En étudiant la reine de toutes les sciences, les mathématiques, à un moment donné, tout le monde tombe sur des fractions. Bien que ce concept (comme les types de fractions elles-mêmes ou les opérations mathématiques avec celles-ci) ne soit pas du tout compliqué, il doit être traité avec prudence, car dans la vraie vie Ce sera très utile en dehors de l’école. Alors rafraîchissons nos connaissances sur les fractions : ce qu'elles sont, à quoi elles servent, de quels types elles sont et comment faire différentes choses avec elles. opérations arithmétiques.
Fraction de Sa Majesté : qu'est-ce que c'est
En mathématiques, les fractions sont des nombres dont chacun est constitué d’une ou plusieurs parties d’une unité. De telles fractions sont également appelées ordinaires ou simples. En règle générale, ils sont écrits sous la forme de deux nombres séparés par une ligne horizontale ou barre oblique, c'est ce qu'on appelle une ligne « fractionnaire ». Par exemple : ½, ¾.
Le supérieur, ou premier, de ces nombres est le numérateur (montre combien de parties sont extraites du nombre), et le plus bas, ou deuxième, est le dénominateur (montre en combien de parties l'unité est divisée).
La barre de fraction fonctionne en fait comme un signe de division. Par exemple, 7:9=7/9
Traditionnellement, les fractions communes sont inférieures à un. Alors que les décimales peuvent être plus grandes que cela.
A quoi servent les fractions ? Oui pour tout, car dans monde réel Tous les nombres ne sont pas des entiers. Par exemple, deux écolières de la cafétéria ont acheté ensemble une délicieuse barre de chocolat. Alors qu'ils étaient sur le point de partager le dessert, ils rencontrèrent une amie et décidèrent de la gâter également. Cependant, il est maintenant nécessaire de diviser correctement la barre de chocolat, étant donné qu'elle est composée de 12 carrés.
Au début, les filles voulaient tout diviser de manière égale, puis chacune recevrait quatre morceaux. Mais après y avoir réfléchi, ils ont décidé d’offrir à leur ami, non pas 1/3, mais 1/4 du chocolat. Et comme les écolières n'ont pas bien étudié les fractions, elles n'ont pas tenu compte du fait que dans une telle situation, elles se retrouveraient avec 9 pièces, très difficiles à diviser en deux. Cet exemple assez simple montre à quel point il est important de pouvoir retrouver correctement une partie d’un nombre. Mais dans la vie cas similaires bien plus.
Types de fractions : ordinaires et décimales
Tous fractions mathématiques sont divisés en deux grandes catégories : ordinaires et décimales. Les caractéristiques du premier d’entre eux ont été décrites dans le paragraphe précédent, il convient donc maintenant de prêter attention au second.
Le nombre décimal est la notation positionnelle d'une fraction d'un nombre, qui est écrite par écrit séparée par une virgule, sans tiret ni barre oblique. Par exemple : 0,75, 0,5.
En fait décimal est identique à l'ordinaire, cependant, son dénominateur est toujours un suivi de zéros - c'est de là que vient son nom.
Le nombre précédant la virgule décimale est partie entière, et tout ce qui suit est fractionnaire. Je l'aime fraction simple peut être converti en décimal. Ainsi, les fractions décimales indiquées dans l'exemple précédent peuvent s'écrire comme d'habitude : ¾ et ½.
Il convient de noter que les fractions décimales et ordinaires peuvent être positives ou négatives. S'ils sont précédés du signe "-", fraction donnée négatif, si "+" - alors positif.
Sous-types de fractions ordinaires
Il existe ces types de fractions simples.
Sous-types de fraction décimale
Contrairement à une fraction simple, une fraction décimale est divisée en seulement 2 types.
- Final - a reçu ce nom en raison du fait qu'après la virgule décimale, il a un nombre limité (fini) de chiffres : 19,25.
- Une fraction infinie est un nombre avec un nombre infini de chiffres après la virgule. Par exemple, en divisant 10 par 3, le résultat est fraction infinie 3,333…
Ajouter des fractions
Réaliser diverses manipulations arithmétiques avec des fractions est un peu plus difficile qu'avec nombres ordinaires. Cependant, si vous comprenez les règles de base, il ne sera pas difficile de résoudre n'importe quel exemple avec elles.
