Formule d'énergie cinétique autour d'un cercle. Énergie cinétique et travail lors d'un mouvement de rotation

Principales caractéristiques dynamiques mouvement de rotation- moment d'impulsion par rapport à l'axe de rotation z :

et énergie cinétique

DANS cas général, l'énergie lors d'une rotation avec une vitesse angulaire se trouve par la formule :

En thermodynamique

Exactement par le même raisonnement que dans le cas mouvement vers l'avant, l'équidistribution implique que lorsque équilibre thermique l'énergie de rotation moyenne de chaque particule d'un gaz monoatomique : (3/2)k B T. De même, le théorème d’équipartition nous permet de calculer la vitesse angulaire quadratique moyenne des molécules.

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Fondation Wikimédia.

2010.

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Grande encyclopédie médicaleÉnergie cinétique énergie Système mécanique

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1. Considérez la rotation du corps autour immobile axe Z. Divisons le corps entier en un ensemble de masses élémentaires m je. Vitesse linéaire de masse élémentaire m je– v je = w R je, où R je– distance de masse m je de l'axe de rotation. Donc l’énergie cinétique je la masse élémentaire sera égale à . Énergie cinétique totale du corps : , voici le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation.

Ainsi, l'énergie cinétique d'un corps tournant autour d'un axe fixe est égale à :

2. Maintenant, laissez le corps tourne par rapport à un axe, et lui-même l'axe se déplace progressivement, en restant parallèle à elle-même.

PAR EXEMPLE : Une bille roulant sans glisser effectue un mouvement de rotation, et son centre de gravité, par lequel passe l'axe de rotation (point « O »), se déplace en translation (Fig. 4.17).

Vitesse je-que la masse corporelle élémentaire est égale à , où est la vitesse d'un certain point « O » du corps ; – rayon vecteur qui détermine la position de la masse élémentaire par rapport au point « O ».

L'énergie cinétique d'une masse élémentaire est égale à :

COMMENTAIRE: produit vectoriel coïncide en direction avec le vecteur et a un module égal à (Fig. 4.18).

En tenant compte de cette remarque, on peut écrire que , où est la distance de la masse à l'axe de rotation. Au deuxième terme on effectue un réarrangement cyclique des facteurs, après quoi on obtient

Pour obtenir l'énergie cinétique totale du corps, on additionne cette expression sur toutes les masses élémentaires, en retirant facteurs constants pour le signe somme. On a

La somme des masses élémentaires est la masse du corps « m ». L'expression est égale au produit de la masse du corps par le rayon vecteur du centre d'inertie du corps (par définition du centre d'inertie). Enfin, le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe passant par le point « O ». On peut donc écrire

.

Si l’on prend le centre d’inertie du corps « C » comme point « O », le rayon vecteur sera égal à zéro et le deuxième terme disparaîtra. Alors, en désignant par – la vitesse du centre d'inertie, et par – le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe passant par le point « C », on obtient :

(4.6)

Ainsi, l’énergie cinétique d’un corps en mouvement plan est composée de l’énergie du mouvement de translation avec une vitesse vitesse égale centre d'inertie, et l'énergie de rotation autour d'un axe passant par le centre d'inertie du corps.

Travail des forces extérieures lors du mouvement de rotation d'un corps rigide.

Trouvons le travail effectué par les forces lorsque le corps tourne autour de l'axe Z stationnaire.

Supposons qu'une force interne et une force externe agissent sur la masse (la force résultante se situe dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation) (Fig. 4.19). Ces forces s'exercent dans le temps dt emploi:

Ayant effectué en oeuvres mixtes vecteurs de permutation cyclique des facteurs, on trouve :

où , sont respectivement les moments des forces internes et externes par rapport au point « O ».

En résumant toutes les masses élémentaires, nous obtenons travail de base, effectué sur le corps dans le temps dt:

La somme des moments des efforts internes est nulle. Alors, désignant le moment total des forces extérieures par , on arrive à l'expression :

.

Il est connu que produit scalaire deux vecteurs est appelé un scalaire égal au produit du module de l'un des vecteurs multiplié par la projection du second dans la direction du premier, en tenant compte du fait que , (les directions de l'axe Z coïncident), on obtient

,

mais W dt=d j, c'est-à-dire l'angle selon lequel un corps tourne dans le temps dt. C'est pourquoi

.

