Notre objectif immédiat est de prouver que toute matrice peut être réduite à une certaine types standards. Le langage des matrices équivalentes est utile dans cette voie.
Qu'il en soit ainsi. On dira qu'une matrice est l_équivalent (n_equivalent ou équivalent) à une matrice et désignera (ou) si la matrice peut être obtenue à partir d'une matrice en utilisant nombre fini transformations élémentaires de ligne (colonne ou ligne et colonne, respectivement). Il est clair que les matrices l_equivalent et p_equivalent sont équivalentes.
Nous allons d’abord montrer que toute matrice peut être réduite à type spécial, dit réduit.
Qu'il en soit ainsi. Une ligne non nulle de cette matrice est dite avoir une forme réduite si elle contient un élément égal à 1 tel que tous les éléments de la colonne autres que soient égaux à zéro, . Nous appellerons l’élément unique marqué de la ligne l’élément principal de cette ligne et l’enfermerons dans un cercle. Autrement dit, une ligne d'une matrice a la forme réduite si cette matrice contient une colonne de la forme
Par exemple, dans la matrice suivante
la ligne a la forme suivante, puisque. Faisons attention au fait que dans cet exemple, un élément prétend également être l'élément principal de la ligne. À l'avenir, si une ligne du type donné contient plusieurs éléments qui ont des propriétés principales, nous n'en sélectionnerons qu'un seul de manière arbitraire.
Une matrice est dite de forme réduite si chacune de ses lignes non nulles a une forme réduite. Par exemple, la matrice
a la forme suivante.
Proposition 1.3 Pour toute matrice il existe une matrice équivalente de forme réduite.
En effet, si la matrice a la forme (1.1) et, alors après y avoir effectué des transformations élémentaires
on obtient la matrice
dans lequel la chaîne a la forme suivante.
Deuxièmement, si la ligne de la matrice a été réduite, alors après avoir effectué les transformations élémentaires (1.20) la ligne de la matrice sera réduite. En effet, puisque donnée, il existe une colonne telle que
mais alors et, par conséquent, après avoir effectué les transformations (1.20) la colonne ne change pas, c'est-à-dire . La ligne a donc la forme suivante.
Maintenant, il est clair qu’en transformant tour à tour chaque ligne non nulle de la matrice de la manière ci-dessus, après un nombre fini d’étapes, nous obtiendrons une matrice de forme réduite. Puisque seules des transformations élémentaires de lignes ont été utilisées pour obtenir la matrice, elle est l_équivalente à une matrice. >
Exemple 7. Construire une matrice de forme réduite, l_équivalent à la matrice
Les trois premiers paragraphes de ce chapitre sont consacrés à la doctrine de l'équivalence des matrices polynomiales. Sur cette base, dans les trois paragraphes suivants, nous construisons la théorie analytique des diviseurs élémentaires, c'est-à-dire la théorie de la réduction d'une matrice carrée constante (peu nomiale) à forme normale. Les deux derniers paragraphes du chapitre donnent deux méthodes pour construire une matrice de transformation.
§ 1. Transformations élémentaires d'une matrice polynomiale
Définition 1. Une matrice polynomiale ou -matrice est une matrice rectangulaire dont les éléments sont des polynômes en :
voici le plus grand degré des polynômes.
on peut représenter une matrice polynomiale comme un polynôme matriciel par rapport à , c'est-à-dire comme un polynôme à coefficients matriciels :
Introduisons en considération les opérations élémentaires suivantes sur une matrice polynomiale :
1. Multiplier certaines lignes, par exemple th, par un nombre.
2. Ajouter à certaines, par exemple la ème ligne, une autre, par exemple la ème chaîne, préalablement multipliée par un polynôme arbitraire.
3. Échangez deux lignes, par exemple la ième et la ième ligne.
Nous invitons le lecteur à vérifier que les opérations 1, 2, 3 équivalent respectivement à multiplier une matrice polynomiale de gauche par les matrices carrées d'ordre suivantes :
(1)
c'est-à-dire qu'à la suite de l'application des opérations 1, 2, 3, la matrice est transformée respectivement en matrices , , . Par conséquent, les opérations de type 1, 2, 3 sont appelées opérations élémentaires de gauche.
