Comment trouver la plus grande valeur d'une fonction sur un intervalle. Extréma de la fonction

Petite et jolie tâche simple de la catégorie de ceux qui servent de bouée de sauvetage à un étudiant flottant. Nous sommes à la mi-juillet dans la nature, il est donc temps de s'installer avec votre ordinateur portable sur la plage. Tôt le matin commencé à jouer lapin ensoleillé théorie pour se concentrer bientôt sur la pratique qui, malgré sa prétendue facilité, contient des éclats de verre dans le sable. À cet égard, je vous recommande de considérer consciencieusement les quelques exemples de cette page. Pour résoudre tâches pratiques doit être capable de trouver des produits dérivés et comprendre le contenu de l'article Intervalles de monotonie et extrema de la fonction.

Tout d’abord, brièvement sur l’essentiel. Dans la leçon sur continuité de fonction J'ai donné la définition de la continuité en un point et de la continuité en un intervalle. L’exemple de comportement d’une fonction sur un segment est formulé de manière similaire. Une fonction est continue sur un intervalle si :

1) il est continu sur l'intervalle ;
2) continu en un point droite et au point gauche.

Dans le deuxième paragraphe, nous avons parlé de ce qu'on appelle continuité unilatérale fonctionne en un point. Il existe plusieurs approches pour le définir, mais je m'en tiendrai à la ligne que j'ai commencée plus tôt :

La fonction est continue au point droite, si elle est définie en un point donné et que sa limite droite coïncide avec la valeur de la fonction en un point donné : . C'est continu au point gauche, s'il est défini en un point donné et sa limite gauche égale à la valeurà ce point:

Imaginez que points verts- voici les ongles sur lesquels est fixé l'élastique magique :

Prenez mentalement la ligne rouge entre vos mains. Évidemment, peu importe jusqu'où nous étirons le graphique de haut en bas (le long de l'axe), la fonction restera toujours limité– une clôture en haut, une clôture en bas, et notre produit broute dans le paddock. Ainsi, une fonction continue sur un intervalle est bornée sur celui-ci. Au cours de l’analyse mathématique, ce fait apparemment simple est énoncé et strictement prouvé. Premier théorème de Weierstrass....Beaucoup de gens sont contrariés par le fait que des affirmations élémentaires soient fastidieusement justifiées en mathématiques, mais cela a une signification importante. Supposons qu'un certain habitant du Moyen Âge éponge tire un graphique dans le ciel au-delà des limites de visibilité, celui-ci sera inséré. Avant l’invention du télescope, la fonction limitée dans l’espace n’était pas du tout évidente ! Franchement, comment savoir ce qui nous attend à l’horizon ? Après tout, la Terre était autrefois considérée comme plate, donc aujourd'hui même la téléportation ordinaire nécessite une preuve =)

Selon Deuxième théorème de Weierstrass, continu sur un segmentla fonction atteint son précis bord supérieur et le vôtre bord inférieur exact .

Le numéro s'appelle aussi la valeur maximale de la fonction sur le segment et sont désignés par , et le nombre est la valeur minimale de la fonction sur le segment marqué.

Dans notre cas :

Note : en théorie, les enregistrements sont courants .

En gros, valeur la plus élevée est situé là où le plus point culminant graphiques, et le plus petit – où est le plus point bas.

Important! Comme déjà souligné dans l'article sur extrema de la fonction, plus grande valeur de fonction Et plus petite valeur de fonction – PAS LA MÊME, Quoi fonction maximale Et fonction minimale. Ainsi, dans l'exemple considéré, le nombre est le minimum de la fonction, mais pas la valeur minimale.

Au fait, que se passe-t-il en dehors du segment ? Oui, même une inondation, dans le contexte du problème considéré, cela ne nous intéresse pas du tout. La tâche consiste uniquement à trouver deux nombres et c'est tout !

De plus, la solution est purement analytique, donc pas besoin de faire un dessin!

L’algorithme se trouve en surface et se suggère à partir de la figure ci-dessus :

1) Trouver les valeurs de la fonction dans points critiques, qui appartiennent ce segment .

