Rappelons la tâche à laquelle nous étions confrontés lors de la recherche d'intégrales définies :

ou dy = f(x)dx. Sa solution :

et cela revient à calculer intégrale indéfinie. En pratique, cela arrive plus souvent tâche difficile: rechercher la fonction oui, si l'on sait qu'il satisfait une relation de la forme

Cette relation relie la variable indépendante X, fonction inconnue oui et ses dérivés à hauteur de l'ordre n inclus, sont appelés .

Une équation différentielle comprend une fonction sous le signe des dérivées (ou différentielles) d'un ordre ou d'un autre. L'ordre le plus élevé est appelé ordre (9.1) .

Équations différentielles:

- Premier ordre,

Deuxième ordre

- cinquième ordre, etc.

La fonction qui satisfait une équation différentielle donnée est appelée sa solution , ou intégrale . Le résoudre, c’est trouver toutes ses solutions. Si pour la fonction requise oui réussi à obtenir une formule qui donne toutes les solutions, alors on dit qu'on l'a trouvée décision commune, ou intégrale générale.

Décision commune contient n constantes arbitraires et on dirait

Si l’on obtient une relation qui concerne x, y Et n constantes arbitraires, sous une forme non autorisée par rapport à oui -

alors une telle relation est appelée l'intégrale générale de l'équation (9.1).

Problème de Cauchy

Chaque solution spécifique, c'est-à-dire que chaque fonction spécifique qui satisfait une équation différentielle donnée et ne dépend pas de constantes arbitraires est appelée une solution particulière , ou une intégrale partielle. Pour obtenir des solutions particulières (intégrales) à partir de solutions générales, il est nécessaire de donner des constantes spécifiques valeurs numériques.

Le graphique d’une solution particulière est appelé courbe intégrale. La solution générale, qui contient toutes les solutions partielles, est une famille de courbes intégrales. Pour une équation du premier ordre cette famille dépend d'une constante arbitraire, pour l'équation n-ième commande - à partir de n constantes arbitraires.

Le problème de Cauchy consiste à trouver une solution particulière à l'équation n-ième ordre, satisfaisant n conditions initiales:

par lequel n constantes c 1, c 2,..., c n sont déterminées.

équations différentielles du 1er ordre

Pour une équation différentielle du 1er ordre non résolue par rapport à la dérivée, elle a la forme

ou pour permis relativement

Exemple 3.46. Trouver la solution générale de l'équation

Solution. En intégrant, on obtient

où C est une constante arbitraire. Si nous attribuons des valeurs numériques spécifiques à C, nous obtenons des solutions particulières, par exemple,

Exemple 3.47. Considérons une somme d'argent croissante déposée à la banque sous réserve de l'accumulation de 100 r intérêts composés par an. Soit Yo le montant d'argent initial, et Yx - à la fin X années. Si les intérêts sont calculés une fois par an, nous obtenons

où x = 0, 1, 2, 3,.... Lorsque les intérêts sont calculés deux fois par an, on obtient

où x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Lors du calcul des intérêts n une fois par an et si x prend les valeurs séquentielles 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., puis

Désignez 1/n = h, alors l’égalité précédente ressemblera à :

Avec un grossissement illimité n(à ) à la limite, nous arrivons au processus d'augmentation du montant d'argent avec accumulation continue d'intérêts :

Il est donc clair qu'avec un changement continu X la loi de variation de la masse monétaire est exprimée par une équation différentielle du premier ordre. Où Y x est une fonction inconnue, X- variable indépendante, r- constante. Résolvons cette équation, pour ce faire nous la réécrivons comme suit :

où , ou , où P désigne e C .

A partir des conditions initiales Y(0) = Yo, on trouve P : Yo = Pe o, d'où, Yo = P. La solution a donc la forme :

Considérons le deuxième Problème économique. Les modèles macroéconomiques sont également décrits par des équations différentielles linéaires du 1er ordre, décrivant les changements de revenu ou de production Y en fonction du temps.

Exemple 3.48. Laisser revenu national Y augmente à un rythme proportionnel à sa grandeur :

et laissez le déficit des dépenses publiques être directement proportionnel au revenu Y avec le coefficient de proportionnalité q. Un déficit de dépenses entraîne une augmentation de la dette nationale D :

Conditions initiales Y = Yo et D = Do à t = 0. D'après la première équation Y= Yoe kt. En remplaçant Y, nous obtenons dD/dt = qYoe kt . La solution générale a la forme
D = (q/ k) Yoe kt +С, où С = const, qui est déterminé à partir des conditions initiales. En substituant les conditions initiales, on obtient Do = (q/ k)Yo + C. Donc, finalement,

D = Faire +(q/ k)Yo (e kt -1),

il en ressort clairement que la dette nationale augmente dans la même proportion vitesse relative k, la même chose que le revenu national.

