Comment résoudre la fonction y ax2 bx c. Résumé du cours d'algèbre sur le thème "La fonction y=ax2, son graphe et ses propriétés" (9e année)

Définition. Si le point M du cercle numérique correspond au nombre t, alors l'abscisse du point M est appelée cosinus du nombre t et est notée le coût, et l'ordonnée du point M est appelée le sinus du nombre t et est notée saint.
Si M(t) = M(x;y), alors x = coût, y = sint.

Définition 1. Axe des nombres (droite numérique, droite de coordonnées) Ox est la droite sur laquelle le point O est sélectionné origine (origine des coordonnées)(Fig.1), direction

Ô → X

répertorié comme direction positive et un segment est marqué, dont la longueur est considérée comme étant unité de longueur.

Définition 2. Un segment dont la longueur est prise comme unité de longueur est appelé échelle.

Chaque point sur l'axe des nombres a une coordonnée, qui est nombre réel. La coordonnée du point O est nulle. La coordonnée d'un point arbitraire A situé sur le rayon Ox est égale à la longueur du segment OA. La coordonnée d'un point arbitraire A de l'axe numérique qui ne se trouve pas sur le rayon Ox est négative, et en valeur absolue est égale à la longueur du segment OA.

Définition 3. Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy sur le plan appelez-en deux mutuellement perpendiculaire axes numériques Ox et Oy avec la même échelle Et début commun compte à rebours au point O, et telle que la rotation du rayon Ox sous un angle de 90° vers le rayon Oy s'effectue dans la direction dans le sens inverse des aiguilles d'une montre(Fig.2).

Note. Le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy, représenté sur la figure 2, est appelé bon système coordonnées, Contrairement à systèmes de coordonnées gauche, dans lequel la rotation du faisceau Ox selon un angle de 90° par rapport au faisceau Oy s'effectue dans le sens des aiguilles d'une montre. Dans ce guide, nous nous considérons uniquement les systèmes de coordonnées droitiers, sans le préciser spécifiquement.

Si nous introduisons un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy sur le plan, alors chaque point du plan acquerra deux coordonnées – abscisse Et ordonnée, qui sont calculés comme suit. Soit A un point arbitraire du plan. Déposons les perpendiculaires du point A Les AA 1 et Les AA 2 aux droites Ox et Oy, respectivement (Fig. 3).

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point UN 1 sur l'axe des nombres Ox, l'ordonnée du point A est la coordonnée du point UN 2 sur l’axe des nombres Oy.

Désignation Coordonnées (abscisse et ordonnée) du point A dans le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy (Fig. 4) est généralement noté UN(X;oui) ou UN = (X; oui).

Note. Point O, appelé origine, a des coordonnées Ô(0 ; 0) .

Définition 5. Dans le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy axe des nombres Ox est appelé axe des abscisses et l'axe numérique Oy est appelé axe des ordonnées (Fig. 5).

Définition 6. Chacun est rectangulaire système cartésien coordonnées divise le plan en 4 quarts (quadrants), dont la numérotation est illustrée à la figure 5.

Définition 7. Le plan sur lequel un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires est donné est appelé avion coordonné.

Note. L'axe des abscisses est spécifié sur le plan de coordonnées par l'équation oui= 0, l'axe des ordonnées est donné sur le plan de coordonnées par l'équation X = 0.

Déclaration 1. Distance entre deux points avion coordonné

UN 1 (X 1 ;oui 1) Et UN 2 (X 2 ;oui 2)

calculé selon la formule

Preuve . Considérez la figure 6.

Ainsi,

Q.E.D.

Équation d'un cercle sur le plan de coordonnées

Considérons sur le plan de coordonnées Oxy (Fig. 7) un cercle de rayon R de centre au point UN 0 (X 0 ;oui 0) .

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Beaucoup de temps est consacré au cercle des nombres en 10e année. Cela est dû à l’importance de cet objet mathématique pour l’ensemble du cours de mathématiques.

