Fraction mathématique. Fractions, fractions, définitions, notations, exemples, opérations avec des fractions

Définition d'une fraction commune

Définition 1

Fractions communes utilisé pour décrire le nombre d’actions. Regardons un exemple qui peut être utilisé pour définir une fraction commune.

La pomme a été divisée en actions de 8$. Dans ce cas, chaque part représente un huitième d'une pomme entière, soit $\frac(1)(8)$. Deux actions sont désignées par $\frac(2)(8)$, trois actions par $\frac(3)(8)$, etc., et les actions $8$ par $\frac(8)(8)$ . Chacune des entrées présentées est appelée fraction ordinaire.

Donnons définition générale fraction ordinaire.

Définition 2

Fraction commune est appelé une notation de la forme $\frac(m)(n)$, où $m$ et $n$ sont des nombres naturels.

Vous pouvez souvent trouver la notation suivante pour une fraction commune : $m/n$.

Exemple 1

Exemples de fractions courantes :

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Remarque 1

Nombres $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ ne sont pas des fractions ordinaires, car ne correspondent pas à la définition ci-dessus.

Numérateur et dénominateur

Une fraction commune se compose d'un numérateur et d'un dénominateur.

Définition 3

Numérateur la fraction ordinaire $\frac(m)(n)$ est appelée nombre naturel$m$, qui indique le nombre de parties égales extraites d'un seul tout.

Définition 4

Dénominateur Une fraction ordinaire $\frac(m)(n)$ est un nombre naturel $n$, qui montre en combien de parties égales le tout est divisé.

Graphique 1.

Le numérateur est situé au-dessus de la ligne de fraction et le dénominateur est situé en dessous de la ligne de fraction. Par exemple, le numérateur de la fraction commune $\frac(5)(17)$ est le nombre $5$ et le dénominateur est le nombre $17$. Le dénominateur montre que l'élément est divisé en actions de 17 $, et le numérateur montre que 5 $ de ces actions sont prises.

Entier naturel sous forme de fraction de dénominateur 1

Le dénominateur d'une fraction commune peut être un. Dans ce cas, l'objet est considéré comme indivisible, c'est-à-dire représente un tout unique. Le numérateur d'une telle fraction montre combien d'objets entiers sont pris. Une fraction ordinaire de la forme $\frac(m)(1)$ a la signification d'un nombre naturel $m$. Ainsi, on obtient l'égalité bien fondée $\frac(m)(1)=m$.

Si l'on réécrit l'égalité sous la forme $m=\frac(m)(1)$, alors cela permettra de représenter n'importe quel nombre naturel $m$ comme une fraction ordinaire. Par exemple, le nombre $5$ peut être représenté par une fraction $\frac(5)(1)$, le nombre $123\456$ peut être représenté par une fraction $\frac(123\456)(1)$.

Ainsi, tout nombre naturel $m$ peut être représenté comme une fraction ordinaire avec un dénominateur $1$, et toute fraction ordinaire de la forme $\frac(m)(1)$ peut être remplacée par un nombre naturel $m$.

Barre fractionnaire comme signe de division

Représenter un objet sous la forme de $n$ parties est une division en $n$ parties égales. Après avoir divisé un élément en $n$ actions, il peut être divisé également entre $n$ personnes - chacune recevra une part.

Qu'il y ait des millions de dollars articles identiques, divisé en $n$ parties. Ces éléments en millions de dollars peuvent être divisés également entre n personnes en donnant à chaque personne une part de chacun des éléments en millions de dollars. Dans ce cas, chaque personne recevra $m$ d'actions de $\frac(1)(n)$, qui donnent la fraction commune $\frac(m)(n)$. Nous constatons que la fraction commune $\frac(m)(n)$ peut être utilisée pour désigner la division de $m$ éléments entre $n$ personnes.

Le lien entre les fractions ordinaires et la division s'exprime dans le fait que la barre de fraction peut être comprise comme un signe de division, c'est-à-dire $\frac(m)(n)=m:n$.

