Intégrale définie en fonction d'une limite supérieure variable. Intégrale définie en fonction de la limite supérieure

Laissez la fonction F(t) est défini et continu sur un intervalle contenant le point un. Puis chaque numéro Xà partir de cet intervalle, nous pouvons faire correspondre le nombre,

définissant ainsi sur l'intervalle la fonction je(X), qui est appelée une intégrale définie avec une limite supérieure variable. Notez qu'au point x = un cette fonction est égale à zéro. Calculons la dérivée de cette fonction au point X. Pour ce faire, considérons d'abord l'incrément de la fonction au point X lors de l'incrémentation de l'argument D X:

D je(X) = je(x+ D X) – je(X) =

Comme le montre la fig. 4, la valeur de la dernière intégrale de la formule de l'incrément D je(X) est égal à l’aire trapèze courbé, marqué d'un ombrage. Aux petites valeurs de D X(ici, comme ailleurs dans ce cours, lorsque nous parlons de petits incréments d'un argument ou d'une fonction, nous entendons valeurs absolues incréments, puisque les incréments eux-mêmes peuvent être à la fois positifs et négatifs), cette zone s'avère être d'environ superficie égale rectangle, marqué sur la figure par des doubles hachures. L'aire d'un rectangle est donnée par la formule F(X)D X. De là on obtient la relation

Dans la dernière égalité approximative, la précision de l'approximation est d'autant plus élevée que la valeur de D est petite X.

De ce qui précède, il résulte la formule de la dérivée de la fonction je(X):

La dérivée de l'intégrale définie par rapport à la limite supérieure au point x est égale à la valeur de l'intégrande au point x. Il s'ensuit que la fonction est une primitive de la fonction F(X), et une telle primitive qui prend au point x = un signification, égal à zéro. Ce fait permet de représenter une intégrale définie sous la forme

. (1)

Laisser F(X) est aussi une primitive de la fonction F(X), puis par le théorème sur vue générale toutes les primitives de la fonction je(X) = F(X) + C, Où C- un certain nombre. Où partie droite la formule (1) prend la forme

je(X) – je(un) = F(X) + C– (F(un) +C) = F(X) – F(un). (2)

A partir des formules (1) et (2) après remplacement X sur b suit la formule de calcul de l'intégrale définie de la fonction F(t) le long de l'intervalle [ un;b]:

qui est appelée Formule de Newton-Leibniz. Ici F(X)- toute primitive d'une fonction F(X).

Pour calculer l'intégrale définie d'une fonction F(X) le long de l'intervalle [ un;b], vous devez trouver une primitive F(X) les fonctions F(X) et calculer la différence des valeurs de la primitive aux points b Et un. La différence entre ces valeurs primitives est généralement indiquée par le symbole, c'est-à-dire .

Changement de variable dans une intégrale définie. Lors du calcul d'intégrales définies à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, il est préférable de ne pas différencier strictement les étapes de résolution du problème (trouver la primitive de l'intégrande, trouver l'incrément de la primitive). Cette approche, qui utilise notamment des formules de changement de variable et d'intégration par parties pour une intégrale définie, permet généralement de simplifier l'écriture de la solution.

THÉORÈME. Soit la fonction φ(t) une dérivée continue sur l'intervalle [α,β], a=φ(α), β=φ(β) et la fonction f(x) soit continue en chaque point x de la forme x =φ(t), où t [α,β].

Alors l’égalité suivante est vraie :

Cette formule est appelée formule pour changer une variable en une intégrale définie.

Tout comme c'était le cas pour l'intégrale indéfinie, le recours à un changement de variable permet de simplifier l'intégrale en la rapprochant de la ou des intégrales tabulaires. De plus, contrairement à l'intégrale indéfinie, dans ce cas il n'est pas nécessaire de revenir à l'intégrale originale variable d'intégration. Il suffit de trouver les limites d'intégration de α et β sur une nouvelle variable t comme solution de la variable t des équations φ(t)=a et φ(t)=b. En pratique, lors d'un remplacement de variable, ils commencent souvent par indiquer l'expression t=ψ(x) de la nouvelle variable par rapport à l'ancienne. Dans ce cas, trouver les limites d'intégration sur la variable t est simplifié : α=ψ(a), β=ψ(b).

