Cours et présentation sur le thème : "Systèmes d'inégalités. Exemples de solutions"

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Système d'inégalités

Introduisons la définition d'un système d'inégalités.
Plusieurs inégalités avec une variable x forment un système d'inégalités si vous avez besoin de trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles chacune des inégalités forme un vrai expression numérique.

Toute valeur de x pour laquelle chaque inégalité prend l'expression numérique correcte est une solution à l'inégalité. Peut également être appelé une solution privée.
Qu'est-ce qu'une solution privée ? Par exemple, dans la réponse, nous avons reçu l'expression x>7. Alors x=8, ou x=123, ou tout autre nombre supérieur à sept est une solution particulière, et l'expression x>7 est solution générale. La solution générale est formée de nombreuses solutions privées.

Comment avons-nous combiné le système d’équations ? C'est vrai, une accolade, et donc ils font la même chose avec les inégalités. Regardons un exemple de système d'inégalités : $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Si le système d'inégalités est constitué d'expressions identiques, par exemple $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Alors, qu’est-ce que cela signifie : trouver une solution à un système d’inégalités ?
Une solution à une inégalité est un ensemble de solutions partielles à une inégalité qui satisfont à la fois les deux inégalités du système.

Nous écrivons la forme générale du système d'inégalités sous la forme $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Notons $Х_1$ comme la solution générale de l'inégalité f(x)>0.
$X_2$ est la solution générale de l'inégalité g(x)>0.
$X_1$ et $X_2$ sont un ensemble de solutions particulières.
La solution au système d'inégalités sera des nombres appartenant à la fois à $X_1$ et à $X_2$.
Rappelons les opérations sur les décors. Comment trouver les éléments d’un ensemble qui appartiennent aux deux ensembles à la fois ? C'est vrai, il existe une opération d'intersection pour cela. Ainsi, la solution de notre inégalité sera l'ensemble $A= X_1∩ X_2$.

Exemples de solutions aux systèmes d’inégalités

Résoudre le système d'inégalités.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Solution.
a) Résolvez chaque inégalité séparément.
$3x-1>2 ; \; 3x>3 ; \; x>1$.
$5x-10
Marquons nos intervalles sur une ligne de coordonnées.

La solution du système sera le segment d'intersection de nos intervalles. L'inégalité est stricte, alors le segment sera ouvert.
Réponse : (1 ; 3).

B) Nous résoudrons également chaque inéquation séparément.
2x-4≤6 $ ; 2x≤ 10 ; x ≤ 5 $.
$-x-4 -5$.


La solution du système sera le segment d'intersection de nos intervalles. La deuxième inégalité est stricte, alors le segment sera ouvert à gauche.
Réponse : (-5 ; 5].

Résumons ce que nous avons appris.
Disons qu'il faut résoudre le système d'inégalités : $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Alors, l'intervalle ($x_1 ; x_2$) est la solution de la première inégalité.
L'intervalle ($y_1; y_2$) est la solution de la deuxième inégalité.
La solution d’un système d’inégalités est l’intersection des solutions de chaque inégalité.

Les systèmes d'inégalités peuvent comprendre non seulement des inégalités de premier ordre, mais également tout autre type d'inégalités.

Règles importantes pour résoudre les systèmes d'inégalités.
Si l’une des inégalités du système n’a pas de solution, alors le système tout entier n’a pas de solution.
Si l'une des inégalités est satisfaite pour n'importe quelle valeur de la variable, alors la solution du système sera la solution de l'autre inégalité.

Exemples.
Résoudre le système d'inégalités :$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Solution.
Résolvons chaque inégalité séparément.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Résolvons la deuxième inégalité.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

La solution de l'inégalité est l'intervalle.
Traçons les deux intervalles sur la même ligne et trouvons l'intersection.
L'intersection des intervalles est le segment (4 ; 6).
Réponse : (4;6].

Résoudre le système d'inégalités.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

Solution.
a) La première inégalité a une solution x>1.
Trouvons le discriminant de la deuxième inégalité.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Rappelons la règle : lorsqu'une des inégalités n'a pas de solution, alors tout le système n'a pas de solution.
Réponse : Il n’y a pas de solutions.

B) La première inégalité a une solution x>1.
Deuxième inégalité supérieur à zéro pour tout x. Alors la solution du système coïncide avec la solution de la première inégalité.
Réponse : x>1.

Problèmes sur les systèmes d'inégalités pour une solution indépendante

Système d'inégalités Il est d'usage d'appeler tout ensemble de deux inégalités ou plus contenant une quantité inconnue.

Cette formulation est clairement illustrée, par exemple, par la suivante systèmes d'inégalités:

Résoudre le système d’inégalités - signifie trouver toutes les valeurs d'une variable inconnue pour lesquelles chaque inégalité du système est réalisée, ou justifier qu'elles n'existent pas .

Cela signifie que pour chaque individu inégalités du système Nous calculons la variable inconnue. Ensuite, parmi les valeurs résultantes, sélectionne uniquement celles qui sont vraies pour la première et la deuxième inégalités. Par conséquent, en substituant la valeur sélectionnée, les deux inégalités du système deviennent correctes.

Regardons la solution à plusieurs inégalités :

Plaçons deux droites numériques l'une en dessous de l'autre ; mettre la valeur en haut x, pour lequel la première inégalité sur ( x> 1) devenir vrai, et en bas - la valeur X, qui sont la solution de la deuxième inégalité ( X> 4).

