L'une des classes de fonctions les plus importantes, dont les intégrales sont exprimées par fonctions élémentaires, est une classe de fonctions rationnelles.

Définition 1. Fonction de la forme où
- polynômes de degrésnEtmdit rationnel. Entier fonction rationnelle, c'est-à-dire polynôme, intègre directement. L'intégrale d'une fonction fractionnaire-rationnelle peut être trouvée en la décomposant en termes, qui sont convertis de manière standard en intégrales tabulaires principales.

Définition 2. Fraction
est dit correct si le degré du numérateurnmoins pouvoirs du dénominateur m.

Une fraction dans laquelle le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur est dite impropre. Toute fraction impropre peut être représentée comme la somme d'un polynôme et fraction propre

. Cela se fait en divisant un polynôme par un polynôme, comme on divise des nombres.

Exemple.
Imaginons une fraction

comme somme d'un polynôme et d'une fraction propre :

3

3

3

x-1
Premier mandat
dans le quotient, il est obtenu en divisant le terme principal , divisé par le terme principal X
diviseur Puis on multiplie par diviseur x-1

et le résultat obtenu est soustrait du dividende ; Les termes restants du quotient incomplet se trouvent de la même manière.

Après avoir divisé les polynômes, on obtient :

Cette action s'appelle sélectionner une pièce entière.

Définition 3. Les fractions les plus simples sont des fractions rationnelles propres des types suivants :

JE.
II.

(K=2, 3, …).
III.

où est le trinôme carré
IV.
où K=2, 3,… ; trinôme quadratique

n'a pas de véritables racines.
a) développer le dénominateur
en facteurs réels les plus simples (selon le théorème fondamental de l'algèbre, cette expansion peut contenir des binômes linéaires de la forme
et trinômes quadratiques

, n'ayant pas de racines);
b) écrire un diagramme de la décomposition d'une fraction donnée en la somme de fractions simples. De plus, chaque facteur de la forme correspond k

composants de types I et II :
à chaque facteur de la forme

. Cela se fait en divisant un polynôme par un polynôme, comme on divise des nombres.

correspond aux termes des types III et IV :
Notez le schéma d'expansion des fractions

à la somme des plus simples.

c) effectuer l'addition des fractions les plus simples obtenues.
Notez l'égalité des numérateurs des fractions résultantes et originales ;

e) substituer les valeurs trouvées des coefficients dans le schéma de décomposition.

L'intégration de toute fraction rationnelle propre après décomposition dans ses termes les plus simples se réduit à trouver des intégrales de l'un des types :

(correspond Et e =2, 3, …).

Calcul de l'intégrale se réduit à la formule III :

intégral - à la formule II :

intégral peut être trouvé par la règle spécifiée dans la théorie de l'intégration des fonctions contenant un trinôme quadratique ; - à travers les transformations présentées ci-dessous dans l'exemple 4.

Exemple 1.

a) factoriser le dénominateur :

b) écrire un diagramme pour décomposer l'intégrande en termes :

c) effectuer l'addition de fractions simples :

Écrivons l'égalité des numérateurs des fractions :

d) il existe deux méthodes pour trouver les coefficients inconnus A, B, C.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux degrés égaux , divisé par le terme principal, afin que vous puissiez créer le système d’équations correspondant. C'est l'une des méthodes de résolution.

Coefficients à

membres libres (coefficient à ):4A=8.

Après avoir résolu le système, on obtient A=2, B=1, C= - 10.

Une autre méthode - les valeurs privées - sera abordée dans l'exemple suivant ;

e) substituer les valeurs trouvées dans le schéma de décomposition :

En substituant la somme résultante sous le signe intégral et en intégrant chaque terme séparément, on trouve :

Exemple 2.

L'identité est une égalité qui est valable pour toutes les valeurs des inconnues qu'elle contient. Basé sur ceci méthode de la valeur privée. , divisé par le terme principal Peut être donné

toutes les valeurs. Il est plus pratique pour les calculs de prendre les valeurs qui font disparaître tous les termes du côté droit de l'égalité. Laisser x = 0 . Alors 1 = UN 0(0+2)+V (0-1)(0+2).