Attrapez un autre petit pain : ici, pas besoin de vérifier état suffisant extremum, puisque, comme nous venons de le montrer, la présence d'un minimum ou d'un maximum ne garantit pas encore, quel est le minimum ou valeur maximale. La fonction de démonstration atteint un maximum et, par la volonté du destin, ce même nombre est la plus grande valeur de la fonction sur le segment. Mais bien entendu, une telle coïncidence n’a pas toujours lieu.

Ainsi, dans un premier temps, il est plus rapide et plus facile de calculer les valeurs de la fonction aux points critiques appartenant au segment, sans se soucier de savoir s'il y a des extrema ou non.

2) On calcule les valeurs de la fonction aux extrémités du segment.

3) Parmi les valeurs de fonction trouvées dans les 1er et 2ème paragraphes, sélectionnez la plus petite et la plus grand nombre, écrivez la réponse.

Nous nous asseyons sur le rivage mer bleue et frappons l'eau peu profonde avec nos talons :

Exemple 1

Trouvez le meilleur et plus petite valeur fonctionne sur un intervalle

Solution:
1) Calculons les valeurs de la fonction aux points critiques appartenant à ce segment :

Calculons la valeur de la fonction dans la seconde point critique:

2) Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du segment :

3) Des résultats « audacieux » ont été obtenus avec des exposants et des logarithmes, ce qui complique considérablement leur comparaison. Pour cette raison, armons-nous d’une calculatrice ou d’Excel et calculons des valeurs approximatives, sans oublier que :

Maintenant, tout est clair.

Répondre:

Instance rationnelle fractionnaire pour décision indépendante:

Exemple 6

Trouver le maximum et valeur minimale fonctionne sur un intervalle

Etude d'un tel objet analyse mathématique comme fonction, c'est super signification et dans d'autres domaines scientifiques. Par exemple, dans analyse économique le comportement doit constamment être évalué fonctions profit, à savoir déterminer son plus grand signification et élaborer une stratégie pour y parvenir.

Instructions

L'étude de tout comportement doit toujours commencer par une recherche du domaine de définition. Généralement par condition tâche spécifique il faut déterminer le plus grand signification fonctions soit sur l'ensemble de cette zone, soit sur un intervalle spécifique de celle-ci avec des frontières ouvertes ou fermées.

Sur la base de , le plus grand est signification fonctions y(x0), dans lequel pour tout point du domaine de définition l'inégalité y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) est vraie. Graphiquement, ce point sera le plus élevé si les valeurs des arguments sont placées le long de l'axe des abscisses, et la fonction elle-même le long de l'axe des ordonnées.

Pour déterminer le plus grand signification fonctions, suivez l'algorithme en trois étapes. Veuillez noter que vous devez être capable de travailler avec et unilatéral, ainsi que de calculer la dérivée. Donc, donnons une fonction y(x) et vous devez trouver son plus grand signification sur un certain intervalle avec les valeurs limites A et B.

Découvrez si cet intervalle entre dans le champ de la définition fonctions. Pour ce faire, il faut le trouver en considérant toutes les restrictions possibles : la présence d'une fraction dans l'expression, racine carrée etc. Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs d'argument pour lesquelles la fonction a un sens. Déterminez si l’intervalle donné en est un sous-ensemble. Si oui, passez à l’étape suivante.

Trouver la dérivée fonctions et résolvez l’équation résultante en assimilant la dérivée à zéro. De cette façon, vous obtiendrez les valeurs des points dits stationnaires. Évaluez si au moins l’un d’entre eux appartient à l’intervalle A, B.

À la troisième étape, considérez ces points et substituez leurs valeurs dans la fonction. En fonction du type d'intervalle, effectuez les étapes supplémentaires suivantes. S'il existe un segment de la forme [A, B], les points limites sont inclus dans l'intervalle ; ceci est indiqué par des parenthèses. Calculer les valeurs fonctions pour x = A et x = B. Si l'intervalle est ouvert (A, B), les valeurs limites sont perforées, c'est-à-dire n’y sont pas inclus. Résolvez les limites unilatérales pour x→A et x→B. Un intervalle combiné de la forme [A, B) ou (A, B), dont l'une des limites lui appartient, l'autre non. Trouvez la limite unilatérale lorsque x tend vers la valeur perforée et remplacez l'autre par celle-ci. la fonction. Intervalle infini bilatéral (-∞, +∞) ou intervalles infinis unilatéraux de la forme : , (-∞, B Pour les limites réelles A et B, procéder selon les principes déjà décrits, et pour). infinis, recherchez les limites pour x→-∞ et x→+∞, respectivement.

