Pour résoudre des problèmes avec des nombres complexes, vous devez comprendre les définitions de base. Tâche principale Cet article de synthèse vise à expliquer ce que sont les nombres complexes et à présenter des méthodes pour résoudre des problèmes de base avec des nombres complexes. Ainsi, un nombre complexe sera appelé un nombre de la forme z = a + bi, Où une, b- les nombres réels, qui sont appelés respectivement parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe, et désignent une = Re(z), b=Je suis(z).
je appelée unité imaginaire. je 2 = -1. En particulier, tout nombre réel peut être considéré comme complexe : une = une + 0i, où a est réel. Si une = 0 Et b ≠ 0, alors le nombre est généralement appelé purement imaginaire.
Introduisons maintenant les opérations sur les nombres complexes.
Considérons deux nombres complexes z 1 = une 1 + b 1 je Et z 2 = une 2 + b 2 je.
Considérons z = a + bi.
L’ensemble des nombres complexes étend l’ensemble des nombres réels, qui à son tour étend l’ensemble nombres rationnels etc. Cette chaîne d’investissements est visible sur la figure : N – nombres naturels, Z - entiers, Q - rationnel, R - réel, C - complexe. 
Représentation des nombres complexes
Notation algébrique.
Considérons un nombre complexe z = a + bi, cette forme d'écriture d'un nombre complexe s'appelle algébrique. Nous avons déjà discuté en détail de cette forme d’enregistrement dans la section précédente. Le dessin visuel suivant est utilisé assez souvent 
Forme trigonométrique.
Sur la figure, on peut voir que le nombre z = a + bi peut être écrit différemment. C'est évident que une = rcos(φ), b = résine (φ), r=|z|, ainsi z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
s'appelle l'argument d'un nombre complexe. Cette représentation d'un nombre complexe s'appelle forme trigonométrique. La forme de notation trigonométrique est parfois très pratique. Par exemple, il est pratique de l'utiliser pour élever un nombre complexe à une puissance entière, à savoir si z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Que z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, cette formule s'appelle La formule de Moivre.
Forme démonstrative.
Considérons z = rcos(φ) + rsin(φ)i- un nombre complexe sous forme trigonométrique, écrivez-le sous une autre forme z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, la dernière égalité découle de la formule d’Euler, on obtient donc nouvel uniforme notation des nombres complexes : z = re jeφ, qui s'appelle indicatif. Cette forme de notation est également très pratique pour élever un nombre complexe à une puissance : z n = r n e dansφ, Ici n pas nécessairement un nombre entier, mais peut être un nombre réel arbitraire. Cette forme de notation est assez souvent utilisée pour résoudre des problèmes.
Théorème fondamental de l'algèbre supérieure
Imaginons que nous ayons une équation quadratique x 2 + x + 1 = 0. Évidemment, le discriminant de cette équation est négatif et il n’a pas de racines réelles, mais il s’avère que cette équation a deux racines complexes différentes. Ainsi, le théorème fondamental de l’algèbre supérieure stipule que tout polynôme de degré n possède au moins un racine complexe. Il s'ensuit que tout polynôme de degré n possède exactement n racines complexes, compte tenu de leur multiplicité. Ce théorème est très résultat important en mathématiques et est largement utilisé. Un corollaire simple de ce théorème est qu’il existe exactement n racines différentes de degré n d’unité.
Principaux types de tâches
Cette section couvrira les principaux types tâches simples aux nombres complexes. Classiquement, les problèmes impliquant des nombres complexes peuvent être divisés dans les catégories suivantes.
- Effectuer des opérations arithmétiques simples sur des nombres complexes.
- Trouver les racines des polynômes dans les nombres complexes.
- Élever des nombres complexes en puissances.
- Extraire les racines de nombres complexes.
- Utiliser des nombres complexes pour résoudre d'autres problèmes.
Considérons maintenant techniques générales des solutions à ces problèmes.