0 (0-1)+С De même pour x = - 2 nous avons 1= - 2V*(-3 ), à x = 1 nous avons.

1 = 3A

Ainsi,

Exemple 3.

toutes les valeurs. Il est plus pratique pour les calculs de prendre les valeurs qui font disparaître tous les termes du côté droit de l'égalité. Laisser d) nous utilisons d’abord la méthode des valeurs partielles. . Alors , Alors.

1, A = 1 À x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = -B(1+1+1) ou, 6 = - 3V.

B = - 2 , divisé par le terme principal Pour trouver les coefficients C et D, vous devez créer deux autres équations. Pour cela, vous pouvez prendre n'importe quelle autre valeur , Par exemple x = 1 Et x = 2 , divisé par le terme principal. Vous pouvez utiliser la première méthode, c'est-à-dire coefficients égaux à des puissances identiques , par exemple quand

Et.Nous obtenons

1 = A+B+C et 4 = C + D, - DANS. Connaissance A = 1, . = 0 .

B = -2

, nous trouverons C = 2 Ainsi, les deux méthodes peuvent être combinées lors du calcul des coefficients. Dernière intégrale

nous trouvons séparément selon la règle spécifiée dans la méthode de spécification d'une nouvelle variable.
Soulignons
carré parfait

=

au dénominateur :

disons

Alors

On obtient :

En substituant à l'égalité précédente, on trouve

Exemple 4.

Transformons la première intégrale en formule III :

Transformons la deuxième intégrale en formule II :

Dans la troisième intégrale on remplace la variable :

(Lors de l'exécution des transformations, nous avons utilisé la formule trigonométrique

Trouvez les intégrales :

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Questions d'auto-test.

Lesquelles de ces fractions rationnelles sont correctes :

2. Le schéma permettant de décomposer une fraction en une somme de fractions simples est-il écrit correctement ?

Nous présentons ici solutions détaillées trois exemples d'intégration des fractions rationnelles suivantes :
, , .

Exemple 1

Calculez l'intégrale :
.

Solution

Ici sous le signe intégral il y a une fonction rationnelle, puisque intégrande est une fraction de polynômes. Degré polynomial dénominateur ( 3 ) est inférieur au degré du polynôme numérateur ( 4 ). Par conséquent, vous devez d’abord sélectionner toute la partie de la fraction.

1. Sélectionnons toute la partie de la fraction. Diviser x 4 par x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

D'ici
.

2. Factorisons le dénominateur de la fraction. Pour ce faire, vous devez résoudre l'équation cubique :
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Remplaçons x = 1 :
.

1 . 1 :

D'ici
.
Diviser par x - Décidons.
.
équation quadratique
Les racines de l'équation sont : , .
.

3. Alors

.

Décomposons la fraction sous sa forme la plus simple.
.
Nous avons donc trouvé :

Intégrons.

Répondre

Calculez l'intégrale :
.

Solution

Exemple 2 Ici le numérateur de la fraction est un polynôme de degré zéro ( 1 = x0 0 < 3 ). Le dénominateur est un polynôme du troisième degré. Parce que

1. , alors la fraction est correcte. Décomposons-le en fractions simples.
.
Factorisons le dénominateur de la fraction. Pour ce faire, vous devez résoudre l’équation du troisième degré : Supposons qu'il en ait au moins un racine entière 3 . Alors c'est un diviseur du nombre
1, 3, -1, -3 .
Remplaçons x = 1 :
.

(membre sans x). C'est-à-dire que la racine entière peut être l'un des nombres : 1 Nous avons donc trouvé une racine x = . Diviser x 1 :

3 + 2x-3
.

sur x -
Donc, Résoudre l'équation quadratique :.
x 2 + x + 3 = 0 Trouver le discriminant : D =< 0 1 2 - 4 3 = -11
.

2.
.
.:
(2.1) .
Remplaçons x = 1 Depuis D 1 = 0 ,
.

, alors l'équation n'a pas de vraies racines. Ainsi, nous avons obtenu la factorisation du dénominateur : (2.1) (x - 1)(x 2 + x + 3) 0 :
.;
.