La tâche à ce stade

Et pour le résoudre, vous aurez besoin d’une connaissance minimale du sujet. Le suivant se termine année académique, tout le monde a envie de partir en vacances, et pour rapprocher ce moment, j'irai droit au but :

Commençons par la zone. La zone mentionnée dans la condition est limité fermé ensemble de points sur un plan. Par exemple, l'ensemble des points délimités par un triangle, incluant le triangle ENTIER (si de frontières"repérer" au moins un point, alors la région ne sera plus fermée). Dans la pratique, il existe également des zones rectangulaires, circulaires et légèrement plus grandes. formes complexes. Il convient de noter que dans la théorie de l'analyse mathématique, des définitions strictes sont données limitations, isolement, limites, etc., mais je pense que tout le monde est conscient de ces concepts à un niveau intuitif, et maintenant rien de plus n'est nécessaire.

Une région plate est généralement désignée par la lettre et, en règle générale, est spécifiée analytiquement - par plusieurs équations (pas nécessairement linéaire); moins souvent des inégalités. Typique expression bien tournée: "zone fermée, délimité par des lignes ».

La construction d'une zone dans le dessin fait partie intégrante de la tâche considérée. Comment faire cela ? Vous devez tracer toutes les lignes répertoriées (dans dans ce cas 3 droit) et analyser ce qui s'est passé. La zone recherchée est généralement légèrement ombrée et sa bordure est marquée par un trait épais :


La même zone peut également être définie inégalités linéaires: , qui, pour une raison quelconque, sont souvent rédigés sous forme de liste énumérée plutôt que système.
Puisque la frontière appartient à la région, alors toutes les inégalités, bien sûr, relâché.

Et maintenant l'essence de la tâche. Imaginez que l'axe sort directement vers vous depuis l'origine. Considérons une fonction qui continu dans chacun point de zone. Le graphique de cette fonction représente quelques surface, Et petit bonheur est-ce que pour résoudre le problème d'aujourd'hui, nous n'avons pas besoin de savoir à quoi ressemble cette surface. Il peut être situé plus haut, plus bas, couper le plan - tout cela n'a pas d'importance. Et ce qui suit est important : selon Théorèmes de Weierstrass, continu V limité fermé zone où la fonction atteint sa plus grande valeur (le « plus haut ») et le moins (le « le plus bas ») des valeurs qu'il faut trouver. De telles valeurs sont atteintes ou V points fixes, appartenant à la régionD , ou aux points qui se trouvent à la frontière de cette zone. Cela conduit à un algorithme de solution simple et transparent :

Exemple 1

En limité zone fermée

Solution: Tout d'abord, vous devez représenter la zone dans le dessin. Malheureusement, c'est techniquement difficile pour moi de le faire modèle interactif tâche, et je présenterai donc immédiatement l'illustration finale, qui représente tous les points « suspects » trouvés au cours de l'étude. Ils sont généralement répertoriés les uns après les autres au fur et à mesure de leur découverte :

Sur la base du préambule, la décision peut être commodément divisée en deux points :

I) Trouver des points stationnaires. Il s’agit d’une action standard que nous avons réalisée à plusieurs reprises en classe. à propos des extrema de plusieurs variables:

Point stationnaire trouvé appartient domaines : (marquez-le sur le dessin), ce qui signifie que nous devons calculer la valeur de la fonction en un point donné :

- comme dans l'article Les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur un segment, résultats importants Je vais le mettre en gras. Il est pratique de les tracer dans un cahier avec un crayon.

Faites attention à notre deuxième bonheur, cela ne sert à rien de vérifier condition suffisante pour un extremum. Pourquoi? Même si à un moment donné la fonction atteint, par exemple, minimum local , alors cela NE SIGNIFIE PAS que la valeur résultante sera minimal dans toute la région (voir le début de la leçon sur les extrêmes inconditionnels) .

Que faire si le point fixe n'appartient PAS à la zone ? Presque rien ! Il convient de le noter et de passer au point suivant.

