Nous continuons à considérer les problèmes de mouvement. Il existe un groupe de tâches qui diffèrent des tâches de mouvement ordinaires : ce sont des tâches sur circulation de rond-point(piste circulaire, aiguilles de l'horloge en mouvement). Dans cet article, nous examinerons ces tâches. Les principes de la solution sont les mêmes, les mêmes (formule de la loi du mouvement rectiligne). Mais il existe de petites nuances dans les approches de la solution.
Considérons les tâches :
Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction depuis deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 22 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 20 km/h à celle de l'autre ?
À première vue, pour certains, les problèmes impliquant un mouvement circulaire peuvent sembler complexes et déroutants en comparaison avec les tâches ordinaires sur mouvement droit. Mais ce n’est qu’un premier coup d’œil. Ce problème se transforme facilement en problème de mouvement linéaire. Comment?
Transformons mentalement la piste circulaire en ligne droite. Il y a deux motocyclistes debout dessus. L'un d'eux est en retard de 11 km sur l'autre, comme il est indiqué à condition que la longueur du parcours soit de 22 kilomètres.
La vitesse de celui qui est en retard est supérieure de 20 kilomètres par heure (il rattrape celui qui le précède). Voici la tâche du mouvement linéaire.
Ainsi, nous prenons la valeur souhaitée (le temps après lequel elles deviennent égales) à x heures. Notons la vitesse du premier (situé devant) par y km/h, alors la vitesse du second (en rattrapage) sera y + 20.
Entrons la vitesse et le temps dans le tableau.
Remplissez la colonne « distance » :
Le second parcourt une distance (pour se rencontrer) 11 km de plus, ce qui signifie
11/20 heures équivaut à 33/60 heures. Autrement dit, 33 minutes se sont écoulées avant leur rencontre. Vous pouvez voir comment convertir des heures en minutes, et vice versa, dans l'article « ».
Comme vous pouvez le constater, la vitesse même des motocyclistes dans ce casça n'a pas d'importance.
Réponse : 33
Décidez vous-même :
Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction depuis deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 14 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 21 km/h à celle de l'autre ?
A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 25 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 112 km/h, et 25 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.
Ce problème peut également être interprété, c'est-à-dire qu'il peut être présenté comme une tâche sur le mouvement rectiligne. Comment? Juste …
Deux voitures démarrent simultanément dans la même direction. La vitesse du premier est de 112 km/h. Au bout de 25 minutes, il devance le deuxième de 25 km (comme on dit d'un tour). Trouvez la vitesse de la seconde. Dans les tâches impliquant du mouvement, il est très important d’imaginer le processus même de ce mouvement.
Nous ferons la comparaison par distance, puisque nous savons que l'un avait 25 kilomètres d'avance sur l'autre.
Pour x, nous prenons la valeur souhaitée – la vitesse de la seconde. Le temps de trajet est de 25 minutes (25/60 heures) pour les deux.
Remplissez la colonne « distance » :
Distance parcourue en premier plus de distance, qui a terminé deuxième au 25 km. C'est-à-dire:
La vitesse de la deuxième voiture est de 52 (km/h).
Réponse : 52
Décidez vous-même :
A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 14 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 80 km/h et 40 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.
Un cycliste a quitté le point A de la piste circulaire et 40 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 8 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et encore 36 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.
Cette tâche est relativement difficile. Qu’est-ce qui mérite d’être remarqué immédiatement ? Cela signifie qu'un motocycliste parcourt la même distance qu'un cycliste et le rattrape pour la première fois. Puis il le rattrape une seconde fois, et la différence des distances parcourues après la première rencontre est de 30 kilomètres (la longueur du cercle). Ainsi, il sera possible de créer deux équations et de résoudre leur système. On ne nous donne pas les vitesses des usagers de la route, nous pouvons donc saisir deux variables. Un système de deux équations à deux variables est résolu.
Convertissons donc les minutes en heures, puisque la vitesse doit être trouvée en km/h.