La sélection correcte des supports pédagogiques est d'une grande importance pour une bonne maîtrise de la matière. Les outils de ce type les plus efficaces incluent les didacticiels vidéo. DANS Dernièrement ils atteignent le sommet de leur popularité. Par conséquent, l'auteur n'est pas en retard et a développé un manuel si merveilleux pour aider les professeurs de mathématiques - une leçon vidéo sur le thème "Cercle numérique sur le plan de coordonnées".

Cette leçon dure 15:22 minutes. C'est pratiquement le temps maximum qu'un enseignant peut consacrer à l'explication indépendante d'un sujet. Étant donné que l'explication du nouveau matériel prend beaucoup de temps, il est nécessaire de sélectionner ceux qui conviennent le mieux à la consolidation. tâches efficaces et des exercices, ainsi que mettre en évidence une autre leçon où les étudiants résoudront des tâches sur ce sujet.

La leçon commence par une image d’un cercle numérique dans un système de coordonnées. L'auteur construit ce cercle et explique ses actions. Ensuite, l'auteur nomme les points d'intersection du cercle numérique avec les axes de coordonnées. Ce qui suit explique quelles coordonnées auront les points du cercle dans différents quartiers.

L’auteur rappelle ensuite à quoi ressemble l’équation d’un cercle. Et les auditeurs se voient présenter deux modèles représentant quelques points du cercle. Grâce à cela, dans l'étape suivante l'auteur montre comment trouver les coordonnées des points sur le cercle correspondant à certains numéros marqué sur les modèles. Cela produit un tableau de valeurs pour les variables x et y dans l'équation d'un cercle.

Ensuite, nous proposons de considérer un exemple où il est nécessaire de déterminer les coordonnées de points sur un cercle. Avant de commencer à résoudre l’exemple, quelques remarques sont introduites pour aider à le résoudre. Et puis une solution complète, clairement structurée et illustrée apparaît à l’écran. Il existe également ici des tableaux qui facilitent la compréhension de l'essence de l'exemple.

Ensuite, six autres exemples sont considérés, qui demandent moins de travail que le premier, mais non moins importants et réfléchis. idée principale leçon. Ici, les solutions sont présentées dans leur intégralité, avec une histoire détaillée et avec des éléments de clarté. À savoir, la solution contient des dessins illustrant la progression de la solution, et notation mathématique, formant culture mathématiqueétudiants.

L'enseignant peut se limiter aux exemples abordés dans la leçon, mais cela peut ne pas suffire pour un apprentissage de qualité de la matière. Par conséquent, le choix des tâches à renforcer est tout simplement extrêmement important.

La leçon peut être utile non seulement aux enseignants, dont le temps est constamment limité, mais aussi aux étudiants. Surtout ceux qui reçoivent éducation familiale ou est engagé dans une auto-éducation. Le matériel peut être utilisé par les étudiants qui ont manqué une leçon sur ce sujet.

DÉCODAGE DE TEXTE :

Le sujet de notre leçon est « CERCLE NUMÉRIQUE SUR LE PLAN DE COORDONNÉES »

Nous connaissons déjà le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy (x o y). Dans ce système de coordonnées, nous positionnerons le cercle numérique de manière à ce que le centre du cercle soit aligné avec l'origine des coordonnées, et son rayon sera pris comme segment d'échelle.

Le point de départ A du cercle numérique est combiné avec un point de coordonnées (1;0), B - avec un point (0;1), C - avec (-1;0) (moins un, zéro) et D - avec (0; - 1)(zéro, moins un).

