos, que está determinado por el requisito de no negatividad de los argumentos y las condiciones (2). La técnica de encontrar valores extremos mediante diferenciación tampoco es adecuada en los casos en que se determina el máximo del límite inferior (o mínimo del superior) de ganancias para resolver el juego, como lo hicimos nosotros. por ejemplo, lo hicieron al resolver juegos. De hecho, el límite inferior está formado por secciones de líneas rectas y el máximo no se alcanza en el punto donde la derivada es igual a cero (no existe tal punto). sino en el límite del intervalo o en el punto de intersección de tramos rectos.

para resolver tareas similares, que se encuentra con bastante frecuencia en la práctica, se ha desarrollado un aparato especial en matemáticas programación lineal.

El problema de programación lineal se formula de la siguiente manera.

Dado un sistema de ecuaciones lineales:

(4)

Se requiere encontrar valores no negativos de cantidades que satisfagan las condiciones (4) y al mismo tiempo minimicen el homogéneo dado función lineal cantidades ( forma lineal):

Es fácil ver que el problema de teoría de juegos planteado anteriormente es un caso especial de un problema de programación lineal con

A primera vista, puede parecer que las condiciones (2) no son equivalentes a las condiciones (4), ya que en lugar de signos de igualdad contienen signos de desigualdad. Sin embargo, es fácil deshacerse de los signos de desigualdad introduciendo nuevas variables ficticias no negativas y escribiendo condiciones (2) en la forma:

(5)

La forma Φ que debe minimizarse es igual a

El aparato de programación lineal permite seleccionar valores utilizando un número relativamente pequeño de muestras sucesivas. , satisfaciendo los requisitos indicados. Para mayor claridad, demostraremos aquí el uso de este aparato directamente sobre el material de resolución de juegos específicos.

Contenidos Materia de modelización matemática. Conceptos básicos del modelado. El concepto de modelo. Principio de modelado. La modelización como método de conocimiento científico. Etapas de modelado. Características de las etapas 1 – 2. Etapas de modelado. Características de 3 – 4 etapas. Clasificación de modelos. Descripción general. Clasificación de modelos económicos y matemáticos. Etapas de la modelización económica y matemática. Modelo matemático. Programación lineal. Planteamiento del problema de programación lineal. Interpretación geométrica Y solución gráfica Problemas de programación lineal. Método simplex. Construcción de la inicial. plan de referencia. Tablas simplex. Signo de optimización del plan de referencia. El concepto de dualidad. Construcción de problemas duales y sus propiedades. Problema de transporte. Construcción del plano de referencia inicial. Problema de transporte. Método de potenciales.

Contenidos Conceptos básicos y definiciones de la teoría de grafos. Ordenar los elementos de un dígrafo. Algoritmo de Fulkerson. Resolver problemas sobre encontrar caminos más cortos en el gráfico. El problema del flujo máximo y sus aplicaciones. Problema de transporte en una formulación de red. Elementos planificación de red. Principios de programación dinámica, procedimiento computacional del método. Método Montecarlo. La esencia del método. Resolución de problemas mediante el método de Montecarlo. Elementos de la teoría de los juegos matriciales. Juegos de matrices emparejados de suma cero. Métodos para resolver juegos matriciales. Juegos con la naturaleza. Criterios para la toma de decisiones. Paquete Maple 7. Descripción general del paquete. Sus capacidades. Interfaz del programa, trabajando con comandos. Usando variables. Trabajar con tablas.

Tema de modelización matemática. Conceptos básicos del modelado El modelado matemático es el estudio de fenómenos, procesos, sistemas u objetos mediante la construcción y el estudio de sus modelos y el uso de estos últimos para determinar o aclarar las características y formas racionales de construir procesos, sistemas y objetos tecnológicos de nuevo diseño. Un modelo matemático es una abstracción del mundo real, en el que las relaciones entre los investigadores de interés elementos reales reemplazado por relaciones adecuadas entre categorías matemáticas. Estas relaciones generalmente se presentan en forma de ecuaciones y (o) desigualdades que caracterizan el funcionamiento del modelo. sistema real. El arte de construir modelos matemáticos consiste en combinar la mayor brevedad posible en su descripción matemática con suficiente precisión en la reproducción del modelo de exactamente aquellos aspectos de la realidad analizada que interesan al investigador. Menú de simulación - proceso creativo, que requiere una preparación y procesamiento serios de una gran cantidad de información, combina intensidad de trabajo y principios heurísticos y es de naturaleza probabilística.

El concepto de modelo. El modelado como método de conocimiento científico Un modelo es una semejanza simplificada de un objeto, fenómeno o proceso real. Un modelo es un objeto material o mentalmente imaginable que reemplaza al objeto original para los fines de su estudio, conservando algunas características y propiedades típicas del original que son importantes para este estudio. Un modelo bien construido suele ser más accesible para la investigación que un objeto real (por ejemplo, la economía de un país, el sistema solar, etc.). Otros, nada menos cita importante El modelo es que con su ayuda se identifican los factores más importantes que forman determinadas propiedades de un objeto. El modelo también le permite aprender a controlar un objeto, lo cual es importante en los casos en que experimentar con un objeto es inconveniente, difícil o imposible (por ejemplo, cuando el experimento tiene una duración prolongada o cuando existe el riesgo de llevar el objeto a un estado indeseable o irreversible). Por tanto, podemos concluir que un modelo es necesario para: comprender cómo está estructurado un objeto específico: cuál es su estructura, propiedades básicas, leyes de desarrollo e interacción con el mundo exterior; aprender a gestionar un objeto o proceso y determinar los mejores métodos de gestión para objetivos y criterios determinados (optimización); El menú predice las consecuencias directas e indirectas de la implementación. métodos dados y formas de influencia sobre el objeto, proceso.

Etapas de modelado Características de la etapa 1 Etapa I. Planteamiento del problema Una tarea en el sentido más general se entiende como un determinado problema que debe resolverse. Lo principal es definir el objeto de modelado y comprender cuál debería ser el resultado. Según la naturaleza de la formulación, todos los problemas se pueden dividir en dos grupos principales. El primer grupo incluye tareas en las que es necesario estudiar cómo cambian las características de un objeto bajo alguna influencia sobre él. Esta formulación del problema suele denominarse “qué pasará si…”. El segundo grupo de problemas tiene la siguiente formulación generalizada: qué impacto se debe tener en el objeto para que sus parámetros satisfagan un cierto condición dada? Esta formulación del problema a menudo se denomina “cómo hacer para que...”. Los objetivos de la simulación están determinados por los parámetros de diseño del modelo. En la mayoría de los casos, se trata de una búsqueda de una respuesta a la pregunta planteada en la formulación del problema. Luego pasan a una descripción del objeto o proceso. En esta etapa se identifican los factores de los que depende el comportamiento del modelo. Al modelar en hojas de cálculo, solo se pueden tener en cuenta aquellos parámetros que tengan características cuantitativas. A veces, el problema ya se puede formular de forma simplificada y establece claramente los objetivos y define los parámetros del modelo que deben tenerse en cuenta. Al analizar un objeto, es necesario responder. siguiente pregunta: ¿Se puede considerar el objeto o proceso en estudio como un todo o es un sistema formado por objetos más simples? Si se trata de un todo único, entonces se puede proceder a construir un modelo de información. Si se trata de un sistema, es necesario pasar a analizar los objetos que lo componen y determinar las conexiones entre ellos. Menú

