Preuve
Tout d’abord, dessinons la diagonale AC. On obtient deux triangles : ABC et ADC.
Puisque ABCD est un parallélogramme, ce qui suit est vrai :
AD || BC \Flèche droite \angle 1 = \angle 2 comme s'allonger en travers.
AB || CD\Flèche Droite\angle3 =\angle 4 comme s'allonger en travers.
Donc \triangle ABC = \triangle ADC (selon le deuxième critère : et AC est commun).
Et donc \triangle ABC = \triangle ADC, alors AB = CD et AD = BC.
Éprouvé!
2. Les angles opposés sont identiques.
Preuve
D'après la preuve propriétés 1 nous savons que \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. La somme des angles opposés vaut donc : \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. En considérant que \triangle ABC = \triangle ADC on obtient \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Éprouvé!
3. Les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection.
Preuve
Traçons une autre diagonale.
Par propriété 1 nous savons que côtés opposés sont identiques : AB = CD. Encore une fois, notez les angles transversaux égaux.
Ainsi, il est clair que \triangle AOB = \triangle COD selon le deuxième critère d'égalité des triangles (deux angles et le côté qui les sépare). Autrement dit, BO = OD (en face des coins \angle 2 et \angle 1) et AO = OC (en face des coins \angle 3 et \angle 4, respectivement).
Éprouvé!
Signes d'un parallélogramme
Si une seule fonctionnalité est présente dans votre problème, alors la figure est un parallélogramme et vous pouvez utiliser toutes les propriétés de cette figure.
Pour meilleure mémorisation, notez que le signe du parallélogramme répondra à question suivante — "Comment le savoir?". Autrement dit, comment savoir ce que ce chiffre c'est un parallélogramme.
1. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les deux côtés sont égaux et parallèles.
AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD est un parallélogramme.
Preuve
Regardons de plus près. Pourquoi AD || Colombie-Britannique ?
\triangle ABC = \triangle ADC par propriété 1: AB = CD, AC - commun et \angle 1 = \angle 2 croisés avec parallèles AB et CD et sécants AC.
Mais si \triangle ABC = \triangle ADC , alors \angle 3 = \angle 4 (se trouvent respectivement en face de AB et CD). Et donc AD || BC (\angle 3 et \angle 4 - ceux qui se trouvent transversalement sont également égaux).
Le premier signe est correct.
2. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux.
AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD est un parallélogramme.
Preuve
Considérons ce signe. Traçons à nouveau la diagonale AC.
Par propriété 1\triangle ABC = \triangle ACD .
Il en résulte que : \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || Colombie-Britannique Et \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, c'est-à-dire que ABCD est un parallélogramme.
Le deuxième signe est correct.
3. Un parallélogramme est un quadrilatère dont angles opposés sont égaux.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- parallélogramme.
Preuve
2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(puisque ABCD est un quadrilatère, et \angle A = \angle C , \angle B = \angle D par condition).
Il s'avère que \alpha + \beta = 180^(\circ) . Mais \alpha et \beta sont internes unilatéraux à la sécante AB.
Et le fait que \alpha + \beta = 180^(\circ) signifie aussi que AD || Colombie-Britannique
De plus, \alpha et \beta sont internes unilatéraux à la sécante AD . Et cela signifie AB || CD.
Le troisième signe est correct.
4. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection.
AO = OC ; BO = OD\Parallélogramme flèche droite.
Preuve
BO = DO; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 comme vertical \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Flèche droite \angle 3 = \angle 4, et \Rightarrow AB || CD.
De même BO = OD ; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, et \Rightarrow AD || Colombie-Britannique
Le quatrième signe est correct.
La géométrie est entièrement construite sur des théorèmes et des preuves. Pour prouver qu’une figure arbitraire ABCD est un parallélogramme, vous devez connaître la définition et les caractéristiques de cette figure.
Instructions
En géométrie, un parallélogramme est une figure à quatre coins dont les côtés opposés sont parallèles. Ainsi, le losange, le carré et le rectangle sont des variantes de ce quadrilatère.
Montrer que deux des côtés opposés sont égaux et parallèles l’un à l’autre. Dans le parallélogramme ABCD, ce signe ressemble à ceci : AB=CD et AB||CD. Dessinez la diagonale AC. Les triangles résultants seront égaux selon le deuxième critère. CA - côté commun, les angles BAC et ACD, ainsi que BCA et CAD, sont égaux et se trouvent transversalement aux lignes parallèles AB et CD (données dans la condition). Mais comme ces angles transversaux appartiennent aussi aux côtés AD et BC, cela signifie que ces segments se trouvent également sur des droites parallèles, ce qui a été prouvé.
Éléments importants preuve que ABCD est un parallélogramme sont des diagonales, puisque sur cette figure, lorsqu'elles se coupent au point O, elles se divisent en segments égaux(AO=OC, BO=OD). Les triangles AOB et COD sont congrus car leurs côtés sont égaux en raison de ces conditions et angles verticaux. Il en résulte que les angles DBA et CDB ainsi que CAB et ACD sont égaux.
