Forme canonique des matrices polynomiales. Réduire la matrice à la forme canonique

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(j) .

Suite à l'application de l'opération élémentaire de droite, la matrice A(λ) est multipliée à droite par la matrice T correspondante.

Notons que la matrice T" coïncide avec la matrice S", et les matrices T", T"" coïncident avec les matrices S", S"", si les indices i et j sont intervertis dans cette dernière. Les matrices de type S", S", S"" (ou, ce qui revient au même, de type T", T", T"") sont dites élémentaires.

Deux matrices λ A(λ) et B(λ) mêmes tailles m x n sont appelés équivalents, A(λ) ~ B(λ), si l'on peut passer de la matrice A(λ) à B(λ) en utilisant une chaîne de nombre fini transformations élémentaires. La relation d'équivalence a trois propriétés principales :

1) réflexivité : chaque matrice est équivalente à elle-même A(λ) ~ B(λ) ;

2) symétrie : si A(λ) ~ B(λ), alors B(λ) ~ A(λ) ;

3) transitivité : si A(λ) ~ B(λ), et B(λ) ~ C(λ), alors A(λ) ~ C(λ).

§2. Forme canonique de la matrice λ

Il a été montré ci-dessus que la relation d'équivalence est transitive, symétrique et réflexive. Il s'ensuit que l'ensemble de toutes les matrices λ de tailles données m x n est divisé en classes disjointes matrices équivalentes, c'est-à-dire en classes telles que deux matrices quelconques de la même classe soient équivalentes, et de différentes classes- ne sont pas équivalents les uns aux autres. La question se pose de la forme canonique de la matrice λ caractérisant cette classe matrices λ équivalentes.

Une matrice λ diagonale canonique de dimensions m x n est une matrice λ dont la diagonale principale contient les polynômes E1(λ), ​​​​E2(λ), ..., Ep(λ), où p est le plus petit des nombres m et n, et non égal à zéro parmi ces polynômes ont des coefficients principaux égaux à un, et chaque polynôme suivant est divisé par le précédent, mais les éléments en dehors de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Théorème 1. Toute matrice λ peut être réduite à une forme diagonale canonique par un nombre fini de transformations élémentaires.

Preuve. Soit A(λ) une matrice polynomiale rectangulaire. En appliquant les opérations élémentaires gauche et droite à A(λ), nous conduisons à la forme diagonale canonique.

Parmi tous les éléments non nuls аіј(λ) de la matrice A(λ), nous prenons l'élément qui a le plus petit degré par rapport à λ, et en réorganisant de manière appropriée les lignes et les colonnes, nous en faisons un élément a11(λ). Après cela, nous trouverons les quotients et les restes en divisant les polynômes аі1(λ) et а1ј(λ) par а11(λ) :

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(je = 2, 3, …, m ; j = 2, 3, …, n).

Si au moins un des restes rі1(λ), ​​​​r1ј(λ) (i = 2, …, m ; j = 2, …, n), par exemple r1ј (λ), n'est pas identiquement nul, alors, en soustrayant de j- de la première colonne, préalablement multiplié par q1ј(λ), on remplace l'élément a1ј(λ) par le reste r1ј(λ), qui a un degré inférieur à a11(λ). Ensuite, nous avons la possibilité de réduire à nouveau le degré de l'élément de gauche coin supérieur matrice, en plaçant à cet endroit l'élément de plus petit degré par rapport à λ.

Si tous les restes sont r21(λ), ​​… rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) sont identiquement nuls, alors en soustrayant de la i-ème ligne la première, multipliée précédemment par qі1(λ) (i = 2, …, m), et de la j-ème colonne - le premier , préalablement multiplié par q1ј(λ) (j = 2, …, n), nous réduisons notre matrice sous la forme

а11(λ) 0 … 0

0 à22(λ) … à2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … amn(λ)

Si en même temps au moins un des éléments аіј(λ) (i = 2, …, m ; j = 2, …, n) n'est pas divisible par а11(λ) sans reste, alors en ajoutant au premier colonne la colonne qui contient cet élément, nous reviendrons au cas précédent et, donc, nous pourrons à nouveau remplacer l'élément a11(λ) par un polynôme de degré inférieur.

