Ejemplos de conversión de expresiones logarítmicas. Logaritmos: ejemplos y soluciones.

Instrucciones

Escribe la expresión logarítmica dada. Si la expresión usa el logaritmo de 10, entonces su notación se acorta y queda así: lg b es el logaritmo decimal. Si el logaritmo tiene el número e como base, entonces escribe la expresión: ln b – logaritmo natural. Se entiende que el resultado de any es la potencia a la que se debe elevar el número base para obtener el número b.

Al encontrar la suma de dos funciones, simplemente necesitas diferenciarlas una por una y sumar los resultados: (u+v)" = u"+v";

Para encontrar la derivada del producto de dos funciones, es necesario multiplicar la derivada de la primera función por la segunda y sumar la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Para encontrar la derivada del cociente de dos funciones, es necesario restar del producto de la derivada del dividendo multiplicada por la función divisora el producto de la derivada del divisor multiplicada por la función del dividendo y dividir todo esto mediante la función divisora al cuadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

si se da función compleja, entonces es necesario multiplicar la derivada de función interna y la derivada del externo. Sea y=u(v(x)), entonces y"(x)=y"(u)*v"(x).

Utilizando los resultados obtenidos anteriormente, puedes diferenciar casi cualquier función. Así que veamos algunos ejemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
También existen problemas relacionados con el cálculo de la derivada en un punto. Deje que se dé la función y=e^(x^2+6x+5), necesita encontrar el valor de la función en el punto x=1.
1) Encuentra la derivada de la función: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcular el valor de la función en Punto dado y"(1)=8*e^0=8

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil

Aprende la tabla de derivadas elementales. Esto ahorrará mucho tiempo.

Fuentes:

derivada de una constante

Entonces, ¿cuál es la diferencia? ir ecuación racional de lo racional? Si la variable desconocida está bajo el signo raíz cuadrada, entonces la ecuación se considera irracional.

Instrucciones

El método principal para resolver tales ecuaciones es el método de construir ambos lados. ecuaciones en un cuadrado. Sin embargo. Esto es natural, lo primero que debes hacer es deshacerte del letrero. Este método no es técnicamente difícil, pero a veces puede ocasionar problemas. Por ejemplo, la ecuación es v(2x-5)=v(4x-7). Al elevar al cuadrado ambos lados se obtiene 2x-5=4x-7. Resolver tal ecuación no es difícil; x=1. Pero el número 1 no se dará. ecuaciones. ¿Por qué? Sustituye uno en la ecuación en lugar del valor de x. Y los lados derecho e izquierdo contendrán expresiones que no tienen sentido. Este valor no es válido para una raíz cuadrada. Por lo tanto 1 es una raíz extraña y por lo tanto ecuación dada no tiene raíces.

Entonces, una ecuación irracional se resuelve usando el método de elevar al cuadrado ambos lados. Y una vez resuelta la ecuación, es necesario cortar las raíces extrañas. Para hacer esto, sustituye las raíces encontradas en la ecuación original.

Considere otro.
2х+vх-3=0
Por supuesto, esta ecuación se puede resolver usando la misma ecuación que la anterior. Mover compuestos ecuaciones, que no tienen raíz cuadrada, hacia el lado derecho y luego usa el método de elevar al cuadrado. resuelva la ecuación racional resultante y las raíces. Pero también otro más elegante. Ingrese una nueva variable; vх=y. En consecuencia, recibirá una ecuación de la forma 2y2+y-3=0. Es decir, lo habitual. ecuación cuadrática. Encuentra sus raíces; y1=1 y y2=-3/2. A continuación, resuelve dos ecuaciones vх=1; vх=-3/2. La segunda ecuación no tiene raíces; de la primera encontramos que x=1. No olvides revisar las raíces.

Resolver identidades es bastante sencillo. Para ello es necesario realizar transformaciones idénticas hasta conseguir el objetivo. Así, con la ayuda de los más simples. operaciones aritmeticas la tarea en cuestión estará resuelta.

Necesitará

- papel;
- bolígrafo.

Instrucciones

Las más simples de estas transformaciones son las multiplicaciones algebraicas abreviadas (como el cuadrado de la suma (diferencia), la diferencia de cuadrados, la suma (diferencia), el cubo de la suma (diferencia)). Además, hay muchos y fórmulas trigonométricas, que son esencialmente las mismas identidades.

De hecho, el cuadrado de la suma de dos términos igual al cuadrado el primero más el doble del producto del primero por el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifica ambos

Principios generales de la solución.

Repetir según el libro de texto. Análisis matemático o Matemáticas avanzadas, que es una integral definida. Como se sabe, la solución integral definida hay una función cuya derivada da integrando. Esta función se llama antiderivada. Por este principio y construye las integrales principales.
Determine por la forma del integrando cuál de las integrales de la tabla encaja en en este caso. No siempre es posible determinar esto de inmediato. A menudo, la forma tabular se vuelve perceptible sólo después de varias transformaciones para simplificar el integrando.

Método de reemplazo variable

Si la función integrando es Funcion trigonometrica, cuyo argumento contiene algún polinomio, intente utilizar el método de reemplazo de variables. Para hacer esto, reemplace el polinomio en el argumento del integrando con alguna variable nueva. Con base en la relación entre las variables nuevas y antiguas, determine los nuevos límites de integración. Al diferenciar esta expresión, encuentre el nuevo diferencial en . Entonces obtendrás el nuevo tipo de la integral anterior, cercana o incluso correspondiente a cualquier tabular.

Resolver integrales de segundo tipo.