Par exemple : 2/3+3/4. Le plus petit commun multiple pour eux sera 12, il faut donc que ce nombre soit dans chaque dénominateur. Pour ce faire, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 4, on obtient 8/12, on fait de même avec le deuxième terme, mais on ne multiplie que par 3 - 9/12. Vous pouvez maintenant facilement résoudre l’exemple : 8/12+9/12= 17/12. La fraction résultante est une valeur incorrecte car le numérateur est supérieur au dénominateur. Il peut et doit être transformé en un mélange correct en divisant 17:12 = 1 et 5/12.
Lorsque des fractions mixtes sont ajoutées, les opérations sont effectuées d'abord avec des nombres entiers, puis avec des fractions.
Si l'exemple contient une fraction décimale et une fraction régulière, il faut simplifier les deux, puis les ramener au même dénominateur et les additionner. Par exemple 3.1+1/2. Le nombre 3.1 peut s’écrire fraction mixte 3 et 1/10 ou comme incorrect - 31/10. Le dénominateur commun des termes sera 10, vous devez donc multiplier alternativement le numérateur et le dénominateur de 1/2 par 5, vous obtenez 5/10. Ensuite, vous pouvez facilement tout calculer : 31/10+5/10=35/10. Le résultat obtenu est une fraction réductible impropre, on la réduit à aspect normal, réduisant par 5 : 7/2 = 3 et 1/2, ou décimal - 3,5.
Lors de l'addition de 2 fractions décimales, il est important qu'il y ait le même nombre de chiffres après la virgule. Si ce n'est pas le cas, il vous suffit d'ajouter quantité requise des zéros, car dans les fractions décimales, cela peut être fait sans douleur. Par exemple, 3,5+3,005. Pour résoudre ce problème, vous devez ajouter 2 zéros au premier nombre puis ajouter un par un : 3,500+3,005=3,505.
Soustraire des fractions
Lorsque vous soustrayez des fractions, vous devez faire la même chose que lors de l'addition : réduire à dénominateur commun, soustrayez un numérateur de l'autre et, si nécessaire, convertissez le résultat en une fraction mixte.
Par exemple : 16/20-5/10. Le dénominateur commun sera 20. Vous devez ramener la deuxième fraction à ce dénominateur en multipliant ses deux parties par 2, vous obtenez 10/20. Vous pouvez maintenant résoudre l'exemple : 16/20-10/20= 6/20. Cependant, ce résultat s'applique aux fractions réductibles, il vaut donc la peine de diviser les deux côtés par 2 et le résultat est 3/10.
Multiplier des fractions
Diviser et multiplier des fractions sont des opérations beaucoup plus simples que l’addition et la soustraction. Le fait est que lors de l’exécution de ces tâches, il n’est pas nécessaire de rechercher un dénominateur commun.
Pour multiplier des fractions, il suffit de multiplier les deux numérateurs un par un, puis les deux dénominateurs. Réduisez le résultat obtenu si la fraction est une quantité réductible.
Par exemple : 4/9x5/8. Après multiplication alternative, le résultat est 4x5/9x8=20/72. Cette fraction peut être réduite de 4, donc la réponse finale dans l'exemple est 5/18.
Comment diviser des fractions
Diviser des fractions est aussi une opération simple ; en fait, cela revient toujours à les multiplier. Pour diviser une fraction par une autre, il faut inverser la seconde et multiplier par la première.
Par exemple, diviser les fractions 5/19 et 5/7. Pour résoudre l'exemple, vous devez échanger le dénominateur et le numérateur de la deuxième fraction et multiplier : 5/19x7/5=35/95. Le résultat peut être réduit de 5 - il s'avère que 7/19.
Si vous devez diviser une fraction par un nombre premier, la technique est légèrement différente. Initialement, vous devez écrire ce nombre sous forme de fraction impropre, puis diviser selon le même schéma. Par exemple, 2/13:5 doit s'écrire 2/13 : 5/1. Il faut maintenant retourner 5/1 et multiplier les fractions obtenues : 2/13x1/5= 2/65.
Parfois, il faut diviser des fractions mixtes. Vous devez les traiter comme vous le feriez avec des nombres entiers : transformez-les en fractions impropres, inversez le diviseur et multipliez le tout. Par exemple, 8 ½ : 3. Transformez tout en fractions impropres: 17/2 : 3/1. Ceci est suivi d'un retournement 3/1 et d'une multiplication : 17/2x1/3 = 17/6. Vous devez maintenant convertir la fraction impropre en la fraction correcte - 2 entiers et 5/6.