Mais ces mêmes angles sont transversaux, malgré le fait que les droites AB et CD soient parallèles, et le rôle de diagonale est joué par la sécante. Ayant ainsi prouvé que les deux autres triangles formés par les diagonales sont congrus, vous obtiendrez que ce quadrilatère est un parallélogramme.
Une autre propriété par laquelle on peut prouver qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme ressemble à ceci : les angles opposés de cette figure sont égaux, c'est-à-dire l'angle B égal à l'angle D, et l'angle C est égal à A. La somme des angles des triangles que l'on obtient si l'on trace la diagonale AC est de 180°. Sur cette base, nous constatons que la somme de tous les angles de cette figure ABCD est égale à 360°.
En vous rappelant les conditions du problème, vous pouvez facilement comprendre que l'angle A et l'angle D totalisent 180°, de même, l'angle C + l'angle D = 180°. En même temps, ces angles sont internes, ils se situent du même côté, avec des droites et des sécantes correspondantes. Il s’ensuit que les droites BC et AD sont parallèles et que la figure donnée est un parallélogramme.
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Afin de déterminer si une figure donnée est un parallélogramme, il existe un certain nombre de signes. Examinons les trois principales caractéristiques d'un parallélogramme.
1 signe de parallélogramme
Si deux côtés d’un quadrilatère sont égaux et parallèles, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme.
Preuve:
Considérons le quadrilatère ABCD. Soit les côtés AB et CD parallèles. Et soit AB=CD. Dessinons la diagonale BD dedans. Cela divisera le quadrilatère donné en deux triangle égal: ABD et CBD.
Ces triangles sont égaux entre eux sur deux côtés et l'angle entre eux (BD est le côté commun, AB = CD par condition, angle1 = angle2 comme angles transversaux avec la transversale BD des droites parallèles AB et CD.), et donc angle3 = angle4.
Et ces angles seront transversaux lorsque les droites BC et AD couperont la sécante BD. Il s'ensuit que BC et AD sont parallèles l'un à l'autre. Nous avons que dans le quadrilatère ABCD les côtés opposés sont parallèles deux à deux, et donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Signe de parallélogramme 2
Si dans un quadrilatère les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme.
Preuve:
Considérons le quadrilatère ABCD. Dessinons la diagonale BD dedans. Il divisera ce quadrilatère en deux triangles égaux : ABD et CBD.
Ces deux triangles seront égaux entre eux sur trois côtés (BD est le côté commun, AB = CD et BC = AD par condition). De là, nous pouvons conclure que angle1 = angle2. Il s’ensuit que AB est parallèle à CD. Et puisque AB = CD et AB est parallèle à CD, alors selon le premier critère d'un parallélogramme, le quadrilatère ABCD sera un parallélogramme.
signe à 3 parallélogrammes
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme.
Considérons le quadrilatère ABCD. Traçons-y deux diagonales AC et BD, qui se couperont au point O et seront divisées en deux par ce point.
Les triangles AOB et COD seront égaux entre eux, selon le premier signe d'égalité des triangles. (AO = OC, BO = OD par condition, angle AOB = angle COD comme angles verticaux.) Donc AB = CD et angle1 = angle 2. De l'égalité des angles 1 et 2, on a que AB est parallèle à CD. On a alors que dans le quadrilatère ABCD les côtés AB sont égaux à CD et parallèles, et selon le premier critère d'un parallélogramme, le quadrilatère ABCD sera un parallélogramme.
Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Définition et propriétés de base d'un parallélogramme
Commençons par rappeler la définition de par-ral-le-lo-gram-ma.
Définition. Parallélogramme- what-you-re-gon-nick, qui a tous les deux pro-ti-faux côtés parallèles (voir Fig. .1).
Riz. 1. Pa-ral-le-lo-gramme
Souvenons-nous propriétés de base du pa-ral-le-lo-gram-ma:
Afin de pouvoir utiliser toutes ces propriétés, vous devez être sûr que le fi-gu-ra, à propos de quelqu'un -roy en question, - par-ral-le-lo-gram. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître des faits tels que les signes de pa-ral-le-lo-gram-ma. Nous examinons les deux premiers d’entre eux cette année.
2. Le premier signe d'un parallélogramme
Théorème. Le premier signe de pa-ral-le-lo-gram-ma. Si dans un four à quatre charbons, les deux côtés opposés sont égaux et parallèles, alors ce surnom à quatre charbons - parallélogramme. 
.
Riz. 2. Le premier signe de pa-ral-le-lo-gram-ma
Preuve. Nous avons mis le dia-go-nal dans le quatre-reh-coal-ni-ke (voir Fig. 2), elle l'a divisé en deux tri-coal-ni-ka. Écrivons ce que nous savons sur ces triangles :
selon le premier signe de l'égalité des triangles.
De l'égalité des triangles indiqués, il résulte que, par le signe du parallélisme des lignes droites lors du croisement, ch-nii leur s-ku-shchi. Nous avons ça :
Fais-ka-za-mais.