Les opérations arithmétiques les plus simples avec des nombres complexes sont effectuées selon les règles décrites dans la première section, mais si les nombres complexes sont présentés sous des formes trigonométriques ou exponentielles, alors dans ce cas, vous pouvez les convertir sous forme algébrique et effectuer des opérations selon des règles connues.
Trouver les racines des polynômes revient généralement à trouver les racines d’une équation quadratique. Supposons que nous ayons une équation quadratique, si son discriminant est non négatif, alors ses racines seront réelles et pourront être trouvées selon une formule bien connue. Si le discriminant est négatif, c'est-à-dire D = -1∙une 2, Où un est un certain nombre, alors le discriminant peut être représenté comme D = (ia) 2, ainsi √D = je|une|, et vous pouvez ensuite utiliser formule bien connue pour les racines d'une équation quadratique.
Exemple. Revenons à ce qui a été mentionné ci-dessus. équation quadratique x 2 + x + 1 = 0 .
Discriminant - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Maintenant, nous pouvons facilement trouver les racines : 
L’élévation de nombres complexes à des puissances peut se faire de plusieurs manières. Si vous devez élever un nombre complexe sous forme algébrique à une petite puissance (2 ou 3), vous pouvez le faire par multiplication directe, mais si la puissance est plus grande (dans les problèmes, elle est souvent beaucoup plus grande), alors vous devez écrivez ce nombre sous forme trigonométrique ou exponentielle et utilisez des méthodes déjà connues.
Exemple. Considérons z = 1 + i et élevons-le à la puissance dixième.
Écrivons z sous forme exponentielle : z = √2 e iπ/4.
Alors z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Revenons à la forme algébrique : z 10 = -32i.
Extraire les racines de nombres complexes est opération inverse en ce qui concerne l'opération d'exponentiation, elle s'effectue donc de la même manière. Pour extraire les racines, la forme exponentielle d’écriture d’un nombre est souvent utilisée.
Exemple. Trouvons toutes les racines du degré 3 d'unité. Pour ce faire, on retrouvera toutes les racines de l'équation z 3 = 1, on cherchera les racines sous forme exponentielle.
Remplaçons dans l'équation : r 3 e 3iφ = 1 ou r 3 e 3iφ = e 0 .
D'où : r = 1, 3φ = 0 + 2πk, donc φ = 2πk/3.
Différentes racines sont obtenues à φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Donc 1, e i2π/3, e i4π/3 sont des racines.
Ou sous forme algébrique : 
Le dernier type de problèmes comprend une grande variété de problèmes et il n’existe pas de méthodes générales pour les résoudre. Donnons un exemple simple d'une telle tâche :
Trouver le montant péché(x) + péché(2x) + péché(2x) + … + péché(nx).
Bien que la formulation de ce problème ne nous parlons de sur les nombres complexes, mais avec leur aide, cela peut être facilement résolu. Pour le résoudre, les représentations suivantes sont utilisées : 
Si nous substituons maintenant cette représentation dans la somme, alors le problème se réduit à additionner la progression géométrique habituelle.
Conclusion
Nombres complexes sont largement utilisés en mathématiques, cet article de synthèse examine les opérations de base sur les nombres complexes et décrit plusieurs types tâches standards et brièvement décrit méthodes générales leurs solutions, pour en savoir plus étude détaillée Pour en savoir plus sur les possibilités des nombres complexes, il est recommandé de recourir à la littérature spécialisée.
Littérature
Nombres complexes. Un nombre complexe est un nombre de la forme z=a+biabRi2=−1
Commentaire.
Le nombre réel a est la partie réelle du nombre z et est noté a=Rez
Le nombre réel b est la partie imaginaire du nombre z et est noté b=Imz
Les nombres réels sont un ensemble complet de nombres et d'opérations sur ceux-ci, qui, semble-t-il, devraient suffire à résoudre tous les problèmes d'un cours de mathématiques. Mais comment résoudre une telle équation en nombres réels x2+1=0 ? Il existe une autre extension des nombres : les nombres complexes. Dans les nombres complexes, vous pouvez prendre racine à partir de nombres négatifs.