Si la integral es una integral de segundo tipo, vista vectorial función integrando, entonces necesitarás usar las reglas para la transición de estas integrales a las escalares. Una de esas reglas es la relación Ostrogradsky-Gauss. Esta ley le permite pasar del flujo del rotor de alguna función vectorial a integral triple por la divergencia de un campo vectorial dado.

Sustitución de límites de integración

Después de encontrar la primitiva, es necesario sustituir los límites de integración. Primero sustituye el valor. limite superior en una expresión para la antiderivada. Obtendrás algún número. Luego, reste del número resultante otro número obtenido del límite inferior en la primitiva. Si uno de los límites de integración es el infinito, entonces al sustituirlo en función antiderivada es necesario ir al límite y encontrar aquello a lo que aspira la expresión.
Si la integral es bidimensional o tridimensional, entonces tendrás que representar geométricamente los límites de integración para entender cómo evaluar la integral. De hecho, en el caso de, digamos, una integral tridimensional, los límites de integración pueden ser planos enteros que limitan el volumen que se integra.

Al convertir expresiones con logaritmos, las igualdades enumeradas se utilizan tanto de derecha a izquierda como de izquierda a derecha.

Vale la pena señalar que no es necesario memorizar las consecuencias de las propiedades: al realizar transformaciones, puede arreglárselas con las propiedades básicas de los logaritmos y otros hechos (por ejemplo, el hecho de que para b≥0), de donde siguen las consecuencias correspondientes. " efecto secundario"Este enfoque sólo se manifiesta en el hecho de que la solución será un poco más larga. Por ejemplo, para prescindir de la consecuencia, que se expresa mediante la fórmula , y partiendo únicamente de las propiedades básicas de los logaritmos, tendrás que realizar una cadena de transformaciones de la siguiente forma: .

Lo mismo puede decirse de la última propiedad de la lista anterior, a la que se responde con la fórmula , ya que también se deriva de las propiedades básicas de los logaritmos. Lo principal que hay que entender es que siempre es posible que la potencia de un número positivo con un logaritmo en el exponente intercambie la base de la potencia y el número bajo el signo del logaritmo. Para ser justos, observamos que los ejemplos que implican la implementación de transformaciones de este tipo son raros en la práctica. Daremos algunos ejemplos a continuación en el texto.

Convertir expresiones numéricas con logaritmos

Hemos recordado las propiedades de los logaritmos, ahora es el momento de aprender a aplicarlos en la práctica para transformar expresiones. Es natural comenzar convirtiendo expresiones numéricas en lugar de expresiones con variables, ya que son más convenientes y más fáciles de aprender los conceptos básicos. Eso es lo que haremos y comenzaremos con una muy ejemplos simples, para aprender a elegir la propiedad deseada del logaritmo, pero poco a poco iremos complicando los ejemplos, hasta obtener resultado final deberá aplicar varias propiedades seguidas.

Seleccionar la propiedad deseada de los logaritmos.

Hay muchas propiedades de los logaritmos y está claro que es necesario poder elegir la adecuada, que en este caso particular conducirá al resultado deseado. Por lo general, esto no es difícil de hacer comparando el tipo de logaritmo o expresión convertida con los tipos de partes izquierda y derecha de fórmulas que expresan las propiedades de los logaritmos. Si se deja o parte derecha una de las fórmulas coincide con un logaritmo o expresión dado, entonces, lo más probable es que sea esta propiedad la que deba usarse durante la transformación. Los siguientes ejemplos esto está claramente demostrado.

Comencemos con ejemplos de transformación de expresiones usando la definición de logaritmo, que corresponde a la fórmula a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Ejemplo.

Calcula, si es posible: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7), e).

Solución.

En el ejemplo bajo la letra a) se ve claramente la estructura a log a b, donde a=5, b=4. Estos números satisfacen las condiciones a>0, a≠1, b>0, por lo que puedes usar con seguridad la igualdad a log a b =b. Tenemos 5 log 5 4=4 .

b) Aquí a=10, b=1+2·π, se cumplen las condiciones a>0, a≠1, b>0. En este caso se produce la igualdad 10 log(1+2·π) =1+2·π.

c) Y en este ejemplo estamos tratando con un grado de la forma a log a b, donde y b=ln15. Entonces .

A pesar de pertenecer al mismo tipo a log a b (aquí a=2, b=−7), la expresión bajo la letra g) no se puede convertir usando la fórmula a log a b =b. La razón es que no tiene sentido porque contiene un número negativo bajo el signo del logaritmo. Además, el número b=−7 no satisface la condición b>0, lo que imposibilita recurrir a la fórmula a log a b =b, ya que requiere el cumplimiento de las condiciones a>0, a≠1, b> 0. Entonces, no podemos hablar de calcular el valor de 2 log 2 (−7). En este caso, escribir 2 log 2 (−7) =−7 sería un error.

De manera similar, en el ejemplo bajo la letra e) es imposible dar una solución de la forma , ya que la expresión original no tiene sentido.

Respuesta:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) las expresiones no tienen sentido.

A menudo, una transformación útil es representar un número positivo como una potencia de algún número positivo no unitario con el logaritmo en el exponente. Se basa en la misma definición del logaritmo a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, pero la fórmula se aplica de derecha a izquierda, es decir, en la forma b=a log a b . Por ejemplo, 3=e ln3 o 5=5 log 5 5.

Pasemos al uso de las propiedades de los logaritmos para transformar expresiones.

Ejemplo.

Encuentre el valor de la expresión: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

Solución.

En los ejemplos bajo las letras a), b) y c) se dan las expresiones log −2 1, log 1 1, log 0 1, que no tienen sentido, ya que la base del logaritmo no debe contener un número negativo, cero o uno, porque hemos definido el logaritmo sólo para una base positiva y diferente de la unidad. Por tanto, en los ejemplos a) - c) no se puede tratar de encontrar el significado de la expresión.

