Multiplicado por su número determina. Juego "Comparaciones matemáticas"

Veamos el concepto de multiplicación usando un ejemplo:

Los turistas estuvieron de viaje durante tres días. Todos los días recorrieron el mismo camino de 4200 m ¿Cuánta distancia recorrieron en tres días? Resuelve el problema de dos maneras.

Solución:
Consideremos el problema en detalle.

El primer día los turistas caminaron 4200 m. El segundo día los turistas recorrieron el mismo camino 4200 m y el tercer día 4200 m. Escribámoslo en lenguaje matemático:
4200+4200+4200=12600m.
Vemos un patrón del número 4200 repitiéndose tres veces, por lo tanto, la suma se puede reemplazar por una multiplicación:
4200⋅3=12600m.
Respuesta: los turistas caminaron 12.600 metros en tres días.

Veamos un ejemplo:

Para evitar escribir una entrada larga, podemos escribirla en forma de multiplicación. El número 2 se repite 11 veces, por lo que un ejemplo con multiplicación quedaría así:
2⋅11=22

Resumamos. ¿Qué es la multiplicación?

Multiplicación– esta es una acción que reemplaza la repetición del término m n veces.

La notación m⋅n y el resultado de esta expresión se llaman producto de números, y los números m y n se llaman multiplicadores.

Veamos esto con un ejemplo:
7⋅12=84
La expresión 7⋅12 y el resultado 84 se llaman producto de números.
Los números 7 y 12 se llaman. multiplicadores.

Hay varias leyes de multiplicación en matemáticas. Veámoslos:

Ley conmutativa de la multiplicación.

Consideremos el problema:

Le dimos dos manzanas a 5 de nuestros amigos. Matemáticamente, la entrada se verá así: 2⋅5.
O le dimos 5 manzanas a dos de nuestros amigos. Matemáticamente, la entrada se verá así: 5⋅2.
En el primer y segundo caso repartiremos la misma cantidad de manzanas igual a 10 piezas.

Si multiplicamos 2⋅5=10 y 5⋅2=10, el resultado no cambiará.

Propiedad de la ley de la multiplicación conmutativa:
Cambiar los lugares de los factores no cambia el producto.
metro⋅ norte=norte⋅metro

Ley combinativa de la multiplicación.

Veamos un ejemplo:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 o 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 obtenemos,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅ b) ⋅ do= a⋅(b⋅ do)

Propiedad de la ley de multiplicación asociativa:
Para multiplicar un número por el producto de dos números, primero puedes multiplicarlo por el primer factor y luego multiplicar el producto resultante por el segundo.

Al intercambiar múltiples factores y ponerlos entre paréntesis, el resultado o producto no cambiará.

Estas leyes son verdaderas para cualquier números naturales.

Multiplicar cualquier número natural por uno.

Veamos un ejemplo:
7⋅1=7 o 1⋅7=7
a⋅1=a o 1⋅a= a
Cuando se multiplica cualquier número natural por uno, el producto siempre será el mismo número.

Multiplicar cualquier número natural por cero.

6⋅0=0 o 0⋅6=0
a⋅0=0 o 0⋅a=0
Cuando cualquier número natural se multiplica por cero, el producto será igual a cero.

Preguntas para el tema “Multiplicación”:

¿Qué es un producto de números?
Respuesta: el producto de números o la multiplicación de números es la expresión m⋅n, donde m es un término y n es el número de repeticiones de este término.

¿Para qué se utiliza la multiplicación?
Respuesta: para no escribir sumas largas de números, sino abreviadas. Por ejemplo, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

¿Cuál es el resultado de la multiplicación?
Respuesta: el significado de la obra.

¿Qué significa la multiplicación 3⋅5?
Respuesta: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Si multiplicas un millón por cero ¿a cuánto es igual el producto?
Respuesta: 0

Ejemplo #1:
Reemplaza la suma con el producto: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Respuesta: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Ejemplo #2:
Escríbalo como un producto: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Solución:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Tarea #1:
Mamá compró 3 cajas de chocolates. Cada caja contiene 8 caramelos. ¿Cuántos dulces compró mamá?
Solución:
Hay 8 dulces en una caja y tenemos 3 de esas cajas.
8+8+8=8⋅3=24 caramelos
Respuesta: 24 caramelos.

Tarea #2:
La profesora de arte les dijo a sus ocho alumnos que prepararan siete lápices para cada lección. ¿Cuántos lápices tenían los niños en total?
Solución:
Puedes resumir el problema. El primer alumno tenía 7 lápices, el segundo alumno tenía 7 lápices, etc.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
La grabación resultó incómoda y larga, reemplacemos la suma con el producto.
7⋅8=56
La respuesta es 56 lápices.

En este contexto, el signo de multiplicación es un operador binario. No hay signo de multiplicación nombre especial, como el signo de suma llamado “más”.

El símbolo más antiguo utilizado es la cruz diagonal (×). Fue utilizado por primera vez por el matemático inglés William Oughtred en su obra “Clavis Mathematicae” en 1631. El matemático alemán Leibniz prefirió el signo en forma de punto en relieve (∙) Utilizó este símbolo en una carta de 1698. Johann Rahn lo introdujo el asterisco (∗) como signo de multiplicación, apareció en su libro Teutsche Algebra de 1659.

EN libros de texto rusos En matemáticas se utiliza principalmente el signo en forma de punto en relieve (∙). El asterisco (∗) se utiliza en notación informática. El resultado se escribe usando el signo igual " $=$ ", Por ejemplo:

$a \cdot b = c$ ; $6\cdot 3 = 18$ (“seis por tres es igual a dieciocho” o “seis por tres es igual a dieciocho”).

tabla de multiplicación en sistema numérico decimal

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Este procedimiento es aplicable a la multiplicación de números naturales y enteros (incluidos los signos). Para otros números se utilizan algoritmos más complejos.

Multiplicar números

Números naturales

Usemos la definición de números naturales. $\mathbb(N)$ como clases de equivalencia de conjuntos finitos. Denotamos las clases de equivalencia de conjuntos finitos. $TAXI$ generado por biyecciones, usando paréntesis: $[TAXI]$ . Entonces la operación aritmética “multiplicación” se define de la siguiente manera:

$[C]=[A] \cdot [B] = ;$

Dónde: $A \times B=$(a,b) \mid a \in A , b \in B $$ producto directo de conjuntos - conjunto $do$ , cuyos elementos son pares ordenados $(a,b)$ para todo tipo $a \en A , b \en B$ . Esta operación sobre clases se introduce correctamente, es decir, no depende de la elección de los elementos de clase y coincide con la definición inductiva.

Mapeo uno a uno conjunto finito $A$ para un segmento $N / A$ puede entenderse como la numeración de los elementos de un conjunto $A:\quad A\sim N_a$ . Este proceso de numeración se llama "CONTAR". Por tanto, "contar" es el establecimiento de una correspondencia uno a uno entre los elementos de un conjunto y un segmento de una serie natural de números.

Para multiplicar números naturales en el sistema de notación de números posicionales, se utiliza un algoritmo de multiplicación bit a bit. Si se le dan dos números naturales $a$ Y $b$ tal que:

$a=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0, \quad b=b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0, \quad \forall a_(k),b_(k ) \in $P $, \quad \forall a_(n-1), b_(n-1) \ne 0, \quad \exists 0\in \N;$

Dónde $a_(0 \puntos n-1)=a_k P^k, \quad b_(0 \puntos n-1)=b_k P^k$ ; $norte$ - número de dígitos en un número $n \en $1, 2, \puntos ,n $$ ; $k$ - número de serie rango (posición), $k \en $0, 1, \puntos,n-1 $$ ; $PAG$ - base del sistema numérico; $$PAGS$$ muchos signos numéricos (dígitos), sistema específico notación: $$P_2$= $0,1$$ , $$P_(10) $= $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$$ , $$P_(16) $= $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F $$ ; Entonces:

$c=a \sdot b; \quad c_(n-1) c_(n-2)\dots c_0=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0 \sdot b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0 ;$

multiplicando bit a bit obtenemos $norte$ resultados intermedios:

$t_(n-1,~0) = mod(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P)~,~~ t_0 \sdot~ P^k;$
$t_(n-1,~1) = mod(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P)~,~~ t_1 \sdot~ P^k;$
$... \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad...$
$t_(n-1,~k) = mod(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P)~,~~ t_(k) \sdot~ P^k;$

donde: r es el valor de acarreo, mod() es la función de encontrar el resto de la división, div() es la función de encontrar el cociente incompleto.

Luego recibido $norte$ Sumamos los resultados intermedios: $c=t_0+t_1+...+t_(k).$

Así, la operación de multiplicación se reduce a un procedimiento secuencial. multiplicación simple números de un solo dígito $a_(k)\sdot b_(k)$ , con la formación de un acarreo si es necesario, que se realiza mediante el método tabular o mediante suma secuencial. Y luego a la suma.

Las operaciones aritméticas con números en cualquier sistema numérico posicional se realizan de acuerdo con las mismas reglas que en el sistema decimal, ya que todas se basan en las reglas para realizar operaciones con los polinomios correspondientes. En este caso, debes utilizar la tabla de multiplicar correspondiente a la base dada. $PAG$ sistemas numéricos.

Un ejemplo de multiplicación de números naturales en sistemas numéricos binario, decimal y hexadecimal, por conveniencia, los números se escriben uno debajo del otro según los dígitos, el acarreo se escribe en la parte superior:

$\begin(matriz)(cccccccccccc)& & & & & & & \\ & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &*& & &1&1&0&1 \\ \hline & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &0&0&0&0&0&0&(\color(Gris)0) \\ & &1&1&0&1&1&0&( \ color(Gris)0) &(\color(Gris)0) \\ +&1&1&0&1&1&0&(\color(Gris)0) &(\color(Gris)0) &(\color(Gris)0) \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0 \end(matriz); \quad \quad \begin(array)(cccccccccc) & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & &_1&_2&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&6&7 \\ & & &*& & &5&4&1 \\ \hline & & &0&8&4&5&6&7 \\ & &3&3&8&2&6 &8&( \ color(Gris)0) \\ +&4&2&2&8&3&5&(\color(Gris)0)&(\color(Gris)0) \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \end(array); \quad \quad\begin(array)(cccccccc) &&&&_8&_8&_2 \\ &&&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&0&6&D&E&4&(\color(Gris)0) \\ +&4&4& (Gris)0 ) &(\color(Gris)0) \\ \hline &4&5&8&3&6&9&C\end(matriz)~~.$

Enteros

\alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \(a_n\)

\beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \(b_n\)

definidos respectivamente por secuencias fundamentales de números racionales (que satisfacen la condición de Cauchy), denotados como: $\alfa =$ Y $\beta =$ , entonces su producto es el número $\gamma =$ , definido por el producto de secuencias $$un$$ Y $$b_n$$ :

$\gamma = \alpha \cdot \beta \overset(\text(def))(=) \cdot =$ ;

numero real $\gamma = \alpha \cdot \beta$ , satisface la siguiente condición:

\para todos a",a , b", b\en \mathbb(Q); ~~~~ (a" \leqslant \alpha \leqslant a ) \y (b" \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a" \cdot b" \leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Rightarrow (a" \cdot b" \leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

Por tanto, el producto de dos números reales $\alfa$ Y $\beta$ es un numero tan real $\gama$ que está contenido entre todos los productos de la forma $a" \cdot b"$ por un lado, y todas las obras de la forma $a$ \cdot b en el otro lado.

