L'énergie cinétique est une quantité additive. Par conséquent, l’énergie cinétique d’un corps se déplaçant de manière arbitraire est égale à la somme des énergies cinétiques de tous les n points matériels, en lequel ce corps peut être mentalement divisé :

Si un corps tourne autour d'un axe fixe z avec vitesse angulaire, alors la vitesse linéaire i-ème point , Ri – distance à l'axe de rotation. Ainsi,

En comparant, nous pouvons voir que le moment d'inertie du corps I est une mesure d'inertie à mouvement de rotation, tout comme la masse m est une mesure de l'inertie à mouvement vers l'avant.

DANS cas général le mouvement d'un corps rigide peut être représenté comme la somme de deux mouvements - de translation avec une vitesse vc et de rotation avec une vitesse angulaire ω autour de l'axe instantané passant par le centre d'inertie. Alors l'énergie cinétique totale de ce corps

Ici Ic est le moment d'inertie autour de l'axe de rotation instantané passant par le centre d'inertie.

La loi fondamentale de la dynamique du mouvement de rotation.

Dynamique du mouvement de rotation

La loi fondamentale de la dynamique du mouvement de rotation :

ou M=Je, où M est le moment de force M=[ r · F ] , J - le moment d'inertie est le moment d'impulsion d'un corps.

si M(externe)=0 - la loi de conservation du moment cinétique. - énergie cinétique d'un corps en rotation.

travailler en mouvement de rotation.

Loi de conservation du moment cinétique.

Le moment cinétique (impulsion de mouvement) d'un point matériel A par rapport à un point fixe O est appelé quantité physique, défini par le produit vectoriel :

où r est le rayon vecteur tracé du point O au point A, p = mv est l'impulsion du point matériel (Fig. 1); L est un pseudo-vecteur dont la direction coïncide avec la direction du mouvement de translation de l'hélice droite lorsqu'elle tourne de r à r.

Module du vecteur moment cinétique

où α est l'angle entre les vecteurs r et p, l est le bras du vecteur p par rapport au point O.

Le moment cinétique par rapport à l'axe fixe z est appelé quantité scalaire Lz, égal à la projectionà cet axe du vecteur moment cinétique défini par rapport à point arbitraire A propos de cet axe. Le moment cinétique Lz ne dépend pas de la position du point O sur l'axe z.

Lorsqu'un corps absolument rigide tourne autour d'un axe fixe z, chaque point du corps se déplace le long d'un cercle de rayon ri constant avec une vitesse vi. La vitesse vi et l'impulsion mivi sont perpendiculaires à ce rayon, c'est-à-dire que le rayon est un bras du vecteur mivi. Cela signifie que nous pouvons écrire que le moment cinétique d’une particule individuelle est égal à

et est dirigé le long de l'axe dans la direction déterminée par la règle de vis droite.

Le moment d'un corps rigide par rapport à un axe est la somme du moment cinétique particules individuelles:

En utilisant la formule vi = ωri, on obtient

Ainsi, le moment cinétique d'un corps rigide par rapport à un axe est égal au moment d'inertie du corps par rapport à ce même axe, multiplié par la vitesse angulaire. Dérivons l'équation (2) par rapport au temps :

Cette formule est une autre forme de l'équation de la dynamique du mouvement de rotation d'un corps rigide par rapport à un axe fixe : la dérivée du moment cinétique d'un corps rigide par rapport à l'axe est égale au moment de force par rapport à celui-ci. axe.

On peut montrer qu’il existe une égalité vectorielle

Dans un système fermé, le moment des forces extérieures M = 0 et d'où

L'expression (4) représente la loi de conservation du moment cinétique : moment cinétique systeme ferme persiste, c'est-à-dire ne change pas dans le temps.

La loi de conservation du moment cinétique, ainsi que la loi de conservation de l'énergie, est une loi fondamentale de la nature. Elle est associée à la propriété de symétrie de l'espace - son isotropie, c'est-à-dire à l'invariance lois physiques par rapport au choix de la direction des axes de coordonnées du système de référence (par rapport à la rotation du système fermé dans l'espace sous n'importe quel angle).

Ici, nous démontrerons la loi de conservation du moment cinétique à l'aide d'un banc Joukovski. Homme assis sur un banc qui tourne autour axe vertical, et tenant des haltères dans les mains tendues (Fig. 2), tourne mécanisme externe avec une vitesse angulaire ω1. Si une personne appuie les haltères contre son corps, le moment d'inertie du système diminuera. Mais le moment des forces extérieures égal à zéro, le moment cinétique du système est conservé et la vitesse angulaire de rotation ω2 augmente. De même, lors d'un saut aérien, un gymnaste presse ses bras et ses jambes vers son corps afin de réduire son moment d'inertie et ainsi augmenter la vitesse angulaire de rotation.

Pression dans le liquide et le gaz.

Les molécules de gaz, effectuant un mouvement chaotique et chaotique, ne sont pas connectées ou sont assez faiblement connectées par les forces d'interaction, c'est pourquoi elles se déplacent presque librement et, à la suite de collisions, se dispersent dans toutes les directions, tout en remplissant tout le volume qui leur est fourni. , c'est-à-dire que le volume de gaz est déterminé par le volume du conteneur occupé par le gaz.

Et le liquide, ayant un certain volume, prend la forme du récipient dans lequel il est enfermé. Mais contrairement aux gaz dans les liquides, la distance moyenne entre les molécules reste en moyenne constante, le liquide a donc un volume pratiquement inchangé.

