Diplôme avec un indicateur naturel. Diplôme avec un exposant entier

La formule ci-dessous sera la définition degrés avec exposant naturel(a est la base de la puissance et du facteur de répétition, et n est l'exposant, qui indique combien de fois le facteur est répété) :

Cette expression signifie que la puissance d'un nombre a d'exposant naturel n est le produit de n facteurs, malgré le fait que chacun des facteurs est égal à a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - diplôme de base,

5 - exposant,

1419857 est la valeur du diplôme.

Une puissance d'exposant zéro est égale à 1, à condition que a\neq 0 :

une^0=1 .

Par exemple : 2^0=1

Quand écrire grand nombre des puissances de 10 sont généralement utilisées.

Par exemple, l’un des dinosaures les plus anciens de la Terre vivait il y a environ 280 millions d’années. Son âge s'écrit ainsi : 2,8 \cdot 10^8 .

Tout nombre supérieur à 10 peut être écrit sous la forme \cdot 10^n , à condition que 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют vue standard Nombres.

Exemples de tels numéros : 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Vous pouvez dire à la fois « a à la nième puissance » et « nième puissance du nombre a » et « a à la nième puissance ».

4^5 - "quatre à la puissance 5" ou "4 à la puissance cinq" ou vous pouvez aussi dire "cinquième puissance de 4"

DANS dans cet exemple 4 est la base du degré, 5 est l'exposant.

Donnons maintenant un exemple avec des fractions et des nombres négatifs. Pour éviter toute confusion, il est d'usage d'écrire entre parenthèses des bases autres que les nombres naturels :

(7,38)^2 , \gauche(\frac 12 \droite)^7, (-1)^4, etc.

Notez également la différence :

(-5)^6 - signifie la puissance d'un nombre négatif −5 avec un exposant naturel de 6.

5^6 - correspond au nombre opposé 5^6.

Propriétés des degrés avec exposant naturel

Propriété de base du diplôme

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

La base reste la même, mais les exposants sont ajoutés.

Par exemple : 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Propriété des puissances quotientes de mêmes bases

a^n : a^k=a^(n-k), si n > k .

Les exposants sont soustraits, mais la base reste la même.

Cette restriction n > k est introduite afin de ne pas dépasser les exposants naturels. En effet, pour n > k l'exposant a^(n-k) sera un nombre naturel, sinon ce sera soit un nombre négatif (k< n ), либо нулем (k-n ).

Par exemple : 2^3 : 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Propriété d'élever une puissance à une puissance

(a^n)^k=a^(nk)

La base reste la même, seuls les exposants sont multipliés.

Par exemple: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Propriété d'exponentiation d'un produit

Chaque facteur est élevé à la puissance n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Par exemple: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Propriété d'exponentiation d'une fraction

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont élevés à une puissance. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Dans cet article, nous découvrirons ce que c'est puissance d'un nombre. Nous donnerons ici des définitions de la puissance d'un nombre, tandis que nous examinerons en détail tous les exposants possibles, en commençant par l'exposant naturel et en terminant par l'exposant irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes, couvrant toutes les subtilités qui se posent.

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Puissance avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons par . Pour l’avenir, disons que la définition de la puissance d’un nombre a d’exposant naturel n est donnée pour a, que nous appellerons base de diplôme, et n, que nous appellerons exposant. Nous notons également qu'un degré avec un exposant naturel est déterminé par un produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez comprendre la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance d'un nombre d'exposant naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs dont chacun est égal à a, c'est-à-dire .
En particulier, la puissance d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner tout de suite les règles de lecture des diplômes. Méthode universelle la lecture de l'entrée a n est : « a à la puissance n ». Dans certains cas, les options suivantes sont également acceptables : « a à la nième puissance » et « nième puissance de a ». Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est « huit puissance douze », ou « huit puissance douzième », ou « douzième puissance huit ».

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle mettre le nombre au carré, par exemple, 7 2 se lit comme « sept au carré » ou « le carré du nombre sept ». La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombres au cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme « cinq cubes » ou vous pouvez dire « cube du nombre 5 ».

Il est temps d'apporter exemples de degrés avec des exposants naturels. Commençons par le degré 5 7, ici 5 est la base du degré, et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et nombre naturel 9 – exposant (4.32) 9 .