Alors x - (2.1) Remplaçons 2 :
;
X =;
.

.

3. Nous avons donc trouvé :
(2.2) .
1 = 3A-C

;
;
.

Égalons à 2 .


.
coefficients pour x Résoudre l'équation quadratique : 0 = A + B Pour calculer la deuxième intégrale, on sélectionne la dérivée du dénominateur au numérateur et on réduit le dénominateur à la somme des carrés. Calculer je

Puisque l'équation x (2.2) :
.

Intégrons.

n'a pas de vraies racines, alors x

Calculez l'intégrale :
.

Solution

2 + x + 3 > 0 3 . 4 Le signe du module peut donc être omis. 3 < 4 Nous livrons à

1. Factorisons le dénominateur de la fraction. Pour ce faire, vous devez résoudre l’équation du quatrième degré :
.
Supposons qu'il possède au moins une racine entière. Alors c'est un diviseur du nombre 2 . Alors c'est un diviseur du nombre
1, 2, -1, -2 .
Remplaçons x = -1 :
.

(membre sans x). C'est-à-dire que la racine entière peut être l'un des nombres : -1 . (-1) = x + 1:


3 + 2x-3
.

Il nous faut maintenant résoudre l’équation du troisième degré :
.
Si nous supposons que cette équation a une racine entière, alors c'est un diviseur du nombre 2 . Alors c'est un diviseur du nombre
1, 2, -1, -2 .
Remplaçons x = -1 :
.

Nous avons donc trouvé une autre racine x = -1 .
.

Il serait possible, comme dans le cas précédent, de diviser le polynôme par , mais on regroupera les termes : 2 + 2 = 0 Puisque l'équation x
.

2. n'a pas de vraies racines, alors on obtient la factorisation du dénominateur :
.
Décomposons la fraction sous sa forme la plus simple. Nous recherchons une extension sous la forme : On se débarrasse du dénominateur de la fraction, on multiplie par:
(3.1) .
Remplaçons x = -1 (x + 1) 2 (x 2 + 2) 1 = 0 ,
.

. (3.1) :

;

.
Remplaçons x = -1 Alors x + 1 = 0 :
;
; .

, alors l'équation n'a pas de vraies racines. Ainsi, nous avons obtenu la factorisation du dénominateur : (3.1) (x - 1)(x 2 + x + 3) 0 :
Différencions;
.

Alors x - (3.1) Remplaçons 3 :
;
et prendre en compte que x +;
.

0 = 2 A + 2 B + D
.

3. Nous avons donc trouvé :


.

1 = B + C
Nous avons donc trouvé la décomposition en fractions simples : Intégration d'une fonction fractionnaire-rationnelle.

Méthode coefficients incertains.

Nous continuons à travailler sur l'intégration des fractions. Nous avons déjà examiné les intégrales de certains types de fractions dans la leçon, et cette leçon, dans un certain sens, peut être considérée comme une continuation. Pour bien comprendre le matériel, des compétences de base en intégration sont requises, donc si vous venez de commencer à étudier les intégrales, c'est-à-dire que vous êtes débutant, vous devez alors commencer par l'article Intégrale indéfinie. Exemples de solutions Curieusement, nous ne nous intéresserons plus tant à la recherche d'intégrales, mais... à la résolution de systèmes équations linéaires. À cet égard

instamment Je recommande d'assister au cours. À savoir, vous devez bien connaître les méthodes de substitution (méthode « l'école » et la méthode d'addition (soustraction) terme par terme des équations système). Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle fractionnaire ? En mots simples.

, une fonction fractionnaire-rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes ou des produits de polynômes. De plus, les fractions sont plus sophistiquées que celles évoquées dans l'article

Intégrer certaines fractions Intégrer une fonction fractionnaire-rationnelle appropriée Immédiatement un exemple et

algorithme standard

solutions à l’intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire. Exemple 1 Étape 1.: La première chose que nous faisons TOUJOURS lors de la résolution de l’intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire est de découvrir prochaine question la fraction est-elle correcte ?