Ainsi, après avoir compris ce que sont les fractions et comment vous pouvez effectuer diverses opérations arithmétiques avec elles, vous devez essayer de ne pas l'oublier. Après tout, les gens sont toujours plus enclins à diviser quelque chose en parties qu’à en additionner, il faut donc être capable de le faire correctement.
Nous rencontrons des fractions dans la vie bien avant de commencer à les étudier à l’école. Si nous coupons une pomme entière en deux, nous obtenons la moitié du fruit. Coupons-le à nouveau - ce sera ¼. Ce sont des fractions. Et tout semblait simple. Pour un adulte. Pour l'enfant (et ce sujet commencer à étudier à la fin école primaire) abstrait concepts mathématiques sont encore terriblement incompréhensibles, et l'enseignant doit expliquer clairement ce que sont une fraction propre et une fraction impropre, une fraction ordinaire et une fraction décimale, quelles opérations peuvent être effectuées avec elles et, surtout, à quoi sert tout cela.
Que sont les fractions ?
Apprendre à connaître nouveau sujetà l'école, cela commence par les fractions ordinaires. Ils sont facilement reconnaissables grâce à la ligne horizontale séparant les deux chiffres – au-dessus et en dessous. Celui du haut s’appelle le numérateur, celui du bas est le dénominateur. Il existe également une option minuscule pour écrire des fractions ordinaires impropres et appropriées - via une barre oblique, par exemple : ½, 4/9, 384/183. Cette option est utilisée lorsque la hauteur de la ligne est limitée et qu'il n'est pas possible d'utiliser un formulaire d'inscription « à deux étages ». Pourquoi? Oui, parce que c'est plus pratique. Nous verrons cela un peu plus tard.
En plus des fractions ordinaires, il existe également des fractions décimales. Il est très simple de les distinguer : si dans un cas une horizontale ou une barre oblique est utilisée, alors dans l'autre une virgule est utilisée pour séparer les séquences de nombres. Regardons un exemple : 2.9 ; 163,34 ; 1.953. Nous avons intentionnellement utilisé un point-virgule comme séparateur pour délimiter les nombres. Le premier d’entre eux se lira ainsi : « deux virgule neuf ».
De nouveaux concepts
Revenons aux fractions ordinaires. Ils sont de deux types.
La définition d'une fraction propre est la suivante : c'est une fraction dont le numérateur inférieur au dénominateur. Pourquoi est-ce important ? Nous verrons maintenant !
Vous avez plusieurs pommes coupées en deux. Total - 5 parties. Comment diriez-vous : avez-vous des pommes « deux et demie » ou « cinq et demie » ? Bien sûr, la première option semble plus naturelle et nous l'utiliserons lorsque nous parlerons avec des amis. Mais si nous devons calculer combien de fruits chaque personne recevra, s'il y a cinq personnes dans l'entreprise, nous écrirons le nombre 5/2 et le diviserons par 5 - d'un point de vue mathématique, ce sera plus clair. .
Ainsi, pour nommer des fractions propres et impropres, la règle est la suivante : si une partie entière peut être distinguée dans une fraction (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), alors elle est irrégulière. Si cela ne peut pas être fait, comme dans le cas de ½, 13/16, 9/10, ce sera correct.
La propriété principale d'une fraction
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont simultanément multipliés ou divisés par le même nombre, sa valeur ne change pas. Imaginez : ils coupent le gâteau en 4 parts égales et vous en donnent une. Ils ont coupé le même gâteau en huit morceaux et vous en ont donné deux. Est-ce vraiment important ? Après tout, ¼ et 2/8, c’est la même chose !
Réduction
Les auteurs de problèmes et d’exemples dans les manuels de mathématiques cherchent souvent à semer la confusion chez les élèves en proposant des fractions difficiles à écrire mais qui peuvent en réalité être abrégées. Voici un exemple de fraction propre : 167/334, qui, semble-t-il, semble très « effrayante ». Mais nous pouvons en fait l’écrire sous la forme ½. Le nombre 334 est divisible par 167 sans reste - après avoir effectué cette opération, nous obtenons 2.
Numéros mixtes
Une fraction impropre peut être représentée par un nombre fractionnaire. C'est alors que toute la partie est avancée et écrite au niveau de la ligne horizontale. En fait, l'expression prend la forme d'une somme : 11/2 = 5 + ½ ; 13/6 = 2 + 1/6 et ainsi de suite.