Considérons les équations différentielles les plus simples nème ordre, ce sont des équations de la forme

Sa solution générale peut être obtenue en utilisant n fois les intégrations.

Exemple 3.49. Prenons l'exemple y """ = cos x.

Solution. En intégrant, on trouve

La solution générale a la forme

Équations différentielles linéaires

Ils sont largement utilisés en économie ; considérons la résolution de telles équations. Si (9.1) a la forme :

alors on l'appelle linéaire, où рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - fonctions spécifiées. Si f(x) = 0, alors (9.2) est dit homogène, sinon il est dit inhomogène. La solution générale de l'équation (9.2) est égale à la somme de l'une de ses solutions particulières y(x) et la solution générale de l'équation homogène qui lui correspond :

Si les coefficients р o (x), р 1 (x),..., р n (x) sont constants, alors (9.2)

(9.4) est appelée une équation différentielle linéaire avec coefficients constants commande n .

Car (9.4) a la forme :

Sans perte de généralité, on peut poser p o = 1 et écrire (9.5) sous la forme

Nous chercherons une solution à (9.6) sous la forme y = e kx, où k est une constante. Nous avons: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . En substituant les expressions résultantes dans (9.6), nous aurons :

(9.7) est une équation algébrique, son inconnue est k, cela s’appelle caractéristique. L'équation caractéristique a un degré n Et n racines, parmi lesquelles elles peuvent être à la fois multiples et complexes. Soient k 1 , k 2 ,..., k n réels et distincts, alors - solutions particulières (9.7), et générales

Considérons une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants :

Son équation caractéristique a la forme

(9.9)

son discriminant D = p 2 - 4q, selon le signe de D, trois cas sont possibles.

1. Si D>0, alors les racines k 1 et k 2 (9.9) sont réelles et différentes, et la solution générale a la forme :

Solution.Équation caractéristique : k 2 + 9 = 0, d'où k = ± 3i, a = 0, b = 3, la solution générale a la forme :

y = C 1 cos 3x + C 2 péché 3x.

Des équations différentielles linéaires du 2ème ordre sont utilisées dans l'étude modèle économique type toile d'araignée avec des stocks de marchandises, où le taux de variation du prix P dépend de la taille du stock (voir paragraphe 10). Si l’offre et la demande sont des fonctions linéaires du prix, c’est-à-dire

a est une constante qui détermine le taux de réaction, alors le processus de changement de prix est décrit par l'équation différentielle :

Pour une solution particulière, nous pouvons prendre une constante

prix d’équilibre significatif. Déviation satisfait l'équation homogène

(9.10)

L'équation caractéristique sera la suivante :

Dans le cas où le terme est positif. Notons . Racines équation caractéristique k 1,2 = ± i w, donc la solution générale (9.10) a la forme :

où C et sont des constantes arbitraires, elles sont déterminées à partir des conditions initiales. Nous avons obtenu la loi de variation des prix dans le temps :

