Définition des séries de nombres. Séries géométriques et arithmétiques

Répondre: la série diverge.

Exemple n°3

Trouvez la somme de la série $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Puisque la limite inférieure de la somme est 1, alors membre commun la série s'écrit sous le signe somme : $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Composons nième partiel la somme de la série, c'est-à-dire Faisons la somme des premiers $n$ termes d'une série de nombres donnée :

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

La raison pour laquelle j'écris exactement $\frac(2)(3\cdot 5)$, et non $\frac(2)(15)$, ressortira clairement de la suite de la narration. Cependant, inscrire un montant partiel ne nous a pas rapproché d’un iota de notre objectif. Nous devons trouver $\lim_(n\to\infty)S_n$, mais si nous écrivons simplement :

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

alors ce récit, tout à fait correct dans la forme, ne nous donnera rien au fond. Pour trouver la limite, il faut d’abord simplifier l’expression de la somme partielle.

Il existe pour cela une transformation classique, qui consiste à décomposer la fraction $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, qui représente le terme général de la série, en fractions élémentaires. La question de la décomposition fractions rationnelles dédié à l'élémentaire sujet séparé(Voir par exemple l'exemple n°3 sur cette page). En développant la fraction $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ en fractions élémentaires, nous aurons :

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Nous assimilons les numérateurs des fractions de gauche et bonnes pièces l'égalité résultante:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Il existe deux façons de trouver les valeurs de $A$ et $B$. Vous pouvez ouvrir les parenthèses et réorganiser les termes, ou vous pouvez simplement remplacer des valeurs appropriées au lieu de $n$. Juste pour varier, dans cet exemple, nous suivrons la première voie, et dans le suivant, nous remplacerons les valeurs privées $n$. En ouvrant les parenthèses et en réorganisant les termes, on obtient :

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Du côté gauche de l'égalité, $n$ est précédé d'un zéro. Si tu veux, côté gauche Pour plus de clarté, l'égalité peut être représentée par $0\cdot n+ 2$. Puisque du côté gauche de l'égalité $n$ est précédé de zéro, et du côté droit de l'égalité $n$ est précédé de $2A+2B$, nous avons la première équation : $2A+2B=0$. Divisons immédiatement les deux côtés de cette équation par 2, après quoi nous obtenons $A+B=0$.

Puisque du côté gauche de l'égalité membre gratuit est égal à 2, et du côté droit de l'égalité le terme libre est égal à $3A+B$, alors $3A+B=2$. Nous avons donc un système :

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Nous effectuerons la preuve en utilisant la méthode induction mathématique. Dans un premier temps, vous devez vérifier si l'égalité prouvée est vraie $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ pour $n=1$. Nous savons que $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, mais l'expression $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ donnera-t-elle la valeur $\frac( 2 )(15)$, si on y remplace $n=1$ ? Vérifions :

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Ainsi, pour $n=1$ l'égalité $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ est satisfaite. Ceci termine la première étape de la méthode d’induction mathématique.

Supposons que pour $n=k$ l'égalité soit satisfaite, c'est-à-dire $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Montrons que la même égalité sera satisfaite pour $n=k+1$. Pour ce faire, considérons $S_(k+1)$ :

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Puisque $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, alors $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. D'après l'hypothèse faite ci-dessus $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, donc la formule $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ prendra la forme :

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Conclusion : la formule $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ est correcte pour $n=k+1$. Par conséquent, selon la méthode d'induction mathématique, la formule $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ est vraie pour tout $n\in N$. L'égalité est prouvée.

Dans le cours standard mathématiques supérieures ils se contentent généralement de « rayer » les conditions de résiliation, sans exiger aucune preuve. Nous avons donc une expression pour nième partiel sommes : $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Trouvons la valeur de $\lim_(n\to\infty)S_n$ :

Conclusion: série donnée converge et sa somme $S=\frac(1)(3)$.

La deuxième façon de simplifier la formule d'une somme partielle.

Honnêtement, je préfère moi-même cette méthode :) Notons le montant partiel dans une version abrégée :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Nous avons obtenu plus tôt que $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, donc :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

La somme $S_n$ contient un nombre fini de termes, nous pouvons donc les réorganiser à notre guise. Je veux d'abord ajouter tous les termes de la forme $\frac(1)(2k+1)$, puis passer ensuite aux termes de la forme $\frac(1)(2k+3)$. Cela signifie que nous présenterons le montant partiel comme suit :

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Bien sûr, la notation développée est extrêmement gênante, donc l'égalité ci-dessus peut être écrite de manière plus compacte :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Transformons maintenant les expressions $\frac(1)(2k+1)$ et $\frac(1)(2k+3)$ en une seule forme. Je trouve pratique de souligner fraction plus grande(même si cela peut être moins, c'est une question de goût). Puisque $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (plus le dénominateur est grand, plus moins de fraction), alors nous réduirons la fraction $\frac(1)(2k+3)$ à la forme $\frac(1)(2k+1)$.

Je présenterai l'expression au dénominateur de la fraction $\frac(1)(2k+3)$ comme suit :

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Et la somme $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ peut maintenant s'écrire comme suit :

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Si l'égalité $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ne soulève aucune question, alors passons à autre chose. Si vous avez des questions, veuillez développer la note.

Comment avons-nous obtenu le montant converti ? afficher\masquer

Nous avions une série $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Introduisons une nouvelle variable au lieu de $k+1$ - par exemple, $t$. Donc $t=k+1$.

