Formule pour calculer la somme des angles. Polygone régulier

Type de cours : cours pratique, cours combiné.

Objectifs de la leçon :

1. Dériver une formule exprimant la somme des angles d'un polygone convexe

2. Développement pensée logique et attention

3. Favoriser une culture du travail mental

Équipement: tableau « Somme des angles d'un polygone convexe », classeur en géométrie, ensemble de modèles polygones convexes.

Technologies utilisées : éléments de technologie pensée critique, technologies permettant d'économiser la santé, technologie d'apprentissage par problèmes.

Progression de la leçon :

je . Début émotionnel de la leçon :

Bonjour les gars. Bonjour, invités. Les gars, regardez-moi. Je suis inquiet, et toi ? Quelle est ton humeur ? Soutenons-nous les uns les autres, sourions-nous, et je suis sûr que nous surmonterons toutes les difficultés ensemble, nous pouvons y parvenir.

À votre avis, sur quoi portera la leçon d’aujourd’hui ? Êtes-vous perdu ? Nous ne formulerons pas le sujet de notre leçon pour l'instant ; nous y reviendrons plus tard, au cours du travail.

II . Actualisation des connaissances :

Dictée mathématique (frontale) suivie d'un test au dos du tableau. L'élève travaille au dos du tableau.

Le but de cette tâche : répéter tout informations nécessaires pour la suite des travaux.

Type de test : mutuel ou autotest, au choix des étudiants.

L'enseignant vérifie 2 à 3 ouvrages au choix des élèves. Le score est basé sur le nombre de bonnes réponses.

Dictée :

1 Polygone avecnles sommets sont appelés... (n-carré).

2. Un segment reliant deux quelconques non sommets voisins, s'appelle... (la diagonale du polygone).

3. Si un polygone se trouve d'un côté de chaque droite passant par ses deux sommets voisins, alors il est appelé... (convexe).

4. Deux sommets d'un quadrilatère qui ne sont pas adjacents sont appelés... (ci-contre).

5. Quel est le montant ? mesures de degré tous les angles d'un triangle ?.. (180°).

Résultats: conceptn-gon, ses diagonales, un polygone convexe, ses sommets opposés, la somme des mesures en degrés de tous les angles d'un triangle que nous utiliserons à la prochaine étape de notre leçon, en effectuant des travaux de laboratoire.

III . Apprendre du nouveau matériel :

Travail en laboratoire (en binôme).

Objectif du travail : dériver expérimentalement une formule exprimant la somme des angles d’un polygone convexe.

Conseils d'utilisation :

1. Construisez trois polygones convexes.

2. Dessinez des diagonales à partir d'un sommet.

3. Comparez le nombre de côtés du polygone avec le nombre de triangles résultants.

4. Exprimez la somme des angles de chaque polygone en fonction de la somme des angles du triangle.

Noter les résultats dans un tableau (plusieurs élèves écrivent leurs résultats au tableau)

Est-il possible de formuler le sujet de la leçon maintenant ?

- Thème : « Somme des angles d'un polygone convexe »

5. Formuler une hypothèse : « La somme des angles d'un convexen-gon est égal à (n-2) ٠ 180°"

Confirmons cette hypothèse en lisant la dérivation de la formule à la page 99 du manuel. Écrivons la formule dans un cahier. Les étudiants évaluent leurs résultats travail de laboratoire selon un système en cinq points.

IV . Pause santé.

Cible: prévenir la fatigue, préserver la santé des élèves en reliant des exercices avec des éléments inclus dans le thème du cours (avec des angles de différents types).

Les enfants sont assis à un bureau. Invitez-les à s’asseoir à un angle de 90°.

Les gars, levez-vous. Utilisez vos mains pour dessiner un grand angle. Levage main droite, montre un angle droit. Faites de même en soulevant main gauche. Puis alternativement faire semblant d'être stupide et ensuite coins pointus. Asseyez-vous.

V . Consolidation du matériel étudié.

Cible: apprendre aux élèves à résoudre une ligne droite et problème inverse, en appliquant la formule de la somme des angles d'un polygone convexe.

Résolution de problèmes

1. Travaillez dans des classeurs. (L'un des élèves lit à haute voix le problème et sa solution, en comblant les lacunes, les autres surveillent attentivement son travail. Si un élève fait une erreur, la classe la corrige.)