Résolution d'équations différentielles. Merci à notre un service en ligne Vous pouvez résoudre des équations différentielles de tout type et complexité : inhomogènes, homogènes, non linéaires, linéaires, du premier, du deuxième ordre, avec des variables séparables ou non séparables, etc. Vous obtenez une solution aux équations différentielles sous forme analytique avec Description détaillée. Beaucoup de gens sont intéressés : pourquoi est-il nécessaire de résoudre des équations différentielles en ligne ? Ce type Les équations sont très courantes en mathématiques et en physique, où il sera impossible de résoudre de nombreux problèmes sans calculer l'équation différentielle. Les équations différentielles sont également courantes en économie, médecine, biologie, chimie et autres sciences. La solution d'une telle équation est mode en ligne Cela facilite grandement vos tâches, vous donne la possibilité de mieux comprendre la matière et de vous tester. Avantages de la résolution d'équations différentielles en ligne. Un site Web de service mathématique moderne vous permet de résoudre en ligne des équations différentielles de toute complexité. Comme vous le savez, il y a un grand nombre de types d'équations différentielles et chacune d'elles a ses propres méthodes de solution. Sur notre service, vous pouvez trouver en ligne des solutions aux équations différentielles de tout ordre et de tout type. Pour obtenir une solution, nous vous suggérons de remplir les données initiales et de cliquer sur le bouton « Solution ». Les erreurs dans le fonctionnement du service sont exclues, vous pouvez donc être sûr à 100 % d'avoir reçu la bonne réponse. Résolvez des équations différentielles avec notre service. Résolvez des équations différentielles en ligne. Par défaut, dans une telle équation, la fonction y est fonction de la variable x. Mais vous pouvez également spécifier votre propre désignation de variable. Par exemple, si vous spécifiez y(t) dans une équation différentielle, notre service déterminera automatiquement que y est fonction de la variable t. L'ordre de l'équation différentielle entière dépendra de commande maximale dérivée de la fonction présente dans l'équation. Résoudre une telle équation signifie trouver la fonction souhaitée. Notre service vous aidera à résoudre des équations différentielles en ligne. Cela ne demande pas beaucoup d’efforts de votre part pour résoudre l’équation. Il vous suffit de saisir les côtés gauche et droit de votre équation dans les champs requis et de cliquer sur le bouton « Solution ». Lors de la saisie, la dérivée d'une fonction doit être désignée par une apostrophe. En quelques secondes, vous recevrez le produit fini solution détailléeéquation différentielle. Notre service est absolument gratuit. Équations différentielles à variables séparables. Si dans une équation différentielle il y a une expression du côté gauche qui dépend de y, et du côté droit il y a une expression qui dépend de x, alors une telle équation différentielle est appelée avec des variables séparables. Le côté gauche peut contenir une dérivée de y ; la solution des équations différentielles de ce type se présentera sous la forme d'une fonction de y, exprimée par l'intégrale du côté droit de l'équation. Si sur le côté gauche il y a une différentielle de la fonction y, alors dans ce cas les deux côtés de l'équation sont intégrés. Lorsque les variables d’une équation différentielle ne sont pas séparées, elles devront l’être pour obtenir une équation différentielle séparée. Équation différentielle linéaire. Une équation différentielle dont la fonction et toutes ses dérivées sont au premier degré est dite linéaire. Forme généraleéquations : y’+a1(x)y=f(x). f(x) et a1(x) sont fonctions continues de x. La résolution d'équations différentielles de ce type se réduit à intégrer deux équations différentielles à variables séparées. Ordre de l'équation différentielle. Une équation différentielle peut être du premier, du deuxième ou du nième ordre. L'ordre d'une équation différentielle détermine l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'elle contient. Dans notre service, vous pouvez résoudre en ligne des équations différentielles pour le premier, le deuxième, le troisième, etc. commande. La solution de l'équation sera n'importe quelle fonction y=f(x), en la remplaçant dans l'équation, vous obtiendrez une identité. Le processus permettant de trouver une solution à une équation différentielle est appelé intégration. Problème de Cauchy. Si, en plus de l'équation différentielle elle-même, la première condition initiale y(x0)=y0, alors c'est ce qu'on appelle le problème de Cauchy. Les indicateurs y0 et x0 sont ajoutés à la solution de l'équation et la valeur d'une constante arbitraire C est déterminée, puis une solution particulière de l'équation à cette valeur de C est déterminée. C'est la solution du problème de Cauchy. Le problème de Cauchy est aussi appelé problème avec conditions aux limites, ce qui est très courant en physique et en mécanique. Vous avez également la possibilité de poser le problème de Cauchy, c'est-à-dire de tous solutions possibleséquation, sélectionnez le quotient qui répond aux conditions initiales données.

Équation différentielle ordinaire est une équation qui relie une variable indépendante, une fonction inconnue de cette variable et ses dérivées (ou différentielles) d'ordres divers.

L'ordre de l'équation différentielle est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'il contient.

En plus des équations aux dérivées partielles ordinaires, les équations aux dérivées partielles sont également étudiées. Ce sont des équations mettant en relation des variables indépendantes, une fonction inconnue de ces variables et ses dérivées partielles par rapport aux mêmes variables. Mais nous ne considérerons que équations différentielles ordinaires et par conséquent, par souci de concision, nous omettrons le mot « ordinaire ».

Exemples d'équations différentielles :

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'équation (1) est du quatrième ordre, l'équation (2) est du troisième ordre, les équations (3) et (4) sont du deuxième ordre, l'équation (5) est du premier ordre.

Équation différentielle nème ordre ne doit pas nécessairement contenir une fonction explicite, toutes ses dérivées du premier au n-ième ordre et variable indépendante. Il ne peut pas contenir de dérivées explicites de certains ordres, d'une fonction ou d'une variable indépendante.

Par exemple, dans l'équation (1), il n'y a clairement pas de dérivées du troisième et du second ordre, ni de fonction ; dans l'équation (2) - la dérivée du second ordre et la fonction ; dans l'équation (4) - la variable indépendante ; dans l'équation (5) - fonctions. Seule l'équation (3) contient explicitement toutes les dérivées, la fonction et la variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle chaque fonction est appelée y = f(x), lorsqu'il est substitué dans l'équation, il se transforme en identité.