Les propriétés des liquides et des gaz sont très différentes à bien des égards, mais à plusieurs égards phénomènes mécaniques leurs propriétés sont déterminées par les mêmes paramètres et des équations identiques. Pour cette raison, l'hydroaéromécanique est une branche de la mécanique qui étudie l'équilibre et le mouvement des gaz et des liquides, l'interaction entre eux et entre les corps solides qui les entourent, c'est-à-dire s'applique approche unifiéeà l'étude des liquides et des gaz.

En mécanique, liquides et gaz avec dans une large mesure les précisions sont considérées comme continues, distribuées de manière continue dans la partie de l'espace qu'elles occupent. Pour les gaz, la densité dépend fortement de la pression. Il a été établi par expérience. que la compressibilité du liquide et du gaz peut souvent être négligée et qu'il convient d'utiliser un seul concept - l'incompressibilité d'un liquide - un liquide de même densité partout, qui ne change pas dans le temps.

Nous plaçons une fine plaque au repos, en conséquence, des parties du liquide situées le long différents côtés de la plaque, agira sur chacun de ses éléments ΔS avec des forces ΔF, qui seront égales en grandeur et dirigées perpendiculairement à la plateforme ΔS, quelle que soit l'orientation de la plateforme, sinon la présence de forces tangentielles provoquerait le déplacement des particules de fluide bouger (Fig. 1)

Quantité physique déterminée force normale, agissant à partir du liquide (ou du gaz) par unité de surface, est appelée la pression p/ du liquide (ou du gaz) : p=ΔF/ΔS.

L'unité de pression est le pascal (Pa) : 1 Pa est égal à la pression, créé par la force 1 N, qui est uniformément réparti sur une surface normale à celle-ci d'une superficie de 1 m2 (1 Pa = 1 N/m2).

La pression à l'équilibre des liquides (gaz) obéit à la loi de Pascal : la pression en tout endroit d'un liquide au repos est la même dans toutes les directions, et la pression est également transmise dans tout le volume occupé par le liquide au repos.

Étudions l'influence du poids du liquide sur la répartition de la pression à l'intérieur d'un liquide incompressible stationnaire. Lorsqu’un fluide est en équilibre, la pression le long de toute ligne horizontale est toujours la même, sinon il n’y aurait pas d’équilibre. Moyens Surface libre le liquide au repos est toujours horizontal (on ne tient pas compte de l'attraction du liquide par les parois du récipient). Si un fluide est incompressible, alors sa densité ne dépend pas de la pression. Puis à coupe transversale S de la colonne de liquide, sa hauteur h et sa densité ρ, son poids P=ρgSh, tandis que la pression sur la base inférieure : p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

c'est-à-dire que la pression varie linéairement avec l'altitude. La pression ρgh est appelée pression hydrostatique.

Selon la formule (1), la force de pression sur les couches inférieures du liquide sera plus grande que sur les couches supérieures, donc un corps immergé dans un liquide est soumis à une force déterminée par la loi d'Archimède : un corps immergé dans un liquide (gaz) est soumis à une force dirigée provenant de cette force de flottaison ascendante du liquide, égal au poids liquide (gaz) déplacé par le corps : FA = ρgV, où ρ est la densité du liquide, V est le volume du corps immergé dans le liquide.

Énergie cinétique de rotation

Cours 3. Dynamique des corps rigides

Plan de la conférence

3.1. Moment de pouvoir.

3.2. Équations de base du mouvement de rotation. Moment d'inertie.

3.3. Énergie cinétique de rotation.

3.4. Moment d'impulsion. Loi de conservation du moment cinétique.

3.5. Analogie entre mouvement de translation et de rotation.

Moment de pouvoir

Considérons le mouvement d'un corps rigide autour d'un axe fixe. Soit le corps rigide avoir un axe de rotation fixe OO ( Figure 3.1) et une force arbitraire lui est appliquée.

Riz. 3.1

Décomposons la force en deux composantes de force, la force se situe dans le plan de rotation et la force est parallèle à l'axe de rotation. Ensuite nous décomposerons la force en deux composantes : – agissant le long du rayon vecteur et – perpendiculairement à celui-ci.

Toutes les forces appliquées à un corps ne le feront pas tourner. Les forces créent une pression sur les roulements, mais ne les font pas tourner.

Une force peut ou non déséquilibrer un corps, selon l'endroit où elle est appliquée dans le rayon vecteur. Par conséquent, la notion de moment de force autour d’un axe est introduite. Un moment de pouvoir par rapport à l'axe de rotation est appelé le produit vectoriel du rayon vecteur et de la force.

Le vecteur est dirigé le long de l'axe de rotation et est déterminé par la règle produit vectoriel soit la règle de la vis droite, soit la règle de la vrille.

Module du moment de force

où α est l'angle entre les vecteurs et .

D'après la figure 3.1. il est clair que .

r 0 – distance la plus courte de l'axe de rotation à la ligne d'action de la force et s'appelle l'épaule de la force. Alors le moment de force peut s’écrire

M = Fr 0 . (3.3)

De la fig. 3.1.

Où F– projection du vecteur sur la direction, perpendiculaire au vecteur vecteur de rayon. Dans ce cas, le moment de force est égal à

. (3.4)

Si plusieurs forces agissent sur un corps, alors le moment de force résultant est égal à la somme vectorielle des moments de forces individuelles, mais comme tous les moments sont dirigés le long de l'axe, ils peuvent être remplacés somme algébrique. Le moment sera considéré comme positif s'il fait tourner le corps dans le sens des aiguilles d'une montre et négatif s'il tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Si tous les moments de forces () sont égaux à zéro, le corps sera en équilibre.

La notion de couple peut être démontrée à l'aide d'une « bobine capricieuse ». La bobine de fil est tirée par l'extrémité libre du fil ( riz. 3.2).