Le signe de l'œuvre dépend du signe de M z, c'est-à-dire du signe de la projection du vecteur sur la direction du vecteur.

Alors, quand le corps tourne Forces internes aucun travail n'est effectué et le travail des forces extérieures est déterminé par la formule .

Le travail effectué dans une période de temps finie est trouvé par intégration

.

Si la projection du moment résultant des forces extérieures sur la direction reste constante, alors elle peut être retirée du signe intégral :

, c'est à dire. .

Ceux. le travail effectué par une force extérieure lors du mouvement de rotation d'un corps est égal au produit de la projection du moment de la force extérieure sur la direction et l'angle de rotation.

D'autre part, le travail d'une force externe agissant sur un corps va augmenter l'énergie cinétique du corps (ou est égal à la variation de l'énergie cinétique du corps en rotation). Montrons ceci :

;

Ainsi,

. (4.7)

Tout seul:

Forces élastiques;

La loi de Hooke.

Hydrodynamique

Lignes et tubes actuels.

L'hydrodynamique étudie le mouvement des liquides, mais ses lois s'appliquent également au mouvement des gaz. Dans un écoulement de fluide stationnaire, la vitesse de ses particules en chaque point de l'espace est une quantité indépendante du temps et fonction des coordonnées. Dans un écoulement constant, les trajectoires des particules fluides forment une ligne de courant. La combinaison des lignes de courant forme un tube de courant (Fig. 5.1). On suppose que le fluide est incompressible, alors le volume de fluide circulant dans les sections S 1 et S 2 sera pareil. En une seconde, un volume de liquide traversera ces sections égal à

, (5.1)

où et sont les vitesses des fluides dans les sections S 1 et S 2 , et les vecteurs et sont définis comme et , où et sont les normales aux sections S 1 et S 2. L'équation (5.1) est appelée équation de continuité du jet. Il en résulte que la vitesse du fluide est inversement proportionnelle à la section du tube de courant.

L'équation de Bernoulli.

Nous considérerons un fluide incompressible idéal dans lequel il n'y a pas de frottement interne (viscosité). Sélectionnons un mince tube de courant dans un liquide à écoulement stationnaire (Fig. 5.2) avec des sections S1 Et S2, perpendiculaire aux lignes de courant. En coupe transversale 1 dans un court laps de temps t les particules se déplaceront sur une certaine distance l1, et dans la section 2 - à une distance l2. À travers les deux sections dans le temps t de petits volumes égaux de liquide passeront à travers V= V1 = V2 et transfère beaucoup de liquide m = rV, Où r- densité du liquide. Changement global énergie mécanique de tout le liquide dans le tube d'écoulement entre les sections S1 Et S2 cela s'est produit pendant t, peut être remplacé en modifiant l'énergie volumique V qui s'est produit lors du passage de la section 1 à la section 2. Avec un tel mouvement, la cinétique et énergie potentielle ce volume, et le changement complet de son énergie

, (5.2)

où v 1 et v 2 - vitesses des particules fluides dans les sections S1 Et S2 respectivement; g- accélération la gravité; heure 1 Et h 2- hauteur du centre des profilés.

Dans un fluide idéal, il n’y a pas de pertes par frottement, donc l’augmentation d’énergie est DE doit être égal au travail effectué par les forces de pression sur le volume alloué. En l’absence de forces de frottement, ce travail :

En assimilant les membres droits des égalités (5.2) et (5.3) et en transférant les termes avec les mêmes indices d'un côté de l'égalité, on obtient

. (5.4)

Sections de tubes S1 Et S2 ont été prises arbitrairement, on peut donc affirmer que dans n'importe quelle section du tube actuel, l'expression est valable

. (5.5)

L'équation (5.5) est appelée équation de Bernoulli. Pour ligne horizontale actuel h = const et l'égalité (5.4) prend la forme

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

ceux. la pression est moindre aux points où la vitesse est plus grande.

Forces de friction internes.