II) Nous explorons la frontière de la région.

Puisque la frontière est constituée des côtés d’un triangle, il est pratique de diviser l’étude en 3 sous-sections. Mais il vaut mieux ne pas le faire de toute façon. De mon point de vue, il est plus avantageux de considérer d'abord les segments parallèles axes de coordonnées, et tout d'abord ceux qui se trouvent sur les haches eux-mêmes. Pour saisir toute la séquence et la logique des actions, essayez d'étudier la fin « d'un seul souffle » :

1) Parlons du côté inférieur du triangle. Pour ce faire, remplacez directement dans la fonction :

Alternativement, vous pouvez procéder comme ceci :

Géométriquement, cela signifie que plan de coordonnées (qui est également donné par l'équation)"sculpte" surface une parabole « spatiale » dont le sommet est immédiatement soupçonné. Découvrons où se trouve-t-elle:

– la valeur résultante « est tombée » dans la zone, et il se pourrait bien qu'à ce moment-là (indiqué sur le dessin) la fonction atteint la valeur la plus grande ou la plus petite de toute la région. D'une manière ou d'une autre, faisons les calculs :

Les autres « candidats » sont bien entendu les extrémités du segment. Calculons les valeurs de la fonction en points (indiqué sur le dessin):

Ici d'ailleurs, vous pouvez effectuer un mini-contrôle oral en utilisant une version « allégée » :

2) Pour la recherche côté droit nous substituons le triangle dans la fonction et « mettons les choses en ordre » :

Ici, nous effectuerons immédiatement une vérification approximative, en « sonnant » la fin déjà traitée du segment :
, Super.

La situation géométrique est liée au point précédent :

– la valeur résultante « est également entrée dans la sphère de nos intérêts », ce qui signifie que nous devons calculer à quoi est égale la fonction au point apparu :

Examinons la deuxième extrémité du segment :

Utilisation de la fonction , effectuons une vérification de contrôle :

3) Tout le monde peut probablement deviner comment explorer le côté restant. Nous le substituons dans la fonction et effectuons des simplifications :

Fins du segment ont déjà été recherchés, mais dans le brouillon, nous vérifions toujours si nous avons trouvé la fonction correctement :
– coïncidait avec le résultat du 1er alinéa ;
– a coïncidé avec le résultat du 2ème alinéa.

Reste à savoir s'il y a quelque chose d'intéressant à l'intérieur du segment :

- Il y a! En substituant la ligne droite dans l'équation, nous obtenons l'ordonnée de cet « intérêt » :

On marque un point sur le dessin et on trouve la valeur correspondante de la fonction :

Vérifions les calculs en utilisant la version « budget » :
, commande.

Et la dernière étape: On regarde ATTENTIVEMENT tous les chiffres « en gras », je recommande même aux débutants de faire une seule liste :

à partir duquel nous sélectionnons les valeurs les plus grandes et les plus petites. RépondreÉcrivons dans le style du problème de trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur un segment:

Au cas où, je commenterai à nouveau signification géométrique résultat:
– voici le point culminant de la surface de la région ;
– voici le point le plus bas de la surface de la région.

Dans la tâche analysée, nous avons identifié 7 points « suspects », mais leur nombre varie d'une tâche à l'autre. Pour une région triangulaire, l'« ensemble de recherche » minimum se compose de trois points. Cela se produit lorsque la fonction, par exemple, spécifie avion– il est tout à fait clair qu’il n’y a pas de points stationnaires et que la fonction ne peut atteindre ses valeurs maximales/plus petites qu’aux sommets du triangle. Mais il n'y a qu'un ou deux exemples similaires - vous devez généralement faire face à une sorte de surface du 2ème ordre.

Si vous essayez de résoudre un peu de telles tâches, les triangles peuvent vous faire tourner la tête, et c'est pourquoi je me suis préparé pour vous. exemples inhabituels pour qu'il devienne carré :))

Exemple 2

Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction dans un espace fermé délimité par des lignes

Exemple 3

Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction dans une zone fermée limitée.