Le processus de recherche d'une solution à une équation différentielle est appelé son l'intégration.

Exemple 1. Trouvez la solution de l'équation différentielle.

Solution. Écrivons cette équation sous la forme . La solution est de trouver la fonction à partir de sa dérivée. La fonction originale, comme le sait le calcul intégral, est une primitive de, c'est-à-dire

C'est ce que c'est solution à cette équation différentielle . Changer dedans C, nous obtiendrons différentes solutions. Nous avons découvert qu'il y avait ensemble infini solutions d’une équation différentielle du premier ordre.

Solution générale de l'équation différentielle n L’ordre est sa solution, exprimée explicitement par rapport à la fonction inconnue et contenant n constantes arbitraires indépendantes, c'est-à-dire

La solution de l'équation différentielle de l'exemple 1 est générale.

Solution partielle d'une équation différentielle une solution dans laquelle des constantes arbitraires reçoivent des valeurs numériques spécifiques est appelée.

Exemple 2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle et une solution particulière pour .

Solution. Intégrons les deux côtés de l'équation un nombre de fois égal à l'ordre de l'équation différentielle.

,

.

En conséquence, nous avons reçu une solution générale -

d’une équation différentielle du troisième ordre donnée.

Trouvons maintenant une solution particulière pour conditions spécifiées. Pour ce faire, remplacez leurs valeurs au lieu de coefficients arbitraires et obtenez

.

Si, en plus de l'équation différentielle, la condition initiale est donnée sous la forme , alors un tel problème est appelé Problème de Cauchy . Remplacez les valeurs et dans la solution générale de l'équation et trouvez la valeur d'une constante arbitraire C, puis une solution particulière de l'équation pour la valeur trouvée C. C'est la solution au problème de Cauchy.

Exemple 3. Résolvez le problème de Cauchy pour l'équation différentielle de l'exemple 1 sous réserve de .

Solution. Remplaçons les valeurs de la condition initiale dans la solution générale oui = 3, X= 1. On obtient

Nous écrivons la solution du problème de Cauchy pour cette équation différentielle du premier ordre :

La résolution d’équations différentielles, même les plus simples, nécessite de bonnes compétences en intégration et en dérivées, y compris les fonctions complexes. Cela peut être vu dans l’exemple suivant.

Exemple 4. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle.

Solution. L’équation est écrite sous une forme telle que vous pouvez immédiatement intégrer les deux côtés.

.

Nous appliquons la méthode d'intégration par changement de variable (substitution). Qu'il en soit ainsi.

Obligatoire de prendre dx et maintenant - attention - nous faisons cela selon les règles de différenciation d'une fonction complexe, puisque X et voici fonction complexe("pomme" - extraction racine carrée ou, qu'est-ce que c'est la même chose - élever à la puissance « la moitié », et « viande hachée » est l'expression même sous la racine) :

On retrouve l'intégrale :

Revenir à la variable X, on a:

.

C'est la solution générale de cette équation différentielle du premier degré.

Pas seulement les compétences des sections précédentes mathématiques supérieures seront nécessaires pour résoudre des équations différentielles, mais aussi des compétences dès l'élémentaire, c'est-à-dire mathématiques scolaires. Comme déjà mentionné, dans une équation différentielle d'un ordre quelconque, il ne peut y avoir de variable indépendante, c'est-à-dire une variable X. La connaissance des proportions de l'école qui n'ont pas été oubliées (cependant, selon qui) de l'école aidera à résoudre ce problème. C'est l'exemple suivant.

Équations différentielles du premier ordre. Exemples de solutions.
Équations différentielles à variables séparables

Équations différentielles (DE). Ces deux mots terrifient généralement la personne moyenne. Les équations différentielles semblent être quelque chose de prohibitif et difficile à maîtriser pour de nombreux étudiants. Uuuuuu... équations différentielles, comment survivre à tout ça ?!

Cette opinion et cette attitude sont fondamentalement fausses, car en réalité ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - C'EST SIMPLE ET MÊME AMUSANT. Que faut-il savoir et être capable de faire pour apprendre à résoudre des équations différentielles ? Pour étude réussie différents, vous devez être doué pour intégrer et différencier. Mieux les sujets sont étudiés Dérivée d'une fonction d'une variable Et Intégrale indéfinie, plus il sera facile de comprendre les équations différentielles. J'en dirai plus, si vous avez des compétences d'intégration plus ou moins décentes, alors le sujet est presque maîtrisé ! Plus il y a d'intégrales divers types vous savez décider, tant mieux. Pourquoi? Il va falloir beaucoup intégrer. Et différencier. Aussi recommande fortement apprendre à trouver.