Exemple 19. Calculer

Mettons t=2-x 2. Alors dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx et xdx=- dt. Si x=0, alors t=2-0 2 =2, et si x=1, alors t=2-1 2 =1. Donc :

Intégration par parties. La méthode d'intégration par parties nous permet de réduire l'intégrale indéfinie originale à plus vue simple ou à une intégrale de table. Cette méthode est le plus souvent utilisée si l'intégrande contient des éléments logarithmiques, exponentiels, trigonométriques inverses, fonctions trigonométriques, ainsi que leurs combinaisons.

La formule d'intégration par parties est la suivante.

C'est, intégrande f(x)dx représente-le comme un produit de la fonction u(x) sur d(v(x))- fonction différentielle v(x). On retrouve ensuite la fonction v(x)(le plus souvent par méthode intégration directe) Et d(u(x))- fonction différentielle u(x). Nous substituons les expressions trouvées dans la formule d'intégration par parties et l'intégrale indéfinie originale est réduite à la différence . La dernière intégrale indéfinie peut être prise en utilisant n'importe quelle méthode d'intégration, y compris la méthode d'intégration par parties.

Intégrale avec limite supérieure variable. La valeur d'une intégrale définie ne dépend pas de la lettre par laquelle la variable d'intégration est désignée : (pour le vérifier, il suffit d'écrire les sommes intégrales ; elles coïncident). Dans cette section, la variable d'intégration sera désignée par la lettre t , et la lettre X désignons la limite supérieure de l'intégration. Nous supposerons que la limite supérieure de l'intégrale peut changer, c'est-à-dire Quoi X - variable, par conséquent l'intégrale sera une fonction Ф( X ) de sa limite supérieure : . Il est facile de prouver que si F (t ) est intégrable, alors Ф( X ) est continue, mais le théorème fondamental suivant est plus important pour nous :
Théorème intégral avec limite supérieure variable. Si la fonction F (t ) est continue au voisinage du point t = X , alors à ce stade la fonction Ф( X ) est différentiable, et .
En d'autres termes, la dérivée d'une intégrale définie d'une fonction continue par rapport à la limite supérieure est égale à la valeur de l'intégrande dans cette limite.
Document. Donnons la limite supérieure X incrément. Alors , Où c - un point situé entre X et (l'existence d'un tel point est énoncée par le théorème de la valeur moyenne ; les nombres au-dessus du signe égal sont le nombre de la propriété appliquée de l'intégrale définie). . Allons-y. Dans lequel ( c - un point situé entre X Et ). Parce que F (t ) est continue au point t = X , Que . Il y a donc , Et . Le théorème a été prouvé.

Notons le premier conséquence importante ce théorème. Essentiellement, nous avons prouvé que tout fonction continue F (X ) a une primitive, et cette primitive est déterminée par la formule

36. Formule de Newton-Leibniz.

Si F (X ) est continue sur l'intervalle [ un , b ], Et F (X ) est une primitive de la fonction, alors .
Doc. Nous avons établi que la fonction - primitive de continu F (X ). Parce que F (X ) est également primitive, alors Ф( X ) = F (X ) + C . Mettons cette égalité X = un . Parce que , Que . Inégalité redésignons les variables : pour la variable d'intégration t revenons à la notation X , limite supérieure X désignons b . Enfin, .
La différence sur le côté droit de la formule de Newton-Leibniz est indiquée par un symbole spécial : (se lit ici comme "substitution de un avant b "), donc la formule de Newton-Leibniz s'écrit généralement ainsi : .

37. Intégration par parties et changement de variable dans une intégrale définie.

Si toi(X) Et v(X) - deux fonctions définies sur l'intervalle [ un, b] et y ayant des dérivées continues, alors

La formule (24) est formule d'intégration par parties pour des intégrales définies.