Veuillez noter que dans dernier exemple La base du degré 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les divergences, nous mettrons entre parenthèses toutes les bases du degré qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des exposants naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté, nous allons montrer à ce stade la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3. L'expression (−2) 3 est une puissance de −2 avec un exposant naturel de 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour la puissance d'un nombre a avec un exposant n de la forme a^n. De plus, si n est un nombre naturel à plusieurs valeurs, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici quelques autres exemples d'écriture de diplômes en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation en degrés de la forme a n .

L’un des problèmes inverses à l’élévation à une puissance avec un exposant naturel est le problème de trouver la base de la puissance en valeur connue degré et indicateur connu. Cette tâche conduit à .

On sait que beaucoup nombres rationnels se compose de nombres entiers et fractionnaires, chacun nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons donc défini le diplôme avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, pour compléter la définition du diplôme avec indicateur rationnel, il faut donner un sens à la puissance du nombre a avec indicateur fractionnaire m/n , où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons ça.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété puissance-puissance reste valide, l’égalité doit être vérifiée . Si l'on prend en compte l'égalité résultante et la manière dont nous avons déterminé , alors il est logique de l'accepter, à condition que étant donné m, n et a, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que pour toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valides (cela a été fait dans la section propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si étant donné m, n et a l'expression a un sens, alors la puissance de a avec un exposant fractionnaire m/n est appelée la nième racine de a à la puissance m.

Cette affirmation nous rapproche de la définition d’un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire à partir de quoi m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m, n et a, il existe deux approches principales.

Le plus simple est d'imposer une contrainte sur a en prenant a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (puisque pour m≤0 le degré 0 de m n'est pas défini). Ensuite, nous obtenons définition suivante degrés avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un nombre entier et n est un nombre naturel, est appelé la nième racine du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

Également défini puissance fractionnaire zéro avec pour seul bémol que l’indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire le degré du nombre zéro avec une fraction indicateur négatif cela n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec cette définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une mise en garde : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a un sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, les entrées ont du sens ou , et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les puissances à exposant fractionnaire de la forme n’a aucun sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer un degré avec un exposant fractionnaire m/n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite condition supplémentaire: la puissance du nombre a dont l'exposant est est considérée comme la puissance du nombre a dont l'exposant est le correspondant fraction irréductible(L'importance de cette condition sera expliquée ci-dessous). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (une racine paire d'un nombre négatif n'a pas de sens) ; pour m négatif, le nombre a doit quand même être différent de zéro (sinon il y aura division) ; par zéro). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être n'importe lequel (racine degré étrange est défini pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être non nul (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous amène à cette définition d’un degré à exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un nombre naturel. Pour toute fraction réductible, le degré est remplacé par . La puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire irréductible m/n est pour

Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissons simplement le degré comme , et ne faisons pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m/n, alors nous serions confrontés à des situations similaires à la suivante : puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité doit être vraie , Mais , UN .

peut être trouvé en utilisant la multiplication. Par exemple : 5+5+5+5+5+5=5x6. Une telle expression est dite que la somme de termes égaux est repliée en un produit. Et vice versa, si l’on lit cette égalité de droite à gauche, on constate que l’on a élargi la somme des termes égaux. De même, vous pouvez réduire le produit de plusieurs facteurs égaux 5x5x5x5x5x5=5 6.

Autrement dit, au lieu de multiplier six facteurs identiques 5x5x5x5x5x5, ils écrivent 5 6 et disent « cinq puissance six ».

L'expression 5 6 est une puissance d'un nombre, où :

5 - base de diplômes;

6 - exposant.

Les actions par lesquelles le produit de facteurs égaux est réduit à une puissance sont appelées élever à une puissance.

DANS vue générale le degré avec la base "a" et l'exposant "n" s'écrit ainsi

Élever le nombre a à la puissance n signifie trouver le produit de n facteurs dont chacun est égal à a

Si la base du degré « a » est égale à 1, alors la valeur du degré pour tout n naturel sera égale à 1. Par exemple, 1 5 =1, 1 256 =1

Si vous élevez le chiffre « a » à premier degré, alors nous obtenons le nombre a lui-même : un 1 = un

Si vous augmentez un chiffre à zéro degré, puis à la suite de calculs, nous en obtenons un. un 0 = 1

Les deuxième et troisième puissances d’un nombre sont considérées comme spéciales. Ils leur ont trouvé des noms : le deuxième degré s'appelle mettre le nombre au carré, troisième - cube ce numéro.