Forme algébrique nombre complexe. La forme algébrique d'un nombre complexe est z=a+bi(aRbRi2=−1)
Commentaire. Si a=ReZ=0b=Imz=0, alors le nombre z est dit imaginaire. Si a=ReZ=0b=Imz=0, alors le nombre z est dit purement imaginaire
L'interprétation géométrique des nombres réels est la vraie ligne. De plus, sur la ligne réelle « il n'y a pas de place pour de nouveaux points », c'est-à-dire que tout point sur l'axe réel correspond à un nombre réel. Par conséquent, il n'est plus possible de placer des nombres complexes sur cette ligne, mais vous pouvez essayer de les considérer avec axe réel, sur lequel on tracera la partie réelle du nombre complexe, un autre axe qui lui est perpendiculaire ; nous l'appellerons l'axe imaginaire. Alors tout nombre complexe z = a + ib peut être associé à un point dans le plan de coordonnées. Nous tracerons la partie réelle d'un nombre complexe sur l'axe des abscisses, et la partie imaginaire sur l'axe des ordonnées. De cette manière, une correspondance biunivoque est établie entre tous les nombres complexes et tous les points du plan. Si une telle correspondance est construite, alors plan de coordonnées appelé plan complexe. L'interprétation du nombre complexe z = a + b i est le vecteur OA de coordonnées (a,b) avec le début au point O(0,0) et la fin au point A(a,b) 
Nombres conjugués. Les nombres z=a+bi et z=a−bi sont appelés nombres complexes conjugués
Propriété. La somme et le produit de deux nombres complexes conjugués sont des nombres réels : z+z=2azz=a2+b2
Numéros opposés. Les nombres z=a+bi et −z=−a−bi sont appelés nombres complexes opposés.
Propriété. La somme de deux nombres complexes opposés est nulle :
z+(−z)=0
Des nombres égaux. Deux nombres complexes sont dits égaux si leurs parties réelle et imaginaire sont égales.
Actions avec des nombres complexes données sous forme algébrique :
Propriété d'addition : La somme de deux nombres complexes z1=a+bi et z2=c+di sera un nombre complexe de la forme z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d )je
Exemple : 5+3i+3−i=8+2i
Propriété de soustraction : La différence de deux nombres complexes z1=a+bi et z2=c+di sera un nombre complexe de la forme z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) je
Exemple: . 5+3i−3−i=2+4i
Propriété de multiplication : Le produit de deux nombres complexes z1=a+bi et z2=c+di sera un nombre complexe de la forme z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i
Exemple : 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i
Propriété de division : Le quotient de deux nombres complexes z1=a+bi et z2=c+di sera un nombre complexe de la forme z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi
Exemple: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i
Opérations avec des nombres complexes données sous forme trigonométrique
L'écriture d'un nombre complexe z = a + bi sous la forme z=rcos+isin est appelée la forme trigonométrique d'un nombre complexe.
Module d'un nombre complexe : r=a2+b2
Argument du nombre complexe : cos=rasin=rb 
Nombres imaginaires et complexes
Considérons l'équation quadratique incomplète :
x 2 = une,
où a est une quantité connue. La solution de cette équation peut s’écrire :
Il y a ici trois cas possibles :
1). Si a = 0, alors x = 0.
2). Si un – nombre positif, alors c'est racine carrée a deux significations : l’une positive, l’autre négative ; par exemple, l'équation x 2 = 25 a deux racines : 5 et – 5. Ceci s'écrit souvent sous forme de racine double :
3).Si a est un nombre négatif, alors cette équation n'a pas de solution parmi les nombres positifs et négatifs que nous connaissons, car la puissance seconde de tout nombre est un nombre non négatif (pensez-y !). Mais si l'on veut obtenir des solutions à l'équation x 2 = a aussi pour valeurs négatives Eh bien, nous sommes obligés d’introduire des nombres d’un nouveau type : les nombres imaginaires. Ainsi, un nombre dont la puissance seconde est un nombre négatif est dit imaginaire. D'après cette définition des nombres imaginaires, on peut également définir une unité imaginaire : 
Alors pour l'équation x 2 = – 25 on obtient deux racines imaginaires :
En substituant ces deux racines dans notre équation, nous obtenons l'identité. (Vérifier!). Contrairement aux nombres imaginaires, tous les autres nombres (positifs et négatifs, entiers et fractions, rationnels et irrationnels) sont appelés réels ou nombres réels. La somme d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire est appelée nombre complexe et est notée :
Où a, b – nombres réels, je - unité imaginaire.