En la práctica, para multiplicar dos números $\alfa$ Y $\beta$ , es necesario reemplazarlos con la precisión requerida con números racionales aproximados $a$ Y $b$ . Para el valor aproximado del producto de números. $\alpha \cdot \beta$ toma el producto de los números racionales indicados $a \cdot b$ . No importa de qué lado (por deficiencia o exceso) se tome numeros racionales acercar $\alfa$ Y $\beta$ . La multiplicación se realiza utilizando el algoritmo de multiplicación bit a bit.

Para multiplicar dos números complejos en notación trigonométrica, debes multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos:

$c=a \cdot b=r_1 (Cos \varphi _1+ iSin \varphi _1) ~\cdot~ r_2 (Cos \varphi _2+ iSin\varphi _2) =r_1 \cdot r_2 (Cos (\varphi _1+\varphi _2)+ iSin (\varphi _1+\varphi _2)),$ Dónde: $r=|z|=|a+ib|=\sqrt(a^2+b^2);~~~\varphi = Arg(z)=arctg \biggl(\frac(b)(a) \biggr) ,$ módulo y argumento de un número complejo.

Multiplicar un número complejo $a = r_1 e^ (i\varphi _1)$ en forma exponencial, para un número complejo $b = r_2 e^ (i\varphi _2)$ se reduce a rotar el vector correspondiente al número $a$ , a la esquina $Arg(b)$ y cambiando su longitud en $|b|$ una vez. por una pieza números complejos en forma exponencial la igualdad es verdadera:

$c=re^ (i\varphi)=a \cdot b = r_1 e^ (i\varphi _1) \cdot r_2 e^ (i\varphi _2)= r_1\cdot r_2\cdot e^ (i(\varphi _1+ \varphi _2)),$

Dónde: $mi=2.718281828...$ - número e.

Notación exponencial

Por ejemplo, si multiplicas la velocidad $V=4 ~m/s$ por un tiempo $T=2 ~s$ , correspondiente a un proceso físico, obtienes un número con nombre ( cantidad fisica) correspondiente al mismo proceso físico, que se denomina “longitud” y se mide en metros: $L=8~m$ .

$L=V \cdot T = 4~\frac(m)(s) \cdot 2~s =8 ~\frac(m \cdot s)(s)= 8 ~m.$

Al describir medios matemáticos procesos fisicos Un papel importante lo desempeña el concepto de homogeneidad, lo que significa, por ejemplo, que “1 kg de harina” y “1 kg de cobre” pertenecen diferentes conjuntos(harina) y (cobre) respectivamente. Además, el concepto de homogeneidad supone que las cantidades multiplicadas pertenecen al mismo proceso físico.

Ver también

Escribe una reseña sobre el artículo "Multiplicación"

Notas

Literatura

Ilyin V.A. etc.. - Universidad Estatal de Moscú, 1985. - T. 1. - 662 p.
Enderton G. Elementos de la teoría de conjuntos = Elementos de la teoría de conjuntos. - Editorial Profesional del Golfo, 1977. - 279 p. - ISBN 0-12-238440-7.
Barsukov A.N.. - Educación, 1966. - 296 p.
Gusev V.A., Mordkovich A.G.. - Educación, 1988. - 416 p.
Istomina N.B.. - Asociación Siglo XXI, 2005. - 272 p. - ISBN 5-89308-193-5.
Vygodsky M. Ya. guía para matemáticas elementales. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6.
V.I. igoshin(ruso): artículo. - Sarátov universidad estatal lleva el nombre de N.G. Chernyshevsky, 2010.
Kononyuk A.E.. - Osvita Ucrania, 2012. - T. 2. - 548 p. - ISBN 978-966-7599-50-8.
: [24 de agosto de 2011] // Liderazgo / Artemy Lebedev. - 15 de enero de 2003 - § 97.

Extracto que describe la multiplicación

“Por favor, cámbiate de ropa, por favor”, dijo, alejándose.