3. Deuxième signe d'un parallélogramme
Théorème. Le deuxième signe est pa-ral-le-lo-gram-ma. Si dans un quatre coins tous les deux côtés opposés sont égaux, alors ce quatre coins est parallélogramme. 
.
Riz. 3. Le deuxième signe de pa-ral-le-lo-gram-ma
Preuve. On met le dia-go-nal dans le quatre coin (voir Fig. 3), il le divise en deux triangles. Écrivons ce que nous savons sur ces triangles, en nous basant sur la forme de la théorie :
selon le troisième signe de l'égalité des triangles.
De l'égalité des triangles, il résulte que, par le signe des lignes parallèles, lorsqu'elles se coupent s-ku-shchey. Mangeons :
par-ral-le-lo-gram par définition. Q.E.D.
Fais-ka-za-mais.
4. Un exemple d'utilisation de la première fonctionnalité de parallélogramme
Regardons un exemple d'utilisation des signes de pa-ral-le-lo-gram.
Exemple 1. Dans le renflement, il n'y a pas de charbons Trouvez : a) les coins des charbons ; b) cent-ro-well.
Solution. Illustration Fig. 4.
pa-ral-le-lo-gram selon le premier signe de pa-ral-le-lo-gram-ma.
UN. 
par la propriété d'un par-ral-le-lo-gramme sur les pro-ti-faux angles, par la propriété d'un par-ral-le-lo-gramme sur la somme des angles, lorsqu'il est couché d'un côté.
B. 
par la nature de l'égalité des côtés pro-faux.
signe re-tiy pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Révision : Définition et propriétés d'un parallélogramme
Souvenons-nous de cela parallélogramme- il s'agit d'un coin de quatre carrés, qui a des faux côtés pro-ti-par paires. Autrement dit, si - par-ral-le-lo-gram, alors 
(voir fig. 1).
Le parallèle-le-lo-gramme a un certain nombre de propriétés : les angles opposés sont égaux (), les angles opposés -nous sommes égaux ( 
). De plus, le dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma au point de re-se-che-niya est divisé selon la somme des angles, at-le- poussant vers n'importe quel côté pa-ral-le-lo-gram-ma, égal, etc.
Mais pour profiter de toutes ces propriétés, il faut être absolument sûr que le ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. À cette fin, il existe des signes de par-ral-le-lo-gram : c'est-à-dire des faits à partir desquels on peut tirer une conclusion à valeur unique, que ce que-vous-rekh-coal-nick est un par-ral- le-lo-gram-maman. Dans la leçon précédente, nous avons déjà examiné deux signes. Nous examinons maintenant la troisième fois.
6. Le troisième signe d'un parallélogramme et sa preuve
Si dans un quatre charbons il y a un dia-go-on au point de re-se-che-niya ils font-by-lams, alors le quatre-you Roh-coal-nick donné est un pa-ral-le -lo-gram-maman.
Donné:
Qu'est-ce-que-tu-re-charbon-nick; ; .
Prouver:
Parallélogramme.
Preuve:
Pour prouver ce fait, il faut montrer le parallélisme des parties au par-le-lo-gram. Et le parallélisme des droites est le plus souvent obtenu grâce à l'égalité des angles internes croisés à ces angles droits. Voici donc la méthode suivante pour obtenir le troisième signe de par-ral -le-lo-gram-ma : par l'égalité des triangles 
.
Voyons comment ces triangles sont égaux. En effet, de la condition il résulte : . De plus, puisque les angles sont verticaux, ils sont égaux. C'est-à-dire:
(premier signe d'égalitétri-charbon-ni-cov- le long de deux côtés et l'angle entre eux).
De l'égalité des triangles : (puisque les angles transversaux internes au niveau de ces droites et sections transversales sont égaux). De plus, de l’égalité des triangles il résulte que . Cela signifie que nous comprenons que dans quatre charbons, deux cents sont égaux et parallèles. D'après le premier signe, pa-ral-le-lo-gram-ma : - pa-ral-le-lo-gram.
Fais-ka-za-mais.
7. Exemple de problème sur le troisième signe d'un parallélogramme et généralisation
Regardons l'exemple d'utilisation du troisième signe du pa-ral-le-lo-gram.
Exemple 1
Donné:
- parallélogramme; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (voir Fig. 2).
Prouver:- pa-ral-le-lo-gramme.
Preuve:
Cela signifie que dans les quatre charbons-no-dia-go-on-que ce soit au point de re-se-che-niya, ils le font par-lam. Par le troisième signe de pa-ral-le-lo-gram, il en résulte que - pa-ral-le-lo-gram.
Fais-ka-za-mais.
Si vous analysez le troisième signe de pa-ral-le-lo-gram, alors vous remarquerez que ce signe est avec-vet- a la propriété d'un par-ral-le-lo-gram. Autrement dit, le fait que le dia-go-na-li de-la-xia n'est pas seulement une propriété du par-le-lo-gram, et son distinctif, kha-rak-te-ri-sti-che- propriété, par laquelle il peut être distingué de l'ensemble what-you-rekh-coal-ni-cov.
SOURCE
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