Quarante minutes équivaut à 2/3 d'heure, 8 minutes équivaut à 8/60 d'heure, 36 minutes équivaut à 36/60 d'heure.
Nous désignons les vitesses des participants par x km/h (pour le cycliste) et y km/h (pour le motocycliste).
La première fois, le motocycliste a dépassé le cycliste 8 minutes plus tard, soit 8/60 d'heure après le départ.
Jusque-là, le cycliste était déjà sur la route depuis 40+8=48 minutes, soit 48/60 heures.
Écrivons ces données dans un tableau :
Tous deux ont parcouru les mêmes distances, c'est-à-dire
Le motocycliste a ensuite rattrapé le cycliste une seconde fois. Cela s'est produit 36 minutes plus tard, soit 36/60 heures après le premier dépassement.
Créons un deuxième tableau et remplissons la colonne « distance » :
Car on dit qu'après 36 minutes, le motocycliste a rattrapé le cycliste. Cela signifie qu'il (le motocycliste) a parcouru une distance égale à 30 kilomètres (un tour) plus la distance parcourue par le cycliste pendant ce temps. Ce point clé pour créer la deuxième équation.
Un tour correspond à la longueur de la piste, soit 30 km.
On obtient la deuxième équation :
On résout le système de deux équations :
Donc y = 6 ∙10 = 60.
Autrement dit, la vitesse du motocycliste est de 60 km/h.
Réponse : 60
Décidez vous-même :
Un cycliste a quitté le point A de la piste circulaire et 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 10 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 30 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.
Le prochain type de problèmes impliquant le mouvement circulaire est, pourrait-on dire, « unique ». Il y a des tâches qui sont résolues oralement. Et il y en a qui sont extrêmement difficiles à résoudre sans compréhension et sans raisonnement minutieux. Nous parlons de problèmes d’aiguilles d’horloge.
Voici un exemple de tâche simple :
L'horloge à aiguilles indique 11 heures 20 minutes. Dans combien de minutes aiguille des minutes sera-t-il aligné avec l'horloge pour la première fois ?
La réponse est évidente, dans 40 minutes, alors qu’il est exactement midi. Même s'ils n'ont pas pu le comprendre tout de suite, après avoir dessiné le cadran(après avoir fait un croquis) sur la feuille, vous pouvez facilement déterminer la réponse.
Exemples d'autres tâches (pas faciles) :
L'horloge à aiguilles indique 6 heures 35 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la cinquième fois ? Réponse : 325
L'horloge avec aiguilles indique exactement 2 heures. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la dixième fois ? Réponse : 600
Décidez vous-même :
L'horloge avec aiguilles indique 8 heures 00 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la quatrième fois ?
Êtes-vous convaincu qu’il est très facile de se tromper ?
En général, je ne suis pas partisan de donner de tels conseils, mais ici, ils sont nécessaires, car lors de l'examen d'État unifié avec une telle tâche, vous pouvez facilement vous tromper, calculer de manière incorrecte ou simplement perdre beaucoup de temps à le résoudre.
Vous pouvez décider cette tâche en une minute. Comment? Juste!
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1. Deux voitures ont quitté le point A vers le point B en même temps. Le premier est passé avec vitesse constante jusqu'au bout. La deuxième voiture a parcouru la première moitié du trajet à une vitesse inférieure de 15 km/h à la vitesse de la première, et la seconde moitié du trajet à une vitesse de 90 km/h, ce qui lui a permis d'arriver à point B en même temps que la première voiture. Trouvez la vitesse de la première voiture si elle est supérieure à 54 km/h. Donnez votre réponse en km/h.
2. Un train, se déplaçant uniformément à une vitesse de 60 km/h, traverse en 1 minute une ceinture forestière dont la longueur est de 400 mètres. Trouvez la longueur du train en mètres.
3. La distance entre les villes A et B est de 435 km. La première voiture a roulé d'une ville A à une ville B à une vitesse de 60 km/h, et une heure plus tard, la deuxième voiture s'est dirigée vers elle à une vitesse de 65 km/h. A quelle distance de la ville A les voitures se croiseront-elles ? Donnez votre réponse en kilomètres.
