Pour la première fois l'existence d'une solution équation différentielle a été prouvé par Cauchy. Ci-dessous la preuve est basée sur la méthode des approximations successives, qui appartient à Picard. Cette méthode a une signification indépendante, puisqu'elle permet d'obtenir une solution approximative de l'équation différentielle.
Énoncé du théorème
Soit une équation différentielle du premier ordre :
(1)
avec condition initiale
(1.1)
.
Laisser - fonction continue deux variables dans zone fermée :
et est donc limité à une certaine valeur positive :
(2)
.
Et laissez la fonction satisfaire la condition de Lipschitz :
(3)
,
.
Il existe alors une solution unique à l’équation (1) :
,
satisfaisant la condition initiale, définie et continue pour les valeurs dans l'intervalle :
,
où est le plus petit de deux nombres et .
État lipschitzien
Considérons la condition de Lipschitz. Cela ressemble à :
(3)
,
Où - nombre positif;
, et - toutes les valeurs de la zone :
,
,
.
La signification de la condition de Lipschitz C'est facile à comprendre si vous l'écrivez sous la forme :
(3.1)
.
Pour une valeur fixe de la variable, la fonction est fonction de la variable :.
.
Ayons un graphique de cette fonction. Prenons deux points appartenant à , sur ce graphique et traçons une ligne droite les traversant. Ensuite, l'angle entre la droite et l'axe est limité à une certaine valeur inférieure à . Avec cette limitation, le graphique ne comporte ni tangentes verticales ni sauts. Et aux points où la dérivée partielle existe, elle est limitée : Si dans la zone la fonction a dérivée partielle continue (3).
, alors dans ce domaine
.
la condition de Lipschitz est satisfaite
,
Pour le prouver, notons que puisque la dérivée partielle est continue dans une région fermée, elle est bornée :
.
Par le théorème d'incrément fini de Lagrange, on a :
.
où les dérivées partielles sont calculées à un moment donné où la variable appartient à l'intervalle entre et :
Alors: Preuve de l'existence d'une solution Donnons équation originale(1) avec condition initiale (1.1)
.
Intégrons cette équation de à :
;
Remplaçons état initial.
(4)
.
En conséquence, nous obtenons l'équation intégrale : Montrons que l'équation intégrale (4) est équivalente à l'équation différentielle (1)
avec la condition initiale (1.1). Pour ce faire, nous devons montrer que de (1) et (1.1) suivent (4) et de (4) suivent (1) et (1.1). Nous avons déjà montré que (4) découle de (1) et (1.1). Il reste à montrer que (4) implique (1) et (1.1). Pour ce faire, substituons en (4). Obtenons la condition initiale (1.1). En différenciant les deux côtés de l'équation (4) par rapport à , nous obtenons l'équation (1). Ensuite, nous essayons de trouver une solution à l’équation (4) en utilisant
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
.........
approximations successives .
. Pour ce faire, nous définissons un certain nombre de fonctions d'une variable à l'aide des formules :
(6)
,
(5.n)
Nous supposons que lorsque , tend à résoudre l’équation (4) :
où est la solution de l’équation (4). Si nous prouvons cela, nous prouverons alors l’existence d’une solution. Nous allons prouver l’existence d’une solution en deux étapes :;
1) on prouve d’abord que la limite (6) existe:
.
2) alors on prouve que
satisfait l'équation (4) 1) Preuve de l'existence de la limite y n lorsque n tend vers l'infini Réduisons approximations successives (5.1) - (5.n)
.
à la somme des séries
(7)
. Pour ce faire, nous écrivons :
Il faut donc prouver que la série converge vers . .
Nous montrons d’abord que pour , approximations successives
.
appartiennent à l'intervalle
.
En effet, quand on a :
.
Puisqu’il existe le plus petit de deux nombres et , alors Nous avons donc prouvé que les approximations successives appartiennent à l'intervalle Maintenant nous
on peut estimer les termes de la série
;
(8.1)
.
(7), en appliquant la condition de Lipschitz.
;
(8.2)
.
Pour le premier terme nous avons :
;
(8.3)
.
Pour le deuxième terme nous appliquons la condition et l’estimation de Lipschitz (8.1) :
Pour le troisième terme nous appliquons, de la même manière, la condition et l’estimation de Lipschitz (8.2) : .
Nous appliquons ensuite la méthode d'induction. Laisser
;
(8.n) .
Alors
(8.n+1)
(7.1)
,
Ainsi, puisque (8.n) est vrai pour et (8.n) implique (8.n+1), alors (8.n) est vrai pour tout .
Écrivons la série (7) sous la forme :
.
Où .
(9)
.
Appliquons (8.n) et remplaçons-le par la plus grande valeur autorisée :
.
