Où est située Odz ? Fonction : domaine de définition et plage de valeurs des fonctions

Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles collectons-nous :

Lorsque vous soumettez une demande sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, y compris votre nom, votre numéro de téléphone et votre adresse E-mail etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

Collecté par nos soins informations personnelles nous permet de vous contacter et de vous informer des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes telles que l'audit, l'analyse des données et diverses études afin d'améliorer les services que nous proposons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Des exceptions:

Si nécessaire - conformément à la loi, à la procédure judiciaire, aux procédures judiciaires et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes de organismes gouvernementaux sur le territoire de la Fédération de Russie - divulguez vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Les principaux types d'inégalités sont présentés, parmi lesquels les inégalités de Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Les propriétés des inégalités et les actions sur celles-ci sont prises en compte. Les méthodes de base pour résoudre les inégalités sont données.

Formules pour les inégalités fondamentales

Formules pour les inégalités universelles

Les inégalités universelles sont satisfaites pour toutes les valeurs des quantités qu'elles contiennent. Les principaux types sont répertoriés ci-dessous inégalités universelles.

1) | un b | ≤ |une| + |b| ; | une 1 une 2 ... une n | ≤ |a 1 | + |une 2 | + ... + |une n |

2) |une| + |b| ≥ | un-b | ≥ | |une| - |b| |

3)
L'égalité ne se produit que lorsque a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Inégalité de Cauchy-Bunyakovsky

L'égalité est vraie si et seulement si α a k = β b k pour tout k = 1, 2, ..., n et certains α, β, |α| + |β| > 0 .

5) L'inégalité de Minkowski, pour p ≥ 1

Formules d'inégalités satisfiables

Les inégalités satisfaisables sont satisfaites pour certaines valeurs des quantités qu'elles contiennent.

1) L'inégalité de Bernoulli :
.
En plus vue générale:
,
où , nombres de même signe et supérieurs à -1 : .
Lemme de Bernoulli :
.
Voir "Preuves d'inégalités et lemme de Bernoulli".

2)
pour une je ≥ 0 (je = 1, 2, ..., n) .

3) L'inégalité de Chebyshev
à 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Et 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
À 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Et b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Inégalités généralisées de Chebyshev
à 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Et 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n et k naturel
.
À 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Et b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Propriétés des inégalités

Les propriétés des inégalités sont un ensemble de règles qui sont satisfaites lors de leur transformation. Voici les propriétés des inégalités. Il est entendu que les inégalités originales sont satisfaites pour les valeurs de x i (i = 1, 2, 3, 4) appartenant à un intervalle prédéterminé.

1) Lorsque l'ordre des côtés change, le signe de l'inégalité change à l'opposé.
Si x1< x 2 , то x 2 >x1.
Si x 1 ≤ x 2, alors x 2 ≥ x 1.
Si x 1 ≥ x 2, alors x 2 ≤ x 1.
Si x 1 > x 2 alors x 2< x 1 .

2) Une égalité équivaut à deux inégalités faibles signe différent.
Si x 1 = x 2, alors x 1 ≤ x 2 et x 1 ≥ x 2.
Si x 1 ≤ x 2 et x 1 ≥ x 2, alors x 1 = x 2.

3) Propriété de transitivité
Si x1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Si x1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Si x 1 ≤ x 2 et x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Si x 1 ≤ x 2 et x 2 ≤ x 3, alors x 1 ≤ x 3.

4) Le même nombre peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité.
Si x1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Si x 1 ≤ x 2, alors x 1 + A ≤ x 2 + A.
Si x 1 ≥ x 2, alors x 1 + A ≥ x 2 + A.
Si x 1 > x 2, alors x 1 + A > x 2 + A.

5) S'il y a deux inégalités ou plus avec le signe de la même direction, alors leurs côtés gauche et droit peuvent être additionnés.
Si x1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Si x1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Si x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Si x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, alors x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Des expressions similaires s'appliquent aux signes ≥, >.
Si les inégalités d'origine contiennent des signes d'inégalités non strictes et qu'au moins un inégalité stricte(mais tous les signes ont la même direction), alors une fois ajoutés, une inégalité stricte est obtenue.

6) Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par un nombre positif.
Si x1< x 2 и A >0, puis A x 1< A · x 2 .
Si x 1 ≤ x 2 et A > 0, alors A x 1 ≤ A x 2.
Si x 1 ≥ x 2 et A > 0, alors A x 1 ≥ A x 2.
Si x 1 > x 2 et A > 0, alors A · x 1 > A · x 2.

7) Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par un nombre négatif. Dans ce cas, le signe de l'inégalité changera à l'opposé.
Si x1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >Un x2.
Si x 1 ≤ x 2 et A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Si x 1 ≥ x 2 et A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Si x 1 > x 2 et A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) S'il existe deux ou plusieurs inégalités avec des termes positifs, avec le signe de la même direction, alors leurs côtés gauche et droit peuvent être multipliés l'un par l'autre.
Si x1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 puis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Si x1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 puis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Si x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 puis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Si x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 alors x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Des expressions similaires s'appliquent aux signes ≥, >.
Si les inégalités d'origine contiennent des signes d'inégalités non strictes et au moins une inégalité stricte (mais tous les signes ont la même direction), alors la multiplication aboutit à une inégalité stricte.

9) Soit f(x) une fonction croissante de façon monotone. Autrement dit, pour tout x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2).
Si x1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Cette fonction peut alors être appliquée aux deux côtés de l’inégalité, ce qui ne changera pas le signe de l’inégalité.
Si x 1 ≤ x 2 alors f(x 1) ≤ f(x 2) .
Si x 1 ≥ x 2 alors f(x 1) ≥ f(x 2) .

Si x 1 > x 2, alors f(x 1) > f(x 2).< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Si x1< x 2 , то f(x 1) >10) Soit f(x) une fonction décroissante de façon monotone, c'est-à-dire que pour tout x 1 > x 2, f(x 1)
f(x2) .
Si x 1 ≤ x 2 alors f(x 1) ≥ f(x 2) .
Si x 1 ≥ x 2 alors f(x 1) ≤ f(x 2) .< f(x 2) .

Si x 1 > x 2 alors f(x 1)

Méthodes pour résoudre les inégalités

Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles
La méthode des intervalles est applicable si l'inégalité comprend une variable, que nous désignons par x, et qu'elle a la forme :
f(x) > 0 où f(x) - fonction continue , ayant points de rupture. Le signe de l'inégalité peut être n'importe quoi : >, ≥,<, ≤ .

La méthode des intervalles est la suivante.

1) Trouvez le domaine de définition de la fonction f(x) et marquez-le avec des intervalles sur l'axe des nombres.

2) Trouver les points de discontinuité de la fonction f(x).

Par exemple, s'il s'agit d'une fraction, nous trouvons alors les points auxquels le dénominateur devient nul. Nous marquons ces points sur l'axe des nombres.
3) Résoudre l'équation
f(x) = 0 .

Nous marquons les racines de cette équation sur l’axe des nombres.

4) En conséquence, l'axe des nombres sera divisé en intervalles (segments) par points. Dans chaque intervalle inclus dans le domaine de définition, nous sélectionnons n'importe quel point et à ce stade nous calculons la valeur de la fonction. Si cette valeur est supérieure à zéro, alors on place un signe « + » au dessus du segment (intervalle).
Si cette valeur est inférieure à zéro, alors on met un signe « - » au dessus du segment (intervalle).
5) Si l'inégalité a la forme : f(x) > 0, alors sélectionnez les intervalles avec le signe « + ».< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
La solution à l’inégalité consiste à combiner ces intervalles, qui n’incluent pas leurs frontières.

Si l'inégalité a la forme : f(x) ≥ 0, alors à la solution on ajoute les points auxquels f(x) = 0.

Autrement dit, certains intervalles peuvent avoir des limites fermées (la limite appartient à l'intervalle). l'autre partie peut avoir des frontières ouvertes (la frontière n'appartient pas à l'intervalle). De même, si l'inégalité a la forme : f(x) Si l'inégalité a la forme : f(x) ≤ 0, alors à la solution on ajoute les points auxquels f(x) = 0.