Attention particulière Faites attention à l'ordre rationnel et à la technique d'étude des limites de la région, ainsi qu'à la chaîne de contrôles intermédiaires, qui éviteront presque complètement les erreurs de calcul. D'une manière générale, vous pouvez le résoudre comme vous le souhaitez, mais dans certains problèmes, par exemple dans l'exemple 2, il y a toutes les chances de vous rendre la vie beaucoup plus difficile. Échantillon approximatif terminer les devoirs à la fin de la leçon.

Systématisons l'algorithme de solution, sinon avec ma diligence d'araignée, il s'est perdu d'une manière ou d'une autre dans le long fil de commentaires du 1er exemple :

– Dans un premier temps, on construit une zone, il est conseillé de l'ombrer et de souligner la bordure avec un trait gras. Au cours de la solution, des points apparaîtront qui doivent être marqués sur le dessin.

– Trouver des points stationnaires et calculer les valeurs de la fonction seulement chez ceux d'entre eux qui appartiennent à la région. Nous mettons en évidence les valeurs résultantes dans le texte (par exemple, encerclons-les avec un crayon). Si un point stationnaire n'appartient PAS à la région, alors nous marquons ce fait avec une icône ou verbalement. S'il n'y a aucun point stationnaire, nous concluons par écrit qu'ils sont absents. Dans tous les cas, ce point ne peut être ignoré !

– Nous explorons la frontière de la région. Premièrement, il est utile de comprendre les lignes droites parallèles aux axes de coordonnées (s'il y en a). Nous mettons également en évidence les valeurs de fonction calculées aux points « suspects ». Beaucoup de choses ont été dites ci-dessus sur la technique de résolution et autre chose sera dit ci-dessous - lisez, relisez, approfondissez-y !

– Parmi les nombres sélectionnés, sélectionnez les valeurs les plus grandes et les plus petites et donnez la réponse. Parfois, il arrive qu'une fonction atteigne de telles valeurs en plusieurs points à la fois - dans ce cas, tous ces points doivent être reflétés dans la réponse. Laissez, par exemple, et il s'est avéré que c'est la plus petite valeur. Ensuite, nous écrivons cela

Les derniers exemples sont dédiés à d'autres idées utiles ce qui sera utile en pratique :

Exemple 4

Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction dans une région fermée .

J'ai retenu la formulation de l'auteur, dans laquelle l'aire est donnée sous la forme d'une double inégalité. Cette condition peut s'écrire système équivalent ou sous une forme plus traditionnelle pour cette tâche :

Je te rappelle qu'avec non linéaire nous avons rencontré des inégalités sur , et si vous ne comprenez pas le sens géométrique de la notation, alors ne tardez pas et clarifiez la situation dès maintenant ;-)

Solution, comme toujours, commence par construire une zone qui représente une sorte de « semelle » :

Hmm, parfois il faut mâcher non seulement le granit de la science...

I) Trouver des points stationnaires :

Le système est un rêve d'idiot :)

Un point stationnaire appartient à la région, c'est-à-dire se trouve sur sa frontière.

Et donc, ça va... le cours s'est bien passé, c'est ça boire le bon thé =)

II) Nous explorons la frontière de la région. Sans plus tarder, commençons par l'axe des x :

1) Si , alors

Trouvons où se trouve le sommet de la parabole :
– appréciez de tels moments – vous « frappez » jusqu'au point à partir duquel tout est déjà clair. Mais on n'oublie toujours pas de vérifier :

Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du segment :

2) Parlons de la partie inférieure de la « semelle » « d'un seul coup » - sans aucun complexe nous la substituons dans la fonction, et nous ne nous intéresserons qu'au segment :

Contrôle:

Cela apporte déjà une certaine excitation à la conduite monotone sur la piste moletée. Trouvons les points critiques :

Décidons équation quadratique, tu te souviens d'autre chose à ce sujet ? ...Mais n'oubliez pas, bien sûr, sinon vous ne liriez pas ces lignes =) Si dans les deux exemples précédents les calculs étaient en décimales(ce qui d'ailleurs est rare), alors les habituels nous attendent ici fractions communes. Nous trouvons les racines « X » et utilisons l’équation pour déterminer les coordonnées « jeu » correspondantes des points « candidats » :


Calculons les valeurs de la fonction aux points trouvés :

Vérifiez vous-même le fonctionnement.

Maintenant, nous étudions attentivement les trophées gagnés et notons répondre:

Ce sont des « candidats », ce sont des « candidats » !