Cette étape se fait oralement, et maintenant je vais vous expliquer comment : Nous regardons d'abord le numérateur et découvrons

diplôme supérieur

polynôme: se fait oralement, et maintenant je vais vous expliquer comment : La puissance principale du numérateur est deux. Maintenant, regardons le dénominateur et découvrons, mais vous pouvez le faire plus facilement, en chaque trouver le diplôme le plus élevé entre parenthèses

et multipliez mentalement : - ainsi, le degré le plus élevé du dénominateur est égal à trois. Il est bien évident que si nous ouvrons effectivement les parenthèses, nous n’obtiendrons pas un degré supérieur à trois.

Conclusion: Degré majeur du numérateur STRICTEMENT est inférieur à la puissance la plus élevée du dénominateur, ce qui signifie que la fraction est propre.

Si dans dans cet exemple le numérateur contenait le polynôme 3, 4, 5, etc. degrés, alors la fraction serait faux.

Nous ne considérerons maintenant que les fonctions rationnelles fractionnaires correctes. Nous examinerons le cas où le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur à la fin de la leçon.

Étape 2. Factorisons le dénominateur. Regardons notre dénominateur :

D’une manière générale, cela est déjà le produit de facteurs, mais nous nous demandons néanmoins : est-il possible d’étendre autre chose ? L'objet de la torture sera sans aucun doute le trinôme carré. Résoudre l'équation quadratique :

Discriminant supérieur à zéro, ce qui signifie que le trinôme peut réellement être factorisé :

Règle générale: TOUT ce qui peut être pris en compte dans le dénominateur - nous le prenons en compte

Commençons par formuler une solution :

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions simples (élémentaires). Maintenant, ce sera plus clair.

Regardons notre fonction intégrande :

Et, vous savez, d'une manière ou d'une autre, une pensée intuitive surgit selon laquelle ce serait bien d'avoir notre grande fraction se transformer en plusieurs petits. Par exemple, comme ceci :

La question se pose : est-il même possible de faire cela ? Poussons un soupir de soulagement, le théorème correspondant analyse mathématique affirme - C'EST POSSIBLE. Une telle décomposition existe et est unique.

Il n'y a qu'un seul piège, les chances sont Au revoir Nous ne le savons pas, d’où le nom – la méthode des coefficients indéfinis.

Comme vous l’avez deviné, les mouvements ultérieurs du corps sont comme ça, ne ricanez pas ! visera simplement à les RECONNAÎTRE - à découvrir à quoi ils sont égaux.

Attention, je ne vous expliquerai en détail qu'une seule fois !

Alors, commençons à danser à partir de :

Sur le côté gauche, nous réduisons l'expression à un dénominateur commun :

Nous pouvons maintenant nous débarrasser en toute sécurité des dénominateurs (puisqu'ils sont les mêmes) :

Sur le côté gauche on ouvre les parenthèses, mais ne touche pas pour l'instant aux coefficients inconnus :

En même temps, nous répétons la règle scolaire de multiplication des polynômes. Quand j'étais enseignant, j'ai appris à prononcer cette règle avec un visage impassible : Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre polynôme.

Du point de vue explication claire Il vaut mieux mettre les coefficients entre parenthèses (même si personnellement je ne fais jamais ça pour gagner du temps) :

Nous composons un système d'équations linéaires.
Nous recherchons d’abord des diplômes supérieurs :

Et on écrit les coefficients correspondants dans la première équation du système :

Rappelez-vous bien le point suivant. Que se passerait-il s’il n’y avait aucun s sur le côté droit ? Disons, est-ce que cela s'afficherait sans aucun carré ? Dans ce cas, dans l'équation du système il faudrait mettre un zéro à droite : . Pourquoi zéro ? Mais parce qu'à droite vous pouvez toujours attribuer zéro à ce même carré : S'il n'y a pas de variables à droite et/ou membre gratuit, puis on met des zéros sur les membres droits des équations correspondantes du système.

On écrit les coefficients correspondants dans la deuxième équation du système :

Et enfin, l'eau minérale, nous sélectionnons les membres gratuits.