Dans 95% des cas en essais Il existe 3 types d'équations différentielles du premier ordre : équations séparables que nous examinerons dans cette leçon ; équations homogènes Et équations linéaires inhomogènes. Pour ceux qui commencent à étudier les diffuseurs, je vous conseille de lire les leçons exactement dans cet ordre, et après avoir étudié les deux premiers articles, cela ne fera pas de mal de consolider vos compétences dans un atelier supplémentaire - équations se réduisant à homogène.

Il y en a encore plus types rareséquations différentielles : équations aux différentielles totales, équations de Bernoulli et quelques autres. Les plus importants des deux derniers types sont les équations de différentiels complets, puisqu'en plus de cette télécommande j'envisage nouveau matériel – intégration partielle.

S'il ne vous reste qu'un jour ou deux, Que pour une préparation ultra-rapide Il y a cours éclair au format pdf.

Voilà, les repères sont posés, c'est parti :

Rappelons d’abord les équations algébriques habituelles. Ils contiennent des variables et des nombres. L'exemple le plus simple: . Que signifie résoudre une équation ordinaire ? Cela signifie trouver ensemble de nombres, qui satisfont cette équation. Il est facile de remarquer que l'équation des enfants a une racine unique : . Juste pour le plaisir, vérifions et remplaçons la racine trouvée dans notre équation :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution a été trouvée correctement.

Les diffuseurs sont conçus à peu près de la même manière !

Équation différentielle Premier ordre en général contient:
1) variable indépendante ;
2) variable dépendante (fonction) ;
3) la dérivée première de la fonction : .

Dans certaines équations du 1er ordre, il peut n'y avoir pas de « x » et/ou de « y », mais cela n'est pas significatif - important aller à la salle de contrôle était dérivée première, et n'a pas eu dérivés d'ordres supérieurs – , etc.

Que signifie ? Résoudre une équation différentielle signifie trouver ensemble de toutes les fonctions, qui satisfont cette équation. Un tel ensemble de fonctions a souvent la forme (– une constante arbitraire), appelée solution générale de l'équation différentielle.

Exemple 1

Résoudre l'équation différentielle

Munitions pleines. Où commencer solution?

Tout d’abord, vous devez réécrire la dérivée sous une forme légèrement différente. Nous rappelons la désignation encombrante, qui a probablement semblé à beaucoup d'entre vous ridicule et inutile. C'est ce qui règne dans les diffuseurs !

Dans un deuxième temps, voyons si c'est possible des variables séparées ? Que signifie séparer les variables ? Grosso modo, sur le côté gauche nous devons partir seulement "Grecs", UN sur le côté droit organiser seulement des "X". La division des variables s'effectue à l'aide de manipulations « scolaires » : les mettre entre parenthèses, transférer des termes de partie en partie avec changement de signe, transférer des facteurs de partie en partie selon la règle de proportion, etc.

Les différentiels sont des multiplicateurs à part entière et des participants actifs aux hostilités. Dans l'exemple considéré, les variables sont facilement séparées en mélangeant les facteurs selon la règle de proportion :

Les variables sont séparées. Sur le côté gauche, il n’y a que des « Y », sur le côté droit, uniquement des « X ».

Étape suivante - intégration d'équation différentielle. C’est simple, on met des intégrales des deux côtés :

Bien sûr, nous devons prendre des intégrales. DANS dans ce cas ils sont tabulaires :

Comme on s’en souvient, une constante est attribuée à toute primitive. Il y a ici deux intégrales, mais il suffit d'écrire la constante une fois (puisque constante + constante est toujours égale à une autre constante). Dans la plupart des cas, il est placé dans côté droit.

À proprement parler, une fois les intégrales prises, l’équation différentielle est considérée comme résolue. La seule chose est que notre « y » n'est pas exprimé par « x », c'est-à-dire que la solution est présentée de manière implicite formulaire. La solution d'une équation différentielle sous forme implicite s'appelle intégrale générale de l'équation différentielle. Autrement dit, il s'agit d'une intégrale générale.

La réponse sous cette forme est tout à fait acceptable, mais existe-t-il une meilleure option ? Essayons d'obtenir décision commune.

S'il te plaît, rappelez-vous la première technique, il est très courant et est souvent utilisé dans tâches pratiques: si un logarithme apparaît du côté droit après intégration, alors dans de nombreux cas (mais pas toujours !) il est également conseillé d'écrire la constante sous le logarithme.

C'est, AU LIEU DE les entrées sont généralement écrites .

