Déterminer la monotonie d'une fonction en ligne. Pourquoi explorer une fonction à l’aide de sa dérivée ? Se préparer à l'examen avec Shkolkovo est la clé de votre réussite

augmentant sur l'intervalle \(X\) si pour tout \(x_1, x_2\in X\) tel que \(x_1 0\) pour tout \(t\in \mathbb(R)\) .

Ainsi, la fonction \(f(t)\) est strictement croissante pour tout \(t\in \mathbb(R)\) .

Cela signifie que l'équation \(f(ax)=f(x^2)\) est équivalente à l'équation \(ax=x^2\) .

L'équation \(x^2-ax=0\) pour \(a=0\) a une racine \(x=0\), et pour \(a\ne 0\) elle a deux racines différentes \(x_1 =0 \) et \(x_2=a\) .
Nous devons trouver les valeurs de \(a\) pour lesquelles l'équation aura au moins deux racines, en tenant également compte du fait que \(a>0\) .
Par conséquent, la réponse est : \(a\in (0;+\infty)\) .

Répondre:

\((0;+\infty)\) .

Tâche 4 #1232

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a une solution unique.

Multiplions les côtés droit et gauche de l'équation par \(2^(\sqrt(x+1))\) (puisque \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) et réécrivons l'équation sous la forme :\

Considérons la fonction \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) pour \(t\geqslant 0\) (puisque \(\sqrt (x +1)\geqslant 0\) ).

Dérivée \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\) .

Parce que \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) pour tout \(t\geqslant 0\) , puis \( y"0\) pour tout \(a\). Par conséquent, l'équation a toujours deux racines \(x_1\) et \(x_2\), et elles sont de signes différents (puisque selon le théorème de Vieta \(x_1\cdot x_2 =-\dfrac(1)(a^2) 0 à . X= 0 la dérivée tend vers zéro. La fonction augmente de manière monotone sur tout l'axe numérique.

Extremum de la fonction

Définition 1. Point X 0 est appelé le point maximum de la fonction F(XX 0 inégalité est vraie

Définition 2. Point X 1 est appelé le point minimum de la fonction F(X), si dans un voisinage du point X 1, l’inégalité est vraie

Valeurs de fonction aux points X 0 et X 1 sont appelés en conséquence maximum et minimum de la fonction.

Les fonctions maximum et minimum sont réunies par un nom commun extremum de la fonction.

L'extremum d'une fonction est souvent appelé extrême local, soulignant le fait que la notion d'extremum n'est associée qu'à un voisinage suffisamment petit du point xn. Ainsi sur un intervalle une fonction peut avoir plusieurs extrema, et il peut arriver que le minimum en un point soit supérieur au maximum en un autre, par exemple sur la figure 8.

La présence d'un maximum (ou d'un minimum) à un point distinct de l'intervalle X ne veut pas du tout dire qu'à ce stade la fonction F(X) prend la plus grande (la plus petite) valeur sur cet intervalle (ou, comme on dit, a maximum (minimum) global).

Condition nécessaire pour un extremum : Pour que la fonction y = f(X) avait un extremum au point X 0, il faut que sa dérivée en ce point soit égale à zéro ( )ou n'existait pas.

Points où c'est fait condition nécessaire extremum, c'est-à-dire la dérivée est nulle ou n'existe pas sont appelées critique(ou Stationnaire ).

Ainsi, s’il y a un extremum à un moment donné, alors ce point est critique. Il est cependant très important de noter que l’inverse n’est pas vrai. Le point critique n’est pas nécessairement un point extrême.

Figure 8 – Fonction extrema F(X)

Exemple 1. Trouver les points critiques de la fonction et vérifier la présence ou l'absence d'un extremum à ces points.

Comment insérer formules mathématiques au site Web ?

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Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliqué séquentiellement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.

La recherche des intervalles croissants, décroissants et extrema d'une fonction est la suivante : une tâche indépendante, et la partie la plus importante des autres tâches, notamment une étude complète de la fonction. Informations initiales sur l'augmentation, la diminution et les extrema de la fonction sont donnés dans le chapitre théorique sur la dérivée, que je recommande fortement pour une étude préliminaire (ou répétition)– aussi parce que le matériel suivant est basé sur le même essentiellement dérivé,étant une continuation harmonieuse de cet article. Cependant, si le temps manque, une pratique purement formelle des exemples de la leçon d’aujourd’hui est également possible.