4. Par deux parallèles voies ferrées Un train de marchandises et un train de voyageurs circulent dans la même direction à des vitesses respectives de 40 km/h et 100 km/h. La longueur d'un train de marchandises est de 750 m. Trouvez la longueur d'un train de voyageurs si le temps qu'il faut pour dépasser le train de marchandises est de 1 minute.
5. Un train se déplaçant uniformément à une vitesse de 63 km/h dépasse un piéton marchant dans la même direction parallèlement aux voies à une vitesse de 3 km/h en 57 secondes. Trouvez la longueur du train en mètres.
6. Résoudre les problèmes de mouvement.
7. La route entre les points A et B comprend des montées et des descentes et sa longueur est de 8 km. Le piéton a marché d'un point A à un point B en 2 heures 45 minutes. Le temps qu'il a fallu pour descendre était de 1 heure et 15 minutes. À quelle vitesse le piéton a-t-il marché en descente si sa vitesse en montée est inférieure de 2 km/h à sa vitesse en descente ? Exprimez votre réponse en km/h.
8. La voiture a voyagé de la ville au village en 3 heures. S’il augmentait sa vitesse de 25 km/h, il passerait 1 heure de moins sur ce trajet. Quelle est la distance entre la ville et le village en kilomètres ?
http://youtu.be/x64JkS0XcrU
9. Les compétitions de ski se déroulent sur une piste circulaire. Le premier skieur boucle un tour 2 minutes plus vite que le second et une heure plus tard il a exactement un tour d'avance sur le second. Combien de minutes faut-il au deuxième skieur pour boucler un tour ?
10. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 6 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 18 km/h à celle de l'autre ?
Problèmes de mouvement d'Anna Denisova. Site Web http://easy-physics.ru/
11. Conférence vidéo. 11 problèmes de mouvement.
1. Un cycliste parcourt 500 m de moins chaque minute qu'un motocycliste, il passe donc 2 heures de plus sur un trajet de 120 km. Retrouvez les vitesses du cycliste et du motocycliste.
2. Un motocycliste s'est arrêté pour faire le plein pendant 12 minutes. Après cela, augmentant la vitesse de 15 km/h, il rattrapa temps perduà une distance de 60 km. À quelle vitesse se déplaçait-il après s’être arrêté ?
3. Deux motocyclistes partent simultanément l'un vers l'autre depuis des points A et B dont la distance est de 600 km. Alors que le premier parcourt 250 km, le second parvient à parcourir 200 km. Trouvez la vitesse des motocyclistes si le premier arrive en B trois heures plus tôt que le second en A.
4. L'avion volait à une vitesse de 220 km/h. Alors qu'il lui restait 385 km de moins à parcourir que ce qu'il avait déjà parcouru, l'avion augmenta sa vitesse à 330 km/h. La vitesse moyenne de l'avion sur tout le parcours s'est avérée être de 250 km/h. Quelle distance l’avion a-t-il parcouru avant que sa vitesse n’augmente ?
5. Par chemin de fer la distance de A à B est de 88 km, par l'eau il passe à 108 km. Le train de A part 1 heure plus tard que le navire et arrive à B 15 minutes plus tôt. Trouvez la vitesse moyenne du train, si l’on sait qu’elle est supérieure de 40 km/h à la vitesse moyenne du navire.
6. Deux cyclistes ont quitté deux endroits distants de 270 km et se dirigent l'un vers l'autre. Le second parcourt 1,5 km de moins par heure que le premier, et le rencontre après autant d'heures que le premier parcourt en kilomètres par heure. Déterminez la vitesse de chaque cycliste.
7. Deux trains partent des points A et B l'un vers l'autre. Si le train de A part deux heures plus tôt que le train de B, alors ils se retrouveront à mi-chemin. S'ils partent en même temps, après deux heures, la distance qui les sépare sera de 0,25 de la distance entre les points A et B. Combien d'heures faut-il à chaque train pour effectuer tout le trajet ?