Riz. 3.2

Selon le sens de la tension du fil, la bobine roule dans un sens ou dans l'autre. Si tiré à un angle α , alors le moment de force autour de l'axe À PROPOS(perpendiculaire à la figure) fait tourner la bobine dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et elle recule. En cas de tension en biais β le couple est dirigé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et la bobine avance.

En utilisant la condition d'équilibre (), il est possible de construire des mécanismes simples qui sont des « transformateurs » de force, c'est-à-dire En appliquant moins de force, vous pouvez soulever et déplacer des charges de poids différents. Les leviers, brouettes et blocs sont basés sur ce principe. diverses sortes, qui sont largement utilisés dans la construction. Pour maintenir la condition d'équilibre dans les grues de construction afin de compenser le moment de force provoqué par le poids de la charge, il existe toujours un système de contrepoids qui crée un moment de force de signe opposé.

3.2. Équation de base de rotation
mouvements. Moment d'inertie

Considérons un corps absolument rigide tournant autour d'un axe fixe OO(Figure 3.3). Divisons mentalement ce corps en éléments de masses Δ m1, Δ m2, …, Δ mn. Lorsqu'ils sont pivotés, ces éléments décriront des cercles avec des rayons r1,r2 , …,r n. Les forces agissent sur chaque élément en conséquence F1,F2 , …,Fn. Rotation d'un corps autour d'un axe OO se produit sous l'influence du couple complet M.

M = M 1 + M 2 + … + M n (3.4)

Où M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Selon la loi II de Newton, toute force F, agissant sur un élément de masse D m, provoque une accélération de cet élément un, c'est à dire.

F je = D je suis un je (3.5)

En substituant les valeurs correspondantes dans (3.4), on obtient

Riz. 3.3

Connaître la relation entre l'accélération angulaire linéaire ε () et que l'accélération angulaire est la même pour tous les éléments, la formule (3.6) aura la forme

M = (3.7)

=je (3.8)

je– moment d'inertie du corps par rapport à l'axe fixe.

Ensuite, nous obtiendrons

M = je ε (3.9)

Ou dans forme vectorielle

(3.10)

Cette équation est l’équation de base de la dynamique du mouvement de rotation. Sa forme est similaire à l'équation II de la loi de Newton. D’après (3.10) le moment d’inertie est égal à

Ainsi, le moment d’inertie d’un corps donné est le rapport du moment de force à l’accélération angulaire qu’il provoque. D’après (3.11), il ressort clairement que le moment d’inertie est une mesure de l’inertie d’un corps par rapport au mouvement de rotation. Le moment d'inertie joue le même rôle que la masse dans le mouvement de translation. Unité SI [ je] = kg·m2. De la formule (3.7), il s'ensuit que le moment d'inertie caractérise la répartition des masses de particules corporelles par rapport à l'axe de rotation.

Ainsi, le moment d'inertie d'un élément de masse ∆m se déplaçant dans un cercle de rayon r est égal à

je = r 2 D m (3.12)

Je = (3.13)

Quand distribution continue la somme de masse peut être remplacée par l'intégrale

je= ∫ r 2 dm (3.14)

où l'intégration s'effectue sur l'ensemble de la masse corporelle.

Cela montre que le moment d'inertie d'un corps dépend de la masse et de sa répartition par rapport à l'axe de rotation. Cela peut être démontré expérimentalement ( Figure 3.4).

Riz. 3.4

Deux cylindres ronds, l'un creux (par exemple en métal), l'autre solide (en bois) avec les mêmes longueurs, rayons et masses commencent à rouler simultanément. Un cylindre creux, qui a un moment d'inertie important, sera en retard sur le cylindre solide.

Le moment d'inertie peut être calculé si la masse est connue m et sa répartition par rapport à l'axe de rotation. Le cas le plus simple est un anneau, lorsque tous les éléments de masse sont situés à égale distance de l'axe de rotation ( riz. 3.5):

Je = (3.15)

Riz. 3.5

Présentons des expressions pour les moments d'inertie de divers corps de masse symétriques m.

1. Moment d'inertie anneaux, cylindre creux à paroi mince par rapport à l'axe de rotation coïncidant avec l'axe de symétrie.

, (3.16)

r– rayon de la bague ou du cylindre

2. Pour un cylindre et un disque solides, le moment d'inertie autour de l'axe de symétrie

(3.17)

3. Moment d'inertie de la balle autour d'un axe passant par le centre

(3.18)

r– rayon de la balle

4. Moment d'inertie d'une tige fine de grande longueur je par rapport à un axe perpendiculaire à la tige et passant par son milieu

(3.19)

je– longueur de la tige.

Si l'axe de rotation ne passe pas par le centre de masse, alors le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe est déterminé par le théorème de Steiner.

(3.20)

D’après ce théorème, le moment d’inertie autour d’un axe arbitraire O’O’ ( ) est égal au moment d'inertie autour d'un axe parallèle passant par le centre de masse du corps ( ) plus le produit de la masse corporelle par le carré de la distance UN entre les axes ( riz. 3.6).

Riz. 3.6

Énergie cinétique de rotation

Considérons la rotation d'un corps absolument rigide autour d'un axe fixe OO avec une vitesse angulaire ω (riz. 3.7). Décomposons le corps solide en n masses élémentaires ∆ je suis. Chaque élément de masse tourne le long d'un cercle de rayon r je avec vitesse linéaire (). L'énergie cinétique comprend les énergies cinétiques des éléments individuels.

(3.21)

Riz. 3.7

Rappelons de (3.13) que – moment d'inertie par rapport à l'axe OO.

Ainsi, l'énergie cinétique d'un corps en rotation

E k = (3.22)

Nous avons considéré l'énergie cinétique de rotation autour d'un axe fixe. Si un corps est impliqué dans deux mouvements : un mouvement de translation et un mouvement de rotation, alors l'énergie cinétique du corps est constituée de l'énergie cinétique du mouvement de translation et de l'énergie cinétique de rotation.