Et aujourd’hui, il règne dans l’air un esprit d’une rare unanimité, et je sens directement que toutes les personnes présentes brûlent du désir d’apprendre à étudier une fonction à l’aide de la dérivée. Par conséquent, une terminologie raisonnable, bonne et éternelle apparaît immédiatement sur vos écrans.

Pour quoi? L’une des raisons est la plus pratique : préciser ce qui est généralement exigé de vous dans une tâche particulière !

Considérons une fonction. Pour simplifier, nous supposons qu'elle est continue sur toute la droite numérique :

Au cas où, débarrassons-nous immédiatement des illusions possibles, surtout pour les lecteurs qui se sont récemment familiarisés avec les intervalles de signe constant de la fonction. Maintenant, nous ne sommes PAS INTÉRESSÉS par la façon dont le graphique de la fonction est situé par rapport à l'axe (au-dessus, en dessous, à l'intersection de l'axe). Pour être convaincant, effacez mentalement les axes et laissez un graphique. Car c’est là que réside l’intérêt.

Une fonction est croissante sur un intervalle si, pour deux points quelconques de cet intervalle, relié par une relation, l'inégalité est vraie. C'est, plus grande valeur l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction, et son graphique va « de bas en haut ». La fonction de démonstration croît au fil de l'intervalle.

De même, une fonction décroît sur un intervalle si pour deux points quelconques d'un intervalle donné tel que , l'inégalité est vraie. Autrement dit, la plus grande valeur de l’argument correspond à VALEUR INFÉRIEURE fonction, et son graphique va de haut en bas. Notre fonction diminue à intervalles réguliers .

Si une fonction augmente ou diminue sur un intervalle, alors elle est dite strictement monotone sur cet intervalle. Qu'est-ce que la monotonie ? Prenez-le au pied de la lettre : la monotonie.

Vous pouvez également définir une fonction non décroissante (condition relâchée dans la première définition) et une fonction non croissante (condition relâchée dans la 2ème définition). Une fonction non décroissante ou non croissante sur un intervalle est appelée fonction monotoneà cet intervalle (stricte monotonie - cas particulier« juste » la monotonie).

La théorie envisage également d'autres approches pour déterminer l'augmentation/diminution d'une fonction, y compris sur des demi-intervalles, des segments, mais afin de ne pas vous verser d'huile-huile-huile sur la tête, nous accepterons d'opérer avec des intervalles ouverts avec des définitions catégoriques - c'est plus clair, et pour résoudre beaucoup problèmes pratiques presque assez.

Ainsi, dans mes articles, la formulation « monotonie d’une fonction » cachera presque toujours intervalles monotonie stricte (fonction strictement croissante ou strictement décroissante).

Quartier d'un point. Des mots après lesquels les étudiants s'enfuient partout où ils peuvent et se cachent avec horreur dans les coins. ... Même si après le post, les limites de Cauchy ne se cachent probablement plus, mais frémissent seulement légèrement =) Ne vous inquiétez pas, il n'y aura plus de preuves des théorèmes analyse mathematique– J’avais besoin de l’entourage pour formuler des définitions plus strictement points extrêmes. Souvenons-nous:

Quartier d'un point appelé l'intervalle qui contient ce point, alors que pour plus de commodité, l'intervalle est souvent supposé symétrique. Par exemple, un point et son voisinage standard :

En fait, les définitions :

Un point est appelé point maximum strict si existe son voisinage, pour toutes les valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Dans notre exemple spécifique c'est le point.

Un point est appelé point minimum strict si existe son voisinage, pour toutes les valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Sur le dessin, il y a le point « a ».

Note : l'exigence de symétrie du voisinage n'est pas du tout nécessaire. De plus, le fait même de l'existence d'un quartier (même minuscule, voire microscopique) qui satisfait conditions spécifiées

Les points sont appelés points strictement extremum ou simplement points extremum de la fonction. Autrement dit, il s’agit d’un terme généralisé désignant le maximum de points et le minimum de points.

Comment comprenons-nous le mot « extrême » ? Oui, tout aussi directement que la monotonie. Points extrêmes des montagnes russes.

Comme dans le cas de la monotonie, des postulats vagues existent et sont encore plus courants en théorie (dont relèvent bien entendu les cas stricts considérés !):

Un point est appelé point maximum si existe son environnement est tel que pour tout le monde
Un point est appelé point minimum si existe son voisinage tel que pour toutes les valeurs de ce voisinage l'inégalité .