Les bonnes opérations élémentaires sur une matrice polynomiale sont définies de manière tout à fait similaire (ces opérations s'effectuent non pas sur les lignes, mais sur les colonnes de la matrice polynomiale) et les matrices correspondantes (d'ordre ) :
Suite à l'application de la bonne opération élémentaire, la matrice est multipliée à droite par la matrice correspondante.
Nous appellerons les matrices de type (ou, ce qui revient au même, type ) matrices élémentaires.
Déterminant tout matrice élémentaire ne dépend pas de zéro et est différent de zéro. Par conséquent, pour chaque opération élémentaire gauche (droite) il y a opération inverse, qui est aussi une opération élémentaire gauche (respectivement droite).
Définition 2. Deux matrices polynomiales sont appelées 1) équivalent gauche, 2) équivalent droit, 3) équivalent si l'une d'elles est obtenue de l'autre en appliquant respectivement 1) opérations élémentaires gauche, 2) opérations élémentaires droite, 3) gauche et bonnes opérations élémentaires.
Supposons que la matrice soit obtenue en utilisant des opérations élémentaires de gauche correspondant aux matrices. Alors
. (2).
Désignant par le produit , on écrit l'égalité (2) sous la forme
, (3)
où , comme chacune des matrices, a un déterminant constant non nul.
Dans la section suivante, nous prouverons que toute matrice carrée avec un déterminant constant non nul peut être représentée comme un produit de matrices élémentaires. Par conséquent, l’égalité (3) est équivalente à l’égalité (2) et signifie donc l’équivalence gauche des matrices et .
En cas d'équivalence de droit matrices polynomiales et au lieu de l'égalité (3) nous aurons l'égalité
, (3")
et en cas d’équivalence (bilatérale) – égalité
Ici encore et ce sont des matrices à déterminants non nuls et indépendants.
Ainsi, la définition 2 peut être remplacée par une définition équivalente.
Définition 2". Deux matrices rectangulaires et sont appelées 1) équivalent gauche, 2) équivalent droit, 3) équivalent si, respectivement
1)
, 2) , 3) ,
où et sont des matrices carrées polynomiales avec des déterminants constants et non nuls.
Nous illustrons tous les concepts introduits ci-dessus à l’aide de l’exemple important suivant.
Considérons un système de linéaire homogène équations différentielles-ième ordre avec des fonctions d'argument inconnues à coefficients constants :
(4)
Équation Mu d'une nouvelle fonction inconnue ; la deuxième opération élémentaire signifie l'introduction d'une nouvelle fonction inconnue 
(au lieu de ); la troisième opération consiste à changer de place dans les équations des termes contenant et (c'est-à-dire 
).
Transition vers une nouvelle base.
Soient (1) et (2) deux bases du même espace linéaire X à m dimensions.
Puisque (1) est une base, les vecteurs de la deuxième base peuvent en être développés :
A partir des coefficients de on crée une matrice :
(4) – matrice de transformation de coordonnées lors du passage de la base (1) à la base (2).
Soit un vecteur, alors (5) et (6).
La relation (7) signifie que
La matrice P est non dégénérée, car sinon elle serait dépendance linéaire entre ses colonnes, puis entre ses vecteurs.
L'inverse est également vrai : toute matrice non singulière est une matrice de transformation de coordonnées définie par les formules (8). Parce que P est une matrice non singulière, alors son inverse existe. En multipliant les deux côtés de (8) par, on obtient : (9).
Soit 3 bases choisies dans l'espace linéaire X : (10), (11), (12).
D'où, c'est-à-dire (13).
Que. à conversion séquentielle coordonnées, la matrice de la transformation résultante est égale au produit des matrices des transformations composantes.
Soit un opérateur linéaire et soit une paire de bases choisies dans X : (I) et (II), et dans Y – (III) et (IV).
L'opérateur A dans une paire de bases I – III correspond à l'égalité : (14). Le même opérateur dans la paire de bases II – IV correspond à l'égalité : (15). Que. pour un opérateur A donné nous avons deux matrices et. Nous voulons établir une dépendance entre eux.
Soit P la matrice de transformation de coordonnées lors du passage de I à III.
Soit Q la matrice de transformation de coordonnées lors de la transition de II à IV.
Puis (16), (17). En substituant les expressions pour et de (16) et (17) dans (14), nous obtenons :
En comparant cette égalité avec (15), on obtient :
La relation (19) relie la matrice d'un même opérateur dans des bases différentes. Dans le cas où les espaces X et Y coïncident, rôle III la base joue I, et IV – II, alors la relation (19) prend la forme : .