En todas las demás tareas, obviamente, las bases de los logaritmos contienen números positivos y no unidades 7, e, 10, 3,75 y 5·π 7, respectivamente, y bajo los signos de los logaritmos hay unidades en todas partes. Y conocemos la propiedad del logaritmo de la unidad: log a 1=0 para cualquier a>0, a≠1. Así, los valores de las expresiones b) – e) son iguales a cero.

Respuesta:

a), b), c) las expresiones no tienen sentido, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0.

Ejemplo.

Calcular: a) , b) lne , c) lg10 , d) Iniciar sesión 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) Iniciar sesión −3 (−3) , f) Iniciar sesión 1 1 .

Solución.

Está claro que tenemos que utilizar la propiedad del logaritmo de la base, que corresponde a la fórmula log a a=1 para a>0, a≠1. De hecho, en las tareas bajo todas las letras, el número bajo el signo del logaritmo coincide con su base. Por tanto, me gustaría decir inmediatamente que el valor de cada una de las expresiones dadas es 1. Sin embargo, no se apresure a sacar conclusiones: en las tareas bajo las letras a) - d) los valores de las expresiones son realmente iguales a uno, y en las tareas e) yf) las expresiones originales no tienen sentido, por lo que No se puede decir que los valores de estas expresiones sean iguales a 1.

Respuesta:

a) , b) línea=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) las expresiones no tienen sentido.

Ejemplo.

Encuentre el valor: a) log 3 3 11, b) , c) , d) Iniciar sesión −10 (−10) 6 .

Solución.

Evidentemente, bajo los signos de los logaritmos hay algunas potencias de base. En base a esto, entendemos que aquí necesitaremos la propiedad del grado de la base: log a a p =p, donde a>0, a≠1 y p es cualquier Número Real. Teniendo esto en cuenta, tenemos los siguientes resultados: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . ¿Es posible escribir una igualdad similar para el ejemplo bajo la letra d) de la forma log −10 (−10) 6 =6? No, no puedes, porque la expresión log −10 (−10) 6 no tiene sentido.

Respuesta:

a) registro 3 3 11 =11, b) , V) , d) la expresión no tiene sentido.

Ejemplo.

Presente la expresión como suma o diferencia de logaritmos usando la misma base: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Solución.

a) Bajo el signo del logaritmo hay un producto, y conocemos la propiedad del logaritmo del producto log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. En nuestro caso, el número en la base del logaritmo y los números en el producto son positivos, es decir, satisfacen las condiciones de la propiedad seleccionada, por lo tanto, podemos aplicarla con seguridad: .

b) Aquí usamos la propiedad del logaritmo del cociente, donde a>0, a≠1, x>0, y>0. En nuestro caso, la base del logaritmo es un número positivo e, el numerador y el denominador π son positivos, lo que significa que satisfacen las condiciones de la propiedad, por lo que tenemos derecho a utilizar la fórmula elegida: .

c) Primero, observe que la expresión log((−5)·(−12)) tiene sentido. Pero al mismo tiempo, no tenemos derecho a aplicar la fórmula del logaritmo del producto log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, ya que los números son −5 y −12 – negativos y no satisfacen las condiciones x>0, y>0. Es decir, no se puede realizar tal transformación: Iniciar sesión((-5)·(-12))=Iniciar sesión(-5)+Iniciar sesión(-12). ¿Entonces, qué debemos hacer? En tales casos, la expresión original necesita una transformación preliminar para evitar números negativos. Acerca de casos similares Discutiremos en detalle las transformaciones de expresiones con números negativos bajo el signo de logaritmo en una de las páginas, pero por ahora daremos una solución a este ejemplo, que es clara de antemano y sin explicación: iniciar sesión((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Respuesta:

A) , b) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Ejemplo.

Simplifique la expresión: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Solución.

Aquí nos ayudarán las mismas propiedades del logaritmo del producto y del logaritmo del cociente que usamos en ejemplos anteriores, solo que ahora las aplicaremos de derecha a izquierda. Es decir, transformamos la suma de logaritmos en el logaritmo del producto y la diferencia de logaritmos en el logaritmo del cociente. Tenemos
A) registro 3 0,25+registro 3 16+registro 3 0,5=registro 3 (0,25 16 0,5)=registro 3 2.
b) .

Respuesta:

A) registro 3 0,25+registro 3 16+registro 3 0,5=registro 3 2, b) .

Ejemplo.

Deshazte del grado bajo el signo del logaritmo: a) log 0,7 5 11, b) , c) iniciar sesión 3 (−5) 6 .

Solución.

Es fácil ver que estamos tratando con expresiones de la forma log a b p . La propiedad correspondiente del logaritmo tiene la forma log a b p =p·log a b, donde a>0, a≠1, b>0, p es cualquier número real. Es decir, si se cumplen las condiciones a>0, a≠1, b>0, del logaritmo de la potencia log a b p podemos proceder al producto p·log a b. Realicemos esta transformación con las expresiones dadas.

a) En este caso a=0,7, b=5 y p=11. Entonces log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Aquí se cumplen las condiciones a>0, a≠1, b>0. Es por eso

c) La expresión log 3 (−5) 6 tiene la misma estructura log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Pero para b la condición b>0 no se cumple, lo que hace imposible utilizar la fórmula log a b p =p·log a b . ¿Y qué, no puedes hacer frente a la tarea? Es posible, pero se requiere una transformación preliminar de la expresión, que discutiremos en detalle a continuación en el párrafo bajo el título. La solución será así: registro 3 (−5) 6 = registro 3 5 6 = 6 registro 3 5.