Notez que selon les deux dernières définitions, tout point d’une fonction constante (ou une « section plate » d’une fonction) est considéré à la fois comme un point maximum et un point minimum ! Soit dit en passant, la fonction est à la fois non croissante et non décroissante, c'est-à-dire monotone. Cependant, nous laisserons ces considérations aux théoriciens, car dans la pratique, nous contemplons presque toujours des « collines » et des « creux » traditionnels (voir dessin) avec un unique « roi de la colline » ou « princesse du marais ». En tant que variété, on le trouve conseil, dirigé vers le haut ou vers le bas, par exemple le minimum de la fonction en ce point.

Oh, et en parlant de royauté :
– la valeur est appelée maximum de la fonction ;
– la valeur est appelée le minimum de la fonction.

Nom commun– les extrema de la fonction.

S'il vous plaît, soyez prudent avec vos mots !

Les points extrêmes sont des valeurs « X ».
Les extrêmes sont des valeurs de « jeu ».

! Note : parfois les termes répertoriés font référence aux points « X-Y » qui se trouvent directement sur le GRAPHIQUE DE la fonction ELLE-MÊME.

Combien d’extrema une fonction peut-elle avoir ?

Aucun, 1, 2, 3, ... etc. à l'infini. Par exemple, le sinus a une infinité de minima et de maxima.

IMPORTANT! Le terme « fonction maximum » n’est pas identique au terme « valeur maximum les fonctions." Il est facile de remarquer que la valeur n'est maximale que dans un quartier local, et en haut à gauche se trouvent des « camarades plus cool ». De même, « fonction minimale » n’est pas la même chose que « valeur minimum fonctions", et sur le dessin, nous voyons que la valeur n'est minimale que dans une certaine zone. À cet égard, les points extrêmes sont également appelés points extrêmes locaux, et les extrema – extrêmes locaux . Ils marchent et errent à proximité et mondial frères. Ainsi, toute parabole a à son sommet minimum global ou maximum global. De plus, je ne ferai pas de distinction entre les types d'extrêmes, et l'explication est davantage formulée à des fins pédagogiques générales - les adjectifs supplémentaires « local »/« global » ne devraient pas vous surprendre.

Résumons notre courte excursion dans la théorie par un plan test : que signifie la tâche « trouver les intervalles de monotonie et les points extremum de la fonction » ?

La formulation vous encourage à trouver :

– intervalles de fonction croissante/décroissante (non décroissant, non croissant apparaît beaucoup moins souvent) ;

– points maximum et/ou minimum (le cas échéant). Bon, pour éviter l'échec, mieux vaut trouver soi-même les minimums/maximums ;-)

Comment déterminer tout cela ? Utilisation de la fonction dérivée !

De nombreuses règles, en fait, sont déjà connues et comprises grâce à la leçon sur la signification des dérivées.

Dérivée tangente apporte la bonne nouvelle que la fonction augmente dans tout le domaine de définition.

Avec cotangente et sa dérivée la situation est exactement le contraire.

L'arc sinus augmente au cours de l'intervalle - la dérivée ici est positive : .
Lorsque la fonction est définie, mais non différentiable. Cependant, au point critique, il y a une dérivée à droite et une tangente à droite, et à l’autre bord se trouvent leurs homologues à gauche.

Je pense qu’il ne vous sera pas trop difficile de faire un raisonnement similaire pour l’arc cosinus et sa dérivée.

Tous les cas répertoriés, dont beaucoup sont des dérivées tabulaires, je le rappelle, découlent directement de la définition d'une dérivée.

Pour mieux comprendre à quoi ressemble le graphique de cette fonction : où elle va « de bas en haut », où « de haut en bas », où elle atteint les minimums et les maximums (si elle les atteint). Toutes les fonctions ne sont pas aussi simples : dans la plupart des cas, nous n’avons aucune idée du graphique d’une fonction particulière.

Il est temps de passer à des exemples plus significatifs et de considérer l'algorithme permettant de trouver les intervalles de monotonie et les extrema d'une fonction :

Exemple 1

Trouver les intervalles d'augmentation/diminution et les extrema de la fonction

Solution :

1) Dans un premier temps, il faut trouver le domaine de définition de la fonction, et également prendre note des points de discontinuité (s'ils existent). DANS dans ce cas la fonction est continue sur toute la droite numérique, et cette action V dans une certaine mesure officiellement. Mais dans un certain nombre de cas, des passions sérieuses éclatent ici, alors traitons le paragraphe sans dédain.