Bibliographie:
3. Kostrikin A.I. Introduction à l'algèbre. partie II. Fondamentaux de l'algèbre : manuel pour les universités, -M. : Littérature physique et mathématique, 2000, 368 pp.
Conférence n°16 (IIe semestre)
Sujet: Nécessaire et état suffisantéquivalence matricielle.
Deux matrices, A et B, mêmes tailles, sont appelés équivalent, s'il existe deux matrices non singulières R et S telles que (1).
Exemple: Deux matrices correspondant au même opérateur pour des choix de bases différents dans espaces linéaires x X et Y sont équivalents.
Il est clair que la relation définie sur l'ensemble de toutes les matrices de même taille en utilisant la définition ci-dessus est une relation d'équivalence.
Théorème 8 : Pour que deux matrices rectangulaires de même taille soient équivalentes, il faut et il suffit qu'elles soient de même rang.
Preuve:
1. Soit A et B deux matrices pour lesquelles cela a du sens. Le rang du produit (matrice C) n'est pas supérieur au rang de chacun des facteurs.
Nous voyons que la kième colonne de la matrice C est une combinaison linéaire de vecteurs de colonnes de la matrice A et cela est valable pour toutes les colonnes de la matrice C, c'est-à-dire pour tout le monde. Que. , c'est-à-dire – sous-espace de l’espace linéaire.
Puisque et puisque la dimension du sous-espace est inférieure ou égale à la dimension de l'espace, alors le rang de la matrice C est inférieur ou égal au rang de la matrice A.
Dans les égalités (2), on fixe l'indice i et on attribue à k toutes les valeurs possibles de 1 à s. On obtient alors un système d'égalités similaire au système (3) :
D'après les égalités (4), il est clair que ième ligne la matrice C est une combinaison linéaire des lignes de la matrice B pour tout i, et alors l'enveloppe linéaire engendrée par les lignes de la matrice C est contenue dans l'enveloppe linéaire engendrée par les lignes de la matrice B, et ensuite la dimension de cette coque linéaire est inférieur ou égal à la dimension de l'enveloppe linéaire des vecteurs lignes de la matrice B, ce qui signifie que le rang de la matrice C est inférieur ou égal au rang de la matrice B.
2. Rang du produit de la matrice A à gauche et à droite par un non singulier matrice carrée Q est égal au rang de la matrice A.(). Ceux. Le rang de la matrice C est égal au rang de la matrice A.
Preuve: D'après ce qui a été prouvé dans le cas (1). Puisque la matrice Q est non singulière, alors pour elle il existe : et conformément à ce qui a été prouvé dans l'énoncé précédent.
3. Montrons que si les matrices sont équivalentes, alors elles ont les mêmes rangs. Par définition, A et B sont équivalents s'il existe R et S tels que. Puisque multiplier A à gauche par R et à droite par S produit des matrices de même rang, comme prouvé au point (2), le rang de A est égal au rang de B.
4. Soient les matrices A et B du même rang. Montrons qu'ils sont équivalents. Considérons.
Soient X et Y deux espaces linéaires dans lesquels les bases (base X) et (base Y) sont choisies. Comme on le sait, toute matrice de la forme définit un certain opérateur linéaire agissant de X à Y.
Puisque r est le rang de la matrice A, alors parmi les vecteurs exactement r sont linéairement indépendants. Sans perte de généralité, on peut supposer que les r premiers vecteurs sont linéairement indépendants. Alors tout le reste peut s’exprimer linéairement à travers eux, et on peut écrire :
Définissons une nouvelle base dans l'espace X comme suit : . (7)
La nouvelle base dans l'espace Y est la suivante :
Les vecteurs, par condition, sont linéairement indépendants. Complétons-les avec quelques vecteurs à la base Y : (8). Donc (7) et (8) sont deux nouvelles bases X et Y. Trouvons la matrice de l'opérateur A dans ces bases :
Ainsi, dans la nouvelle paire de bases, la matrice de l’opérateur A est la matrice J. La matrice A était initialement une matrice rectangulaire arbitraire de la forme de rang r. Puisque les matrices du même opérateur dans des bases différentes sont équivalentes, cela montre que toute matrice rectangulaire de type et de rang r est équivalente à J. Puisque nous avons affaire à une relation d'équivalence, cela montre que deux matrices A et B quelconques de type et le rang r , étant équivalent à la matrice J sont équivalents les uns aux autres.