N’importe quel nombre peut être élevé à une puissance – positive, négative ou zéro. Dans ce cas, les règles suivantes ne s'appliquent pas :

Lorsqu’on trouve la puissance d’un nombre positif, le résultat est un nombre positif.

Lors du calcul de zéro dans diplôme naturel nous obtenons zéro.

xm · xn = x m + n

par exemple : 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

À partager des diplômes avec pour les mêmes raisons On ne change pas la base, mais on soustrait les exposants :

xm / x n = x m - n , Où, m > n,

par exemple : 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Lors du calcul élever un pouvoir à un pouvoir Nous ne changeons pas la base, mais multiplions les exposants les uns par les autres.

(à m ) n = oui m n

par exemple : (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · o) n = xn · ouais ,

par exemple :(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Lors de l'exécution de calculs selon élever une fraction à une puissance nous sommes dedans ce diplôme augmenter le numérateur et le dénominateur de la fraction

(x/y)n = xn / o n

par exemple : (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3.

La séquence de calculs lorsque vous travaillez avec des expressions contenant un diplôme.

Lors de calculs d'expressions sans parenthèses, mais contenant des puissances, ils effectuent d'abord des exponentiations, puis des multiplications et des divisions, et ensuite seulement des opérations d'addition et de soustraction.

Si vous devez calculer une expression contenant des parenthèses, effectuez d'abord les calculs entre parenthèses dans l'ordre indiqué ci-dessus, puis les actions restantes dans le même ordre de gauche à droite.

Très largement dans les calculs pratiques, des tableaux de puissances prêts à l'emploi sont utilisés pour simplifier les calculs.

Une fois la puissance d'un nombre déterminée, il est logique de parler de propriétés du diplôme. Dans cet article, nous donnerons les propriétés de base de la puissance d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous fournirons des preuves de toutes les propriétés des degrés et montrerons également comment ces propriétés sont utilisées lors de la résolution d'exemples.

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Propriétés des degrés avec exposants naturels

Par définition d'une puissance à exposant naturel, la puissance a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Sur la base de cette définition, et en utilisant également propriétés de multiplication nombres réels , nous pouvons obtenir et justifier ce qui suit propriétés du degré avec exposant naturel:

la propriété principale du degré a m ·a n =a m+n, sa généralisation ;
propriété des puissances quotientes de bases identiques a m:a n =a m−n ;
propriété de puissance du produit (a·b) n =a n ·b n , son extension ;
propriété du quotient au degré naturel (a:b) n =a n:b n ;
élever un degré à une puissance (a m) n = a m·n, sa généralisation (((un n 1) n 2) …) n k =un n 1 ·n 2 ·…·n k;
comparaison du degré avec zéro :
- si a>0, alors a n>0 pour tout nombre naturel n ;
- si a=0, alors a n =0 ;
- si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть nombre impair 2 m−1 , puis un 2 m−1<0 ;
si a et b sont des nombres positifs et a
si m et n sont des nombres naturels tels que m>n , alors à 0 0 l'inégalité a m >a n est vraie.

Notons immédiatement que toutes les égalités écrites sont identique sous réserve des conditions spécifiées, leurs parties droite et gauche peuvent être échangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m ·a n =a m+n avec simplification des expressions souvent utilisé sous la forme a m+n =a m ·a n .

Examinons maintenant chacun d'eux en détail.

Commençons par la propriété du produit de deux puissances de mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie.

Montrons la propriété principale du degré. Par la définition d'une puissance avec un exposant naturel, le produit de puissances ayant les mêmes bases de la forme a m ·a n peut s'écrire comme un produit. En raison des propriétés de multiplication, l’expression résultante peut s’écrire sous la forme , et ce produit est une puissance du nombre a avec un exposant naturel m+n, c'est-à-dire a m+n. Ceci termine la preuve.

Donnons un exemple confirmant la propriété principale du diplôme. Prenons des degrés de mêmes bases 2 et puissances naturelles 2 et 3, en utilisant la propriété fondamentale des degrés on peut écrire l'égalité 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Vérifions sa validité en calculant les valeurs des expressions 2 2 · 2 3 et 2 5 . En effectuant une exponentiation, nous avons 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 et 2 5 =2·2·2·2·2=32, puisque des valeurs égales sont obtenues, alors l'égalité 2 2 ·2 3 =2 5 est correcte et confirme la propriété principale du degré.

La propriété fondamentale d'un degré basé sur les propriétés de multiplication peut être généralisée au produit de trois puissances ou plus avec les mêmes bases et exposants naturels. Donc pour tout nombre k d'entiers naturels n 1, n 2, …, n k l'égalité est vraie une n 1 ·une n 2 ·…·une n k =une n 1 +n 2 +…+n k.

Par exemple, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Nous pouvons passer à la propriété suivante des puissances avec un exposant naturel : propriété des quotients de puissances de mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n satisfaisant la condition m>n, l'égalité a m:a n = a m−n est vraie.

Avant de présenter la preuve de cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans la formulation. La condition a≠0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n =0, et lorsque nous avons pris connaissance de la division, nous avons convenu qu'on ne pouvait pas diviser par zéro. La condition m>n est introduite pour ne pas dépasser les exposants naturels. En effet, pour m>n l'exposant a m−n est un nombre naturel, sinon il sera soit zéro (ce qui arrive pour m−n) soit un nombre négatif (ce qui arrive pour m
Preuve. La propriété principale d'une fraction permet d'écrire l'égalité une m−n ·une n =une (m−n)+n =une m. De l'égalité résultante a m−n ·a n = a m et il s'ensuit que a m−n est un quotient des puissances a m et a n . Cela prouve la propriété des puissances quotientes de bases identiques.

Donnons un exemple. Prenons deux degrés de mêmes bases π et d'exposants naturels 5 et 2, l'égalité π 5 :π 2 =π 5−3 =π 3 correspond à la propriété considérée du degré.

Considérons maintenant propriété de puissance du produit: la puissance naturelle n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égale au produit des puissances a n et b n , c'est-à-dire (a·b) n = a n ·b n .

En effet, par la définition d'un degré à exposant naturel on a . Sur la base des propriétés de multiplication, le dernier produit peut être réécrit comme , qui est égal à a n · b n .

Voici un exemple : .

Cette propriété s’étend à la puissance du produit de trois facteurs ou plus. Autrement dit, la propriété de degré naturel n du produit de k facteurs s'écrit (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Pour plus de clarté, nous montrerons cette propriété avec un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons .

La propriété suivante est propriété d'un quotient en nature: le quotient des nombres réels a et b, b≠0 à la puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n, c'est-à-dire (a:b) n = a n:b n.

La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Donc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, et de l'égalité (a:b) n ·b n = a n il s'ensuit que (a:b) n est le quotient de a n divisé par b n .

Écrivons cette propriété en utilisant des nombres spécifiques comme exemple : .

Maintenant, exprimons-le propriété d'élever une puissance à une puissance: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, la puissance de a m à la puissance n est égale à la puissance du nombre a d'exposant m·n, c'est-à-dire (a m) n = a m·n.

Par exemple, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

La preuve de la propriété de puissance en degré est la chaîne d’égalités suivante : .

La propriété considérée peut être étendue de degré en degré, etc. Par exemple, pour tout nombre naturel p, q, r et s, l'égalité . Pour plus de clarté, voici un exemple avec des chiffres précis : (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Il reste à s'attarder sur les propriétés de comparaison des degrés avec un exposant naturel.

Commençons par prouver la propriété de comparer zéro et la puissance avec un exposant naturel.

Tout d’abord, prouvons que a n >0 pour tout a>0.

Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, comme cela ressort de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication suggèrent que le résultat de la multiplication d’un nombre quelconque de nombres positifs sera également un nombre positif. Et la puissance d'un nombre a d'exposant naturel n, par définition, est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Ces arguments nous permettent d'affirmer que pour toute base positive a, le degré a n est un nombre positif. En raison de la propriété prouvée 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 et .

Il est bien évident que pour tout nombre naturel n avec a=0 le degré de a n est nul. En effet, 0 n =0·0·…·0=0 . Par exemple, 0 3 =0 et 0 762 =0.

Passons à raisons négatives degrés.

Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le 2·m, où m est un nombre naturel. Alors . Car chacun des produits de la forme a·a est égal au produit des modules des nombres a et a, ce qui signifie que c'est un nombre positif. Par conséquent, le produit sera également positif et degré a 2·m. Donnons des exemples : (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 et .

Enfin, lorsque la base a est un nombre négatif et l’exposant est un nombre impair 2 m−1, alors . Tous les produits a·a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et sa multiplication par le reste nombre négatif a donne un nombre négatif. Grâce à cette propriété (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Passons à la propriété de comparer des puissances de mêmes exposants naturels, qui a la formulation suivante : de deux puissances de mêmes exposants naturels, n est inférieur à celle dont la base est plus petite, et plus grand est celle dont la base est plus grande. . Prouvons-le.

Inégalités et n propriétés des inégalités une inégalité prouvable de la forme a n est également vraie .

Il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des puissances à exposants naturels. Formulons-le. De deux puissances dont les exposants naturels et les bases positives identiques sont inférieures à une, celle dont l'exposant est le plus petit est la plus grande ; et de deux puissances à exposants naturels et à bases identiques supérieures à un, celle dont l'exposant est le plus grand est la plus grande. Passons à la preuve de cette propriété.

Montrons que pour m>n et 0 0 en raison de la condition initiale m>n, ce qui signifie qu'à 0
Reste à prouver la deuxième partie de la propriété. Montrons que pour m>n et a>1 a m >a n est vrai. La différence a m −a n après avoir retiré a n des parenthèses prend la forme a n ·(a m−n −1) . Ce produit est positif, puisque pour a>1 le degré a n est un nombre positif, et la différence a m−n −1 est un nombre positif, puisque m−n>0 du fait de la condition initiale, et pour a>1 le degré a m−n est supérieur à un . Par conséquent, a m −a n >0 et a m >a n , ce qui restait à prouver. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7 >3 2.

Propriétés des puissances à exposants entiers
Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, alors toutes les propriétés des puissances avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des puissances avec des exposants naturels répertoriées et prouvées dans le paragraphe précédent.

Nous avons défini un degré à exposant négatif entier, ainsi qu'un degré à exposant nul, de telle sorte que toutes les propriétés des degrés à exposant naturel, exprimées par des égalités, restent valables. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables aussi bien pour les exposants nuls que pour les exposants négatifs, même si, bien entendu, les bases des puissances sont différentes de zéro.

Ainsi, pour tout nombre réel et non nul a et b, ainsi que pour tout entier m et n, les éléments suivants sont vrais : propriétés des puissances à exposants entiers:

une m ·une n =une m+n ;

une m:une n =une m−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(une m) n =une m·n ;

si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a b−n ;

si m et n sont des entiers, et m>n , alors à 0 1 l'inégalité a m > a n est vraie.

Lorsque a=0, les puissances a m et a n n’ont de sens que lorsque m et n sont tous deux des entiers positifs, c’est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d’être écrites sont également valables pour les cas où a=0 et les nombres m et n sont des entiers positifs.

Prouver chacune de ces propriétés n'est pas difficile ; pour ce faire, il suffit d'utiliser les définitions des degrés à exposants naturels et entiers, ainsi que les propriétés des opérations avec des nombres réels. À titre d’exemple, prouvons que la propriété puissance-puissance est valable à la fois pour les entiers positifs et pour les entiers non positifs. Pour ce faire, vous devez montrer que si p est zéro ou un nombre naturel et q est zéro ou un nombre naturel, alors les égalités (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) et (une −p) −q =une (−p)·(−q). Faisons ça.

Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q = a p·q a été prouvée dans le paragraphe précédent. Si p=0, alors nous avons (a 0) q =1 q =1 et a 0·q =a 0 =1, d'où (a 0) q =a 0·q. De même, si q=0, alors (a p) 0 =1 et a p·0 =a 0 =1, d'où (a p) 0 =a p·0. Si p=0 et q=0, alors (a 0) 0 =1 0 =1 et a 0·0 =a 0 =1, d'où (a 0) 0 =a 0·0.