Vrai liquide viscosité inhérente, qui se manifeste par le fait que tout mouvement de liquide et de gaz s'arrête spontanément en l'absence des raisons qui l'ont provoqué. Considérons une expérience dans laquelle une couche de liquide est située au-dessus d'une surface stationnaire et au-dessus d'elle se déplace à une vitesse de , une plaque flottant dessus avec une surface S(Fig. 5.3). L'expérience montre que pour déplacer une assiette avec vitesse constante il faut agir avec force. Puisque la plaque ne reçoit pas d'accélération, cela signifie que l'action de cette force est équilibrée par une autre force, de même ampleur et de direction opposée, qui est la force de frottement. . Newton a montré que la force de frottement

, (5.7)

Où d- épaisseur de la couche liquide, h - coefficient de viscosité ou coefficient de frottement du liquide, le signe moins prend en compte direction différente vecteurs Ftr Et v o. Si l'on examine la vitesse des particules liquides à différents endroits de la couche, il s'avère qu'elle varie en fonction loi linéaire(Fig. 5.3) :

v(z) = = (v 0 /d)·z.

En différenciant cette égalité, on obtient dv/dz= v 0 /d. Avec ça en tête

Ftr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Où h- coefficient viscosité dynamique . Ordre de grandeur dv/dz appelé gradient de vitesse. Il montre à quelle vitesse la vitesse change dans la direction de l'axe z. À dv/dz= le gradient de vitesse constant est numériquement égal au changement de vitesse v quand ça change z par unité. Mettons numériquement dans la formule (5.8) dv/dz =-1 et S= 1, on obtient h = F. cela implique signification physique h: coefficient de viscosité numériquement égal à la force, qui agit sur une couche de liquide d'unité de surface avec un gradient de vitesse, égal à un. L'unité SI de viscosité est appelée pascal seconde (notée Pa s). Dans le système Unité SGH la viscosité est de 1 poise (P), avec 1 Pa·s = 10P.

Mécanique.

Question n°1

Système de référence. Systèmes de référence inertiels. Le principe de relativité de Galilée - Einstein.

Cadre de réference- il s'agit d'un ensemble de corps par rapport auquel sont décrits le mouvement d'un corps donné et le système de coordonnées qui lui est associé.

Système de référence inertielle (IRS) est un système dans lequel un corps en mouvement libre est dans un état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

Principe de relativité de Galilée-Einstein- Tous les phénomènes naturels à tout moment système inertiel le comptage s'effectue de la même manière et a le même forme mathématique. En d’autres termes, tous les ISO sont égaux.

Question n°2

Équation du mouvement. Types de mouvement solide. La tâche principale de la cinématique.

Équations de mouvement point matériel:

- équation cinématique du mouvement

Types de mouvements de corps rigides :

1) Mouvement de translation – toute ligne droite tracée dans le corps se déplace parallèlement à elle-même.

2) Mouvement de rotation - n'importe quel point du corps se déplace en cercle.

φ = φ(t)

La tâche principale de la cinématique- il s'agit d'obtenir la dépendance temporelle de la vitesse V = V(t) et des coordonnées (ou rayon vecteur) r = r(t) d'un point matériel à partir de la dépendance connue de son accélération a = a(t) sur le temps et le connu conditions initiales V 0 et r 0 .

Question n°7

Impulsion (Quantité de mouvement) - vecteur quantité physique, caractérisant la mesure mouvement mécanique corps. DANS mécanique classique impulsion corporelle égal au produit masses m ce point par sa vitesse v, la direction de l'impulsion coïncide avec la direction du vecteur vitesse :

DANS mécanique théorique impulsion généralisée est la dérivée partielle du lagrangien du système par rapport à vitesse généralisée

Si le Lagrangien du système ne dépend pas de certains coordonnées généralisées, alors à cause de équations de Lagrange .

Pour particule libre la fonction de Lagrange a la forme : , donc :

Indépendance du Lagrangien systeme ferme de sa position dans l'espace découle de la propriété homogénéité de l'espace: pour de bon système isolé son comportement ne dépend pas de l'endroit où nous le plaçons dans l'espace. Par Théorème de Noether De cette homogénéité découle la conservation d’une certaine quantité physique. Cette quantité est appelée impulsion (ordinaire, non généralisée).