Puisque l’élément original a11(λ) avait un certain degré et le processus de réduction de ce degré ne peut pas continuer indéfiniment, alors après un nombre fini d'opérations élémentaires il faut obtenir une matrice de la forme

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

dans lequel tous les éléments bіј(λ) sont divisibles par a1(λ) sans reste. Si parmi ces éléments bіј(λ) il n'y a pas identiquement zéro, alors en continuant le même processus de réduction pour les lignes avec les nombres 2, …, m et les colonnes avec les nombres 2, …, n, nous réduirons la matrice (*) sous la forme

Ainsi, nous avons prouvé qu’une matrice polynomiale rectangulaire arbitraire A(λ) est équivalente à une matrice diagonale canonique.

Définition. Une matrice polynomiale ou -matrice est une matrice rectangulaire dont les éléments sont des polynômes à une variable avec des coefficients numériques.

Sur -les matrices peuvent effectuer des transformations élémentaires. Ceux-ci incluent :

Deux -matrices
Et
des tailles identiques sont dites équivalentes :
, si de la matrice
À
peut être transmis en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires.

Exemple. Prouver l'équivalence matricielle

Solution.

.

.

Multipliez la deuxième ligne par (–1) et notez que

.

.

Beaucoup de tout le monde -matrices de tailles données
est divisé en classes disjointes de matrices équivalentes. Les matrices équivalentes forment une classe et celles qui ne sont pas équivalentes en forment une autre.

Chaque classe de matrices équivalentes est caractérisée par un canonique, ou normal, -matrice de tailles données.

Définition. Canonique, ou normal, -matrice de taille
appelé -matrice avec des polynômes sur la diagonale principale, où r– le plus petit des nombres m Et n (
), et les polynômes qui ne sont pas égaux à zéro ont des coefficients principaux égaux à 1, et chaque polynôme suivant est divisé par le précédent. Tous les éléments en dehors de la diagonale principale sont 0.

De la définition, il s'ensuit que si parmi les polynômes il y a des polynômes de degré zéro, alors ils se trouvent au début de la diagonale principale. S’il y a des zéros, ils se trouvent à la fin de la diagonale principale.

Matrice
l'exemple précédent est canonique. Matrice

également canonique.

Chaque classe -matrix contient un canonique unique -matrice, c'est-à-dire chaque -matrice est équivalente à une matrice canonique unique, appelée forme canonique ou forme normale de cette matrice.

Polynômes sur la diagonale principale de la forme canonique d'un objet donné -les matrices sont appelées facteurs invariants d'une matrice donnée.

L'une des méthodes de calcul des facteurs invariants consiste à réduire le -matrices à forme canonique.

Donc pour la matrice
de l’exemple précédent, les facteurs invariants sont

,
,
,
.

De ce qui précède, il s'ensuit que la présence du même ensemble de facteurs invariants est une condition nécessaire et suffisante pour l'équivalence. -matrices

Apporter -des matrices à forme canonique se réduit à définir des facteurs invariants

,
;
,

Où r– rang -les matrices ;
– le plus grand diviseur commun mineurs k-ème ordre, pris avec un coefficient dominant égal à 1.

Exemple. Qu'il soit donné -matrice

.

Solution.Évidemment, le plus grand diviseur commun du premier ordre D 1 =1, c'est-à-dire
.

Définissons les mineurs de second ordre :

Ces données suffisent à elles seules pour tirer la conclusion suivante : D 2 =1, donc,
.

Nous définissons D 3

,

Ainsi,
.

Ainsi, la forme canonique de cette matrice est la suivante -matrice:

.

Un polynôme matriciel est une expression de la forme

Où – variable ;
– matrices carrées d’ordre n avec éléments numériques.

Si
, Que S est appelé degré du polynôme matriciel, n– l’ordre du polynôme matriciel.

J'aime le quadratique -matrix peut être représenté comme un polynôme matriciel. Évidemment, l’affirmation inverse est également vraie, c’est-à-dire tout polynôme matriciel peut être représenté comme un carré -matrices.

La validité de ces affirmations découle clairement des propriétés des opérations sur les matrices. Regardons les exemples suivants :

Exemple. Représenter une matrice polynomiale

sous la forme d'un polynôme matriciel comme suit

.

Exemple. Polynôme matriciel

peut être représenté par la matrice polynomiale suivante ( -matrices)

.

Cette interchangeabilité des polynômes matriciels et des matrices polynomiales joue un rôle important dans l'appareil mathématique des méthodes d'analyse factorielle et composante.