Une fraction ordinaire permet d'écrire le résultat de la division de deux nombres naturels pour lesquels une division entière n'est pas effectuée.

Exemple 2

Par exemple, le résultat de la division de pommes à 7 $ par des personnes à 9 $ peut être écrit sous la forme $\frac(7)(9)$, c'est-à-dire : tout le monde recevra sept neuvièmes de pomme : $7:9=\frac(7)(9)$.

Fractions égales et inégales, comparaison des fractions

Le résultat de la comparaison de deux fractions ordinaires peut être soit leur égalité, soit leur inégalité. Lorsque les fractions ordinaires sont égales, elles sont dites égales ; sinon, les fractions ordinaires sont dites inégales.

égal, si l'égalité $a\cdot d=b\cdot c$ est vraie.

Les fractions ordinaires $\frac(a)(b)$ et $\frac(c)(d)$ sont appelées inégal, si l'égalité $a\cdot d=b\cdot c$ n'est pas vraie.

Exemple 3

Découvrez si les fractions $\frac(1)(3)$ et $\frac(2)(6)$ sont égales.

L'égalité est satisfaite, ce qui signifie que les fractions $\frac(1)(3)$ et $\frac(2)(6)$ sont égales : $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$.

Cet exemple peut être considéré en utilisant des pommes : une des deux pommes identiques est divisée en trois parts égales, la seconde en parts de 6$. On voit que les deux sixièmes d'une pomme constituent une part $\frac(1)(3)$.

Exemple 4

Vérifiez si les fractions ordinaires $\frac(3)(17)$ et $\frac(4)(13)$ sont égales.

Vérifions si l'égalité $a\cdot d=b\cdot c$ est vraie :

\ \

L'égalité n'est pas vraie, ce qui signifie que les fractions $\frac(3)(17)$ et $\frac(4)(13)$ ne sont pas égales : $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.

En comparant deux fractions communes et en constatant qu’elles ne sont pas égales, vous pouvez découvrir laquelle est la plus grande et laquelle est la plus petite que l’autre. Pour ce faire, utilisez la règle de comparaison des fractions ordinaires : il faut ramener les fractions à un dénominateur commun puis comparer leurs numérateurs. Quelle que soit la fraction qui a un numérateur plus grand, cette fraction sera la plus grande.

Fractions sur un rayon de coordonnées

Tous les nombres fractionnaires correspondant aux fractions ordinaires peuvent être affichés sur un rayon de coordonnées.

Pour marquer un point sur un rayon de coordonnées qui correspond à la fraction $\frac(m)(n)$, il faut tracer $m$ segments à partir de l'origine des coordonnées dans le sens positif, dont la longueur est $\ frac(1)(n)$ une fraction d'un segment unitaire . De tels segments sont obtenus en divisant un segment unitaire en $n$ parties égales.

Pour afficher un nombre fractionnaire sur un rayon de coordonnées, vous devez diviser le segment unitaire en parties.

Graphique 2.

Les fractions égales sont décrites par le même nombre fractionnaire, c'est-à-dire fractions égales représentent les coordonnées du même point sur le rayon de coordonnées. Par exemple, les coordonnées $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ décrivent le pareil le même point sur le rayon de coordonnées, puisque toutes les fractions écrites sont égales.

Si un point est décrit par une coordonnée avec une fraction plus grande, alors il sera situé à droite sur un rayon de coordonnées horizontales dirigé vers la droite à partir du point dont la coordonnée est fraction mineure. Par exemple, parce que fraction $\frac(5)(6)$ plus de fractions$\frac(2)(6)$, alors le point de coordonnée $\frac(5)(6)$ est situé à droite du point de coordonnée $\frac(2)(6)$.

De même, un point avec une coordonnée plus petite se trouvera à gauche d’un point avec une coordonnée plus grande.