Respuesta:

a) registro 0,7 5 11 = 11 registro 0,7 5 ,
b)
c) registro 3 (−5) 6 = 6 registro 3 5.

Muy a menudo, al realizar transformaciones, la fórmula del logaritmo de una potencia debe aplicarse de derecha a izquierda en la forma p·log a b=log a b p (deben cumplirse las mismas condiciones para a, b y p). Por ejemplo, 3·ln5=ln5 3 y log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Ejemplo.

a) Calcular el valor de log 2 5 si se sabe que log2≈0.3010 y log5≈0.6990. b) Expresa la fracción como un logaritmo en base 3.

Solución.

a) La fórmula para la transición a una nueva base de logaritmo nos permite presentar este logaritmo como una relación de logaritmos decimales, cuyos valores conocemos: . Ya solo queda realizar los cálculos, tenemos .

b) Aquí basta con utilizar la fórmula para pasar a una nueva base y aplicarla de derecha a izquierda, es decir, en la forma . Obtenemos .

Respuesta:

a) log 2 5≈2.3223, b) .

En esta etapa, hemos considerado cuidadosamente la transformación de los aspectos más expresiones simples utilizando las propiedades básicas de los logaritmos y la definición de logaritmo. En estos ejemplos, tuvimos que aplicar una propiedad y nada más. Ahora con conciencia limpia puede pasar a ejemplos, cuya transformación requiere el uso de varias propiedades de los logaritmos y otras transformaciones adicionales. Nos ocuparemos de ellos en el siguiente párrafo. Pero antes de eso, veamos brevemente ejemplos de la aplicación de consecuencias de las propiedades básicas de los logaritmos.

Ejemplo.

a) Deshazte de la raíz bajo el signo del logaritmo. b) Convierte la fracción a logaritmo en base 5. c) Liberarse de potencias bajo el signo del logaritmo y en su base. d) Calcular el valor de la expresión. . e) Reemplazar la expresión por una potencia de base 3.

Solución.

a) Si recordamos el corolario de la propiedad del logaritmo del grado , entonces puedes dar inmediatamente la respuesta: .

b) Aquí usamos la fórmula De derecha a izquierda tenemos .

c) En este caso, la fórmula conduce al resultado . Obtenemos .

d) Y aquí basta aplicar el corolario al que corresponde la fórmula . Entonces .

e) Propiedad del logaritmo nos permite conseguir el resultado deseado: .

Respuesta:

A) . b) . V) . GRAMO) . d) .

Aplicar consecutivamente múltiples propiedades

Las tareas reales de transformación de expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos suelen ser más complicadas que las que analizamos en el párrafo anterior. En ellos, por regla general, el resultado no se obtiene en un solo paso, sino que la solución ya consiste en la aplicación secuencial de una propiedad tras otra, junto con transformaciones idénticas adicionales, como abrir paréntesis, convertir términos similares, fracciones reductoras, etc. Así que acerquémonos a estos ejemplos. No hay nada complicado en esto, lo principal es actuar con cuidado y coherencia, observando el orden de las acciones.

Ejemplo.

Calcular el valor de una expresión. (registro 3 15 − registro 3 5) 7 registro 7 5.

Solución.

La diferencia entre los logaritmos entre paréntesis, según la propiedad del logaritmo cociente, se puede sustituir por el logaritmo log 3 (15:5), y luego calcular su valor log 3 (15:5)=log 3 3=1. Y el valor de la expresión 7 log 7 5 por definición de logaritmo es igual a 5. Sustituyendo estos resultados en la expresión original, obtenemos (registro 3 15 − registro 3 5) 7 registro 7 5 =1 5=5.

Aquí hay una solución sin explicación:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Respuesta:

(registro 3 15 − registro 3 5) 7 registro 7 5 =5.

Ejemplo.

¿Cuál es el valor de la expresión numérica log 3 log 2 2 3 −1?

Solución.

Primero transformamos el logaritmo bajo el signo del logaritmo usando la fórmula para el logaritmo de la potencia: log 2 2 3 =3. Por lo tanto, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 y luego log 3 3=1. Entonces log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Respuesta:

Iniciar sesión 3 Iniciar sesión 2 2 3 −1=0 .

Ejemplo.

Simplifica la expresión.

Solución.

La fórmula para pasar a una nueva base de logaritmo permite representar la relación de logaritmos con respecto a una base como log 3 5. En este caso, la expresión original tomará la forma. Por definición del logaritmo 3 log 3 5 =5, es decir , y el valor de la expresión resultante, en virtud de la misma definición del logaritmo, es igual a dos.

Aquí version corta soluciones, que generalmente se dan: .

Respuesta:

Para pasar sin problemas a la información del siguiente párrafo, echemos un vistazo a las expresiones 5 2+log 5 3 y log0.01. Su estructura no se ajusta a ninguna de las propiedades de los logaritmos. Entonces, ¿qué sucede? ¿No se pueden convertir usando las propiedades de los logaritmos? Esto es posible si realizas transformaciones preliminares que preparen estas expresiones para la aplicación de las propiedades de los logaritmos. Entonces 5 2+registro 5 3 =5 2 5 registro 5 3 =25 3=75, y log0.01=log10 −2 =−2. A continuación veremos en detalle cómo se lleva a cabo dicha preparación de expresiones.

Preparar expresiones para utilizar las propiedades de los logaritmos

Los logaritmos en la expresión que se convierte muy a menudo difieren en la estructura de la notación de las partes izquierda y derecha de las fórmulas correspondientes a las propiedades de los logaritmos. Pero no menos a menudo la transformación de estas expresiones implica el uso de las propiedades de los logaritmos: para usarlos solo necesitas preparación preliminar. Y esta preparación consiste en realizar ciertas transformaciones de identidad, llevando los logaritmos a una forma conveniente para aplicar las propiedades.

