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6.2.1. Formules de Cubature basées sur la réduction d'une intégrale multiple en une intégrale répétée

Intégration répétée sur un domaine rectangulaire Intégrales sur un trapèze courbe

Réintégration sur une zone rectangulaire

Comme on le sait au cours de l'analyse, le calcul d'intégrales multiples peut être effectué par calcul répété d'intégrales uniques. Par conséquent, comme indiqué ci-dessus, l’un des moyens les plus simples d’obtenir des formules pour le calcul approximatif d’intégrales multiples consiste à réutiliser les formules en quadrature que nous avons obtenues précédemment pour calculer des intégrales simples.

Illustrons cela avec l'exemple du calcul double intégrale par rectangle :

En utilisant la formule de quadrature des rectangles moyens pour calculer l’intégrale extérieure, on peut écrire :

Ayant maintenant calculé l’intégrale restante également en utilisant la formule des rectangles moyens, on obtient finalement :

Partie III. Matériel théorique

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Comme autres exemples, considérons des variantes de formules de cubature obtenues sur la base de l'utilisation d'autres variantes bien connues de formules de quadrature lors d'intégrations répétées.

∙ Formule de Cubature pour les trapèzes :

= ∫ ∫ (,) ≈− ∫ (,) +∫ (,) ≈

≈ − 2 ·[ − 2 ((,) + (,)) +− 2 ((,) + (,))] ≈

≈ 4 · [ (,) + (,) + (,) + (,)] .

∙ Formule cubique de Simpson:

Régime général la construction du type spécifié de formules de cubature peut être obtenue en utilisant des formules d'interpolation répétées. Par exemple, en utilisant la représentation du correspondant polynôme d'interpolation sous forme de Lagrange

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Intégrales sur un trapèze courbe

Considérons maintenant le cas où le domaine d'intégration Ω n'est pas un rectangle, mais satisfait aux conditions dans lesquelles la réduction à une intégrale itérée peut être effectuée sans la diviser en sous-domaines (pour cela il suffit que le contour du domaine coupe lignes droites parallèles aux axes de coordonnées uniquement en deux points) .

Le choix de la règle de calcul de l'intégrale doit donc être cohérent avec les propriétés de la fonction (,) et, d'autre part, avec les propriétés du domaine d'intégration Ω.

Si nous supposons que (,) est suffisamment lisse partout dans Ω, alors l'intégrale () peut être calculée en utilisant l'une des règles bien connues à poids constant, par exemple la règle de Gauss, Simpson, etc. La forme de la région n'affecte que les limites d'intégration 1() et 2(). Un segment peut être réduit à un segment canonique, par exemple à un segment utilisant la substitution

1 () + (2 () −1 ()) . Alors

() = (2 () −1 ()) (,1 () + (2 () −1 ())) = (2 () −1 ()) Φ () .

Le facteur2 ()−1 () séparé dans l'intégrale = ∫ () est une fonction de poids naturelle. Par conséquent, lors du calcul de l'intégrale =∫ (2 () −1 ()) Φ (), vous pouvez utiliser n'importe quelle formule en quadrature construite pour le poids () =2 () −1 (), par exemple, la formule en quadrature du le plus élevé diplôme algébrique précision.

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Il n’est probablement pas raisonnable de faire un compte rendu aussi complet de la forme de la région, puisque chaque région Ω aura son propre poids () et il faudrait donc utiliser grand nombre nœuds et coefficients.

Vous pouvez simplifier le problème en vous basant sur les considérations simples suivantes. Considérons deux fonctions de poids qui diffèrent l'une de l'autre par un facteur suffisamment lisse (), qui ne disparaît pas sur le segment d'intégration [ , ] : () = () (). Il faut alors s'attendre à ce que les formules de quadrature correspondant à ces deux fonctions de poids () et () soient proches en précision.

UN maintenant rappelons-nousFonction de poids de Jacobi() = (−) (−) . Cela dépend de deux paramètres

et et ils peuvent souvent être sélectionnés de telle manière que le rapport

était limité au-dessus et au-dessous nombres positifs. Dans ce cas, vous pouvez utiliser le poids de Jacobi en transformant l'intégrale sous la forme

= (−) (−) () .

Par exemple, si la région d'intégration a la forme illustrée à la figure 6.5 et que le contour de la

peut être calculé à l'aide des formules (6.60), (6.61).