- ¡Ya viene! - gritó el makhalny en ese momento.
El comandante del regimiento, sonrojado, corrió hacia el caballo, con manos temblorosas tomó el estribo, arrojó el cuerpo, se enderezó, sacó la espada y con rostro feliz y decidido, con la boca abierta hacia un lado, se dispuso a gritar. El regimiento se animó como un pájaro en recuperación y se quedó helado.
- ¡Smirr r r r na! - gritó el comandante del regimiento con voz conmovedora, alegre por sí mismo, estricto con el regimiento y amigable con el comandante que se acercaba.
A lo largo de una carretera ancha, arbolada y sin autopistas, un alto vagón vienés azul avanzaba en un tren al trote rápido, haciendo sonar ligeramente los resortes. Detrás del carruaje galopaba un séquito y un convoy de croatas. Junto a Kutuzov estaba sentado un general austríaco con un extraño uniforme blanco entre los rusos negros. El carruaje se detuvo en el estante. Kutuzov y el general austríaco hablaban en voz baja sobre algo, y Kutuzov sonrió levemente, mientras, dando un paso pesado, bajaba el pie del reposapiés, como si estas 2.000 personas no estuvieran allí, que lo miraban a él y al comandante del regimiento sin respirar.
Se escuchó un grito de mando y nuevamente el regimiento tembló con un sonido de timbre, poniéndose en guardia. En el silencio de muerte escuché voz débil comandante en jefe. El regimiento ladró: "¡Le deseamos buena salud, la suya!". Y de nuevo todo se congeló. Al principio, Kutuzov permaneció en un lugar mientras el regimiento se movía; Luego, Kutuzov, junto al general blanco, a pie, acompañado de su séquito, comenzó a caminar entre las filas.
Por cierto, el comandante del regimiento saludó al comandante en jefe, mirándolo con los ojos, estirándose y acercándose, cómo se inclinó hacia adelante y siguió a los generales a lo largo de las filas, sin apenas mantener un movimiento tembloroso, cómo saltó a cada palabra y movimiento del comandante en jefe, estaba claro que estaba cumpliendo con sus deberes de subordinado con mayor placer que los deberes de un superior. El regimiento, gracias al rigor y diligencia del comandante del regimiento, se encontraba en excelentes condiciones en comparación con otros que llegaron a Braunau al mismo tiempo. Sólo había 217 personas retrasadas y enfermas. Y todo estuvo bien, excepto los zapatos.
Kutuzov caminó entre las filas, deteniéndose ocasionalmente y dirigiendo algunas palabras amables a los oficiales que conocía de la guerra turca y, a veces, a los soldados. Mirando los zapatos, sacudió la cabeza varias veces con tristeza y se los señaló al general austriaco con tal expresión que no parecía culpar a nadie por ello, pero no pudo evitar ver lo malo que era. Cada vez, el comandante del regimiento se adelantaba, temiendo perder la palabra del comandante en jefe sobre el regimiento. Detrás de Kutuzov, a una distancia tal que se podía escuchar cualquier palabra pronunciada débilmente, caminaban unas 20 personas de su séquito. Los señores del séquito hablaban entre ellos y a veces reían. El apuesto ayudante se acercó más al comandante en jefe. Era el príncipe Bolkonsky. Junto a él caminaba su camarada Nesvitsky, un alto oficial de estado mayor, extremadamente gordo, con una actitud amable y sonriente. hermoso rostro y ojos húmedos; Nesvitsky apenas pudo contener la risa, excitado por el oficial húsar negruzco que caminaba a su lado. El oficial de húsar, sin sonreír, sin cambiar la expresión de sus ojos fijos, miraba con expresión seria la espalda del comandante del regimiento e imitaba todos sus movimientos. Cada vez que el comandante del regimiento se estremecía y se inclinaba hacia adelante, exactamente de la misma manera, exactamente de la misma manera, el oficial de húsar se estremecía y se inclinaba hacia adelante. Nesvitsky se rió y empujó a los demás a mirar al hombre gracioso.
Kutuzov caminó lenta y perezosamente entre miles de ojos que se salían de sus órbitas, observando a su jefe. Habiendo alcanzado a la tercera compañía, se detuvo de repente. El séquito, sin anticipar esta parada, involuntariamente avanzó hacia él.
- ¡Ah, Timokhin! - dijo el comandante en jefe, reconociendo al capitán de la nariz roja, que sufría por su abrigo azul.
Parecía imposible estirarse además, cómo Timokhin se estiró, mientras el comandante del regimiento lo reprendía. Pero en ese momento el comandante en jefe se dirigió a él, el capitán se enderezó de modo que parecía que si el comandante en jefe lo hubiera mirado un poco más, el capitán no habría podido soportarlo; Por lo tanto, Kutuzov, aparentemente entendiendo su posición y deseando, por el contrario, todo lo mejor para el capitán, se apresuró a alejarse. Una sonrisa apenas perceptible cruzó el rostro regordete y desfigurado por las heridas de Kutuzov.
"Otro camarada de Izmailovo", dijo. - ¡Valiente oficial! ¿Estás contento con eso? – preguntó Kutuzov al comandante del regimiento.
Y el comandante del regimiento, reflejado como en un espejo, invisible para él, en un oficial de húsar, se estremeció, se adelantó y respondió:
– Estoy muy contento, Excelencia.
"No todos estamos exentos de debilidades", dijo Kutuzov, sonriendo y alejándose de él. “Tenía devoción por Baco.
El comandante del regimiento temió ser el culpable de esto y no respondió nada. El oficial en ese momento notó el rostro del capitán con la nariz roja y el vientre hundido e imitó su rostro y posó tan fielmente que Nesvitsky no pudo dejar de reír.
Kutuzov se volvió. Estaba claro que el oficial podía controlar su rostro como quería: en el momento en que Kutuzov se dio la vuelta, el oficial logró hacer una mueca y luego adoptó la expresión más seria, respetuosa e inocente.
La tercera compañía fue la última y Kutuzov pensó en ello, aparentemente recordando algo. El príncipe Andréi salió de su séquito y dijo en voz baja en francés:
– Usted ordenó un recordatorio sobre Dolokhov, que fue degradado a este regimiento.
-¿Dónde está Dólojov? – preguntó Kutúzov.
Dólojov, ya vestido con un abrigo gris de soldado, no esperó a que lo llamaran. figura esbelta rubio con cabello claro ojos azules El soldado salió del frente. Se acercó al comandante en jefe y lo puso en guardia.
- ¿Afirmar? – preguntó Kutuzov, frunciendo ligeramente el ceño.
"Este es Dolokhov", dijo el príncipe Andrei.
- ¡A! - dijo Kutuzov. "Espero que esta lección te corrija, sirve bien". El Señor es misericordioso. Y no te olvidaré si te lo mereces.
Los ojos azules y claros miraban al comandante en jefe tan desafiantemente como al comandante del regimiento, como si con su expresión estuvieran rasgando el velo de la convención que hasta ahora separaba al comandante en jefe del soldado.
“Le pregunto una cosa, excelencia”, dijo con su voz sonora, firme y pausada. “Por favor, dame la oportunidad de enmendar mi culpa y demostrar mi devoción al Emperador y a Rusia”.
Kutuzov se dio la vuelta. En sus ojos apareció la misma sonrisa que cuando se alejó del capitán Timokhin. Se dio la vuelta e hizo una mueca, como si quisiera expresar que todo lo que Dolokhov le contó y todo lo que podía decirle lo sabía desde hacía mucho, mucho tiempo, que todo esto ya lo había aburrido y que todo esto no era así. en absoluto lo que necesitaba. Se dio la vuelta y se dirigió hacia el cochecito.
El regimiento se disolvió en compañías y se dirigió a cuarteles asignados no lejos de Braunau, donde esperaban calzarse, vestirse y descansar después de las difíciles marchas.
– ¿No me reclama usted, Prójor Ignatíich? - dijo el comandante del regimiento, rodeando a la 3.ª compañía, avanzando hacia el lugar y acercándose al capitán Timokhin, que caminaba delante de ella. El rostro del comandante del regimiento expresaba una alegría incontrolable después de una revisión felizmente terminada. - El servicio real... es imposible... otra vez lo terminarás en el frente... Primero te pediré disculpas, ya me conoces... ¡Te lo agradecí mucho! - Y le tendió la mano al comandante de la compañía.
- ¡Por Dios, general, me atrevo! - respondió el capitán, enrojeciendo la nariz, sonriendo y revelando con una sonrisa la falta de dos dientes frontales, derribados por la culata debajo de Ismael.
- Sí, dígale al señor Dolokhov que no lo olvidaré, para que esté tranquilo. Sí, por favor dímelo, me quedé con las ganas de preguntar ¿cómo está, cómo se porta? Y eso es todo...
"Es muy servicial en su servicio, Su Excelencia... pero el fletador..." dijo Timokhin.
- ¿Qué, qué personaje? – preguntó el comandante del regimiento.
"Su Excelencia descubre, durante días", dijo el capitán, "que es inteligente, erudito y amable". Es una bestia. Mató a un judío en Polonia, por favor...
"Bueno, sí, bueno", dijo el comandante del regimiento, "todavía tenemos que sentir lástima por el joven en desgracia". Después de todo, grandes conexiones... Entonces tú...
“Estoy escuchando, excelencia”, dijo Timokhin, sonriendo, dando la impresión de que entendía los deseos del jefe.
- Bueno, sí, bueno, sí.
El comandante del regimiento encontró a Dolokhov en las filas y detuvo su caballo.
“Antes de la primera tarea, charreteras”, le dijo.
Dólojov miró a su alrededor, no dijo nada y no cambió la expresión de su boca burlonamente sonriente.
"Bueno, eso es bueno", continuó el comandante del regimiento. "Cada uno de ellos tiene un vaso de vodka de mi parte", añadió para que los soldados pudieran oírlo. – ¡Gracias a todos! ¡Dios los bendiga! - Y él, adelantando a la empresa, se acercó a otra.
- Bueno, él realmente buen hombre; “Puedes servir con él”, dijo el subalterno Timokhin al oficial que caminaba a su lado.
“¡Una palabra, la roja!... (el comandante del regimiento fue apodado el rey de los rojos)”, dijo riendo el oficial subalterno.
El buen humor de las autoridades tras la revisión se transmitió a los soldados. La compañía caminaba alegremente. Las voces de los soldados hablaban desde todos lados.
- ¿Qué dijeron, corrupto Kutuzov, sobre un ojo?
- ¡De lo contrario, no! Totalmente torcido.
- No... hermano, él tiene ojos más grandes que tú. Botas y alforzas - Miré todo...
- ¿Cómo puede él, hermano mío, mirarme los pies... bueno! Pensar…
- Y el otro austriaco, que estaba con él, estaba como untado con tiza. Como harina, blanca. ¡Yo té, cómo limpian las municiones!
- ¡Qué, Fedeshow!... ¿Dijo que cuando comenzaron los combates tú te acercaste más? Todos dijeron que el propio Bunaparte está en Brunovo.
- ¡Bunaparte lo vale! ¡Está mintiendo, tonto! ¡Lo que él no sabe! Ahora los prusianos se están rebelando. El austriaco, por tanto, lo apacigua. Tan pronto como haga la paz, se iniciará la guerra con Bunaparte. De lo contrario, dice, ¡Bunaparte está en Brunovo! Eso es lo que demuestra que es un tonto. Escuche más.
- ¡Miren, malditos inquilinos! La quinta compañía, mira, ya está entrando en el pueblo, cocinarán gachas y todavía no llegaremos al lugar.
- Dame unas galletas, maldita sea.
- ¿Me diste tabaco ayer? Eso es todo, hermano. Bueno, allá vamos, Dios esté con ustedes.
"Al menos hicieron una parada, de lo contrario no comeremos hasta dentro de cinco millas".
"Fue agradable que los alemanes nos dieran cochecitos de bebé". Cuando vayas, recuerda: ¡es importante!
“Y aquí, hermano, la gente se ha vuelto completamente rabiosa”. Todo allí parecía ser polaco, todo era de la corona rusa; y ahora, hermano, se ha vuelto completamente alemán.
– ¡Compositores adelante! – se escuchó el grito del capitán.
Y veinte personas salieron corriendo de diferentes filas frente a la empresa. El baterista comenzó a cantar, se volvió hacia los compositores y, agitando la mano, comenzó una larga canción de soldado, que comenzaba: "¿No amanece? El sol ha salido..." y terminaba con las palabras: "Así que, hermanos, habrá gloria para nosotros y para el padre de Kamensky..." Esta canción fue compuesta en Turquía y ahora se cantaba en Austria, sólo con el cambio de que en lugar de "el padre de Kamensky" se insertaron las palabras: "Kutuzov's padre."
Habiendo arrancado estas últimas palabras como un soldado y agitando las manos, como si arrojara algo al suelo, el baterista, un soldado seco y apuesto de unos cuarenta años, miró severamente a los soldados compositores y cerró los ojos. Luego, asegurándose de que todas las miradas estuvieran fijas en él, pareció levantar con cuidado con ambas manos algo invisible y precioso sobre su cabeza, lo sostuvo así durante varios segundos y de repente lo arrojó desesperadamente:
¡Ay tú, mi palio, mi palio!
“Mi nuevo dosel…”, resonaron veinte voces, y el cucharero, a pesar del peso de sus municiones, rápidamente saltó hacia adelante y caminó hacia atrás frente a la compañía, moviendo los hombros y amenazando a alguien con sus cucharas. Los soldados, agitando los brazos al ritmo de la canción, caminaban a grandes zancadas, golpeándose involuntariamente los pies. Detrás de la compañía se oían ruidos de ruedas, crujir de muelles y pisadas de caballos.
Kutuzov y su séquito regresaban a la ciudad. El comandante en jefe hizo una señal para que el pueblo siguiera caminando libremente, y el placer se expresó en su rostro y en todos los rostros de su séquito al son de la canción, al ver al soldado bailando y a los soldados de la compañía caminaba alegre y rápidamente. En la segunda fila, desde el flanco derecho, desde donde el carruaje adelantó a las compañías, uno llamó involuntariamente la atención de un soldado de ojos azules, Dolokhov, que caminaba con especial rapidez y gracia al ritmo de la canción y miraba los rostros de los que pasaban con tal expresión, como si sintiera pena por todos los que no iban en ese momento con la empresa. Una corneta de húsar del séquito de Kutuzov, imitando al comandante del regimiento, se quedó detrás del carruaje y se dirigió a Dolokhov.
El cucurucho de húsar Zherkov perteneció en un momento a la sociedad violenta encabezada por Dolokhov en San Petersburgo. En el extranjero, Zherkov conoció a Dolokhov como soldado, pero no consideró necesario reconocerlo. Ahora, después de la conversación de Kutuzov con el degradado, se volvió hacia él con la alegría de un viejo amigo:
- Querido amigo, ¿cómo estás? - dijo al sonar la canción, haciendo coincidir el paso de su caballo con el paso de la compañía.
- ¿Cómo estoy? - respondió Dolokhov con frialdad, - como ve.
La animada canción dio especial importancia al tono de descarada alegría con el que habló Zherkov y a la deliberada frialdad de las respuestas de Dólojov.
- Bueno, ¿cómo te llevas con tu jefe? – preguntó Zherkov.
- Nada, buena gente. ¿Cómo llegaste a la sede?
- Secundado, de turno.
Ellos guardaron silencio.
“Soltó un halcón de su manga derecha”, decía la canción, despertando involuntariamente un sentimiento alegre y alegre. Su conversación probablemente habría sido diferente si no hubieran hablado al son de una canción.
– ¿Es cierto que los austriacos fueron derrotados? – preguntó Dólojov.
“El diablo los conoce”, dicen.
"Me alegro", respondió Dolokhov breve y claramente, como requería la canción.
"Bueno, ven a vernos por la noche y empeñarás al faraón", dijo Zherkov.
– ¿O tienes mucho dinero?
- Venir.
- Está prohibido. Hice un voto. No bebo ni juego hasta que lo logran.
- Bueno, a lo primero...
- Ya veremos.
De nuevo guardaron silencio.
"Si necesitas algo, ven, todos en el cuartel general te ayudarán...", dijo Zherkov.
Dólojov sonrió.
- Será mejor que no te preocupes. No pediré nada de lo que necesito, lo tomaré yo mismo.
- Bueno, estoy tan...
- Bueno, yo también.
- Adiós.
- Estar saludable...
... y alto y lejos,
Del lado de casa...
Zherkov espoleó al caballo, que, excitado, coceó tres veces, sin saber por cuál empezar, logró salir al galope, adelantando a la compañía y alcanzando al carruaje, también al ritmo de la canción.