Par exemple, une boule de masse m Rouleaux; le centre de masse de la balle se déplace en translation à une vitesse toi (riz. 3.8).

Riz. 3.8

L'énergie cinétique totale de la balle sera égale à

(3.23)

3.4. Moment d'impulsion. Loi sur la conservation
moment cinétique

Grandeur physique égale au produit du moment d'inertie jeà la vitesse angulaire ω , est appelé moment cinétique (moment angulaire) L par rapport à l'axe de rotation.

– le moment cinétique est une quantité vectorielle et sa direction coïncide avec la direction de la vitesse angulaire.

En différenciant l'équation (3.24) par rapport au temps, on obtient

Où, M– moment total des forces extérieures. Dans un système isolé, il n'y a pas de couple de forces externes ( M=0) et

Commençons par considérer la rotation du corps autour d'un axe immobile, que nous appellerons axe z (Fig. 41.1). Vitesse linéaire la masse élémentaire est égale à où est la distance de la masse à l'axe. Ainsi, pour l’énergie cinétique de la masse élémentaire on obtient l’expression

L'énergie cinétique d'un corps est composée des énergies cinétiques de ses parties :

La somme du côté droit de cette relation représente le moment d'inertie du corps 1 par rapport à l'axe de rotation. Ainsi, l'énergie cinétique d'un corps tournant autour d'un axe fixe est égale à

Laissez une force interne et une force externe agir sur la masse (voir Fig. 41.1). D’après (20.5), ces forces feront leur travail dans le temps

Ayant effectué en oeuvres mixtes vecteurs de permutation cyclique des facteurs (voir (2.34)), on obtient :

où N est le moment de force interne par rapport au point O, N est un moment de force externe similaire.

Après avoir résumé l'expression (41.2) sur toutes les masses élémentaires, on obtient le travail élémentaire effectué sur le corps pendant le temps dt :

La somme des moments des efforts internes est égale à zéro (voir (29.12)). Par conséquent, en désignant le moment total des forces extérieures par N, on arrive à l'expression

(nous avons utilisé la formule (2.21)).

Enfin, en tenant compte du fait qu'il existe un angle selon lequel le corps tourne dans le temps, on obtient :

Le signe de l'œuvre dépend du signe, c'est-à-dire du signe de la projection du vecteur N sur la direction du vecteur

Alors, quand le corps tourne Forces internes n'effectuez aucun travail, mais le travail des forces extérieures est déterminé par la formule (41.4).

La formule (41.4) peut être obtenue en profitant du fait que le travail effectué par toutes les forces appliquées au corps va vers l'augmentation de son énergie cinétique (voir (19.11)). En prenant la différentielle des deux côtés de l’égalité (41.1), nous arrivons à la relation

D'après l'équation (38.8) donc, en remplaçant par on arrive à la formule (41.4).

Tableau 41.1

Dans le tableau 41.1 les formules de la mécanique du mouvement de rotation sont comparées à des formules similaires de la mécanique du mouvement de translation (mécanique des points). De cette comparaison, il est facile de conclure que dans tous les cas le rôle de la masse est joué par le moment d'inertie, le rôle de la force est joué par le moment de force, le rôle de l'impulsion est joué par le moment cinétique, etc.

Formule. (41.1) que nous avons obtenu pour le cas où le corps tourne autour d'un axe stationnaire fixé dans le corps. Supposons maintenant que le corps tourne de manière arbitraire par rapport à un point fixe coïncidant avec son centre de masse.

On associera rigidement au corps un repère cartésien dont l'origine sera placée au centre de masse du corps. Vitesse je la masse élémentaire est égale à Par conséquent, pour l'énergie cinétique du corps, on peut écrire l'expression

où est l'angle entre les vecteurs. En remplaçant a through et en tenant compte du fait que nous obtenons :

Écrivons-le produits scalaires grâce à des projections de vecteurs sur les axes du repère associé au corps :

Finalement, en combinant des termes avec des produits identiques de composantes de vitesse angulaire et en retirant ces produits des signes de somme, on obtient : donc la formule (41.7) prend la forme (cf. (41.1)). Lors de la rotation corps arbitraire autour de l'un des principaux axes d'inertie, disons l'axe, et la formule (41.7) entre dans (41.10.

Ainsi. l'énergie cinétique d'un corps en rotation est égale à la moitié du produit du moment d'inertie et du carré de la vitesse angulaire dans trois cas : 1) pour un corps tournant autour d'un axe fixe ; 2) pour un corps tournant autour d'un des axes principaux d'inertie ; 3) pour un dessus de boule. Dans d'autres cas, l'énergie cinétique est déterminée plus clairement formules complexes(41,5) ou (41,7).

Considérons d'abord un corps rigide tournant autour d'un axe fixe OZ avec une vitesse angulaire ω (Fig. 5.6). Décomposons le corps en masses élémentaires. La vitesse linéaire de la masse élémentaire est égale à , où est sa distance à l'axe de rotation. Énergie cinétique je-que la masse élémentaire sera égale à

.

L'énergie cinétique du corps entier est composée des énergies cinétiques de ses parties, donc

.

En considérant que la somme à droite de cette relation représente le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation, on obtient finalement

. (5.30)

Les formules pour l'énergie cinétique d'un corps en rotation (5.30) sont similaires formules correspondantes pour l'énergie cinétique du mouvement de translation d'un corps. Ils sont obtenus auprès de ces derniers par un remplacement formel .

En général, le mouvement d'un corps rigide peut être représenté comme une somme de mouvements - translationnels avec la vitesse, vitesse égale centre de masse du corps, et rotation avec vitesse angulaire autour d'un axe instantané passant par le centre de masse. Dans ce cas, l'expression de l'énergie cinétique du corps prend la forme

.