De même, si la région d'intégration a la forme illustrée à la figure 6.6 et que le contour

a un contact avec les droites = et = du premier ordre, alors on peut prendre la fonction poids

() = (−) (−), et au calcul de l'intégrale

= (−) (−) · ()

appliquer également les formules (6.60), (6.61).

La principale façon de calculer une intégrale multiple consiste à intégrer séquentiellement chacune des variables.

Surface plate D gentil

Où et sont continus sur [ un, b] fonction, nous l'appelons correcte dans la direction de l'axe Oy(Fig. 25). Supposons que la fonction F(X, oui) est continu dans une telle région D. Pour tout fixe X = X 0 , considérons la fonction F(X 0 , oui) à partir d'une variable oui, continue sur le segment . Pour elle, il y a Intégrale définie. Cette intégrale dépend bien sûr du point X 0 . Notons-le . On peut montrer que la fonction définie sur l'intervalle [ un, b], est continu dessus. L’intégrale de cette fonction s’appelle intégrale itérée de la fonction F(X, oui) par région D , et est noté

.

Théorème 2. Si la fonction F(X, oui) est continue dans la région , alors

,

ceux. une intégrale double est égale à une intégrale répétée. Ainsi, pour calculer l’intégrale double le long de la direction correcte de l’axe Oy la zone devrait d'abord, en comptant X constante, intégrer la fonction sur la variable oui, puis intégrer la fonction résultante de la variable X. Notez que si les limites de l'intégrale externe sont constantes, alors dans l'intégrale interne, elles dépendent généralement de X.

Si la zone D corriger dans le sens de l'axe Bœuf: , alors l'intégrale double est égale à l'intégrale itérée .

Exemple 1. Calculer l'intégrale double d'une fonction sur un domaine fini D, délimité par une parabole et une droite oui= 1 (Fig. 26).

Solution. Nous avons:

C'est pourquoi .

Si vous devez calculer l'intégrale sur une région qui n'est régulière ni dans la direction de l'axe Bœuf, ni dans la direction de l'axe Oy, nous devons essayer de diviser la région en un nombre fini de parties, dont chacune sera déjà correcte dans le sens de n'importe quel axe de coordonnées(Fig. 27). Si cela peut être fait, alors, en raison de l'additivité de l'intégrale, le calcul de cette intégrale sera réduit au calcul d'intégrales sur les parties indiquées, dont chacune peut être représentée sous la forme d'une répétition.

Passons maintenant à la question du calcul de la triple intégrale.

Une région tridimensionnelle est dite correcte par rapport à l'axe Oz g gentil

Où j Et oui– continu en limité zone fermée D avion xOy fonctions (Fig. 28). Supposons que la fonction F(X, oui, z) est continu dans une telle région g. Après avoir fixé le point de manière arbitraire, considérons une fonction d'une variable z, en continu sur le segment . Prenons une intégrale définie de cette fonction (il existe du fait de la continuité de la fonction). Cette intégrale dépend du point ( X 0 , oui 0). Notons-le . Défini sur D une fonction de deux variables s'avère continue sur D. L'intégrale s'appelle intégrale itérée et désigne . Pour les intégrales triples, une affirmation similaire au théorème 2 est valable : si la fonction F(X, oui, z) est continue dans la région , alors

,

ceux. l'intégrale triple est égale à l'intégrale répétée.

Ainsi, pour calculer l'intégrale triple sur une région correcte dans la direction de l'axe Oz, suit en premier, en comptant X Et oui constantes, intégrer sur la variable z, puis à partir de la fonction résultante des variables X Et oui prendre l'intégrale double sur la projection du domaine sur le plan xOy.

puis, en écrivant la double intégrale sur la zone D sous forme répétée, nous aurons :

.

Si on note par E(X 0) section de la zone g avion X = X 0 , , donc, combinant dans l'intégrale de droite deux intégrations internes sur variables oui Et z, on obtient la formule :

.

Comme vous pouvez le voir, pour une intégrale triple, il existe deux façons de la réduire à une intégrale itérée.

Dans un cas particulier, on obtient des formules pour trouver le volume V région g.

Laisser y=F(X) fonctionner avec le domaine D(f) et laisser S - sous-ensemble dans D(f) (c'est-à-dire S est une partie de D(f). Point UN fait parti S appelé le point conditionnel fonction minimaleF, s'il existe un voisinage du point A tel que pour tout point B situé simultanément à la fois dans ce voisinage du point A et dans l'ensemble S, l'inégalité est vraie F(UN)F(B).