Comment l'ancienne variable $k$ a-t-elle changé ? Et il est passé de 1 à $n$. Voyons comment la nouvelle variable $t$ va changer. Si $k=1$, alors $t=1+1=2$. Si $k=n$, alors $t=n+1$. Ainsi, l'expression $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ devient désormais : $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Nous avons la somme $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Question : la lettre utilisée dans ce montant est-elle importante ? :) En écrivant simplement la lettre $k$ au lieu de $t$, nous obtenons ce qui suit :

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

C'est ainsi que l'on obtient l'égalité $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Ainsi, la somme partielle peut être représentée comme suit :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Notez que les sommes $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ et $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ ne diffèrent que par les limites de sommation. Rendons ces limites identiques. En « enlevant » le premier élément de la somme $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ nous aurons :

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"En enlevant" le dernier élément de la somme $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, on obtient :

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Alors l’expression de la somme partielle prendra la forme :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Si vous sautez toutes les explications, alors le processus de recherche d'une formule abrégée pour la nième somme partielle prendra la forme suivante :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Permettez-moi de vous rappeler que nous avons réduit la fraction $\frac(1)(2k+3)$ à la forme $\frac(1)(2k+1)$. Bien sûr, vous pouvez faire le contraire, c'est-à-dire représente la fraction $\frac(1)(2k+1)$ par $\frac(1)(2k+3)$. L'expression finale de la somme partielle ne changera pas. Dans ce cas, je cacherai le processus de recherche du montant partiel sous une note.

Comment trouver $S_n$ s'il est converti en une autre fraction ? afficher\masquer

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Donc, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Trouvez la limite $\lim_(n\to\infty)S_n$ :

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

La série donnée converge et sa somme $S=\frac(1)(3)$.

Répondre: $S=\frac(1)(3)$.

La suite du thème de la recherche de la somme d'une série sera abordée dans les deuxième et troisième parties.

Soit une séquence infinie de nombres u1, u2, u3….

L’expression u1+ u2+ u3…+ un (1) est appelée série de nombres, et les numéros qui le composent sont membres de la série.

La somme d'un nombre fini n des premiers termes de la série est appelée la nième somme partielle de la série : Sn = u1+..+un

Si nom limite finie : alors on l'appelle somme de la série et on dit que la série converge ; si une telle limite n'existe pas, alors on dit que la série diverge et n'a pas de somme.

2 Séries géométriques et arithmétiques

Une série composée de membres d'un infini progression géométrique appelé géométrique:
ou

a+ aq +…+aq n -1

a  0 le premier terme q est le dénominateur. Somme des lignes :

par conséquent, la limite finale de la séquence des sommes partielles de la série dépend de la valeur de q

Cas possibles :

1 |q|<1

c'est-à-dire la série et sa somme
2 |q|>1
et la limite de la somme est aussi égale à l'infini

c'est-à-dire que la série diverge.

3 à q = 1 on obtient la série : a+a+…+a… Sn = na
la série diverge

4 pour q1 la série a la forme : a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0 pour n pair, Sn=a pour n impair il n'y a pas de limite sur les sommes partielles. la rangée diverge.

Considérons une série de termes infinis d'une progression arithmétique :
u est le premier terme, d est la différence. Somme des séries

pour tout u1 et d à la fois  0 et la série diverge toujours.

3 séries convergentes S-va

Soit deux séries : u1+u2+…un = (1) etv1+v2+…vn = (2)

Le produit de la série (1) par le nombre   R est appelé la série : u1+u2+…un = (3)

La somme des séries (1) et (2) est appelée la série :

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(par souci de différence, il n'y a qu'une apparence)

T1 À propos du facteur commun

Si la série (1) converge et sa somme = S, alors pour tout nombre  série = converge également et sa somme S’ = S Si la série (1) diverge et   0, alors la série diverge également. Autrement dit, le facteur commun n’affecte pas les divergences des séries.

T2 Si les séries (1) et (2) convergent et que leurs sommes = respectivement S et S’, alors la série :
converge également et si  est sa somme, alors  = S+S’. Autrement dit, les séries convergentes peuvent être ajoutées et soustraites terme par terme. Si la série (1) converge et la série (2) diverge, alors leur somme (ou différence) diverge également. Mais si les deux lignes divergent. alors leur somme (ou différence) peut soit diverger (si un=vn), soit converger (si un=vn)

Pour la rangée (1) rangée
est appelé le nième reste de la série. Si ce reste de la série converge, alors sa somme sera notée : r n =

T3 Si une série converge, alors tout reste de celle-ci converge, si un reste de la série converge, alors la série elle-même converge. De plus, la somme totale = somme partielle de la série Sn + r n

Changer, supprimer ou ajouter un nombre fini de termes n’affecte pas la convergence (divergence) de la série.

4 Signe nécessaire de convergence des séries

Si une série converge, alors la limite de son terme commun est nulle :

Document:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, donc :

Cette caractéristique est seulement nécessaire, mais pas suffisante, c'est-à-dire que si la limite du terme commun et est égale à zéro, il n'est pas du tout nécessaire que la série converge. Par conséquent, cette condition, si elle n’est pas remplie, est état suffisant divergence de la série.

5 Test intégral de convergence d'une série. Série Dirichlet

T1 Qu'il soit donné d'affilée (1), dont les termes sont non négatifs et non croissants : u1>=u2>=u3...>=un

S'il existe une fonction f(x) non négative, continue et non croissante telle que f(n) = Un,  n  N, alors pour que la série (1) converge, il est nécessaire et suffisant pour la convergence intégrale impropre:
, et pour la divergence il suffit et il faut que cette intégrale, au contraire, diverge (WOW !).

Utilisons cette fonctionnalité pour étudier la série de Dirichlet : la voici : ( x>=1) cette fonction satisfait aux conditions du Théorème 1, donc la convergence (divergence) de la série de Dirichlet est équivalente à la convergence de la divergence de l'intégrale :

Trois cas sont possibles :

1  >1,

L'intégrale et donc la série converge.

L'intégrale et la série divergent

L'intégrale et la série divergent

Définitions de base.

Définition. La somme des termes d’une suite de nombres infinie s’appelle série de nombres.

En même temps, les chiffres
nous les appellerons membres de la série, et toi n– un membre commun de la série.

Définition. Montants
,n = 1, 2, … sont appelés montants privés (partiels) rangée.

Ainsi, il est possible de considérer des séquences de sommes partielles de la série S 1 , S 2 , …, S n , …

Définition. Rangée
appelé convergent, si la séquence de ses sommes partielles converge. Somme des séries convergentes est la limite de la séquence de ses sommes partielles.