Alors chaque terme de la série (7.1) est limité en valeur absolue par un membre de la série Examinons la série (9) pour la convergence. Appliquons le test de d'Alembert : La série (9) converge donc. Puisque tous les membres de la série (7.1), à partir du second, sont plus petits en valeur absolue que les membres de la série convergente (9), alors, en vertu du critère de Weierstrass, la série (7.1) converge uniformément pour tout satisfaisant l'état.
(10)
Puisque l’intégrale est une fonction continue de
2) Preuve que Y est une solution de (4)
Considérons l'équation (5.n) :
approximations successives .
Montrons que pour , cette équation tend vers l'équation
(11)
.
En vigueur (10) côté gauche l'équation (5.n) tend vers .
Nous allons maintenant montrer que
.
Réécrivons côté droit(5.n) :
.
Ensuite, notez que puisque tout le monde appartient à l’intervalle fermé, alors appartient également à cet intervalle, .
On peut donc appliquer la condition de Lipschitz. Évaluons valeur absolue
.
dernier membre : Puisque, comme , tend vers uniformément, alors pour tout nombre positif, on peut spécifier ce qui suit nombre naturel
.
Nous appliquons ensuite la méthode d'induction. Laisser
.
c'est pour tout le monde,
Puisque c'est arbitraire, alors
.
C'est pourquoi
approximations successives
Autrement dit, lorsque l'équation
(11)
.
prend la forme
Preuve de l'unicité de la solution
(4)
Supposons que l'équation
a deux solutions et , différant en un certain point appartenant à l'intervalle .
.
Considérez la fonction
Nous supposerons cela.
Sinon, échangeons et .
Puisque et sont continus, la fonction l’est aussi. Par conséquent, il est différent de zéro dans un certain intervalle contenant le point :
à .
,
Parce que, alors.
.
Autrement dit, le point n'appartient pas à cet intervalle.
,
Si , alors nous transformons (4) comme suit :
;
Où
Si nous redésignons les constantes
alors on obtient le problème (4), pour lequel
,
à ,
.
où est un nombre ne dépassant pas .
;
Où
Si , alors nous faisons de même :
Redésignons les constantes :
;
On obtient le problème (4), pour lequel
où est un nombre non inférieur à . Nous avons donc :à (ou à ).
Ensuite, prenez un nombre positif arbitraire (ou ) et considérez un intervalle fermé (ou ). Puisque la fonction est continue, elle atteint
valeur la plus élevée
;
.
en l'un des points de cet intervalle :
.
(ou ).
Faisons une estimation en utilisant l'équation (4) et la condition de Lipschitz :
Puisque , on divise par :
Une contradiction surgit puisque cette inégalité n’est pas vraie.
État lipschitzien
Il ne peut donc pas avoir de valeurs non nulles. C'est pourquoi. Q.E.D.
Littérature utilisée :
V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, "LKI", 2015.
Considérons une fonction définie et continue dans le rectangle K :
Définition. Si pour deux valeurs et une variable :
il existe un nombre indépendant de x tel que l'inégalité suivante est vraie :
alors ils disent que la fonction dans le domaine K satisfait la condition de Lipschitz avec une constante L.
En raison de la continuité dans K et de la fermeture de la région K, dans K elle est limitée, c'est-à-dire , où L est une constante. Dans ce cas notamment, L peut être pris.
2. La condition de Lipschitz (1) est plus faible que l'existence d'une dérivée partielle, puisqu'elle peut aussi être satisfaite dans le cas où elle n'existe pas partout dans K.
Déterminer si une fonction donnée dans un rectangle satisfait à la condition de Lipschitz ?
Par conséquent, L peut être considéré comme étant et la condition de Lipschitz est satisfaite. On obtient le même résultat si on utilise la remarque 1. En effet, la fonction est continue, on peut donc la prendre pour L.
Ainsi, fonction donnée satisfait la condition de Lipschitz dans tout rectangle fini.
Idem pour la fonction.
Cela signifie que dans le rectangle K la condition c est satisfaite.
Ici la constante L ne dépend pas de la taille du rectangle, donc la condition de Lipschitz est satisfaite sur tout le plan.
Idem pour la fonction
En même temps, cela n'existe pas, car
Théorème d'existence et d'unicité
Théorème (Cauchy)
Qu'il satisfasse aux conditions :
1) est continue dans le rectangle K : , alors il est borné dans K, alors il existe tel (3)
satisfait la condition de Lipschitz dans K
Puis dans l'intervalle :
équation différentielle
a la seule solution, tel que.
Définition. Si pour deux valeurs et une variable :
Pour qu’une solution existe, la continuité dans K est suffisante.
Pour l'unicité de la solution, la condition de Lipschitz (4) doit être satisfaite, qui peut être remplacée par une condition plus stricte d'existence d'une droite continue dans K.