Etapas de modelado Características de la etapa 2 Etapa II. Desarrollo del modelo A partir de los resultados del análisis del objeto, se modelo de información. Describe en detalle todas las propiedades de un objeto, sus parámetros, acciones y relaciones. A continuación, el modelo de información debe expresarse en una de las formas simbólicas. Teniendo en cuenta que trabajaremos en un entorno de hoja de cálculo, el modelo de información debe convertirse a uno matemático. A partir de información y modelos matemáticos, se elabora un modelo informático en forma de tablas, en las que se distinguen tres áreas de datos: datos iniciales, cálculos intermedios y resultados. Los datos de origen se ingresan manualmente. Los cálculos, tanto intermedios como finales, se realizan mediante fórmulas escritas según las reglas de las hojas de cálculo. Menú

Etapas de modelado Características de la etapa 3 Etapa III. Experimento informático Para dar vida a nuevos desarrollos de diseño, introducir nuevas soluciones técnicas en producción o probar nuevas ideas, se necesita un experimento. En el pasado reciente, un experimento de este tipo podía llevarse a cabo en condiciones de laboratorio en instalaciones especialmente creadas para ello, o in situ, es decir, sobre una muestra real del producto, sometiéndolo a todo tipo de pruebas. Esto requiere mucho costos de materiales y tiempo. Los estudios informáticos de modelos acudieron al rescate. Al realizar un experimento por computadora, se verifica la exactitud de los modelos. El comportamiento del modelo se estudia bajo varios parámetros del objeto. Cada experimento va acompañado de una comprensión de los resultados. Si los resultados de un experimento informático contradicen el significado del problema que se está resolviendo, entonces el error debe buscarse en un modelo elegido incorrectamente o en el algoritmo y método para resolverlo. Después de identificar y eliminar errores, se repite el experimento informático. Menú

Etapas de modelado Características de la etapa 4 Etapa IV. Análisis de los resultados del modelado La etapa final del modelado es el análisis del modelo. Basándonos en los datos de cálculo obtenidos, comprobamos en qué medida los cálculos se corresponden con nuestros objetivos de comprensión y modelado. En esta etapa se determinan recomendaciones para mejorar el modelo adoptado y, de ser posible, el objeto o proceso. Menú

Clasificación de modelos Clasificación por área de uso Educativo: ayudas visuales, varios simuladores, programas de formación. Experimentado: copias reducidas o ampliadas del objeto en estudio para su posterior estudio (modelos de barco, automóvil, avión, central hidroeléctrica). Se crean modelos científicos y técnicos para estudiar procesos y fenómenos (un soporte para probar televisores; un sincrotrón, un acelerador de electrones, etc.). Juegos: militares, económicos, deportivos, de negocios. Imitación: reflejar la realidad con distintos grados de precisión (probar un nuevo fármaco en una serie de experimentos con ratones; experimentos para introducir nuevas tecnologías en la producción). Clasificación teniendo en cuenta el factor tiempo Modelo estático: modelo de un objeto en en este momento tiempo. modelo dinámico le permite ver los cambios en un objeto a lo largo del tiempo. Menú

Clasificación de modelos Clasificación por método de representación Un modelo material es una similitud física de un objeto. Reproducen las propiedades geométricas y físicas del original (pájaros disecados, muñecos de animales, órganos internos del cuerpo humano, geográficos y mapas historicos, diagrama del sistema solar). Un modelo de información es un conjunto de información que caracteriza las propiedades y estados de un objeto, proceso, fenómeno, así como la relación con mundo exterior. Cualquier modelo de información contiene sólo información esencial sobre un objeto, teniendo en cuenta el propósito para el cual fue creado. Los modelos de información de un mismo objeto, destinados a diferentes propósitos, pueden ser completamente diferentes. Modelo verbal - modelo de información en mental o forma coloquial. Un modelo de signos es un modelo de información expresado mediante signos especiales, es decir, mediante cualquier lenguaje formal. Los modelos icónicos son dibujos, textos, gráficos, diagramas, tablas, etc. Un modelo de computadora es un modelo implementado utilizando un entorno de software. Antes de construir un modelo de un objeto (fenómeno, proceso), es necesario identificar sus elementos constituyentes y las conexiones entre ellos (dibujar análisis del sistema) y “traducir” la estructura resultante a alguna forma predeterminada: formalizar la información. La formalización del menú es un proceso de selección y traducción. estructura interna objeto, fenómeno o proceso en un determinado estructura de información- forma.

Clasificación de modelos económicos y matemáticos Los modelos económicos y matemáticos son modelos de procesos económicos controlados y regulados que se utilizan para transformar la realidad económica. La idoneidad de los modelos para modelar objetos está determinada por la coincidencia de los resultados de la investigación con los hechos observados. La práctica en este caso significa realidad. Según su finalidad, los modelos económicos y matemáticos se dividen en teóricos y analíticos aplicados. Los modelos económicos y matemáticos se dividen en modelos de toda la economía nacional y sus subsistemas (sectores, regiones, etc.). Los modelos son funcionales y estructurales. Los modelos pueden ser descriptivos o normativos. Los modelos descriptivos responden a la pregunta: ¿cómo sucede esto y cómo puede desarrollarse más? Los modelos normativos responden a la pregunta: ¿cómo debería ser esto? Es decir, implican una actividad con un propósito. Existen modelos estrictamente deterministas y modelos que tienen en cuenta la aleatoriedad y la incertidumbre. Los modelos pueden ser estáticos o dinámicos. Según la duración del período considerado, se distinguen modelos de previsión y planificación a corto plazo (1 a 5 años) y a largo plazo (10 a 15 años o más). El tiempo mismo en tales modelos puede cambiar de forma continua o discreta. Los modelos de menú pueden ser lineales o no lineales.

Etapas de la modelización económica y matemática. Puesta en escena problema económico y su análisis. Lo principal es determinar la esencia del problema, los supuestos formulados y las preguntas a las que se requieren respuestas. La etapa incluye resaltar las características y propiedades más importantes de un objeto, haciendo abstracción de las secundarias. Formación de hipótesis, si es necesario, que expliquen el comportamiento y desarrollo del objeto. Construcción de un modelo matemático. Etapa de formalización de un problema económico. Es un error creer que cuantos más hechos tenga en cuenta un modelo, mejor será. Cambiar la complejidad y la complejidad del modelo complica el proceso de investigación. Necesidad de tener en cuenta oportunidades reales información y soporte matemático. Es necesario comparar el coste del modelado con el efecto resultante. uno de las características más importantes modelo matemático es la posibilidad potencial de utilizarlos para resolver diversos problemas. Menú

Etapas de la modelización económica y matemática. Análisis matemático del modelo. El objetivo de esta etapa es conocer propiedades generales modelos. Lo importante es demostrar la existencia de una solución. Preparación de la información inicial Es necesario tener en cuenta cuánto tiempo llevará recopilarla. información necesaria, tenga en cuenta los costos de preparación de la información. En el proceso de preparación se utilizan ampliamente los métodos de la teoría de la probabilidad, la estadística teórica y matemática. Solución numérica. Desarrollo de algoritmos para la solución numérica del problema, compilación de programas informáticos y cálculos directos. La dificultad en esta etapa surge de la gran dimensión de los problemas económicos y de la necesidad de procesar cantidades significativas de información. Análisis del menú resultados numéricos y su aplicación. En esta etapa, surge la pregunta sobre la exactitud e integridad de los resultados del modelado y el grado de su aplicabilidad práctica.