Définition. Si la séquence des sommes partielles d'une série diverge, c'est-à-dire n'a pas de limite, ou a limite infinie, alors la série s'appelle divergent et aucun montant ne lui est attribué.

Propriétés des lignes.

1) La convergence ou la divergence de la série ne sera pas violée si vous modifiez, supprimez ou ajoutez numéro final membres de la série.

2) Considérez deux lignes
Et
, où C – nombre constant.

Théorème. Si la ligne
converge et sa somme est égaleS, puis la série
converge également, et sa somme est égale à CS. (C  0)

3) Considérez deux lignes
Et
.Montant ou différence de ces séries sera appelée une série
, où les éléments sont obtenus en ajoutant (soustrayant) les éléments d'origine avec les mêmes nombres.

Théorème. Si les lignes
Et
convergent et leurs sommes sont respectivement égalesSEt , puis la série
converge également et sa somme est égaleS +  .

La différence de deux séries convergentes sera aussi une série convergente.

La somme d’une série convergente et d’une série divergente est une série divergente.

Il est impossible de formuler une affirmation générale sur la somme de deux séries divergentes.

Lorsqu'ils étudient des séries, ils résolvent principalement deux problèmes : étudier la convergence et trouver la somme des séries.

Critère de Cauchy.

(conditions nécessaires et suffisantes pour la convergence de la série)

Pour que la séquence
était convergente, il faut et il suffit que pour tout
il y avait un tel nombreN, qu'àn > Net n'importe quelp> 0, où p est un nombre entier, l'inégalité suivante serait vraie :

.

Preuve. (nécessité)

Laisser
, alors pour n'importe quel nombre
il existe un nombre N tel que l'inégalité

est satisfait lorsque n>N. Pour n>N et tout entier p>0, l'inégalité est également vraie
. En tenant compte des deux inégalités, on obtient :

La nécessité est avérée. Nous ne considérerons pas la preuve de suffisance.

Formulons le critère de Cauchy pour les séries.

Pour que la série
était convergente, il faut et il suffit que pour tout
il y avait un numéroNtel qu'àn> Net n'importe quelp>0 l'inégalité persisterait

.

Cependant, en pratique, utiliser directement le critère de Cauchy n’est pas très pratique. Par conséquent, en règle générale, des tests de convergence plus simples sont utilisés :

1) Si la ligne
converge, alors il faut que le terme commun toi n tendait vers zéro. Toutefois, cette condition n’est pas suffisante. On peut seulement dire que si le terme commun ne tend pas vers zéro, alors la série diverge définitivement. Par exemple, la série dite harmonique est divergent, bien que son terme commun tende vers zéro.

Exemple.Étudier la convergence de la série

Nous trouverons
- signe nécessaire la convergence n’est pas satisfaite, ce qui signifie que la série diverge.

2) Si une série converge, alors la suite de ses sommes partielles est bornée.

Mais ce signe n’est pas non plus suffisant.

Par exemple, la série 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… diverge, car la séquence de ses sommes partielles diverge du fait que

Cependant, la séquence des sommes partielles est limitée, car
à tout moment n.

Série avec des termes non négatifs.

Lorsqu'on étudie des séries de signe constant, on se limitera à considérer des séries à termes non négatifs, car une simple multiplication par –1 à partir de ces séries peut donner des séries avec des termes négatifs.

Théorème. Pour la convergence des séries
avec des termes non négatifs, il est nécessaire et suffisant que les sommes partielles de la série soient bornées.

Un signe pour comparer des séries avec des termes non négatifs.

Soit deux lignes
Et
à toi n , v n  0 .

Théorème. Si toi n  v nà tout moment n, puis de la convergence de la série
la série converge
, et de la divergence de la série
la série diverge
.

Preuve. Notons par S n Et  n sommes partielles de séries
Et
. Parce que d'après les conditions du théorème, la série
converge, alors ses sommes partielles sont bornées, c'est-à-dire devant tout le monde n n  M, où M est un certain nombre. Mais parce que toi n  v n, Que S n   n alors les sommes partielles de la série
sont également limités, ce qui suffit à la convergence.

Exemple. Examiner la série pour la convergence

Parce que
, et la série harmonique diverge, alors la série diverge
.

Exemple.

Parce que
, et la série
converge (comme une progression géométrique décroissante), alors la série
converge également.

Le signe de convergence suivant est également utilisé :

Théorème. Si
et il y a une limite
, Oùh– un nombre différent de zéro, alors la série
Et
se comportent de manière identique en termes de convergence.

Le signe de D'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - mathématicien français)

Si pour une série
avec des termes positifs, il y a un tel nombreq<1, что для всех достаточно больших nl’inégalité persiste

puis une série
converge, si pour tous il y a suffisamment de grandsnla condition est remplie

puis une série
diverge.

Signe limitant de D'Alembert.

Le critère limite de D'Alembert est une conséquence du critère de D'Alembert ci-dessus.

S'il y a une limite
, puis quand < 1 ряд сходится, а при  > 1 – diverge. Si = 1, alors la question de la convergence ne peut pas trouver de réponse.

Exemple. Déterminer la convergence de la série .

Conclusion : la série converge.

Exemple. Déterminer la convergence de la série

Conclusion : la série converge.

Le signe de Cauchy. (signe radical)

Si pour une série
avec des termes non négatifs, il y a un tel nombreq<1, что для всех достаточно больших nl’inégalité persiste

,

puis une série
converge si pour tous il y a suffisamment de grandsnl’inégalité persiste

puis une série
diverge.

Conséquence. S'il y a une limite
, puis quand<1 ряд сходится, а при >La rangée 1 diverge.

Exemple. Déterminer la convergence de la série
.

Conclusion : la série converge.

Exemple. Déterminer la convergence de la série
.

Ceux. Le test de Cauchy ne répond pas à la question de la convergence des séries. Vérifions que les conditions de convergence nécessaires sont remplies. Comme mentionné ci-dessus, si une série converge, alors le terme commun de la série tend vers zéro.

,

Ainsi, condition nécessaire la convergence n’est pas satisfaite, ce qui signifie que la série diverge.