Trouvons maintenant le travail effectué par le moment des forces extérieures lors de la rotation d'un corps rigide. Travail élémentaire des forces extérieures dans le temps dt sera égal à la variation de l'énergie cinétique du corps

En prenant la différence de l'énergie cinétique du mouvement de rotation, nous trouvons son incrément

.

Conformément à l'équation de base de la dynamique du mouvement de rotation

En tenant compte de ces relations, nous présentons l'expression travail de baseà l'esprit

où est la projection du moment résultant des forces externes sur la direction de l'axe de rotation OZ, est l'angle de rotation du corps sur la période de temps considérée.

En intégrant (5.31), on obtient une formule pour le travail des forces externes agissant sur un corps en rotation

Si , alors la formule se simplifie

Ainsi, le travail des forces extérieures lors de la rotation d'un corps rigide par rapport à un axe fixe est déterminé par l'action de la projection du moment de ces forces sur cet axe.

Gyroscope

Un gyroscope est un corps symétrique à rotation rapide dont l'axe de rotation peut changer de direction dans l'espace. Pour que l'axe du gyroscope puisse tourner librement dans l'espace, le gyroscope est placé dans ce qu'on appelle la suspension à cardan (Fig. 5.13). Le volant du gyroscope tourne dans la bague intérieure autour de l'axe C1C2 passant par son centre de gravité. La bague intérieure, quant à elle, peut tourner dans la bague extérieure autour de l'axe B 1 B 2, perpendiculaire à C 1 C 2. Enfin, la bague extérieure peut tourner librement dans les roulements de la jambe de force autour de l'axe A 1 A 2, perpendiculaire aux axes C 1 C 2 et B 1 B 2. Les trois axes se croisent à un moment donné un point fixe O, appelé centre du cardan ou point d'appui du gyroscope. Le gyroscope d'un cardan a trois degrés de liberté et peut donc effectuer n'importe quelle rotation autour du centre du cardan. Si le centre de la suspension du gyroscope coïncide avec son centre de gravité, alors le moment de gravité résultant de toutes les parties du gyroscope par rapport au centre de la suspension est nul. Un tel gyroscope est dit équilibré.

Considérons maintenant les plus propriétés importantes gyroscope, qui ont trouvé une large application dans divers domaines.

1) Stabilité.

Pour toute rotation du gyroscope à contrepoids, son axe de rotation reste inchangé en direction par rapport au référentiel du laboratoire. Cela est dû au fait que le moment de toutes les forces externes, égal au moment des forces de frottement, est très petit et ne provoque pratiquement pas de modification du moment cinétique du gyroscope, c'est-à-dire

Le moment cinétique étant dirigé le long de l'axe de rotation du gyroscope, son orientation doit rester inchangée.

Si la force externe agit pendant une courte période, alors l'intégrale qui détermine l'incrément du moment cinétique sera petite.

. (5.34)

Cela signifie que même avec des expositions à court terme grandes forces le mouvement d'un gyroscope équilibré change peu. Le gyroscope semble résister à toute tentative visant à modifier l'ampleur et la direction de son moment cinétique. Cela est dû à la remarquable stabilité qu'acquiert le mouvement du gyroscope après sa mise en position. rotation rapide. Cette propriété du gyroscope est largement utilisée pour contrôler automatiquement le mouvement des avions, des navires, des missiles et d'autres appareils.

Si tu agis sur le gyroscope longue durée Si le moment des forces externes est constant en direction, alors l'axe du gyroscope est finalement orienté dans la direction du moment des forces externes. Ce phénomène utilisé dans le gyrocompas. Cet appareil est un gyroscope dont l'axe peut tourner librement dans plan horizontal. En raison de rotation quotidienne La Terre et les actions du moment forces centrifuges L'axe du gyroscope tourne de manière à ce que l'angle entre et devienne minimal (Fig. 5.14). Cela correspond à la position de l'axe du gyroscope dans le plan méridien.

2). Effet gyroscopique.

Si une paire de forces et est appliquée à un gyroscope en rotation, tendant à le faire tourner autour d'un axe perpendiculaire à l'axe de rotation, alors il commencera à tourner autour d'un troisième axe, perpendiculaire aux deux premiers (Fig. 5.15). Ce comportement inhabituel du gyroscope est appelé effet gyroscopique. Cela s'explique par le fait que le moment d'une paire de forces est dirigé le long de l'axe O 1 O 1 et que l'évolution du vecteur en grandeur dans le temps aura la même direction. En conséquence, le nouveau vecteur tournera par rapport à l'axe O 2 O 2. Ainsi, le comportement du gyroscope, à première vue peu naturel, respecte pleinement les lois de la dynamique du mouvement de rotation

3). Précession du gyroscope.

La précession d'un gyroscope est le mouvement conique de son axe. Cela se produit dans le cas où le moment des forces extérieures, restant constant en ampleur, tourne simultanément avec l'axe du gyroscope, formant tout le temps un angle droit avec lui. Pour démontrer la précession, une roue de vélo avec un axe allongé mis en rotation rapide peut être utilisée (Fig. 5.16).

Si la roue est suspendue par l'extrémité étendue de l'essieu, son essieu commencera à précéder autour de l'axe vertical sous l'influence de son propre poids. Un sommet en rotation rapide peut également servir de démonstration de précession.

Découvrons les raisons de la précession du gyroscope. Considérons un gyroscope déséquilibré dont l'axe peut tourner librement autour d'un certain point O (Fig. 5.16). Le moment de gravité appliqué au gyroscope est égal en grandeur

où est la masse du gyroscope, est la distance du point O au centre de masse du gyroscope, est l'angle formé par l'axe du gyroscope avec la verticale. Le vecteur est dirigé perpendiculairement au plan vertical passant par l'axe du gyroscope.