Tâche n°4. En utilisant la formule (n-2) 180°, trouver la somme des angles convexes :

a) décagone

b) triangle à vingt-deux côtés

Réponse : a) 1620°, b) 3600°

2. Décider par écrit n° 365 (c). Combien de côtés possède un polygone convexe, chaque angle mesurant 120° ?

L'un des élèves est appelé au tableau pour résoudre le problème, les autres travaillent dans leurs cahiers.

Solution : somme des angles d'un convexen-gon est 180°٠ ( n-2). Donc 180°٠ ( n-2)=120°٠ n

D'ici : 180°٠ n-360°=120°٠ n, 60°٠ n=360°,n=6.

Réponse : 6 côtés.

Questions directrices :

Quelle est la somme des angles d'un convexen-carré?

Une autre façon de calculer la somme des angles d'un convexen-gon, si chacun de sesndes angles égaux à 120° ?

Comment trouver le nombre de côtés d’un tel polygone ?

VI . Travail indépendant

Cible: vérifier le niveau de maîtrise du sujet

Tâche 1.

À l'aide de la formule, trouvez la somme des angles du convexencarré

Option 1 Option 2

n=12. Réponse : 1800°n=32. Réponse : 5400°

Tâche 2.

Combien de côtés possède un polygone convexe dont chaque angle est égal à :

Option 1 Option 2

90°. Réponse : Quatre 60° Réponse : Trois

Plusieurs élèves de chaque option notent leurs réponses au dos du tableau, l'enseignant vérifie, le reste des élèves réalise des auto-évaluations ou des examens mutuels de leur choix.

Devoirs:

Cible: Renforcer les compétences des élèves à résoudre des problèmes en utilisant la formule de la somme des angles d'un polygone convexe.

1. Point 40 à la page 99, question 3 à la page 114 ;

2. Résoudre les problèmes n° 364 (c), 365 (d).

VII . Résumé de la leçon :

1. Compiler un syncwine.

2. Donner des notes (moyenne arithmétique : dictée, l/r, s/r).

3. Commenter les devoirs.

4. Remise des cahiers par les étudiants.

Vin de gouffre

Polygones

convexe,n-charbon

On construit, on casse, on calcule

Somme des angles convexesn-gon est égal à (n-2) 180°

Formule

En 8e, lors des cours de géométrie à l'école, les élèves sont d'abord initiés à la notion de polygone convexe. Très vite, ils apprendront que ce chiffre a une très grande importance. propriété intéressante. Aussi complexe soit-elle, la somme de tous les angles internes et externes d'un polygone convexe prend une valeur strictement définie. Dans cet article, un professeur de mathématiques et de physique explique à quoi équivaut la somme des angles d’un polygone convexe.

Somme des angles intérieurs d'un polygone convexe

Comment prouver cette formule ?

Avant de passer à la preuve de cet énoncé, rappelons quel polygone est dit convexe. Un polygone convexe est un polygone qui s'étend entièrement sur un côté d'une ligne contenant l'un de ses côtés. Par exemple, celui montré sur cette figure :

Si le polygone ne satisfait pas condition spécifiée, alors on l'appelle non convexe. Par exemple, comme ceci :

La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe est égale à , où est le nombre de côtés du polygone.

La preuve de ce fait repose sur le théorème de la somme des angles dans un triangle, bien connu de tous les écoliers. Je suis sûr que ce théorème vous est également familier. La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à .

L'idée est de diviser un polygone convexe en plusieurs triangles. Cela peut être fait de différentes manières. Selon la méthode que nous choisirons, les preuves seront légèrement différentes.

1. Divisez un polygone convexe en triangles en utilisant toutes les diagonales possibles tirées d'un sommet. Il est facile de comprendre qu'alors notre n-gon sera divisé en triangles :

De plus, la somme de tous les angles de tous les triangles résultants est égale à la somme des angles de notre n-gon. Après tout, chaque angle dans les triangles résultants est un angle partiel dans notre polygone convexe. Autrement dit, le montant requis est égal à .

2. Vous pouvez également sélectionner un point à l'intérieur du polygone convexe et le connecter à tous les sommets. Ensuite notre n-gon sera divisé en triangles :

De plus, la somme des angles de notre polygone sera dans ce cas égale à la somme de tous les angles de tous ces triangles moins angle central, qui est égal à . Autrement dit, le montant requis est à nouveau égal à .