8. Le train a dépassé une personne immobile sur le quai en 6 s et a dépassé un quai de 150 m de long en 15 s. Trouvez la vitesse du train et sa longueur.
9. Former 1 km de long a passé un poteau en 1 minute, et a traversé un tunnel (de l'entrée de la locomotive à la sortie du dernier wagon) à la même vitesse en 3 minutes. Quelle est la longueur du tunnel (en km) ?
10. Des trains de marchandises et des trains rapides sont partis simultanément des gares A et B, distantes de 75 km, et se sont rencontrés une demi-heure plus tard. Le train de marchandises est arrivé en B 25 minutes plus tard que le train rapide en A. Quelle est la vitesse de chaque train ?
11. Les jetées A et B sont situées sur une rivière dont la vitesse actuelle dans ce tronçon est de 4 km/h. Un bateau se déplace d’un point A à un point B et vice-versa sans s’arrêter à une vitesse moyenne de 6 km/h. Trouvez la propre vitesse du bateau.
12. Conférence vidéo. 8 problèmes pour se déplacer en cercle
12. Deux points se déplacent uniformément et dans la même direction le long d'un cercle de 60 m de long. L'un d'eux le fait tour complet 5 secondes plus rapide que l'autre. Dans ce cas, les points coïncident à chaque fois après 1 minute. Trouvez les vitesses des points.
13. Combien de temps s'écoule entre deux coïncidences consécutives des aiguilles des heures et des minutes sur un cadran de montre ?
14. Deux coureurs partent d'un point sur le ring du stade et le troisième - d'un point diamétralement opposé en même temps qu'eux dans la même direction. Après avoir parcouru trois tours, le troisième coureur a rattrapé le deuxième. Deux minutes et demie plus tard, le premier coureur rattrapait le troisième. Combien de tours par minute le deuxième coureur parcourt-il si le premier le dépasse une fois toutes les 6 minutes ?
15. Trois coureurs partent simultanément d'un point sur une piste en forme de cercle et roulent dans la même direction à vitesse constante. Le premier a rattrapé le deuxième pour la première fois, en effectuant son cinquième tour, à un point diamétralement opposé au départ, et une demi-heure après, il a dépassé le troisième pour la deuxième fois, sans compter le départ. Le deuxième coureur a rattrapé le troisième pour la première fois trois heures après le départ. Combien de tours par heure le premier pilote fait-il si le deuxième pilote boucle le tour en au moins 20 minutes ?
16. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 14 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 21 km/h à celle de l'autre ?
17. Un cycliste a quitté le point A du parcours circulaire et 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. Après 10 minutes. après son départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 30 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.
18. Une horloge avec des aiguilles indique 3 heures exactement. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la neuvième fois ?
18.1 Course à deux coureurs. Ils devront parcourir 60 tours sur un ring de 3 km de long. Les deux coureurs sont partis en même temps et le premier a atteint la ligne d'arrivée 10 minutes plus tôt que le second. A quoi était-ce égal ? vitesse moyenne le deuxième pilote, si l'on sait que le premier pilote a dépassé le deuxième pilote pour la première fois après 15 minutes ?
13. Conférence vidéo. 6 problèmes pour se déplacer sur l'eau.
19. Les villes A et B sont situées au bord d'une rivière, avec la ville B en aval. A 9 heures du matin, un radeau part de la ville A vers la ville B. Au même moment, un bateau part de B vers A et rencontre le radeau 5 heures plus tard. Ayant atteint la ville A, le bateau fait demi-tour et navigue vers B en même temps que le radeau. Le bateau et le radeau auront-ils le temps d'arriver dans la ville B à neuf heures du soir le même jour ?
20. Un bateau à moteur part d'un point A vers un point B à contre-courant de la rivière. En chemin, le moteur est tombé en panne, et même s'il a fallu 20 minutes pour le réparer, le bateau a été emporté sur la rivière. Déterminer combien de temps plus tard le bateau est arrivé au point B, si le voyage de A à B prend généralement une fois et demie plus long que de B à A ?