Sous l'influence de ce moment, le moment cinétique du gyroscope (son origine est placée au point O) va recevoir un incrément dans le temps, et le plan vertical passant par l'axe du gyroscope va tourner d'un angle. Le vecteur est toujours perpendiculaire à , donc sans changer de grandeur, le vecteur ne change que de direction. Cependant, au bout d'un moment arrangement mutuel vecteurs et sera le même que dans moment de départ. En conséquence, l’axe du gyroscope tournera continuellement autour de la verticale, décrivant un cône. Ce mouvement est appelé précession.

Déterminons la vitesse angulaire de précession. D'après la Fig. 5.16, l'angle de rotation du plan passant par l'axe du cône et l'axe du gyroscope est égal à

où est le moment cinétique du gyroscope et son incrément dans le temps.

En divisant par , en tenant compte des relations et transformations notées, on obtient la vitesse angulaire de précession

. (5.35)

Pour les gyroscopes utilisés en technologie, la vitesse angulaire de précession est des millions de fois inférieure à la vitesse de rotation du gyroscope.

En conclusion, notons que le phénomène de précession est également observé dans les atomes en raison de mouvement orbital des électrons.

Exemples d'application des lois de la dynamique

Lors d'un mouvement de rotation

1. Considérons quelques exemples sur la loi de conservation du moment cinétique, qui peut être mise en œuvre à l'aide du banc Joukovski. Dans le cas le plus simple, le banc Joukovski est une plate-forme (chaise) en forme de disque qui peut tourner librement autour d'un axe vertical sur des roulements à billes (Fig. 5.17). Le démonstrateur s'assoit ou se tient debout sur le banc, après quoi il est mis en rotation. Du fait que les forces de frottement dues à l'utilisation des roulements sont très faibles, le moment cinétique du système constitué d'un banc et d'un démonstrateur par rapport à l'axe de rotation ne peut évoluer dans le temps si le système est laissé à lui-même. . Si le démonstrateur tient des haltères lourds dans ses mains et écarte les bras sur les côtés, alors il augmentera le moment d'inertie du système, et donc la vitesse angulaire de rotation doit diminuer pour que le moment cinétique reste inchangé.

Selon la loi de conservation du moment cinétique, nous créons une équation pour ce cas

où est le moment d'inertie de la personne et du banc, et est le moment d'inertie des haltères dans les première et deuxième positions, et est les vitesses angulaires du système.

La vitesse angulaire de rotation du système lors du levage des haltères sur le côté sera égale à

.

travail, commis par l'homme lors du déplacement d'haltères, peut être déterminé grâce à un changement dans l'énergie cinétique du système

2. Donnons une autre expérience avec le banc Joukovski. Le démonstrateur s'assoit ou se tient debout sur un banc et reçoit une roue à rotation rapide avec un axe dirigé verticalement (Fig. 5.18). Le démonstrateur fait alors tourner la roue de 180 0 . Dans ce cas, la variation du moment cinétique de la roue est entièrement transférée au banc et au démonstrateur. En conséquence, le banc et le démonstrateur commencent à tourner avec une vitesse angulaire déterminée sur la base de la loi de conservation du moment cinétique.

Le moment cinétique du système à l'état initial est déterminé uniquement par le moment cinétique de la roue et est égal à

où est le moment d'inertie de la roue et est la vitesse angulaire de sa rotation.

Après avoir tourné la roue d'un angle de 180 0, le moment cinétique du système sera déterminé par la somme du moment cinétique du banc avec la personne et du moment cinétique de la roue. Compte tenu du fait que le vecteur moment cinétique de la roue a changé de direction dans le sens inverse, et que sa projection sur l'axe vertical est devenue négative, on obtient

,

où est le moment d'inertie du système « personne-plateforme », et est la vitesse angulaire de rotation du banc avec la personne.

Selon la loi de conservation du moment cinétique

Et .

De ce fait, on retrouve la vitesse de rotation du banc

3. Mince tige de masse m et longueur je tourne avec une vitesse angulaire ω=10 s -1 dans le plan horizontal autour d'un axe vertical passant par le milieu de la tige. En continuant à tourner dans le même plan, la tige se déplace de telle sorte que l'axe de rotation passe désormais par l'extrémité de la tige. Trouvez la vitesse angulaire dans le deuxième cas.

Dans ce problème, du fait que la répartition de la masse de la tige par rapport à l'axe de rotation change, le moment d'inertie de la tige change également. Conformément à la loi de conservation du moment cinétique système isolé, nous avons

Voici le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe passant par le milieu de la tige ; est le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe passant par son extrémité et trouvé par le théorème de Steiner.

En substituant ces expressions dans la loi de conservation du moment cinétique, on obtient

,

.

4. Longueur de la tige L=1,5 m et masse m1=10 kg suspendu par charnière à l'extrémité supérieure. Une balle avec une masse de m2=10 g, vole horizontalement à une vitesse de =500 m/s, et se coince dans la canne. De quel angle la tige fléchira-t-elle après l'impact ?

Imaginons sur la Fig. 5.19. système de corps en interaction « tige-balle ». Les moments des forces extérieures (gravité, réaction de l'essieu) au moment de l'impact sont égaux à zéro, on peut donc utiliser la loi de conservation du moment cinétique

Le moment cinétique du système avant impact est égal au moment cinétique de la balle par rapport au point de suspension

Le moment cinétique du système après impact inélastique sera déterminé par la formule

,

où est le moment d'inertie de la tige par rapport au point de suspension, est le moment d'inertie de la balle, est la vitesse angulaire de la tige avec la balle immédiatement après l'impact.

