Une médiane est un segment tiré du sommet d'un triangle jusqu'au milieu du côté opposé, c'est-à-dire qu'elle le divise en deux au point d'intersection. Le point d'intersection de la médiane en face du sommet le côté d'où il émerge s'appelle la base. Chaque médiane du triangle passe par un point, appelé point d'intersection. La formule de sa longueur peut être exprimée de plusieurs manières.

Formules pour exprimer la longueur de la médiane

Souvent, dans les problèmes de géométrie, les élèves doivent composer avec un segment tel que la médiane d'un triangle. La formule de sa longueur s'exprime en termes de côtés :

où a, b et c sont les côtés. De plus, c est le côté sur lequel tombe la médiane. Voilà à quoi ça ressemble formule simple. Les médianes d'un triangle sont parfois requises pour les calculs auxiliaires. Il existe d'autres formules.

Si lors du calcul deux côtés d'un triangle et un certain angle α situé entre eux sont connus, alors la longueur de la médiane du triangle, abaissée jusqu'au troisième côté, sera exprimée comme suit.

Propriétés de base

Toutes les médianes en ont un point commun les intersections de O et lui sont divisées dans le rapport de deux pour un, si on les compte à partir du sommet. Ce point est appelé centre de gravité du triangle.
La médiane divise le triangle en deux autres dont les aires sont égales. De tels triangles sont appelés aires égales.
Si vous dessinez toutes les médianes, le triangle sera divisé en 6 chiffres de taille égale, qui seront aussi des triangles.
Si les trois côtés d'un triangle sont égaux, alors chacune des médianes sera également une altitude et une bissectrice, c'est-à-dire perpendiculaire au côté vers lequel elle est dessinée, et divisera en deux l'angle d'où elle émerge.
DANS triangle isocèle la médiane tombée d'un sommet opposé à un côté qui n'est égal à aucun autre sera également une altitude et une bissectrice. Les médianes supprimées des autres sommets sont égales. Cela est également nécessaire et état suffisant isocèle.
Si le triangle est la base pyramide régulière, alors la hauteur abaissée jusqu'à une base donnée est projetée jusqu'au point d'intersection de toutes les médianes.

Dans un triangle rectangle, la médiane tracée vers le plus grand côté, est égal à la moitié de sa longueur.
Soit O le point d'intersection des médianes du triangle. La formule ci-dessous sera vraie pour tout point M.

La médiane d’un triangle a une autre propriété. La formule du carré de sa longueur passant par les carrés des côtés est présentée ci-dessous.

Propriétés des côtés vers lesquels la médiane est tracée

Si vous connectez deux points d'intersection des médianes avec les côtés sur lesquels elles sont déposées, alors le segment résultant sera la ligne médiane du triangle et sera la moitié du côté du triangle avec lequel il n'a pas de points communs.
Les bases des altitudes et les médianes d'un triangle, ainsi que les milieux des segments reliant les sommets du triangle au point d'intersection des altitudes, se trouvent sur le même cercle.

En conclusion, il est logique de dire que l’un des segments les plus importants est la médiane du triangle. Sa formule peut être utilisée pour trouver les longueurs de ses autres côtés.

Triangle - un polygone à trois côtés, ou fermé ligne brisée avec trois maillons, ou une figure formée de trois segments reliant trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite (voir Fig. 1).

Éléments de base du triangle ABC

Pics – les points A, B et C ;

Fêtes – les segments a = BC, b = AC et c = AB reliant les sommets ;

Angles – α, β, γ formés de trois paires de côtés. Les angles sont souvent désignés de la même manière que les sommets, avec les lettres A, B et C.

L'angle formé par les côtés d'un triangle et situé dans son aire intérieure est appelé angle intérieur, et celui qui lui est adjacent est l'angle adjacent du triangle (2, p. 534).

Hauteurs, médianes, bissectrices et lignes médianes d'un triangle

En plus des principaux éléments d'un triangle, d'autres segments aux propriétés intéressantes sont également considérés : les hauteurs, les médianes, les bissectrices et les lignes médianes.

Hauteur

Hauteurs des triangles- ce sont des perpendiculaires tombant des sommets du triangle vers les côtés opposés.

Pour tracer la hauteur, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1) tracer une droite contenant un des côtés du triangle (si la hauteur est tirée du sommet angle aigu dans un triangle obtus);

2) à partir du sommet opposé à la ligne tracée, tracez un segment du point à cette ligne en faisant avec lui un angle de 90 degrés.

Le point d'intersection de l'altitude avec le côté du triangle s'appelle hauteur de base (voir fig. 2).

Propriétés des altitudes du triangle

Dans un triangle rectangle, l'altitude tirée du sommet angle droit, le divise en deux triangles similaires au triangle d'origine.