Les polynômes matriciels du même ordre peuvent être ajoutés, soustraits et multipliés de la même manière que les polynômes ordinaires à coefficients numériques. Il convient cependant de rappeler que la multiplication des polynômes matriciels, d’une manière générale, n’est pas commutative, puisque La multiplication matricielle n'est pas commutative.

Deux polynôme matriciel sont dits égaux si leurs coefficients sont égaux, c'est-à-dire matrices correspondantes pour les mêmes puissances de la variable .

La somme (différence) de deux polynômes matriciels
Et
est un polynôme matriciel dont le coefficient pour chaque puissance de la variable égal à la somme (différence) des coefficients au même degré en polynômes
Et
.

Pour multiplier un polynôme matriciel
à un polynôme matriciel
, vous avez besoin de chaque terme du polynôme matriciel
multiplier par chaque terme du polynôme matriciel
, ajoutez les produits résultants et apportez des termes similaires.

Degré de polynôme matriciel – produit

inférieur ou égal à la somme des puissances des facteurs.

Les opérations sur les polynômes matriciels peuvent être effectuées en utilisant des opérations sur les polynômes matriciels correspondants. -matrices.

Pour ajouter (soustraire) des polynômes matriciels, il suffit d'ajouter (soustraire) les -matrices. La même chose s'applique à la multiplication. -la matrice du produit des polynômes matriciels est égale au produit -matrices de facteurs.

Exemple.

De l'autre côté
Et
peut s'écrire sous la forme

Puisque la multiplication matricielle n'est pas commutative, pour les polynômes matriciels, deux divisions avec reste sont définies - droite et gauche.

Soit deux polynômes matriciels d'ordre n

Où DANS 0 est une matrice non singulière.

Lors de la division
sur
il existe un quotient droit unique
et reste droit

où est le diplôme R. 1 moins de diplôme
, ou
(division sans reste), ainsi que le quotient gauche
et reste à gauche

où est le diplôme
moins de diplôme
, ou
=0 (division sans reste).

Théorème de Bezout généralisé. Lors de la division d'un polynôme matriciel
à un polynôme
le reste droit est égal à la juste valeur du dividende
à
, c'est-à-dire matrice

et le reste gauche – à la valeur gauche du dividende
à
, c'est-à-dire matrice

Preuve. La preuve de la validité des deux formules (3.4.1) et (3.4.2) s'effectue de la même manière, par substitution directe. Prouvons-en un.

Le dividende est donc
, diviseur -
, comme quotient on a le polynôme

Définissons le produit
:

ou

Q.E.D.

Conséquence.
est divisible depuis la droite (gauche) par un polynôme
alors et seulement quand
est égal à 0.

Exemple. Montrer que le polynôme matriciel

est divisible par un polynôme matriciel
,

Où
, laissé sans reste.

Solution. En effet, l'égalité est vraie

Où

Calculons la valeur du reste gauche en utilisant le théorème de Bezout

Les matrices sont un outil pratique pour résoudre une grande variété de problèmes. problèmes algébriques. Connaissant certains règles simples car fonctionner avec eux vous permet de réduire les matrices à tout ce qui est pratique et nécessaire dans à l'heure actuelle formes. Il est souvent utile d’utiliser la forme canonique de la matrice.

Instructions

• N'oubliez pas que la forme canonique de la matrice n'exige pas qu'il y en ait sur toute la diagonale principale. L'essence de la définition est que les seuls éléments non nuls de la matrice dans sa forme canonique sont un. S'ils sont présents, ils sont situés sur la diagonale principale. De plus, leur nombre peut varier de zéro au nombre de lignes de la matrice.
• N'oubliez pas que les transformations élémentaires permettent de réduire n'importe quelle matrice au canonique esprit. La plus grande difficulté est de trouver intuitivement la séquence d'actions la plus simple et de ne pas se tromper dans les calculs.
• Apprenez les propriétés de base des opérations avec des lignes et des colonnes dans une matrice. Les transformations élémentaires comprennent trois transformations standards. Il s'agit de la multiplication d'une ligne matricielle par tout nombre non nul, de la sommation des lignes (y compris l'addition les unes aux autres, multipliées par un certain nombre) et de leur réarrangement. De telles actions permettent d'obtenir une matrice équivalente à celle-ci. Par conséquent, vous pouvez effectuer de telles opérations sur les colonnes sans perdre l'équivalence.
• Essayez de ne pas effectuer plusieurs transformations élémentaires à la fois : passez d'étape en étape pour éviter des erreurs accidentelles.
• Trouvez le rang de la matrice pour déterminer le nombre de un sur la diagonale principale : cela vous indiquera quelle sera la forme finale que vous recherchez. forme canonique, et éliminera le besoin d'effectuer des transformations si vous souhaitez simplement l'utiliser pour une solution.
• Utilisez la méthode des mineurs limitrophes pour suivre la recommandation précédente. Calculez le mineur d'ordre k, ainsi que tous les mineurs de degré environnants (k+1). S'ils sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est le nombre k. N'oubliez pas que le mineur Mij est le déterminant de la matrice obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j de celle d'origine.