Pour le résoudre vous-même :

Exemple 5

Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction dans un endroit fermé

Enregistrement depuis accolades se lit comme ceci : « un ensemble de points tels que ».

Parfois dans exemples similaires utiliser Méthode du multiplicateur de Lagrange, mais il est peu probable que son utilisation soit réellement nécessaire. Ainsi, par exemple, si une fonction avec la même aire « de » est donnée, alors après substitution dans celle-ci – avec la dérivée sans difficulté ; De plus, tout est tracé sur « une seule ligne » (avec des signes) sans qu'il soit nécessaire de considérer séparément les demi-cercles supérieur et inférieur. Mais bien sûr, il y en a d'autres cas complexes, où sans la fonction de Lagrange (où, par exemple, est la même équation d'un cercle) Il est difficile de s’en sortir – tout comme il est difficile de s’en sortir sans un bon repos !

Bon moment à tous et à bientôt la saison prochaine !

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution: Décrivons la zone dans le dessin :

La plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction est la plus grande (la plus petite) valeur acceptée de l'ordonnée sur l'intervalle considéré.

Pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction, vous devez :

1. Vérifiez quels points stationnaires sont inclus dans un segment donné.
2. Calculer la valeur de la fonction aux extrémités du segment et à points fixesà partir du point 3
3. Sélectionnez la valeur la plus grande ou la plus petite parmi les résultats obtenus.

Pour trouver le maximum ou le minimum de points, vous devez :

1. Trouver la dérivée de la fonction $f"(x)$
2. Trouvez des points stationnaires en résolvant l'équation $f"(x)=0$
3. Factoriser la dérivée d'une fonction.
4. Tracez une ligne de coordonnées, placez-y des points fixes et déterminez les signes de la dérivée dans les intervalles résultants, en utilisant la notation de l'étape 3.
5. Trouvez les points maximum ou minimum selon la règle : si en un point la dérivée change de signe de plus à moins, alors ce sera le point maximum (si de moins à plus, alors ce sera le point minimum). En pratique, il est pratique d'utiliser l'image de flèches sur des intervalles : sur l'intervalle où la dérivée est positive, la flèche est dessinée vers le haut et vice versa.

Tableau des dérivées de quelques fonctions élémentaires :

Règles de base de différenciation

1. La dérivée de la somme et de la différence est égale à la dérivée de chaque terme

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Trouver la dérivée de la fonction $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

La dérivée de la somme et de la différence est égale à la dérivée de chaque terme

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Dérivé du produit.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Trouver la dérivée $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Dérivée du quotient

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Trouver la dérivée $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Dérivé fonction complexe est égal au produit de la dérivée de la fonction externe et de la dérivée de la fonction interne

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Trouver le point minimum de la fonction $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Trouvons Fonctions ODZ: $x+11>0; x>-11$

2. Trouvez la dérivée de la fonction $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Trouvez des points stationnaires en assimilant la dérivée à zéro

$(2x+21)/(x+11)=0$

Une fraction est égale à zéro si le numérateur égal à zéro, et le dénominateur n'est pas nul

$2x+21=0 ; x≠-11$

4. Traçons une ligne de coordonnées, plaçons dessus des points stationnaires et déterminons les signes de la dérivée dans les intervalles résultants. Pour ce faire, remplacez n'importe quel nombre de la région la plus à droite par la dérivée, par exemple zéro.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Au point minimum, la dérivée change de signe de moins à plus, donc le point $-10,5$ est le point minimum.

Réponse : $-10,5$

Trouver la plus grande valeur de la fonction $y=6x^5-90x^3-5$ sur le segment $[-5;1]$

1. Trouvez la dérivée de la fonction $y′=30x^4-270x^2$

2. Égalisez la dérivée à zéro et trouvez des points stationnaires

30 $ x ^ 4-270 x ^ 2 = 0 $

Nous allons le retirer multiplicateur commun 30 $ x ^ 2 $ entre parenthèses

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Assumons chaque facteur à zéro

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Sélectionnez les points stationnaires appartenant au segment donné $[-5;1]$

Les points stationnaires $x=0$ et $x=-3$ nous conviennent

4. Calculez la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points stationnaires de l'étape 3