En résolvant l'équation résultante après substitution, nous trouvons

.

Utilisons maintenant la loi de conservation énergie mécanique. Évaluons l'énergie cinétique de la tige après qu'une balle l'ait touchée énergie potentielle V Le point le plus élevé ascenseur:

,

où est la hauteur d'élévation du centre de masse de ce système.

Après avoir effectué les transformations nécessaires, on obtient

L'angle de déviation de la tige est lié au rapport

.

Après avoir effectué les calculs, on obtient =0.1p=18 0 .

5. Déterminez l'accélération des corps et la tension du fil sur la machine Atwood, en supposant que (Fig. 5.20). Le moment d'inertie du bloc par rapport à l'axe de rotation est égal à je, rayon de bloc r. Négligez la masse du fil.

Organisons toutes les forces agissant sur les charges et le bloc, et établissons pour elles des équations dynamiques

S'il n'y a pas de glissement du fil le long du bloc, alors les accélérations linéaire et angulaire sont liées entre elles par la relation

En résolvant ces équations, on obtient

On trouve alors T 1 et T 2.

6. Un fil est attaché à la poulie de la croix d'Oberbeck (Fig. 5.21), à partir duquel une charge pesant M= 0,5 kg. Déterminer combien de temps il faut pour qu'une charge tombe d'une hauteur h=1 m jusqu'à la position inférieure. Rayon de poulie r=3 cm. Quatre poids pesant m=250 g chacun à distance R.= 30 cm de son axe. Le moment d'inertie de la croix et de la poulie elle-même est négligé par rapport au moment d'inertie des charges.

Mécanique.

Question n°1

Système de référence. Systèmes de référence inertiels. Le principe de relativité de Galilée - Einstein.

Cadre de réference- il s'agit d'un ensemble de corps par rapport auquel sont décrits le mouvement d'un corps donné et le système de coordonnées qui lui est associé.

Système de référence inertielle (IRS) est un système dans lequel un corps en mouvement libre est dans un état de repos ou de mouvement linéaire uniforme.

Principe de relativité de Galilée-Einstein- Tous les phénomènes naturels à tout moment système inertiel les décomptes se produisent de la même manière et ont le même forme mathématique. En d’autres termes, tous les ISO sont égaux.

Question n°2

Équation du mouvement. Types de mouvement solide. La tâche principale de la cinématique.

Equations de mouvement d'un point matériel :

- équation cinématique du mouvement

Types de mouvements de corps rigides :

1) Mouvement de translation – toute ligne droite tracée dans le corps se déplace parallèlement à elle-même.

2) Mouvement de rotation - n'importe quel point du corps se déplace en cercle.

φ = φ(t)

La tâche principale de la cinématique- il s'agit d'obtenir la dépendance temporelle de la vitesse V = V(t) et des coordonnées (ou rayon vecteur) r = r(t) d'un point matériel à partir de la dépendance connue de son accélération a = a(t) sur le temps et le connu conditions initiales V 0 et r 0 .

Question n°7

Impulsion (Quantité de mouvement) - grandeur physique vectorielle caractérisant la mesure mouvement mécanique corps. DANS mécanique classique impulsion corporelle égal au produit masses m ce point par sa vitesse v, la direction de l'impulsion coïncide avec la direction du vecteur vitesse :

DANS mécanique théorique impulsion généralisée est la dérivée partielle du lagrangien du système par rapport à vitesse généralisée

Si le Lagrangien du système ne dépend pas de certains coordonnées généralisées, alors à cause de équations de Lagrange .

Pour particule libre la fonction de Lagrange a la forme : , donc :

L'indépendance du lagrangien d'un système fermé par rapport à sa position dans l'espace découle de la propriété homogénéité de l'espace: pour un système bien isolé, son comportement ne dépend pas de l'endroit où on le place dans l'espace. Par Théorème de Noether De cette homogénéité découle la conservation d’une certaine quantité physique. Cette quantité est appelée impulsion (ordinaire, non généralisée).

En mécanique classique, complet impulsion le système de points matériels est appelé quantité de vecteur, égal à la somme des produits des masses des points matériels et de leur vitesse :

par conséquent, la quantité est appelée la quantité de mouvement d'un point matériel. Il s’agit d’une quantité vectorielle dirigée dans la même direction que la vitesse des particules. L'unité d'impulsion est en Système international unités (SI) est kilogramme-mètre par seconde(kg m/s)

Si nous avons affaire à un corps de taille finie, pour déterminer sa quantité de mouvement, il est nécessaire de diviser le corps en petites parties, qui peuvent être considérées comme des points matériels et additionnées sur elles, nous obtenons ainsi :

L'impulsion d'un système qui n'est affecté par aucun forces externes(ou ils sont indemnisés) enregistréà l'heure:

La conservation de la quantité de mouvement découle dans ce cas des deuxième et troisième lois de Newton : en écrivant la deuxième loi de Newton pour chacun des points matériels composant le système et en faisant la somme sur tous les points matériels composant le système, en vertu de la troisième loi de Newton on obtient l'égalité (* ).

DANS mécanique relativiste l'élan tridimensionnel d'un système de points matériels sans interaction est la quantité

,

Où je suis- poids je le point matériel.

Pour un système fermé de points matériels sans interaction, cette valeur est conservée. Cependant, l’impulsion tridimensionnelle n’est pas une quantité relativiste invariante, puisqu’elle dépend du référentiel. Une quantité plus significative sera l'impulsion à quatre dimensions, qui pour un point matériel est définie comme

En pratique, les relations suivantes entre la masse, la quantité de mouvement et l'énergie d'une particule sont souvent utilisées :

En principe, pour un système de points matériels n’interagissant pas, leurs 4 moments sont additionnés. Cependant, pour les particules en interaction en mécanique relativiste, il est nécessaire de prendre en compte non seulement l'impulsion des particules qui composent le système, mais également l'impulsion du champ d'interaction entre elles. Par conséquent, une quantité beaucoup plus significative en mécanique relativiste est le tenseur énergie-impulsion, qui satisfait pleinement aux lois de conservation.