Test de Cauchy intégral.

Si (x) est une fonction positive continue décroissante sur l’intervalle Et
alors les intégrales
Et
se comportent de manière identique en termes de convergence.

Série alternée.

Rangées alternées.

Une série alternée peut s’écrire :

Où

Le signe de Leibniz.

Si le signe de la rangée alternée valeurs absoluestoi je diminuent
et le terme commun tend vers zéro
, alors la série converge.

Convergence absolue et conditionnelle des séries.

Considérons quelques séries alternées (avec des termes de signes arbitraires).

(1)

et une série composée de valeurs absolues membres de la ligne (1) :

(2)

Théorème. De la convergence de la série (2) découle la convergence de la série (1).

Preuve. La série (2) est une série avec des termes non négatifs. Si la série (2) converge, alors d'après le critère de Cauchy pour tout >0 il existe un nombre N tel que pour n>N et tout entier p>0 l'inégalité suivante est vraie :

D'après la propriété des valeurs absolues :

Autrement dit, selon le critère de Cauchy, de la convergence de la série (2) découle la convergence de la série (1).

Définition. Rangée
appelé absolument convergent, si la série converge
.

Il est évident que pour les séries de signe constant les notions de convergence et de convergence absolue coïncident.

Définition. Rangée
appelé conditionnellement convergent, si elle converge et que la série
diverge.

Les signes de D'Alembert et Cauchy pour série alternée.

Laisser
- séries alternées.

Le signe de D'Alembert. S'il y a une limite
, puis quand<1 ряд
sera absolument convergent, et quand>

Le signe de Cauchy. S'il y a une limite
, puis quand<1 ряд
sera absolument convergente, et si >1 la série sera divergente. Lorsque =1, le signe ne donne pas de réponse sur la convergence de la série.

Propriétés des séries absolument convergentes.

1) Théorème. Pour une convergence absolue de la série
il est nécessaire et suffisant qu'elle puisse être représentée comme la différence de deux séries convergentes à termes non négatifs.

Conséquence. Une série conditionnellement convergente est la différence de deux séries divergentes dont les termes non négatifs tendent vers zéro.

2) Dans une série convergente, tout regroupement des termes de la série qui ne change pas leur ordre préserve la convergence et la grandeur de la série.

3) Si une série converge absolument, alors la série obtenue par toute permutation de termes converge également absolument et a la même somme.

En réorganisant les termes d'une série conditionnellement convergente, on peut obtenir une série conditionnellement convergente ayant n'importe quel sens direct un montant donné, et même une série divergente.

4) Théorème. Pour tout groupement de membres d'une série absolument convergente (dans ce cas, le nombre de groupes peut être fini ou infini, et le nombre de membres d'un groupe peut être fini ou infini), une série convergente est obtenue, la somme dont est égal à la somme de la série originale.

5) Si les lignes Et convergent absolument et leurs sommes sont respectivement égales S et , alors une série composée de tous les produits de la forme
pris dans n'importe quel ordre, converge également absolument et sa somme est égale à S - le produit des sommes des séries multipliées.

Si vous multipliez des séries conditionnellement convergentes, vous pouvez ainsi obtenir une série divergente.

Séquences fonctionnelles.

Définition. Si les membres de la série ne sont pas des nombres, mais des fonctions de X, alors la série s'appelle fonctionnel.

L'étude de la convergence des séries fonctionnelles est plus compliquée que l'étude des séries numériques. Un seul et même gamme fonctionnelle peut-être avec les mêmes valeurs de variables X converger, et avec d'autres - diverger. La question de la convergence des séries fonctionnelles se résume donc à déterminer les valeurs de la variable X, auquel la série converge.

L'ensemble de ces valeurs est appelé zone de convergence.

Puisque la limite de chaque fonction incluse dans la région de convergence de la série est un certain nombre, la limite de la séquence fonctionnelle sera une certaine fonction :

Définition. Sous-séquence ( f n (x) } converge fonctionner f(x) sur le segment si pour tout nombre >0 et tout point X du segment considéré il existe un nombre N = N(, x), tel que l'inégalité

est satisfait lorsque n>N.

Avec la valeur sélectionnée >0, chaque point du segment a son propre numéro et, par conséquent, il y aura un nombre infini de nombres correspondant à tous les points du segment. Si vous choisissez le plus grand de tous ces nombres, alors ce nombre conviendra à tous les points du segment, c'est-à-dire sera commun à tous les points.

Définition. Sous-séquence ( f n (x) } converge uniformément fonctionner f(x) sur le segment , si pour tout nombre >0 il existe un nombre N = N() tel que l'inégalité

est rempli pour n>N pour tous les points du segment.

Exemple. Considérez la séquence

Cette séquence converge sur toute la droite numérique vers la fonction f(x)=0 , parce que

Construisons des graphiques de cette séquence :

péché

Comme on peut le constater, avec un nombre croissant n le graphe de séquence se rapproche de l'axe X.

Série fonctionnelle.

Définition. Montants privés (partiels) gamme fonctionnelle
les fonctions sont appelées

Définition. Gamme fonctionnelle
appelé convergent au point ( x=x 0 ), si la séquence de ses sommes partielles converge en ce point. Limite de séquence
appelé montant rangée
au point X 0 .

Définition. Ensemble de toutes les valeurs X, pour lequel la série converge
appelé zone de convergence rangée.

Définition. Rangée
appelé uniformément convergent sur l'intervalle si la suite des sommes partielles de cette série converge uniformément sur cet intervalle.

Théorème. (Critère de Cauchy pour la convergence uniforme des séries)

Pour une convergence uniforme de la série
il est nécessaire et suffisant que pour tout nombre >0 un tel numéro existaitN( ), qui àn> Net n'importe quel toutp>0 inégalité

serait valable pour tout x sur l'intervalle [un, b].

Théorème. (Test de Weierstrass pour la convergence uniforme)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – mathématicien allemand)

Rangée
converge uniformément et absolument sur l'intervalle [un, b], si les modules de ses termes sur un même segment ne dépassent pas les termes correspondants d'une série de nombres convergents à termes positifs :

ceux. il y a une inégalité :

.