On dit qu’une matrice de dimensions a canonique forme, si elle peut être divisée en quatre blocs (certains d'entre eux peuvent être vides), dont chacun est une sous-matrice d'un certain type ( sous-matrice est appelée une matrice qui fait partie de la matrice originale). Le bloc en haut à gauche est la matrice d'identité k-ème ordre, deux blocs inférieurs – matrices de dimensions et constitué de zéros (dans le diagramme, ces matrices sont indiquées par de gros zéros en gras). Bloc en haut à droite – matrice arbitraire dimensions. Nombre k> 0 et ne dépasse pas les nombres m Et n.

Si , il n'y a pas de blocs de droite, si , il n'y a pas de blocs du bas (zéro). Si , la matrice est constituée d’un bloc (unitaire).

Apportons exemples spécifiques matrices ayant une forme canonique (les points indiquent les éléments des matrices valeurs spécifiques qui ne jouent aucun rôle) :

UN) , b) , c) , d) .

Dans l'exemple a) , ( k coïncide avec le nombre de lignes), les deux sous-matrices nulles sont manquantes ; dans l'exemple b) ( k coïncide avec le nombre de colonnes), , les deux blocs de droite sont manquants, la sous-matrice zéro est une matrice de lignes ; dans l'exemple c), la première sous-matrice zéro est une matrice de lignes, la deuxième sous-matrice zéro est constituée d'un élément ; dans l'exemple d) , , .

Souvent, dans la définition d'une matrice de forme canonique, au lieu d'une sous-matrice unitaire, apparaît une sous-matrice triangulaire. Dans ce cas on parle de matrice presque canonique gentil. Puisque la matrice d’identité est cas particulier triangulaire, la matrice de forme canonique est un cas particulier de matrices de forme presque canonique. Si dans une représentation schématique d'une matrice de forme canonique, la matrice d'identité dans le bloc supérieur gauche est remplacée par une matrice triangulaire, un schéma d'une matrice de forme presque canonique sera obtenu.

Donnons des exemples de matrices qui ont une forme presque canonique :

UN) , b) , c) , G) .

Les transformations matricielles suivantes sont appelées acceptable: réarrangement des cordes ; réarrangement des colonnes; multiplier les éléments d'une ligne matricielle par le même nombre autre que zéro ; ajouter à l'une des lignes de la matrice une autre ligne, préalablement multipliée par un certain nombre (notamment soustraire une ligne à une autre et ajouter une ligne à une autre). Comme nous le verrons ci-dessous, les transformations admissibles des matrices correspondent aux actions avec les systèmes équations linéaires, qui ne violent pas l'équivalence.

En utilisant des transformations admissibles, toute matrice UN peut être réduit à une matrice ayant vue canonique.

La réduction d'une matrice à une forme canonique peut être divisée en étapes, chacune composée de deux étapes : obtenir l'unité suivante sur la diagonale principale et transformer la colonne correspondante en unité une colonne, c'est-à-dire une colonne dans laquelle tous les éléments, à l'exception de la diagonale, sont égaux à zéro.

La première étape est réalisée comme suit. Si l'élément diagonal en question égal à un, passez à la deuxième étape. Si l'élément diagonal n'est pas égal à un, mais est différent de zéro, divisez tous les éléments de sa ligne par celui-ci. Si l'élément diagonal est égal à zéro, alors on cherchera un élément non nul situé soit dans sa colonne (de l'élément diagonal), mais en dessous, soit dans sa ligne, mais à droite, soit en bas et à droite au en même temps. Si un tel élément est trouvé, nous le rendrons en diagonale en réorganisant les lignes correspondantes (dans le premier cas), ou les colonnes (dans le second), ou les lignes et colonnes tour à tour (dans le troisième). Si un tel élément n'est pas trouvé, cela signifie que le processus est terminé.