Pour retirer la partie entière, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Écrivez le reste de la division en haut, au-dessus de la ligne, et la partie entière - avant l'expression. Ainsi, nous obtenons deux parties structurelles : unités entières + fraction propre.
Il est possible de réaliser opération inverse- pour ce faire, vous devez multiplier la partie entière par le dénominateur et ajouter la valeur obtenue au numérateur. Rien de compliqué.
Multiplication et division
Curieusement, multiplier des fractions est plus facile que les additionner. Il suffit de prolonger la ligne horizontale : (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Avec la division, tout est aussi simple : il faut multiplier les fractions transversalement : (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Ajouter des fractions
Que faire si vous devez effectuer une addition ou si leur dénominateur est différents numéros? Cela ne fonctionnera pas de faire la même chose qu'avec la multiplication - ici, vous devez comprendre la définition d'une fraction propre et son essence. Il est nécessaire de ramener les termes à un dénominateur commun, c'est-à-dire que les parties inférieures des deux fractions doivent contenir les mêmes nombres.
Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété de base d’une fraction : multiplier les deux parties par le même nombre. Par exemple, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Comment choisir à quel dénominateur réduire les termes ? Ce doit être le nombre minimum qui est un multiple des deux nombres dans les dénominateurs des fractions : pour 1/3 et 1/9 ce sera 9 ; pour ½ et 1/7 - 14, car valeur plus petite, divisible par 2 et 7 sans reste, n'existe pas.
Usage
A quoi servent les fractions impropres ? Après tout, il est beaucoup plus pratique de sélectionner immédiatement la pièce entière, d'obtenir un numéro mixte - et d'en finir avec ça ! Il s'avère que si vous devez multiplier ou diviser deux fractions, il est plus rentable d'en utiliser des fractions irrégulières.
Prenons exemple suivant: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Il semblerait qu'il n'y ait rien à couper du tout. Mais que se passe-t-il si nous écrivons le résultat de l’addition entre les premières parenthèses sous la forme d’une fraction impropre ? Regardez : (37/17) / (37/68)
Maintenant, tout se met en place ! Écrivons l'exemple de telle manière que tout devienne évident : (37*68) / (17*37).
Annulons 37 au numérateur et au dénominateur et divisons enfin le haut et le bas par 17. Vous souvenez-vous de la règle de base pour les fractions propres et impropres ? Nous pouvons les multiplier et les diviser par n’importe quel nombre à condition de le faire en même temps pour le numérateur et le dénominateur.
Nous obtenons donc la réponse : 4. L'exemple semblait compliqué, mais la réponse ne contient qu'un seul chiffre. Cela arrive souvent en mathématiques. L'essentiel est de ne pas avoir peur et de suivre des règles simples.
Erreurs courantes
Lors de la mise en œuvre, un étudiant peut facilement commettre l'une des erreurs courantes. Ils surviennent généralement en raison de l'inattention, et parfois du fait que le matériel étudié n'a pas encore été correctement stocké dans la tête.
Souvent, la somme des nombres dans le numérateur donne envie de réduire ses composantes individuelles. Disons dans l'exemple : (13 + 2) / 13, écrit sans parenthèses (avec un trait horizontal), de nombreux élèves, par inexpérience, rayent 13 en haut et en bas. Mais cela ne doit en aucun cas être fait, car c'est une grossière erreur ! Si au lieu de l'addition il y avait un signe de multiplication, nous obtiendrions le chiffre 2 dans la réponse. Mais lors de l'addition, aucune opération avec l'un des termes n'est autorisée, uniquement avec la somme entière.
Les gars font aussi souvent des erreurs lorsqu’ils divisent des fractions. Prenons deux bons fractions irréductibles et divisez les uns par les autres : (5/6) / (25/33). L'élève peut le mélanger et écrire l'expression résultante sous la forme (5*25) / (6*33). Mais cela se produirait avec la multiplication, mais dans notre cas tout sera quelque peu différent : (5*33) / (6*25). On réduit ce qui est possible, et la réponse sera 11/10. Nous écrivons la fraction impropre résultante sous forme décimale - 1,1.
Parenthèses
N'oubliez pas que dans n'importe quel expressions mathématiques l'ordre des opérations est déterminé par la priorité des signes d'opération et la présence de parenthèses. Toutes choses égales par ailleurs, l'ordre des actions est compté de gauche à droite. Cela est également vrai pour les fractions - l'expression au numérateur ou au dénominateur est calculée strictement selon cette règle.