Dans un triangle aigu, ses deux altitudes en coupent des triangles semblables.

Si le triangle est aigu, alors toutes les bases des altitudes appartiennent aux côtés du triangle, et triangle obtus deux hauteurs tombent dans le prolongement des côtés.

Trois hauteurs en triangle aigu se croisent en un point et ce point est appelé orthocentre triangle.

Médian

Médianes(du latin mediana – « milieu ») - ce sont des segments reliant les sommets du triangle aux milieux des côtés opposés (voir Fig. 3).

Pour construire la médiane, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1) trouver le milieu du côté ;

2) Reliez le point qui est le milieu du côté du triangle avec le sommet opposé avec un segment.

Propriétés des médianes du triangle

La médiane divise un triangle en deux triangles de même aire.

Les médianes d’un triangle se coupent en un point, ce qui divise chacune d’elles dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet. Ce point est appelé centre de gravité triangle.

Le triangle entier est divisé par ses médianes en six triangles égaux.

Bissecteur

Bissectrices(du latin bis - deux fois et seko - couper) sont les segments de droite enfermés dans un triangle qui coupe ses angles en deux (voir Fig. 4).

Pour construire une bissectrice, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1) construire un rayon sortant du sommet de l'angle et le divisant en deux parties égales (la bissectrice de l'angle) ;

2) trouver le point d'intersection de la bissectrice de l'angle du triangle avec le côté opposé ;

3) sélectionnez un segment reliant le sommet du triangle avec le point d'intersection du côté opposé.

Propriétés des médiatrices du triangle

La bissectrice d'un angle d'un triangle divise le côté opposé dans le rapport égal au rapport deux côtés adjacents.

Les bissectrices des angles intérieurs d'un triangle se coupent en un point. Ce point est appelé le centre du cercle inscrit.

Les bissectrices des angles interne et externe sont perpendiculaires.

Si la bissectrice d'un angle extérieur d'un triangle coupe l'extension du côté opposé, alors ADBD=ACBC.

Bissectrices d'un interne et de deux coins extérieurs les triangles se coupent en un point. Ce point est le centre d'un des trois excercles de ce triangle.

Les bases des bissectrices de deux angles internes et d'un angle externe d'un triangle se trouvent sur la même droite si la bissectrice de l'angle externe n'est pas parallèle au côté opposé du triangle.

Si les bissectrices des angles extérieurs d’un triangle ne sont pas parallèles aux côtés opposés, alors leurs bases se trouvent sur la même ligne droite.

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1. La médiane divise un triangle en deux triangles d’aire égale.

2. Les médianes du triangle se coupent en un point, ce qui divise chacune d'elles dans un rapport de 2:1, à partir du sommet. Ce point est appelé centre de gravité triangle.

3. Le triangle entier est divisé par ses médianes en six triangles égaux.

Propriétés des médiatrices du triangle

1. La bissectrice d’un angle est lieu points équidistants des côtés de cet angle.

2. Bissectrice coin interne d'un triangle divise le côté opposé en segments proportionnels aux côtés adjacents : .

3. Le point d'intersection des bissectrices d'un triangle est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

Propriétés des altitudes du triangle

1. Dans un triangle rectangle, l'altitude tirée du sommet de l'angle droit le divise en deux triangles semblables à celui d'origine.

2. Dans un triangle aigu, deux de ses altitudes en coupent des similaires triangles.

Propriétés médiatrices perpendiculaires triangle

1. Chaque point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. L’inverse est également vrai : tout point équidistant des extrémités d’un segment se trouve sur la médiatrice perpendiculaire à celui-ci.

2. Le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires tracées aux côtés du triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Propriété de la ligne médiane d'un triangle

La ligne médiane d’un triangle est parallèle à l’un de ses côtés et égale à la moitié de ce côté.

Similitude des triangles

Deux triangles similaire si l'une des affirmations suivantes est vraie conditions suivantes, appelé signes de similitude :

· deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle ;

· deux côtés d'un triangle sont proportionnels aux deux côtés d'un autre triangle, et les angles formés par ces côtés sont égaux ;

· trois côtés d'un triangle sont respectivement proportionnels aux trois côtés d'un autre triangle.

DANS triangles similaires les lignes correspondantes (hauteurs, médianes, bissectrices, etc.) sont proportionnelles.

Théorème des sinus

Théorème du cosinus

un 2= b2+ c2- 2avant JC parce que

Formules d'aire triangulaire

1. Triangle gratuit

une, b, c - côtés; - angle entre les côtés un Et b; - demi-périmètre ; R- rayon du cercle circonscrit; r- rayon du cercle inscrit ; S- carré; ha - hauteur tirée à côté un.