Para ser justos, observamos que casi cualquier transformación de expresiones puede actuar como transformaciones preliminares, desde la reducción banal de términos similares hasta el uso de fórmulas trigonométricas. Esto es comprensible, ya que las expresiones que se convierten pueden contener cualquier objeto matemático: paréntesis, módulos, fracciones, raíces, potencias, etc. Por lo tanto, uno debe estar preparado para realizar cualquier transformación necesaria para poder aprovechar aún más las propiedades de los logaritmos.

Digamos de inmediato que en este punto no nos proponemos la tarea de clasificar y analizar todas las transformaciones preliminares imaginables que nos permitirían aplicar posteriormente las propiedades de los logaritmos o la definición de logaritmo. Aquí nos centraremos en sólo cuatro de ellos, que son los más típicos y los que se encuentran con más frecuencia en la práctica.

Y ahora sobre cada uno de ellos en detalle, después de lo cual, en el marco de nuestro tema, solo queda comprender la transformación de expresiones con variables bajo los signos de logaritmos.

Identificación de potencias bajo el signo del logaritmo y en su base.

Comencemos de inmediato con un ejemplo. Tengamos un logaritmo. Obviamente, en esta forma su estructura no favorece el uso de las propiedades de los logaritmos. ¿Es posible convertir de alguna manera? esta expresión¿Simplificarlo, o mejor aún, calcular su valor? Para responder a esta pregunta, echemos un vistazo más de cerca a los números 81 y 1/9 en el contexto de nuestro ejemplo. Aquí es fácil notar que estos números se pueden representar como una potencia de 3; de hecho, 81 = 3 4 y 1/9 = 3 −2. En este caso, el logaritmo original se presenta en la forma y es posible aplicar la fórmula. . Entonces, .

El análisis del ejemplo analizado da lugar a la siguiente reflexión: si es posible, se puede intentar aislar el grado bajo el signo del logaritmo y en su base para aplicar la propiedad del logaritmo del grado o sus consecuencias. Sólo queda descubrir cómo distinguir estos grados. Demos algunas recomendaciones sobre este tema.

A veces es bastante obvio que el número bajo el signo del logaritmo y/o en su base representa alguna potencia entera, como en el ejemplo discutido anteriormente. Casi constantemente tenemos que lidiar con potencias de dos, que son muy familiares: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Lo mismo se puede decir de los poderes de tres: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... En general, no te hará daño si lo tienes ante tus ojos. tabla de grados números naturales dentro de una docena. Tampoco es difícil trabajar con potencias enteras de diez, cien, mil, etc.

Ejemplo.

Calcula el valor o simplifica la expresión: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Solución.

a) Obviamente, 216=6 3, entonces log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) La tabla de potencias de números naturales permite representar los números 343 y 1/243 como potencias 7 3 y 3 −4, respectivamente. Por tanto, es posible la siguiente transformación de un logaritmo dado:

c) Dado que 0.000001=10 −6 y 0.001=10 −3, entonces registro 0,000001 0,001=registro 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Respuesta:

a) log 6 216 = 3, b) , c) registro 0,000001 0,001=1/2.

En mas casos difíciles para distinguir potencias de números hay que recurrir a .

Ejemplo.

Convierte la expresión a más. vista sencilla Iniciar sesión 3 648 Iniciar sesión 2 3 .

Solución.

Veamos en qué se descompone el número 648. factores primos:

Es decir, 648=2 3 ·3 4. De este modo, registro 3 648 registro 2 3 = registro 3 (2 3 3 4) registro 2 3.

Ahora convertimos el logaritmo del producto en suma de logaritmos, luego de lo cual aplicamos las propiedades del logaritmo de la potencia:
Iniciar sesión 3 (2 3 3 4) Iniciar sesión 2 3 = ( Iniciar sesión 3 2 3 + Iniciar sesión 3 3 4) Iniciar sesión 2 3 =
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

En virtud de un corolario de la propiedad del logaritmo de la potencia, que corresponde a la fórmula , el producto log32·log23 es producto de , y como se sabe es igual a uno. Teniendo esto en cuenta, obtenemos 3 registro 3 2 registro 2 3+4 registro 2 3=3 1+4 registro 2 3=3+4 registro 2 3.

Respuesta:

registro 3 648 registro 2 3=3+4 registro 2 3.

Muy a menudo, las expresiones bajo el signo del logaritmo y en su base representan productos o razones de raíces y/o potencias de algunos números, por ejemplo, , . Expresiones similares se pueden expresar como potencias. Para ello se realiza una transición de raíces a potencias, y se utilizan y. Estas transformaciones permiten aislar potencias bajo el signo del logaritmo y en su base, y luego aplicar las propiedades de los logaritmos.

Ejemplo.

Calcular: a) , b) .

Solución.

a) La expresión en la base del logaritmo es el producto de potencias con las mismas bases, según propiedad correspondiente tenemos grados 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Ahora transformemos la fracción bajo el signo del logaritmo: pasaremos de la raíz a la potencia, después de lo cual usaremos la propiedad de la razón de potencias con las mismas bases: .

Queda por sustituir los resultados obtenidos en la expresión original, use la fórmula y terminar la transformación:

b) Dado que 729 = 3 6 y 1/9 = 3 −2, la expresión original se puede reescribir como .

A continuación, aplicamos la propiedad de la raíz de una potencia, nos movemos de la raíz a la potencia y usamos la propiedad de la razón de potencias para convertir la base del logaritmo a una potencia: .

Considerando Ultimo resultado, tenemos .