Bibliographie:
1. Voevodine V.V. Algèbre linéaire. Saint-Pétersbourg : Lan, 2008, 416 p.
2. Cours Beklemishev D.V. géométrie analytique Et algèbre linéaire. M. : Fizmatlit, 2006, 304 p.
3. Kostrikin A.I. Introduction à l'algèbre. partie II. Fondamentaux de l'algèbre : manuel pour les universités, -M. : Littérature physique et mathématique, 2000, 368 p.
Conférence n°17 (IIe semestre)
Sujet: Valeurs propres et vecteurs propres. Posséder des sous-espaces. Exemples.
Document : c.-à-d. Le rang de la matrice est conservé lors de la réalisation des opérations suivantes :
1. Changer l'ordre des lignes.
2. Multiplier une matrice par un nombre autre que zéro.
3. Transposition.
4. Éliminer une chaîne de zéros.
5. Ajout d'une autre chaîne à une chaîne, multipliée par un nombre arbitraire.
La première transformation laissera certains mineurs inchangés, mais changera le signe de certains à l'opposé. La deuxième transformation laissera également certains mineurs inchangés, tandis que d'autres seront multipliés par un nombre autre que zéro. La troisième transformation préservera tous les mineurs. Ainsi, lors de l’application de ces transformations, le rang de la matrice sera également conservé (deuxième définition). L'élimination d'une ligne nulle ne peut pas changer le rang de la matrice, car une telle ligne ne peut pas entrer un mineur non nul. Considérons la cinquième transformation.
Nous supposerons que la base mineure Δp est située dans les p premières lignes. Supposons qu'une chaîne arbitraire b soit ajoutée à la chaîne a, qui est l'une de ces chaînes, multipliée par un certain nombre λ. Ceux. à la chaîne a est ajoutée une combinaison linéaire de chaînes contenant la base mineure. Dans ce cas, la base mineure Δp restera inchangée (et différente de 0). Les autres mineurs placés dans les premières lignes p restent également inchangés, il en va de même pour tous les autres mineurs. Que. V dans ce cas le rang (selon la deuxième définition) sera conservé. Considérons maintenant le mineur Ms, qui n'a pas toutes les lignes parmi les premières p lignes (et peut-être n'en a-t-il pas).
En ajoutant une chaîne arbitraire b à la chaîne ai, multipliée par le nombre λ, on obtient un nouveau mineur Ms', et Ms'=Ms+λ Ms, où
Si s>p, alors Ms=Ms=0, car tous les mineurs d'ordre supérieur à p de la matrice d'origine sont égaux à 0. Mais alors Ms'=0, et le rang des transformations matricielles n'augmente pas. Mais il ne pouvait pas non plus diminuer, puisque la mineure de base n'a subi aucune modification. Le rang de la matrice reste donc inchangé.
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1. Soit deux espaces vectoriels et, respectivement, des mesures sur un champ numérique et un opérateur linéaire mappé dans . Dans cette section nous découvrirons comment la matrice correspondant à un opérateur linéaire donné change lorsque les bases et changent.
Choisissons des bases arbitraires et . Dans ces bases, l'opérateur correspondra à la matrice. Égalité vectorielle
correspond à l'égalité matricielle
où et sont les colonnes de coordonnées des vecteurs et des bases et .
Choisissons maintenant dans et d'autres bases et . Dans les nouvelles bases, au lieu de , , nous aurons : , , . En même temps
Notons par et les matrices carrées non singulières d'ordres et , respectivement, qui effectuent la transformation des coordonnées dans les espaces et lors du passage des anciennes bases aux nouvelles (voir § 4) :
Alors de (27) et (29) on obtient :
En supposant , à partir de (28) et (30) on trouve :
Définition 8. Deux matrices rectangulaires et de même taille sont dites équivalentes s'il existe deux matrices carrées non singulières et telles que
De (31) il résulte que deux matrices correspondant au même opérateur linéaire avec des choix de bases différents dans et sont toujours équivalentes entre elles. Il est facile de voir qu'à l'inverse, si une matrice correspond à un opérateur pour certaines bases dans et , la matrice est équivalente à une matrice , alors elle correspond au même opérateur linéaire pour certaines autres bases dans et .