Ils disent aussi que dans ce cas la série fonctionnelle
est majorisé série de nombres
.

Exemple. Examiner la série pour la convergence
.

Parce que
toujours, il est évident que
.

De plus, on sait que la série harmonique générale lorsque=3>1 converge, alors, conformément au test de Weierstrass, la série étudiée converge uniformément et, de plus, dans n'importe quel intervalle.

Exemple. Examiner la série pour la convergence .

Sur l'intervalle [-1,1] l'inégalité est vraie
ceux. selon le critère de Weierstrass, la série étudiée converge sur ce segment, mais diverge sur les intervalles (-, -1)  (1, ).

Propriétés des séries uniformément convergentes.

1) Théorème sur la continuité de la somme d'une série.

Si les membres de la série
- en continu sur le segment [un, b] fonction et la série converge uniformément, alors sa sommeS(x) Il y a fonction continue sur le segment [un, b].

2) Théorème d'intégration terme à terme d'une série.

Convergeant uniformément sur le segment [un, b] une série à termes continus peut être intégrée terme par terme sur cet intervalle, c'est-à-dire une série composée d'intégrales de ses termes sur le segment [un, b] , converge vers l'intégrale de la somme des séries sur ce segment.

3) Théorème de différenciation terme à terme d'une série.

Si les membres de la série
convergeant vers le segment [un, b] représentent des fonctions continues ayant des dérivées continues, et une série composée de ces dérivées
converge uniformément sur ce segment, alors cette série converge uniformément et peut être différenciée terme par terme.

Basé sur le fait que la somme de la série est une fonction de la variable X, vous pouvez effectuer l'opération de représentation d'une fonction sous la forme d'une série (expansion d'une fonction en série), qui est largement utilisée dans l'intégration, la différenciation et d'autres opérations avec des fonctions.

En pratique, l’expansion des fonctions en série entière est souvent utilisée.

Série de puissance.

Définition. Série de puissance est appelée une série de la forme

.

Pour étudier la convergence des séries entières, il convient d'utiliser le test d'Alembert.

Exemple. Examiner la série pour la convergence

On applique le signe de d'Alembert :

.

Nous constatons que cette série converge vers
et diverge à
.

Déterminons maintenant la convergence aux points limites 1 et –1.

Pour x = 1 :
La série converge selon le critère de Leibniz (voir Le signe de Leibniz.).

À x = -1 :
la série diverge (série harmonique).

Les théorèmes d'Abel.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – mathématicien norvégien)

Théorème. Si la série entière
converge versx = x 1 , alors ça converge et, en plus, pour absolument tout le monde
.

Preuve. D'après les conditions du théorème, puisque les termes de la série sont limités, alors

Où k- un nombre constant. L’inégalité suivante est vraie :

De cette inégalité, il ressort clairement que lorsque x< x 1 les valeurs numériques des termes de notre série seront inférieures (du moins pas plus) aux termes correspondants de la série du côté droit de l'inégalité écrite ci-dessus, qui forment une progression géométrique. Le dénominateur de cette progression selon les conditions du théorème, elle est inférieure à un, donc cette progression est une série convergente.

Par conséquent, sur la base du critère de comparaison, nous concluons que la série
converge, ce qui signifie que la série
converge absolument.

Ainsi, si la série entière
converge en un point X 1 , alors il converge absolument en tout point de l'intervalle de longueur 2 centré en un point X = 0.

Conséquence. Si à x = x 1 la série diverge, puis elle diverge pour tout le monde
.

Ainsi, pour chaque série entière il existe un nombre positif R tel que pour toute X tel que
la série est absolument convergente, et pour tout
la rangée diverge. Dans ce cas, le nombre R s'appelle rayon de convergence. L'intervalle (-R, R) est appelé intervalle de convergence.

A noter que cet intervalle peut être fermé d'un ou des deux côtés, ou non fermé.

Le rayon de convergence peut être trouvé à l'aide de la formule :

Exemple. Trouver l'aire de convergence de la série

Trouver le rayon de convergence
.

Cette série converge donc pour toute valeur X. Le terme commun de cette série tend vers zéro.

Théorème. Si la série entière
converge pour une valeur positive x=x 1 , alors il converge uniformément dans n’importe quel intervalle à l’intérieur de
.

Actions avec des séries entières.

Cet article est un article structuré et informations détaillées, ce qui peut être utile lors de l’analyse des exercices et des tâches. Nous examinerons le sujet des séries de nombres.

Cet article commence par des définitions et des concepts de base. Ensuite, nous étudierons les options standard formules de base. Afin de consolider le matériel, l'article fournit des exemples et des tâches de base.

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Thèses de base

Imaginons d’abord le système : a 1 , a 2 . . . , un , . . . , où a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Par exemple, prenons des nombres tels que : 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Définition 1

Une série de nombres est la somme des termes ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + un n + . . . .

Pour mieux comprendre la définition, considérons le cas donné dans lequel q = - 0. 5 : 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Définition 2

a k est général ou k –ème membre de la série.

Cela ressemble à ceci - 16 · - 1 2 k.

Définition 3

Somme partielle des séries ressemble à ceci S n = a 1 + a 2 + . . . + un n , dans lequel n– n'importe quel nombre. S n est nième la somme de la série.

Par exemple, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k est S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S1, S2, . . . , S n , . . . former une suite infinie de nombres.

Pour une rangée nième la somme est trouvée par la formule S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n. On utilise la séquence de sommes partielles suivante : 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Définition 4

La série ∑ k = 1 ∞ a k est convergent lorsque la séquence a limite finie S = lim S n n → + ∞ . S'il n'y a pas de limite ou si la suite est infinie, alors la série ∑ k = 1 ∞ a k est appelée divergent.