En mécanique classique, complet impulsion le système de points matériels est appelé quantité de vecteur, égal à la somme des produits des masses des points matériels et de leur vitesse :

par conséquent, la quantité est appelée la quantité de mouvement d'un point matériel. Il s’agit d’une quantité vectorielle dirigée dans la même direction que la vitesse des particules. L'unité d'impulsion est en Système international unités (SI) est kilogramme-mètre par seconde(kg m/s)

Si nous avons affaire à un corps de taille finie, pour déterminer sa quantité de mouvement, il est nécessaire de diviser le corps en petites parties, qui peuvent être considérées comme des points matériels et additionnées sur elles, nous obtenons ainsi :

L'impulsion d'un système qui n'est affecté par aucun forces externes(ou ils sont indemnisés) enregistréà l'heure:

La conservation de la quantité de mouvement découle dans ce cas des deuxième et troisième lois de Newton : en écrivant la deuxième loi de Newton pour chacun des points matériels composant le système et en faisant la somme sur tous les points matériels composant le système, en vertu de la troisième loi de Newton on obtient l'égalité (* ).

DANS mécanique relativiste l'élan tridimensionnel d'un système de points matériels sans interaction est la quantité

,

Où je suis- poids je le point matériel.

Pour un système fermé de points matériels sans interaction, cette valeur est conservée. Cependant, la quantité de mouvement tridimensionnelle n'est pas une quantité relativiste invariante, puisqu'elle dépend du référentiel. Une quantité plus significative sera l'impulsion à quatre dimensions, qui pour un point matériel est définie comme

En pratique, les relations suivantes entre la masse, la quantité de mouvement et l'énergie d'une particule sont souvent utilisées :

En principe, pour un système de points matériels n’interagissant pas, leurs 4 moments sont additionnés. Cependant, pour les particules en interaction en mécanique relativiste, il est nécessaire de prendre en compte non seulement l'impulsion des particules qui composent le système, mais également l'impulsion du champ d'interaction entre elles. Par conséquent, une quantité beaucoup plus significative en mécanique relativiste est le tenseur énergie-impulsion, qui satisfait pleinement aux lois de conservation.

Question n°8

Moment d'inertie- une grandeur physique scalaire, mesure de l'inertie d'un corps en mouvement de rotation autour d'un axe, tout comme la masse d'un corps est une mesure de son inertie en mouvement de translation. Caractérisé par la répartition des masses dans le corps : moment d'inertie égal à la somme produits des masses élémentaires par le carré de leurs distances à ensemble de base

Moment d'inertie axial

Moments d'inertie axiaux de certains corps.

Moment d'inertie d'un système mécanique par rapport à un axe fixe (« moment d'inertie axial ») est la quantité J a, égal à la somme des produits des masses de tous n points matériels du système par les carrés de leurs distances à l'axe :

,

• je suis- poids je le point,
• r je- distance de jeème point sur l’axe.

Axial moment d'inertie corps J a est une mesure de l'inertie d'un corps en mouvement de rotation autour d'un axe, tout comme la masse d'un corps est une mesure de son inertie en mouvement de translation.

,

• dm = ρ dV- masse d'un petit élément du volume corporel dV,
• ρ - densité,
• r- distance de l'élément dVà l'axe a.

Si le corps est homogène, c'est-à-dire que sa densité est la même partout, alors

Dérivation de la formule

dm et moments d'inertie DJ je. Alors

Cylindre à paroi mince (anneau, cerceau)

Dérivation de la formule

Le moment d'inertie d'un corps est égal à la somme des moments d'inertie de ses éléments constitutifs. Diviser un cylindre à paroi mince en éléments ayant une masse dm et moments d'inertie DJ je. Alors

Puisque tous les éléments d'un cylindre à paroi mince sont à la même distance de l'axe de rotation, la formule (1) se transforme sous la forme

Théorème de Steiner

Moment d'inertie La position d'un corps solide par rapport à n'importe quel axe dépend non seulement de la masse, de la forme et de la taille du corps, mais également de la position du corps par rapport à cet axe. D'après le théorème de Steiner (théorème de Huygens-Steiner), moment d'inertie corps J. par rapport à un axe arbitraire est égal à la somme moment d'inertie ce corps Jc par rapport à un axe passant par le centre de masse du corps parallèle à l'axe considéré, et le produit de la masse corporelle m par carré de distance d entre axes :

Si est le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe passant par le centre de masse du corps, alors le moment d'inertie par rapport à un axe parallèle situé à distance de celui-ci est égal à

,

Où - masse complète corps.

Par exemple, le moment d'inertie d'une tige par rapport à un axe passant par son extrémité est égal à :

Énergie de rotation

Énergie cinétique du mouvement de rotation- l'énergie d'un corps associée à sa rotation.