Pour prouver le théorème, nous considérons le problème de Cauchy :
qui est remplacée par son équation intégrale équivalente
Ensuite, la méthode dite de Picard des approximations successives est appliquée à l'équation (8). Elle consiste à construire une suite de fonctions convergeant vers la solution de l'équation (8). Les fonctions sont construites selon règle suivante: est prise comme première approximation, et les suivantes sont calculées à l'aide de la formule :
Il s'agit d'une formule de travail pour construire une solution approchée en utilisant la méthode des approximations successives.
Disons que la courbe intégrale est construite sur un intervalle. Prenons point final au-delà du centre du nouveau rectangle et continuez à résoudre vers la droite. En faisant cela, à chaque fois, vous pouvez continuer la solution (la courbe intégrale) jusqu'à la limite même du domaine G de la fonction (en supposant que G est fini et fermé).
Nous avons construit une courbe intégrale passant par un point. Vous pouvez choisir n’importe quel autre point et nous obtenons à nouveau une seule courbe intégrale. Ainsi, la région G semble être constituée de courbes intégrales.
Théorème. Si elle est définie et continue sur tout le plan et satisfait à la condition de Lipschitz dans chaque région finie de ce plan, alors toute courbe intégrale, lorsqu'elle augmente, est soit extensible jusqu'à, soit a asymptote verticaleà valeur finale, c'est-à-dire la courbe intégrale ne peut pas se terminer quelque part à l’intérieur de la région.
Ici satisfait toutes les conditions du théorème. La solution au problème de Cauchy sera. La solution a des asymptotes verticales.
Les points du domaine G auxquels la fonction n'est pas définie ou cesse d'être continue ou où la condition de Lipschitz n'est pas satisfaite sont appelés points singuliers de l'équation. Ainsi, les points singuliers sont les points auxquels les conditions d’existence et le théorème d’unicité sont violés. Points spéciaux Ils peuvent être isolés ou former des régions entières.
Couverture précédente dans haute résolution. L'auteur est ma fille, je suis fière :
Rosacar. Capital. Résidence du clan Rosh Ekita.
Deux mois après la catastrophe.
Des rires se firent entendre derrière la porte, Ian ouvrit les yeux. On pouvait entendre Aris harceler de manière ludique l'une des femmes de chambre dans le couloir. Elle eut un rire strident et, Ian pouvait parier, couvrit son visage rouge avec son tablier d'embarras.
La main de Yan ne s'est pas levée pour attraper une femme de chambre qui passait par le bas en jupes moelleuses ou pour lui pincer la poitrine. C'était écoeurant et dégoûtant.
Aris, jeune frère, le chéri et favori de la famille, qui venait après son père du palais pour rendre visite à son frère revenu d'exil. Brun, souriant et aux yeux verts, l'âme de toute société.
Il entra dans la pièce en riant. Il rapprocha la chaise du lit avec son pied. Et il s'y laissa tomber, se prélassant.
Sais-tu, frère, que tes parents vont donner une modeste réception en l'honneur de ton retour ?
Est-ce vrai ? - Yang s'est levé sur son coude.
Oui, oui, retour et guérison, mais je vois que tu es complètement mou, » Aris souleva la serviette sur le plateau de nourriture intact posé sur la table de chevet, « peux-tu me dire ce qui s'est passé ?
"Inga m'est arrivé", pensa tristement Ian, "Inga Vladimirovna Savelyeva".
C'était comme si elle l'avait infecté d'une maladie inconnue qui avait changé quelque chose dans sa tête, et le monde entier était maintenant différent et Yang, d'une certaine manière, enviait même son jeune frère. Les filles, les divertissements, la chasse, les amis, un peu de questions financières. La vie sur des sentiers battus. Et surtout, tout est simple et sans angoisse mentale inutile.
"C'est à nous circonstances extrêmes, et dans le monde qui nous entoure, tout est comme avant et continue d’être », comme s’il entendait en réalité la voix légèrement moqueuse d’Inga, « le monde ne se soucie pas de vous, dans l’ensemble.
Inga. Ce nom restait coincé à l’intérieur comme une écharde douloureuse qu’il n’y avait aucun moyen de l’enlever. Et la douleur autour d’elle s’étendait de plus en plus loin et pénétrait plus profondément.
Ian haussa les épaules et fut même capable de sourire à son frère.
Rien d'intéressant, j'ai vécu une partie de l'été à Ravenhalm," Ian s'assit au bord du lit, "puis, j'ai voyagé un peu."
Aris plissa les yeux.
Vastab a écrit à son père que tu étais venu chercher le « sac noir ».
Ian attrapa un verre d'eau et but une gorgée tranquillement.