21. Les villes A et B sont situées au bord d'une rivière, avec la ville A en aval. De ces villes partent deux bateaux en même temps l'un vers l'autre et se rejoignent au milieu entre les villes. Après le rendez-vous, les bateaux continuent leur voyage et, ayant atteint respectivement les villes A et B, font demi-tour et se retrouvent à une distance de 20 km du lieu du premier rendez-vous. Si les bateaux nageaient initialement à contre-courant, alors le bateau qui partait de A rattraperait le bateau qui partait de B, à 150 km de B. Trouvez la distance entre les villes.
22. Deux bateaux à vapeur, dont la vitesse est la même en eau calme, partent de deux jetées : le premier de A en aval, le second de B en amont. Chaque navire reste à destination pendant 45 minutes et revient. Si les bateaux à vapeur partent simultanément de leurs points de départ, alors ils se rencontrent au point K, qui est deux fois plus proche de A que de B. Si le premier bateau à vapeur part de A 1 heure plus tard que le second part de B, alors au retour les bateaux à vapeur se rencontrent à 20 km de A. Si le premier bateau à vapeur part de A 30 minutes plus tôt que le second de B, alors au retour ils se rencontrent 5 km au-dessus de K. Trouvez la vitesse du fleuve et le temps qu'il met au deuxième bateau à vapeur pour aller de A à TO.
23. Un radeau part du point A jusqu'au point B, situé en aval de la rivière. Au même moment, un bateau est venu à sa rencontre depuis le point B. Après avoir rencontré le radeau, le bateau a immédiatement fait demi-tour et est reparti. Quelle distance le radeau parcourra-t-il de A à B au moment où le bateau reviendra au point B, si la vitesse du bateau en eau calme est quatre fois supérieure à la vitesse du courant ?
24. Les jetées A et B sont situées sur une rivière dont la vitesse actuelle dans ce tronçon est de 4 km/h. Un bateau se déplace d’un point A à un point B et revient à une vitesse moyenne de 6 km/h. Trouvez la propre vitesse du bateau.
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L'article traite de problèmes pour aider les étudiants : à pratiquer leurs compétences en résolution problèmes de mots en préparation à l'examen d'État unifié, pour apprendre à résoudre des problèmes de composition modèle mathématique situations réelles dans tous les parallèles du primaire et du lycée. Il présente des tâches : sur le mouvement en cercle ; trouver la longueur d'un objet en mouvement ; pour trouver la vitesse moyenne.
I. Problèmes impliquant le mouvement en cercle.
Les problèmes de mouvement circulaire se sont révélés difficiles pour de nombreux écoliers. Ils sont résolus presque de la même manière que tâches ordinaires pour le mouvement. Ils utilisent également la formule. Mais il y a un point auquel nous aimerions prêter attention.
Tâche 1. Un cycliste a quitté le point A de la piste circulaire et 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 10 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 30 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.
Solution. Les vitesses des participants seront prises en compte X km/h et y km/h. Pour la première fois, un motocycliste a dépassé un cycliste 10 minutes plus tard, soit une heure après le départ. Jusqu'à présent, le cycliste était sur la route depuis 40 minutes, soit des heures. Les participants au mouvement parcouraient les mêmes distances, c'est-à-dire y = x. Entrons les données dans le tableau.
Tableau 1
Le motocycliste a ensuite doublé le cycliste une seconde fois. Cela s'est produit 30 minutes plus tard, soit une heure après le premier dépassement. Jusqu’où ont-ils voyagé ? Un motocycliste a dépassé un cycliste. Cela signifie qu'il a bouclé un tour de plus. C'est le moment
auquel vous devez faire attention. Un tour correspond à la longueur de la piste, soit 30 km. Créons une autre table.
Tableau 2
On obtient la deuxième équation : y - x = 30. On a un système d'équations : 
Dans la réponse, nous indiquons la vitesse du motocycliste.
Réponse : 80 km/h.
Tâches (indépendamment).