En mathématiques, une fraction est un nombre composé d'une ou plusieurs parties (fractions) d'une unité. Selon la forme d'enregistrement, les fractions sont divisées en fractions ordinaires (exemple \frac(5)(8)) et décimales (par exemple 123,45).

Définition. Fraction commune (ou fraction simple)

Fraction ordinaire (simple) est appelé un nombre de la forme \pm\frac(m)(n) où m et n sont des nombres naturels. Le nombre m s'appelle numérateur cette fraction, et le nombre n est son dénominateur.

Une barre horizontale ou une barre oblique indique un signe de division, c'est-à-dire \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Les fractions courantes sont divisées en deux types : propres et impropres.

Définition. Fractions propres et impropres

Correct Une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur est appelée une fraction. Par exemple, \frac(9)(11) , car 9

Faux une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal à égal au module dénominateur. Une telle fraction est un nombre rationnel, modulo supérieur ou égal à un. Un exemple serait les fractions \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Outre la fraction impropre, il existe une autre représentation du nombre, appelée fraction mixte(numéro mixte). Ce n'est pas une fraction ordinaire.

Définition. Fraction mixte (nombre mixte)

Fraction mixte est une fraction écrite sous la forme d'un nombre entier et fraction propre et s'entend comme la somme de ce nombre et d'une fraction. Par exemple, 2\frac(5)(7)

(enregistrer sous la forme nombre mixte) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19)(7) (enregistrer sous la forme fraction impropre)

Une fraction n'est qu'une représentation d'un nombre. Le même numéro peut correspondre différentes fractions, à la fois ordinaire et décimal. Formons un signe pour l'égalité de deux fractions ordinaires.

Définition. Signe d'égalité des fractions

Les deux fractions \frac(a)(b) et \frac(c)(d) sont égal, si a\cdot d=b\cdot c . Par exemple, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) puisque 2\cdot12=3\cdot8

De cet attribut découle la propriété principale d’une fraction.

Propriété. La propriété principale d'une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée sont multipliés ou divisés par le même nombre, différent de zéro, vous obtenez une fraction égale à celle donnée.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

En utilisant la propriété de base, les fractions peuvent être remplacées fraction donnée une autre fraction égale à celle donnée, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Ce remplacement est appelé réduction de fraction. Par exemple, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (ici le numérateur et le dénominateur ont été divisés d'abord par 2, puis par 2 supplémentaires). Une fraction peut être réduite si et seulement si son numérateur et son dénominateur ne s'excluent pas mutuellement. nombres premiers. Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée sont premiers entre eux, alors la fraction ne peut pas être réduite, par exemple, \frac(3)(4) est une fraction irréductible.

Règles pour les fractions positives :

De deux fractions Avec mêmes dénominateurs La fraction dont le numérateur est le plus grand est la plus grande. Par exemple, \frac(3)(15)

De deux fractions avec les mêmes numérateurs Plus grande est la fraction dont le dénominateur est plus petit. Par exemple, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Pour comparer deux fractions avec des numérateurs et des dénominateurs différents, vous devez convertir les deux fractions afin que leurs dénominateurs soient les mêmes. Cette transformation s’appelle réduire des fractions à un dénominateur commun.

Fraction commune

Quartiers

1. Ordre. un Et b il existe une règle qui permet d'identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre elles : «< », « >" ou " = ". Cette règle s'appelle règle de commande et est formulé comme suit : deux nombres non négatifs et sont liés par la même relation que deux entiers et ; deux nombres non positifs un Et b sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout d'un coup un non négatif, mais b- négatif, alors un > b.