Basique caractéristiques cinématiques mouvement de rotation d'un corps - sa vitesse angulaire (ω) et accélération angulaire. Les principales caractéristiques dynamiques du mouvement de rotation - moment cinétique par rapport à l'axe de rotation z :

Kz = Je zω

et énergie cinétique

où I z est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation.

Un exemple similaire peut être trouvé en considérant une molécule en rotation avec des axes d'inertie principaux Je 1, Je 2 Et je 3. L'énergie de rotation d'une telle molécule est donnée par l'expression

Où ω 1, ω 2, Et ω 3- les principales composantes de la vitesse angulaire.

En général, l'énergie lors d'une rotation avec une vitesse angulaire se trouve par la formule :

, Où je- tenseur d'inertie.

Question n°9

Moment d'impulsion (moment cinétique, moment cinétique, moment orbital, moment cinétique) caractérise l'ampleur du mouvement de rotation. Quantité qui dépend de la quantité de masse en rotation, de la manière dont elle est distribuée par rapport à l'axe de rotation et de la vitesse à laquelle la rotation se produit.

Il convient de noter que la rotation s'entend ici dans dans un sens large, pas seulement comme rotation régulière autour d'un axe. Par exemple, même avec mouvement droit corps au-delà d'un point imaginaire arbitraire ne se trouvant pas sur la ligne de mouvement, il a également un moment cinétique. Le rôle le plus important est peut-être joué par le moment cinétique dans la description du mouvement de rotation réel. Cependant, cela est extrêmement important pour une classe de problèmes beaucoup plus large (surtout si le problème a une cause centrale ou symétrie axiale, mais pas seulement dans ces cas).

Loi de conservation du moment cinétique(loi de conservation du moment cinétique) - la somme vectorielle de tous les moments cinétiques par rapport à n'importe quel axe pour un système fermé reste constante dans le cas d'équilibre du système. Conformément à cela, le moment cinétique d'un système fermé par rapport à toute non-dérivée du moment cinétique par rapport au temps est le moment de force :

Ainsi, l'exigence selon laquelle le système doit être fermé peut être affaiblie à l'exigence que le moment principal (total) des forces externes soit égal à zéro :

où est le moment d'une des forces appliquées au système de particules. (Mais bien sûr, s’il n’y a aucune force extérieure, cette exigence est également satisfaite).

Mathématiquement, la loi de conservation du moment cinétique découle de l'isotropie de l'espace, c'est-à-dire de l'invariance de l'espace par rapport à la rotation de angle arbitraire. Lors d'une rotation d'un angle infinitésimal arbitraire, le rayon vecteur de la particule avec le numéro changera de , et la vitesse - . La fonction de Lagrange du système ne changera pas avec une telle rotation, en raison de l'isotropie de l'espace. C'est pourquoi

Expression de l'énergie cinétique d'un corps en rotation, en tenant compte du fait que vitesse linéaire d'un point matériel arbitraire qui constitue le corps, par rapport à l'axe de rotation est égal à a la forme

où est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation sélectionné, sa vitesse angulaire par rapport à cet axe et le moment cinétique du corps par rapport à l'axe de rotation.

Si un corps subit un mouvement de rotation de translation, alors le calcul de l’énergie cinétique dépend du choix du pôle par rapport auquel le mouvement du corps est décrit. Résultat final sera pareil. Ainsi, si pour un corps rond roulant à vitesse v sans glisser de rayon R et de coefficient d'inertie k, le pôle est pris à son CM, au point C, alors son moment d'inertie est , et la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe C est . Alors l’énergie cinétique du corps est .

Si le pôle est pris au point O de contact entre le corps et la surface par laquelle passe l'axe de rotation instantané du corps, alors son moment d'inertie par rapport à l'axe O deviendra égal . Ensuite, l'énergie cinétique du corps, en tenant compte du fait que les vitesses angulaires de rotation du corps sont les mêmes par rapport aux axes parallèles et que le corps effectue une rotation pure autour de l'axe O, sera égale à . Le résultat est le même.

Théorème sur l'énergie cinétique d'un corps performant mouvement complexe, aura la même forme que pour son mouvement de translation : .