Définition 5

La somme d'une série convergente∑ k = 1 ∞ a k est la limite de la suite ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

DANS dans cet exemple lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , série ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k converge. La somme est 16 3 : ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Exemple 1

Un exemple de série divergente est la somme d'une progression géométrique avec un dénominateur supérieur à un : 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

La nième somme partielle est donnée par S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, et la limite des sommes partielles est infinie : lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Un autre exemple de série de nombres divergents est une somme de la forme ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . Dans ce cas, la nième somme partielle peut être calculée comme Sn = 5n. La limite des sommes partielles est infinie lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Définition 6

Une somme de la même forme que ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Ce harmonique séries de nombres.

Définition 7

Somme ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Où s –nombre réel, est une série de nombres harmoniques généralisée.

Les définitions discutées ci-dessus vous aideront à résoudre la plupart des exemples et des problèmes.

Afin de compléter les définitions, il est nécessaire de prouver certaines équations.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergent.

Nous utilisons la méthode inverse. Si elle converge, alors la limite est finie. Nous pouvons écrire l'équation sous la forme lim n → + ∞ S n = S et lim n → + ∞ S 2 n = S . Après certaines actions, nous obtenons l'égalité l je m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

Contre,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2n

Équitable les inégalités suivantes 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . On obtient que S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . L'expression S 2 n - S n > 1 2 indique que lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 n'est pas atteint. La série est divergente.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Il faut confirmer que la somme d’une suite de nombres converge en q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Selon les définitions ci-dessus, le montant n termes est déterminé selon la formule S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Si q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Nous avons prouvé que les séries de nombres convergent.

Pour q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Les sommes peuvent être trouvées en utilisant la formule S n = b 1 · n, la limite est infinie lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. Dans la version présentée, la série diverge.

Si q = - 1, alors la série ressemble à b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Les sommes partielles ressemblent à S n = b 1 pour impair n, et S n = 0 pour un nombre pair n. Après avoir considéré ce cas, nous nous assurerons qu'il n'y a pas de limite et que la série est divergente.

Pour q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Nous avons prouvé que les séries de nombres divergent.

1. La série ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge si s > 1 et diverge si s ≤ 1.

Pour s = 1 on obtient ∑ k = 1 ∞ 1 k , la série diverge.

Quand s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,nombre naturel. Puisque la série est divergente ∑ k = 1 ∞ 1 k , il n'y a pas de limite. Suite à cela, la séquence ∑ k = 1 ∞ 1 k s est illimitée. Nous concluons que les séries sélectionnées divergent lorsque s< 1 .

Il est nécessaire de prouver que la série ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge pour s > 1.

Imaginons S 2 n - 1 - S n - 1 :

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Supposons que 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Imaginons l'équation des nombres naturels et pairs n = 2 : S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

On obtient :

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

L'expression est 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . est la somme de la progression géométrique q = 1 2 s - 1. D'après les premières données de s > 1, puis 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 augmente et est limité au-dessus de 1 1 - 1 2 s - 1 . Imaginons qu'il y ait une limite et que la série soit convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Définition 8

Série ∑ k = 1 ∞ a k est positif dans ce cas, si ses membres > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Série ∑ k = 1 ∞ b k signal alternant, si les signes des nombres sont différents. Cet exemple est présenté comme ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k ou ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , où a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Série ∑ k = 1 ∞ b k en alternance, car il contient de nombreux nombres, négatifs et positifs.

L'option de la deuxième ligne est cas particulier troisième option.

Voici des exemples pour chaque cas, respectivement :

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Pour la troisième option, vous pouvez également déterminer la convergence absolue et conditionnelle.

Définition 9

La série alternée ∑ k = 1 ∞ b k est absolument convergente dans le cas où ∑ k = 1 ∞ b k est également considérée comme convergente.

Examinons en détail plusieurs options typiques.

Exemple 2

Si les lignes sont 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . et 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . sont définis comme convergents, alors il est correct de supposer que 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

Définition 10

Une série alternée ∑ k = 1 ∞ b k est considérée comme convergente conditionnellement si ∑ k = 1 ∞ b k est divergente, et la série ∑ k = 1 ∞ b k est considérée comme convergente.

Exemple 3

Examinons en détail l'option ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . La série ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k, qui est constituée de valeurs absolues, est définie comme divergente. Cette option est considérée comme convergente car elle est facile à déterminer. De cet exemple, nous apprenons que la série ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . sera considéré comme conditionnellement convergent.

Caractéristiques des séries convergentes

Analysons les propriétés pour certains cas

1. Si ∑ k = 1 ∞ a k converge, alors la série ∑ k = m + 1 ∞ a k est également considérée comme convergente. On peut noter que la rangée sans m termes est également considéré comme convergent. Si nous ajoutons plusieurs nombres à ∑ k = m + 1 ∞ a k, alors le résultat résultant sera également convergent.
2. Si ∑ k = 1 ∞ a k converge et la somme = S, alors la série ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S converge également, où UN-constante.
3. Si ∑ k = 1 ∞ a k et ∑ k = 1 ∞ b k sont convergents, les sommes UN Et B aussi, alors les séries ∑ k = 1 ∞ a k + b k et ∑ k = 1 ∞ a k - b k convergent également. Les montants seront égaux A+B Et A-B respectivement.

Déterminer que la série converge ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Changeons l'expression ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . La série ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 est considérée comme convergente, puisque la série ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge lorsque s > 1. D'après la deuxième propriété, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Exemple 5

Déterminez si la série ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 converge.

Transformons la version originale ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 .

On obtient la somme ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 et ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Chaque série est considérée comme convergente selon la propriété. Ainsi, à mesure que la série converge, la version originale évolue également.

Exemple 6

Calculez si la série 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + converge. . . et calculez le montant.

Développons la version originale :

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Chaque série converge car c'est l'un des termes séquence de nombres. D’après la troisième propriété, on peut calculer que la version originale est également convergente. On calcule la somme : Le premier terme de la série ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, et le dénominateur = 0. 5, ceci est suivi de ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Le premier terme est ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , et le dénominateur de la séquence de nombres décroissante = 1 3 . On obtient : ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Nous utilisons les expressions obtenues ci-dessus pour déterminer la somme 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Une condition nécessaire pour déterminer si une série est convergente

Si la série ∑ k = 1 ∞ a k est convergente, alors sa limite kième terme = 0 : lim k → + ∞ a k = 0 .