Respuesta:

A) , b) .

Está claro que en caso general para obtener potencias bajo el signo del logaritmo y en su base, pueden ser necesarias varias transformaciones varias expresiones. Pongamos un par de ejemplos.

Ejemplo.

¿Cuál es el significado de la expresión: a) , b) .

Solución.

Observamos además que la expresión dada tiene la forma log A B p , donde A=2, B=x+1 y p=4. Transformamos expresiones numéricas de este tipo según la propiedad del logaritmo de la potencia log a b p =p·log a b , por lo tanto, con una expresión dada quiero hacer lo mismo, y pasar de log 2 (x+1) 4 a 4·log 2 (x+1) . Ahora calculemos el valor de la expresión original y la expresión obtenida después de la transformación, por ejemplo, cuando x=−2. Tenemos log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0, y 4 registro 2 (−2+1) = 4 registro 2 (−1)- una expresión sin sentido. Esto plantea una pregunta lógica: "¿Qué hicimos mal?"

Y la razón es esta: realizamos la transformación log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , basada en la fórmula log a b p =p·log a b , pero esta fórmula tenemos derecho a aplicar solo si se cumplen las condiciones: a>0, a≠1, b>0, p - cualquier número real. Es decir, la transformación que hemos hecho tiene lugar si x+1>0, que es lo mismo que x>−1 (para A y p, se cumplen las condiciones). Sin embargo, en nuestro caso, la ODZ de la variable x para la expresión original consta no sólo del intervalo x>−1, sino también del intervalo x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

La necesidad de tener en cuenta la DL

Sigamos analizando la transformación de la expresión que hemos elegido log 2 (x+1) 4, y ahora veamos qué le sucede a la ODZ al pasar a la expresión 4 · log 2 (x+1). En el párrafo anterior, encontramos la ODZ de la expresión original: este es el conjunto (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Ahora encontremos el área. valores aceptables variable x para la expresión 4·log 2 (x+1) . Está determinada por la condición x+1>0, que corresponde al conjunto (−1, +∞). Es obvio que al pasar de log 2 (x+1) 4 a 4·log 2 (x+1), el rango de valores permitidos se estrecha. Y acordamos evitar transformaciones que conduzcan a una reducción de la DL, ya que esto puede tener diversas consecuencias negativas.

Aquí vale la pena señalar que es útil controlar el OA en cada paso de la transformación y evitar su estrechamiento. Y si de repente en alguna etapa de la transformación hubo un estrechamiento de la DL, entonces vale la pena observar con mucha atención si esta transformación está permitida y si teníamos derecho a llevarla a cabo.

Para ser justos, digamos que en la práctica generalmente tenemos que trabajar con expresiones en las que el valor variable de las variables es tal que, al realizar transformaciones, podemos usar las propiedades de los logaritmos sin restricciones en la forma que ya conocemos, tanto de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Rápidamente te acostumbras a esto y comienzas a realizar transformaciones mecánicamente, sin pensar si era posible realizarlas. Y en esos momentos, por suerte, se escapan ejemplos más complejos en los que la aplicación descuidada de las propiedades de los logaritmos conduce a errores. Por lo tanto, siempre debe estar atento y asegurarse de que la ODZ no se estreche.

No estaría de más resaltar por separado las principales transformaciones basadas en las propiedades de los logaritmos, que deben realizarse con mucho cuidado, lo que puede conducir a un estrechamiento de la OD y, como resultado, a errores:

Algunas transformaciones de expresiones basadas en las propiedades de los logaritmos también pueden conducir a lo contrario: la expansión de la ODZ. Por ejemplo, la transición de 4·log 2 (x+1) a log 2 (x+1) 4 expande la ODZ del conjunto (−1, +∞) a (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Tales transformaciones tienen lugar si nos mantenemos dentro del marco de la expresión original. Entonces la transformación recién mencionada 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 tiene lugar en la ODZ de la variable x para la expresión original 4·log 2 (x+1), es decir, para x+1> 0, que es lo mismo que (−1, +∞).

Ahora que hemos discutido los matices a los que debes prestar atención al transformar expresiones con variables usando las propiedades de los logaritmos, queda por descubrir cómo realizar correctamente estas transformaciones.

X+2>0. ¿Funciona en nuestro caso? Para responder a esta pregunta, echemos un vistazo a la ODZ de la variable x. Está determinado por el sistema de desigualdades. , que equivale a la condición x+2>0 (si es necesario, consulte el artículo resolver sistemas de desigualdades). Por tanto, podemos aplicar con seguridad la propiedad del logaritmo de la potencia.

Tenemos
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Puedes actuar de otra manera, ya que ODZ te permite hacer esto, por ejemplo así:

Respuesta:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Pero, ¿qué hacer cuando en la ODZ no se cumplen las condiciones que acompañan a las propiedades de los logaritmos? Lo entenderemos con ejemplos.