   

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2. Ajouter des fractions Opération d’addition. un Et b Pour tout nombre rationnel il y a un soi-disant règle de sommation c règle de sommation. De plus, le numéro lui-même appelé montant un Et b Nombres et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition .
3. . La règle de sommation a la forme suivante : Opération d’addition. un Et b Pour tout nombre rationnel Opération de multiplication. règle de multiplication règle de sommation c règle de sommation. De plus, le numéro lui-même , ce qui leur attribue un nombre rationnel montant un Et b travail et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication .
4. . La règle de multiplication ressemble à ceci : Transitivité de la relation d'ordre. un , b Et règle de sommation Pour tout triplet de nombres rationnels un Si b Et b Si règle de sommation moins un Si règle de sommation, Que un, et si b Et b, et si règle de sommation moins un, et si règle de sommation est égal
5. . 6435">Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme. Associativité de l'addition. Commande
6. en ajoutant trois les nombres rationnels n’affectent pas le résultat.
7. Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
8. La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
9. Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
10. Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
11. Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
12. Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
13. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution : Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. A gauche et vous pouvez ajouter le même nombre rationnel.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Axiome d'Archimède. un Quel que soit le nombre rationnel un, vous pouvez prendre tellement d'unités que leur somme dépasse

.

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Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Il existe de nombreuses propriétés supplémentaires de ce type. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

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Comptabilité d'un ensemble

Numérotation des nombres rationnels Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels. Le plus simple de ces algorithmes ressemble à ceci. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque je-ième ligne dans chacun Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels. j je la ème colonne dans laquelle se trouve la fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où

- le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule, et

- numéro de colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant. Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance. Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que les fractions 1/1 sont attribuées au nombre 1, les fractions 2/1 au nombre 2, etc. Il convient de noter que seul

En suivant cet algorithme, nous pouvons énumérer tous les nombres rationnels positifs. Cela signifie que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Il est facile d’établir une bijection entre les ensembles de nombres rationnels positifs et négatifs en attribuant simplement à chaque nombre rationnel son opposé. Que. l'ensemble des nombres rationnels négatifs est également dénombrable. Leur union est aussi dénombrable par la propriété des ensembles dénombrables. L’ensemble des nombres rationnels est également dénombrable comme l’union d’un ensemble dénombrable avec un ensemble fini.

L'affirmation sur la dénombrabilité de l'ensemble des nombres rationnels peut prêter à confusion, car à première vue, il semble qu'elle soit beaucoup plus étendue que l'ensemble des nombres naturels. En fait, ce n’est pas le cas et il existe suffisamment de nombres naturels pour énumérer tous les nombres rationnels.

Manque de nombres rationnels

L'hypoténuse d'un tel triangle ne peut être exprimée par aucun nombre rationnel

Nombres rationnels de la forme 1 / n en général n des quantités arbitrairement petites peuvent être mesurées. Ce fait crée impression trompeuse que les nombres rationnels peuvent être utilisés pour mesurer n'importe quelle distance géométrique. Il est facile de montrer que ce n’est pas vrai.

Grâce au théorème de Pythagore, nous savons que l'hypoténuse d'un triangle rectangle s'exprime comme la racine carrée de la somme des carrés de ses pattes. Que. longueur de l'hypoténuse d'un isocèle triangle rectangle avec une branche unitaire est égal à, c'est-à-dire un nombre dont le carré est 2.

Si nous supposons qu'un nombre peut être représenté par un nombre rationnel, alors il existe un tel nombre entier m et un tel nombre naturel n, que , et la fraction est irréductible, c'est-à-dire les nombres m Et n- mutuellement simple.

Si, alors , c'est-à-dire m 2 = 2n 2. Par conséquent, le nombre m 2 est pair, mais le produit de deux nombres impairs impair, ce qui signifie que le nombre lui-même m aussi même. Il existe donc un nombre naturel k, tel que le nombre m peut être représenté sous la forme m = 2k. Carré numérique m dans ce sens m 2 = 4k 2, mais d'un autre côté m 2 = 2n 2 signifie 4 k 2 = 2n 2, ou n 2 = 2k 2. Comme indiqué précédemment pour le numéro m, cela signifie que le nombre n- même si m. Mais alors ils ne sont pas premiers relativement, puisque tous deux sont divisés en deux. La contradiction qui en résulte prouve qu’il ne s’agit pas d’un nombre rationnel.