Après tout, c’est le résultat de la division d’un nombre par un autre. S'ils ne sont pas divisés également, cela devient une fraction - c'est tout.
Comment écrire une fraction sur un ordinateur
Les outils standards ne permettant pas toujours de créer une fraction composée de deux « niveaux », les étudiants ont parfois recours à diverses astuces. Par exemple, ils copient les numérateurs et les dénominateurs dans l'éditeur graphique Paint et les collent ensemble, en dessinant entre eux. ligne horizontale. Bien sûr, il existe une option plus simple, qui offre d'ailleurs de nombreuses possibilités. fonctionnalités supplémentaires, qui vous sera utile à l'avenir.
Ouvrez Microsoft Word. L'un des panneaux en haut de l'écran s'appelle « Insérer » - cliquez dessus. Sur la droite, du côté où se trouvent les icônes de fermeture et de réduction de la fenêtre, se trouve un bouton « Formule ». C'est exactement ce dont nous avons besoin !
Si vous utilisez cette fonction, une zone rectangulaire apparaîtra sur l'écran dans laquelle vous pourrez utiliser n'importe quel signes mathématiques, manquant sur le clavier, et écrivons également des fractions sous la forme classique. C'est-à-dire diviser le numérateur et le dénominateur par une ligne horizontale. Vous pourriez même être surpris qu’une fraction aussi appropriée soit si facile à écrire.
Apprendre les mathématiques
Si vous êtes en 5e et 6e années, des connaissances en mathématiques (y compris la capacité de travailler avec des fractions !) seront bientôt requises dans de nombreux domaines. matières scolaires. Dans presque tous les problèmes de physique, lors de la mesure de la masse de substances en chimie, en géométrie et en trigonométrie, on ne peut pas se passer des fractions. Bientôt, vous apprendrez à tout calculer dans votre esprit, sans même écrire d'expressions sur papier, mais de plus en plus exemples complexes. Par conséquent, apprenez ce qu'est une fraction appropriée et comment l'utiliser, suivez programme d'études, faites vos devoirs à temps et vous réussirez.
Les fractions courantes sont divisées en fractions \textit (appropriées) et \textit (impropres). Cette division est basée sur une comparaison du numérateur et du dénominateur.
Fractions appropriées
Fraction appropriée appelé fraction commune$\frac(m)(n)$, dont le numérateur est inférieur au dénominateur, c'est-à-dire millions de dollars
Exemple 1
Par exemple, les fractions $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ sont correctes. , alors comment dans chacun d’eux le numérateur est inférieur au dénominateur, ce qui répond à la définition d’une fraction propre.
Il existe une définition d'une fraction propre, basée sur la comparaison de la fraction avec une.
correct, s'il est inférieur à un :
Exemple 2
Par exemple, la fraction commune $\frac(6)(13)$ est correcte car la condition $\frac(6)(13) est satisfaite
Fractions impropres
Fraction impropre est une fraction ordinaire $\frac(m)(n)$ dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, c'est-à-dire $m\ge n$.
Exemple 3
Par exemple, les fractions $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ sont irrégulières. , alors comment dans chacun d'eux le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, ce qui répond à la définition d'une fraction impropre.
Donnons une définition d'une fraction impropre, basée sur sa comparaison avec une.
La fraction commune $\frac(m)(n)$ est faux, s'il est égal ou supérieur à un :
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Exemple 4
Par exemple, la fraction commune $\frac(21)(4)$ est impropre car la condition $\frac(21)(4) >1$ est satisfaite ;
la fraction commune $\frac(8)(8)$ est impropre car la condition $\frac(8)(8)=1$ est satisfaite.
Examinons de plus près le concept de fraction impropre.
Prenons comme exemple la fraction impropre $\frac(7)(7)$. Le sens de cette fraction est de prendre sept parts d’un objet, qui est divisé en sept parties égales. Ainsi, à partir des sept parts disponibles, l'objet entier peut être composé. Ceux. la fraction impropre $\frac(7)(7)$ décrit sujet entier et $\frac(7)(7)=1$. Ainsi, les fractions impropres, dans lesquelles le numérateur est égal au dénominateur, décrivent un objet entier et une telle fraction peut être remplacée par l'entier naturel $1$.