(voir figure 1)

Puisque chaque point du cercle numérique a ses propres coordonnées dans le système xOy (x o y), alors pour les points du premier quart ikx Au dessus de zéro et le jeu est supérieur à zéro ;

PCI du deuxième trimestre moins que zéro et le jeu est supérieur à zéro,

pour les points du troisième quart-temps, ikx est inférieur à zéro et yk est inférieur à zéro,

et pour le quatrième trimestre, ikx est supérieur à zéro et yk est inférieur à zéro

Pour tout point E (x;y) (de coordonnées x, y) du cercle numérique, les inégalités -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x est supérieur ou égal à moins un, mais inférieur à ou égal à un ; y est supérieur ou égal à moins un, mais inférieur ou égal à un).

Rappelons que l'équation d'un cercle de rayon R de centre à l'origine a la forme x 2 + y 2 = R 2 (x carré plus y carré est égal à er carré). Et pour cercle unitaire R =1, donc on obtient x 2 + y 2 = 1

(x carré plus y carré est égal à un).

Trouvons les coordonnées des points sur le cercle numérique, qui sont présentés sur deux mises en page (voir Fig. 2, 3)

Soit le point E, qui correspond à

(pi par quatre) - le milieu du premier trimestre indiqué sur la figure. Du point E on abaisse la perpendiculaire EK à la droite OA et on considère le triangle OEK. Angle AOE =45 0, puisque l'arc AE est la moitié de l'arc AB. Le triangle OEK est donc un triangle rectangle isocèle, pour lequel OK = EC. Cela signifie que l'abscisse et l'ordonnée du point E sont égales, c'est-à-dire x est égal au jeu. Pour trouver les coordonnées du point E, on résout le système d'équations : (x est égal à y - la première équation du système et x carré plus y carré est égal à un - la deuxième équation du système Dans la seconde). équation du système, au lieu de x, on substitue y, on obtient 2y 2 = 1 (deux y carré est égal à un), d'où y = = (le y est égal à un divisé par la racine de deux est égal au racine de deux divisé par deux) (l'ordonnée est positive). Cela signifie que le point E dans système rectangulaire coordinates a coordinates(,)(racine de deux divisée par deux, racine de deux divisée par deux).

En raisonnant de la même manière, on trouve les coordonnées des points correspondant aux autres nombres du premier tracé et on obtient : le point correspondant est de coordonnées (- ,) (moins racine de deux divisé par deux, racine de deux divisée par deux) ; pour - (- ,-) (moins racine de deux divisé par deux, moins racine de deux divisé par deux) ; pour (sept pi sur quatre) (,)(racine de deux divisée par deux, moins racine de deux divisée par deux).

Soit le point D correspondant à (Fig. 5). Déposons la perpendiculaire de DP(de pe) à OA et considérons le triangle ODP. L'hypoténuse de ce triangle OD est égale au rayon du cercle unité, soit un, et l'angle DOP est égal à trente degrés, puisque l'arc AD = digi AB (a de est égal à un tiers a be), et l'arc AB est égal à quatre-vingt-dix degrés. Par conséquent, DP = (de pe est égal à la moitié O de est égal à la moitié) Puisque la jambe située à l'opposé de l'angle de trente degrés égal à la moitié hypoténuse, c'est-à-dire y = (y est égal à la moitié). En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe carré est égal à o de carré moins de pe carré), mais OR = x (o pe est égal à x). Cela signifie x 2 = OD 2 - DP 2 =

cela signifie x 2 = (x carré est égal aux trois quarts) et x = (x est égal à la racine de trois fois deux).

X est positif, car est au premier trimestre. Nous avons constaté que le point D dans un système de coordonnées rectangulaires a les coordonnées (,) racine de trois divisée par deux, une moitié.

En raisonnant de la même manière, nous trouverons les coordonnées des points correspondant aux autres nombres du deuxième tracé et écrirons toutes les données obtenues dans les tableaux :

Regardons des exemples.

EXEMPLE 1. Trouvez les coordonnées des points sur le cercle numérique : a) C 1 ();

b) C 2 (); c) C 3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse un correspondant à trente-cinq pi sur quatre, tse deux correspondant à moins quarante-neuf pi sur trois, tse trois correspondant à quarante et un pi, tse quatre correspondant à moins vingt-six pi).