Numérateur et dénominateur d'une fraction. Types de fractions. Continuons à regarder les fractions. Tout d'abord, un petit avertissement - pendant que nous considérons les fractions et les exemples correspondants, nous ne travaillerons pour l'instant qu'avec leur représentation numérique. Il existe également des fractionnaires expressions littérales(avec et sans numéros).Cependant, tous les « principes » et règles s'appliquent également à eux, mais nous parlerons de ces expressions séparément à l'avenir. Je recommande de visiter et d'étudier (se souvenir) le sujet des fractions étape par étape.

Le plus important est de comprendre, de se souvenir et de réaliser qu'une FRACTION est un NOMBRE !!!

Fraction commune est un nombre de la forme :

Le numéro situé « en haut » (dans dans ce cas m) est appelé numérateur, le nombre situé en dessous (numéro n) est appelé dénominateur. Ceux qui viennent d’aborder le sujet ne savent souvent pas comment ils l’appellent.

Voici une astuce pour se rappeler à jamais où se trouve le numérateur et où se trouve le dénominateur. Cette technique est associée à l'association verbale-figurative. Imaginez un pot avec eau boueuse. On sait qu'à mesure que l'eau se dépose, de l'eau propre reste à la surface et que la turbidité (saleté) se dépose, rappelez-vous :

Eau de fonte CHISS CI-DESSUS (CHISS Litel Top)

Grya L'eau Z33NN est EN DESSOUS (l'amenateur ZNNNN est en dessous)

Ainsi, dès qu'il est nécessaire de rappeler où se trouve le numérateur et où se trouve le dénominateur, nous avons immédiatement imaginé visuellement un pot d'eau décantée avec Eau PURE, et en dessous se trouve de l'eau sale. Il existe d'autres astuces de mémoire, si elles vous aident, alors tant mieux.

Exemples de fractions courantes :

Que signifie la ligne horizontale entre les nombres ? Ce n'est rien de plus qu'un signe de division. Il s’avère qu’une fraction peut être considérée comme un exemple de l’action de division. Cette action est simplement enregistrée sous cette forme. C'est-à-dire que le nombre du haut (numérateur) est divisé par le nombre du bas (dénominateur) :

De plus, il existe une autre forme de notation - une fraction peut être écrite comme ceci (par une barre oblique) :

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 et ainsi de suite...

Nous pouvons écrire les fractions ci-dessus comme ceci :

Le résultat de la division est la façon dont ce nombre est connu.

Nous l'avons compris : CECI EST UNE FRACTION !!!

Comme vous l'avez déjà remarqué, une fraction commune peut avoir un numérateur inférieur au dénominateur, peut être supérieur au dénominateur et peut lui être égal. Il y en a beaucoup points importants, qui sont intuitivement compréhensibles, sans aucun raffinement théorique. Par exemple:

1. Les fractions 1 et 3 peuvent s’écrire 0,5 et 0,01. Avançons un peu - ce sont des fractions décimales, nous en parlerons un peu plus bas.

2. Les fractions 4 et 6 donnent le nombre entier 45:9=5, 11:1 = 11.

3. La fraction 5 donne un 155:155 = 1.

Quelles conclusions s’imposent ? Suivant:

1. Le numérateur divisé par le dénominateur peut donner numéro final. Cela peut ne pas fonctionner, divisez avec une colonne 7 par 13 ou 17 par 11 - pas question ! Vous pouvez diviser à l’infini, mais nous en parlerons également ci-dessous.

2. Une fraction peut donner un nombre entier. Par conséquent, nous pouvons représenter n'importe quel entier comme une fraction, ou plutôt une série infinie de fractions, regardez, toutes ces fractions sont égales à 2 :

Plus! Nous pouvons toujours écrire n'importe quel entier sous forme de fraction - le nombre lui-même est au numérateur, l'unité est au dénominateur :

3. Nous pouvons toujours représenter une unité comme une fraction avec n’importe quel dénominateur :

*Ces points sont extrêmement importants pour travailler avec des fractions lors des calculs et des transformations.