Programación lineal. Esta es una rama del modelado matemático, todas cuyas dependencias son lineales. El modelo matemático de cualquier problema de programación lineal tiene la forma Z= max(min) Condiciones del menú para no negatividad Xj ≥ 0

Ejemplo: En la fabricación de los productos u 1 y u 2 se utilizan tornos y fresadoras, así como acero y metales no ferrosos de acuerdo con estándares tecnológicos para la producción de una unidad de producto u 1, 300 y 200 unidades de; Se necesitan equipos de torneado y fresado, respectivamente (en horas), y 10 y 20 unidades de acero y metales no ferrosos (en kg.). para producir el producto u se requieren 2, 400, 100, 70, 50 unidades de los mismos recursos, respectivamente. El taller tiene 12400 y 6800 horas, 640 y 840 kg. material. Beneficio de las ventas por unidad de producto u 1=6000 den. unidades , u 2=16000 den. unidades Obligatorio: resuma los datos de origen en una tabla conveniente para construir un modelo. Crea un modelo matemático del problema. Determine el plan de producción de los productos, garantice el máximo beneficio, siempre que se aproveche al máximo el tiempo de funcionamiento de las fresadoras.

Solución: Sea x1 el número de productos u 1, y x2 el número de productos u 2, z sea la ganancia total.

Programación lineal. Esta es una forma de notación común o derivada. Las variables Xj que satisfacen el sistema de restricciones y la condición de no negatividad se denominan admisibles. Las variables válidas que convierten la función objetivo en máxima o mínima se denominan óptimas. Los métodos para resolver este tipo de problemas se dividen en universales y especiales. Se utiliza un método universal para resolver cualquier PLP. Los métodos especiales tienen en cuenta las características del modelo. Una característica especial del ZLP es que la función objetivo máxima (mínima) alcanza el límite de la región soluciones admisibles. Los PLP incluyen: el problema de elegir tecnologías óptimas; problema de mezcla; problema de corte de material; problema de transporte; El problema del menú tiene que ver con el mejor uso de los recursos; problema de colocación de pedidos;

Enunciado del problema de programación lineal Cualquier ZLP se escribe utilizando un modelo matemático. Existen 3 formas de grabación PAP Menú General (gratis)

Enunciado del problema de programación lineal Todas estas formas son equivalentes. Para pasar del máximo al mínimo (o viceversa), es necesario cambiar los signos de cada término en la notación de la función objetivo. Para convertir una desigualdad de la forma en una desigualdad de la forma (y viceversa), debes multiplicar ambos lados de la desigualdad por -1. Menú Canónico (principal) Para convertir la desigualdad en igualdad (y viceversa), es necesario sumar o restar del lado izquierdo una variable adicional no negativa, se llama variable de equilibrio. Al escribir la función objetivo, ésta tiene un coeficiente =0.

Según el libro de texto de Sovetov y Yakovlev: "un modelo (lat. módulo - medida) es un objeto sustituto del objeto original, que garantiza el estudio de algunas propiedades del original". (p. 6) “Reemplazar un objeto por otro para obtener información sobre las propiedades más importantes del objeto original utilizando un objeto modelo se llama modelado”. (p. 6) “Por modelización matemática entendemos el proceso de establecer una correspondencia de un determinado objeto real con un determinado objeto matemático, llamado modelo matemático, y el estudio de este modelo, que nos permite obtener las características del objeto real. objeto bajo consideración. El tipo de modelo matemático depende tanto de la naturaleza del objeto real como de las tareas de estudiar el objeto y de la confiabilidad y precisión requeridas para resolver este problema”.

Finalmente, la definición más concisa de un modelo matemático: "Una ecuación que expresa una idea."

Clasificación de modelos

Clasificación formal de modelos.

La clasificación formal de modelos se basa en la clasificación de las herramientas matemáticas utilizadas. A menudo se construye en forma de dicotomías. Por ejemplo, uno de los conjuntos populares de dicotomías:

etcétera. Cada modelo construido es lineal o no lineal, determinista o estocástico, ... Naturalmente, también son posibles los tipos mixtos: concentrados en un aspecto (en términos de parámetros), modelos distribuidos en otro, etc.

Clasificación según la forma en que se representa el objeto.

Además de la clasificación formal, los modelos se diferencian en la forma en que representan un objeto:

• Modelos estructurales o funcionales

Los modelos estructurales representan un objeto como un sistema con su propia estructura y mecanismo de funcionamiento. Los modelos funcionales no utilizan tales representaciones y reflejan solo el comportamiento (funcionamiento) percibido externamente de un objeto. En su expresión extrema, también se les llama modelos de “caja negra”. También son posibles tipos combinados de modelos, que a veces se denominan modelos de “caja gris”.

Contenidos y modelos formales.

Casi todos los autores que describen el proceso de modelado matemático indican que primero se construye una estructura ideal especial, modelo de contenido. No existe una terminología establecida aquí, y otros autores llaman a este objeto ideal modelo conceptual , modelo especulativo o premodelo. En este caso, la construcción matemática final se llama modelo formal o simplemente un modelo matemático obtenido como resultado de la formalización de un modelo significativo dado (premodelo). La construcción de un modelo significativo se puede llevar a cabo utilizando un conjunto de idealizaciones ya hechas, como en mecánica, donde resortes ideales, cuerpos rígidos, péndulos ideales, medios elásticos, etc. elementos estructurales para un modelado significativo. Sin embargo, en áreas del conocimiento donde no existen teorías formalizadas completamente completas (la vanguardia de la física, la biología, la economía, la sociología, la psicología y la mayoría de las otras áreas), la creación de modelos significativos se vuelve dramáticamente más difícil.

Clasificación de contenido de modelos.

Ninguna hipótesis científica puede probarse de una vez por todas. Richard Feynman lo formuló muy claramente:

“Siempre tenemos la oportunidad de refutar una teoría, pero tenga en cuenta que nunca podremos demostrar que sea correcta. Supongamos que ha planteado una hipótesis exitosa, ha calculado adónde conduce y ha descubierto que todas sus consecuencias se confirman experimentalmente. ¿Significa esto que tu teoría es correcta? No, simplemente significa que no pudiste refutarlo”.

Si se construye un modelo del primer tipo, esto significa que temporalmente se reconoce como verdad y uno puede concentrarse en otros problemas. Sin embargo, esto no puede ser un punto en la investigación, sino sólo una pausa temporal: el estado de un modelo del primer tipo sólo puede ser temporal.