Est venu.
Et ? - Le jeune frère secoua la jambe avec impatience, les lames de sa ceinture claquèrent.
"Je l'ai reçu", a confirmé Jan, "et j'ai passé l'hiver à Lehrte."
Aris rit.
"Et tu as changé," dit-il soudain, arrêtant de sourire, "et ton regard est devenu... mort."
Ian reposa lentement le verre sur le plateau et regarda son frère sérieusement, sans l'ombre d'un sourire.
Et je suis mort, tu penses qu'ils ont juste donné le « sac noir » ?
"Quelle est l'histoire de l'herboriste?" Aris ne pouvait contenir sa curiosité, "le père a reçu la lettre et est resté silencieux, et Vastab a écrit que vous l'écoutiez beaucoup."
Ian ne savait pas quoi répondre. Dis à ton frère qui est Inga ? Le frère volage comprendra-t-il ? Et comment expliquer qui elle est devenue pour lui, Yana ?
Vous pouvez, bien sûr, parler d’une femme merveilleuse et intelligente que vous avez eu la chance de rencontrer et cela n’aurait aucun sens.
Ian soupira :
Elle n'est pas herboriste.
Aris était visiblement épuisé par la curiosité
Yarran, ne tarde pas, dis-le-moi.
Elle est scientifique, mathématicienne, nous avons vécu à Lehrte, puis nous nous sommes mariés, puis avons un peu voyagé.
"Nous nous sommes mariés, mais vous avez été expulsé?" Aris n'a pas pu cacher sa surprise, regardant la mâchoire lâche de son jeune frère avec une sombre moquerie.
En plus des lois de Rosakar, il y en a d'autres », a-t-il expliqué, « nous nous sommes mariés selon l'ancien rite païen slave.
Lui-même n'en comprenait pas vraiment le sens, tout dans le monde d'Inga était confus, même avec ses explications, mais la phrase, surtout avec le préfixe « ancien », semblait impressionnante.
Et puis tu as voyagé dans les montagnes ? » demanda Aris, incrédule.
"Dans les montagnes", Ian hocha la tête affirmativement et sourit, "il y avait un lac et des bains Souvorov, ainsi qu'une tente et des sacs de couchage en duvet. Vous savez, il s'avère que si vous marchez et ne volez pas, vous pouvez apprendre et voir beaucoup de choses intéressantes.
Et comment as-tu récupéré le gorg ?
Il vaudrait mieux interroger Inga à ce sujet, la pensée revint : elle comprenait beaucoup mieux les processus qui se déroulaient à la gare.
Ian ne pouvait pas la considérer comme morte. Il se réveilla le matin, se dit : « Inga est morte, elle n'est plus », acquiesça son esprit, puis murmura traîtreusement : « Tu n'as pas vu ce qui s'est passé là-bas, tu n'as pas vu son corps, peut-être le Alorian t'a trompé, tu as vu comment il la regardait ? Et Ian a laissé ce doute vivre en lui. C’est juste qu’aucune décision n’a encore été prise sur les mesures à prendre.
La meilleure chose à faire serait peut-être d'attendre que la main guérisse et de retourner à la maison de Lehrte. Ian ne voulait plus être ici, dans la capitale de Roskar. C'était insupportable de voir les domestiques courir partout quand mon père revenait du ministère le soir, s'enfermait dans son bureau et y dînait.
À la mère qui sort chaque matin pour le petit-déjeuner en grande tenue, en bijoux, coiffée. Comme une sœur aînée qui ressemblait tellement à sa mère qu’elles ressemblaient à des sœurs jumelles. Des vêtements similaires, la même démarche, les mêmes mouvements de main et même des expressions faciales similaires : le plus souvent, des lèvres pâles et mécontentes.
Introduction...3
CHAPITRE I. Théorèmes d'existence et d'unicité...23
§1.1. Équation avec coefficients d'opérateur constants et
déviations de l’argumentation…24
§1.2 Le cas d'une équation à faibles perturbations...43
CHAPITRE II. Sur la solvabilité normale de l'équation...50
§2.1. Finitude du noyau de l'opérateur Lpo...50
§2.2 Dimensionnalité finie du conoyau de l'opérateur Lpo...55
CHAPITRE III. Équation dans le demi-espace...73
§ 3.1 Lemmes auxiliaires...73
§ 3.2 Cas tâche initiale...76
§3.3 Quelques notes sur les équations à écart linéaire
argument...81
Littérature...84
Introduction
Caractéristique théorie moderne Les équations différentielles consistent à utiliser la théorie abstraite des opérateurs dans l'espace de Hilbert. Cela peut s'expliquer par le fait que diverses tâches peut s'écrire sous la forme de l'équation Lu = f, dont l'étude
permet de s'évader des difficultés spécifiques et privées inhérentes à chacun tâche spécifique, en se concentrant sur le plus modèles généraux. Un autre avantage de cette théorie est que les équations avec des coefficients d'opérateur illimités couvrent à la fois cas particulieréquations aux dérivées partielles, qui n'ont pas été suffisamment étudiées.