Somme des angles extérieurs d'un polygone convexe

Posons-nous maintenant la question : « Quelle est la somme des angles extérieurs d’un polygone convexe ? On peut répondre à cette question comme suit. Chaque coin externe est adjacent au coin interne correspondant. Il est donc égal à :

Alors la somme de tous les angles externes est égale à . Autrement dit, c'est égal.

C'est-à-dire qu'un résultat très amusant est obtenu. Si nous traçons séquentiellement tous les angles externes d’un n-gone convexe les uns après les autres, alors le résultat sera exactement le plan entier.

Ce fait intéressant peut être illustré comme suit. Réduisons proportionnellement tous les côtés d'un polygone convexe jusqu'à ce qu'il fusionne en un point. Après cela, tous les angles externes seront écartés les uns des autres et rempliront ainsi tout le plan.

Fait intéressant, n'est-ce pas ? Et il existe de nombreux faits de ce type en géométrie. Alors apprenez la géométrie, chers écoliers !

Le matériel sur ce à quoi est égale la somme des angles d'un polygone convexe a été préparé par Sergey Valerievich

Triangle, carré, hexagone – ces chiffres sont connus de presque tout le monde. Mais voici ce que c'est polygone régulier, tout le monde ne le sait pas. Mais ce sont tous pareils. Un polygone régulier est un polygone qui a des angles et des côtés égaux. Il existe de nombreux chiffres de ce type, mais ils ont tous propriétés identiques, et les mêmes formules s’appliquent à eux.

Propriétés des polygones réguliers

Tout polygone régulier, qu'il s'agisse d'un carré ou d'un octogone, peut s'inscrire dans un cercle. Cette propriété de base est souvent utilisée lors de la construction d’une figure. De plus, un cercle peut s'inscrire dans un polygone. Dans ce cas, le nombre de points de contact sera égal au nombre de ses côtés. Il est important qu'un cercle inscrit dans un polygone régulier ait centre commun. Ces figures géométriques sont soumises aux mêmes théorèmes. Tout côté d'un n-gone régulier est lié au rayon R du cercle qui l'entoure. Par conséquent, il peut être calculé en utilisant. la formule suivante: a = 2R ∙ sin180°. Grâce à vous, vous pouvez trouver non seulement les côtés, mais aussi le périmètre du polygone.

Comment trouver le nombre de côtés d'un polygone régulier

Chacun est constitué d'un certain nombre de segments égaux les uns aux autres, qui, une fois connectés, forment une ligne fermée. Dans ce cas, tous les angles de la figure résultante ont même valeur. Les polygones sont divisés en simples et complexes. Le premier groupe comprend un triangle et un carré. Les polygones complexes ont plus grand nombre côtés Ceux-ci incluent également des figures en forme d'étoile. Pour les polygones réguliers complexes, les côtés se trouvent en les inscrivant dans un cercle. Donnons-en une preuve. Dessine un polygone régulier avec n'importe quel numéro côtés n. Tracez un cercle autour. Définissez le rayon R. Imaginez maintenant que l'on vous donne du n-gon. Si les points de ses angles se trouvent sur le cercle et sont égaux les uns aux autres, alors les côtés peuvent être trouvés à l'aide de la formule : a = 2R ∙ sinα : 2.

Trouver le nombre de côtés d'un triangle régulier inscrit

Un triangle équilatéral est un polygone régulier. Les mêmes formules s'y appliquent qu'à un carré et à un n-gon. Un triangle sera considéré comme régulier si ses côtés sont de même longueur. Dans ce cas, les angles sont de 60⁰. Construisons un triangle avec une longueur de côté donnée a. Connaissant sa médiane et sa hauteur, vous pourrez connaître la valeur de ses côtés. Pour ce faire, nous utiliserons la méthode de recherche par la formule a = x : cosα, où x est la médiane ou la hauteur. Puisque tous les côtés du triangle sont égaux, nous obtenons a = b = c. Alors ce sera vrai déclaration suivante a = b = c = x : cosα. De même, vous pouvez trouver la valeur des côtés dans un triangle isocèle, mais x sera la hauteur donnée. Dans ce cas, il doit être projeté strictement sur la base de la figure. Donc, connaissant la hauteur x, on trouve le côté a triangle isocèle selon la formule a = b = x : cosα. Après avoir trouvé la valeur de a, vous pouvez calculer la longueur de la base c. Appliquons le théorème de Pythagore. On cherchera la valeur de la moitié de la base c : 2=√(x : cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Alors c = 2xtanα. De cette manière simple, vous pouvez trouver le nombre de côtés de n’importe quel polygone inscrit.