Tipo 2: Modelo fenomenológico (nos comportamos como si…)

Un modelo fenomenológico contiene un mecanismo para describir un fenómeno. Sin embargo, este mecanismo no es lo suficientemente convincente, no puede ser confirmado suficientemente por los datos disponibles o no encaja bien con las teorías existentes y el conocimiento acumulado sobre el objeto. Por tanto, los modelos fenomenológicos tienen el estatus de soluciones temporales. Se cree que aún se desconoce la respuesta y se debe continuar la búsqueda de los “verdaderos mecanismos”. Peierls incluye, por ejemplo, el modelo calórico y el modelo de quarks de partículas elementales como segundo tipo.

El papel del modelo en la investigación puede cambiar con el tiempo, y puede suceder que nuevos datos y teorías confirmen los modelos fenomenológicos y sean promovidos al estado de hipótesis. Asimismo, los nuevos conocimientos pueden entrar gradualmente en conflicto con las hipótesis del primer tipo y pueden traducirse al segundo. Así, el modelo de quarks está pasando gradualmente a la categoría de hipótesis; El atomismo en física surgió como una solución temporal, pero con el transcurso de la historia se convirtió en el primer tipo. Pero los modelos del éter han pasado del tipo 1 al tipo 2 y ahora están fuera de la ciencia.

La idea de simplificación es muy popular a la hora de construir modelos. Pero la simplificación se presenta de diferentes formas. Peierls identifica tres tipos de simplificaciones en el modelado.

Tipo 3: Aproximación (consideramos algo muy grande o muy pequeño)

Si es posible construir ecuaciones que describan el sistema en estudio, esto no significa que puedan resolverse incluso con la ayuda de una computadora. Una técnica común en este caso es el uso de aproximaciones (modelos tipo 3). entre ellos modelos de respuesta lineal. Las ecuaciones se reemplazan por lineales. Un ejemplo estándar es la ley de Ohm.

Aquí viene el tipo 8, que está muy extendido en los modelos matemáticos de sistemas biológicos.

Tipo 8: Demostración de funciones (Lo principal es mostrar la coherencia interna de la posibilidad.)

Estos también son experimentos mentales con entidades imaginarias, que demuestran que supuesto fenómeno consistente con principios básicos e internamente consistente. Ésta es la principal diferencia con los modelos del tipo 7, que revelan contradicciones ocultas.

Uno de los experimentos más famosos es la geometría de Lobachevsky (Lobachevsky la llamó “geometría imaginaria”). Otro ejemplo es la producción en masa de modelos formalmente cinéticos de vibraciones químicas y biológicas, ondas automáticas, etc. La paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen fue concebida como un modelo de tipo 7 para demostrar la inconsistencia de la mecánica cuántica. De forma completamente imprevista, finalmente se convirtió en un modelo tipo 8, una demostración de la posibilidad de teletransportación cuántica de información.

Ejemplo

consideremos sistema mecanico, que consta de un resorte fijado en un extremo y una masa de masa metro unido al extremo libre del resorte. Supondremos que la carga solo puede moverse en la dirección del eje del resorte (por ejemplo, el movimiento se produce a lo largo de la varilla). Construyamos un modelo matemático de este sistema. Describiremos el estado del sistema por la distancia. incógnita desde el centro de la carga hasta su posición de equilibrio. Describamos la interacción del resorte y la carga usando ley de hooke (F = − kincógnita ) y luego usar la segunda ley de Newton para expresarlo en forma de ecuación diferencial:

donde significa la segunda derivada de incógnita por tiempo: .

La ecuación resultante describe el modelo matemático del considerado. sistema fisico. Este modelo se llama "oscilador armónico".

Según la clasificación formal, este modelo es lineal, determinista, dinámico, concentrado, continuo. En el proceso de su construcción, hicimos muchas suposiciones (sobre la ausencia de fuerzas externas, la ausencia de fricción, la pequeñez de las desviaciones, etc.), que en realidad pueden no cumplirse.

En relación con la realidad, este suele ser un modelo de tipo 4. simplificación(“omitiremos algunos detalles para mayor claridad”), ya que se omiten algunas características universales esenciales (por ejemplo, la disipación). Hasta cierto punto (por ejemplo, si bien la desviación de la carga respecto del equilibrio es pequeña, con baja fricción, durante no demasiado tiempo y sujeta a otras condiciones determinadas), dicho modelo describe bastante bien un sistema mecánico real, ya que los factores descartados tienen un efecto insignificante sobre su comportamiento. Sin embargo, el modelo puede perfeccionarse teniendo en cuenta algunos de estos factores. Esto conducirá a un nuevo modelo, con un ámbito de aplicabilidad más amplio (aunque también limitado).

Sin embargo, al perfeccionar el modelo, la complejidad de su investigación matemática puede aumentar significativamente y hacer que el modelo sea prácticamente inútil. A menudo, un modelo más simple permite una exploración mejor y más profunda de un sistema real que uno más complejo (y, formalmente, “más correcto”).

Si aplicamos el modelo oscilador armónico a objetos alejados de la física, su estatus sustantivo puede ser diferente. Por ejemplo, al aplicar este modelo a poblaciones biológicas, lo más probable es que debería clasificarse como tipo 6 analogía(“tengamos en cuenta sólo algunas características”).

Modelos duros y blandos.

El oscilador armónico es un ejemplo del llamado modelo "duro". Se obtiene como resultado de una fuerte idealización de un sistema físico real. Para resolver la cuestión de su aplicabilidad, es necesario comprender cuán importantes son los factores que hemos descuidado. En otras palabras, es necesario estudiar el modelo “blando”, que se obtiene mediante una pequeña perturbación del modelo “duro”. Se puede configurar, por ejemplo, la siguiente ecuación:

Aquí hay alguna función que puede tener en cuenta la fuerza de fricción o la dependencia del coeficiente de rigidez del resorte del grado de estiramiento, un pequeño parámetro. Forma de función explícita F No estamos interesados ​​por el momento. Si demostramos que el comportamiento de un modelo blando no es fundamentalmente diferente del comportamiento de uno duro (independientemente del tipo explícito de factores perturbadores, si son lo suficientemente pequeños), el problema se reducirá al estudio del modelo duro. De lo contrario, aplicar los resultados obtenidos del estudio del modelo rígido requerirá investigación adicional. Por ejemplo, la solución a la ecuación de un oscilador armónico son funciones de la forma , es decir, oscilaciones con amplitud constante. ¿Se sigue de esto que un oscilador real oscilará indefinidamente con una amplitud constante? No, porque considerando un sistema con una fricción arbitrariamente pequeña (siempre presente en un sistema real), obtenemos oscilaciones amortiguadas. El comportamiento del sistema ha cambiado cualitativamente.

Si un sistema mantiene su comportamiento cualitativo ante pequeñas perturbaciones, se dice que es estructuralmente estable. Un oscilador armónico es un ejemplo de un sistema estructuralmente inestable (no rugoso). Sin embargo, este modelo se puede utilizar para estudiar procesos durante períodos de tiempo limitados.