La preuve est très simple. Exactement,

Puisque selon la formule d'intégration par parties ce sera

alors c'est là que (24) suit.

Laisser F(zp, q], UN φ (X) est une fonction continue définie sur l'intervalle [ un, b], qui y a une dérivée continue φ "(X) et satisfaisant l’inégalité p ≤ φ (X) ≤ q.

Dans ce cas

La formule (22) exprime la règle pour changer une variable en une intégrale définie. Elle ressemble à la règle de remplacement d'une variable dans une intégrale indéfinie, mais en diffère en ce qu'il n'est pas nécessaire ici de revenir à l'ancienne variable, puisque la formule (22) représente l'égalité de deux nombres constants. Notons également que pour le cas des intégrales définies, cette formule remplace les deux types de règles de substitution dans les intégrales indéfinies ; seulement, lorsqu'on l'applique dans la pratique, il faut parfois le lire de gauche à droite, et parfois de droite à gauche.

Passant à la preuve du théorème, nous désignons respectivement les intégrales incluses dans les côtés gauche et droit de la formule (22) par je lion et je droite

Laisser F(z) est une fonction primitive pour F(z). Alors, selon la formule de Newton-Leibniz/p>

je droits = F[φ (b)] - F[φ (un)]. (23)

Pour ce qui est de je lion, alors

Mais d'après le théorème, ce sera

je lion = F[φ (b)] - F[φ (un)].

D’ici et de (23) il s’ensuit que je lion = je droite

38. Intégrales de fonctions paires, impaires et périodiques.

Théorie 1. Soit f(x) une fonction paire intégrable sur l'intervalle [-a,a] :

Pour le prouver, présentons l’intégrale originale comme une somme de deux intégrales :

La déclaration a été prouvée.

Théorie 2. Soit f(x) une fonction impaire intégrable sur l'intervalle [-a,a] :

Le théorème se prouve de la même manière :

ne dépend pas de λ. En particulier,

Calculons la dérivée par rapport à λ à partir de l'expression du côté droit de cette égalité :

Intégrales incorrectes

Intégrale impropre avec limite(s) d'intégration infinie

Parfois, une telle intégrale impropre est aussi appelée intégrale impropre du premier type. En général, une intégrale impropre de limite infinie ressemble le plus souvent à ceci : . En quoi est-elle différente d’une intégrale définie ? À la limite supérieure. C'est sans fin : .

Les intégrales avec une limite inférieure infinie ou deux sont moins courantes limites infinies: .

Nous considérerons le cas le plus populaire. La technique pour travailler avec d'autres variétés est similaire et à la fin du paragraphe, il y aura un lien vers de tels exemples.

Une intégrale impropre existe-t-elle toujours ? Non, pas toujours. L'intégrande doit être continue sur l'intervalle.

Aide : à proprement parler, l'affirmation est fausse : s'il y a des discontinuités dans la fonction, alors dans certains cas il est possible de diviser le demi-intervalle en plusieurs parties et de calculer plusieurs intégrales impropres. Par souci de simplicité, je dirai ci-après qu’une intégrale impropre n’existe pas.

Représentons dans le dessin le graphique de la fonction intégrande. Graphique typique et trapèze courbe pour ce cas Ressemble à ça:

Tout va bien ici, l'intégrande est continue sur le demi-intervalle, et donc l'intégrale impropre existe. Veuillez noter que notre trapèze incurvé est sans fin(non limité à la droite).
Intégrale incorrecte numériquement égal à la superficie figure ombrée, deux cas sont possibles :

1) D’abord, la pensée qui me vient à l’esprit : « puisque le chiffre est infini, alors ", en d'autres termes, la zone est également infinie. C'est peut-être le cas. Dans ce cas, on dit que l’intégrale impropre diverge.