En comparant les données sur droites numériques, notez que la solution pour les deux inégalités volonté X> 4. Répondez, X> 4.

Exemple 2.

Calculer le premier inégalité on obtient -3 X< -6, или x> 2, seconde - X> -8, ou X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, auquel le premier est réalisé inégalité du système, et à la droite numérique inférieure, toutes ces valeurs X, auquel la deuxième inégalité du système est réalisée.

En comparant les données, nous constatons que les deux inégalités sera implémenté pour toutes les valeurs X, placé de 2 à 8. Ensemble de valeurs X indiquer double inégalité 2 < X< 8.

Exemple 3. Nous trouverons

Programme de résolution linéaire, quadratique et inégalités fractionnaires non seulement donne la réponse au problème, il fournit une solution détaillée avec des explications, c'est-à-dire affiche le processus de résolution pour tester les connaissances en mathématiques et/ou en algèbre.

De plus, si dans le processus de résolution de l'une des inégalités, il est nécessaire de résoudre, par exemple : équation quadratique, alors sa solution détaillée est également affichée (elle contient un spoiler).

Ce programme peut être utile aux élèves du secondaire pour se préparer à essais, aux parents pour surveiller les solutions de leurs enfants aux inégalités.

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en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées. De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou votre propre formation. frères plus jeunes

ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.

Règles de saisie des inégalités
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires. De plus, nombres fractionnaires

peut être saisi non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales. En décimales partie fractionnaire
peut être séparé du tout par un point ou une virgule. Par exemple, vous pouvez saisir décimales

comme ceci : 2,5x - 3,5x^2
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif. En entrant fraction numérique /
Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : Partie entière &
séparé de la fraction par une esperluette :
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5a +1/7a^2

Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Vous pouvez utiliser des parenthèses lors de la saisie d'expressions. Dans ce cas, lors de la résolution des inégalités, les expressions sont d'abord simplifiées. Par exemple:

5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3) Sélectionner le bon signe

Résoudre le système d’inégalités
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Un peu de théorie.

Systèmes d'inégalités à une inconnue. Intervalles numériques

Vous vous êtes familiarisé avec le concept de système en 7e année et avez appris à résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues. Nous considérerons ensuite des systèmes d’inégalités linéaires à une inconnue. Des ensembles de solutions à des systèmes d'inégalités peuvent être écrits à l'aide d'intervalles (intervalles, demi-intervalles, segments, rayons). Vous vous familiariserez également avec la notation des intervalles numériques.

Si dans les inégalités \(4x > 2000\) et \(5x \leq 4000\) numéro inconnu x sont identiques, alors ces inégalités sont considérées ensemble et on dit qu'elles forment un système d'inégalités : $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \droit .$$

Entretoise montre qu'il est nécessaire de trouver de telles valeurs de x pour lesquelles les deux inégalités du système se transforment en inégalités numériques correctes. Ce système- un exemple de système d'inégalités linéaires à une inconnue.

La solution d'un système d'inégalités à une inconnue est la valeur de l'inconnue à laquelle toutes les inégalités du système deviennent vraies. inégalités numériques. Résoudre un système d’inégalités, c’est trouver toutes les solutions à ce système ou établir qu’il n’y en a pas.

Les inégalités \(x \geq -2 \) et \(x \leq 3 \) peuvent s'écrire sous la forme d'une double inégalité : \(-2 \leq x \leq 3 \).

Les solutions aux systèmes d’inégalités à une inconnue sont différentes ensembles de nombres. Ces ensembles ont des noms. Oui, sur axe des nombres l'ensemble des nombres x tel que \(-2 \leq x \leq 3 \) est représenté par un segment dont les extrémités sont aux points -2 et 3.

Si \(a est un segment et est noté [a; b]

Si \(a est un intervalle et est noté (a; b)

Les ensembles de nombres \(x\) satisfaisant les inégalités \(a \leq x sont des demi-intervalles et sont notés respectivement [a; b) et (a; b]

Les segments, intervalles, demi-intervalles et rayons sont appelés intervalles numériques.

Ainsi, intervalles numériques peut être spécifié sous forme d’inégalités.

La solution d’une inégalité à deux inconnues est une paire de nombres (x ; y) qui s’inverse cette inégalité dans l’inégalité numérique correcte. Résoudre une inégalité, c’est trouver l’ensemble de toutes ses solutions. Ainsi, les solutions de l'inégalité x > y seront, par exemple, des couples de nombres (5 ; 3), (-1 ; -1), puisque \(5 \geq 3 \) et \(-1 \geq - 1\)

Résoudre les systèmes d’inégalités

Décider inégalités linéaires avec une inconnue, vous avez déjà appris. Savez-vous ce qu’est un système d’inégalités et une solution au système ? Par conséquent, le processus de résolution de systèmes d'inégalités à une inconnue ne vous posera aucune difficulté.

Et pourtant, rappelons-le : pour résoudre un système d'inégalités, il faut résoudre chaque inégalité séparément, puis trouver l'intersection de ces solutions.

Par exemple, le système originel d’inégalités a été réduit à la forme :
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Pour résoudre ce système d'inégalités, marquez la solution de chaque inégalité sur la droite numérique et trouvez leur intersection :

L'intersection est le segment [-2; 3] - c'est la solution au système originel d'inégalités.