Question n°8

Moment d'inertie- une grandeur physique scalaire, mesure de l'inertie d'un corps en mouvement de rotation autour d'un axe, tout comme la masse d'un corps est une mesure de son inertie en mouvement de translation. Caractérisé par la répartition des masses dans le corps : moment d'inertie égal à la somme produits des masses élémentaires par le carré de leurs distances à ensemble de base

Moment d'inertie axial

Moments d'inertie axiaux de certains corps.

Moment d'inertie Système mécanique par rapport à un axe fixe (« moment d'inertie axial ») est la quantité J a, égal à la somme des produits des masses de tous n points matériels du système par les carrés de leurs distances à l'axe :

,

• je suis- poids je le point,
• r je- distance de jeème point sur l’axe.

Axial moment d'inertie corps J a est une mesure de l'inertie d'un corps en mouvement de rotation autour d'un axe, tout comme la masse d'un corps est une mesure de son inertie en mouvement de translation.

,

• dm = ρ dV- masse d'un petit élément du volume corporel dV,
• ρ - densité,
• r- distance de l'élément dVà l'axe a.

Si le corps est homogène, c'est-à-dire que sa densité est la même partout, alors

Dérivation de la formule

dm et moments d'inertie DJ je. Alors

Cylindre à paroi mince (anneau, cerceau)

Dérivation de la formule

Le moment d'inertie d'un corps est égal à la somme des moments d'inertie de ses éléments constitutifs. Diviser un cylindre à paroi mince en éléments ayant une masse dm et moments d'inertie DJ je. Alors

Puisque tous les éléments d'un cylindre à paroi mince sont à la même distance de l'axe de rotation, la formule (1) se transforme sous la forme

Théorème de Steiner

Moment d'inertie La position d'un corps solide par rapport à n'importe quel axe dépend non seulement de la masse, de la forme et de la taille du corps, mais également de la position du corps par rapport à cet axe. D'après le théorème de Steiner (théorème de Huygens-Steiner), moment d'inertie corps J. par rapport à un axe arbitraire est égal à la somme moment d'inertie ce corps JC par rapport à un axe passant par le centre de masse du corps parallèle à l'axe considéré, et le produit de la masse corporelle m par carré de distance d entre axes :

Si est le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe passant par le centre de masse du corps, alors le moment d'inertie par rapport à un axe parallèle situé à distance de celui-ci est égal à

,

Où - masse complète corps.

Par exemple, le moment d'inertie d'une tige par rapport à un axe passant par son extrémité est égal à :

Énergie de rotation

Énergie cinétique du mouvement de rotation- l'énergie d'un corps associée à sa rotation.

Basique caractéristiques cinématiques mouvement de rotation d'un corps - sa vitesse angulaire (ω) et son accélération angulaire. Les principales caractéristiques dynamiques du mouvement de rotation - moment cinétique par rapport à l'axe de rotation z :

Kz = Izω

et énergie cinétique

où I z est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation.

Un exemple similaire peut être trouvé en considérant une molécule en rotation avec des axes d'inertie principaux Je 1, Je 2 Et je 3. Énergie de rotation une telle molécule est donnée par l'expression

Où ω 1, ω 2, Et ω 3- les principales composantes de la vitesse angulaire.

En général, l'énergie lors d'une rotation avec une vitesse angulaire se trouve par la formule :

, Où je- tenseur d'inertie.

Question n°9

Moment d'impulsion (moment cinétique, moment cinétique, moment orbital, moment cinétique) caractérise l'ampleur du mouvement de rotation. Quantité qui dépend de la quantité de masse en rotation, de la manière dont elle est distribuée par rapport à l'axe de rotation et de la vitesse à laquelle la rotation se produit.

Il convient de noter que la rotation s'entend ici dans dans un sens large, pas seulement comme rotation régulière autour d'un axe. Par exemple, même avec mouvement droit corps au-delà d'un point imaginaire arbitraire ne se trouvant pas sur la ligne de mouvement, il a également un moment cinétique. Le rôle le plus important est peut-être joué par le moment cinétique dans la description du mouvement de rotation réel. Cependant, cela est extrêmement important pour une classe de problèmes beaucoup plus large (surtout si le problème a une cause centrale ou symétrie axiale, mais pas seulement dans ces cas).

Loi de conservation du moment cinétique(loi de conservation moment cinétique) - la somme vectorielle de tous les moments cinétiques par rapport à n'importe quel axe pour un système fermé reste constante dans le cas d'équilibre du système. Conformément à cela, le moment cinétique d'un système fermé par rapport à toute non-dérivée du moment cinétique par rapport au temps est le moment de force :

Ainsi, l'exigence selon laquelle le système doit être fermé peut être affaiblie à l'exigence que le moment principal (total) des forces externes soit égal à zéro :

où est le moment d'une des forces appliquées au système de particules. (Mais bien sûr, s’il n’y a aucune force extérieure, cette exigence est également satisfaite).

Mathématiquement, la loi de conservation du moment cinétique découle de l'isotropie de l'espace, c'est-à-dire de l'invariance de l'espace par rapport à la rotation de angle arbitraire. Lors d'une rotation selon un angle infinitésimal arbitraire, le rayon vecteur de la particule avec le nombre changera de , et la vitesse - . La fonction de Lagrange du système ne changera pas avec une telle rotation, en raison de l'isotropie de l'espace. C'est pourquoi