2) Le deuxième point de l’algorithme est dû à

S'il y a un extremum en un point, alors soit la valeur n'existe pas.

Vous êtes confus par la fin ? Extremum de la fonction « module x » .

La condition est nécessaire mais pas suffisante, et l’inverse n’est pas toujours vrai. Ainsi, il ne résulte pas encore de l'égalité que la fonction atteint un maximum ou un minimum au point . Exemple classique déjà souligné ci-dessus - il s'agit d'une parabole cubique et de son point critique.

Quoi qu'il en soit, la condition nécessaire à l'extremum dicte la nécessité de trouver les points suspects. Pour ce faire, trouvez la dérivée et résolvez l'équation :

Au début du premier article sur les graphes de fonctions, je vous ai expliqué comment construire rapidement une parabole en utilisant l'exemple : "...nous prenons la dérivée première et l'égalons à zéro : ...Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole...". Maintenant, je pense que tout le monde comprend pourquoi le sommet de la parabole se situe exactement à cet endroit =) En général, on devrait commencer par un exemple similaire ici, mais c'est trop simple (même pour une théière). De plus, à la toute fin de la leçon, il y a un analogue sur la dérivée d'une fonction. Par conséquent, augmentons le degré :

Exemple 2

Trouver les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et un échantillon final approximatif de la tâche à la fin de la leçon.

Le moment tant attendu de rencontre avec les fonctions fractionnaires-rationnelles est arrivé :

Exemple 3

Explorer une fonction en utilisant la dérivée première

Faites attention à la manière dont une même tâche peut être reformulée de manière variable.

Solution :

1) La fonction subit des discontinuités infinies en certains points.

2) Nous détectons les points critiques. Trouvons la dérivée première et égalons-la à zéro :

Résolvons l'équation. Une fraction est égale à zéro lorsque son numérateur égal à zéro:

Ainsi, nous obtenons trois points critiques :

3) Nous traçons TOUS les points détectés sur la droite numérique et utilisons la méthode des intervalles pour déterminer les signes du DÉRIVÉ :

Je vous rappelle que vous devez prendre un point dans l'intervalle et y calculer la valeur de la dérivée et déterminer son signe. Il est plus rentable de ne même pas compter, mais d'« estimer » verbalement. Prenons, par exemple, un point appartenant à l'intervalle et effectuons la substitution : .

Deux « plus » et un « moins » donnent donc un « moins », ce qui signifie que la dérivée est négative sur tout l'intervalle.

L'action, comme vous le comprenez, doit être effectuée pour chacun des six intervalles. À propos, notez que le facteur numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout point de n'importe quel intervalle, ce qui simplifie grandement la tâche.

Ainsi, la dérivée nous a dit que la FONCTION ELLE-MÊME augmente de et diminue de . Il est pratique de connecter des intervalles du même type avec l'icône de jointure.

Au moment où la fonction atteint son maximum :
Au moment où la fonction atteint un minimum :

Réfléchissez à la raison pour laquelle vous n'avez pas besoin de recalculer la deuxième valeur ;-)

En passant par un point, la dérivée ne change pas de signe, donc la fonction n'y a AUCUN EXTREMUM - elle a à la fois diminué et est restée décroissante.

! Répétons point important: les points ne sont pas considérés comme critiques - la fonction n'y est pas définie. Par conséquent, il ne peut en principe y avoir d’extrema ici (même si la dérivée change de signe).

Réponse : la fonction augmente de et diminue de Au moment où le maximum de la fonction est atteint : , et au point – le minimum : .

La connaissance des intervalles de monotonie et des extrema, couplée aux asymptotes établies, donne déjà une idée très bon spectacleÔ apparence graphiques de fonctions. Une personne de niveau de formation moyen est capable de déterminer verbalement que le graphique d'une fonction possède deux asymptotes verticales et asymptote oblique. Voici notre héros :

Essayez à nouveau de corréler les résultats de l'étude avec le graphique de cette fonction.
Il n'y a pas d'extremum au point critique, mais il y a un point d'inflexion dans le graphique (ce qui, en règle générale, se produit dans des cas similaires).

Exemple 4

Trouver les extrema de la fonction

Exemple 5

Trouver les intervalles de monotonie, les maxima et les minima de la fonction

…c’est presque comme une sorte de vacances « X dans un cube » aujourd’hui….
Alors, qui dans la galerie a proposé de boire pour ça ? =)

Chaque tâche a ses propres nuances de fond et subtilités techniques, qui sont commentées à la fin de la leçon.