Al regresar de la revista, Kutuzov, acompañado por el general austríaco, entró en su oficina y, llamando al ayudante, ordenó que le entregaran algunos documentos sobre el estado de las tropas llegadas y cartas recibidas del archiduque Fernando, que comandaba el ejército avanzado. . El príncipe Andrei Bolkonsky entró en la oficina del comandante en jefe con los documentos necesarios. Kutuzov y un miembro austríaco del Gofkriegsrat se sentaron frente al plan colocado sobre la mesa.
"Ah..." dijo Kutuzov, mirando a Bolkonsky, como si con esta palabra invitara al ayudante a esperar, y continuó la conversación que había iniciado en francés.
"Sólo digo una cosa, general", dijo Kutuzov con una agradable expresión y entonación que lo obligaba a escuchar atentamente cada palabra pronunciada tranquilamente. Estaba claro que el propio Kutuzov disfrutaba escuchándose a sí mismo. "Sólo digo una cosa, general, que si el asunto dependiera de mi deseo personal, entonces la voluntad de Su Majestad el Emperador Francisco se habría cumplido hace mucho tiempo". Me habría unido al Archiduque hace mucho tiempo. Y, créame, sería una alegría para mí personalmente entregar el mando más alto del ejército a un general con más conocimientos y habilidades que yo, del que tanto abunda Austria, y renunciar a toda esta pesada responsabilidad. Pero las circunstancias son más fuertes que nosotros, general.
Y Kutuzov sonrió con una expresión como si dijera: “Tienes todo el derecho a no creerme, y ni siquiera a mí me importa en absoluto si me crees o no, pero no tienes por qué decirme esto. Y ese es el punto”.
El general austriaco parecía descontento, pero no pudo evitar responder a Kutuzov en el mismo tono.
“Al contrario”, dijo con tono gruñón y enojado, tan contrario al significado halagador de las palabras que decía, “al contrario, la participación de Su Excelencia en causa común muy valorado por Su Majestad; pero creemos que la actual desaceleración priva a las gloriosas tropas rusas y a sus comandantes en jefe de los laureles que acostumbran a cosechar en las batallas”, concluyó su frase aparentemente preparada.
Kutuzov hizo una reverencia sin cambiar su sonrisa.
“Y estoy tan convencido y, basándose en la última carta con la que me honró Su Alteza el Archiduque Fernando, supongo que las tropas austriacas, bajo el mando de un asistente tan hábil como el general Mack, han obtenido ahora una victoria decisiva y ya no Necesitamos nuestra ayuda”, dijo Kutuzov.
El general frunció el ceño. Aunque no hubo noticias positivas sobre la derrota de los austriacos, hubo demasiadas circunstancias que confirmaron los rumores generales desfavorables; Por lo tanto, la suposición de Kutuzov sobre la victoria de los austriacos era muy parecida al ridículo. Pero Kutuzov sonrió dócilmente, siempre con la misma expresión, que decía que tenía derecho a asumirlo. En realidad, última letra, que recibió del ejército de Mack, le informó de la victoria y de lo más rentable. posición estratégica ejército.
"Dame esta carta aquí", dijo Kutuzov, volviéndose hacia el príncipe Andrei. - Por favor, ve. - Y Kutuzov, con una sonrisa burlona en la punta de los labios, leyó en alemán al general austríaco el siguiente pasaje de una carta del archiduque Fernando: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.” [Tenemos fuerzas bastante concentradas, unas 70.000 personas, para que podamos atacar y derrotar al enemigo si cruza Lech. Como ya poseemos Ulm, podemos conservar la ventaja del mando de ambas orillas del Danubio, por lo tanto, cada minuto, si el enemigo no cruza el Lech, cruza el Danubio, corre hacia su línea de comunicación, cruza el Danubio abajo de regreso a el enemigo, si decide volcar todo su poder sobre nuestros fieles aliados, impedirá que se cumpla su intención. De esta manera esperaremos con alegría el momento en que el imperio ejército ruso Estaremos completamente preparados, y luego juntos encontraremos fácilmente la oportunidad de prepararle al enemigo el destino que se merece”.]
Kutuzov suspiró profundamente, puso fin a este período y miró atenta y afectuosamente al miembro del Gofkriegsrat.
- Pero ya sabe, Excelencia, regla sabia“Lo que nos ordena asumir lo peor”, dijo el general austriaco, aparentemente queriendo terminar con las bromas y ponerse manos a la obra.
Involuntariamente miró al ayudante.
"Disculpe, general", lo interrumpió Kutuzov y también se volvió hacia el príncipe Andrei. - Eso es todo, querida, toma todos los informes de nuestros espías de Kozlovsky. Aquí hay dos cartas del Conde Nostitz, aquí hay una carta de Su Alteza el Archiduque Fernando, aquí hay otra”, dijo entregándole varios papeles. - Y de todo esto, puramente, en adelante Francés, redactar un memorando, una nota, para la visibilidad de todas las novedades que tengamos sobre las acciones ejército austríaco tenía. Bueno, entonces preséntele a Su Excelencia.
El príncipe Andrei inclinó la cabeza en señal de que comprendió desde las primeras palabras no sólo lo que se dijo, sino también lo que Kutuzov quería decirle. Recogió los papeles y, haciendo una reverencia general, caminando tranquilamente sobre la alfombra, salió a la sala de recepción.
A pesar de que no ha pasado mucho tiempo desde que el príncipe Andrei dejó Rusia, ha cambiado mucho durante este tiempo. En la expresión de su rostro, en sus movimientos, en su andar, casi no se notaban la antigua fingimiento, el cansancio y la pereza; Tenía la apariencia de un hombre que no tiene tiempo para pensar en la impresión que causa en los demás y está ocupado haciendo algo agradable e interesante. Su rostro expresaba más satisfacción consigo mismo y con quienes lo rodeaban; su sonrisa y mirada eran más alegres y atractivas.
Kutuzov, a quien encontró en Polonia, lo recibió muy amablemente, le prometió no olvidarlo, lo distinguió de otros ayudantes, lo llevó consigo a Viena y le asignó tareas más serias. Desde Viena, Kutuzov escribió a su antiguo camarada, el padre del príncipe Andrei:
“Su hijo”, escribió, “muestra esperanza de llegar a ser oficial, fuera de lo común en sus estudios, firmeza y diligencia. Me considero afortunado de tener un subordinado así a mano”.
En el cuartel general de Kutuzov, entre sus camaradas y colegas y en el ejército en general, el príncipe Andrés, así como en la sociedad de San Petersburgo, tenía dos reputaciones completamente opuestas.
Algunos, una minoría, reconocieron al príncipe Andrei como algo especial de ellos mismos y de todas las demás personas que esperaban de él. exitazo, lo escuchó, lo admiró y lo imitó; y con esta gente el príncipe Andrés se mostraba sencillo y agradable. A otros, la mayoría, no les agradaba el príncipe Andrés, lo consideraban pomposo, frío y persona desagradable. Pero ante estas personas, el príncipe Andrés supo posicionarse de tal manera que era respetado e incluso temido.
Al salir de la oficina de Kutuzov hacia la recepción, el príncipe Andréi con sus papeles se acercó a su camarada, el ayudante de turno Kozlovsky, que estaba sentado junto a la ventana con un libro.
- Bueno, ¿qué, príncipe? – preguntó Kozlovsky.
"Nos ordenaron que escribiéramos una nota explicando por qué no debíamos seguir adelante".
- ¿Por qué?
El príncipe Andrés se encogió de hombros.
- ¿No hay noticias de Mac? – preguntó Kozlovsky.
- No.
“Si fuera cierto que fue derrotado, entonces llegaría la noticia”.
“Probablemente”, dijo el príncipe Andrei y se dirigió hacia la puerta de salida; pero al mismo tiempo, un general austríaco alto, obviamente de visita, vestido con levita, con un pañuelo negro atado a la cabeza y con la Orden de María Teresa alrededor del cuello, entró rápidamente en la sala de recepción, dando un portazo. El príncipe Andrés se detuvo.
- ¿Jefe general Kutuzov? – dijo rápidamente el general visitante con un marcado acento alemán, mirando a ambos lados y caminando sin detenerse hacia la puerta de la oficina.
"El general en jefe está ocupado", dijo Kozlovsky, acercándose apresuradamente al general desconocido y bloqueándole el paso desde la puerta. - ¿Cómo te gustaría informar?
El general desconocido miró con desdén al bajo Kozlovsky, como sorprendido de que no fuera conocido.
"El general en jefe está ocupado", repitió con calma Kozlovsky.
El rostro del general frunció el ceño, sus labios se torcieron y temblaron. el saco computadora portátil, rápidamente dibujó algo con un lápiz, arrancó el papel, se lo dio, caminó rápidamente hacia la ventana, arrojó su cuerpo sobre una silla y miró a los que estaban en la habitación, como preguntando: ¿por qué miran? ¿a él? Entonces el general levantó la cabeza, estiró el cuello, como si tuviera la intención de decir algo, pero inmediatamente, como si comenzara a tararear casualmente para sí mismo, hizo sonido extraño, que se detuvo inmediatamente. Se abrió la puerta del despacho y apareció Kutuzov en el umbral. El general, con la cabeza vendada, como si huyera del peligro, se inclinó y se acercó a Kutuzov con pasos grandes y rápidos de sus delgadas piernas.
“Vous voyez le malheureux Mack, [Ves al desafortunado Mack]”, dijo con la voz quebrada.
El rostro de Kutuzov, de pie en la puerta de la oficina, permaneció unos instantes completamente inmóvil. Luego, como una ola, una arruga recorrió su rostro, su frente se alisó; Inclinó la cabeza respetuosamente, cerró los ojos, dejó pasar a Mack en silencio y cerró la puerta detrás de él.
El rumor, ya difundido antes, sobre la derrota de los austriacos y la rendición de todo el ejército cerca de Ulm resultó ser cierto. Media hora más tarde, se enviaron ayudantes en diferentes direcciones con órdenes que demostraban que pronto las tropas rusas, hasta entonces inactivas, tendrían que enfrentarse al enemigo.
El príncipe Andrei era uno de esos raros oficiales del cuartel general que creían que su principal interés era progreso general asuntos militares. Después de ver a Mack y escuchar los detalles de su muerte, se dio cuenta de que la mitad de la campaña estaba perdida, comprendió la dificultad de la posición de las tropas rusas e imaginó vívidamente lo que le esperaba al ejército y el papel que él tendría que desempeñar en ella. .
Involuntariamente, experimentó un sentimiento emocionante y alegre al pensar en deshonrar a la arrogante Austria y al hecho de que en una semana tendría que ver y participar en un enfrentamiento entre rusos y franceses, por primera vez desde Suvorov.
Pero tenía miedo del genio de Bonaparte, que podía ser más fuerte que todo el coraje de las tropas rusas y, al mismo tiempo, no podía permitir que su héroe se avergonzara.
Excitado e irritado por estos pensamientos, el príncipe Andrés fue a su habitación para escribir a su padre, a quien escribía todos los días. Se encontró en el pasillo con su compañero de cuarto Nesvitsky y el bromista Zherkov; Ellos, como siempre, se rieron de algo.

Y multiplicación. La operación de multiplicación se discutirá en este artículo.

Multiplicar números

Los niños de segundo grado dominan la multiplicación de números y no tiene nada de complicado. Ahora veremos la multiplicación con ejemplos.

Ejemplo 2*5. Esto significa 2+2+2+2+2 o 5+5. Tome 5 dos veces o 2 cinco veces. En consecuencia, la respuesta es 10.

Ejemplo 4*3. Asimismo, 4+4+4 o 3+3+3+3. Tres por 4 o cuatro por 3. Respuesta 12.

Ejemplo 5*3. Hacemos lo mismo que en los ejemplos anteriores. 5+5+5 o 3+3+3+3+3. Respuesta 15.

Fórmulas de multiplicación

La multiplicación es la suma de números idénticos, por ejemplo, 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 o 2 * 5 = 5 + 5. Fórmula de multiplicación:

Donde a es cualquier número, n es el número de términos de a. Digamos que a=2, luego 2+2+2=6, luego n=3 multiplicando 3 por 2, obtenemos 6. Considere en orden inverso. Por ejemplo, dado: 3 * 3, es decir. 3 multiplicado por 3 significa que tres se deben tomar 3 veces: 3 + 3 + 3 = 9. 3 * 3=9.

Multiplicación abreviada

La multiplicación abreviada es una abreviación de la operación de multiplicación en ciertos casos, y se han derivado fórmulas de multiplicación abreviadas específicamente para este propósito. Lo que ayudará a que los cálculos sean los más racionales y rápidos:

Fórmulas de multiplicación abreviadas

Sean a, b pertenecientes a R, entonces:

El cuadrado de la suma de dos expresiones es igual a el cuadrado de la primera expresión más el doble del producto de la primera expresión y el segundo más el cuadrado de la segunda expresión. Fórmula: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

El cuadrado de la diferencia de dos expresiones es igual a el cuadrado de la primera expresión menos el doble del producto de la primera expresión y el segundo más el cuadrado de la segunda expresión. Fórmula: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

diferencia de cuadrados dos expresiones es igual al producto de la diferencia de estas expresiones y su suma. Fórmula: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

cubo de suma dos expresiones igual al cubo la primera expresión más el triple del producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda más el triple del producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda más el cubo de la segunda expresión. Fórmula: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

cubo de diferencia dos expresiones es igual al cubo de la primera expresión menos el triple del producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda más el triple del producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda expresión. Fórmula: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

suma de cubos a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

diferencia de cubos dos expresiones es igual al producto de la suma de la primera y segunda expresiones y el cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones. Fórmula: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

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Multiplicar fracciones

Considerando la suma y resta de fracciones, se planteó la regla para llevar fracciones a denominador común para realizar el cálculo. Al multiplicar esto haz No hay necesidad! Al multiplicar dos fracciones, el denominador se multiplica por el denominador y el numerador por el numerador.

Por ejemplo, (2/5) * (3 * 4). Multipliquemos dos tercios por un cuarto. Multiplicamos el denominador por el denominador y el numerador por el numerador: (2 * 3)/(5 * 4), luego 6/20, hacemos una reducción, obtenemos 3/10.