Se nos pide que simplifiquemos la expresión log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . La transformación de esta expresión, a diferencia de la expresión del ejemplo anterior, no permite el libre uso de la propiedad del logaritmo de la potencia. ¿Por qué? La ODZ de la variable x en este caso es la unión de dos intervalos x>−2 y x<−2 . При x>−2 podemos aplicar fácilmente la propiedad del logaritmo de una potencia y actuar como en el ejemplo anterior: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Pero la ODZ contiene un intervalo más x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к iniciar sesión(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 y además debido a las propiedades del grado k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. La expresión resultante se puede transformar usando la propiedad del logaritmo de una potencia, ya que |x+2|>0 para cualquier valor de la variable. Tenemos registro|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Ahora ya puedes liberarte del módulo, ya que ha hecho su trabajo. Ya que realizamos la transformación en x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Veamos un ejemplo más para que se familiarice con el trabajo con módulos. Concibamos a partir de la expresión vaya a la suma y diferencia de logaritmos de binomios lineales x−1, x−2 y x−3. Primero encontramos la ODZ:

En el intervalo (3, +∞) los valores de las expresiones x−1, x−2 y x−3 son positivos, por lo que podemos aplicar fácilmente las propiedades del logaritmo de la suma y la diferencia:

Y en el intervalo (1, 2) los valores de la expresión x−1 son positivos y los valores de las expresiones x−2 y x−3 son negativos. Por lo tanto, en el intervalo considerado representamos x−2 y x−3 usando el módulo como −|x−2| y −|x−3| respectivamente. Donde

Ahora podemos aplicar las propiedades del logaritmo del producto y del cociente, ya que en el intervalo considerado (1, 2) los valores de las expresiones x−1 , |x−2| y |x−3| - positivo.

Tenemos

Los resultados obtenidos se pueden combinar:

En general, un razonamiento similar permite, a partir de las fórmulas del logaritmo del producto, relación y grado, obtener tres resultados prácticamente útiles, que son bastante convenientes de utilizar:

El logaritmo del producto de dos expresiones arbitrarias X e Y de la forma log a (X·Y) se puede sustituir por la suma de logaritmos log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
El logaritmo de la forma particular log a (X:Y) puede sustituirse por la diferencia de logaritmos log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X e Y son expresiones arbitrarias.
Del logaritmo de alguna expresión B a una potencia par p de la forma log a B p podemos pasar a la expresión p·log a |B| , donde a>0, a≠1, p es un número par y B es una expresión arbitraria.

Se dan resultados similares, por ejemplo, en instrucciones para resolver exponenciales y ecuaciones logarítmicas en una colección de problemas de matemáticas para quienes ingresan a las universidades, editada por M. I. Skanavi.

Ejemplo.

Simplifica la expresión .

Solución.

Sería bueno aplicar las propiedades del logaritmo de la potencia, suma y diferencia. ¿Pero podemos hacer esto aquí? Para responder a esta pregunta necesitamos conocer la DZ.

Definámoslo:

Es bastante obvio que las expresiones x+4, x−2 y (x+4) 13 en el rango de valores permitidos de la variable x pueden tomar valores tanto positivos como negativos. Por tanto, tendremos que operar a través de módulos.

Las propiedades del módulo le permiten reescribirlo como, por lo que

Además, nada le impide utilizar la propiedad del logaritmo de una potencia y luego traer términos similares:

Otra secuencia de transformaciones conduce al mismo resultado:

y dado que en la ODZ la expresión x−2 puede tomar valores tanto positivos como negativos, entonces al colocar un exponente par 14

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente numeros regulares, aquí hay reglas, que se llaman propiedades principales.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas no se puede resolver ni un solo problema grave. problema logarítmico. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: log a X y registrar a y. Luego se pueden sumar y restar, y:

registro a X+registro a y= iniciar sesión a (X · y);
registro a X− iniciar sesión a y= iniciar sesión a (X : y).

Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Nota: momento clave Aquí - motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas te ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (consulta la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:

Registro 6 4 + registro 6 9.

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
registro 6 4 + registro 6 9 = registro 6 (4 9) = registro 6 36 = 2.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 2 48 − log 2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
registro 2 48 − registro 2 3 = registro 2 (48: 3) = registro 2 16 = 4.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 3 135 − log 3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
registro 3 135 − registro 3 5 = registro 3 (135: 5) = registro 3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchos se basan en este hecho. papeles de prueba. ¿Qué pasa con los controles? expresiones similares con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios) se ofrecen en el Examen Estatal Unificado.

Extrayendo el exponente del logaritmo

Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:

Es fácil darse cuenta de que última regla sigue a los dos primeros. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, X> 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no sólo de izquierda a derecha, sino también al revés, es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 7 49 6 .

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
[Título de la imagen]

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Tenemos:

[Título de la imagen]

yo pienso que último ejemplo Se requiere aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación.

Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el registro del logaritmo a X. Entonces para cualquier número C tal que C> 0 y C≠ 1, la igualdad es verdadera:
[Título de la imagen]
En particular, si ponemos C = X, obtenemos:
[Título de la imagen]

De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en los convencionales. expresiones numéricas. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay problemas que no se pueden resolver en absoluto excepto mudándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 5 16 log 2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; registro 2 25 = registro 2 5 2 = 2 registro 2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

[Título de la imagen]

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

[Título de la imagen]

Ahora deshagámonos de logaritmo decimal, moviéndose a una nueva base:

[Título de la imagen]

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número norte se convierte en un indicador del grado que ocupa el argumento. Número norte Puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo un valor logarítmico.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: básico. identidad logarítmica.

De hecho, ¿qué pasará si el número b elevar a tal potencia que el número b a esta potencia se le da el número a? Así es: obtienes este mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
[Título de la imagen]

Tenga en cuenta que log 25 64 = log 5 8; simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Considerando las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

[Título de la imagen]

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".

registro a a= 1 es unidad logarítmica. Recuerda de una vez por todas: logaritmo en cualquier base a desde esta misma base es igual a uno.
registro a 1 = 0 es cero logarítmico. Base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno: logaritmo igual a cero! Porque a 0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Este ley matemática fue deducida por Arquímedes, y más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde sea necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo(es decir, cualquier positivo) “b” por su base “a” se considera la potencia de “c” a la que se debe elevar la base “a” para obtener finalmente el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.

Tipos de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres especies individuales expresiones logarítmicas:

Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
Decimal a, donde la base es 10.
Logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos está decidido. de forma estándar, que incluye simplificación, reducción y posterior reducción a un logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.