Si la première étape est terminée et que la colonne dans laquelle se trouve le nouvel élément diagonal unitaire contient un autre élément non nul, ajoutez à sa ligne la ligne de l'élément diagonal multiplié par l'élément à détruire, pris avec le signe opposé.

Considérons un exemple de réduction d'une matrice à une forme canonique.

~ ~ ~

Première diagonale Première diagonale

l'élément est nul. l'élément n'est pas nul.

~ ~ ~ ~

Première diagonale

l'élément est devenu égal à un

~ ~ ~ ~

Une matrice est un objet particulier en mathématiques. Montré dans un rectangle ou table carrée, composé de un certain nombre lignes et colonnes. En mathématiques, il existe une grande variété de types de matrices, variant en taille ou en contenu. Les numéros de ses lignes et colonnes sont appelés commandes. Ces objets sont utilisés en mathématiques pour organiser l'enregistrement de systèmes d'équations linéaires et rechercher facilement leurs résultats. Les équations utilisant une matrice sont résolues selon la méthode de Carl Gauss, Gabriel Cramer, mineurs et ajouts algébriques, ainsi que de bien d'autres manières. La compétence de base lorsque l'on travaille avec des matrices est la réduction à vue standard. Cependant, voyons d'abord quels types de matrices sont distingués par les mathématiciens.

Type nul

Toutes les composantes de ce type de matrice sont des zéros. Pendant ce temps, le nombre de lignes et de colonnes est complètement différent.

Type carré

Le nombre de colonnes et de lignes de ce type de matrice est le même. En d’autres termes, il s’agit d’une table de forme « carrée ». Le nombre de ses colonnes (ou lignes) est appelé l'ordre. Les cas particuliers incluent l'existence d'une matrice du second ordre (matrice 2x2), quatrième commande(4x4), dixième (10x10), dix-septième (17x17) et ainsi de suite.

Vecteur de colonne

C'est l'un des types de matrices les plus simples, contenant une seule colonne, qui comprend trois valeurs numériques. Elle représente une série membres gratuits(nombres indépendants des variables) dans des systèmes d'équations linéaires.

Vue similaire à la précédente. Se compose de trois éléments numériques, eux-mêmes organisés en une seule ligne.

Type diagonal

Les valeurs numériques sous forme diagonale de la matrice ne prennent que les composantes de la diagonale principale (mise en surbrillance vert). La diagonale principale commence par l'élément dans le coin supérieur droit et se termine par le numéro dans la troisième colonne de la troisième rangée. Les composants restants sont égaux à zéro. Le type diagonal n’est qu’une matrice carrée d’un certain ordre. Parmi les matrices diagonales, on peut distinguer la matrice scalaire. Tous ses composants prennent mêmes valeurs.

Un sous-type de matrice diagonale. Elle est toute entière valeurs numériques sont des unités. A l'aide d'un seul type de tableau matriciel, on effectue ses transformations de base ou on trouve une matrice inverse à celle d'origine.

Type canonique

La forme canonique de la matrice est considérée comme l'une des principales ; S'y réduire est souvent nécessaire pour le travail. Le nombre de lignes et de colonnes dans une matrice canonique varie ; type carré. Elle est quelque peu similaire à la matrice identité, mais dans son cas toutes les composantes de la diagonale principale ne prennent pas la valeur égal à un. Il peut y avoir deux ou quatre unités diagonales principales (tout dépend de la longueur et de la largeur de la matrice). Ou encore, il se peut qu'il n'y ait aucune unité (elle est alors considérée comme nulle). Les composantes restantes du type canonique, ainsi que les éléments diagonaux et unitaires, sont égaux à zéro.

Type triangulaire

L'un des types de matrices les plus importants, utilisé lors de la recherche de son déterminant et lors de l'exécution d'opérations simples. Le type triangulaire vient du type diagonal, donc la matrice est également carrée. Le type de matrice triangulaire est divisé en triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.

Dans une matrice triangulaire supérieure (Fig. 1), seuls les éléments situés au-dessus de la diagonale principale prennent une valeur égale à zéro. Les composantes de la diagonale elle-même et la partie de la matrice située en dessous contiennent des valeurs numériques.

Dans la matrice triangulaire inférieure (Fig. 2), au contraire, les éléments situés dans la partie inférieure de la matrice sont égaux à zéro.