Résoudre les inégalités en utilisant leurs propriétés
Cette méthode est applicable aux inégalités de toute complexité. Elle consiste à appliquer les propriétés (présentées ci-dessus) pour amener les inégalités à plus

vue simple et obtenez une solution. Il est fort possible que cela aboutisse non pas à une seule, mais à un système d’inégalités. C'est une méthode universelle. Cela s’applique à toutes les inégalités. Les références: DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009. En mathématiques

ensemble infini les fonctions. Et chacun a son propre caractère.) Pour travailler avec une grande variété de fonctions dont vous avez besoin célibataire une approche. Sinon, de quel genre de mathématiques s'agit-il ?!) Et il existe une telle approche ! Lorsque nous travaillons avec une fonction, nous la présentons avec ensemble standard des questions. Et le premier, le plus question importante- Ce

Quel est le domaine d'une fonction ? Comment le trouver ? Ces questions semblent souvent complexes et incompréhensibles... Même si, en réalité, tout est extrêmement simple. Vous pouvez le constater par vous-même en lisant cette page. Aller?)

Eh bien, que puis-je dire... Juste du respect.) Oui ! Le domaine naturel d'une fonction (qui est discuté ici) allumettes Avec Expressions ODZ inclus dans la fonction. En conséquence, ils sont recherchés selon les mêmes règles.

Examinons maintenant un domaine de définition pas tout à fait naturel.)

Restrictions supplémentaires sur l'étendue d'une fonction.

Nous parlerons ici des restrictions imposées par la tâche. Ceux. la tâche contient des conditions additionnelles, qui ont été inventés par le compilateur. Ou bien les restrictions émergent de la méthode même de définition de la fonction.

Quant aux restrictions de la tâche, tout est simple. Habituellement, il n’y a rien à chercher, tout est déjà dit dans la tâche. Permettez-moi de vous rappeler que les restrictions écrites par l'auteur de la tâche n'annulent pas limites fondamentales des mathématiques. Il faut juste penser à prendre en compte les conditions de la tâche.

Par exemple, cette tâche :

Trouver le domaine d'une fonction :

sur l'ensemble des nombres positifs.

Nous avons trouvé ci-dessus le domaine naturel de définition de cette fonction. Cette zone:

ré(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

DANS voie verbale Lorsque vous spécifiez une fonction, vous devez lire attentivement la condition et y trouver des restrictions sur X. Parfois les yeux cherchent des formules, mais les mots sifflent devant la conscience oui...) Exemple de la leçon précédente :

La fonction est spécifiée par la condition : chaque valeur de l'argument naturel x est associée à la somme des chiffres qui composent la valeur de x.

Il convient de noter ici que nous parlons seulementÔ valeurs naturelles X. Alors D(f) enregistré instantanément :

ré(f) : x ∈ N

Comme vous pouvez le constater, la portée d'une fonction n'est pas la même. concept complexe. Trouver cette région revient à examiner la fonction, à écrire un système d'inégalités et à résoudre ce système. Bien entendu, il existe toutes sortes de systèmes, simples et complexes. Mais...

je vais l'ouvrir petit secret. Parfois, une fonction pour laquelle vous devez trouver le domaine de définition semble tout simplement intimidante. J'ai envie de pâlir et de pleurer.) Mais dès que j'écris le système des inégalités... Et, du coup, le système se révèle élémentaire ! D’ailleurs, souvent, plus la fonction est terrible, plus le système est simple…

Moralité : les yeux ont peur, la tête décide !)

Conseiller scientifique:

1.Introduction 3

2. Esquisse historique 4

3. « Place » de l'ODZ lors de la résolution des équations et des inégalités 5-6

4. Caractéristiques et dangers d'ODZ 7

5. ODZ – il existe une solution 8-9

6. Trouver ODZ représente un travail supplémentaire. Équivalence des transitions 10-14

7. ODZ à l'examen d'État unifié 15-16

8. Conclusion 17

9. Littérature 18

1. Introduction

Problème: les équations et les inégalités dans lesquelles il est nécessaire de trouver ODZ n'ont pas trouvé de place dans le cours d'algèbre pour une présentation systématique, c'est probablement pourquoi mes pairs et moi faisons souvent des erreurs lors de la résolution de tels exemples, passons beaucoup de temps à les résoudre, tout en oubliant à propos d'ODZ.

Cible:être capable d'analyser la situation et de tirer des conclusions logiquement correctes dans des exemples où il est nécessaire de prendre en compte DL.