Les équations différentielles avec un argument déviant sont apparues au XVIIIe siècle en relation avec la solution du problème d'Euler consistant à trouver vue générale une ligne similaire à son évolution. Théorèmes de base théorie générale les équations différentielles avec un argument déviant et la formulation du problème initial ont été données dans la thèse « Equations différentielles avec un argument déviant » (1950).
Le développement de la théorie de telles équations a commencé principalement dans la seconde moitié du XXe siècle sous l’influence des demandes de la technologie et des sciences naturelles. La théorie de ces équations a commencé à être utilisée dans une grande variété de domaines : mécanique, physique, biologie, technologie et économie. Cette théorie a surtout trouvé son application dans technologie moderne où il s'agit de processus oscillatoires dans les systèmes à conséquences et dans les systèmes à connexions retardées, en automatisme et télémécanique, télécommunications, radar, etc. La présence de retard dans un système autorégulé peut se traduire par l'apparition d'oscillations auto-excitées, une augmentation des dépassements et même une instabilité. de systèmes.
La raison de l'instabilité de la combustion dans les liquides est moteurs de fusée est, comme on le croit communément, la présence d'un temps de retard,
temps nécessaire à la transformation mélange de carburant dans les produits de combustion. Tout cela explique l’attention croissante portée aux équations à argumentation retardée ces dernières années.
Une équation différentielle avec un argument déviant est définie comme une équation qui, en plus de l'argument t, inclut la fonction recherchée et ses dérivées, généralement prises à différentes significations argument t. Une telle équation a un type retardé si les valeurs de la dérivée la plus élevée pour toute valeur / = /0 sont déterminées par
dérivés inférieurs à t
Le passage de l'équation habituelle x\t) = /(/, x(t)) à une équation avec un argument différent signifie qu'au lieu de x(e), la fonction x(t-h(t)) est considérée à droite côté, où h(t) - fonction donnée.
Équation avec retard groupé
Lu(t) = D, u(t)-fjAJ(t)u(t-hj(t)) = f(t)b D,=~9 (1)
est un cas particulier de l'équation du retard distribué
Lu(t) = D, u(t) -)u(t - T)drr(t, r) = ajustement), (2)
"G0,-oo< t < О,
lorsque r(t, r) = ?4(/)/(r-A/0), W = \"
Si la solution de l’équation (1) ou (2) est dans l’aire .
Ainsi, nous obtenons une généralisation naturelle du problème de Cauchy pour une équation différentielle ordinaire. La dernière généralisation de l'équation (1) est le passage de l'équation (2) à un système d'équations de la forme (2), ainsi que la considération de (1) dans des espaces plus généraux.
Divers problèmes peuvent être écrits sous la forme de l'équation (1) et en fonction de conditions supplémentaires(initiale, limite) apparaissent différents espaces comme domaine de définition de l'opérateur L.
Équation d'opérateur
?>,i(0-L(/MO-0 (3)
dans le cas où iA(t) est un opérateur générateur d'un semigroupe ou un opérateur borné, de nombreux travaux ont été consacrés. Sans ces hypothèses, l'équation (3) avec un opérateur constant a été étudiée dans les travaux de S. Agmon et L. Niregberg. En particulier, dans cet article, des formules asymptotiques ont été dérivées pour des solutions de type exponentiel à condition que le spectre de l'opérateur A soit constitué de valeurs normales. valeurs propres situé (sauf peut-être nombre fini) dans certains double angle rayon inférieur à n. Ces résultats ont été étendus par A. Pasi à des équations dont les coefficients diffèrent des constantes par des termes exponentiellement décroissants. À la condition que l'opérateur A(t) tende comme t -> oo dans un sens faible vers l'opérateur A, le comportement asymptotique comme t -> oo de la solution de l'équation (3) a été obtenu.
u(/) - exp / $A(s)ds \sf(1) + O(\),
où A(t) est la valeur propre de l'opérateur A(t), tendant comme t -><х>à une simple valeur propre A de l'opérateur A, φ(1) est l'élément propre correspondant.
L'étape suivante dans cette direction fut les travaux de A. Pazi, dans lesquels le comportement asymptotique de la solution u(t) de l'équation a été obtenu
à dans l'espace Banach A" pour le cas
où Ao est fermé opérateur linéaire avec un domaine dense dans X. Des recherches plus approfondies ont été consacrées à l'équation (1) et appartiennent à. Attention particulière a été abordée sur les questions d'existence, d'unicité, de stabilité et de comportement asymptotique des solutions. Les travaux considèrent linéaire, équations non linéaires les premiers ordres et les ordres supérieurs
A""(0 - IIX (t)SM (O A""(O = AVANT,
équations à coefficients périodiques, ainsi qu'à retard distribué de type (2).