Exemple 1. Un corps de masse m est attaché au bout d'un fil enroulé autour d'un bloc cylindrique de rayon R et de masse M. Le corps est élevé à une hauteur h et relâché (Fig. 65). Après une secousse inélastique du fil, le corps et le bloc commencent immédiatement à bouger ensemble. Quelle quantité de chaleur sera dégagée lors de la secousse ? Quelle sera l'accélération du corps et la tension du fil après le jerk ? Quelle sera la vitesse du corps et la distance parcourue par celui-ci après avoir tiré le fil après un temps t ?

Donné: M, R, m, h, g, t. Trouver: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Solution: Vitesse du corps avant les secousses du fil. Après un coup de fil, le bloc et le corps entreront en mouvement de rotation par rapport à l'axe du bloc O et se comporteront comme des corps avec des moments d'inertie par rapport à cet axe égaux à et . Leur moment général inertie autour de l'axe de rotation.

La secousse du fil est un processus rapide et lors d'une secousse, la loi de conservation du moment cinétique du système bloc-corps a lieu, qui, du fait que le corps et le bloc immédiatement après la secousse commencent à se déplacer ensemble, a la forme : . D'où vient la vitesse angulaire initiale de rotation du bloc ? , et la vitesse linéaire initiale du corps .

L'énergie cinétique du système, due à la conservation de son moment cinétique, immédiatement après les secousses du fil, est égale à . La chaleur dégagée lors du jerk selon la loi de conservation de l'énergie

Les équations dynamiques du mouvement des corps du système après un coup de fil ne dépendent pas de leur vitesse initiale. Pour un bloc, il a la forme ou, et pour le corps. En additionnant ces deux équations, on obtient . D’où vient l’accélération des mouvements du corps ? Tension du fil

Les équations cinématiques du mouvement du corps après une secousse auront la forme , où tous les paramètres sont connus.

Répondre: . .

Exemple 2. Deux corps ronds à coefficients d'inertie (cylindre creux) et (bille) situés à la base plan incliné avec angle d'inclinaison α signaler la même chose vitesses initiales, dirigé vers le haut le long d’un plan incliné. Jusqu’à quelle hauteur et à quel moment les corps s’élèveront-ils à cette hauteur ? Quelles sont les accélérations des corps ascendants ? Combien de fois les hauteurs, les temps et les accélérations des corps diffèrent-ils ? Les corps se déplacent le long d'un plan incliné sans glisser.

Donné: . Trouver:

Solution: Le corps est influencé par : la gravité m g, réaction sur plan incliné N et la force de friction de l'embrayage (Fig. 67). Travaux réaction normale et les forces de frottement d'adhésion (il n'y a pas de glissement et aucune chaleur n'est dégagée au point d'adhésion du corps et du plan.) sont égales à zéro : , donc pour décrire le mouvement des corps, il est possible d'utiliser la loi de conservation de l'énergie : . Où .

Nous retrouverons les temps et les accélérations de mouvement des corps à partir d'équations cinématiques . Où , . Le rapport des hauteurs, des temps et des accélérations des corps qui s'élèvent :

Répondre: , , , .

Exemple 3. Une balle de masse , volant à grande vitesse, frappe le centre d'une boule de masse M et de rayon R, attachée à l'extrémité d'une tige de masse m et de longueur l, suspendue au point O par sa deuxième extrémité, et s'en échappe. avec rapidité (Fig. 68). Trouvez la vitesse angulaire de rotation du système tige-bille immédiatement après l'impact et l'angle de déviation de la tige après l'impact de la balle.

Donné: . Trouver:

Solution: Moments d'inertie de la tige et de la bille par rapport au point de suspension O de la tige selon le théorème de Steiner : et . Moment d'inertie total du système tige-bille . L'impact d'une balle est un processus rapide, et la loi de conservation du moment cinétique du système balle-tige-balle a lieu (les corps après une collision entrent en mouvement de rotation) : . D'où vient la vitesse angulaire de mouvement du système tige-bille immédiatement après l'impact ?

Position du CM du système tige-bille par rapport au point de suspension O : . La loi de conservation de l'énergie pour le CM d'un système après un impact, prenant en compte la loi de conservation du moment cinétique du système lors d'un impact, a la forme . D'où s'élève la hauteur du CM du système après un impact ? . L'angle de déviation de la tige après impact est déterminé par la condition .

Répondre: , , .