Pourquoi est-ce nécessaire ? Et afin de faciliter l’expression du « jeu ». Utiliser la propriété des logarithmes . Dans ce cas:

Les logarithmes et les modules peuvent désormais être supprimés :

La fonction est présentée explicitement. C'est la solution générale.

Répondre: décision commune: .

Les réponses à de nombreuses équations différentielles sont assez faciles à vérifier. Dans notre cas, cela se fait tout simplement, on prend la solution trouvée et on la différencie :

Ensuite, nous substituons la dérivée dans équation originale :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution générale satisfait l'équation, ce qu'il fallait vérifier.

Donner une constante différentes significations, vous pouvez en obtenir une infinité solutions privéeséquation différentielle. Il est clair que toutes les fonctions , , etc. satisfait l’équation différentielle.

Parfois, la solution générale est appelée famille de fonctions. DANS dans cet exemple décision commune - c'est une famille fonctions linéaires, ou plutôt une famille de proportionnalité directe.

Après un examen approfondi du premier exemple, il convient de répondre à quelques questions naïvesà propos des équations différentielles :

1)Dans cet exemple, nous avons pu séparer les variables. Est-ce que cela peut toujours être fait ? Non, pas toujours. Et plus souvent encore, les variables ne peuvent être séparées. Par exemple, dans équations homogènes du premier ordre, vous devez d'abord le remplacer. Dans d'autres types d'équations, par exemple, dans une équation inhomogène linéaire du premier ordre, vous devez utiliser diverses techniques et les méthodes pour trouver une solution générale. Équations à variables séparables, que nous considérons dans la première leçon - type le plus simpleéquations différentielles.

2) Est-il toujours possible d'intégrer une équation différentielle ? Non, pas toujours. Il est très facile de proposer une équation « fantaisiste » qui ne peut pas être intégrée. De plus, il existe des intégrales qui ne peuvent pas être prises en compte. Mais des DE similaires peuvent être résolus approximativement en utilisant méthodes spéciales. D'Alembert et Cauchy garantissent... ...pouah, lurkmore. Pour lire beaucoup de choses tout à l'heure, j'ai failli ajouter « de l'autre monde ».

3) Dans cet exemple, nous avons obtenu une solution sous la forme d'une intégrale générale . Est-il toujours possible de trouver une solution générale à partir d’une intégrale générale, c’est-à-dire d’exprimer explicitement le « y » ? Non, pas toujours. Par exemple: . Eh bien, comment pouvez-vous exprimer « grec » ici ?! Dans de tels cas, la réponse doit être écrite sous forme d’intégrale générale. De plus, il est parfois possible de trouver une solution générale, mais elle est écrite de manière si lourde et maladroite qu'il vaut mieux laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale

4) ...c'est peut-être suffisant pour le moment. Dans le premier exemple que nous avons rencontré Un autre point important , mais pour ne pas couvrir les "mannequins" d'une avalanche nouvelle information, je vais le laisser jusqu'à la prochaine leçon.

Nous ne nous précipiterons pas. Une autre télécommande simple et une autre solution typique :

Exemple 2

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale

Solution: selon la condition, il faut trouver solution privée DE qui satisfait une condition initiale donnée. Cette formulation de la question est également appelée Problème de Cauchy.

Nous trouvons d’abord une solution générale. Il n'y a pas de variable « x » dans l'équation, mais cela ne doit pas prêter à confusion, l'essentiel est qu'elle ait la dérivée première.

On réécrit la dérivée en sous la bonne forme:

Bien évidemment, les variables peuvent être séparées, les garçons à gauche, les filles à droite :

Intégrons l'équation :

L'intégrale générale est obtenue. Ici j'ai dessiné une constante avec un astérisque, le fait est que très bientôt elle se transformera en une autre constante.

Essayons maintenant de transformer l’intégrale générale en une solution générale (exprimer explicitement le « y »). Rappelons-nous les bonnes vieilles choses de l'école : . Dans ce cas:

La constante de l’indicateur semble en quelque sorte peu casher, elle est donc généralement ramenée à la terre. Dans le détail, voici comment cela se passe. En utilisant la propriété des degrés, nous réécrivons la fonction comme suit :

Si est une constante, alors est aussi une constante, redésignons-la avec la lettre :

Rappelez-vous que « démolir » une constante est deuxième technique, qui est souvent utilisé lors de la résolution d’équations différentielles.

La solution générale est donc : . C'est une belle famille de fonctions exponentielles.

Au stade final, vous devez trouver une solution particulière qui satisfait à la condition initiale donnée. C'est aussi simple.

Quelle est la tâche ? Il faut ramasser tel la valeur de la constante pour que la condition soit satisfaite.