Multiplicación 2do grado

El segundo grado es solo el comienzo del aprendizaje de la multiplicación, por lo que los estudiantes de segundo grado resuelven problemas simples para reemplazar la suma con multiplicación, multiplican números y aprenden la tabla de multiplicar. Veamos los problemas de multiplicación del nivel de segundo grado:

Oleg vive en un edificio de cinco pisos, en el último piso. La altura de un piso es de 2 metros. ¿Cuál es la altura de la casa?

La caja contiene 10 paquetes de galletas. Hay 7 de ellos en cada paquete. ¿Cuántas galletas hay en la caja?

Misha dispuso sus carritos de juguete en fila. Hay 7 en cada fila, pero solo hay 8 filas. ¿Cuántos autos tiene Misha?

Hay 6 mesas en el comedor y 5 sillas detrás de cada mesa. ¿Cuántas sillas hay en el comedor?

Mamá trajo 3 bolsas de naranjas de la tienda. Las bolsas contienen 22 naranjas. ¿Cuántas naranjas trajo mamá?

Hay 9 arbustos de fresas en el jardín y cada arbusto tiene 11 bayas. ¿Cuántas bayas crecen en todos los arbustos?

Roma colocó 8 piezas de tubería una tras otra, mismo tamaño 2 metros cada uno. ¿Cuál es la longitud del tubo completo?

Los padres trajeron a sus hijos a la escuela el 1 de septiembre. Llegaron 12 coches, cada uno con 2 niños. ¿Cuántos niños trajeron sus padres en estos autos?

Multiplicación 3er grado

En tercer grado se asignan tareas más serias. Además de la multiplicación, también se cubrirá la división.

Las tareas de multiplicación incluirán: multiplicar números de dos dígitos, multiplicar por columnas, reemplazar la suma por multiplicación y viceversa.

Multiplicación de columnas:

La multiplicación de columnas es la forma más sencilla de multiplicar números grandes. Consideremos este método usando el ejemplo de dos números 427 * 36.

1 paso. Escribamos los números uno debajo del otro, de modo que 427 quede arriba y 36 abajo, es decir, 6 debajo de 7, 3 debajo de 2.

Paso 2. Comenzamos la multiplicación con el dígito más a la derecha del número inferior. Es decir, el orden de multiplicación es: 6*7, 6*2, 6*4, luego lo mismo con tres: 3*7, 3*2, 3*4.

Entonces, primero multiplicamos 6 por 7, respondemos: 42. Lo escribimos de esta manera: como resultó ser 42, entonces 4 son decenas y 2 son unidades, el registro es similar a la suma, lo que significa que escribimos 2 debajo del seis y 4 sumamos el número 427 a los dos. .

Paso 3. Luego hacemos lo mismo con 6 * 2. Respuesta: 12. La primera decena, que se suma al cuatro del número 427, y la segunda, las unidades. Sumamos el dos resultante con el cuatro de la multiplicación anterior.

Paso 4. Multiplica 6 por 4. La respuesta es 24 y suma 1 de la multiplicación anterior. Obtenemos 25.

Entonces, multiplicando 427 por 6, la respuesta es 2562.

¡RECORDAR! El resultado de la segunda multiplicación debe comenzar a escribirse bajo SEGUNDO número del primer resultado!

Paso 5. Realizamos acciones similares con el número 3. Obtenemos la respuesta de la multiplicación 427 * 3=1281

Paso 6. Luego sumamos las respuestas obtenidas durante la multiplicación y obtenemos la respuesta final de la multiplicación 427 * 36. Respuesta: 15372.

Multiplicación 4to grado

La cuarta clase ya es sólo la multiplicación de números grandes. El cálculo se realiza mediante el método de multiplicación de columnas. El método se describe arriba en un lenguaje accesible.

Por ejemplo, encuentre el producto de los siguientes pares de números:

988 * 98 =
99 * 114 =
17 * 174 =
164 * 19 =

Presentación sobre multiplicación.

Descargue una presentación sobre multiplicación con tareas sencillas para alumnos de segundo grado. La presentación ayudará a los niños a navegar mejor en esta operación, porque está escrita de manera colorida y en un estilo divertido, en la mejor opción¡Por enseñar a un niño!

Tabla de multiplicación

Todos los estudiantes de segundo grado aprenden la tabla de multiplicar. ¡Todos deberían saberlo!

Ejemplos de multiplicación

Multiplicar por un dígito

9 * 5 =
9 * 8 =
8 * 4 =
3 * 9 =
7 * 4 =
9 * 5 =
8 * 8 =
6 * 9 =
6 * 7 =
9 * 2 =
8 * 5 =
3 * 6 =

Multiplicando por dos dígitos

4 * 16 =
11 * 6 =
24 * 3 =
9 * 19 =
16 * 8 =
27 * 5 =
4 * 31 =
17 * 5 =
28 * 2 =
12 * 9 =

Multiplicar dos dígitos por dos dígitos

24 * 16 =
14 * 17 =
19 * 31 =
18 * 18 =
10 * 15 =
15 * 40 =
31 * 27 =
23 * 25 =
17 * 13 =

Multiplicar números de tres cifras

630 * 50 =
123 * 8 =
201 * 18 =
282 * 72 =
96 * 660 =
910 * 7 =
428 * 37 =
920 * 14 =

Juegos para desarrollar la aritmética mental.

Los juegos educativos especiales elaborados con la participación de científicos rusos de Skolkovo ayudarán a mejorar las habilidades conteo oral de una manera lúdica e interesante.

Juego "Conteo rápido"

El juego "conteo rápido" te ayudará a mejorar tu pensamiento. La esencia del juego es que en la imagen que se te presenta tendrás que elegir la respuesta "sí" o "no" a la pregunta "¿Hay 5 frutas idénticas?" Sigue tu objetivo y este juego te ayudará con esto.

Juego "Matrices matemáticas"

"Matrices matemáticas" es genial. ejercicio cerebral para niños lo cual le ayudará a desarrollar su trabajo mental, cálculo mental, búsqueda rápida Componentes necesarios, cuidado. La esencia del juego es que el jugador tiene que encontrar un par de los 16 números propuestos que sumen un número dado, por ejemplo en la imagen de abajo el número dado es "29" y el par deseado es "5". y “24”.

Juego "Number Span"

El juego de números pondrá a prueba tu memoria mientras practicas este ejercicio.

La esencia del juego es recordar el número, lo que lleva unos tres segundos recordar. Entonces necesitas reproducirlo. A medida que avanzas en las etapas del juego, la cantidad de números aumenta, comenzando con dos y más.

Juego "Adivina la operación"

El juego "Adivina la operación" desarrolla el pensamiento y la memoria. El punto principal los juegos deben ser seleccionados signo matemático para que la igualdad sea verdadera. En la pantalla se dan ejemplos, mira con atención y pon el signo “+” o “-” requerido para que la igualdad sea verdadera. Los signos “+” y “-” se encuentran en la parte inferior de la imagen, seleccione el signo deseado y haga clic en el botón deseado. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Simplificación"

El juego "Simplificación" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es realizar rápidamente una operación matemática. Se dibuja a un estudiante en la pantalla del pizarrón y se le da una operación matemática para que el estudiante calcule este ejemplo y escriba la respuesta; A continuación se muestran tres respuestas, cuente y haga clic en el número que necesita con el mouse. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Suma rápida"

Juego " Adición rápida» desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es elegir números cuya suma sea igual a un número dado. En este juego se da una matriz del uno al dieciséis. Encima de la matriz está escrito numero dado, debe seleccionar los números en la matriz para que la suma de estos números sea igual al número dado. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego de geometría visual

Juego " Geometría visual» desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es contar rápidamente la cantidad de objetos sombreados y seleccionarlos de la lista de respuestas. En este juego, los cuadrados azules se muestran en la pantalla durante unos segundos, debes contarlos rápidamente y luego se cierran. Hay cuatro números escritos debajo de la tabla, debes elegir uno numero correcto y haga clic en él con el ratón. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Comparaciones matemáticas"

Juego " Comparaciones matemáticas» desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es comparar números y operaciones matemáticas. En este juego necesitas comparar dos números. En la parte superior hay una pregunta escrita, léela y responde correctamente la pregunta. Puedes responder usando los botones a continuación. Hay tres botones "izquierda", "igual" y "derecha". Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

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El dinero y la mentalidad millonaria

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En esencia, toda la dificultad radica en cómo colocar correctamente resultados intermedios multiplicaciones (productos parciales. En un esfuerzo por facilitar los cálculos, la gente ha ideado muchas formas de multiplicar números. A lo largo de los siglos de historia de las matemáticas, ha habido varias docenas de ellas.

La herencia de los hindúes es el método de celosía.

Los hindúes, que conocen desde la antigüedad sistema decimal notación, preferida conteo mental escrito. Inventaron varias formas de hacer multiplicaciones rápidas. Posteriormente fueron tomados prestados por los árabes, y de ellos estos métodos pasaron a los europeos. Éstos, sin embargo, no se limitaron a ellos y desarrollaron otros nuevos, en particular el que se estudia en la escuela: la multiplicación por columnas. Este método se conoce desde principios del siglo XV; en el siglo siguiente se empezó a utilizar firmemente entre los matemáticos y hoy se utiliza en todas partes. Pero, ¿es la multiplicación de columnas la mejor manera de realizar esta operación aritmética? De hecho, existen otros métodos de multiplicación, ahora olvidados, que no son peores, por ejemplo, el método de la red.

Este método se utilizó en la antigüedad, en la Edad Media se generalizó en Oriente y en el Renacimiento, en Europa. El método de la cuadrícula también se llamaba indio, musulmán o “multiplicación celular”. Y en Italia se llamaba "Gelosia", o "multiplicación de celosía" (Gelosia en la traducción del italiano significa "persianas", "contraventanas de celosía". De hecho, las figuras resultantes de los números eran similares a las contraventanas: persianas que cubrían las ventanas del sol veneciano. casas.

Explicaremos la esencia de este sencillo método de multiplicación con un ejemplo: calcularemos el producto 296 x 73. Empecemos dibujando una tabla con celdas cuadradas, en la que habrá tres columnas y dos filas, según el número de dígitos en los factores. Divida las celdas por la mitad en diagonal. Encima de la tabla escribimos el número 296, y con lado derecho verticalmente - el número 73. Multiplica cada dígito del primer número por cada dígito del segundo y escribe los productos en las celdas correspondientes, colocando las decenas encima de la diagonal y las unidades debajo. Obtenemos los dígitos del producto deseado sumando los dígitos en las franjas oblicuas. En este caso, nos moveremos en el sentido de las agujas del reloj, empezando por la celda inferior derecha: 8, 2 1 7, etc. Escribiremos los resultados debajo de la tabla, así como a la izquierda de la misma. En el caso de que la suma dé como resultado una suma de dos dígitos, indicamos solo las unidades, y sumamos las decenas a la suma de los dígitos de la siguiente tira. Respuesta: 21,608 Entonces, 296 x 73 = 21,608.

El método reticular no es de ninguna manera inferior a la multiplicación de columnas. Es aún más sencillo y fiable, a pesar de que el número de acciones realizadas en ambos casos es el mismo. En primer lugar, sólo tienes que trabajar con números de uno y dos dígitos, y son fáciles de manejar mentalmente. En segundo lugar, no es necesario recordar los resultados intermedios y realizar un seguimiento del orden en que se anotan. Se descarga la memoria y se retiene la atención, por lo que se reduce la probabilidad de error. Además, el método de celosía le permite obtener resultados más rápido. Una vez que lo domines, podrás comprobarlo por ti mismo.

¿Por qué el método de la red conduce a la respuesta correcta? ¿Cuál es su “mecanismo”? Resolvamos esto usando una tabla construida de manera similar a la primera, solo que en este caso los factores se presentan como las sumas de 200 90 6 y 70 3.