I.1.1. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 40 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 10 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 36 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 36 km. Donnez votre réponse en km/h.
I.1. 2. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 8 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 12 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 15 km. Donnez votre réponse en km/h.
I.1. 3. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 50 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. Dix minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, puis 18 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 15 km. Donnez votre réponse en km/h.
Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 20 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 15 km/h à celle de l'autre ?
Solution.
Figure 1
Avec un départ simultané, le motocycliste parti de « A » a parcouru un demi-tour de plus que celui parti de « B ». Soit 10 km. Lorsque deux motocyclistes se déplacent dans la même direction, la vitesse de déplacement v = -. Selon les conditions du problème, v = 15 km/h = km/min = km/min – vitesse de dépose. On retrouve le temps après lequel les motocyclistes se rejoignent pour la première fois.
10 : = 40 (minutes).
Répondre: 40 minutes.
Tâches (indépendamment).
I.2.1. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction depuis deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 27 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 27 km/h à celle de l'autre ?
I.2.2. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction depuis deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 6 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 9 km/h à celle de l'autre ?
A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 8 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 89 km/h et 16 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.
Solution.
x km/h est la vitesse de la deuxième voiture.
(89 – x) km/h – vitesse de déplacement.
8 km est la longueur du parcours circulaire.
Équation.
(89 – x) = 8,
89 – x = 2 15,
Répondre: 59 km/h.
Tâches (indépendamment).
I.3.1. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 12 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 103 km/h et 48 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.
I.3.2. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 6 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 114 km/h, et 9 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.
I.3.3. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 20 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 105 km/h et 48 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.
I.3.4. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 9 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 93 km/h et 15 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.
L'horloge avec aiguilles indique 8 heures 00 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la quatrième fois ?
Solution. Nous supposons que nous ne résolvons pas le problème expérimentalement.
En une heure, l’aiguille des minutes parcourt un cercle et l’aiguille des heures parcourt un cercle. Laissez leurs vitesses être de 1 (tours par heure) et 
Début - à 8h00. Trouvons le temps qu'il faut à l'aiguille des minutes pour rattraper l'aiguille des heures pour la première fois.
L'aiguille des minutes se déplacera plus loin, nous obtenons donc l'équation
Cela signifie que pour la première fois, les flèches s'aligneront sur
Laissez les flèches s'aligner une deuxième fois après le temps z. Aiguille des minutes je tiendrai la distance 1·z, et l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes parcourront un cercle supplémentaire. Écrivons l'équation :
Après l'avoir résolu, nous obtenons cela.
Ainsi, à travers les flèches, ils s'aligneront pour la deuxième fois, après l'autre - pour la troisième fois, et après l'autre - pour la quatrième fois.
Par conséquent, si le départ était à 8h00, alors pour la quatrième fois les aiguilles s'aligneront
4h = 60 * 4 min = 240 min.
Réponse : 240 minutes.
Tâches (indépendamment).
I.4.1.L'horloge à aiguilles indique 4 heures 45 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la septième fois ?
I.4.2. L'horloge à aiguilles indique exactement 2 heures. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la dixième fois ?
I.4.3. L'horloge à aiguilles indique 8 heures 20 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la quatrième fois ? quatrième
II. Problèmes pour trouver la longueur d'un objet en mouvement.
Un train, se déplaçant uniformément à une vitesse de 80 km/h, dépasse un poteau routier en 36 s. Trouvez la longueur du train en mètres.
Solution. Puisque la vitesse du train est indiquée en heures, nous convertirons les secondes en heures.
1) 36 secondes = 
2) trouver la longueur du train en kilomètres.
80 · 
Réponse : 800 m.
Tâches (indépendamment).
II.2. Un train, circulant uniformément à une vitesse de 60 km/h, dépasse un poteau routier en 69 s. Trouvez la longueur du train en mètres. Réponse : 1150m.
II.3. Un train se déplaçant uniformément à une vitesse de 60 km/h traverse une ceinture forestière de 200 m de long en 1 min 21 s. Trouvez la longueur du train en mètres. Réponse : 1150m.