Calculer les côtés d'un carré inscrit dans un cercle

Comme tout autre polygone régulier inscrit, un carré a côtés égaux et les coins. Les mêmes formules s'y appliquent qu'à un triangle. Vous pouvez calculer les côtés d'un carré en utilisant la valeur diagonale. Considérons cette méthode plus en détail. On sait qu’une diagonale divise un angle en deux. Initialement, sa valeur était de 90 degrés. Ainsi, après division, deux sont formés. Leurs angles à la base seront égaux à 45 degrés. En conséquence, chaque côté du carré sera égal, c'est-à-dire : a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2 : 2, où e est la diagonale du carré, ou la base du triangle rectangle formé après division. Ce n'est pas le seul moyen trouver les côtés d'un carré. Inscrivons ce chiffre dans un cercle. Connaissant le rayon de ce cercle R, on trouve le côté du carré. Nous le calculerons comme suit : a4 = R√2. Les rayons des polygones réguliers sont calculés à l'aide de la formule R = a : 2tg (360 o : 2n), où a est la longueur du côté.

Comment calculer le périmètre d'un n-gon

Le périmètre d’un n-gone est la somme de tous ses côtés. C'est facile à calculer. Pour ce faire, vous devez connaître la signification de tous les côtés. Pour certains types de polygones, il existe des formules spéciales. Ils permettent de trouver le périmètre beaucoup plus rapidement. On sait que tout polygone régulier a des côtés égaux. Ainsi, pour calculer son périmètre, il suffit d’en connaître au moins un. La formule dépendra du nombre de côtés de la figure. En général, cela ressemble à ceci : P = an, où a est la valeur du côté et n est le nombre d'angles. Par exemple, pour trouver le périmètre d'un octogone régulier de 3 cm de côté, il faut le multiplier par 8, soit P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pour un hexagone de 5 cm de côté, on calcule. comme suit : P = 5 ∙ 6 = 30 cm Et ainsi pour chaque polygone.

Trouver le périmètre d'un parallélogramme, d'un carré et d'un losange

En fonction du nombre de côtés d'un polygone régulier, son périmètre est calculé. Cela rend la tâche beaucoup plus facile. En effet, contrairement à d’autres figures, dans ce cas vous n’avez pas besoin de chercher toutes ses faces, une seule suffit. En utilisant le même principe, on trouve le périmètre des quadrilatères, c'est-à-dire un carré et un losange. Malgré le fait que cela différents chiffres, leur formule est une P = 4a, où a est le côté. Donnons un exemple. Si le côté d'un losange ou d'un carré mesure 6 cm, alors on trouve le périmètre comme suit : P = 4 ∙ 6 = 24 cm Pour un parallélogramme, seulement. côtés opposés. Son périmètre est donc déterminé à l’aide d’une méthode différente. Nous devons donc connaître la longueur a et la largeur b de la figure. Ensuite, nous appliquons la formule P = (a + b) ∙ 2. Un parallélogramme dans lequel tous les côtés et angles entre eux sont égaux est appelé un losange.

Trouver le périmètre d'un triangle équilatéral et rectangle

Le périmètre du bon peut être trouvé à l'aide de la formule P = 3a, où a est la longueur du côté. S'il est inconnu, il peut être trouvé par le terre-plein central. DANS triangle rectangle valeur égale n'ont que deux côtés. La base peut être trouvée grâce au théorème de Pythagore. Une fois les valeurs des trois côtés connues, nous calculons le périmètre. Il peut être trouvé en utilisant la formule P = a + b + c, où a et b sont des côtés égaux et c est la base. Rappelons que dans un triangle isocèle a = b = a, ce qui signifie a + b = 2a, alors P = 2a + c. Par exemple, le côté d'un triangle isocèle mesure 4 cm, trouvons sa base et son périmètre. On calcule la valeur de l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore avec = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Calculons maintenant le périmètre P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Comment trouver les angles d'un polygone régulier