Il peut être formaté de différentes manières, mais celle-ci sera probablement la plus claire. Dans la solution générale, au lieu du « X » nous remplaçons un zéro, et au lieu du « Y » nous remplaçons un deux :



C'est,

Version standard conception:

Nous substituons maintenant la valeur trouvée de la constante dans la solution générale :
– c’est la solution particulière dont nous avons besoin.

Répondre: solution privée :

Allons vérifier. La vérification d'une solution privée comprend deux étapes :

Vous devez d’abord vérifier si la solution particulière trouvée satisfait réellement à la condition initiale ? Au lieu du « X », nous remplaçons un zéro et voyons ce qui se passe :
– oui, vous avez bien obtenu un deux, ce qui signifie que la condition initiale est remplie.

La deuxième étape est déjà familière. Nous prenons la solution particulière résultante et trouvons la dérivée :

Nous substituons dans l'équation originale :

– l'égalité correcte est obtenue.

Conclusion : la solution particulière a été trouvée correctement.

Passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 3

Résoudre l'équation différentielle

Solution: Nous réécrivons la dérivée sous la forme dont nous avons besoin :

On évalue s'il est possible de séparer les variables ? Peut. On déplace le deuxième terme vers la droite avec un changement de signe :

Et on transfère les multiplicateurs selon la règle de proportion :

Les variables sont séparées, intégrons les deux parties :

Je dois vous prévenir, le jour du jugement approche. Si tu n'as pas bien étudié intégrales indéfinies, avez résolu quelques exemples, alors il n'y a nulle part où aller - vous devrez les maîtriser maintenant.

L'intégrale du côté gauche est facile à trouver ; nous traitons l'intégrale de la cotangente en utilisant la technique standard que nous avons vue dans la leçon. Intégration de fonctions trigonométriques l'année dernière:

Sur le côté droit, nous avons un logarithme et, selon ma première recommandation technique, la constante devrait également être écrite sous le logarithme.

Essayons maintenant de simplifier l’intégrale générale. Comme nous ne disposons que de logarithmes, il est tout à fait possible (et nécessaire) de s’en débarrasser. En utilisant propriétés connues Nous « emballons » les logarithmes autant que possible. Je vais l'écrire en détail :

L’emballage est fini d’être barbarement en lambeaux :

Est-il possible d’exprimer « jeu » ? Peut. Il faut mettre les deux parties au carré.

Mais vous n'avez pas besoin de faire ça.

Troisième conseil technique : si pour obtenir une solution générale il faut s'élever au pouvoir ou s'enraciner, alors Dans la plupart des cas vous devez vous abstenir de ces actions et laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale. Le fait est que la solution générale aura l'air tout simplement terrible - avec de grosses racines, des panneaux et autres déchets.

Par conséquent, nous écrivons la réponse sous la forme d’une intégrale générale. Il est considéré comme une bonne pratique de le présenter sous la forme , c'est-à-dire que sur le côté droit, si possible, ne laissez qu'une constante. Ce n'est pas nécessaire, mais c'est toujours bénéfique pour faire plaisir au professeur ;-)

Répondre: intégrale générale :

! Note: l'intégrale générale de toute équation peut s'écrire non Le seul moyen. Ainsi, si votre résultat ne coïncide pas avec la réponse connue précédemment, cela ne signifie pas que vous avez mal résolu l'équation.

L'intégrale générale est également assez simple à vérifier, l'essentiel est de pouvoir trouver dérivée d'une fonction spécifiée implicitement. Différencions la réponse :

On multiplie les deux termes par :

Et divisez par :

L’équation différentielle originale a été obtenue exactement, ce qui signifie que l’intégrale générale a été trouvée correctement.

Exemple 4

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale. Effectuer une vérification.

Ceci est un exemple pour décision indépendante.

Permettez-moi de vous rappeler que l'algorithme se compose de deux étapes :
1) trouver une solution générale ;
2) trouver la solution particulière requise.

Le contrôle s'effectue également en deux étapes (voir exemple dans l'exemple n°2), il faut :
1) s'assurer que la solution particulière trouvée satisfait à la condition initiale ;
2) vérifier qu'une solution particulière satisfait généralement l'équation différentielle.

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Exemple 5

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle , satisfaisant la condition initiale. Effectuer une vérification.