III. Problèmes de vitesse moyenne.
Lors d'un examen de mathématiques, vous pourriez rencontrer un problème pour trouver la vitesse moyenne. Il faut rappeler que la vitesse moyenne n'est pas égale à la moyenne arithmétique des vitesses. La vitesse moyenne est trouvée à l'aide d'une formule spéciale :
S'il y avait deux sections du chemin, alors 
.
La distance entre les deux villages est de 18 km. Un cycliste voyageait d'un village à l'autre pendant 2 heures et revenait par la même route pendant 3 heures. Quelle est la vitesse moyenne du cycliste sur tout le parcours ?
Solution:
2 heures + 3 heures = 5 heures - consacrées à l'ensemble du mouvement,
.Le touriste a marché à une vitesse de 4 km/h, puis exactement en même temps à une vitesse de 5 km/h. Quelle est la vitesse moyenne du touriste sur tout le parcours ?
Laissez le touriste marcher à une vitesse de 4 km/h et à une vitesse de 5 km/h. Puis en 2t heures, il a parcouru 4t + 5t = 9t (km). La vitesse moyenne d'un touriste est = 4,5 (km/h).
Réponse : 4,5 km/h.
On constate que la vitesse moyenne du touriste s'est avérée égale à la moyenne arithmétique des deux vitesses données. Vous pouvez vérifier que si le temps de trajet sur deux tronçons de l'itinéraire est le même, alors la vitesse moyenne de déplacement est égale à la moyenne arithmétique des deux vitesses données. Pour ce faire, résolvons le même problème sous sa forme générale.
Le touriste marchait à une vitesse de km/h, puis exactement en même temps à une vitesse de km/h. Quelle est la vitesse moyenne du touriste sur tout le parcours ?
Laissez le touriste marcher à une vitesse de km/h et à une vitesse de km/h. Puis en 2t heures il a parcouru t + t = t (km). La vitesse moyenne d'un touriste est
= (km/h).La voiture a parcouru une certaine distance en montée à une vitesse de 42 km/h et en descente à une vitesse de 56 km/h.
.
La vitesse moyenne de déplacement est de 2 s : (km/h).
Réponse : 48 km/h.
La voiture a parcouru une certaine distance en montée à une vitesse de km/h et en descente de la montagne à une vitesse de km/h.
Quelle est la vitesse moyenne de la voiture sur tout le parcours ?
Soit la longueur de la section de chemin égale à s km. Ensuite, la voiture a parcouru 2 s km dans les deux sens, passant tout le trajet 
.
La vitesse moyenne de déplacement est de 2 s : 
(km/h).
Réponse : km/h.
Considérons un problème dans lequel la vitesse moyenne est donnée et l'une des vitesses doit être déterminée. L’application de l’équation sera nécessaire.
Le cycliste montait une pente à une vitesse de 10 km/h et descendait la montagne à une autre vitesse constante. Selon ses calculs, la vitesse moyenne était de 12 km/h.
.III.2. La moitié du temps passé sur la route, la voiture roulait à une vitesse de 60 km/h, et la seconde moitié du temps à une vitesse de 46 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.
III.3. Sur le chemin d'un village à un autre, la voiture a marché un certain temps à une vitesse de 60 km/h, puis exactement le même temps à une vitesse de 40 km/h, puis exactement le même temps à une vitesse égale à la vitesse moyenne sur les deux premiers tronçons du parcours. Quelle est la vitesse moyenne de déplacement sur l’ensemble du trajet d’un village à l’autre ?
III.4. Un cycliste se rend de son domicile au travail à une vitesse moyenne de 10 km/h, et revient à une vitesse moyenne de 15 km/h, car la route est légèrement descendante. Trouvez la vitesse moyenne du cycliste depuis la maison jusqu'au travail et retour.
III.5. Une voiture s'est rendue du point A au point B à vide à une vitesse constante et est revenue par la même route avec une charge à une vitesse de 60 km/h. A quelle vitesse roulait-il à vide si la vitesse moyenne était de 70 km/h ?