Ainsi, chaque opérateur linéaire mappe et correspond à une classe de matrices équivalentes entre elles avec des éléments du domaine.
2. Le théorème suivant établit un critère d'équivalence de deux matrices :
Théorème 2. Pour que deux matrices rectangulaires de même taille soient équivalentes, il faut et suffisant que ces matrices aient le même rang.
Preuve. La condition est nécessaire. Lors de la multiplication d'une matrice rectangulaire par une matrice carrée non singulière (gauche ou droite), le rang de la matrice rectangulaire d'origine ne peut pas changer (voir Chapitre I, p. 27). Par conséquent, de (32) il résulte
La condition est suffisante. Soit une matrice rectangulaire de taille . Il définit un opérateur linéaire mappant un espace avec une base dans un espace avec une base. Notons par nombre linéairement vecteurs indépendants parmi les vecteurs 
. Sans perte de généralité, on peut supposer que les vecteurs sont linéairement indépendants 
, et le reste s'exprime linéairement à travers eux :
. (33)
Définissons une nouvelle base comme suit :
(34)
Alors en vertu de (33)
. (35)
Les vecteurs sont linéairement indépendants. Complétons-les avec quelques vecteurs à base de .
Puis la matrice correspondant au même opérateur dans de nouvelles bases ; , d’après (35) et (36) aura la forme
. (37)
Dans la matrice, les uns suivent la diagonale principale de haut en bas ; tous les autres éléments de la matrice sont égaux à zéro. Puisque les matrices et correspondent au même opérateur, elles sont équivalentes entre elles. D'après ce qui a été prouvé, les matrices équivalentes ont le même rang. Par conséquent, le rang de la matrice d'origine est égal à .
Nous avons montré qu'une matrice de rang rectangulaire arbitraire est équivalente à la matrice « canonique ». Mais la matrice est entièrement déterminée en précisant les dimensions et les nombres. Par conséquent, toutes les matrices rectangulaires de tailles et de rang donnés sont équivalentes à la même matrice et donc équivalentes les unes aux autres. Le théorème est prouvé.
3. Soit étant donné un opérateur linéaire représentant -espace dimensionnel en dimensionnelle. Un ensemble de vecteurs de la forme , où , formes espace vectoriel. Nous désignerons cet espace par ; il fait partie de l'espace ou, comme on dit, est un sous-espace dans l'espace.
Avec le sous-espace dans, nous considérons l'ensemble de tous les vecteurs satisfaisant l'équation
Ces vecteurs forment également un sous-espace dans ; Nous désignerons ce sous-espace par .
Définition 9. Si un opérateur linéaire correspond à , alors le nombre de dimensions de l'espace est appelé le rang de l'opérateur, et le nombre de dimensions de l'espace constitué de tous les vecteurs satisfaisant la condition (38) est appelé le défaut de l'opérateur. .
Parmi tous les équivalents matrices rectangulaires, définissant cet opérateur dans diverses bases, il y a matrice canonique[voir (37)]. Notons par et les bases correspondantes dans et . Alors
, 
.
De la définition et il s'ensuit que les vecteurs forment une base dans , et les vecteurs comparent la base dans . Il en résulte quel est le rang de l'opérateur et
Si est une matrice arbitraire correspondant à l’opérateur, alors elle est équivalente et a donc le même rang. Ainsi, le rang de l’opérateur coïncide avec le rang de la matrice rectangulaire
,
définition de l'opérateur dans certaines bases 
Et 
.
Les colonnes de la matrice contiennent les coordonnées des vecteurs . Puisqu'il s'ensuit que le rang de l'opérateur, c'est-à-dire le nombre de dimensions, est égal à nombre maximum vecteurs linéairement indépendants parmi . Ainsi, le rang de la matrice coïncide avec le nombre de colonnes linéairement indépendantes de la matrice. Puisque lors de la transposition les lignes de la matrice sont transformées en colonnes et que le rang ne change pas, le nombre de lignes linéairement indépendantes de la matrice est également égal au rang de la matrice.
4. Soit deux opérateur linéaire, et leur travail.
Laissez l'opérateur mapper vers , et l'opérateur mapper vers . Ensuite, l'opérateur mappe vers :
Introduisons les matrices , , correspondant aux opérateurs , , pour un certain choix de bases , et . Alors l'opérateur égalité correspondra à l'égalité matricielle ., c'est-à-dire dans, .