Versatilidad de modelos.

Los modelos matemáticos más importantes suelen tener la importante propiedad versatilidad: fundamentalmente diferente fenómenos reales puede describirse mediante el mismo modelo matemático. Por ejemplo, un oscilador armónico describe no sólo el comportamiento de una carga sobre un resorte, sino también otros procesos oscilatorios, a menudo de naturaleza completamente diferente: pequeñas oscilaciones de un péndulo, fluctuaciones en el nivel de un líquido en Ud.-vaso en forma o un cambio en la intensidad de la corriente en circuito oscilatorio. Así, al estudiar un modelo matemático, estudiamos inmediatamente toda una clase de fenómenos descritos por él. Es este isomorfismo de leyes expresadas por modelos matemáticos en varios segmentos. conocimiento científico, la inspiración de Ludwig von Bertalanffy para crear la “Teoría General de Sistemas”.

Problemas directos e inversos de modelización matemática.

Hay muchos problemas asociados con el modelado matemático. Primero, es necesario elaborar un diagrama básico del objeto modelado y reproducirlo en el marco de las idealizaciones de esta ciencia. Así, un vagón de tren se convierte en un sistema de placas y cuerpos más complejos hechos de diferentes materiales, cada material se especifica según su idealización mecánica estándar (densidad, módulos elásticos, características de resistencia estándar), después de lo cual se elaboran ecuaciones, en el camino algunas los detalles se descartan por no ser importantes, se hacen cálculos, se comparan con medidas, se refina el modelo, etc. Sin embargo, para desarrollar tecnologías de modelado matemático, resulta útil desmontar este proceso en sus componentes principales.

Tradicionalmente, existen dos clases principales de problemas asociados con los modelos matemáticos: directos e inversos.

tarea directa: la estructura del modelo y todos sus parámetros se consideran conocidos, la tarea principal es realizar un estudio del modelo para extraer conocimientos útiles sobre el objeto. ¿Qué carga estática soportará el puente? Cómo reaccionará ante una carga dinámica (por ejemplo, ante la marcha de una compañía de soldados o ante el paso de un tren a diferentes velocidades), cómo superará el avión la barrera del sonido, si se desmoronará por el aleteo. Estos son ejemplos típicos de un problema directo. Plantear el problema directo correcto (formular la pregunta correcta) requiere una habilidad especial. Si no se formulan las preguntas adecuadas, un puente puede colapsar, incluso si se ha construido un buen modelo de su comportamiento. Entonces, en 1879, en Inglaterra, se derrumbó un puente de metal sobre el río Tay, cuyos diseñadores construyeron un modelo del puente, calcularon que tenía un factor de seguridad de 20 veces para la acción de la carga útil, pero se olvidaron constantemente de los vientos. soplando en esos lugares. Y después de un año y medio se derrumbó.

En el caso más simple (una ecuación de oscilador, por ejemplo), el problema directo es muy simple y se reduce a una solución explícita de esta ecuación.

problema inverso: se conocen muchos modelos posibles, se debe seleccionar un modelo específico en función de datos adicionales sobre el objeto. En la mayoría de los casos, se conoce la estructura del modelo y es necesario determinar algunas parámetros desconocidos. La información adicional puede consistir en datos empíricos adicionales o requisitos para el objeto ( problema de diseño). Pueden llegar datos adicionales independientemente del proceso de resolución del problema inverso ( observación pasiva) o ser el resultado de un experimento especialmente planeado durante la solución ( vigilancia activa).

Uno de los primeros ejemplos de una solución magistral a un problema inverso con el máximo uso de los datos disponibles fue el método construido por I. Newton para reconstruir las fuerzas de fricción a partir de las oscilaciones amortiguadas observadas.

Ejemplos adicionales

Dónde incógnita s- el tamaño de la población en “equilibrio”, en el que la tasa de natalidad es exactamente compensada por la tasa de mortalidad. El tamaño de la población en tal modelo tiende a un valor de equilibrio incógnita s, y este comportamiento es estructuralmente estable.

Este sistema tiene un estado de equilibrio cuando el número de conejos y zorros es constante. La desviación de este estado produce fluctuaciones en el número de conejos y zorros, similares a las fluctuaciones de un oscilador armónico. Al igual que ocurre con el oscilador armónico, este comportamiento no es estructuralmente estable: un pequeño cambio en el modelo (por ejemplo, tener en cuenta los recursos limitados que necesitan los conejos) puede conducir a un cambio cualitativo en el comportamiento. Por ejemplo, el estado de equilibrio puede estabilizarse y las fluctuaciones numéricas desaparecerán. La situación opuesta también es posible, cuando cualquier pequeña desviación de la posición de equilibrio tendrá consecuencias catastróficas, hasta la extinción completa de una de las especies. El modelo de Volterra-Lotka no responde a la pregunta de cuál de estos escenarios se está realizando: se requiere investigación adicional al respecto.

Notas

1. “Una representación matemática de la realidad” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Sobre cuestiones filosóficas del modelado cibernético. M., Conocimiento, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelado de sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. y adicional - M.: Más alto. escuela, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modelado matemático. Ideas. Métodos. Ejemplos. . - 2ª ed., revisada - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A.D., Elementos de la teoría de modelos matemáticos. - 3ª ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikcionario: modelo matemático
7. AcantiladosNotas
8. Reducción de modelos y enfoques generales para fenómenos multiescala, Springer, serie Complexity, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 2006. XII+562 págs. ISBN 3-540-35885-4
9. “Una teoría se considera lineal o no lineal dependiendo de qué tipo de aparato matemático (lineal o no lineal) y qué tipo de modelos matemáticos lineales o no lineales utiliza. ...sin negar esto último. Un físico moderno, si tuviera que recrear la definición de una entidad tan importante como la no linealidad, probablemente actuaría de manera diferente y, dando preferencia a la no linealidad como el más importante y extendido de los dos opuestos, definiría la linealidad como "no linealidad". no linealidad”. Danilov Yu., Conferencias sobre dinámica no lineal. Introducción elemental. Serie “Sinergética: del pasado al futuro”. Edición 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. « Sistemas dinámicos, simulado número finito Las ecuaciones diferenciales ordinarias se denominan sistemas concentrados o puntuales. Se describen utilizando un espacio de fase de dimensión finita y se caracterizan por un número finito de grados de libertad. El mismo sistema en diferentes condiciones puede considerarse concentrado o distribuido. Los modelos matemáticos de sistemas distribuidos son ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones integrales o ecuaciones de retardo ordinarias. El número de grados de libertad de un sistema distribuido es infinito y se requiere numero infinito datos para determinar su condición." Anishchenko V. S., Sistemas dinámicos, revista educativa Soros, 1997, núm. 11, p. 77-84.
11. “Dependiendo de la naturaleza de los procesos que se estudian en el sistema S, todos los tipos de modelado se pueden dividir en deterministas y estocásticos, estáticos y dinámicos, discretos, continuos y discretos-continuos. El modelado determinista refleja procesos deterministas, es decir, procesos en los que se supone la ausencia de influencias aleatorias; modelado estocástico muestra procesos y eventos probabilísticos. ... El modelado estático sirve para describir el comportamiento de un objeto en cualquier momento, y modelado dinámico Refleja el comportamiento de un objeto a lo largo del tiempo. El modelado discreto se utiliza para describir procesos que se supone que son discretos, respectivamente, el modelado continuo nos permite reflejar procesos continuos en sistemas, y el modelado discreto-continuo se utiliza para los casos en los que se quiere resaltar la presencia de procesos tanto discretos como continuos. " Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelado de sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. y adicional - M.: Más alto. escuela, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Normalmente, un modelo matemático refleja la estructura (dispositivo) del objeto modelado, las propiedades y relaciones de los componentes de este objeto que son esenciales para los fines de la investigación; Tal modelo se llama estructural. Si el modelo refleja sólo cómo funciona el objeto, por ejemplo, cómo reacciona a las influencias externas, entonces se le llama funcional o, en sentido figurado, caja negra. También son posibles modelos combinados. Myshkis A.D., Elementos de la teoría de modelos matemáticos. - 3ª ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
13. “La etapa inicial obvia, pero más importante, en la construcción o selección de un modelo matemático es obtener una imagen lo más clara posible sobre el objeto que se está modelando y refinar su modelo significativo, basándose en discusiones informales. No debes perder tiempo y esfuerzo en esta etapa; de ello depende en gran medida el éxito de todo el estudio. Ha sucedido más de una vez que un importante trabajo dedicado a resolver un problema matemático resultó ineficaz o incluso desperdiciado debido a la insuficiente atención prestada a este aspecto del asunto”. Myshkis A.D., Elementos de la teoría de modelos matemáticos. - 3ª ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4, pág. 35.
14. « Descripción del modelo conceptual del sistema. En esta subetapa de construcción de un modelo de sistema: a) el modelo conceptual M se describe en términos y conceptos abstractos; b) se proporciona una descripción del modelo utilizando esquemas matemáticos estándar; c) finalmente se aceptan hipótesis y supuestos; d) se justifica la elección del procedimiento para aproximar procesos reales al construir un modelo.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelado de sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. y adicional - M.: Más alto. escuela, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pág. 93.