Tâches:

1. Étudier le matériel théorique ;

2. Résoudre de nombreuses équations, inégalités : a) fractionnaire-rationnelle ; b) irrationnel ; c) logarithmique ; d) contenant des fonctions trigonométriques inverses ;

3. Appliquer les matériaux étudiés dans une situation différente de la situation standard ;

4. Créer une œuvre sur le thème « Domaine des valeurs acceptables : théorie et pratique »

Travail de projet : J'ai commencé à travailler sur le projet en répétant les fonctions que je connaissais. La portée de bon nombre d’entre eux est limitée.

ODZ se produit :

1. Au moment de décider équations rationnelles fractionnaires et inégalités

2. Au moment de décider équations irrationnelles et inégalités

3. Au moment de décider équations logarithmiques et inégalités

4. Lors de la résolution d'équations et d'inégalités contenant des fonctions trigonométriques inverses

Après avoir résolu de nombreux exemples de différentes sources(manuels d'examen d'État unifié, manuels scolaires, ouvrages de référence), j'ai systématisé la solution d'exemples selon principes suivants:

· vous pouvez résoudre l'exemple et prendre en compte l'ODZ (la méthode la plus courante)

· il est possible de résoudre l'exemple sans prendre en compte l'ODZ

· il n'est possible de prendre la bonne décision qu'en tenant compte de l'ODZ.

Méthodes utilisées dans le travail : 1) analyse ; 2) analyses statistiques; 3) déduction ; 4) classement ; 5) prévision.

J'ai étudié l'analyse Résultats de l'examen d'État unifié au cours des dernières années. De nombreuses erreurs ont été commises dans les exemples dans lesquels il est nécessaire de prendre en compte DL. Cela souligne une fois de plus pertinence mon sujet.

2. Esquisse historique

Comme d’autres concepts mathématiques, le concept de fonction ne s’est pas développé immédiatement, mais a suivi un long chemin de développement. L'ouvrage de P. Fermat « Introduction et étude des lieux plats et solides » (1636, publié en 1679) dit : « Chaque fois que dans équation finale Il y a deux quantités inconnues, il y a une place. Nous parlons essentiellement de dépendance fonctionnelle et de ses représentation graphique(« lieu » en Fermat signifie ligne). L’étude des droites selon leurs équations dans la « Géométrie » de R. Descartes (1637) indique également une bonne compréhension de la dépendance mutuelle des deux variables. Dans I. Barrow (« Conférences sur la géométrie », 1670) dans Forme géométrique le caractère mutuellement inverse des actions de différenciation et d'intégration est établi (bien entendu, sans utiliser ces termes eux-mêmes). Cela indique déjà une maîtrise tout à fait claire de la notion de fonction. En géométrique et forme mécanique On retrouve également ce concept chez I. Newton. Cependant, le terme « fonction » n’apparaît pour la première fois qu’en 1692 avec G. Leibniz et, d’ailleurs, pas tout à fait dans son acception moderne. G. Leibniz appelle divers segments associés à une courbe (par exemple l'abscisse de ses points) une fonction. Dans le premier cours imprimé, « Analyse des infinitésimaux pour la connaissance des lignes courbes » de L'Hôpital (1696), le terme « fonction » n'est pas utilisé.

La première définition d'une fonction dans un sens proche du sens moderne se trouve dans I. Bernoulli (1718) : « Une fonction est une quantité composée d'une variable et d'une constante. » Cette définition pas tout à fait claire repose sur l'idée de spécifier une fonction formule analytique. La même idée apparaît dans la définition de L. Euler, donnée par lui dans son « Introduction à l'analyse des infinis » (1748) : « La fonction quantité variable est une expression analytique composée en quelque sorte de cette quantité variable et de nombres ou quantités constantes" Cependant, L. Euler n'est plus étranger à compréhension moderne fonction, qui ne relie pas le concept de fonction à une expression analytique de celle-ci. Dans son " Calculs différentiels» (1755) dit : « Lorsque certaines quantités dépendent des autres de telle manière que lorsque ces dernières changent, elles sont elles-mêmes sujettes au changement, alors les premières sont appelées fonctions des secondes. »