Eh... je plaisantais un peu. Blague à part, les mathématiques sont une science sérieuse. Dans notre groupe d'institut, personne n'a ri lorsque le professeur adjoint a dit qu'elle disperserait les termes le long de la droite numérique et choisirait les plus grands. Soyons sérieux. Bien que... celui qui vivra pour voir la fin de cette leçon sourira toujours tranquillement.

Le système est prêt :

On résout le système :

(1) À partir de la première équation, nous l'exprimons et la substituons dans les 2e et 3e équations du système. En fait, il était possible d'exprimer (ou une autre lettre) à partir d'une autre équation, mais en dans ce cas il est avantageux d'exprimer précisément à partir de la 1ère équation, puisqu'il y a les plus petites chances.

(2) Nous présentons des termes similaires dans les 2e et 3e équations.

(3) On additionne les 2ème et 3ème équations terme par terme, obtenant l'égalité , d'où il résulte que

(4) Nous substituons dans la deuxième (ou troisième) équation, d'où nous trouvons que

(5) Remplacez et dans la première équation, obtenant .

Si vous rencontrez des difficultés avec les méthodes de résolution du système, pratiquez-les en classe Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

Après avoir résolu le système, il est toujours utile de vérifier - remplacer les valeurs trouvées chaqueéquation du système, du coup tout devrait « converger ».

Presque là. Les coefficients ont été trouvés, et :

Le travail terminé devrait ressembler à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté de la tâche était de composer (correctement !) et de résoudre (correctement !) un système d'équations linéaires. Et au stade final, tout n'est pas si difficile : on utilise les propriétés de linéarité intégrale indéfinie et intégrer. Veuillez noter que sous chacune des trois intégrales nous avons « gratuit » fonction complexe, j'ai parlé des caractéristiques de son intégration en classe Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Vérifier : Différenciez la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.
Lors de la vérification, nous avons dû réduire l'expression à un dénominateur commun, et ce n'est pas un hasard. La méthode des coefficients indéfinis et la réduction d'une expression à un dénominateur commun sont des actions mutuellement inverses.

Exemple 2

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Revenons à la fraction du premier exemple : . Il est facile de remarquer qu’au dénominateur tous les facteurs sont DIFFÉRENTS. La question se pose, que faire si, par exemple, la fraction suivante est donnée : ? Ici, nous avons les degrés au dénominateur, ou, mathématiquement, multiples. De plus, il existe un trinôme quadratique qui ne peut être factorisé (il est facile de vérifier que le discriminant de l'équation est négatif, donc le trinôme ne peut pas être factorisé). Ce qu'il faut faire? Le développement en une somme de fractions élémentaires ressemblera à quelque chose comme avec des coefficients inconnus en haut ou autre chose ?

Exemple 3

Introduire une fonction

solutions à l’intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire. Vérifier si nous avons une fraction appropriée
Numérateur majeur : 2
Degré le plus élevé du dénominateur : 8
, ce qui signifie que la fraction est correcte.

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Evidemment non, tout est déjà prévu. Trinôme carré ne se décompose pas en œuvre pour les raisons évoquées ci-dessus. Capot. Moins de travail.

Étape 3. Imaginons une fonction fractionnaire-rationnelle comme une somme de fractions élémentaires.
Dans ce cas, le développement a la forme suivante :

Regardons notre dénominateur :
Lors de la décomposition d'une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme de fractions élémentaires, trois points fondamentaux peuvent être distingués :

1) Si le dénominateur contient un facteur « solitaire » à la puissance première (dans notre cas), alors on met un coefficient indéfini en haut (dans notre cas). Les exemples n° 1 et 2 ne concernaient que de tels facteurs « solitaires ».

2) Si le dénominateur a multiple multiplicateur, alors vous devez le décomposer comme ceci :
- c'est-à-dire parcourir séquentiellement tous les degrés de « X » du premier au nième degré. Dans notre exemple, il y a deux facteurs multiples : et , regardez à nouveau l'expansion que j'ai donnée et assurez-vous qu'ils sont développés exactement selon cette règle.