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1. Conceptos básicos de modelización matemática.

Solución problemas prácticos Los métodos matemáticos se llevan a cabo consistentemente formulando el problema (desarrollando un modelo matemático), eligiendo un método para estudiar el modelo matemático resultante y analizando el resultado matemático obtenido. formulación matemática Los problemas suelen representarse en forma de imágenes geométricas, funciones, sistemas de ecuaciones, etc. La descripción de un objeto (fenómeno) se puede representar mediante formas matemáticas continuas o discretas, deterministas o estocásticas y otras.

La teoría del modelado matemático asegura la identificación de patrones de ocurrencia de diversos fenómenos del mundo circundante o el funcionamiento de sistemas y dispositivos a través de sus descripción matemática y modelado sin pruebas a gran escala. En este caso, se utilizan las disposiciones y leyes de las matemáticas, que describen fenómenos, sistemas o dispositivos simulados en algún nivel de su idealización.

Un modelo matemático (MM) es una descripción formalizada de un sistema (u operación) en algún lenguaje abstracto, por ejemplo, en forma de un conjunto de relaciones matemáticas o un diagrama de algoritmo, es decir, una descripción matemática que proporciona una simulación de la operación de sistemas o dispositivos a un nivel suficientemente cercano a su comportamiento real obtenido durante pruebas a gran escala de sistemas o dispositivos. Cualquier MM describe un objeto, fenómeno o proceso real con algún grado de aproximación a la realidad. El tipo de MM depende tanto de la naturaleza del objeto real como de los objetivos del estudio.

El modelado matemático de fenómenos, objetos, sistemas y diversos dispositivos sociales, económicos, biológicos y físicos es uno de medios esenciales Conocimiento de la naturaleza y diseño de una amplia variedad de sistemas y dispositivos. Se conocen ejemplos del uso eficaz de la modelización en la creación de tecnologías nucleares, sistemas aeronáuticos y aeroespaciales, en la previsión de fenómenos atmosféricos y oceánicos, el tiempo, etc.

Sin embargo, áreas tan serias del modelado a menudo requieren supercomputadoras y años de trabajo por parte de grandes equipos de científicos para preparar datos para el modelado y su depuración. Sin embargo, en este caso, el modelado matemático sistemas complejos y dispositivos no solo ahorran dinero en investigación y pruebas, sino que también pueden eliminar desastres ambientales; por ejemplo, le permite abandonar la energía nuclear y armas termonucleares a favor de su modelización matemática o pruebas de sistemas aeroespaciales antes de sus vuelos reales.

Mientras tanto, el modelado matemático a nivel de resolución de problemas más simples, por ejemplo, del campo de la mecánica, la ingeniería eléctrica, la electrónica, la ingeniería de radio y muchas otras áreas de la ciencia y la tecnología, ahora está disponible para su ejecución en las PC modernas. Y cuando se utilizan modelos generalizados, es posible simular sistemas bastante complejos, por ejemplo, sistemas y redes de telecomunicaciones, radares o sistemas de radionavegación.

El propósito del modelado matemático es analizar procesos reales (en la naturaleza o en la tecnología) utilizando métodos matemáticos. A su vez, esto requiere la formalización del proceso de MM a estudiar. El modelo puede ser expresión matemática, que contiene variables cuyo comportamiento es similar al comportamiento del sistema real. El modelo puede incluir elementos de aleatoriedad que tengan en cuenta probabilidades. posibles acciones dos o más "jugadores", como en la teoría de juegos; o puede representar las variables reales de las partes interconectadas del sistema operativo.

El modelado matemático para estudiar las características de los sistemas se puede dividir en analítico, de simulación y combinado. A su vez, los MM se dividen en simulados y analíticos.

2. Características de la construcción de modelos matemáticos.

Para utilizar una computadora para resolver problemas aplicados, en primer lugar, el problema aplicado debe "traducirse" a un lenguaje matemático formal, es decir, Para un objeto, proceso o sistema real, se debe construir su modelo matemático.

Los modelos matemáticos en forma cuantitativa, utilizando construcciones lógicas y matemáticas, describen las propiedades básicas de un objeto, proceso o sistema, sus parámetros, conexiones internas y externas.

Para construir un modelo matemático necesitas:

Analizar cuidadosamente un objeto o proceso real;

Destacar sus características y propiedades más significativas;

Definir variables, es decir parámetros cuyos valores afectan las principales características y propiedades del objeto;

Describir la dependencia de las propiedades básicas de un objeto, proceso o sistema de los valores de las variables utilizando relaciones lógico-matemáticas (ecuaciones, igualdades, desigualdades, construcciones lógico-matemáticas);

Resaltar las conexiones internas de un objeto, proceso o sistema utilizando restricciones, ecuaciones, igualdades, desigualdades, construcciones lógicas y matemáticas;

Identificar conexiones externas y describirlas utilizando restricciones, ecuaciones, igualdades, desigualdades, construcciones lógicas y matemáticas.