Contrairement aux travaux dans lesquels les équations ont été considérées dans des espaces à poids exponentiel, d'autres études ont été réalisées dans des espaces à poids de loi de puissance de la forme (l + |/|2l).
DANS ce travail Les recherches se poursuivent sur l'équation (1) dans
espaces avec des poids de puissance arbitraires de la forme (l + |/|2"
Pour étudier les équations considérées, des méthodes bien connues de la théorie des équations différentielles, de l'analyse fonctionnelle, de la théorie des fonctions d'une variable complexe et des méthodes suggérées par les spécificités des équations avec un argument déviant sont utilisées.
En étudiant les équations dans l'espace de Hilbert, nous avons toujours eu en tête l'application des résultats obtenus aux équations aux dérivées partielles, pour systèmes infinis, bien que dans également cette théorie
peut également être utilisé pour les systèmes d’équations différentielles ordinaires, que de nombreuses personnes étudient.
Le point essentiel de la méthode utilisée est la transformation de l'équation différentielle en équation algébrique(équations aux dérivées partielles dans équation ordinaire) utilisant la transformée de Fourier, qui permet de surmonter certaines difficultés et d'éviter les obstacles rencontrés. Cependant, après avoir résolu le problème « léger », pour obtenir une solution au problème initial, il faut appliquer conversion inverse Fourier, où le bien joue un rôle important théorème célèbre Plancherel (Parseval), reliant les solutions de ces deux problèmes.
Lorsque les équations sont considérées dans des espaces de poids exponentiel exp(ctf), a = const e R, alors on applique le théorème de Plancherel à l'égalité
c'est-à-dire que nous utilisons l'égalité
Si la fonction de poids est de la forme puissance \t\" diplôme entier n, puis application du théorème de Plancherel à l'égalité c1"u
nous avons l'énoncé d"u(X)
La situation change considérablement lorsque la fonction de poids a la forme d'un degré arbitraire \t\a, O< а < 1.
Pour appliquer les méthodes connues et utilisées dans les cas précédents, on évite ici le recours à la différenciation fractionnaire selon Liouville.
Dau(t) =-----!-----
ier(l-flf)je(/-5)
Notations et définitions de base
Présentons d’abord les notations et définitions les plus fréquemment utilisées dans cet ouvrage, ainsi que quelques explications les concernant. X, Y - Espaces de Hilbert, X avec Y, \\x (\\-\\Y) - norme dans l'espace
X(y), \\\\x > |||y. Il est proposé de satisfaire la dernière inégalité. L(E(, E2) - ensemble d'opérateurs complètement continus de ?, à ?2. L(EX, E2) - ensemble d'opérateurs bornés de ?, à E2. Lo (E(, E2) - ensemble d'opérateurs fermés de Ex dans E2 . F(EX, E2) est un ensemble d'opérateurs de Fredholm de ?, dans E2), E2 sont des espaces normés linéaires.
G(a) est la fonction gamma. A est égal par définition.
R" - n - Espace réel euclidien dimensionnel, R = (-oo, oo).
ACX - un ensemble de absolument continu fonctions scalairesà intervalles
définitions I.
Suppu(t) - (/, u(t) ¦*¦ О) n G - le support d'un sur défini et continu
ensemble ouvert GczR de fonctions.
C est le plan de la variable complexe.
Cq(G) - ensemble d'infiniment différentiables sur un ensemble ouvert
G fonctionne avec des supports compacts en G.
On dit que / sur E a pour ordre cp ou / est O grand de<р на Е и пишут при этом fit) = 0(
I)\R"*,X) - achèvement de l'ensemble des fonctions fortement continues u(t) avec supports compacts dans R" ? et avec des valeurs X selon la norme
X^° - achèvement de l'ensemble des fonctions u(t), u(t) = 0, t< t0, с компактными
porteurs et à valeurs en X, ayant des dérivées fortement continues en Y par rapport à la norme
A = const, t0 >-oo.
J 7°f - achèvement de l'ensemble des fonctions u(t), u(t) - 0, /< /0, с компактными
porteurs R"l et avec des valeurs en Y selon la norme
(Y J(l + |/|2a)||M"(O|^H, a = const, t0 >-oo.
= \h(t)ACRla, h"(t)
Sh(t)u(t)Au(t-h(t)).