La fonction s'appelle augmentant sur l'intervalle
, si pour des points

l’inégalité persiste
(une valeur d'argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus grande).

De même, la fonction
appelé décroissant sur l'intervalle
, si pour des points
de cet intervalle si la condition est remplie
l’inégalité persiste
(une valeur d'argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus petite).

Augmentation sur l'intervalle
et décroissant sur l'intervalle
les fonctions sont appelées monotone sur l'intervalle
.

Connaître la dérivée d'une fonction différentiable permet de trouver des intervalles de sa monotonie.

Théorème (condition suffisante pour une augmentation d'une fonction).
les fonctions
positif sur l'intervalle
, alors la fonction
augmente de façon monotone sur cet intervalle.

Théorème (condition suffisante pour qu'une fonction diminue). Si la dérivée est différentiable sur l'intervalle
les fonctions
négatif sur l'intervalle
, alors la fonction
diminue de façon monotone sur cet intervalle.

Signification géométrique de ces théorèmes est celui sur les intervalles de fonctions décroissantes, tangentes au graphe de la fonction forme avec l'axe
angles obtus, et à intervalles croissants – aigus (voir Fig. 1).

Théorème (condition nécessaire à la monotonie d'une fonction). Si la fonction
différenciable et
(
) sur l'intervalle
, alors il ne diminue pas (n'augmente pas) sur cet intervalle.

Algorithme pour trouver les intervalles de monotonie d'une fonction
:

Exemple. Trouver les intervalles de monotonie d'une fonction
.

Point appelé point maximum de la fonction

de telle sorte que pour tout le monde , satisfaisant la condition
, l'inégalité est vraie
.

Fonction maximale est la valeur de la fonction au point maximum.

La figure 2 montre un exemple de graphique d'une fonction qui a des maxima aux points
.

Point appelé point minimum de la fonction
, s'il y a un numéro
de telle sorte que pour tout le monde , satisfaisant la condition
, l'inégalité est vraie
. Figue. 2 fonctions ont un minimum au point .

Il existe un nom commun pour les hauts et les bas : extrêmes. En conséquence, les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes.

Une fonction définie sur un segment ne peut avoir un maximum et un minimum qu'en des points situés à l'intérieur de ce segment. Il ne faut pas non plus confondre le maximum et le minimum d'une fonction avec son plus grand et valeur la plus basse sur un segment – ​​ce sont des concepts fondamentalement différents.

Aux points extrêmes, la dérivée a des propriétés particulières.

Théorème (condition nécessaire pour l'extremum). Laissez au point fonction
a un extremum. Alors soit
n'existe pas, ou
.

Ces points du domaine de définition de la fonction auxquels
n'existe pas ou dans lequel
, sont appelés points critiques de la fonction.

Les points extrêmes font donc partie des points critiques. DANS cas général le point critique ne doit pas nécessairement être un point extrême. Si la dérivée d'une fonction en un certain point est égale à zéro, cela ne signifie pas que la fonction a un extremum en ce point.

Exemple. Considérons
. Nous avons
, mais souligne
n’est pas un point extrême (voir Figure 3).

Théorème (la première condition suffisante pour un extremum). Laissez au point fonction
est continue, et la dérivée
en passant par un point change de signe. Alors – point extremum : maximum si le signe passe de « + » à « – », et minimum si de « – » à « + ».

Si, en passant par un point la dérivée ne change pas de signe, alors au point il n'y a pas d'extrême.

Théorème (deuxième condition suffisante pour l'extremum). Laissez au point dérivée d'une fonction deux fois différentiable
égal à zéro (
), et sa dérivée seconde à ce stade est non nulle (
) et est continue dans un certain voisinage du point . Alors – point extrême
; à
c'est le point minimum, et à
c'est le point maximum.

Algorithme pour trouver les extrema d'une fonction en utilisant la première condition suffisante pour un extremum :

Trouvez la dérivée.

Trouvez les points critiques de la fonction.

Recherchez le signe de la dérivée à gauche et à droite de chacun point critique et tirer une conclusion sur la présence d'extrema.

Trouvez les valeurs extrêmes de la fonction.

Algorithme pour trouver les extrema d'une fonction en utilisant la deuxième condition suffisante pour un extremum :

Exemple. Trouver les extrema de la fonction
.