La modelización matemática, además de estudiar un objeto, proceso o sistema y elaborar una descripción matemática del mismo, también incluye:

Construcción de un algoritmo que modela el comportamiento de un objeto, proceso o sistema;

Comprobar la idoneidad del modelo y del objeto, proceso o sistema basándose en experimentos computacionales y a gran escala;

Ajuste del modelo;

Usando el modelo.

La descripción matemática de los procesos y sistemas en estudio depende de:

La naturaleza de un proceso o sistema real y se compila sobre la base de las leyes de la física, química, mecánica, termodinámica, hidrodinámica, ingeniería eléctrica, teoría de la plasticidad, teoría de la elasticidad, etc.

La necesaria fiabilidad y precisión en el estudio e investigación de procesos y sistemas reales.

En la etapa de selección de un modelo matemático se establece: linealidad y no linealidad de un objeto, proceso o sistema, dinamismo o estaticidad, estacionariedad o no estacionariedad, así como el grado de determinismo del objeto o proceso en estudio. En el modelado matemático, se abstrae deliberadamente de la naturaleza física específica de los objetos, procesos o sistemas y se centra principalmente en el estudio de las dependencias cuantitativas entre cantidades que describen estos procesos.

Un modelo matemático nunca es completamente idéntico al objeto, proceso o sistema bajo consideración. Basado en la simplificación y la idealización, es una descripción aproximada del objeto. Por tanto, los resultados obtenidos del análisis del modelo son aproximados. Su precisión está determinada por el grado de adecuación (cumplimiento) entre el modelo y el objeto.

La construcción de un modelo matemático generalmente comienza con la construcción y análisis del modelo matemático más simple y crudo del objeto, proceso o sistema bajo consideración. En el futuro, si es necesario, se perfecciona el modelo y se completa su correspondencia con el objeto. Tomemos un ejemplo sencillo. Es necesario determinar la superficie del escritorio. Normalmente, esto se hace midiendo su largo y ancho y luego multiplicando los números resultantes. Este procedimiento elemental en realidad significa lo siguiente: un objeto real (la superficie de la mesa) se reemplaza por un modelo matemático abstracto: un rectángulo. Las dimensiones obtenidas midiendo el largo y el ancho de la superficie de la mesa se asignan al rectángulo, y el área de dicho rectángulo se toma aproximadamente como el área requerida de la mesa.

Sin embargo, el modelo rectangular de escritorio es el modelo más simple y tosco. Si aborda el problema más seriamente, antes de utilizar un modelo rectangular para determinar el área de la mesa, es necesario verificar este modelo. Las comprobaciones se pueden realizar de la siguiente manera: medir las longitudes lados opuestos tabla, así como las longitudes de sus diagonales y compararlas entre sí. Si, con el grado de precisión requerido, las longitudes de los lados opuestos y las longitudes de las diagonales son iguales en pares, entonces la superficie de la mesa realmente puede considerarse como un rectángulo. De lo contrario, el modelo rectangular tendrá que ser rechazado y reemplazado por un modelo cuadrilátero general. Si se requiere mayor precisión, puede ser necesario perfeccionar aún más el modelo, por ejemplo, para tener en cuenta el redondeo de las esquinas de la mesa.

con esto ejemplo sencillo Se demostró que el modelo matemático no está determinado únicamente por el objeto, proceso o sistema que se estudia. Para la misma tabla podemos adoptar un modelo de rectángulo, un modelo más complejo de cuadrilátero general o un cuadrilátero con esquinas redondeadas. La elección de un modelo u otro viene determinada por la exigencia de precisión. Con una precisión cada vez mayor, el modelo debe ser complicado, teniendo en cuenta cada vez más características del objeto, proceso o sistema que se está estudiando.

Consideremos otro ejemplo: estudiar el movimiento de un mecanismo de manivela (Fig. 4).

Para el análisis cinemático de este mecanismo, en primer lugar es necesario construir su modelo cinemático. Para hacer esto: reemplazamos el mecanismo con su diagrama cinemático, donde todos los enlaces son reemplazados por conexiones rígidas. Usando este diagrama, derivamos la ecuación de movimiento del mecanismo, derivando este último, obtenemos ecuaciones de velocidades y aceleración, que son. ecuaciones diferenciales de 1º y 2º orden.

Escribamos estas ecuaciones:

donde C 0 es la posición extrema derecha del control deslizante C:

r- radio manivela AB;

yo- longitud biela antes de Cristo;

Ángulo del cigüeñal;

Las ecuaciones trascendentales resultantes representan un modelo matemático del movimiento de un mecanismo de manivela axial plano, basado en las siguientes suposiciones simplificadoras: no estábamos interesados ​​en formas estructurales y la ubicación de las masas incluidas en el mecanismo de los cuerpos, y todos los cuerpos del mecanismo, los reemplazamos con segmentos rectos. De hecho, todos los eslabones del mecanismo tienen masa y bastante forma compleja. Por ejemplo, una biela es una conexión prefabricada compleja, cuya forma y dimensiones, por supuesto, influirán en el movimiento del mecanismo, al construir un modelo matemático del movimiento del mecanismo en cuestión, tampoco lo tuvimos en cuenta; cuenta la elasticidad de los cuerpos incluidos en el mecanismo, es decir todos los enlaces fueron considerados como cuerpos abstractos absolutamente rígidos. En realidad, todos los cuerpos incluidos en el mecanismo son cuerpos elásticos. Cuando el mecanismo se mueve, de alguna manera se deformarán e incluso pueden producirse vibraciones elásticas en ellos. Todo esto, por supuesto, también afectará al movimiento del mecanismo; no tuvimos en cuenta el error de fabricación de los eslabones, los huecos en los pares cinemáticos A, B, C, etc.

Por lo tanto, es importante enfatizar una vez más que cuanto mayores sean los requisitos para la precisión de los resultados de la resolución de un problema, mayor será la necesidad de tener en cuenta las características del objeto, proceso o sistema en estudio al construir un modelo matemático. Sin embargo, es importante detenerse aquí en el tiempo, ya que un modelo matemático complejo puede convertirse en un problema difícil de resolver.

Un modelo se construye más fácilmente cuando las leyes que determinan el comportamiento y las propiedades de un objeto, proceso o sistema son bien conocidas y existe una gran experiencia practica sus aplicaciones.Más situación difícil Ocurre cuando nuestro conocimiento sobre el objeto, proceso o sistema que se está estudiando es insuficiente. En este caso, al construir un modelo matemático, es necesario hacer supuestos adicionales que tienen el carácter de hipótesis; dicho modelo se denomina hipotético; Las conclusiones obtenidas como resultado del estudio de un modelo tan hipotético son condicionales. Para verificar las conclusiones, es necesario comparar los resultados del estudio del modelo en una computadora con los resultados de un experimento a gran escala. Por tanto, la cuestión de la aplicabilidad de un determinado modelo matemático al estudio del objeto, proceso o sistema considerado no es una cuestión matemática y no puede resolverse mediante métodos matemáticos.

El principal criterio de la verdad es el experimento, la práctica en sí misma. en un sentido amplio esta palabra.