$\frac(5)(2)$ - il est bien évident qu'à partir de ces cinq secondes parties vous pouvez composer des objets entiers de 2$ (un objet entier sera composé de parties de 2$$, et pour composer deux objets entiers dont vous avez besoin $2+2=4$ parts) et il reste une seconde part. C'est-à-dire que la fraction impropre $\frac(5)(2)$ décrit $2$ d'un objet et $\frac(1)(2)$ la part de cet objet.
$\frac(21)(7)$ - à partir de vingt et un septièmes de parties, vous pouvez créer des objets entiers à 3$ (objets à 3$ avec des parts de 7$ dans chacun). Ceux. la fraction $\frac(21)(7)$ décrit des objets entiers à 3$.
Des exemples considérés, on peut conclure prochaine sortie: Une fraction impropre peut être remplacée par un nombre naturel si le numérateur est divisible par le dénominateur (par exemple, $\frac(7)(7)=1$ et $\frac(21)(7)=3$), ou la somme nombre naturel et une fraction appropriée si le numérateur n'est pas complètement divisible par le dénominateur (par exemple, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). C'est pourquoi ces fractions sont appelées faux.
Définition 1
Le processus de représentation d'une fraction impropre comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre (par exemple, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) est appelé séparer la partie entière d'une fraction impropre.
Lorsqu'on travaille avec des fractions impropres, on peut observer connexion étroite entre eux et nombres mixtes.
Une fraction impropre est souvent écrite sous la forme d'un nombre fractionnaire - un nombre composé d'une partie entière et d'une partie fractionnaire.
Pour écrire une fraction impropre sous forme de nombre fractionnaire, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur avec un reste. Le quotient sera la partie entière du nombre fractionnaire, le reste sera le numérateur de la partie fractionnaire et le diviseur sera le dénominateur de la partie fractionnaire.
Exemple 5
Écrivez la fraction impropre $\frac(37)(12)$ sous forme de nombre fractionnaire.
Solution.
Divisez le numérateur par le dénominateur avec un reste :
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (reste\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Répondre.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Pour écrire un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre, vous devez multiplier le dénominateur par la partie entière du nombre, ajouter le numérateur de la partie fractionnaire au produit résultant et écrire le montant obtenu dans le numérateur de la fraction. Le dénominateur de la fraction impropre sera égal au dénominateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire.
Exemple 6
Écrivez le nombre fractionnaire $5\frac(3)(7)$ comme fraction impropre.
Solution.
Répondre.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Addition de nombres fractionnaires et de fractions propres
Addition de nombres mixtes$a\frac(b)(c)$ et fraction propre$\frac(d)(e)$ s'effectue en ajoutant à une fraction donnée la partie fractionnaire d'un nombre fractionnaire donné :
Exemple 7
Ajoutez la fraction appropriée $\frac(4)(15)$ et le nombre mixte $3\frac(2)(5)$.
Solution.
Utilisons la formule pour additionner un nombre fractionnaire et une fraction propre :
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ gauche(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
En divisant par le nombre \textit(5) on peut déterminer que la fraction $\frac(10)(15)$ est réductible. Effectuons la réduction et trouvons le résultat de l'addition :
Ainsi, le résultat de l'addition de la fraction appropriée $\frac(4)(15)$ et du nombre mixte $3\frac(2)(5)$ est $3\frac(2)(3)$.
Répondre:$3\frac(2)(3)$
Addition de nombres fractionnaires et de fractions impropres
Ajout de fractions impropres et de nombres fractionnaires se réduit à l'addition de deux nombres fractionnaires, pour laquelle il suffit d'isoler la partie entière de la fraction impropre.
Exemple 8
Calculez la somme du nombre fractionnaire $6\frac(2)(15)$ et de la fraction impropre $\frac(13)(5)$.
Solution.
Tout d'abord, extrayons la partie entière de la fraction impropre $\frac(13)(5)$ :
Répondre:$8\frac(11)(15)$.
Le mot « fractions » donne la chair de poule à beaucoup de gens. Parce que je me souviens de l'école et des tâches résolues en mathématiques. C'était un devoir qui devait être rempli. Et si vous traitiez les problèmes impliquant des fractions propres et impropres comme un puzzle ? Après tout, de nombreux adultes résolvent des mots croisés numériques et japonais. Nous avons compris les règles, et c'est tout. C'est la même chose ici. Il suffit de se plonger dans la théorie - et tout se mettra en place. Et les exemples deviendront un moyen d’entraîner votre cerveau.
Quels types de fractions existe-t-il ?