Un polygone régulier apparaît quotidiennement dans nos vies, par exemple un carré régulier, un triangle, un octogone. Il semblerait qu'il n'y ait rien de plus simple que de construire cette figurine soi-même. Mais ce n'est simple qu'à première vue. Afin de construire un n-gone, vous devez connaître la valeur de ses angles. Mais comment les trouver ? Même les anciens scientifiques ont essayé de construire des polygones réguliers. Ils ont compris comment les placer en cercles. Et puis ils l'ont marqué points nécessaires, les reliait par des lignes droites. Pour chiffres simples le problème de la construction a été résolu. Des formules et des théorèmes ont été obtenus. Par exemple, Euclide, dans son célèbre ouvrage « Inception », traitait de la résolution de problèmes pour 3, 4, 5, 6 et 15 gons. Il a trouvé des moyens de les construire et de trouver des angles. Voyons comment procéder pour un 15-gon. Vous devez d’abord calculer la somme de ses angles intérieurs. Il faut utiliser la formule S = 180⁰(n-2). Ainsi, on nous donne un 15-gon, ce qui signifie que le nombre n est 15. Nous substituons les données que nous connaissons dans la formule et obtenons S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Nous avons trouvé la somme de tous les angles intérieurs d'un 15-gon. Vous devez maintenant obtenir la valeur de chacun d’eux. Il y a 15 angles au total. On fait le calcul 2340⁰ : 15 = 156⁰. Alors tout le monde coin interne est égal à 156⁰, maintenant en utilisant une règle et un compas, vous pouvez construire un 15-gon ordinaire. Mais qu’en est-il des n-gones plus complexes ? Pendant des siècles, les scientifiques ont lutté pour résoudre ce problème. Il n'a été découvert qu'au XVIIIe siècle par Carl Friedrich Gauss. Il a pu construire un 65537-gon. Depuis, le problème est officiellement considéré comme complètement résolu.

Calcul des angles des n-gones en radians

Bien entendu, il existe plusieurs façons de trouver les angles des polygones. Le plus souvent, ils sont calculés en degrés. Mais ils peuvent aussi être exprimés en radians. Comment faire cela ? Vous devez procéder comme suit. Tout d'abord, nous trouvons le nombre de côtés d'un polygone régulier, puis en soustrayons 2. Cela signifie que nous obtenons la valeur : n - 2. Multipliez la différence trouvée par le nombre n (« pi » = 3,14). Il ne reste plus qu'à diviser le produit obtenu par le nombre d'angles du n-gone. Considérons ces calculs en utilisant le même décagone comme exemple. Ainsi, le nombre n est 15. Appliquons la formule S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13 : 15 = 2,72. Bien entendu, ce n’est pas la seule façon de calculer un angle en radians. Vous pouvez simplement diviser la taille de l’angle en degrés par 57,3. Après tout, c’est le nombre de degrés équivalents à un radian.

Calcul des angles en degrés

En plus des degrés et des radians, vous pouvez essayer de trouver les angles d'un polygone régulier en degrés. Cela se fait comme suit. Depuis nombre total angles, soustrayez 2, divisez la différence résultante par le nombre de côtés d'un polygone régulier. Nous multiplions le résultat trouvé par 200. À propos, une unité de mesure d'angles telle que les degrés n'est pratiquement pas utilisée.

Calcul des angles externes des n-gones

Pour tout polygone régulier, en plus du polygone interne, vous pouvez également calculer l'angle externe. Sa valeur se trouve de la même manière que pour les autres chiffres. Ainsi, pour trouver l’angle externe d’un polygone régulier, vous devez connaître la valeur de l’angle interne. De plus, on sait que la somme de ces deux angles est toujours égale à 180 degrés. Par conséquent, nous effectuons les calculs comme suit : 180⁰ moins la valeur de l'angle interne. Nous trouvons la différence. Il sera égal à la valeur de l'angle qui lui est adjacent. Par exemple, l'angle interne d'un carré est de 90 degrés, ce qui signifie que l'angle externe sera de 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Comme nous pouvons le constater, ce n’est pas difficile à trouver. Coin extérieur peut prendre une valeur de +180⁰ à respectivement -180⁰.