La vue est nécessaire pour trouver le rang d'une matrice, ainsi que pour les opérations élémentaires sur celles-ci (ainsi que type triangulaire). La matrice d'étapes est ainsi nommée car elle contient des « étapes » caractéristiques de zéros (comme le montre la figure). Dans le type étape, une diagonale de zéros est formée (pas nécessairement la principale), et tous les éléments sous cette diagonale ont également des valeurs égales à zéro. Une condition préalable est la suivante : s'il y a une ligne nulle dans la matrice d'étapes, alors les lignes restantes en dessous ne contiennent pas non plus de valeurs numériques.

Nous avons donc regardé types les plus importants matrices nécessaires pour travailler avec eux. Examinons maintenant le problème de la conversion de la matrice sous la forme requise.

Réduire à la forme triangulaire

Comment donner à une matrice une forme triangulaire ? Le plus souvent dans les tâches, il faut transformer une matrice en forme triangulaire afin de trouver son déterminant, autrement appelé déterminant. Lors de l'exécution de cette procédure, il est extrêmement important de « préserver » la diagonale principale de la matrice, car le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des composantes de sa diagonale principale. Permettez-moi également de rappeler des méthodes alternatives pour trouver le déterminant. Le déterminant du type carré est trouvé à l'aide de formules spéciales. Par exemple, vous pouvez utiliser la méthode du triangle. Pour les autres matrices, la méthode de décomposition par ligne, colonne ou leurs éléments est utilisée. Vous pouvez également utiliser la méthode des mineurs et des ajouts de matrices algébriques.

Analysons en détail le processus de réduction d'une matrice à une forme triangulaire à l'aide d'exemples de certaines tâches.

Tâche 1

Il est nécessaire de trouver le déterminant de la matrice présentée en utilisant la méthode de réduction sous forme triangulaire.

La matrice qui nous est donnée est une matrice carrée du troisième ordre. Par conséquent, pour le convertir en forme triangulaire nous devons mettre à zéro deux composantes de la première colonne et une composante de la seconde.

Pour l'amener à une forme triangulaire, nous commençons la transformation à partir du coin inférieur gauche de la matrice - à partir du nombre 6. Pour le ramener à zéro, multipliez la première ligne par trois et soustrayez-la de la dernière ligne.

Important! La ligne supérieure ne change pas, mais reste la même que dans la matrice d'origine. Il n’est pas nécessaire d’écrire une chaîne quatre fois plus grande que celle d’origine. Mais les valeurs des chaînes dont les composants doivent être mis à zéro changent constamment.

Tout ce qui reste c'est dernière valeur- élément de la troisième ligne de la deuxième colonne. C'est le nombre (-1). Pour le remettre à zéro, soustrayez la seconde de la première ligne.

Vérifions :

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Cela signifie que la réponse à la tâche est -22.

Tâche 2

Il faut trouver le déterminant de la matrice en la réduisant à une forme triangulaire.

La matrice présentée appartient au type carré et est une matrice du quatrième ordre. Cela signifie qu'il est nécessaire de remettre à zéro trois composantes de la première colonne, deux composantes de la deuxième colonne et une composante de la troisième.

Commençons par le convertir à partir de l'élément situé dans le coin inférieur gauche - à partir du chiffre 4. Nous devons inverser numéro donnéà zéro. Le moyen le plus simple de procéder est de multiplier la ligne du haut par quatre, puis de la soustraire de la quatrième. Écrivons le résultat de la première étape de transformation.

Ainsi, le composant de la quatrième ligne est mis à zéro. Passons au premier élément de la troisième ligne, au chiffre 3. Nous effectuons une opération similaire. Nous multiplions la première ligne par trois, la soustrayons de la troisième ligne et notons le résultat.

Nous avons réussi à remettre à zéro toutes les composantes de la première colonne de cette matrice carrée, à l'exception du chiffre 1 - un élément de la diagonale principale qui ne nécessite pas de transformation. Il est maintenant important de conserver les zéros résultants, nous effectuerons donc les transformations avec des lignes et non avec des colonnes. Passons à la deuxième colonne de la matrice présentée.