AVEC début XIX siècles, ils définissent de plus en plus souvent le concept de fonction sans évoquer sa représentation analytique. Dans "Traité sur les différentiels et calcul intégral" (1797-1802) S. Lacroix dit : « Toute grandeur dont la valeur dépend d'une ou de plusieurs autres grandeurs est appelée fonction de ces dernières. » DANS " Théorie analytique chaleur" de J. Fourier (1822), il y a une phrase : "Fonction f(x) désigne une fonction complètement arbitraire, c'est-à-dire une séquence de valeurs données, subordonnées ou non droit général et correspondant à toutes les valeurs X contenu entre 0 et une certaine valeur X" La définition de N. I. Lobatchevski est proche du moderne : « … Concept général fonction nécessite que la fonction de X nommer le numéro qui est donné pour chacun X et avec X change progressivement. La valeur de la fonction peut être donnée ou expression analytique, ou une condition qui permet de tester tous les nombres et d'en choisir un, ou, enfin, une dépendance peut exister et rester inconnue. Il est également dit un peu plus bas : « La conception large de la théorie ne permet l'existence d'une dépendance que dans le sens où les nombres les uns avec les autres sont compris comme s'ils étaient donnés ensemble. » Ainsi, définition moderne fonctions, exemptes de références à tâche analytique, généralement attribué à P. Dirichlet (1837), fut proposé à plusieurs reprises avant lui.

Le domaine de définition (valeurs admissibles) d'une fonction y est l'ensemble des valeurs de la variable indépendante x pour laquelle cette fonction est définie, c'est-à-dire le domaine de changement de la variable indépendante (argument).

3. « Place » de la plage de valeurs acceptables lors de la résolution d'équations et d'inégalités

1. Lors de la résolution d'équations rationnelles fractionnaires et d'inégalités le dénominateur ne doit pas être nul.

2. Résoudre des équations et des inégalités irrationnelles.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

DANS dans ce cas il n'est pas nécessaire de trouver l'ODZ : de la première équation, il s'ensuit que les valeurs obtenues de x satisfont l'inégalité suivante : https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height="27 src=" > est le système :

Puisqu'ils entrent de manière égale dans l'équation, au lieu de l'inégalité, vous pouvez inclure l'inégalité https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

3.1. Schéma de résolution d'une équation logarithmique

Mais il suffit de vérifier une seule condition de l'ODZ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Équations trigonométriques gentil sont équivalents au système (au lieu de l'inégalité, vous pouvez inclure l'inégalité dans le système https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> sont équivalents à l'équation

4. Caractéristiques et dangers de la plage de valeurs admissibles

Dans les cours de mathématiques, nous devons trouver le DL dans chaque exemple. En même temps essence mathématique Dans ce cas, trouver l'ODZ n'est pas du tout obligatoire, souvent pas nécessaire, et parfois impossible - et tout cela sans nuire à la solution de l'exemple. En revanche, il arrive souvent qu'après avoir résolu un exemple, les écoliers oublient de prendre en compte le DL, l'écrivent comme réponse finale, et ne prennent en compte que certaines conditions. Cette circonstance est bien connue, mais la « guerre » continue chaque année et, semble-t-il, durera longtemps.

Prenons par exemple l’inégalité suivante :

Ici, l'ODZ est recherchée et l'inégalité est résolue. Cependant, pour résoudre cette inégalité, les écoliers croient parfois qu'il est tout à fait possible de se passer de la recherche de DL, ou plus précisément, il est possible de se passer de la condition

En fait, pour obtenir la bonne réponse, il faut prendre en compte à la fois l'inégalité , et .

Mais, par exemple, la solution de l'équation : https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

ce qui équivaut à travailler avec ODZ. Cependant, dans cet exemple, un tel travail n'est pas nécessaire - il suffit de vérifier la réalisation de seulement deux de ces inégalités, et de deux quelconques.

Permettez-moi de vous rappeler que toute équation (inégalité) peut être réduite à la forme . ODZ est simplement le domaine de définition de la fonction du côté gauche. Le fait que cette zone doit être surveillée découle de la définition de la racine comme un nombre du domaine de définition d'une fonction donnée, donc de l'ODZ. Ici exemple drôle sur ce sujet..gif" width="20" height="21 src="> a un domaine de définition d'un ensemble de nombres positifs (ceci, bien sûr, est un accord pour considérer une fonction avec, mais raisonnable), et puis -1 n'est pas une racine.

5. Plage de valeurs acceptables – il existe une solution

Et enfin, dans plein d'exemples, trouver l'ODZ permet d'avoir la réponse sans mises en page volumineuses, ou même verbalement.