Reglas y algunas restricciones.

En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer la raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

la base "a" siempre debe ser Por encima de cero, y al mismo tiempo no ser igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.

Ahora representemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 · 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo para valores grandes Necesitarás una tabla de grados. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre complejos temas matemáticos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por lo tanto, cualquier matemática expresiones numéricas se puede escribir como una ecuación logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para poderes negativos las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Dada una expresión de la siguiente forma: log 2 (x-1) > 3 - es desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido "x" está bajo el signo del logaritmo. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, el logaritmo 2 x = √9) implican una o más respuestas específicas. valores numéricos, mientras que al resolver la desigualdad se determina tanto el rango de valores permisibles como los puntos de ruptura de esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.

La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso, la condición obligatoria es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.

Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido demostrado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también son una parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para admisión a la universidad o aprobación. Examen de admisión En matemáticas es necesario saber cómo resolver este tipo de problemas correctamente.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero para cada desigualdad matemática o se puede aplicar la ecuación logarítmica algunas reglas. En primer lugar, debe averiguar si la expresión se puede simplificar o conducir a apariencia general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.

A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o uno decimal.

A continuación se muestran ejemplos de ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para soluciones logaritmos naturales es necesario aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo utilizar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.

La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario expandir gran importancia números b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, usando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.

Asignaciones del Examen Estatal Unificado

Los logaritmos se encuentran frecuentemente en exámenes de admisión, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado ( Examen de Estado para todos los que abandonan la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la más fácil parte de prueba examen), pero también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere precisión y conocimiento perfecto temas "Logaritmos naturales".

Los ejemplos y soluciones a los problemas están tomados de fuentes oficiales. Opciones del examen estatal unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

propiedades principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

motivos idénticos

Log6 4 + log6 9.

Ahora compliquemos un poco la tarea.

Ejemplos de resolución de logaritmos

¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Transición a una nueva fundación.

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Ver también:

Propiedades básicas del logaritmo.

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14.
15.

El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi.

Propiedades básicas de los logaritmos.

Conociendo esta regla, sabrás y valor exacto expositores y la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando las propiedades 3.5 calculamos

4. Dónde .

Ejemplo 2. Encuentra x si

Ejemplo 3. Sea el valor de los logaritmos.

Calcular log(x) si

Propiedades básicas de los logaritmos.

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí existen reglas, que se llaman propiedades principales.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).

Extrayendo el exponente del logaritmo

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. , es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador.

Fórmulas de logaritmos. Ejemplos de soluciones de logaritmos.

Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación.

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si hacemos c = x, obtenemos:

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay problemas que no se pueden resolver en absoluto excepto mudándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .

De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Ver también:

El logaritmo de b en base a denota la expresión. Calcular el logaritmo significa encontrar una potencia x () en la que se satisface la igualdad.

Propiedades básicas del logaritmo.

Es necesario conocer las propiedades anteriores, ya que casi todos los problemas y ejemplos relacionados con logaritmos se resuelven en base a ellas. El resto de las propiedades exóticas se pueden derivar mediante manipulaciones matemáticas con estas fórmulas.

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Al calcular la fórmula para la suma y diferencia de logaritmos (3.4), te encuentras con bastante frecuencia. El resto son algo complejos, pero en una serie de tareas son indispensables para simplificar expresiones complejas y calcular sus valores.

Casos comunes de logaritmos

Algunos de los logaritmos comunes son aquellos en los que la base es par diez, exponencial o dos.
El logaritmo en base diez suele denominarse logaritmo decimal y se denota simplemente por lg(x).

De la grabación se desprende claramente que los conceptos básicos no están escritos en la grabación. Por ejemplo

Un logaritmo natural es un logaritmo cuya base es un exponente (denotado por ln(x)).

El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi. Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Y otro logaritmo importante en base dos se denota por

La derivada del logaritmo de una función es igual a uno dividido por la variable.

El logaritmo integral o antiderivado está determinado por la relación

El material proporcionado es suficiente para que resuelvas una amplia clase de problemas relacionados con logaritmos y logaritmos. Para ayudarlo a comprender el material, le daré solo algunos ejemplos comunes de currículum escolar y universidades.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando las propiedades 3.5 calculamos

2.
Por la propiedad de diferencia de logaritmos tenemos

3.
Usando las propiedades 3.5 encontramos

4. Dónde .

por la mirada expresión compleja usando una serie de reglas se simplifica para formar

Encontrar valores de logaritmos

Ejemplo 2. Encuentra x si

Solución. Para el cálculo aplicamos al último término 5 y 13 propiedades.

Lo dejamos constancia y lloramos

Como las bases son iguales, igualamos las expresiones.

Logaritmos. Primer nivel.

Sea el valor de los logaritmos.

Calcular log(x) si

Solución: Tomemos un logaritmo de la variable para escribir el logaritmo mediante la suma de sus términos.

Este es solo el comienzo de nuestro conocimiento de los logaritmos y sus propiedades. Practique cálculos, enriquezca sus habilidades prácticas: pronto necesitará los conocimientos adquiridos para resolver ecuaciones logarítmicas. Habiendo estudiado los métodos básicos para resolver este tipo de ecuaciones, ampliaremos nuestros conocimientos a otro tema igualmente importante: las desigualdades logarítmicas...

Propiedades básicas de los logaritmos.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log6 4 + log6 9.

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).

Extrayendo el exponente del logaritmo

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Cómo resolver logaritmos

Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación.

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si hacemos c = x, obtenemos:

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay problemas que no se pueden resolver en absoluto excepto mudándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.