Si nous cochons une option, nous ne devons pas oublier la condition indispensable. Si cette condition n’est pas remplie, alors la série diverge. Si lim k → + ∞ a k ≠ 0, alors la série est divergente.

Il convient de préciser que cette condition est importante, mais pas suffisante. Si l'égalité lim k → + ∞ a k = 0 est vraie, cela ne garantit pas que ∑ k = 1 ∞ a k soit convergent.

Donnons un exemple. Pour la série harmonique ∑ k = 1 ∞ 1 k la condition est satisfaite lim k → + ∞ 1 k = 0 , mais la série diverge toujours.

Exemple 7

Déterminer la convergence ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Vérifions l'expression originale pour la réalisation de la condition lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Limite nième le membre n’est pas égal à 0. Nous avons prouvé que cette série diverge.

Comment déterminer la convergence d'une série positive.

Si vous utilisez constamment ces caractéristiques, vous devrez constamment calculer les limites. Cette rubrique vous aidera à éviter les difficultés lors de la résolution d'exemples et de problèmes. Afin de déterminer la convergence d’une série positive, il existe une certaine condition.

Pour convergence de signe positif ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . il faut déterminer séquence limitée sommes

Comment comparer des séries

Il existe plusieurs signes de comparaison de séries. Nous comparons la série dont on propose de déterminer la convergence avec la série dont la convergence est connue.

Premier signe

∑ k = 1 ∞ a k et ∑ k = 1 ∞ b k sont des séries de signes positifs. L'inégalité a k ≤ b k est valable pour k = 1, 2, 3, ... Il s'ensuit qu'à partir de la série ∑ k = 1 ∞ b k on peut obtenir ∑ k = 1 ∞ a k . Puisque ∑ k = 1 ∞ a k est divergent, la série ∑ k = 1 ∞ b k peut être définie comme divergente.

Cette règle est constamment utilisée pour résoudre des équations et constitue un argument sérieux qui aidera à déterminer la convergence. La difficulté réside peut-être dans le fait qu’il n’est pas possible de trouver dans chaque cas un exemple approprié à des fins de comparaison. Assez souvent, une série est sélectionnée selon le principe selon lequel l'indicateur kième le terme sera égal au résultat de la soustraction des exposants du numérateur et du dénominateur kième membre de la série. Supposons que a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , la différence sera égale à 2 – 3 = - 1 . DANS dans ce cas on peut déterminer que pour comparaison une série avec k-ième terme b k = k - 1 = 1 k , qui est harmonique.

Afin de consolider le matériel obtenu, nous examinerons en détail quelques options typiques.

Exemple 8

Déterminez ce qu'est la série ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2.

Puisque la limite = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, nous avons satisfait à la condition nécessaire. L'inégalité sera juste 1 k< 1 k - 1 2 для k, qui sont naturels. Dans les paragraphes précédents, nous avons appris que la série harmonique ∑ k = 1 ∞ 1 k est divergente. Selon le premier critère, il peut être prouvé que la version originale est divergente.

Exemple 9

Déterminez si la série est convergente ou divergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Dans cet exemple, la condition nécessaire est satisfaite, puisque lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Nous le représentons comme l'inégalité 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. La série ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 est convergente, puisque la série harmonique ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge pour s > 1. Selon le premier critère, on peut conclure que la série de nombres est convergente.

Exemple 10

Déterminez ce qu'est la série ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Dans cette option, vous pouvez marquer la réalisation de la condition souhaitée. Définissons une série à des fins de comparaison. Par exemple, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Pour déterminer quel est le degré, considérons la séquence (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Membres de la séquence ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . augmente jusqu'à l'infini. Après avoir analysé l'équation, nous pouvons constater que, en prenant N = 1619 comme valeur, alors les termes de la suite > 2. Pour cette séquence l'inégalité 1 k ln (ln k) sera vraie< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Deuxième signe

Supposons que ∑ k = 1 ∞ a k et ∑ k = 1 ∞ b k soient des séries de nombres positifs.

Si lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , alors la série ∑ k = 1 ∞ b k converge, et ∑ k = 1 ∞ a k converge également.

Si lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, alors puisque la série ∑ k = 1 ∞ b k diverge, alors ∑ k = 1 ∞ a k diverge également.

Si lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ et lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, alors la convergence ou la divergence d'une série signifie la convergence ou la divergence d'une autre.

Considérons ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 en utilisant le deuxième signe. Pour comparaison ∑ k = 1 ∞ b k nous prenons la série convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Définissons la limite : lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Selon le deuxième critère, on peut déterminer que la série convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 signifie que la version originale converge également.

Exemple 11

Déterminez ce qu'est la série ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.

Analysons la condition nécessaire lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, qui est satisfaite dans cette version. D'après le deuxième critère, prenons la série ∑ k = 1 ∞ 1 k . On cherche la limite : lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Selon les thèses ci-dessus, une série divergente entraîne la divergence de la série originale.

Troisième signe

Considérons le troisième signe de comparaison.

Supposons que ∑ k = 1 ∞ a k et _ ∑ k = 1 ∞ b k sont des séries de nombres positifs. Si la condition est satisfaite pour un certain nombre a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , alors la convergence de cette série ∑ k = 1 ∞ b k signifie que la série ∑ k = 1 ∞ a k est également convergente. La série divergente ∑ k = 1 ∞ a k entraîne la divergence ∑ k = 1 ∞ b k .

Le signe de D'Alembert

Imaginons que ∑ k = 1 ∞ a k soit une série de nombres positifs. Si lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, puis divergent.

Remarque 1

Le test de D'Alembert est valide si la limite est infinie.

Si lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , alors la série est convergente, si lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , alors elle est divergente.

Si lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, alors le signe de d’Alembert n’aidera pas et des recherches supplémentaires seront nécessaires.

Exemple 12

Déterminez si la série est convergente ou divergente ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k en utilisant le critère de d’Alembert.