Solution: Tout d’abord, trouvons une solution générale. Cette équation contient déjà des différentiels prêts à l'emploi et, par conséquent, la solution est simplifiée. On sépare les variables :

Intégrons l'équation :

L'intégrale de gauche est tabulaire, l'intégrale de droite est prise méthode pour subsumer une fonction sous le signe différentiel:

L'intégrale générale a été obtenue, est-il possible d'exprimer avec succès la solution générale ? Peut. Nous accrochons des logarithmes des deux côtés. Puisqu’ils sont positifs, les signes de module sont inutiles :

(J'espère que tout le monde comprend la transformation, de telles choses devraient déjà être connues)

La solution générale est donc :

Trouvons une solution particulière correspondant à la condition initiale donnée.
Dans la solution générale, au lieu de « X » nous remplaçons zéro, et au lieu de « Y » nous remplaçons le logarithme de deux :

Conception plus familière :

Nous substituons la valeur trouvée de la constante dans la solution générale.

Répondre: solution privée :

Vérifier : Vérifions d’abord si la condition initiale est remplie :
- Tout est bon.

Vérifions maintenant si la solution particulière trouvée satisfait à l’équation différentielle. Trouver la dérivée :

Regardons l'équation originale : – il est présenté en différentiels. Il existe deux façons de vérifier. Il est possible d'exprimer la différentielle à partir de la dérivée trouvée :

Remplaçons la solution particulière trouvée et le différentiel résultant dans l'équation d'origine :

Nous utilisons l'identité logarithmique de base :

L’égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution particulière a été trouvée correctement.

La deuxième méthode de vérification est en miroir et plus familière : à partir de l'équation Exprimons la dérivée, pour ce faire on divise tous les morceaux par :

Et dans le DE transformé, nous substituons la solution partielle obtenue et la dérivée trouvée. Grâce aux simplifications, l'égalité correcte devrait également être obtenue.

Exemple 6

Résoudre l’équation différentielle. Présentez la réponse sous la forme d’une intégrale générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Quelles difficultés nous guettent lors de la résolution d’équations différentielles à variables séparables ?

1) Il n’est pas toujours évident (surtout pour une « théière ») que les variables puissent être séparées. Considérons exemple conditionnel: . Ici, vous devez retirer les facteurs entre parenthèses : et séparer les racines : . Ce qu’il faut faire ensuite est clair.

2) Difficultés avec l'intégration elle-même. Les intégrales ne sont souvent pas les plus simples, et s'il y a des défauts dans les capacités de recherche intégrale indéfinie, alors ce sera difficile avec de nombreux diffuseurs. De plus, la logique « puisque l'équation différentielle est simple, alors au moins que les intégrales soient plus compliquées » est populaire parmi les compilateurs de collections et de manuels de formation.

3) Transformations avec une constante. Comme chacun l'a remarqué, la constante dans les équations différentielles peut être manipulée assez librement, et certaines transformations ne sont pas toujours claires pour un débutant. Regardons un autre exemple conditionnel : . Il est conseillé de multiplier tous les termes par 2 : . La constante résultante est également une sorte de constante, qui peut être notée : . Oui, et comme il y a un logarithme sur le côté droit, alors il convient de réécrire la constante sous la forme d'une autre constante : .

Le problème est qu’ils ne se soucient souvent pas des index et utilisent la même lettre. En conséquence, le dossier de décision prend la forme suivante :

Quel genre d'hérésie ? Il y a des erreurs là ! À proprement parler, oui. Cependant, d'un point de vue substantiel, il n'y a pas d'erreurs, car à la suite de la transformation d'une constante variable, une constante variable est toujours obtenue.

Ou un autre exemple, supposons qu'au cours de la résolution de l'équation, une intégrale générale soit obtenue. Cette réponse a l'air moche, il est donc conseillé de changer le signe de chaque terme : . Formellement, il y a une autre erreur ici : elle devrait être écrite à droite. Mais de manière informelle, il est sous-entendu que « moins ce » est toujours une constante ( ce qui peut tout aussi bien prendre n'importe quel sens !), donc mettre un « moins » n’a pas de sens et vous pouvez utiliser la même lettre.

J'essaierai d'éviter une approche imprudente, tout en attribuant différents indices aux constantes lors de leur conversion.

Exemple 7

Résoudre l’équation différentielle. Effectuer une vérification.

Solution: Cette équation permet de séparer les variables. On sépare les variables :

Intégrons :

Il n'est pas nécessaire de définir ici la constante comme un logarithme, car cela n'apportera rien d'utile.

Répondre: intégrale générale :

Vérifier : Différenciez la réponse ( fonction implicite):

On se débarrasse des fractions en multipliant les deux termes par :

L'équation différentielle originale a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale générale a été trouvée correctement.

Exemple 8

Trouver une solution particulière du DE.
,

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Le seul indice est qu'ici vous obtiendrez une intégrale générale et, plus correctement, vous devrez vous efforcer de trouver non pas une solution particulière, mais intégrale partielle. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.