Recommençons par le bas - avec l'élément de la deuxième colonne de la dernière ligne. Ce nombre est (-7). Cependant, dans dans ce cas Il est plus pratique de commencer par le chiffre (-1) - l'élément de la deuxième colonne de la troisième ligne. Pour le remettre à zéro, soustrayez la deuxième de la troisième ligne. Ensuite, nous multiplions la deuxième ligne par sept et la soustrayons de la quatrième. Nous avons obtenu zéro au lieu de l'élément situé dans la quatrième ligne de la deuxième colonne. Passons maintenant à la troisième colonne.

Dans cette colonne, nous devons transformer un seul nombre en zéro - 4. Ce n'est pas difficile à faire : il suffit d'ajouter à dernière ligne le troisième et nous voyons le zéro dont nous avons besoin.

Après toutes les transformations effectuées, nous avons amené la matrice proposée à une forme triangulaire. Maintenant, pour trouver son déterminant, il suffit de multiplier les éléments résultants de la diagonale principale. On obtient : detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. La solution est donc 160.

Alors maintenant, la question de réduire la matrice à une forme triangulaire ne vous dérangera plus.

Réduire à une forme étagée

Pour les opérations élémentaires sur les matrices, la forme échelonnée est moins « demandée » que la forme triangulaire. Il est le plus souvent utilisé pour trouver le rang d'une matrice (c'est-à-dire le nombre de ses lignes non nulles) ou pour déterminer des lignes linéairement dépendantes et indépendantes. Cependant, le type de matrice étagé est plus universel, car il convient non seulement au type carré, mais également à tous les autres.

Pour réduire une matrice sous forme pas à pas, vous devez d’abord trouver son déterminant. Les méthodes ci-dessus conviennent pour cela. Le but de trouver le déterminant est de savoir s’il peut être converti en une matrice à étapes. Si le déterminant est supérieur ou inférieur à zéro, vous pouvez alors commencer la tâche en toute sécurité. S'il est égal à zéro, il ne sera pas possible de réduire la matrice à une forme pas à pas. Dans ce cas, vous devez vérifier s'il y a des erreurs dans l'enregistrement ou dans les transformations matricielles. S’il n’y a pas de telles inexactitudes, la tâche ne peut pas être résolue.

Voyons comment réduire une matrice sous une forme étape par étape à l'aide d'exemples de plusieurs tâches.

Tâche 1. Trouvez le rang du tableau matriciel donné.

Devant nous matrice carrée troisième ordre (3x3). Nous savons que pour trouver le rang, il faut le réduire à une forme pas à pas. Il faut donc d’abord trouver le déterminant de la matrice. Utilisons la méthode du triangle : detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Déterminant = 12. Il supérieur à zéro, ce qui signifie que la matrice peut être réduite à une forme pas à pas. Commençons par le transformer.

Commençons par l'élément de la colonne de gauche de la troisième ligne - le chiffre 2. Multipliez la ligne du haut par deux et soustrayez-la de la troisième. Grâce à cette opération, l'élément dont nous avons besoin et le chiffre 4 - l'élément de la deuxième colonne de la troisième ligne - sont devenus zéro.

Nous constatons qu'à la suite de la réduction, matrice triangulaire. Dans notre cas, nous ne pouvons pas poursuivre la transformation, puisque les composantes restantes ne peuvent pas être réduites à zéro.

Cela signifie que nous concluons que le nombre de lignes contenant des valeurs numériques dans cette matrice (ou son rang) est de 3. La réponse à la tâche : 3.

Tâche 2. Déterminez le nombre de lignes linéairement indépendantes de cette matrice.

Nous devons trouver des chaînes qui ne peuvent être converties à zéro par aucune transformation. En fait, il faut trouver le nombre de lignes non nulles, ou le rang de la matrice présentée. Pour ce faire, simplifions-le.

On voit une matrice qui n'appartient pas au type carré. Il mesure 3x4. Commençons également la réduction par l'élément du coin inférieur gauche - le chiffre (-1).

Ses transformations ultérieures sont impossibles. Cela signifie que nous concluons que le nombre de lignes linéairement indépendantes et la réponse à la tâche sont 3.

Désormais, réduire la matrice à une forme échelonnée n’est pas une tâche impossible pour vous.

À l'aide d'exemples de ces tâches, nous avons examiné la réduction d'une matrice à une forme triangulaire et à une forme étagée. Pour le rendre nul valeurs requises tableaux matriciels, dans dans certains cas vous devez utiliser votre imagination et convertir correctement leurs colonnes ou lignes. Bonne chance en mathématiques et dans le travail avec les matrices !