Como puede ver, en la primera franja oblicua hay unidades, en la segunda - decenas, en la tercera - centenas, etc. cuando se suman, dan la respuesta, respectivamente, el número de unidades, decenas, centenas, etc. el resto es obvio:

10 10 1500. 100. 8 _ 21608.

En otras palabras, de acuerdo con las leyes de la aritmética, el producto de los números 296 y 73 se calcula de la siguiente manera:

296 x 73 = (200 90 6) x (70 3) = 14 000 6300 420 600 270 18 = 10 000 (4000 6000) (300 400 600 200) (70 20 10) 8 = 21 608.

Palos de nepera.

La multiplicación mediante el método de la red es la base de un dispositivo de cálculo simple y original: las barras de neper.

Su inventor, John Napier, un barón escocés y amante de las matemáticas, se dedicó, junto con profesionales, a mejorar los medios y métodos de cálculo. En la historia de la ciencia, se le conoce principalmente como uno de los creadores de los logaritmos.

El dispositivo consta de diez reglas sobre las que se coloca la tabla de multiplicar. En cada celda, dividida por una diagonal, se escribe el producto de dos números de un solo dígito del 1 al 9: el número de decenas se indica en la parte superior, el número de unidades se indica en la parte inferior. Una regla (la de la izquierda) es estacionaria, el resto se puede reorganizar de un lugar a otro, formando la combinación numérica deseada. Usando barras de neper, es fácil multiplicar números de varios dígitos, reduciendo esta operación a una suma.

Por ejemplo, para calcular el producto de los números 296 y 73, debes multiplicar 296 por 3 y 70 (primero por 7, luego por 10) y sumar los números resultantes. Adjuntemos otros tres a la regla fija, con los números 2, 9 y 6 en la parte superior (deben formar el número 296. Ahora miremos la tercera línea (los números de línea están indicados en la regla exterior. Los números en ella forman un conjunto que ya nos resulta familiar.

Sumándolos, como en el método de la red, obtenemos 296 x 3 = 888. Asimismo, ra? 6

En la escuela estudian la tabla de multiplicar y luego enseñan a los niños a multiplicar números en una columna. Por supuesto, ésta no es la única forma de multiplicarse. De hecho, había varias docenas de formas de multiplicar y dividir números de varios dígitos. Presentaré aquí, quizás, un "método de celosía" aún más simple (ver el libro de I.Ya. Depman, N.Ya. Vilenkin "Más allá de las páginas de un libro de texto"). Veamos este método con un ejemplo.

Digamos que necesitamos multiplicar 347 por 29. Dibujemos una tabla, como en la Figura a), escriba encima el número 347 de izquierda a derecha y, a la derecha, el número 29 de arriba a abajo. En cada celda escribimos el producto de los números encima de esta celda y a la derecha de ella. En este caso, escribiremos el dígito de las decenas del producto encima de la barra y el dígito de las unidades debajo de ella. Ahora sumaremos los números en cada franja oblicua que se muestra en la figura, realizando esta operación de derecha a izquierda. Si la cantidad es inferior a 10, se escribe debajo del número inferior de la tira. Si resulta ser mayor que 10, entonces solo se escribe el dígito de las unidades de la cantidad y el dígito de las decenas se suma a la siguiente cantidad. Como resultado, obtenemos el producto deseado, que es igual a 10063.

Este método de multiplicación era anteriormente común en Oriente e Italia. Para entender su significado, veamos la figura b). Vemos que en la primera franja hay unidades, en la segunda decenas, en la tercera centenas, etc. En otras palabras, el producto 347\cdot29 se calcula de la siguiente manera:

Hay algunas otras reglas para ayudar. conteo rápido. Entonces, para elevar al cuadrado un número de dos dígitos que termina en 5, debes sumar 1 al primer dígito y multiplicar el número resultante por este dígito, y luego sumar 25 al resultado. Por ejemplo, elevemos al cuadrado 35. El primer dígito de este número es 3, suma 1: 3+1=4. Multipliquemos 3 por 4, obtenemos 12, luego simplemente sumamos 25. Entonces la respuesta es: 1225.

Esta regla se deriva inmediatamente del hecho de que

Por supuesto, esto también se puede usar para elevar al cuadrado números de tres dígitos que terminan en 5 y números que tienen aún más dígitos. Sin embargo, en estos casos tendrás que calcular el producto a\cdot(a+1) , donde el número a ya tiene varios decimales, y esto también hay que hacerlo, digamos, en una columna, es decir, esta ¡Es más complicado!

Y ahora el vídeo muestra un método de multiplicación, ampliamente visto y discutido en Internet, que se llama método chino. Divertido e interesante. Por cierto, ya se han publicado algunas generalizaciones de este método, porque dibujar 9 líneas rectas al multiplicar por 9 es algo largo y poco interesante, y luego contar los puntos de intersección... En general, ¡todavía necesitas saber la tabla de multiplicar! Creo que puedes explicar por qué funciona el método. Atención, pregunta: ¿por qué?

¿Qué es la multiplicación?

Multiplicación Es una operación aritmética en la que el primer número se repite como término tantas veces como muestra el segundo número.

Un número que se repite como término se llama multiplicable(se multiplica), el número que muestra cuantas veces repetir el término se llama multiplicador. El número resultante de la multiplicación se llama trabajar.

Por ejemplo, multiplicar el número natural 2 por el número natural 5 significa encontrar la suma de cinco términos, cada uno de los cuales es igual a 2:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

En este ejemplo, encontramos la suma mediante suma ordinaria. Pero cuando el número de términos iguales es grande, encontrar la suma sumando todos los términos se vuelve demasiado tedioso.

La multiplicación se indica con el signo × (barra oblicua) o el signo · (punto) y se lee: multiplicar por. El signo de multiplicación se coloca entre el multiplicando y el multiplicador. El multiplicando se escribe a la izquierda del signo de multiplicación y el multiplicador a la derecha:

Esta entrada dice así: el producto de 2 y 5 es igual a 10 o 2 por 5 es igual a 10.

Entonces vemos que la multiplicación es simplemente forma corta registros de suma de términos idénticos.

verificación de multiplicación

Para comprobar la multiplicación, puedes dividir el producto por el factor. Si el resultado de la división es un número igual al multiplicando, entonces la multiplicación se realiza correctamente:

Ahora revisemos la multiplicación:

La multiplicación también se puede comprobar dividiendo el producto por el multiplicando. Si el resultado de la división es un número igual al multiplicador, entonces la multiplicación se realiza correctamente:

Comprobemos:

Multiplicando uno y por uno

a las siguientes igualdades son verdaderas:

1 · a = a
a· 1 = a

Si el multiplicando es el número 1, entonces el producto es igual al multiplicando. Por ejemplo, 1 · 3 = 3 porque la suma de 1 + 1 + 1 es tres.
Si el factor es uno, entonces el producto será igual al multiplicando. Por ejemplo, 5 · 1 = 5. Si tomamos el número 5 una vez, obtenemos 5.

Número 0 en multiplicación

Para cualquier número natural a las siguientes igualdades son verdaderas:

a· 0 = 0
0 · a = 0

Estas igualdades significan lo siguiente:

Si el factor es cero, entonces el producto es cero. Por ejemplo, 5 · 0 = 0 (si no tomamos 5 ni una sola vez, naturalmente no obtendremos nada).
Si el multiplicando es cero, entonces el producto es cero. Por ejemplo, 0 · 3 = 0 porque la suma de 0 + 0 + 0 es cero.

Propiedad coincidente la multiplicación indica la igualdad de dos productos a·(b·c) y (a·b)·c, donde a, b Y do– cualquier número natural. Por tanto, el resultado de multiplicar tres números a, b Y do No depende de la forma en que se coloquen los soportes. Debido a esto, en los productos a·(b·c) y (a·b)·c, a menudo no se colocan paréntesis y los productos se escriben en la forma abecedario. Expresión abecedario llamado producto de tres números a, b Y do, números a, b Y do todos también se llaman multiplicadores.

De manera similar, la propiedad combinatoria de la multiplicación nos permite afirmar que los productos (a·b)·(c·d) , (a·(b·c))·d , ((a·b)·c)·d , a·(b ·(c·d)) y a·((b·c)·d) son iguales. Es decir, el resultado de multiplicar cuatro números tampoco depende de la distribución de paréntesis. Producto de cuatro números a, b, do Y d escríbelo como a b c d.

En general, el resultado de multiplicar dos, tres, cuatro, etc., no depende del método de colocación de los paréntesis, y al escribir dichos productos, los paréntesis generalmente se omiten.

Ahora descubramos cómo calcular el producto de varios números cuya notación no contiene paréntesis. En este caso multiplicar tres o más números se reduce a reemplazar secuencialmente dos factores adyacentes con su producto hasta que obtengamos el resultado requerido. En otras palabras, al escribir el producto, nosotros mismos colocamos los corchetes de cualquier forma aceptable, después de lo cual multiplicamos secuencialmente los dos números.

Considere un ejemplo de cómo calcular el producto de cinco números naturales. 2 , 1 , 3 , 1 Y 8 . Anotemos el trabajo: 2 1 3 1 8. Mostraremos dos métodos de solución (hay más de dos métodos de solución).

Primera manera. Sustituiremos sucesivamente los dos factores de la izquierda por su producto. Dado que el resultado de multiplicar números 2 Y 1 es el numero 2 , Eso 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Porque 2·3=6, Eso 2·3·1·8=6·1·8. Además, porque 6 1=6, Eso 6·1·8=6·8. Finalmente, 6·8=48. Entonces, el producto de cinco números. 2 , 1 , 3 , 1 Y 8 es igual 48 . Esta solución corresponde al siguiente método de disposición de corchetes: (((2 1) 3) 1) 8.

Segunda vía. Organicemos los corchetes en el producto de esta manera: ((2 1) 3) (1 8) . Porque 2 1=2 Y 1·8=8, entonces ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . Dos por tres es seis, entonces (2·3)·8=6·8. Finalmente, 6·8=48. Entonces, 2·1·3·1·8=48.

Tenga en cuenta que el resultado de multiplicar tres o más números no se ve afectado por el orden de los factores. En otras palabras, los factores del producto se pueden escribir en cualquier orden y también se pueden intercambiar. Esta afirmación se deriva de las propiedades de la multiplicación de números naturales.

Veamos un ejemplo.

multiplicar cuatro numeros 3 , 9 , 2 Y 1 . Anotemos su producto: 3·9·2·1. Si reemplazamos los factores 3 Y 9 su producto o factores 9 Y 2 su producto, luego en la siguiente etapa tendremos que multiplicar por números de dos dígitos 27 o 18 (que aún no sabemos cómo hacer). Puede prescindir de esto intercambiando los términos y organizando los corchetes de cierta manera. Tenemos 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

Así, intercambiando los factores, podemos calcular los productos de la forma más conveniente.

Para completar el cuadro, consideremos un problema cuya solución se reduce a multiplicar varios números.

Cada caja contiene 3 sujeto. Cada caja contiene 2 cajas. ¿Cuántos elementos hay en 4 cajas?

Dado que en una caja hay 2 cajas, cada una de las cuales 3 artículo, luego en una caja hay 3·2=6 elementos. Luego en cuatro cajones hay 6·4=24 sujeto.

Se puede argumentar de otra manera. Dado que en una caja hay 2 cajas, luego en cuatro cajas hay 2·4=8 cajas Dado que cada caja contiene 3 sujeto, luego en 8 las cajas son 3·8=24 sujeto.

Las soluciones anunciadas se pueden escribir brevemente como (3·2)·4=6·4=24 o 3·(2·4)=3·8=24.