Exemple 4. Un bloc est pressé avec une force N sur un corps rond de masse m et de rayon R, avec un coefficient d'inertie k, tournant avec une vitesse angulaire . Combien de temps faudra-t-il pour que le cylindre s'arrête et quelle quantité de chaleur sera libérée lorsque le tampon frottera contre le cylindre pendant ce temps ? Le coefficient de frottement entre le bloc et le cylindre est de .

Donné: Trouver:

Solution: Le travail effectué par la force de frottement avant l'arrêt du corps selon le théorème de l'énergie cinétique est égal à . Chaleur dégagée lors de la rotation .

L'équation du mouvement de rotation d'un corps a la forme . D'où vient l'accélération angulaire de sa rotation lente ? . Le temps qu'il faut à un corps pour tourner jusqu'à ce qu'il s'arrête.

Répondre: , .

Exemple 5. Un corps rond de masse m et de rayon R avec un coefficient d'inertie k est tourné à une vitesse angulaire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et placé sur une surface horizontale adjacente à une paroi verticale (Fig. 70). Combien de temps faudra-t-il au corps pour s’arrêter et combien de tours fera-t-il avant de s’arrêter ? Quelle sera la quantité de chaleur dégagée lorsque le corps frotte contre la surface pendant ce temps ? Le coefficient de frottement du corps sur la surface est égal à .

Donné: . Trouver:

Solution: La chaleur dégagée lors de la rotation d'un corps jusqu'à son arrêt est égale au travail des forces de frottement, que l'on retrouve à l'aide du théorème sur l'énergie cinétique d'un corps. Nous avons.

Réaction plan horizontal. Les forces de frottement agissant sur le corps depuis les surfaces horizontales et verticales sont égales : et .Du système de ces deux équations on obtient et .

Compte tenu de ces relations, l'équation du mouvement de rotation d'un corps a la forme (. D'où l'accélération angulaire de rotation du corps est égale à. Puis le temps de rotation du corps avant qu'il ne s'arrête, et le nombre de tours qu'il fait fait du.

Répondre: , , , .

Exemple 6. Un corps rond avec un coefficient d'inertie k roule sans glisser du haut d'un hémisphère de rayon R posé sur une surface horizontale (Fig. 71). À quelle hauteur et à quelle vitesse va-t-il se détacher de l'hémisphère et à quelle vitesse va-t-il tomber sur une surface horizontale ?

Donné: k, g, R. Trouver:

Solution: Les forces agissent sur le corps . Travail et 0, (il n'y a pas de glissement et la chaleur n'est pas libérée au point d'adhésion de l'hémisphère et de la balle), donc pour décrire le mouvement d'un corps, il est possible d'utiliser la loi de conservation de l'énergie. Deuxième loi de Newton pour le CM d'un corps au point de sa séparation de l'hémisphère, en tenant compte du fait qu'à ce point il a la forme , d'où . Loi de conservation de l'énergie pour point de départ et le point de séparation du corps a la forme . D'où la hauteur et la vitesse de séparation du corps de l'hémisphère sont égales, .

Une fois le corps séparé de l'hémisphère, seule son énergie cinétique de translation change, donc la loi de conservation de l'énergie pour les points de séparation et de chute du corps au sol a la forme . Où, compte tenu, on obtient . Pour un corps glissant le long de la surface d’un hémisphère sans frottement, k=0 et , , .

Répondre: , , .

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Pourquoi un patineur s'étire-t-il le long de l'axe de rotation pour augmenter la vitesse angulaire de rotation ?
Un hélicoptère doit-il tourner lorsque son rotor tourne ?

Les questions posées suggèrent que si les forces externes n'agissent pas sur le corps ou si leur action est compensée et qu'une partie du corps commence à tourner dans un sens, alors l'autre partie devrait tourner dans l'autre sens, tout comme lorsque du carburant est éjecté d'un corps. une fusée, la fusée elle-même se déplace dans la direction opposée.

Moment d'impulsion.

Si l'on considère un disque en rotation, il devient évident que l'impulsion totale du disque est nulle, puisque toute particule du corps correspond à une particule se déplaçant avec une vitesse égale, mais à direction opposée(Fig. 6.9).

Mais le disque est en mouvement, la vitesse angulaire de rotation de toutes les particules est la même. Cependant, il est clair que plus une particule est éloignée de l’axe de rotation, plus sa quantité de mouvement est grande. Par conséquent, pour le mouvement de rotation, il est nécessaire d'introduire une autre caractéristique similaire à l'impulsion : le moment cinétique.