1. OD3 est un ensemble vide, ce qui signifie que l’exemple d’origine n’a pas de solutions.

1) 2) 3)

2.B ODZ un ou plusieurs nombres sont trouvés, et une simple substitution détermine rapidement les racines.

1) , x=3

2)Ici, dans l'ODZ, il n'y a que le chiffre 1, et après substitution, il est clair que ce n'est pas une racine.

3) Il y a deux nombres dans l'ODZ : 2 et 3, et les deux conviennent.

4) > Dans l'ODZ il y a deux chiffres 0 et 1, et seul 1 convient.

ODZ peut être utilisé efficacement en combinaison avec l’analyse de l’expression elle-même.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только nombres positifs, donc on laisse x=2. Ensuite, nous substituons 2 dans l'inégalité.

6) De l'ODZ il s'ensuit que, où nous avons ..gif" width="143" height="24"> De l'ODZ nous avons : . Mais alors et . Depuis, il n'y a pas de solutions.

De l'ODZ nous avons : https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, ce qui signifie . En résolvant la dernière inégalité, nous obtenons x<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

3) ODZ : . Depuis lors

Par contre, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ :. Considérons l'équation sur l'intervalle [-1 ; 0).

Il remplit les inégalités suivantes https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> et il n'y a pas de solutions. Avec la fonction et https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ : x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Trouvons l'ODZ :

Une solution entière n'est possible que pour x=3 et x=5. En vérifiant, nous constatons que la racine x=3 ne rentre pas, ce qui signifie que la réponse est x=5.

6. Trouver la plage de valeurs acceptables représente un travail supplémentaire. Équivalence des transitions.

Vous pouvez donner des exemples où la situation est claire même sans trouver DZ.

L'égalité est impossible, car lorsqu'on soustrait une expression plus grande d'une expression plus petite, le résultat doit être un nombre négatif.

2. .

La somme de deux fonctions non négatives ne peut pas être négative.

Je donnerai également des exemples où trouver ODZ est difficile, et parfois tout simplement impossible.

Et enfin, les recherches d'ODZ ne sont très souvent qu'un travail supplémentaire, dont vous pouvez vous passer, prouvant ainsi votre compréhension de ce qui se passe. Il existe un grand nombre d'exemples qui peuvent être donnés ici, je ne choisirai donc que les plus typiques. La principale méthode de solution dans ce cas est la transformation équivalente lors du passage d'une équation (inégalité, système) à une autre.

1.. ODZ n'est pas nécessaire, car, après avoir trouvé les valeurs de x pour lesquelles x2 = 1, nous ne pouvons pas obtenir x = 0.

2. . ODZ n'est pas nécessaire, car nous découvrons quand l'expression radicale est égale à un nombre positif.

3. . ODZ n'est pas nécessaire pour les mêmes raisons que dans l'exemple précédent.

ODZ n'est pas nécessaire, car l'expression radicale est égale au carré d'une fonction et ne peut donc pas être négative.

6. ..gif" width="271" height="51"> Pour résoudre, une seule restriction pour l'expression radicale est suffisante. En fait, du système mixte écrit, il s'ensuit que l'autre expression radicale est non négative.

8. DZ n'est pas nécessaire pour les mêmes raisons que dans l'exemple précédent.

9. ODZ n'est pas nécessaire, puisqu'il suffit que deux des trois expressions sous les signes du logarithme soient positives pour assurer la positivité de la troisième.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ n'est pas nécessaire pour les mêmes raisons que dans l'exemple précédent.

Il convient toutefois de noter que lors de la résolution à l'aide de la méthode des transformations équivalentes, la connaissance de l'ODZ (et des propriétés des fonctions) est utile.

Voici quelques exemples.

1. . OD3, ce qui implique que l'expression du côté droit est positive, et il est possible d'écrire une équation équivalente à celle-ci sous cette forme https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width ="112" height="27 "> ODZ : Mais alors, et pour résoudre cette inégalité, il n'est pas nécessaire de considérer le cas où partie droite inférieur à 0.

3. . De l'ODZ, il s'ensuit cela, et donc le cas lorsque https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> La transition en général ressemble à ceci :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Il y a deux cas possibles : 0 >1.