3) Si le dénominateur contient un polynôme indécomposable du deuxième degré (dans notre cas), alors lors de la décomposition au numérateur, vous devez écrire fonction linéaireà coefficients incertains (dans notre cas à coefficients incertains et ).

En fait, il existe un autre 4ème cas, mais je garderai le silence à ce sujet, car en pratique c'est extrêmement rare.

Exemple 4

Introduire une fonction comme somme de fractions élémentaires à coefficients inconnus.

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.
Suivez strictement l'algorithme !

Si vous comprenez les principes selon lesquels vous devez développer une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme, vous pouvez parcourir presque toutes les intégrales du type considéré.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

solutions à l’intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire. La fraction est évidemment correcte :

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Peut. Voici la somme des cubes . Factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de multiplication abrégée

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions élémentaires :

Attention, le polynôme n'est pas factorisable (vérifiez que le discriminant est négatif), donc en haut on met une fonction linéaire à coefficients inconnus, et pas seulement une lettre.

Nous ramenons la fraction à un dénominateur commun :

Composons et résolvons le système :

(1) Nous exprimons à partir de la première équation et la substituons dans la deuxième équation du système (c'est la manière la plus rationnelle).

(2) Nous présentons des termes similaires dans la deuxième équation.

(3) On additionne terme par terme les deuxième et troisième équations du système.

Tous les calculs ultérieurs sont, en principe, oraux, puisque le système est simple.

(1) Nous notons la somme des fractions conformément aux coefficients trouvés.

(2) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie. Que s'est-il passé dans la deuxième intégrale ? Vous pouvez vous familiariser avec cette méthode dans le dernier paragraphe de la leçon. En mots simples.

(3) Encore une fois, nous utilisons les propriétés de linéarité. Dans la troisième intégrale, nous commençons à isoler le carré complet (avant-dernier paragraphe de la leçon En mots simples).

(4) On prend la deuxième intégrale, dans la troisième on sélectionne le carré complet.

(5) Prenez la troisième intégrale. Prêt.

SUJET : Intégration de fractions rationnelles.

Attention! Lorsqu'on étudie l'une des méthodes fondamentales d'intégration : l'intégration de fractions rationnelles, il est nécessaire de considérer des polynômes dans le domaine complexe pour réaliser des preuves rigoureuses. Il faut donc étudier à l'avance quelques propriétés nombres complexes et les opérations sur ceux-ci.

Intégration de fractions rationnelles simples.

Si P.(z) Et Q(z) sont des polynômes dans le domaine complexe, alors ce sont des fractions rationnelles. Ça s'appelle correct, si diplôme P.(z) moins de diplôme Q(z) , Et faux, si diplôme R. pas moins d'un diplôme Q.

Je l'aime fraction impropre peut être représenté comme suit : ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

un R.(z) – polynôme dont le degré est inférieur au degré Q(z).

Ainsi, l’intégration de fractions rationnelles se résume à l’intégration de polynômes, c’est-à-dire de fonctions puissance, et de fractions propres, puisqu’il s’agit d’une fraction propre.

Définition 5. Les fractions les plus simples (ou élémentaires) sont les types de fractions suivants :

1) , 2) , 3) , 4) .

Découvrons comment ils s'intègrent.

3) (étudié précédemment).

Théorème 5. Toute fraction propre peut être représentée comme une somme de fractions simples (sans preuve).

Corollaire 1. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines réelles simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 1er type :

Exemple 1.

Corollaire 2. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines réelles, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples des 1er et 2e types :

Exemple 2.

Corollaire 3. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines conjuguées complexes simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 3ème type :

Exemple 3.

Corollaire 4. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines conjuguées complexes, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 3ème et du 4ème types :

Pour déterminer les coefficients inconnus dans les expansions données, procédez comme suit. Les côtés gauche et droit du développement contenant des coefficients inconnus sont multipliés par L'égalité de deux polynômes est obtenue. À partir de là, les équations pour les coefficients requis sont obtenues en utilisant :

1. l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de X (méthode des valeurs partielles). Dans ce cas, un nombre quelconque d'équations sont obtenues, dont n'importe quel m permet de trouver les coefficients inconnus.