Le moment cinétique d'une particule se déplaçant sur un cercle est le produit de l'élan de la particule et de la distance qui la sépare de l'axe de rotation (Fig. 6.10) :

Les vitesses linéaires et angulaires sont liées par la relation v = ωr, alors

Tous les points d'un objet solide se déplacent par rapport à un axe de rotation fixe avec la même vitesse angulaire. Un corps solide peut être représenté comme un ensemble de points matériels.

Le moment cinétique d'un corps rigide est égal au produit du moment d'inertie et de la vitesse angulaire de rotation :

Le moment angulaire est une quantité vectorielle ; selon la formule (6.3), le moment cinétique est dirigé de la même manière que la vitesse angulaire.

L'équation de base de la dynamique du mouvement de rotation sous forme d'impulsion.

L'accélération angulaire d'un corps est égale au changement de vitesse angulaire divisé par la période de temps pendant laquelle ce changement s'est produit : Remplacez cette expression dans l'équation de base de la dynamique du mouvement de rotation donc I(ω 2 - ω 1) = MΔt, ou IΔω = MΔt.

Ainsi,

ΔL = MΔt. (6.4)

La variation du moment cinétique est égale au produit du moment total des forces agissant sur un corps ou un système et la durée d'action de ces forces.

Loi de conservation du moment cinétique :

Si le moment total des forces agissant sur un corps ou un système de corps ayant axe fixe la rotation est nulle, alors la variation du moment cinétique est également nulle, c'est-à-dire que le moment cinétique du système reste constant.

ΔL = 0, L = const.

La variation de la quantité de mouvement du système est égale à la quantité de mouvement totale des forces agissant sur le système.

Un patineur en rotation écarte les bras sur les côtés, augmentant ainsi le moment d'inertie pour réduire la vitesse angulaire de rotation.

La loi de conservation du moment cinétique peut être démontrée à l’aide de l’expérience suivante, appelée « expérience sur banc Joukovski ». Sur un banc qui a axe vertical rotation passant par son centre, une personne se lève. Un homme tient des haltères dans ses mains. Si le banc est amené à tourner, la personne peut modifier la vitesse de rotation en appuyant les haltères contre la poitrine ou en abaissant les bras puis en les levant. En écartant les bras, il augmente le moment d'inertie, et la vitesse angulaire de rotation diminue (Fig. 6.11, a), en abaissant les bras, il réduit le moment d'inertie, et la vitesse angulaire de rotation du banc augmente (Fig. 6.11, a). .6.11,b).

Une personne peut également faire pivoter un banc en marchant le long de son bord. Dans ce cas, le banc tournera dans le sens opposé, puisque le moment cinétique total doit rester égal à zéro.

Le principe de fonctionnement des appareils appelés gyroscopes repose sur la loi de conservation du moment cinétique. La propriété principale d'un gyroscope est la préservation du sens de l'axe de rotation si des forces extérieures n'agissent pas sur cet axe. Dans le 19ème siècle Les gyroscopes étaient utilisés par les marins pour s'orienter en mer.

Énergie cinétique d'un corps rigide en rotation.

L'énergie cinétique d'un corps solide en rotation est égale à la somme des énergies cinétiques de ses particules individuelles. Divisons le corps en petits éléments dont chacun peut être considéré comme un point matériel. Alors l'énergie cinétique du corps est égale à la somme des énergies cinétiques des points matériels qui le composent :

Vitesse angulaire la rotation de tous les points du corps est la même, donc,

La valeur entre parenthèses, comme nous le savons déjà, est le moment d'inertie du corps rigide. Enfin, la formule de l'énergie cinétique d'un corps rigide ayant un axe de rotation fixe a la forme

Dans le cas général du mouvement d'un corps rigide, lorsque l'axe de rotation est libre, son énergie cinétique est égale à la somme des énergies de mouvement de translation et de rotation. Ainsi, l'énergie cinétique d'une roue dont la masse est concentrée dans la jante, roulant sur la route à vitesse constante, est égale à

Le tableau compare les formules de la mécanique du mouvement de translation d'un point matériel avec des formules similaires pour le mouvement de rotation d'un corps rigide.