Exemples de nombres complexes : 3 + 4 i, 7 – 13,6 i, 0 + 25 i = 25 i, 2 + i.
Laissez-nous vous rappeler informations nécessaires sur les nombres complexes.
Numéro complexe est une expression de la forme un + bi, Où un, b sont des nombres réels, et je- le soi-disant unité imaginaire, un symbole dont le carré est égal à –1, soit je 2 = –1. Nombre un appelé partie réelle, et le numéro b - partie imaginaire nombre complexe z = un + bi. Si b= 0, alors à la place un + 0je ils écrivent simplement un. On peut voir que les vrais chiffres sont cas particulier nombres complexes.
Les opérations arithmétiques sur les nombres complexes sont les mêmes que sur les nombres réels : ils peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés les uns par les autres. L'addition et la soustraction s'effectuent selon la règle ( un + bi) ± ( c + di) = (un ± c) + (b ± d)je, et la multiplication suit la règle ( un + bi) · ( c + di) = (ca – bd) + (annonce + avant JC)je(ici on utilise que je 2 = –1). Nombre = un – bi appelé conjugué complexeÀ z = un + bi. Égalité z · = un 2 + b 2 permet de comprendre comment diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe (non nul) :
(Par exemple, 
.)
Les nombres complexes ont une signification pratique et visuelle représentation géométrique: nombre z = un + bi peut être représenté par un vecteur de coordonnées ( un; b) sur plan cartésien(ou, ce qui est presque la même chose, un point - la fin d'un vecteur avec ces coordonnées). Dans ce cas, la somme de deux nombres complexes est représentée comme la somme des vecteurs correspondants (qui peuvent être trouvés à l'aide de la règle du parallélogramme). Selon le théorème de Pythagore, la longueur du vecteur de coordonnées ( un; b) est égal à . Cette quantité est appelée module nombre complexe z = un + bi et est noté | z|. L'angle que fait ce vecteur avec la direction positive de l'axe des x (compté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) est appelé argument nombre complexe z et est noté Arg z. L'argument n'est pas défini de manière unique, mais seulement jusqu'à l'ajout d'un multiple de 2 π
radians (ou 360°, si compté en degrés) - après tout, il est clair qu'une rotation d'un tel angle autour de l'origine ne changera pas le vecteur. Mais si le vecteur de longueur r forme un angle φ
avec la direction positive de l'axe des x, alors ses coordonnées sont égales à ( r parce que φ
; r péché φ
). À partir de là, il s'avère notation trigonométrique nombre complexe : z = |z| · (cos(Arg z) + je péché(Arg z)). Il est souvent pratique d’écrire des nombres complexes sous cette forme, car cela simplifie grandement les calculs. Multiplier des nombres complexes sous forme trigonométrique est très simple : z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + je péché(Arg z 1 + Arg z 2)) (lors de la multiplication de deux nombres complexes, leurs modules sont multipliés et leurs arguments sont ajoutés). De là, suivez Les formules de Moivre: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + je péché( n· (Arg z))). À l’aide de ces formules, il est facile d’apprendre à extraire des racines de n’importe quel degré à partir de nombres complexes. nième racine puissances du nombre z- c'est un nombre complexe w, Quoi w n = z. Il est clair que 
, et , où k peut prendre n'importe quelle valeur de l'ensemble (0, 1, ..., n– 1). Cela signifie qu'il y a toujours exactement n racines nème degré d'un nombre complexe (sur le plan ils sont situés aux sommets du nombre régulier n-gon).