III.6. La voiture a roulé pendant les 100 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, pendant les 120 kilomètres suivants à une vitesse de 90 km/h, puis pendant 120 km à une vitesse de 100 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.
III.7. La voiture a parcouru les 100 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, les 140 kilomètres suivants à une vitesse de 80 km/h, puis 150 km à une vitesse de 120 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.
III.8. La voiture a roulé pendant les 150 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, pendant les 130 kilomètres suivants à une vitesse de 60 km/h, puis sur 120 km à une vitesse de 80 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.
III. 9. La voiture a parcouru les 140 premiers kilomètres à une vitesse de 70 km/h, les 120 kilomètres suivants à une vitesse de 80 km/h, puis 180 km à une vitesse de 120 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.
La conférence vidéo "Résoudre des problèmes de texte sur le mouvement dans un cercle et l'eau" aborde tous les types de problèmes sur le mouvement dans un cercle et l'eau de Banque ouverte Tâches de l'examen d'État unifié en mathématiques.
Vous pouvez vous familiariser avec le contenu de la conférence vidéo et en regarder un fragment.
Problèmes de mouvement circulaire :
1. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 7 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 5 km/h à celle de l'autre ?
2. Un cycliste a quitté le point A du parcours circulaire et 20 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. Cinq minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois et 46 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 46 km. Donnez votre réponse en km/h.
3. L'horloge avec aiguilles indique 6 heures 45 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la cinquième fois ?
4. Deux pilotes courent. Ils devront parcourir 22 tours sur un ring de 3 km de long. Les deux coureurs sont partis en même temps et le premier a atteint la ligne d'arrivée 11 minutes plus tôt que le second. Quelle était la vitesse moyenne du deuxième pilote, si l'on sait que le premier pilote a dépassé le deuxième pilote pour la première fois après 10 minutes ?
Tâches pour se déplacer sur l'eau :
5. Le bateau à moteur a parcouru 72 km en amont du fleuve et est revenu au point de départ, mettant 6 heures de moins au retour. Trouvez la vitesse du bateau en eau calme si la vitesse actuelle est de 3 km/h. Donnez votre réponse en km/h.
6. La distance entre les jetées A et B est de 72 km. Un radeau est parti de A à B le long de la rivière, et 3 heures plus tard, un yacht est parti après lui, qui, arrivé au point B, a immédiatement fait demi-tour et est revenu à A. À ce moment-là, le radeau avait parcouru 39 km. Trouvez la vitesse du yacht en eau calme si la vitesse de la rivière est de 3 km/h. Donnez votre réponse en km/h.
7. Le bateau parcourt la distance du quai M au quai N le long de la rivière en 6 heures. Un jour, n'atteignant pas 40 km du quai N, le bateau a fait demi-tour et est revenu au quai M, passant 9 heures sur tout le trajet. la vitesse du bateau en eau calme, si la vitesse actuelle est de 2 km/h.
8. À partir du point A, un bateau et un radeau descendaient simultanément la rivière. Après avoir parcouru 40/3 km, le bateau a fait demi-tour et, après avoir parcouru 28/3 km, a rencontré le radeau. Vous devez trouver la vitesse du bateau si vous savez que la vitesse actuelle est de 4 km/h.
9. Bateau à moteur j'ai traversé le lac à la nage, puis j'ai descendu la rivière qui sortait du lac. Sentier le long du lac à 15% moins de chemin le long de la rivière. Le temps nécessaire à un bateau pour se déplacer sur un lac est 2 % plus long que sur une rivière. De quel pourcentage la vitesse actuelle est-elle inférieure ? propre vitesse des bateaux ?
10. Au printemps, un bateau se déplace à contre-courant de la rivière 1 2/3 fois plus lentement qu'avec le courant. En été, le courant devient 1 km/h plus lent, donc en été, le bateau va à contre-courant du fleuve 1 1/2 fois plus lentement qu'avec le courant. Trouvez la vitesse du courant au printemps (en km/h).
Fragment de conférence vidéo :