De même, pointez UN fait parti S appelé un point maximum conditionnel de la fonctionF, s'il existe un tel voisinage d'un point UN, que pour tout point B situé dans ce voisinage et dans S, l'inégalité est vraie F(UN)>= F(B).

Nom général des minimums et maximums conditionnels - les extrêmes conditionnels.

^ 47. Méthode Lagrange.

Laissez les fonctionsFEtg 1 … g s sont définis et ont des dérivées partielles continues au voisinage du point x* et des vecteurs

linéairement indépendant. Alors si x* est un point conditionnel extrême les fonctionsFsous conditions

alors il y a des nombres ʎ 1 …ʎ s Pour quiX* - point stationnaire les fonctions

Fonction L appelé fonction de Lagrange, et les chiffres Multiplicateurs de Lagrange.
^ 48. Les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un ensemble fermé et borné.

Un tas de S appelé limité, s'il est contenu à l'intérieur d'un cercle (pour un ensemble dans le plan) ou à l'intérieur d'une boule (pour un ensemble dans l'espace) ayant suffisamment grand rayon. L'ensemble s'appelle fermé, s'il comprend tous ses points limites.

Une propriété importante des fonctions continues est la suivante.

Laisser z= F(X,u) - fonction continue, un S - fermé et ensemble limité, se situant dans le domaine de définition de la fonction f. Alors VSil y a des points auxquels la fonction prend ses valeurs maximales et minimales, l'ensemble des valeurs est un segment.
^ 49. Intégrales multiples et leurs propriétés. Conditions d'intégrabilité d'une fonction.

Définition. Si existe limite finale sommes intégrales pour ʎ->0 alors la fonction F(X; oui) appelé intégrable dans la zone D.

propriétés de la double intégrale.

1. Si la fonction F(X; oui) intégrable dans les zones D, alors pour n'importe quel nombre À fonction kf(X; oui) s'intègre également dans D Et

2. Si les fonctions F(X; oui) Et g(X; oui) intégré dans les zones D, alors leur somme algébriqueégalement intégrable dans ce domaine et

3. Si les fonctions F(X; oui) Et g(X; oui) intégré dans les zones D Et F(X; y) g(X; y) en tous points D, Que

4. Si la fonction F(X; oui) est borné sur un ensemble Г d’aire nulle, alors

5. ^ Propriété d'additivité de l'intégrale. Si le domaine d'intégration D peut être divisé en deux parties D 1 et D 2, qui n'ont pas de commun points internes, de sorte que D=D 1 est l'union de D 2 , et F(X; oui) s'intègre dans D 1 Et D 2 , puis dans la région D cette fonction est également intégrable, et

6. Théorème Ô moyenne Si la fonction F(X; oui) continu dans la région D, alors dans cette région il y a un tel point (ξ, ς ) , Quoi

^Si fonctionF(X, y)défini et continu dans le rectangle P = (un=x= b, c= d), alors il y a une double intégraleP.
Laisserg- zone limitée,F- fonction limitée surg,G- fusion des frontièresget des ensembles de points d'arrêtFsurg. Supposons que la zonegégal à zéro. Alors

il y a une intégraleg

^ 50. Réduction d'une intégrale multiple à une intégrale itérée.

Si la fonctionF(X, oui) est intégrable dans le domaineget pour tout x fixe de [a,b] il y a une intégrale la formule est valable

^ 51. Formule pour changer les variables dans une double intégrale. Utiliser les coordonnées polaires pour calculer des intégrales doubles.

DANS coordonnées polaires:

^ 52. Applications géométriques intégrales doubles : calcul des aires chiffres plats et les volumes des corps spatiaux.

Définition. S'il existe une limite finie des sommes intégrales pour ʎ->0 alors la fonction F(X; oui) appelé intégrable dans la zone D. La valeur de cette limite est appelée intégrale double sur la région D.

^ Signification géométrique double intégrale.

Considérons une fonction continue non négative z = F(X; oui)>=0 pour toute valeur (x,y) appartenant à D. Son graphique sera une surface dans l'espace OXYZ. Alors la double intégrale D représente le volume d'un corps cylindrique droit limité en dessous par la région D, et au-dessus de la surface z= F(X; oui).

Si l'intégrande F(X; oui) identiquement égal à un dans la région D, alors la valeur de l'intégrale double coïncide avec l'aire de la région d'intégration :

^ 53. Intégrales multiples incorrectes. Intégrale d'Euler-Poisson.