Commençons par ce que c'est. Une fraction est un nombre qui contient une partie de un. Il peut être écrit sous deux formes. Le premier est dit ordinaire. C'est-à-dire celui qui a une ligne horizontale ou inclinée. C'est l'équivalent du signe de division.
Dans cette notation, le nombre au-dessus de la ligne est appelé numérateur et le nombre en dessous est appelé dénominateur.
Parmi les fractions ordinaires, on distingue les fractions propres et impropres. Pour le premier, la valeur absolue du numérateur est toujours inférieure au dénominateur. Les mauvais sont appelés ainsi parce qu’ils ont tout à l’envers. La valeur d'une fraction propre est toujours inférieure à un. Alors que l'incorrect est toujours supérieur à ce nombre.
Il existe également des nombres mixtes, c'est-à-dire ceux qui ont une partie entière et une partie fractionnaire.
Le deuxième type de notation est une fraction décimale. Il y a une conversation séparée à son sujet.
En quoi les fractions impropres sont-elles différentes des nombres fractionnaires ?
En substance, rien. Ce ne sont que des enregistrements différents du même numéro. Les fractions impropres deviennent facilement des nombres fractionnaires après des étapes simples. Et vice versa.
Tout dépend situation spécifique. Parfois, il est plus pratique d’utiliser une fraction impropre dans les tâches. Et parfois, il est nécessaire de le convertir en nombre fractionnaire et l'exemple sera alors résolu très facilement. Par conséquent, quoi utiliser : les fractions impropres, les nombres fractionnaires, dépendent des capacités d'observation de la personne qui résout le problème.
Le nombre fractionnaire est également comparé à la somme de la partie entière et de la partie fractionnaire. De plus, le second est toujours inférieur à un.
Comment représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre ?
Si vous devez effectuer une action avec plusieurs nombres écrits différents types, alors vous devez les rendre identiques. Une méthode consiste à représenter les nombres sous forme de fractions impropres.
Pour cela, vous devrez exécuter l'algorithme suivant :
- multiplier le dénominateur par la partie entière ;
- ajouter la valeur du numérateur au résultat ;
- écrivez la réponse au-dessus de la ligne ;
- laissez le dénominateur le même.
Voici des exemples sur la façon d’écrire des fractions impropres à partir de nombres fractionnaires :
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Comment écrire une fraction impropre sous forme de nombre fractionnaire ?
La technique suivante est à l’opposé de celle évoquée ci-dessus. C'est-à-dire lorsque tous les nombres fractionnaires sont remplacés par des fractions impropres. L'algorithme des actions sera le suivant :
- divisez le numérateur par le dénominateur pour obtenir le reste ;
- écrivez le quotient à la place de la partie entière du mixte ;
- le reste doit être placé au-dessus de la ligne ;
- le diviseur sera le dénominateur.
Exemples d'une telle transformation :
76/14 ; 76:14 = 5 avec reste 6 ; la réponse sera 5 entiers et 6/14 ; partie fractionnaire dans cet exemple il faut réduire de 2, vous obtenez 3/7 ; la réponse finale est 5 points 3/7.
108/54 ; après division, le quotient de 2 est obtenu sans reste ; cela signifie que toutes les fractions impropres ne peuvent pas être représentées comme un nombre fractionnaire ; la réponse sera un entier - 2.
Comment transformer un nombre entier en fraction impropre ?
Il existe des situations où une telle action est nécessaire. Pour obtenir des fractions impropres avec un dénominateur connu, vous devrez exécuter l'algorithme suivant :
- multiplier un entier par le dénominateur souhaité ;
- écrivez cette valeur au-dessus de la ligne ;
- placez le dénominateur en dessous.
L'option la plus simple est lorsque le dénominateur égal à un. Vous n’avez alors pas besoin de multiplier quoi que ce soit. Il suffit d'écrire simplement l'entier donné dans l'exemple et d'en placer un sous la ligne.
Exemple: Faites de 5 une fraction impropre avec un dénominateur de 3. Multiplier 5 par 3 donne 15. Ce nombre sera le dénominateur. La réponse à la tâche est une fraction : 15/3.
Deux approches pour résoudre des problèmes avec des nombres différents
L'exemple nécessite de calculer la somme et la différence, ainsi que le produit et le quotient de deux nombres : 2 entiers 3/5 et 14/11.
Dans la première approche le nombre fractionnaire sera représenté comme une fraction impropre.
Après avoir effectué les étapes décrites ci-dessus, vous obtiendrez la valeur suivante : 13/5.