Types de fractions.

Et maintenant sur la division théorique des fractions ordinaires. Ils sont divisés en le bien et le mal.

Une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur est appelée fraction propre. Exemples :

Une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur est appelée fraction impropre. Exemples :

Fraction mixte(numéro mixte).

Une fraction mixte est une fraction écrite comme un nombre entier et une fraction propre et s'entend comme la somme de ce nombre et de sa partie fractionnaire. Exemples :

Une fraction mixte peut toujours être représentée comme une fraction impropre et vice versa. Passons à autre chose !

Fractions décimales.

Nous les avons déjà évoqués ci-dessus, ce sont les exemples (1) et (3), maintenant plus en détail. Voici des exemples de fractions décimales : 0,3 0,89 0,001 5,345.

Une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, comme 10, 100, 1000, etc., est appelée une décimale. Il n'est pas difficile d'écrire les trois premières fractions indiquées sous forme de fractions ordinaires :

La quatrième est une fraction mixte (nombre mixte) :

La fraction décimale a le formulaire suivant enregistrements - dela partie entière commence, puis le séparateur des parties entières et fractionnaires est un point ou une virgule et ensuite la partie fractionnaire, le nombre de chiffres de la partie fractionnaire est strictement déterminé par la dimension de la partie fractionnaire : si ce sont des dixièmes, le la partie fractionnaire est écrite sur un chiffre ; si des millièmes - trois ; dix millièmes - quatre, etc.

Ces fractions peuvent être finies ou infinies.

Exemples de fractions décimales finales : 0,234 ; 0,87 ; 34.00005 ; 5.765.

Les exemples sont infinis. Par exemple, le nombre Pi est infini décimal, plus – 0,333333333333…... 0,16666666666…. et d'autres. Également le résultat de l'extraction de la racine des nombres 3, 5, 7, etc. sera une fraction infinie.

La partie fractionnaire peut être cyclique (elle contient un cycle), les deux exemples ci-dessus sont exactement comme ceci, et d'autres exemples :

0.123123123123…...cycle 123

0.781781781718......cycle 781

0,0250102501…. cycle 02501

Ils peuvent s'écrire 0,(123) 0,(781) 0,(02501).

Le nombre Pi n’est pas une fraction cyclique, comme par exemple la racine de trois.

Dans les exemples ci-dessous, des mots tels que « retourner » une fraction retentiront - cela signifie que le numérateur et le dénominateur sont inversés. En fait, une telle fraction a un nom - fraction réciproque. Exemples de fractions réciproques :

Un petit résumé ! Les fractions sont :

Ordinaire (correct et incorrect).

Décimales (finies et infinies).

Mixte (nombres mixtes).

C'est tout !

Cordialement, Alexandre.

Le numérateur, et ce qui est divisé par est le dénominateur.

Pour écrire une fraction, écrivez d’abord le numérateur, puis tracez une ligne horizontale sous le nombre et écrivez le dénominateur sous la ligne. La ligne horizontale séparant le numérateur et le dénominateur est appelée ligne de fraction. Parfois, il est représenté par un "/" ou un "∕" oblique. Dans ce cas, le numérateur est écrit à gauche de la ligne et le dénominateur à droite. Ainsi, par exemple, la fraction « deux tiers » s’écrira 2/3. Pour plus de clarté, le numérateur est généralement écrit en haut de la ligne et le dénominateur en bas, c'est-à-dire qu'au lieu de 2/3 vous pouvez trouver : ⅔.

Pour calculer le produit de fractions, multipliez d'abord le numérateur par un fractions au numérateur est différent. Écrivez le résultat au numérateur du nouveau fractions. Après cela, multipliez les dénominateurs. Entrez la valeur totale dans le nouveau fractions. Par exemple, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1 ; 3 × 5 = 15).