Solution. Utilisons l'énoncé obtenu précédemment : si le point D du cercle numérique correspond au nombre t, alors il correspond à n'importe quel nombre de la forme t + 2πk(te plus deux pics), où ka est n'importe quel nombre entier, c'est-à-dire kϵZ (ka appartient à z).

a) On obtient = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (trente-cinq pi fois quatre est égal à trente-cinq fois quatre, multiplié par pi est égal à la somme de huit et trois quarts, multiplié par pi est égal à trois pi fois quatre plus le produit de deux pi par quatre). Cela signifie que le nombre trente-cinq pi par quatre correspond au même point sur le cercle numérique que le nombre trois pi par quatre. En utilisant le tableau 1, nous obtenons C 1 () = C 1 (- ;) .

b) Semblable aux coordonnées C 2 : = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Cela signifie que le nombre

correspond au même point sur le cercle numérique que le nombre. Et le nombre correspond au même point sur le cercle numérique que le nombre

(montrer la deuxième mise en page et le tableau 2). Pour un point on a x = , y =.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Cela signifie que le nombre 41π correspond au même point sur le cercle numérique que le nombre π - c'est un point de coordonnées (-1 ; 0).

d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), c'est-à-dire que le nombre - 26π correspond au même point sur le cercle numérique que le nombre zéro - c'est un point de coordonnées (1;0).

EXEMPLE 2. Trouvez des points sur le cercle numérique d'ordonnée y =

Solution. La droite y = coupe le cercle numérique en deux points. Un point correspond à un nombre, le deuxième point correspond à un nombre,

Par conséquent, nous obtenons tous les points en ajoutant un tour complet 2πk où k montre combien révolutions complètes fait valoir un point, c'est-à-dire on a,

et pour tout nombre tous les nombres de la forme + 2πk. Souvent, dans de tels cas, ils disent avoir reçu deux séries de valeurs : + 2πk, + 2πk.

EXEMPLE 3. Trouvez des points sur le cercle numérique en abscisse x = et notez à quels nombres t ils correspondent.

Solution. Droit X= coupe le cercle numérique en deux points. Un point correspond à un nombre (voir deuxième disposition),

et donc n'importe quel nombre de la forme + 2πk. Et le deuxième point correspond à un nombre, et donc à tout nombre de la forme + 2πk. Ces deux séries de valeurs peuvent être couvertes en une seule entrée : ± + 2πk (plus moins deux pi par trois plus deux pi).

EXEMPLE 4. Trouver des points en ordonnée sur le cercle numérique à> et notez à quels nombres t ils correspondent.

La droite y = coupe le cercle numérique en deux points M et P. Et l'inégalité y > correspond aux points de l'arc ouvert MR, cela signifie des arcs sans extrémités (c'est-à-dire sans u), lorsqu'on se déplace autour du cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre , partant du point M et se terminant au point P. Cela signifie que le cœur de la notation analytique de l'arc MR est l'inégalité< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

EXEMPLE5. Trouver les points ordonnés sur le cercle numérique à < и записать, каким числам t они соответствуют.

La droite y = coupe le cercle numérique en deux points M et P. Et l'inégalité y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

EXEMPLE 6. Trouver les points en abscisse sur le cercle numérique X> et notez à quels nombres t ils correspondent.

La droite x = coupe le cercle numérique en deux points M et P. L'inégalité x > correspond aux points de l'arc ouvert PM lors du déplacement le long du cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre avec le début au point P, qui correspond, et la fin au point M, ce qui correspond. Cela signifie que le cœur de la notation analytique de l'arc PM est l'inégalité< t <

(te est supérieur à moins deux pi sur trois, mais inférieur à deux pi sur trois), et la notation analytique de l'arc lui-même a la forme + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

EXEMPLE 7. Trouver les points en abscisse sur le cercle numérique X < и записать, каким числам t они соответствуют.