2. les coefficients coïncident pour les mêmes degrés de X (méthode des coefficients indéfinis). Dans ce cas, on obtient un système de m - équations à m - inconnues, à partir desquelles les coefficients inconnus sont trouvés.

3. méthode combinée.

Exemple 5. Développer une fraction au plus simple.

Solution:

Trouvons les coefficients A et B.

Méthode 1 - méthode de la valeur privée :

Méthode 2 – méthode des coefficients indéterminés :

Répondre:

Intégration de fractions rationnelles.

Théorème 6. L'intégrale indéfinie de toute fraction rationnelle sur tout intervalle sur lequel son dénominateur n'est pas égal à zéro, existe et s'exprime à travers des fonctions élémentaires, à savoir les fractions rationnelles, les logarithmes et les arctangentes.

Preuve.

Imaginons une fraction rationnelle sous la forme : . Dans ce cas, le dernier terme est une fraction propre et, selon le théorème 5, il peut être représenté comme une combinaison linéaire de fractions simples. Ainsi, l'intégration d'une fraction rationnelle se réduit à l'intégration d'un polynôme S(x) et les fractions simples dont les primitives, comme on l'a montré, ont la forme indiquée dans le théorème.

Commentaire. La principale difficulté dans ce cas est la factorisation du dénominateur, c'est-à-dire la recherche de toutes ses racines.

Exemple 1. Trouver l'intégrale

Intégration de fonctions rationnelles Fractionnaire - fonction rationnelle Les fractions rationnelles les plus simples Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Intégration de fractions simples Règle générale pour l'intégration de fractions rationnelles

polynôme de degré n. Fonction fractionnaire-rationnelle Une fonction fractionnaire-rationnelle est une fonction égal au rapport deux polynômes : Une fraction rationnelle est dite propre si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, c'est-à-dire m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Fractionnel - fonction rationnelle Réduire une fraction impropre à le bon genre: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Fractions rationnelles les plus simples Fractions rationnelles propres de la forme : elles sont appelées fractions rationnelles les plus simples des types. hache A); 2(Nkk hache A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2 ; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Théorème : Toute fraction rationnelle propre dont le dénominateur est factorisé : peut par ailleurs être représentée de manière unique sous la forme d'une somme de fractions simples : s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Expliquons la formulation du théorème dans exemples suivants: Pour trouver les coefficients incertains A, B, C, D..., deux méthodes sont utilisées : la méthode de comparaison des coefficients et la méthode des valeurs de variables partielles. Examinons la première méthode à l'aide d'un exemple. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Présenter la fraction comme une somme de fractions simples : Ramenons les fractions les plus simples à un dénominateur commun Égaler les numérateurs des fractions résultantes et originales Égaler les coefficients aux mêmes puissances x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Intégration des fractions les plus simples Trouvons les intégrales des fractions rationnelles les plus simples : Regardons l'intégration des fractions de type 3 à l'aide d'un exemple. dx hache A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Intégration de fractions simplesdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Intégration de fractions simples Intégrale de ce genre par substitution : réduit à la somme de deux intégrales : La première intégrale est calculée en introduisant t sous le signe différentiel. La deuxième intégrale est calculée à l'aide de la formule de récurrence : dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Intégration de fractions simples a = 1 ; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Règle générale pour intégrer des fractions rationnelles Si la fraction est impropre, représentez-la comme la somme d'un polynôme et d'une fraction propre. Après avoir factorisé le dénominateur d'une fraction rationnelle propre, représentez-la comme une somme de fractions simples à coefficients indéfinis par la méthode de comparaison des coefficients ou par la méthode des valeurs partielles d'une variable. Intégrez le polynôme et la somme résultante de fractions simples.

Exemple Mettons la fraction sous la forme correcte. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Exemple Factorisons le dénominateur d'une fraction propre Représentons la fraction comme une somme de fractions simples Trouvons les coefficients indéterminés en utilisant la méthode des valeurs partielles de la variable xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Exemple dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln