Exponentiation en ligne. Qu'est-ce que la puissance naturelle d'un nombre ? Extension de la série de puissance

Décrire e comme « une constante approximativement égale à 2,71828... » revient à appeler pi « un nombre irrationnel approximativement égal à 3,1415... ». C’est sans doute vrai, mais cela nous échappe encore.

Pi est le rapport de la circonférence au diamètre, le même pour tous les cercles. Il s'agit d'une proportion fondamentale commune à tous les cercles et intervient donc dans le calcul de la circonférence, de l'aire, du volume et de la surface des cercles, sphères, cylindres, etc. Pi montre que tous les cercles sont connectés, sans parler fonctions trigonométriques, dérivé de cercles (sinus, cosinus, tangente).

Le nombre e est le taux de croissance de base pour tous les processus en croissance continue. Le nombre e permet de prendre un taux de croissance simple (où la différence n'est visible qu'à la fin de l'année) et de calculer les composantes de cet indicateur, la croissance normale, dans laquelle à chaque nanoseconde (ou même plus vite) tout grandit un peu plus.

Le nombre e intervient dans les deux systèmes à croissance exponentielle et constante : population, désintégration radioactive, calcul des intérêts, et bien d’autres encore. Même les systèmes d'étapes qui ne grandissent pas uniformément peuvent être approximés à l'aide du nombre e.

Tout comme n'importe quel nombre peut être considéré comme une version « à l'échelle » de 1 (l'unité de base), n'importe quel cercle peut être considéré comme une version « à l'échelle » cercle unitaire(avec rayon 1). Et tout facteur de croissance peut être considéré comme une version « à l’échelle » de e (le facteur de croissance « unitaire »).

Le nombre e n’est donc pas un nombre aléatoire pris au hasard. Le nombre e incarne l’idée selon laquelle tous les systèmes en croissance continue sont des versions mises à l’échelle de la même métrique.

Concept de croissance exponentielle

Commençons par examiner le système de base qui double pendant une certaine période de temps. Par exemple:

• Les bactéries se divisent et « doublent » en nombre toutes les 24 heures
• Nous obtenons deux fois plus de nouilles si nous les cassons en deux
• Votre argent double chaque année si vous réalisez 100 % de profit (chanceux !)

Et cela ressemble à ceci :

Diviser par deux ou doubler est une progression très simple. Bien sûr, nous pouvons tripler ou quadrupler, mais le doublement est plus pratique pour l’explication.

Mathématiquement, si nous avons x divisions, nous nous retrouvons avec 2^x fois plus de bien qu'au départ. Si une seule partition est créée, nous en obtenons 2 ^ 1 fois plus. S'il y a 4 partitions, nous obtenons 2 ^ 4 = 16 parties. Formule généraleça ressemble à ça :

hauteur= 2x

Autrement dit, un doublement équivaut à une augmentation de 100 %. On peut réécrire cette formule comme ceci :

hauteur= (1+100%)x

C'est la même égalité, nous venons de diviser « 2 » en ses éléments constitutifs, qui est essentiellement ce nombre : valeur initiale(1) majoré de 100 %. Intelligent, non ?

Bien entendu, nous pouvons substituer n'importe quel autre nombre (50 %, 25 %, 200 %) au lieu de 100 % et obtenir la formule de croissance de ce nouveau coefficient. La formule générale pour x périodes de la série chronologique sera :

hauteur = (1+augmenter)x

Cela signifie simplement que nous utilisons le taux de retour, (1 + gain), « x » fois de suite.

Regardons de plus près

Notre formule suppose que la croissance se produit par étapes discrètes. Nos bactéries attendent et attendent, et puis bam ! dernière minute ils doublent en nombre. Notre bénéfice sur les intérêts du dépôt apparaît comme par magie exactement après 1 an. Sur la base de la formule écrite ci-dessus, les bénéfices augmentent par étapes. Des points verts apparaissent soudainement.

Mais le monde n’est pas toujours ainsi. Si nous zoomons, nous constatons que nos amis les bactéries se divisent constamment :

Le garçon vert ne surgit pas de rien : il grandit lentement à partir du parent bleu. Après 1 période (24 heures dans notre cas), l'ami vert est déjà bien mûr. Ayant mûri, il devient un membre bleu à part entière du troupeau et peut créer lui-même de nouvelles cellules vertes.

Cette information changera-t-elle notre équation d’une manière ou d’une autre ?

Non. Dans le cas des bactéries, les cellules vertes à moitié formées ne peuvent rien faire jusqu'à ce qu'elles grandissent et se séparent complètement de leurs parents bleus. L'équation est donc correcte.

Exposant (numéro e) - nombre irrationnel, approximativement égal à 2,71828. Le nombre e joue un grand rôle dans le différentiel et calcul intégral et est utilisé dans presque tous domaines scientifiques. Si sec définition mathématique ne révèle pas du tout l'essence sens physique exposants. Regardons de plus près.

La signification du nombre e

Le nombre Pi n’est pas seulement un nombre irrationnel égal à 3,1415, mais le même rapport circonférence/diamètre dans tous les cas. De la même manière, le nombre e a sa propre signification.

L'exponentielle est la relation de croissance de base pour tous les processus de croissance. N'importe quel nombre peut être considéré comme une unité à l'échelle, n'importe quel carré comme une unité à l'échelle carré unitaire, n'importe lequel triangle équilatéral- en augmentation ou en diminution triangle régulier, eh bien, tout coefficient de croissance peut être représenté comme un coefficient échelonné e.

Ce sont les opérations portant le numéro e qui vous permettront de déterminer le taux de croissance dans des situations telles que la croissance démographique, l'accumulation des intérêts sur un dépôt ou la demi-vie d'une substance radioactive.

Croissance discrète

Comme exemple de base Les systèmes de doublement continus peuvent conduire à la prolifération de bactéries qui doublent chaque jour. Si le doublement se produit une fois, alors mathématiquement nous obtenons 2 à la puissance première, c'est-à-dire juste 2. S'il double x fois, alors à la fin nous obtenons 2 à la puissance x bactéries, argent ou tout autre bien.

Cependant, le système ne peut pas changer de 2 fois, mais par exemple de 20 % ou 120 %. Dans ce cas, nous pouvons penser au double non pas comme deux, mais comme 1+1 ou 1+100 %. Dans un tel enregistrement, nous pouvons substituer n'importe quel coefficient de croissance et obtenir la formule de croissance comme suit :

Croissance = (1 + croissance) x,

où x est le nombre de cycles d'incrémentation.

Grâce à cette formule, nous pouvons savoir combien de bactéries nous obtiendrons dans une cellule après 30 jours. Cependant, les bactéries se divisent discrètement, c'est-à-dire pendant que nouvelle cellule ne se forme pas dans les 24 heures, il ne pourra pas produire de nouveaux organismes. En appliquant cette formule à l’argent, on obtient un résultat complètement différent.

Croissance continue

Lorsque les intérêts sont calculés sur l’argent, il ne s’agit pas d’une croissance discrète, mais continue. Dès qu'un bénéfice de quelques centimes est accumulé sur le dépôt, cet argent commence à générer des bénéfices. Il n'est pas nécessaire d'attendre qu'un dollar entier « naisse », qui commencera à se diviser à l'image de bactéries. Il suffit qu'un centime se forme, qui commencera à générer son propre micro-bénéfice.

Imaginons que nous investissions 1 $ dans une entreprise qui nous promet 100 % de profit en un an. Cela signifie que nous obtiendrons une augmentation :

Revenu = (1 + 1) 1 = 2

Seulement 2 $ – pas beaucoup. Cependant, si nous divisons l’année en deux semestres, nous obtenons 50 centimes pour chaque semestre. Les centimes reçus peuvent déjà générer à eux seuls des bénéfices, et alors la formule va changer.

Revenu = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Comme nous disposons désormais de deux périodes de doublement, nous avons égalisé l’augmentation et obtenu 25 centimes de revenu supplémentaires. Si nous divisons notre bénéfice en 5 parties de 20 centimes chacune, cela s'avérera encore plus attractif :

Revenu = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Peut-être que nous pouvons partager les bénéfices indéfiniment grand nombre de petites pièces et obtenir des profits infinis ? Hélas, non. Même si nous divisons notre dollar en 100 000 parties, le revenu sera :

Revenu = (1 + 0,00001) 100 000 = 2,71826

Avec le fractionnement sans fin du dollar, les profits augmenteront de cent mille décimales. Notre bénéfice de 2,71826 $ tendra vers la valeur de 2,718281828, qui n'est rien de plus que le nombre E.

Et qu'est-ce que tout cela signifie

L'exponentielle est le résultat le plus élevé possible d'une croissance continue de 100 % sur une période de temps spécifique. Oui, au départ on nous promet 100% de profit, soit seulement 2$, mais chaque centime rapporte des dividendes et au final nous avons exactement 2,71828$ de profit. Le nombre e est le maximum que l’on peut obtenir en divisant le profit en sommes de quantités infinitésimales.

Cela signifie que si nous investissons 1 $ dans l’entreprise avec un profit potentiel de 100 %, nous recevrons 2 718 $ de bénéfice net. Si 2 $, alors nous recevrons 2x le bénéfice net, et si 100 $, alors notre bénéfice sera de 100x. Ainsi, e est une constante limite qui limite les processus de croissance de la même manière que la vitesse de la lumière limite le mouvement de l'information dans l'espace. Le nombre e est le résultat maximum possible, ce qui est difficile à atteindre dans la pratique, donc en réalité de nombreux processus sont décrits à l'aide de parties de l'exposant.

Utiliser l'exposant en pratique

À première vue, la croissance est représentée comme une augmentation de 1 %, mais mathématiquement, une telle augmentation est exprimée par une multiplication par 1,01. Ainsi, lorsque nous effectuons des opérations avec le nombre e, nous utilisons des puissances ou des racines. Ou logarithmes naturels, si nous avons besoin opération inverse. Quel que soit le facteur de croissance que nous prenons, cela signifiera la puissance du nombre e. Par exemple, si nous savons que dans 3 ans nous obtiendrons un bénéfice de 200 %, alors nous multiplions simplement la croissance (e 2) par 3 périodes et obtenons :

Croissance = (e 3) 2 = e 6

Pour une meilleure compréhension, regardons des exemples.

Dépôt bancaire

Disons que nous déposons 100 $ dans une banque à un taux annuel de 8 %. La banque sélectionnée nous propose une capitalisation intégrale des intérêts, quel bénéfice obtiendrons-nous dans 5 ans ? Puisque la banque nous assure une croissance continue de l'argent, dans 5 ans notre compte aura déjà :

Bénéfice = 100 × e (0,08 × 5) = 149,1

Incroyable, non ? Malheureusement, les vraies banques utilisent rarement intérêts composés, et s'ils calculent la capitalisation, alors selon leurs propres formules, qui sont quelque peu différentes de l'exponentielle classique.

Demi-vie

Imaginez que vous avez 5 kg uranium radioactif, qui se désintègre à un rythme de 100 % par an. Combien d’uranium vous restera-t-il après 2 ans ? En théorie, tout l’uranium devrait se désintégrer au cours de la première année, mais ce n’est pas le cas. Après 6 mois, il ne vous restera plus que 2,5 kg d’uranium, qui à son tour commencera à se désintégrer au rythme de seulement 2,5 kg par an. Après quelques mois, il restera 1 kg d'uranium dans votre stockage, mais il se désintégrera à un rythme encore plus faible, soit 1 kg par an. Au fil du temps, vous perdez du combustible radioactif et le taux de désintégration diminue. Ainsi, après 2 ans vous aurez :

Résidu radioactif = 5 × e−2 = 0,676

Conclusion

L'exponentielle est largement utilisée dans les situations où quelque chose croît de manière continue ou discrète. Vous pouvez utiliser le calculateur de puissance électronique pour calculer les résultats de croissance de tout processus continu.

Comprend une fonction aussi utile pour beaucoup qu'un calculateur de diplômes. Avec son aide, élever un nombre à une puissance est aussi simple que décortiquer des poires, saisir une expression et obtenir le résultat. La calculatrice produit exponentiation en ligne, comme toutes les autres fonctions, directement sur notre site Internet.

Comment élever un nombre à une puissance dans une calculatrice ?

L'exponentiation est l'action de multiplier un nombre par lui-même n fois, où le nombre x y est la puissance, x est la base de la puissance, y=n est l'exposant. Pour mettre la calculatrice sous tension, utilisez les boutons appropriés du panneau de commande. Si tu as besoin de plus informations détaillées pour travailler avec le panneau numérique de la calculatrice, allez à la page.

La fonction d'élévation à la puissance dans la calculatrice est représentée par cinq boutons : mise au carré, élévation au cube, élévation à la puissance n n'importe quel numéro, élevant à la puissance de base égale à 10 et élevant à la puissance de l'exposant.

Boutons de la calculatrice responsables de l'exponentiation :

Mise au carré et au cube

La première puissance d’un nombre est le nombre lui-même. Tout nombre à la puissance zéro est égal à 1. Le carré est la deuxième puissance, le cube est la troisième. Le carré d'un nombre a toujours valeur positive, à l'exception du carré des nombres complexes.

Ces boutons de calculatrice permettent de saisir facilement l'opération : x 2 - quadrature, x 3 - cube. En un clic, une entrée comme ^2 ou ^3 est insérée dans le champ de saisie.

Exemple de quadrature et de cube :

Élever à la puissance n

Notre calculateur en ligne l'exponentiation est indiquée par l'entrée habituelle « à deux étages » sur l'écran, mais dans le champ de saisie de l'expression, vous devez bien sûr utiliser le circonflexe.

Exemple d'élévation des nombres aux puissances :

Calcul des puissances de 10

Cliquer sur ce bouton insère un enregistrement du type : 10^() dans le champ de saisie, c'est-à-dire La base de la puissance s'écrit sous la forme du nombre 10. Il est pratique à utiliser lorsque vous devez écrire l'élévation du nombre 10 à une certaine puissance.

Un exemple de comment trouver la puissance de 10 :

Exposant au pouvoir

En cliquant sur le bouton, vous verrez l'entrée exp() dans la ligne. Pour calculer le nombre e à la puissance, vous devez élever le nombre d'Euler à la puissance e x = exp(x). Qui souhaite savoir ce qu’est le nombre e : sa valeur est 2,71828182845905.

Un exemple de comment élever e à une puissance :

Élever à une puissance fractionnaire

Disons que nous nous intéressons à la puissance fractionnaire du nombre x y1/y2. Puisque élever à une puissance est le contraire de prendre la racine, le calcul revient à trouver la racine du degré y2 du nombre x à la puissance y1. Si la valeur de y2 est paire, alors puissance fractionnaire ne peut être calculé qu'avec une base positive, puisque la racine d'un nombre négatif n'existe pas et la calculatrice en situation similaire vous donnera une erreur!

Lors de l'élévation à une puissance fractionnaire, n'oubliez pas de fermer la base entre parenthèses, sinon le dénominateur de la fraction en exposant ira dans le dénominateur de la base !

Cet exemple montre comment augmenter des fractions sur une calculatrice :

Notre calculateur en ligne vous permet d'augmenter à la fois le positif et le degré négatif. À valeur négative indicateur, la base doit prendre la forme (1/x), c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur de la base du degré doivent changer de place et ce n'est qu'après cela que la construction peut commencer. La calculatrice vous permet d'élever automatiquement un nombre à une puissance négative, en omettant toutes les transformations intermédiaires et en donnant immédiatement la réponse finale.

Lorsqu'on élève toutes sortes de fonctions, y compris les fonctions trigonométriques, à une puissance négative, le calculateur en ligne prend automatiquement en compte leur parité paire/impaire selon la règle des signes.

Cet exemple montre comment élever à une puissance négative sur une calculatrice :

La calculatrice calculera également un nombre fractionnaire en puissance.

Élever une fraction à une puissance à l'aide d'une calculatrice :

Élever une racine à une puissance à l'aide d'une calculatrice :

Toutes les fonctions de notre calculatrice gratuite sont rassemblées dans une seule section.

Exponentiation en ligne a été modifié pour la dernière fois : 3 mars 2016 par Administrateur

La calculatrice vous aide à élever rapidement un nombre à une puissance en ligne. La base du degré peut être n’importe quel nombre (entiers et réels). L'exposant peut également être un nombre entier ou réel, et peut également être positif ou négatif. Il faut rappeler que pour nombres négatifs L'augmentation à une puissance non entière n'est pas définie et la calculatrice signalera donc une erreur si vous la tentez.

Calculateur de diplôme

Accèder au pouvoir

Exponentiations : 24601

Qu'est-ce que la puissance naturelle d'un nombre ?

Le nombre p est appelé la puissance n d'un nombre si p est égal au nombre a multiplié par lui-même n fois : p = a n = a·...·a
n - appelé exposant, et le nombre a est base de diplôme.

Comment élever un nombre à une puissance naturelle ?

Comprendre comment construire différents numéros aux pouvoirs naturels, considérons quelques exemples :

Exemple 1. Élevez le nombre trois à la puissance quatrième. C'est-à-dire qu'il faut calculer 3 4
Solution: comme mentionné ci-dessus, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Répondre: 3 4 = 81 .

Exemple 2. Élevez le nombre cinq à la puissance cinquième. C'est-à-dire qu'il faut calculer 5 5
Solution: de même, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Répondre: 5 5 = 3125 .

Ainsi, pour élever un nombre à une puissance naturelle, il suffit de le multiplier par lui-même n fois.

Qu'est-ce qu'une puissance négative d'un nombre ?

Dans ce cas, une puissance négative n’existe que pour les nombres non nuls, sinon une division par zéro se produirait.

Comment élever un nombre à une puissance entière négative ?

Pour élever un nombre non nul à une puissance négative, vous devez calculer la valeur de ce nombre de la même manière degré positif et divisez-en un par le résultat.

Exemple 1. Élevez le nombre deux à la puissance moins quatrième. Autrement dit, vous devez calculer 2 -4

Répondre: 2 -4 = 0.0625 .