La droite x = coupe le cercle numérique en deux points M et P. Inégalité x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te est supérieur à deux pi sur trois, mais inférieur à quatre pi sur trois), et la notation analytique de l'arc lui-même a la forme + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

Cercle de nombres est un cercle unité dont les points correspondent à certains nombres réels.

Un cercle unité est un cercle de rayon 1.

Vue générale du cercle numérique.

1) Son rayon est pris comme unité de mesure.

2) Les diamètres horizontal et vertical divisent le cercle numérique en quatre quarts (voir figure). Ils sont respectivement appelés premier, deuxième, troisième et quatrième trimestre.

3) Le diamètre horizontal est noté AC, A étant le point le plus à droite.
Le diamètre vertical est noté BD, B étant le point le plus haut.
Respectivement:

le premier quart est l'arc AB

deuxième quart – arc BC

troisième quart – arc CD

quatrième quart – arc DA

4) Le point de départ du cercle numérique est le point A.

Compter le long du cercle numérique peut être effectué dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse.
Compter à partir du point A dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est appelé direction positive.
Compter à partir du point A dans le sens des aiguilles d'une montre s'appelle sens négatif.

Cercle numérique sur le plan de coordonnées.

Le centre du rayon du cercle numérique correspond à l'origine (chiffre 0).

Le diamètre horizontal correspond à l'axe X, verticaux – axes oui.

Le point de départ A du cercle numérique se trouve sur l'axe X et a les coordonnées (1 ; 0).

ValeursX Etoui en quarts de cercle numérique :

Dimensions de base du cercle numérique :

Noms et emplacements des principaux points sur le cercle numérique :

Comment mémoriser les noms des cercles numériques.

Il existe plusieurs modèles simples qui vous aideront à mémoriser facilement les noms de base du cercle numérique.

Avant de commencer, rappelons : le comptage s'effectue dans le sens positif, c'est-à-dire à partir du point A (2π) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

1) Commençons par les points extrêmes sur les axes de coordonnées.

Le point de départ est 2π (le point le plus à droite de l’axe X, égal à 1).

Comme vous le savez, 2π est la circonférence d’un cercle. Cela signifie qu'un demi-cercle vaut 1π ou π. Axe X divise le cercle exactement en deux. En conséquence, le point le plus à gauche de l'axe Xégal à -1 est appelé π.

Le point le plus haut de l'axe à, égal à 1, divise le demi-cercle supérieur en deux. Cela signifie que si un demi-cercle est π, alors un demi-cercle est π/2.

En même temps, π/2 est aussi un quart de cercle. Comptons trois de ces quarts du premier au troisième - et nous arriverons au point le plus bas de l'axe à, égal à -1. Mais s’il comprend les trois quarts, alors son nom est 3π/2.

2) Passons maintenant aux points restants. Attention : tous les points opposés ont le même numérateur - et ce sont des points opposés par rapport à l'axe à, à la fois par rapport au centre des axes et par rapport à l'axe X. Cela nous aidera à connaître leurs valeurs en points sans bourrer.

Il suffit de retenir la signification des points du premier quart : π/6, π/4 et π/3. Et puis nous « verrons » quelques modèles :

- Par rapport à l'axe y aux points du deuxième trimestre, à l'opposé des points du premier trimestre, les nombres dans les numérateurs sont inférieurs de 1 à la taille des dénominateurs. Par exemple, prenons le point π/6. Le point opposé à lui par rapport à l'axe à a également 6 au dénominateur et 5 au numérateur (1 de moins). Autrement dit, le nom de ce point est : 5π/6. Le point opposé à π/4 a également 4 au dénominateur et 3 au numérateur (1 inférieur à 4) - c'est-à-dire qu'il s'agit d'un point 3π/4.
Le point opposé à π/3 a également 3 au dénominateur, et 1 de moins au numérateur : 2π/3.