LaisserGSR 2 - numéro illimité,F(X, y)- une fonction intégrable sur n'importe quel sous-ensemble deggentilg∩ D, OùD- un ensemble borné avec une frontière d'aire nulle. Si pour toute famille admissible{ D t } limite

existe et ne dépend pas du choix de la famille{ D t }, ensuite ceci

la limite est indiquéeg et s'appelleintégrale double impropre depuisFPar g.
^ 54. Séries de numéros.

Définition.Soit une séquence de nombres 1 ,UN 2 , UN 3 …. un n . Expression de la forme

appeléséries de nombres, ou simplementprès.

Nombres UN 1 ,UN 2 , UN 3 ,…. un n appelé membres de la série nombre UN P. avec chambre partagée P. appelé membre commun de la série.

Les montants nombre fini premiers membres de la série

appelé sommes partielles d'une série. Puisque le nombre de termes de la série est infini, les sommes partielles forment séquence de nombres

^ 55. Séquence montants partiels. Somme de la série. Série convergente.

Donnons une séquence nombres réels UN P.. Ensuite le montant nombre infini membres de cette séquence

appelé séries de nombres, et le numéro UN P. (n = 1,2,...) - membre de la série. Si un membre de la série UN P. présenté comme une fonction, un argument naturel UN P. = F (P), alors on l'appelle membre commun de la série. Dans le même temps, le montant S n = un 1 + UN 2 +...+ UN P. d'abord P. les membres de la série sont appelés le nième montant partiel. Nous pouvons donc former nouvelle séquence- séquence de sommes partielles S 1 = un 1 , S 2 = un 1 + un 2 , S 3 = un 1 + un 2 + un 3 , S n = un 1 + un 2 +...+un n . Si cette suite a une limite finie S = lim S n quand n ->infinité, alors la série de nombres est appelée similaireen cours et le numéro S- la somme de la série. Sinon la série s'appelle divergent.
^ 56. Propriétés des séries convergentes.

1. Si la série (l) converge, alors toute série obtenue en écartant un nombre fini de termes converge également. Rangée

obtenu en rejetant le premier

P. termes de la somme (l) est appelé n-m reste rangée. Ainsi, la série (l) et n'importe lequel de ses restes convergent ou divergent simultanément.

2. Si chaque membre d'une série convergente (l), dont la somme est égale à
S, multiplier par un certain nombre k, alors la série résultante
converge également et sa somme est égale à kS.

3. Si on lui donne deux séries convergentes

Et
avec des montants S Et T En conséquence, la nouvelle série obtenue par addition terme par terme de la série originale converge également et sa somme est égale à S + T.

4. Si la série (1) converge, alors toute série obtenue en regroupant les termes converge également et les sommes des séries sont les mêmes.

^ 57. Une condition nécessaire à la convergence d'une série de nombres.

Théorème 5.1 (signe nécessaire convergence). Si une série converge, alors la limite de son terme commun est nulle.

Formulation équivalente : Si la limite d'un terme commun d'une série n'est pas égale à zéro ou n'existe pas, alors ces séries diverge.

Preuve. Laissez cette série converger et sa somme est égale S. Pour tout naturel P. nous avons S n = S n - 1 + un P. ou

UN n = S n - S n -1

À P.-> infini les deux sommes partielles S n Et S n -1 s'efforcer d'atteindre la limite S, il résulte donc de l'égalité que

Soulignons encore une fois que nous avons établi uniquement la condition nécessaire à la convergence des séries, c'est-à-dire une condition, si elle est violée, la série ne peut pas converger. En utilisant ce critère, vous ne pouvez prouver que la divergence d'une série

^ 58. Séries de nombres avec termes non négatifs.

Une série de nombres est appelée à côté de termes positifs si membre commun rangée UN P. >0 pour tout n=1,2,.... Le critère de convergence pour une telle série est le caractère limité de la séquence des sommes partielles de la série.

Lors de la résolution de problèmes de convergence de séries, la première étape consiste à vérifier si condition nécessaire convergence, c'est-à-dire

^ 59. Critère de convergence série de nombres avec des termes non négatifs.

Théorème 5.2.Pour qu'une série à termes positifs converge, il faut et il suffit que la suite de ses sommes partielles soit bornée.
^ 60. Tests de comparaison, test de D'Alembert et Cauchy, test intégral pour les séries de nombres à termes non négatifs.