Pour connaître la somme, vous devez réduire les fractions à même dénominateur. 13/5 après multiplication par 11 devient 143/55. Et 14/11 après multiplication par 5 ressemblera à : 70/55. Pour calculer la somme, il suffit d'additionner les numérateurs : 143 et 70, puis d'écrire la réponse avec un dénominateur. 213/55 - cette fraction impropre est la réponse au problème.
Pour trouver la différence, les mêmes nombres sont soustraits : 143 - 70 = 73. La réponse sera une fraction : 73/55.
Lorsque vous multipliez 13/5 et 14/11, vous n'avez pas besoin de les réduire à un dénominateur commun. Il suffit de multiplier les numérateurs et les dénominateurs par paires. La réponse sera : 182/55.
Il en va de même pour la division. Pour la bonne décision vous devez remplacer la division par la multiplication et inverser le diviseur : 13/5 : 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Dans la deuxième approche Une fraction impropre devient un nombre fractionnaire.
Après avoir effectué les actions de l'algorithme, 14/11 se transformera en un nombre fractionnaire avec une partie entière de 1 et une partie fractionnaire de 3/11.
Lors du calcul de la somme, vous devez additionner séparément les parties entières et fractionnaires. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. La réponse finale est 3 points 48/55. Dans la première approche, la fraction était de 213/55. Vous pouvez vérifier son exactitude en le convertissant en un nombre mixte. Après avoir divisé 213 par 55, le quotient est 3 et le reste est 48. Il est facile de voir que la réponse est correcte.
Lors de la soustraction, le signe « + » est remplacé par « - ». 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Pour vérifier, la réponse de l'approche précédente doit être convertie en un nombre fractionnaire : 73 est divisé par 55 et le quotient est 1 et le reste est 18.
Pour trouver le produit et le quotient, il n'est pas pratique d'utiliser des nombres fractionnaires. Il est toujours recommandé de passer ici aux fractions impropres.
Simple règles mathématiques et les techniques, si elles ne sont pas utilisées constamment, sont oubliées très rapidement. Les termes disparaissent de la mémoire encore plus rapidement.
L'un d'eux gestes simples– convertir une fraction impropre en une fraction propre ou, en d’autres termes, une fraction mixte.
Fraction impropre
Une fraction impropre est une fraction dans laquelle le numérateur (le nombre au-dessus de la ligne) est supérieur ou égal au dénominateur (le nombre au-dessous de la ligne). Cette fraction est obtenue en additionnant des fractions ou en multipliant une fraction par un nombre entier. Selon les règles mathématiques, une telle fraction doit être convertie en une fraction propre.
Fraction appropriée
Il est logique de supposer que toutes les autres fractions sont dites propres. Une définition stricte est qu'une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur est dite propre. Une fraction comportant une partie entière est parfois appelée fraction mixte.
Conversion d'une fraction impropre en fraction propre
- Premier cas : le numérateur et le dénominateur sont égaux. Le résultat de la conversion d’une telle fraction est un. Peu importe que ce soit les trois tiers ou cent vingt-cinq cent vingt-cinquième. Essentiellement, une telle fraction désigne l’action de diviser un nombre par lui-même.
- Deuxième cas : le numérateur est supérieur au dénominateur. Ici, vous devez vous rappeler la méthode de division des nombres avec un reste.
Pour ce faire, vous devez trouver le nombre le plus proche de la valeur du numérateur, qui est divisible par le dénominateur sans reste. Par exemple, vous avez la fraction dix-neuf tiers. La plupart numéro proche qui peut être divisé par trois fait dix-huit. Cela fait six. Soustrayez maintenant le nombre obtenu du numérateur. Nous en obtenons un. C'est le reste. Notez le résultat de la conversion : six entiers et un tiers.
Mais avant de réduire la fraction à le bon genre, vous devez vérifier s'il peut être raccourci.
Réduire une fraction est possible si le numérateur et le dénominateur ont diviseur commun. C'est-à-dire un nombre par lequel les deux sont divisibles sans reste. S'il existe plusieurs diviseurs de ce type, vous devez trouver le plus grand.
Par exemple, tous les nombres pairs ont un diviseur commun : deux. Et la fraction seize douzièmes a un autre diviseur commun - quatre. Ce plus grand diviseur. Divisez le numérateur et le dénominateur par quatre. Résultat de la réduction : quatre tiers. Maintenant, comme pratique, convertissez cette fraction en une fraction appropriée.