- Par rapport au centre des axes de coordonnées tout est inversé : les nombres aux numérateurs des points opposés (au troisième trimestre) sont supérieurs de 1 à la valeur des dénominateurs. Reprenons le point π/6. Le point opposé par rapport au centre a également 6 au dénominateur, et au numérateur le nombre est 1 plus grand, c'est-à-dire qu'il est 7π/6.

Le point opposé au point π/4 a également 4 au dénominateur, et au numérateur le nombre est 1 de plus : 5π/4.
Le point opposé au point π/3 a également 3 au dénominateur, et au numérateur le nombre est 1 de plus : 4π/3.

- Par rapport à l'axe X(quatrième trimestre) la question est plus compliquée. Ici, vous devez ajouter à la valeur du dénominateur un nombre inférieur de 1 - cette somme sera égale à la partie numérique du numérateur du point opposé. Reprenons avec π/6. Ajoutons à la valeur du dénominateur égale à 6 un nombre inférieur de 1 à ce nombre, soit 5. On obtient : 6 + 5 = 11. Cela signifie qu'il est opposé à l'axe X le point aura 6 au dénominateur et 11 au numérateur, soit 11π/6.

Point π/4. On ajoute à la valeur du dénominateur un nombre 1 en moins : 4 + 3 = 7. Cela signifie qu'il est opposé à l'axe X le point a 4 au dénominateur et 7 au numérateur, soit 7π/4.
Point π/3. Le dénominateur est 3. Nous ajoutons à 3 un nombre plus petit de un, c'est-à-dire 2. Nous obtenons 5. Cela signifie que le point opposé a 5 au numérateur - et c'est le point 5π/3.

3) Un autre motif pour les points des milieux des quartiers. Il est clair que leur dénominateur est 4. Faisons attention aux numérateurs. Le numérateur du milieu du premier trimestre est 1π (mais il n'est pas d'usage d'écrire 1). Le numérateur du milieu du deuxième trimestre est 3π. Le numérateur du milieu du troisième quart est 5π. Le numérateur du milieu du quatrième trimestre est 7π. Il s'avère que les numérateurs des quartiers du milieu contiennent les quatre premiers nombres impairs par ordre croissant :
(1)π, 3π, 5π, 7π.
C'est aussi très simple. Puisque les milieux de tous les quartiers ont 4 au dénominateur, nous connaissons déjà leurs noms complets : π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Caractéristiques du cercle numérique. Comparaison avec la droite numérique.

Comme vous le savez, sur la droite numérique, chaque point correspond à un seul nombre. Par exemple, si le point A d’une droite est égal à 3, alors il ne peut plus être égal à aucun autre nombre.

C'est différent sur le cercle numérique parce que c'est un cercle. Par exemple, pour venir du point A d'un cercle au point M, vous pouvez le faire comme sur une ligne droite (en passant seulement un arc), ou vous pouvez faire le tour d'un cercle entier, puis arriver au point M. Conclusion:

Soit le point M égal à un nombre t. Comme nous le savons, la circonférence d’un cercle est 2π. Cela signifie que l’on peut écrire un point sur un cercle t de deux manières : t ou t + 2π. Ce sont des valeurs équivalentes.
Autrement dit, t = t + 2π. La seule différence est que dans le premier cas, vous êtes arrivé immédiatement au point M sans faire de cercle, et dans le second cas, vous avez fait un cercle, mais vous êtes arrivé au même point M. Vous pouvez en faire deux, trois ou deux cents. cercles. Si on note le nombre de cercles par la lettre k, on obtient alors une nouvelle expression :
t = t + 2π k.

D'où la formule :

Équation du cercle numérique
(la deuxième équation est dans la section « Sinus, cosinus, tangente, cotangente ») :