Cela signifie que l’inégalité d’origine est équivalente à l’ensemble de systèmes d’inégalités suivant :

Le premier système n'a pas de solutions, mais du second on obtient : x<-1 – решение неравенства.

Comprendre les conditions d’équivalence nécessite la connaissance de certaines subtilités. Par exemple, pourquoi les équations suivantes sont-elles équivalentes :

Et enfin, peut-être le plus important. Le fait est que l'équivalence garantit l'exactitude de la réponse si certaines transformations de l'équation elle-même sont effectuées, mais n'est pas utilisée pour des transformations dans une seule des parties. Les abréviations et l'utilisation de formules différentes dans l'une des parties ne sont pas couvertes par les théorèmes d'équivalence. J'ai déjà donné quelques exemples de ce type. Regardons quelques exemples supplémentaires.

1. Cette décision est naturelle. A gauche près de la propriété fonction logarithmique passons à l'expression ..gif" width="111" height="48">

Après avoir résolu ce système, nous obtenons le résultat (-2 et 2), qui n'est cependant pas une réponse, puisque le nombre -2 n'est pas inclus dans l'ODZ. Alors, faut-il installer ODS ? Bien sûr que non. Mais puisque nous avons utilisé une certaine propriété de la fonction logarithmique dans la solution, nous sommes obligés de fournir les conditions dans lesquelles elle est satisfaite. Une telle condition est la positivité des expressions sous le signe du logarithme..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> les nombres sont sujets à substitution de cette manière . Qui veut faire des calculs aussi fastidieux ?.gif" width="12" height="23 src="> ajoutez une condition, et vous pouvez immédiatement voir que seul le nombre https://pandia.ru/text/78/083 / remplit cette condition images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) a été démontré par 52 % des candidats. L’une des raisons de ces faibles taux est le fait que de nombreux diplômés n’ont pas sélectionné les racines obtenues à partir de l’équation après l’avoir mise au carré.

3) Considérons par exemple la solution d'un des problèmes C1 : « Trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles les points du graphe de la fonction se situent au-dessus des points correspondants sur le graphique de la fonction." La tâche se résume à résoudre inégalité fractionnaire contenant expression logarithmique. Nous connaissons les méthodes permettant de résoudre de telles inégalités. La plus courante d'entre elles est la méthode des intervalles. Cependant, lors de son utilisation, les candidats commettent diverses erreurs. Examinons les erreurs les plus courantes en utilisant l'inégalité comme exemple :

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие X < 10.

8. Conclusion

Pour résumer, on peut dire qu’il n’existe pas de méthode universelle pour résoudre les équations et les inégalités. A chaque fois, si l'on veut comprendre ce que l'on fait et ne pas agir machinalement, un dilemme se pose : quelle solution choisir, notamment, faut-il chercher ODZ ou pas ? Je pense que l'expérience que j'ai acquise m'aidera à résoudre ce dilemme. J'arrêterai de faire des erreurs en apprenant à utiliser correctement ODZ. Si je peux le faire, le temps, ou plutôt l'examen d'État unifié, nous le dira.

9. Littérature

Et d'autres. « L'algèbre et les débuts de l'analyse 10-11 », livre de problèmes et manuel, M. : « Prosveshchenie », 2002. « Manuel pour mathématiques élémentaires" M. : « Nauka », 1966. Journal « Mathématiques » n° 46, Journal « Mathématiques » n° Journal « Mathématiques » n° « Histoire des mathématiques dans les classes scolaires VII-VIII ». M. : « Lumières », 1982. etc. « L'édition la plus complète des options tâches réelles Examen d'État unifié : 2009/FIPI" - M. : "Astrel", 2009. etc. "Examen d'État unifié. Mathématiques. Matériel universel pour préparer les étudiants/FIPI" - M. : "Intelligence Center", 2009. etc. "Algèbre et débuts de l'analyse 10-11". M. : « Lumières », 2007. , « Atelier sur la résolution de problèmes mathématiques scolaires(atelier d’algèbre). M. : Education, 1976. « 25 000 leçons de mathématiques ». M. : « Lumières », 1993. « Préparation aux Olympiades de mathématiques ». M. : « Examen », 2006. « Encyclopédie pour enfants « MATHÉMATIQUES » » volume 11, M. : Avanta + ; 2002. Matériaux des sites www. *****, www. *****.