Il est nécessaire de vérifier si la condition de convergence nécessaire est satisfaite. Calculons la limite en utilisant la règle de L'Hôpital : lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

On voit que la condition est remplie. Utilisons le test de d'Alembert : lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

La série est convergente.

Exemple 13

Déterminer si la série est divergente ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Utilisons le test de d'Alembert pour déterminer la divergence de la série : lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1kk = e > 1

La série est donc divergente.

Le signe de Cauchy radical

Supposons que ∑ k = 1 ∞ a k est une série de signe positif. Si lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, puis divergent.

Remarque 2

Si lim k → + ∞ a k k = 1, alors ce signe ne fournit aucune information - une analyse supplémentaire est nécessaire.

Cette fonctionnalité peut être utilisée dans des exemples faciles à identifier. Le cas sera typique lorsqu'un membre d'une série de nombres est une expression de puissance exponentielle.

Afin de consolider les informations reçues, considérons quelques exemples typiques.

Exemple 14

Déterminez si la série de signes positifs ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k est convergente.

Condition nécessaire est considéré comme rempli, puisque lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

D'après le critère évoqué ci-dessus, on obtient lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Cette série est convergente.

Exemple 15

La série de nombres ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 converge-t-elle ?

Nous utilisons la fonctionnalité décrite dans le paragraphe précédent lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Test de Cauchy intégral

Supposons que ∑ k = 1 ∞ a k est une série de signe positif. Il faut désigner la fonction d'un argument continu y = f(x), ce qui coïncide avec a n = f (n) . Si y = f(x)supérieur à zéro, n'est pas interrompu et diminue de [ a ; + ∞) , où a ≥ 1

Alors, si l'intégrale impropre ∫ a + ∞ f (x) d x est convergente, alors la série considérée converge également. Si elle diverge, alors dans l'exemple considéré, la série diverge également.

Pour vérifier si une fonction est décroissante, vous pouvez utiliser le matériel abordé dans les leçons précédentes.

Exemple 16

Considérons l'exemple ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k pour la convergence.

La condition de convergence de la série est considérée comme satisfaite, puisque lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Considérons y = 1 x ln x. Il est supérieur à zéro, n'est pas interrompu et diminue de [ 2 ; + ∞) . Les deux premiers points sont connus avec certitude, mais le troisième mérite d'être discuté plus en détail. On trouve la dérivée : y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Il inférieur à zéro le [ 2 ; + ∞) . Cela prouve la thèse selon laquelle la fonction est décroissante.

En fait, la fonction y = 1 x ln x correspond aux caractéristiques du principe que nous avons considéré ci-dessus. Utilisons-le : ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

D'après les résultats obtenus, exemple original diverge parce que l’intégrale impropre est divergente.

Exemple 17

Prouver la convergence de la série ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Puisque lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, alors la condition est considérée comme satisfaite.

En commençant par k = 4, l'expression correcte est 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Si la série ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 est considérée comme convergente, alors, selon l'un des principes de comparaison, la série ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 sera également considéré comme convergent. De cette façon, nous pouvons déterminer que l’expression originale est également convergente.

Passons à la preuve : ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Puisque la fonction y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 est supérieure à zéro, elle n'est pas interrompue et diminue de [ 4 ; + ∞) . Nous utilisons la fonctionnalité décrite dans le paragraphe précédent :

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

Dans la série convergente résultante, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, nous pouvons déterminer que ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 converge également.

Le signe de Raabe

Supposons que ∑ k = 1 ∞ a k est une série de nombres positifs.

Si lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, alors il converge.

Cette méthode de détermination peut être utilisée si les techniques décrites ci-dessus ne donnent pas de résultats visibles.

Étude de convergence absolue

Pour l'étude, nous prenons ∑ k = 1 ∞ b k . Nous utilisons le signe positif ∑ k = 1 ∞ b k . Nous pouvons utiliser n’importe laquelle des fonctionnalités appropriées que nous avons décrites ci-dessus. Si la série ∑ k = 1 ∞ b k converge, alors la série originale est absolument convergente.

Exemple 18

Étudier la série ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 pour la convergence ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 .

La condition est satisfaite lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . On utilise ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 et on utilise le deuxième signe : lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

La série ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 converge. La série originale est également absolument convergente.

Divergence des séries alternées

Si la série ∑ k = 1 ∞ b k est divergente, alors la série alternée correspondante ∑ k = 1 ∞ b k est soit divergente, soit conditionnellement convergente.

Seuls le test de d'Alembert et le test radical de Cauchy permettront de tirer des conclusions sur ∑ k = 1 ∞ b k à partir de la divergence avec les modules ∑ k = 1 ∞ b k . La série ∑ k = 1 ∞ b k diverge également si la condition de convergence nécessaire n'est pas satisfaite, c'est-à-dire si lim k → ∞ + b k ≠ 0.

Exemple 19

Vérifier la divergence 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

Module kième le terme est représenté par b k = k ! 7k.

Examinons la série ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k pour la convergence selon le critère de d'Alembert : lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k diverge de la même manière que la version originale.

Exemple 20

Est-ce que ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) convergent.

Considérons la condition nécessaire lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . La condition n'est pas remplie, donc ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) la série est divergente. La limite a été calculée selon la règle de L'Hôpital.

Critères de convergence conditionnelle

Le test de Leibniz

Si les valeurs des termes de la série alternée diminuent b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . et la limite du module = 0 lorsque k → + ∞, alors la série ∑ k = 1 ∞ b k converge.

Exemple 17

Considérons ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) pour la convergence.

La série est représentée par ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . La condition nécessaire est satisfaite : lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Considérons ∑ k = 1 ∞ 1 k par le deuxième critère de comparaison lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Nous constatons que ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) diverge. La série ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) converge selon le critère de Leibniz : séquence 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . diminue et lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

La série converge conditionnellement.

Test d'Abel-Dirichlet

∑ k = 1 + ∞ u k · v k converge si ( u k ) n'augmente pas et la suite ∑ k = 1 + ∞ v k est bornée.

Exemple 17

Explorez 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . pour la convergence.

Imaginons

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

où (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . est non croissante et la séquence (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . limité (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . La série converge.

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