La construcción de un modelo matemático en problemas aplicados es una de las etapas de trabajo más complejas e importantes. La experiencia demuestra que, en muchos casos, elegir el modelo adecuado significa resolver el problema en más de la mitad. La dificultad de esta etapa es que requiere una combinación de conocimientos matemáticos y especiales. Por eso, es muy importante que a la hora de resolver problemas aplicados, los matemáticos tengan conocimientos especiales sobre el objeto, y sus socios, especialistas, tengan cierta cultura matemática, experiencia investigadora en su campo, conocimientos de informática y programación.

3. Modelo matemático generalizado

El modelo matemático describe la relación entre los datos iniciales y las cantidades deseadas. Los elementos del modelo matemático generalizado son (Fig.1):

· conjunto de datos de entrada (variables) X,Y; X es un conjunto de variables variables; Y - variables independientes (constantes);

· operador matemático L, que define operaciones sobre estos datos; por lo que se entiende el sistema completo operaciones matemáticas, que describe relaciones numéricas o lógicas entre conjuntos de datos de entrada y salida (variables);

· conjunto de datos de salida (variables) G(X,Y); es un conjunto de funciones criterio, incluida (si es necesario) una función objetivo.

Un modelo matemático es un análogo matemático del objeto diseñado. El grado de adecuación al objeto está determinado por la formulación y corrección de las soluciones al problema de diseño.

El conjunto de parámetros variados (variables) X forma el espacio de parámetros variados R x (espacio de búsqueda), que es métrico con dimensión n, igual al numero parámetros variables.

El conjunto de variables independientes Y forma el espacio métrico de datos de entrada R y. En el caso de que cada componente del espacio R y esté especificado por el rango valores posibles, el conjunto de variables independientes se asigna a algún subespacio limitado del espacio R y .

El conjunto de variables independientes Y determina el entorno operativo del objeto, es decir Condiciones externas en las que funcionará el objeto diseñado. Estas pueden ser:

Parámetros técnicos del objeto que no están sujetos a cambios durante el proceso de diseño;

Perturbaciones físicas del entorno con el que interactúa el objeto de diseño;

Parámetros tácticos que debe alcanzar el objeto de diseño.

Los datos de salida del modelo generalizado considerado forman un espacio métrico de indicadores de criterio R G .

El diagrama para utilizar un modelo matemático en un sistema de diseño asistido por computadora se muestra en la Fig. 2.

4. Requisitos A matemático modelos

resultado del problema del modelo matemático

Los principales requisitos para MO son los requisitos de adecuación, precisión y eficiencia.

1. Adecuación: la capacidad de mostrar las propiedades especificadas de un objeto con un error no superior al especificado.

2. Precisión: evaluada por el grado de concordancia entre los valores de los parámetros de un objeto real y los calculados mediante modelos matemáticos.

3. Universalidad: caracteriza la integridad de la representación de las propiedades de un objeto real en el modelo.

4. Rentabilidad: generalmente se caracteriza por el gasto necesario de memoria y tiempo de la computadora. A veces se estima por el número de operaciones necesarias para un acceso al modelo. Aparecen requisitos similares de precisión y eficiencia al elegir métodos numéricos para resolver ecuaciones del modelo.

Los requisitos de universalidad, precisión y adecuación, por un lado, y eficiencia, por otro, son contradictorios. Esto determina el funcionamiento de toda una gama de modelos que se diferencian en determinadas propiedades.

5. Métodos para obtener un modelo matemático.

1. Selección de propiedades del objeto que se van a reflejar en el modelo. La elección se basa en un análisis de las posibles aplicaciones del modelo y determina el grado de universalidad del MM.

2. Recopilación de información inicial sobre las propiedades seleccionadas del objeto. Las fuentes de información pueden ser: la experiencia y conocimientos del ingeniero que desarrolla el modelo; literatura científica y técnica, principalmente literatura de referencia; descripciones de prototipos: MM disponibles para elementos que son similares en sus propiedades al objeto en estudio; resultados de la medición experimental de parámetros, etc.

3. Síntesis de la estructura MM. Estructura MM-- vista general relaciones matemáticas del modelo sin especificación valores numéricos parámetros que aparecen en ellos. La estructura del modelo también se puede presentar en forma gráfica, por ejemplo, en forma de diagrama o gráfico equivalente. La síntesis de estructuras es la operación más importante y más difícil de formalizar.

4. Cálculo de valores numéricos de parámetros MM. Este problema se plantea como el problema de minimizar el error de un modelo de una estructura determinada.

5. Evaluar la exactitud y adecuación del MM. Para evaluar la precisión se deben utilizar valores que no se utilizaron al resolver el problema.

6. La implementación del MM funcional en una computadora implica la elección de un método numérico para resolver ecuaciones y la transformación de ecuaciones de acuerdo con las características del método elegido. El objetivo final de las transformaciones es obtener un programa de análisis de trabajo en forma de una secuencia de acciones elementales (aritmética y operaciones lógicas), implementado mediante comandos informáticos. Las transformaciones especificadas del MM original en una secuencia de acciones elementales las realiza automáticamente la computadora utilizando programas especiales creados por un ingeniero, un desarrollador de CAD. El ingeniero usuario de CAD sólo necesita indicar cuál de los programas disponibles desea utilizar. El proceso de transformaciones de MM relacionadas con varios niveles jerárquicos se ilustra en la Figura 3.

Figura 3 Proceso de transformación de modelos matemáticos de PDE - ecuaciones diferenciales parciales; ODE: ecuaciones diferenciales ordinarias; AU - ecuaciones algebraicas; LEA - ecuaciones algebraicas lineales; 1...12 - formas mutuamente dirigidas de discretizar variables en MM

7. El ingeniero usuario establece la información inicial sobre el objeto analizado y sobre los procedimientos de diseño a realizar en un lenguaje orientado a problemas del paquete de software que le resulte conveniente. La rama 1 en la Figura 5.1 corresponde a la formulación de un problema relacionado con el nivel micro como un problema de límites, generalmente en forma de PDE. Los métodos numéricos para resolver PDE se basan en la discretización de variables y la algebraización del problema.

La discretización implica reemplazar variables continuas. conjunto finito sus valores en los intervalos espaciales y temporales especificados para el estudio; algebraización: al reemplazar derivadas con relaciones algebraicas.

6. Uso de modelos matemáticos

La potencia informática de las computadoras modernas, combinada con la provisión de todos los recursos del sistema al usuario, la posibilidad de un modo interactivo al resolver un problema y analizar los resultados, nos permite minimizar el tiempo necesario para resolver un problema.

Al compilar un modelo matemático, el investigador debe:

· estudiar las propiedades del objeto en estudio;

· la capacidad de separar las propiedades principales de un objeto de las secundarias;

· evaluar las suposiciones realizadas.

El modelo describe la relación entre los datos iniciales y las cantidades deseadas. La secuencia de acciones que se deben realizar para pasar de los datos iniciales a los valores deseados se llama algoritmo.

El algoritmo para resolver el problema está asociado con la elección de un método numérico. Dependiendo de la forma de representación del modelo matemático (algebraica o diferencial), se utilizan varios métodos numéricos.

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