Por tanto, el número requerido de objetos es igual al producto de los números. 3 , 2 Y 4 , eso es, 3·2·4=24.

Resumamos la información en este párrafo.

Multiplicar tres o más números naturales es una multiplicación secuencial de dos números. Además, debido a las propiedades conmutativas y combinativas de la multiplicación, los factores se pueden intercambiar y dos números cualesquiera de los números multiplicados se pueden reemplazar con su producto.

Multiplicar una suma por un número natural y un número natural por una suma.

La suma y la multiplicación de números están relacionadas. propiedad distributiva multiplicación. Esta propiedad le permite estudiar la suma y la multiplicación juntas, lo que abre muchas más oportunidades que estudiar estas acciones por separado.

Formulamos la propiedad de distribución de la multiplicación relativa a la suma para dos términos: (a+b) c=a c+b c , a, b, do– números naturales arbitrarios. A partir de esta igualdad, podemos probar la validez de las igualdades (a+b+c) d=a d+b d+c d , (a+b+c+d) h=a h+b h+c h+d h etc., a, b, do, d, h– algunos números naturales.

Así, el producto de la suma de varios números y un número dado es igual a la suma de los productos de cada uno de los términos y el número dado. Esta regla se puede utilizar al multiplicar una suma por un número determinado.

Por ejemplo, multipliquemos la suma de cinco números. 7 , 2 , 3 , 8 , 8 por numero 3 . Usemos la regla resultante: (7+2+3+8+8) 3=7 3+2 3+3 3+8 3+8 3. Porque 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, Eso 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24. Queda por calcular la suma de cinco números. 21+6+9+24+24=84 .

Por supuesto, primero era posible calcular la suma de los cinco números dados y luego realizar la multiplicación. Pero en este caso tendríamos que multiplicar un número de dos cifras. 7+2+3+8+8=28 por numero 3 , lo cual aún no sabemos cómo hacer (hablaremos sobre multiplicar esos números más adelante en esta sección).

La propiedad conmutativa de la multiplicación nos permite reformular la regla para multiplicar la suma de números por un número dado de la siguiente manera: el producto de un número dado y la suma de varios números es igual a la suma de los productos de un número dado y de cada uno de los términos. Esta es la regla para multiplicar un número dado por una suma.

A continuación se muestra un ejemplo del uso de la regla para multiplicar un número por una suma: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20.

Veamos un problema cuya solución se reduce a multiplicar la suma de números por un número dado.

Cada caja contiene 3 rojo, 7 verde y 2 elementos azules. ¿Cuántos artículos hay en las cuatro cajas?

Una caja contiene 3+7+2 elementos. Luego hay (3+7+2)·4 elementos en cuatro cajas. Calculemos el producto de la suma y el número usando la regla resultante: (3+7+2) 4=3 4+7 4+2 4=12+28+8=48.

48 elementos.

Multiplicar un número natural por 10 , 100 , 1 000 etcétera.

Primero, obtengamos la regla para multiplicar un número natural arbitrario por 10 .

Números naturales 20 , 30 , …, 90 corresponden inherentemente 2 docenas, 3 docenas... 9 docenas, es decir, 20=10+10 , 30=10+10+10 , ... Dado que le dimos a la multiplicación de dos números naturales el significado de suma de términos idénticos, tenemos
2·10=20, 3·10=30, ..., 9·10=90.

Razonando de manera similar, llegamos a las siguientes igualdades:
2·100=200, 3·100=300, ..., 9·100=900;
2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, ..., 9·1 000=9 000;
2·10.000=20.000, 3·10.000=30.000, ..., 9·10.000=90.000; ...

Como diez decenas son cien, entonces 10·10=100;
Como diez centenas son mil, entonces 100·10=1.000;
Como diez mil son diez mil, entonces 1.000·10=10.000.
Continuando con estos argumentos, tenemos 10.000·10=100.000, 100.000·10=1.000.000, …

Veamos ahora un ejemplo que nos permitirá formular una regla para multiplicar un número natural arbitrario por diez.

multiplicar un numero natural 7 032 en 10 .

Para este numero 7 032 representémoslo como una suma términos de bits, tras lo cual usaremos la regla de multiplicar la suma por el número que obtuvimos en el párrafo anterior de este artículo: 7.032·10=(7.000+30+2)·10= 7.000·10+30·10+2· 10.

Porque 7 000=7 1 000 Y 30=3·10, entonces la cantidad resultante 7 000 10+30 10+2 10 igual a la suma (7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10, y la propiedad asociativa de la multiplicación nos permite escribir la siguiente igualdad:
(7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10= 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10.

En virtud de los resultados escritos antes de este ejemplo, tenemos 7·(1.000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10.000+3·100+2·10= 70.000+300+20.

Cantidad recibida 70 000+300+20 representa la expansión en dígitos de un número 70 320 .

7.032·10=70.320.

Realizando acciones similares, podemos multiplicar cualquier número natural por diez. Al mismo tiempo, no es difícil notar que como resultado obtendremos números cuya escritura diferirá de la escritura de un número multiplicado solo por un dígito. 0 , situado a la derecha.

Todas las consideraciones anteriores nos permiten expresar regla para multiplicar un número natural arbitrario por diez: si en la notación de un número natural dado, agregue un dígito a la derecha 0 , entonces la entrada resultante corresponderá al número que resulta de multiplicar este número natural por 10 .

Por ejemplo, 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79.020·10=790.200 etc.

Y ahora, basándonos en la regla de multiplicar un número natural por 10 , podemos obtener las reglas para multiplicar un número natural arbitrario por 100 , en 1 000 etc.

Porque 100=10·10, luego multiplicar cualquier número natural por 100 se reduce a multiplicar este número por 10 10 . Por ejemplo,
17·100=17·10·10=170·10=1.700;
504·100=504·10·10=5.040·10=50.400;
100 497 100=100 497 10 10= 1 004 970 10=10 049 700.

Es decir, si sumas dos dígitos a la derecha del número que se está multiplicando 0 , entonces obtenemos el resultado de multiplicar este número por 100 . esto es todo Regla para multiplicar un número natural por 100 .

Porque 1 000=100·10, entonces multiplicar cualquier número natural por mil se reduce a multiplicar este número por 100 y luego multiplicar el resultado por 10 . De estos razonamientos se deduce regla para multiplicar un número natural arbitrario por 1 000 : si sumas tres dígitos a la derecha de un número 0 , luego obtenemos el resultado de multiplicar este número por mil.

De manera similar, al multiplicar un número natural por 10 000 , 100 000 y así sucesivamente, debes sumar cuatro números a la derecha, respectivamente 0 , cinco dígitos 0 etcétera.

Por ejemplo,
58·1 000=58 000;
6.032·1.000.000=6.032.000.000;
777·10 000=7 770 000.

Multiplicación de números naturales multivaluados y univaluados.

Ahora tenemos todas las habilidades necesarias para realizar multiplicaciones de números naturales de varios dígitos y de un solo dígito.

¿Qué hay que hacer para esto?

Entendámoslo inmediatamente con un ejemplo.

Multiplicar un número de tres cifras 763 a un número de un solo dígito 5 , es decir, calculamos el producto 763·5.

Primero necesitas representar un número de varios dígitos como una suma de términos de dígitos. En nuestro ejemplo 763=700+60+3 , entonces tenemos 763·5=(700+60+3)·5.

Ahora aplicamos: (700+60+3) 5=700 5+60 5+3 5.

Porque 700=7·100 Y 60=6·10(hablamos de esto en el párrafo anterior), entonces la cantidad 700·5+60·5+3·5 se puede escribir como (7 100) 5+(6 10) 5+3 5.

Debido a las propiedades conmutativas y combinativas de la multiplicación, se cumple la siguiente igualdad: (7 100) 5+(6 10) 5+3 5= (5 7) 100+(5 6) 10+3 5 .

Porque 5·7=35, 5·6=30 Y 3·5=15, entonces (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15.

Sólo queda multiplicar por 100 y en 10 , luego suma los tres términos:
35 100+30 10+15= 3 500+300+15=3 815

Trabajar 763 Y 5 es igual 3 815 .

Está claro que multiplicar un número de un solo dígito por número de varios dígitos llevado a cabo de manera similar.

Para consolidar el material, daremos la solución a otro ejemplo, pero esta vez prescindiremos de explicaciones.

3 Y 104 558 .

3 104 558 = 3·(100.000+4.000+500+50+8)=
=3·100.000+3·4.000+ 3·500+3·50+3·8=
=3·100.000+3·(4·1.000)+ 3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100.000+(3·4)·1.000+ (3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100.000+12·1.000+ 15 100+15 10+3 8=
=300 000+12 000+ 1 500+150+24=313 674

El resultado de multiplicar números. 3 Y 104 558 es el numero 313 674 .

Multiplicar dos números naturales de varias cifras.

Ahora hemos llegado a la culminación: la multiplicación de dos números naturales de varios dígitos. En primer lugar, debe expandir uno de los factores a dígitos (generalmente se expande el número cuyo registro consta de una mayor cantidad de caracteres), luego use la regla para multiplicar un número por una suma (o una suma por un número) . Otros cálculos no causarán dificultades si domina completamente la información de las secciones anteriores de este artículo.

Veamos todas las etapas de la multiplicación de dos números naturales de varios dígitos usando un ejemplo.

Calcular producto de números. 41 Y 3 806 .

Expansión de números naturales 3 806 por dígitos tiene la forma 3 000+800+6 , por lo tanto, 41·3 806=41·(3 000+800+6) .

Apliquemos la regla para multiplicar un número por una suma: 41·(3.000+800+6)= 41·3.000+41·800+41·6.

Porque 3.000=3·1.000 Y 800=8·100, entonces la igualdad 41·3 000+41·800+41·6= 41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.

La propiedad combinacional de la multiplicación nos permite reescribir la última suma de la siguiente forma (41·3)·1.000+(41·8)·100+41·6.

Multiplicar un número entero por otro significa repetir un número tantas veces como el otro contenga unidades. Repetir un número significa tomarlo como sumando varias veces y determinar la suma.

Definición de multiplicación

La multiplicación de números enteros es una operación en la que es necesario tomar un número como sumando tantas veces como otro número contenga unidades y encontrar la suma de estos sumandos.

Multiplicar 7 por 3 significa tomar el número 7 como sumando tres veces y encontrar la suma. La cantidad requerida es 21.

La multiplicación es la suma de términos iguales..

Los datos de la multiplicación se llaman multiplicando y multiplicador, y el requerido - trabajar.

En el ejemplo propuesto, los datos serán el multiplicando 7, el multiplicador 3 y el producto deseado 21.

Multiplicando. Un multiplicando es un número que se multiplica o repite por un sumando. Un multiplicando expresa la magnitud de términos iguales.

Factor. El multiplicador muestra cuántas veces el sumando repite el multiplicando. El multiplicador muestra el número de términos iguales.

Trabajar. Un producto es un número que se obtiene de la multiplicación. Es la suma de términos iguales.

El multiplicando y el multiplicador juntos se llaman fabricantes.

Al multiplicar números enteros, un número aumenta tantas veces como el otro número contiene unidades.

Signo de multiplicación. La acción de multiplicar se denota con el signo × (cruz indirecta) o. (punto). El signo de multiplicación se coloca entre el multiplicando y el multiplicador.

Repetir el número 7 tres veces como sumando y encontrar la suma significa 7 multiplicado por 3. En lugar de escribir

escribe usando el signo de multiplicación en resumen:

7 × 3 o 7 3

La multiplicación es una suma abreviada de términos iguales.

Firmar ( × ) fue introducido por Oughtred (1631), y el signo. Lobo cristiano (1752).