XA (g) - fonction caractéristique opérateur A. Il est introduit pour les opérateurs complètement continus et, étant donné un e donné, est déterminé à partir de l'inégalité
u(Z)A(u(t)) est la transformée de Fourier de la fonction u(t).
Ca est une constante dépendant de a.
Par solution de l'équation (1), dont les coefficients appartiennent à l'espace L(X, Y), nous entendons une fonction u(t) qui est fortement continue dans Y, a une dérivée forte pour presque tout t dans Y et satisfait l’équation.
Un opérateur linéaire A : X -> Y est dit continûment inversible si les conditions suivantes sont remplies :
1) plage de valeurs Im A = Y,
2) l'opérateur A est inversible,
3) Al est limité.
j Symboles pour les opérateurs :
Dans toutes les expressions considérées, Aj, Aj(t) sont limités
opérateurs dont les domaines de définition appartiennent à l'espace X, et dont les domaines de valeurs appartiennent à l'espace Y.
En tant qu'opérateurs de Y à Γ, ils sont considérés comme des opérateurs fermés illimités.
Si à A = A0 la plage de valeurs 1m(bp(A0)) de l'opérateur quasi-poutre
AE-^Ajexp(-iAhj) est dense dans l'espace X et l'opérateur bp(A0)
a un opérateur inverse continu Rp(A0), alors on dit que le nombre complexe A^ appartient à l'ensemble résolvant p(Ap) de l'opérateur Ap : X -> Y.
L'opérateur Rp(A0) est appelé la résolvante de l'opérateur Ap au point A = Ao. La totalité de tout nombres complexes Un n'appartenant pas à l'ensemble résolvant p(Ap) est appelé spectre de l'opérateur Ap et est noté c(Ap). Il existe trois types de spectre : 1) spectre ponctuel Ra - l'ensemble des valeurs A = Do pour lesquelles l'opérateur inverse Rp(A) n'existe pas. En d'autres termes, l'équation
pb(A0)(p0 = A0(p0 -^Aj exp(-iAohj)
2) Spectre continu Co - l'ensemble des valeurs A = A0 pour lesquelles il existe un opérateur inverse Rp(A0), mais il n'est pas continu. Autrement dit, Lp(A0) a un opérateur inverse Rp(A0) de domaine dense de définition dans Y, mais il existe une séquence cpn € X, \<».
3) Le spectre résiduel Ra est l'ensemble des valeurs A = 0 pour lesquelles il existe un opérateur inverse Rap(A0), dont le domaine n'est pas dense dans Y, c'est-à-dire qu'il existe un élément<р <= Y такой, что для любого элемента у/ еХ имеет место равенство exp(-U0/(0^
Si f(t)eL\R",H), alors /(Л) = (2*)"г Jexp(-W/)/(/)«//, (Л,/)=5\у*.
La fonction f(t) = (2tr) 2 |exp(W)/(I)?/I est appelée l'inverse
Transformée de Fourier de la fonction /(/).
Théorème de Plancherel. La transformée de Fourier prend les fonctions de L2(R, H) à L2(R, H). Plus précisément, si f(t)eL2(R",H), alors la fonction DL) existe et /(/) e L2(R, H). De plus
>, f(t) = lim -±= |exP(
De ce théorème il s'ensuit que si JmX - a φ 0, alors
: -7= jexp(Ш)f(Л)dЛ = -j= |exp(/((T + ia)t)f(a + ia)da = v2;r 1тЛ=а - у/2л : \тЛ =0
Exp(-at)-j= JQxp(iot)f(a + ia)d(T, d'où
exp(af)/(/) = -j= jexp(iot)f(cr + ia)d
Plancherel
\\?W\HdXB |LYa)|/I =
Oo+/ar Je suis D=a - oo
Théorème de Plancherel généralisé.
Continuité, différentiabilité, régularité.
Une fonction u(t) e H est dite continue au point t0 si
|u(O-u(*o)|// ~> 0 pour / -> /0 et continu sur [a, 6] s'il est continu en tout point du segment [a, b]. La norme du continu sur [ La fonction a, b] b] est une fonction continue scalaire.
Une fonction u(t) est dite dérivable au point /0 si
il existe un élément еН tel que
quand A/ -> 0.
Une fonction est dérivable sur un intervalle (intervalle, demi-intervalle) si elle est dérivable en chaque point du segment (intervalle, demi-intervalle).
Une fonction u(t) est dite régulière dans un domaine G avec C si elle a une dérivée en tout point de ce domaine.
La fonction analytique au voisinage de chaque point t0 e G ne se développe guère
*(>) = |>„("-"оГ, où an=±u"(t0)eH.