Pour diviser une fraction par une autre, multipliez d’abord le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde. Faites de même avec la deuxième fraction (diviseur). Ou, avant d'effectuer toutes les actions, « retournez » d'abord le diviseur, si cela vous convient mieux : le dénominateur doit apparaître à la place du numérateur. Multipliez ensuite le dénominateur du dividende par le nouveau dénominateur du diviseur et multipliez les numérateurs. Par exemple, 1/3 : 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5 ; 3 ? 1 = 3).

Sources :

• Problèmes de fractions de base

Les nombres fractionnaires peuvent être exprimés en sous différentes formes valeur exacte quantités. Vous pouvez faire la même chose avec les fractions opérations mathématiques, comme pour les nombres entiers : soustraction, addition, multiplication et division. Pour apprendre à décider fractions, il faut rappeler certaines de leurs caractéristiques. Ils dépendent du type fractions, la présence d'une partie entière, dénominateur commun. Quelques opérations arithmétiques après exécution, ils nécessitent une réduction de la partie fractionnaire du résultat.

Vous aurez besoin

• - calculatrice

Instructions

Regardez attentivement les chiffres. Si parmi les fractions il y a des décimales et des irrégulières, il est parfois plus pratique d'effectuer d'abord des opérations avec des décimales, puis de les convertir sous la forme irrégulière. Pouvez-vous traduire fractions sous cette forme dans un premier temps, en écrivant la valeur après la virgule au numérateur et en mettant 10 au dénominateur. Si nécessaire, réduisez la fraction en divisant les nombres ci-dessus et ci-dessous par un diviseur. Les fractions dans lesquelles une partie entière est isolée doivent être converties sous la forme incorrecte en la multipliant par le dénominateur et en ajoutant le numérateur au résultat. Valeur donnée deviendra le nouveau numérateur fractions. Pour sélectionner une pièce entière parmi une pièce initialement incorrecte fractions, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Résultat completécrire à partir de fractions. Et le reste de la division deviendra le nouveau numérateur, dénominateur fractionsça ne change pas. Pour les fractions avec partie entière il est possible d'effectuer des actions séparément d'abord pour les parties entières puis pour les parties fractionnaires. Par exemple, la somme de 1 2/3 et 2 ¾ peut être calculée :
- Conversion de fractions sous la mauvaise forme :
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ;
- Sommation séparément des entiers et parties fractionnaires termes:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Réécrivez-les en utilisant le séparateur « : » et continuez division régulière.

Pour recevoir résultat final Réduisez la fraction obtenue en divisant le numérateur et le dénominateur par un nombre entier, le plus grand possible dans ce cas. Dans ce cas, il doit y avoir des entiers au-dessus et en dessous de la ligne.

Veuillez noter

N'effectuez pas d'arithmétique avec des fractions dont les dénominateurs sont différents. Choisissez un nombre tel que lorsque vous multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par celui-ci, le résultat est que les dénominateurs des deux fractions sont égaux.

Conseils utiles

Lors de l'enregistrement nombres fractionnaires Le dividende est inscrit au-dessus de la ligne. Cette quantité est désignée comme le numérateur de la fraction. Le diviseur, ou dénominateur, de la fraction est écrit sous la ligne. Par exemple, un kilo et demi de riz sous forme de fraction s'écrira comme suit : 1 ½ kg de riz. Si le dénominateur d’une fraction est 10, la fraction est appelée décimale. Dans ce cas, le numérateur (dividende) est écrit à droite de la partie entière, séparé par une virgule : 1,5 kg de riz. Pour faciliter le calcul, une telle fraction peut toujours être écrite sous la mauvaise forme: 1 2/10 kg de pommes de terre. Pour simplifier, vous pouvez réduire les valeurs du numérateur et du dénominateur en les divisant par un entier. DANS dans cet exemple peut être divisé par 2. Le résultat sera 1 1/5 kg de pommes de terre. Assurez-vous que les nombres avec lesquels vous allez effectuer des calculs sont présentés sous la même forme.