2) Mais. Aussi paradoxal que cela puisse paraître, l'aire d'une figure infinie peut être égale à... nombre fini! Par exemple: . Cela pourrait-il être vrai ? Facilement. Dans le deuxième cas, l’intégrale impropre converge.

Dans quels cas une intégrale impropre diverge-t-elle et dans quels cas converge-t-elle ? Cela dépend de l'intégrande, et exemples spécifiques nous y réfléchirons très prochainement.

Que se passe-t-il si un trapèze courbé infini se trouve en dessous de l'axe ? Dans ce cas, l’intégrale impropre (diverge) ou est égal à un nombre fini négatif.

Une intégrale impropre peut être négative.

Important! Lorsqu'UNE intégrale impropre vous est proposée pour une solution, alors, d'une manière générale, il n'est question d'aucun domaine et il n'est pas nécessaire de construire un dessin. Votre tâche est de trouver le NOMBRE ou de prouver que l'intégrale impropre diverge. J'ai expliqué la signification géométrique de l'intégrale impropre uniquement pour faciliter la compréhension du matériau.

Puisque l'intégrale impropre est très similaire à l'intégrale définie, rappelez-vous la formule Newton-Leibniz: . En fait, la formule s'applique également à intégrales incorrectes, il faut juste le modifier un peu. Quelle est la différence? A la limite supérieure infinie d'intégration : . Probablement, beaucoup ont deviné que cela sent déjà l'application de la théorie des limites, et la formule s'écrira ainsi : .

Laissez la fonction F(t) est défini et continu sur un intervalle contenant le point un. Puis chaque numéro Xà partir de cet intervalle, vous pouvez faire correspondre le nombre

je(X) = je(x+X) – je(X) =

Comme le montre la figure 23, la valeur de la dernière intégrale dans la formule de l'incrément  je(X) est égale à l'aire du trapèze curviligne, marquée par un ombrage. Aux petites valeurs  X(ici, comme ailleurs dans ce cours, lorsque nous parlons de petits incréments d'un argument ou d'une fonction, nous entendons les grandeurs absolues des incréments, puisque les incréments eux-mêmes peuvent être positifs et négatifs) cette aire s'avère être approximativement égale à l'aire du rectangle marqué sur la figure en double hachure. L'aire d'un rectangle est donnée par la formule F(X)X. De là on obtient la relation

Dans la dernière égalité approximative, la précision de l'approximation est d'autant plus élevée que la valeur  est petite X.

De ce qui précède, il résulte la formule de la dérivée de la fonction je(X):

Dérivée de l'intégrale définie par rapport à la limite supérieure au pointX égale à la valeur de l'intégrande au pointX. Il s'ensuit que la fonction
est une primitive de la fonction F(X), et une telle primitive qui prend au point x = un valeur égale à zéro. Ce fait permet de représenter une intégrale définie sous la forme

. (9)

Laisser F(X) est aussi une primitive de la fonction F(X), puis par le théorème sur la forme générale de toutes les primitives de la fonction je(X) = F(X) + C, Où C- un certain nombre. Dans ce cas, le côté droit de la formule (9) prend la forme

je(X) – je(un) = F(X) + C– (F(un) +C) = F(X) – F(un). (10)

A partir des formules (9) et (10) après remplacement X sur b suit la formule de calcul de l'intégrale définie de la fonction F(t) le long de l'intervalle [ un;b]:

ce qu'on appelle la formule Newton-Leibniz. Ici F(X)- toute primitive d'une fonction F(X).

Donnons des exemples de calcul d'intégrales définies à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

Exemples. 1.
.

2.
.

Tout d’abord, calculons l’intégrale indéfinie de la fonction F(X) = xe X. En utilisant la méthode d'intégration par parties, on obtient :
. Comme fonction primitiveF(X) choisissez une fonction e X (X– 1) et appliquer la formule de Newton-Leibniz :

je = e X (X – 1)= 1.