Un opérateur linéaire borné - la fonction /?(R) est appelée une fonction régulière A dans un domaine D si en chaque point de ce
jusqu'à une certaine limite R"(X). Pour R(X), le théorème de Cauchy sur la disparition de l'intégrale sur un contour fermé est valable. Dans le voisinage
d'un point singulier isolé la décomposition a lieu
convergent en norme localement uniformément par rapport à A. Un point singulier Ao est un pôle si ce dernier ne contient qu'un nombre fini de termes de puissances négatives A-Ao. Si δ(A) dans un domaine D n’a que des pôles comme points singuliers, alors R(A) est appelé fonction méromorphe.
Un opérateur linéaire A:X-*Y est dit fermé si de x„ e D(A) et (xn, Axn) -„(x, y) il s'ensuit que x„ e D(A) et y = AX. Avec l'opérateur A, l'opérateur LE-A est fermé ou non fermé (avec le domaine de définition D(A)). Par conséquent, s’il existe un opérateur inverse borné (LE-A)~1, alors l’opérateur A est fermé.
Si VueX l'inégalité \Au\Y est satisfaite< C\u\x, то оператор А
est appelé borné, et la plus petite valeur de la constante C est appelée la norme l^l^j, = \\a\\y de l'opérateur A. Un opérateur borné est continu.
A l’inverse, un opérateur linéaire continu défini sur tout l’espace X est borné.
Un opérateur linéaire est dit complètement continu s'il est défini sur tout l'espace X et mappe chaque ensemble délimité dans X en un ensemble compact dans Y.
Un opérateur linéaire borné A(t) est dit fortement continu si \A(j - h)- A(t)\\ -» 0 pour h -> 0.
Théorème d'Arzel. Soit // intégré de manière compacte dans H2. Si une famille de fonctions (m(/)), définie sur l'ensemble compact [a, b], est uniformément bornée dans la norme de l'espace H, et uniformément continue dans la norme de l'espace H2, soit || m(/)||je ^C» || "(f + h)-u(t)\H
Théorème sur les fonctions des opérateurs holomorphes. On sait que si T(A):X^>Y est holomorphe et qu'il existe T~\A):Y -> X, alors Γ"1(H) est une fonction-opérateur holomorphe. C'est une conséquence de la théorème sur la stabilité de l'inversibilité bornée.
Théorème de Peley-Wiener. Pour que la fonction f(x) (-00< х < оо)
b permis la représentation /O) = |exp(/Ax)^/(I)c/I (^/(I) e L2 (a, b)), il faut
et il suffit que la fonction f(x) ait un carré intégrable sur tout l'axe réel et puisse être définie davantage dans le plan comme une fonction entière de degré fini. De plus, si l'intervalle (a, b) ne peut pas être remplacé
intervalle plus petit, alors le segment de l'axe imaginaire coïncide avec le diagramme conjugué de la fonction /(r).
Inégalité pour les opérateurs complètement continus. Si A:X ~>Y est un opérateur complètement continu, alors pour tout b > O il existe une constante XA(?)> que l'inégalité tient
\Au\Y< e\u\x + xA {e%u\Y для любого и е X с Г.
Fractionnement d'unités.
Soit G un ouvert dans l'espace R*. Supposons que la famille ensembles ouverts(C?;: /e/) couvre G, c'est-à-dire G = U G,.
Alors le système de fonctions (^(.(r):/e/) de classe C0L(/?) est tel que pour tout /e/ le support suppOt(t) est contenu dans un ensemble G, 0< <9,(г)< 1 для
all iel, 5]^,(0=1 Pour tout teG, est appelée la partition d'unité correspondant au revêtement ((7,.: / e /).
Alternative à Fredholm.
Soit T un opérateur complètement continu dans un espace de Banach B et
I est un nombre fixe et non nul. Dans ces conditions
équations inhomogènes
(LE-T)x = y, (5)
[LE-GU=y (6)
pour tout y e B et y "eB" ont des solutions uniques si et seulement
alors quand des équations homogènes
(AE-T)x = 0, (7)
(LE-7")s"=0 (8)
n'avoir que zéro solution. De plus, si l’une des équations homogènes a une solution non nulle, alors elles ont toutes les deux le même nombre de solutions indépendantes. Dans ce cas, les équations (5) et (6) ont une solution si et seulement si les vecteurs y et y" sont orthogonaux à toutes les solutions des équations (7) et (8), respectivement.
Investissement compact.
L'opérateur d'identité A : H, -> H2, qui associe l'élément xH( au même élément qu'un élément de l'espace H2, est appelé l'opérateur d'encastrement de l'espace H, dans l'espace H2. Si l'opérateur
L'intégration est un opérateur complètement continu, alors l'intégration est dite compacte.
La thèse se compose de trois chapitres divisés en 10 paragraphes. Le premier chapitre est consacré à la solvabilité de l'équation
Lpou(t) - D, u(t)- ?)