La relación entre los datos y el número deseado se expresa en multiplicación.

escrito:

7 × 3 = 21 o 7 3 = 21

verbalmente:

siete multiplicado por tres es 21.

Para obtener un producto de 21, debes repetir 7 tres veces.

Para hacer un factor de 3, necesitas repetir la unidad tres veces.

Desde aquí tenemos otra definición de multiplicación: La multiplicación es una acción en la que un producto se compone del multiplicando de la misma manera que un factor se compone de una unidad.

La propiedad principal de la obra.

El producto no cambia debido a un cambio en el orden de los productores.

Prueba. Multiplicar 7 por 3 significa repetir 7 tres veces. Reemplazando 7 con la suma de 7 unidades e insertándolas en orden vertical, tenemos:

Así, al multiplicar dos números, podemos considerar a cualquiera de los dos productores como el multiplicador. Sobre esta base, los fabricantes se denominan factores o simplemente multiplicadores.

El método de multiplicación más común es sumar términos iguales; pero si los productores son grandes, esta técnica lleva a cálculos largos, por lo que el cálculo en sí se organiza de manera diferente.

Multiplicar números de una sola cifra. mesa pitagórica

Para multiplicar dos números de un solo dígito, debes repetir un número como sumando tantas veces como el otro número contenga unidades y encontrar su suma. Dado que la multiplicación de números enteros conduce a la multiplicación de números de un solo dígito, crean una tabla de productos de todos los números de un solo dígito en pares. Esta tabla de todos los productos de números de un solo dígito en pares se llama tabla de multiplicación.

Su invención se atribuye al filósofo griego Pitágoras, de quien recibe su nombre. mesa pitagórica. (Pitágoras nació alrededor del 569 a. C.).

Para crear esta tabla, debes escribir los primeros 9 números en una fila horizontal:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Luego, debajo de esta línea debes firmar una serie de números que expresen el producto de estos números por 2. Esta serie de números se obtendrá cuando en la primera línea sumamos cada número a sí mismo. Desde la segunda línea de números pasamos secuencialmente a 3, 4, etc. Cada línea posterior se obtiene de la anterior sumándole los números de la primera línea.

Continuando haciendo esto hasta la línea 9, obtenemos la tabla pitagórica de la siguiente forma

Para usar esta tabla para encontrar el producto de dos números de un solo dígito, necesita encontrar un fabricante en la primera fila horizontal y el otro en la primera columna vertical; entonces el producto requerido estará en la intersección de la columna y fila correspondientes. Por lo tanto, el producto 6 × 7 = 42 está en la intersección de la sexta fila y la séptima columna. El producto de cero por un número y de un número y cero siempre produce cero.

Dado que multiplicar un número por 1 da el número en sí y cambiar el orden de los factores no cambia el producto, todos los diferentes productos de dos números de un solo dígito a los que debes prestar atención están contenidos en la siguiente tabla:

Los productos de números de un solo dígito que no figuran en esta tabla se obtienen a partir de los datos si solo se cambia el orden de los factores en ellos; por tanto 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Multiplicar un número de varios dígitos por un número de un solo dígito

Multiplicar el número 8094 por 3 se indica firmando el multiplicador debajo del multiplicando, colocando un signo de multiplicación a la izquierda y trazando una línea para separar el producto.

Multiplicar el número de varios dígitos 8094 por 3 significa encontrar la suma de tres términos iguales

por lo tanto, para multiplicar, es necesario repetir todos los órdenes de un número de varios dígitos tres veces, es decir, multiplicar por 3 unidades, decenas, centenas, etc. La suma comienza con uno, por lo tanto, la multiplicación debe comenzar con uno y luego moverse de derecha a izquierda hasta unidades de orden superior.

En este caso, el progreso de los cálculos se expresa verbalmente:

Empezamos la multiplicación con unidades.: 3 × 4 es igual a 12, firmamos 2 debajo de las unidades y aplicamos la unidad (1 decena) al producto del siguiente orden por el factor (o lo recordamos en nuestra mente).

Multiplicar decenas: 3 × 9 es igual a 27, pero 1 en tu cabeza es igual a 28; Firmamos las decenas 8 y 2 en nuestra cabeza.

Multiplicando centenas: Cero multiplicado por 3 da cero, pero 2 en tu cabeza es igual a 2, firmamos 2 debajo de las centenas.

multiplicando miles: 3 × 8 = 24, firmamos completamente 24, porque no tenemos los siguientes pedidos.

Esta acción se expresará por escrito:

Del ejemplo anterior deducimos siguiente regla. Para multiplicar un número de varios dígitos por un número de un solo dígito, necesita:

Firma el multiplicador debajo de las unidades del multiplicando, pon un signo de multiplicación a la izquierda y dibuja una línea.

Comience a multiplicar con unidades simples, luego, moviéndose de la mano derecha a la izquierda, multiplique secuencialmente decenas, centenas, millares, etc.

Si, durante la multiplicación, el producto se expresa como un número de un solo dígito, entonces se firma debajo del dígito multiplicado del multiplicando.

Si el producto se expresa como un número de dos dígitos, entonces el dígito de las unidades se firma en la misma columna y el dígito de las decenas se suma al producto del siguiente orden por el factor.

La multiplicación continúa hasta obtener el producto completo.

Multiplicar números por 10, 100, 1000...

Multiplicar números por 10 significa convertir unidades simples en decenas, decenas en centenas, etc., es decir, aumentar el orden de todos los números en uno. Esto se logra agregando un cero a la derecha. Multiplicar por 100 significa aumentar todos los órdenes de magnitud de lo que se está multiplicando por dos unidades, es decir, convertir las unidades en centenas, las decenas en millares, etc.

Esto se logra sumando dos ceros al número.

De aquí concluimos:

Para multiplicar un número entero por 10, 100, 1000 y, en general, por 1 con ceros, debes asignar tantos ceros a la derecha como haya en el factor.

Multiplicar el número 6035 por 1000 se puede expresar por escrito:

Cuando el multiplicador es un número que termina en ceros, solo los dígitos significativos se firman debajo del multiplicando y los ceros del multiplicador se suman a la derecha.

Para multiplicar 2039 por 300, debes tomar el número 2029 y sumarlo 300 veces. Tomar 300 términos es lo mismo que tomar tres por 100 términos o 100 por tres términos. Para hacer esto, multiplique el número por 3 y luego por 100, o multiplique primero por 3 y luego agregue dos ceros a la derecha.

El avance del cálculo se expresará por escrito:

Regla. Para multiplicar un número por otro, representado por un dígito con ceros, primero se debe multiplicar el multiplicando por el número expresado por el dígito significativo, y luego sumar tantos ceros como haya en el multiplicador.

Multiplicar un número de varios dígitos por un número de varios dígitos

Para multiplicar un número de varios dígitos 3029 por un 429 de varios dígitos, o encontrar el producto 3029 * 429, debes repetir el sumando 3029 429 veces y encontrar la suma. Repetir 3029 con términos 429 veces significa repetirlo con términos primero 9, luego 20 y finalmente 400 veces. Por lo tanto, para multiplicar 3029 por 429, debes multiplicar 3029 primero por 9, luego por 20 y finalmente por 400 y encontrar la suma de estos tres productos.

Tres obras

son llamados obras privadas.

El producto total 3029 × 429 es igual a la suma de tres cocientes:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Encontremos los valores de estos tres productos parciales.

Multiplicando 3029 por 9, encontramos:

3029 × 9 27261 primera obra privada

Multiplicando 3029 por 20, encontramos:

3029 × 20 60580 segundo trabajo particular

Multiplicando 3026 por 400, encontramos:

3029 × 400 1211600 tercer trabajo parcial

Sumando estos productos parciales, obtenemos el producto 3029 × 429:

No es difícil notar que todos estos productos parciales son productos del número 3029 por números de un solo dígito 9, 2, 4 y al segundo producto, resultante de la multiplicación por decenas, se le suma un cero y al tercero dos ceros.

Los ceros asignados a los productos parciales se omiten durante la multiplicación y el progreso del cálculo se expresa por escrito:

En este caso, al multiplicar por 2 (el dígito de las decenas del multiplicador), firme 8 debajo de las decenas o muévase un dígito hacia la izquierda; al multiplicar por el dígito 4 de las centenas, firme 6 en la tercera columna o muévase 2 dígitos hacia la izquierda. Por lo general, cada obra en particular comienza a firmarse de mano derecha a izquierda, según el orden al que pertenece el dígito multiplicador.

Buscando el producto de 3247 por 209, tenemos:

Aquí comenzamos a firmar el segundo cociente producto bajo la tercera columna, porque expresa el producto de 3247 por 2, el tercer dígito del multiplicador.

Aquí hemos omitido sólo dos ceros, que deberían haber aparecido en el segundo producto parcial, ya que expresa el producto de un número por 2 centenas o por 200.

De todo lo dicho se desprende una regla. Para multiplicar un número de varios dígitos por un número de varios dígitos,

debes firmar el multiplicador debajo del multiplicando para que los números del mismo orden estén en la misma columna vertical, poner un signo de multiplicación a la izquierda y dibujar una línea.

La multiplicación comienza con unidades simples, luego se mueve de la mano derecha a la izquierda, multiplicando el multiplicando secuencial por el dígito de decenas, centenas, etc. y creando tantos productos parciales como dígitos significativos haya en el multiplicador.

Las unidades de cada producto parcial están firmadas debajo de la columna a la que pertenece el dígito del multiplicador.

Todos los productos parciales encontrados de esta manera se suman y se obtiene el producto total.

Para multiplicar un número de varios dígitos por un factor que termina en ceros, debes descartar los ceros del factor, multiplicar por el número restante y luego sumar al producto tantos ceros como hay en el factor.

Ejemplo. Encuentra el producto de 342 por 2700.

Si el multiplicando y el multiplicador terminan en ceros, durante la multiplicación se descartan y luego se agregan al producto tantos ceros como estén contenidos en ambos productores.

Ejemplo. Calculando el producto de 2700 por 35000, multiplicamos 27 por 35

Sumando cinco ceros a 945, obtenemos el producto deseado:

2700 × 35000 = 94500000.

Número de dígitos del producto.. El número de dígitos del producto 3728 × 496 se puede determinar de la siguiente manera. Este producto es mayor que 3728 × 100 y menor que 3728 × 1000. El número de dígitos del primer producto 6 es igual al número de dígitos en el multiplicando 3728 y en el multiplicador 496 sin uno. El número de dígitos del segundo producto 7 es igual al número de dígitos del multiplicando y del multiplicando. Un producto dado de 3728 × 496 no puede tener dígitos menores que 6 (el número de dígitos del producto es 3728 × 100 y más de 7 (el número de dígitos del producto es 3728 × 1000).

Donde concluimos: el número de dígitos de cualquier producto es igual al número de dígitos del multiplicando y del factor, o igual a este número sin unidad.

Nuestro producto puede contener 7 o 6 dígitos.

Grados

Entre las diferentes obras, merecen especial atención aquellas en las que los productores son iguales. Así, por ejemplo:

2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.

Cuadrícula. El producto de dos factores iguales se llama cuadrado de un número.

En nuestros ejemplos, 4 es el cuadrado 2, 9 es el cuadrado 3.

cubos. El producto de tres factores iguales se llama cubo de un número.

Entonces, en los ejemplos 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, el número 8 es el cubo de 2, 27 es el cubo de 3.

En absoluto el producto de varios factores iguales se llamapoder del numero . Las potencias reciben su nombre del número de factores iguales.

Productos de dos factores iguales o cuadrícula son llamados segundos grados.

Productos de tres factores iguales o cubos son llamados terceros grados, etc.

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81