Lors du calcul d'intégrales définies, vous pouvez utiliser formule pour changer une variable dans une intégrale définie:

Ici  Et  sont déterminés, respectivement, à partir des équations  ( ) = un;  ( ) = b, et les fonctions F,  ,  doit être continu à des intervalles appropriés.

Exemple:
.

Faisons un remplacement : ln x = t ou x = e t, puis si X = 1, alors t = 0, et si x = e, Que t = 1. En conséquence, nous obtenons :

Lorsque vous modifiez une variable dans une intégrale définie, vous n'avez pas besoin de revenir à la variable d'intégration d'origine.

Laissez la fonction F(t) est défini et continu sur un intervalle contenant le point un. Puis chaque numéro Xà partir de cet intervalle, vous pouvez faire correspondre le nombre ,

définissant ainsi sur l'intervalle la fonction je(X), qui est généralement appelée une intégrale définie avec une limite supérieure variable. Notez qu'au point x = un cette fonction est égale à zéro. Calculons la dérivée de cette fonction au point X. Pour ce faire, considérons d'abord l'incrément de la fonction au point X lors de l'incrémentation de l'argument D X:

D je(X) = je(x+ D X) – je(X) =

Comme le montre la fig. 4, la valeur de la dernière intégrale de la formule de l'incrément D je(X) est égale à l'aire du trapèze curviligne, marquée par des hachures. Aux petites valeurs de D X(ici, comme ailleurs dans ce cours, lorsque nous parlons de petits incréments d'un argument ou d'une fonction, nous entendons les grandeurs absolues des incréments, puisque les incréments eux-mêmes peuvent être à la fois positifs et négatifs) cette zone s'avère être approximativement égale à la zone du rectangle marquée sur la figure en double hachure. L'aire d'un rectangle est donnée par la formule F(X)D X. De là on obtient la relation

Dans la dernière égalité approximative, la précision de l'approximation est d'autant plus élevée que la valeur de D est petite X.

De ce qui précède, il résulte la formule de la dérivée de la fonction je(X):

La dérivée de l'intégrale définie par rapport à la limite supérieure au point x est égale à la valeur de l'intégrande au point x. Il s'ensuit que la fonction est une primitive de la fonction F(X), et une telle primitive qui prend au point x = un valeur égale à zéro. Ce fait permet de représenter l'intégrale définie sous la forme

. (1)

Laisser F(X) est aussi une primitive de la fonction F(X), puis par le théorème sur la forme générale de toutes les primitives de la fonction je(X) = F(X) + C, Où C- pas un numéro. Dans ce cas, le côté droit de la formule (1) prend la forme

je(X) – je(un) = F(X) + C– (F(un) +C) = F(X) – F(un). (2)

A partir des formules (1) et (2) après remplacement X sur b suit la formule de calcul de l'intégrale définie de la fonction F(t) le long de l'intervalle [ un;b]:

ce qu'on appelle habituellement la formule Newton-Leibniz. Ici F(X)- toute primitive d'une fonction F(X).

Afin de calculer l'intégrale définie de la fonction F(X) le long de l'intervalle [ un;b], vous devez trouver une primitive F(X) les fonctions F(X) et calculer la différence des valeurs de la primitive aux points b Et un. La différence entre ces valeurs primitives est généralement indiquée par le symbole ᴛ.ᴇ. .

Donnons des exemples de calcul d'intégrales définies à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

Exemple 1. .

Lors du calcul d'intégrales définies, vous pouvez utiliser formule de remplacement variable :

Ici un Et b sont déterminés, respectivement, à partir des équations j(un) = un; j(b) = b, et les fonctions F,j, j¢ doit être continu à des intervalles appropriés.

Exemple 2..

Faisons un remplacement : ln x = t ou x = et, puis si X = 1, alors t = 0, et si x = e, Que t = 1. En conséquence, nous obtenons :

Cependant, lors du calcul d'une intégrale définie à l'aide d'un changement de variables, il n'est pas extrêmement important de revenir à la variable d'intégration précédente. Il suffit simplement d’introduire de nouvelles limites à l’intégration.

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