Nous prouvons maintenant que (a −p) q =a (−p)·q . Par définition d'une puissance avec un exposant entier négatif, alors . Par la propriété des quotients aux puissances on a . Puisque 1 p =1·1·…·1=1 et , alors . La dernière expression, par définition, est une puissance de la forme a −(p·q), qui, grâce aux règles de multiplication, peut s'écrire a (−p)·q.

De même .

ET .

En utilisant le même principe, vous pouvez prouver toutes les autres propriétés d'un degré avec un exposant entier, écrit sous forme d'égalités.

Dans l’avant-dernière des propriétés enregistrées, il convient de s’attarder sur la preuve de l’inégalité a −n >b −n, qui est valable pour tout entier négatif −n et tout a et b positifs pour lesquels la condition a est satisfaite. . Puisque par condition un 0 . Le produit a n · b n est également positif en tant que produit des nombres positifs a n et b n . Alors la fraction résultante est positive comme le quotient des nombres positifs b n −a n et a n ·b n . Par conséquent, d’où a −n >b −n , ce qui devait être prouvé.

La dernière propriété des puissances à exposants entiers se prouve de la même manière qu’une propriété similaire des puissances à exposants naturels.

Propriétés des puissances avec exposants rationnels

Nous avons défini un degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d’autres termes, les puissances à exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les puissances à exposants entiers. À savoir:

La preuve des propriétés des degrés à exposant fractionnaire repose sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Donnons-en la preuve.

Par définition d'une puissance avec un exposant fractionnaire et , alors . Les propriétés de la racine arithmétique permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété d'un degré à exposant entier, on obtient , d'où, par la définition d'un degré à exposant fractionnaire, on a , et l'indicateur du diplôme obtenu peut être transformé comme suit : . Ceci termine la preuve.

La deuxième propriété des puissances à exposants fractionnaires se prouve d'une manière absolument similaire :

Les égalités restantes sont prouvées en utilisant des principes similaires :

Passons à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout a et b positifs, a bp. Écrivons le nombre rationnel p sous la forme m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Conditionsp<0 и p>0 dans ce cas les conditions m<0 и m>0 en conséquence. Pour m>0 et a
De même, pour m<0 имеем a m >b m , d'où, c'est-à-dire, et a p >b p .

Reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées. Montrons que pour les nombres rationnels p et q, p>q en 0 0 – inégalité a p >a q . Nous pouvons toujours réduire les nombres rationnels p et q à un dénominateur commun, même si nous obtenons des fractions ordinaires et , où m 1 et m 2 sont des nombres entiers et n est un nombre naturel. Dans ce cas, la condition p>q correspondra à la condition m 1 >m 2 qui en découle. Ensuite, par la propriété de comparer des puissances de mêmes bases et exposants naturels à 0 1 – inégalité une m 1 >une m 2 . Ces inégalités dans les propriétés des racines peuvent être réécrites en conséquence comme Et . Et la définition d'un degré avec un exposant rationnel permet de passer aux inégalités et, en conséquence. De là, nous tirons la conclusion finale : pour p>q et 0 0 – inégalité a p >a q .

Propriétés des puissances à exposants irrationnels

De la manière dont un degré à exposant irrationnel est défini, nous pouvons conclure qu'il possède toutes les propriétés des degrés à exposant rationnel. Donc, pour tout a>0, b>0 et nombres irrationnels p et q, ce qui suit est vrai propriétés des puissances avec des exposants irrationnels:

a p ·a q =a p+q ;

une p:une q =une p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q =a p·q ;

pour tout nombre positif a et b, a 0 l'inégalité a p b p ;

pour les nombres irrationnels p et q, p>q à 0 0 – inégalité a p >a q .

De cela, nous pouvons conclure que les puissances avec n’importe quel exposant réel p et q pour a>0 ont les mêmes propriétés.

Références.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manuel de mathématiques pour la 5ème année. établissements d'enseignement.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 7e année. établissements d'enseignement.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. établissements d'enseignement.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 9e année. établissements d'enseignement.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.

Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).