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Objectifs:
- généralisation et systématisation des connaissances et des compétences des étudiants ;
- développement de compétences pour analyser, comparer, tirer des conclusions.
Équipement:
- projecteur multimédia;
- ordinateur;
- feuilles avec des textes problématiques
PROGRÈS DE LA CLASSE
I. Moment organisationnel
II. Étape de mise à jour des connaissances(diapositive 2)
Nous répétons comment la distance d'un point à un plan est déterminée
III. Conférence(diapositives 3 à 15)
En classe, nous verrons diverses manières trouver la distance d'un point à un plan.
Première méthode : calcul étape par étape
Distance du point M au plan α :
– égale à la distance au plan α d'un point arbitraire P situé sur une droite a, qui passe par le point M et est parallèle au plan α ;
– est égale à la distance au plan α d'un point arbitraire P situé sur le plan β, qui passe par le point M et est parallèle au plan α.
Nous allons résoudre les problèmes suivants :
№1. Dans le cube A...D 1, trouvez la distance du point C 1 au plan AB 1 C.
Il reste à calculer la valeur de la longueur du segment O 1 N.
№2. Dans un prisme hexagonal régulier A...F 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance du point A au plan DEA 1.
Méthode suivante: méthode volumique.
Si le volume de la pyramide ABCM est égal à V, alors la distance du point M au plan α contenant ∆ABC est calculée par la formule ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Lors de la résolution de problèmes, nous utilisons l'égalité des volumes d'un chiffre, exprimée de deux manières différentes.
Résolvons le problème suivant :
№3. L'arête AD de la pyramide DABC est perpendiculaire au plan de base ABC. Trouver la distance de A au plan passant par les milieux des arêtes AB, AC et AD, si.
Lors de la résolution de problèmes méthode de coordonnées la distance du point M au plan α peut être calculée à l'aide de la formule ρ(M; α) = 
, où M(x 0; y 0; z 0), et le plan est donné par l'équation ax + by + cz + d = 0
Résolvons le problème suivant :
№4. Dans un cube unité A...D 1, trouvez la distance du point A 1 au plan BDC 1.
Introduisons un système de coordonnées avec l'origine au point A, l'axe y s'étendra le long du bord AB, l'axe x le long du bord AD et l'axe z le long du bord AA 1. Puis les coordonnées des points B (0 ; 1 ; 0) D (1 ; 0 ; 0 ;) C 1 (1 ; 1 ; 1)
Créons une équation pour un plan passant par les points B, D, C 1.
Alors – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Donc ρ = 
La méthode suivante peut être utilisée pour résoudre des problèmes de ce genre – méthode de prise en charge des problèmes.
Application cette méthode consiste à appliquer des problèmes de référence connus, formulés sous forme de théorèmes.
Résolvons le problème suivant :
№5. Dans un cube unité A...D 1, trouvez la distance du point D 1 au plan AB 1 C.
Considérons l'application méthode vectorielle.
№6. Dans un cube unité A...D 1, trouvez la distance du point A 1 au plan BDC 1.
Nous avons donc examiné différentes méthodes pouvant être utilisées pour résoudre ce type de problème. Le choix d'une méthode ou d'une autre dépend de la tâche spécifique et de vos préférences.
IV. Travail de groupe
Essayez de résoudre le problème de différentes manières.
№1. L'arête du cube A...D 1 est égale à . Trouvez la distance entre le sommet C et le plan BDC 1.
№2. DANS tétraèdre régulier ABCD avec une arête, trouvez la distance du point A au plan BDC
№3. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1 dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance de A au plan BCA 1.
№4. Dans une pyramide quadrilatère régulière SABCD, dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance de A au plan SCD.
V. Résumé de la leçon, devoirs, réflexion
Cet article parle de déterminer la distance entre un point et un plan. Analysons-le à l'aide de la méthode des coordonnées, qui nous permettra de trouver la distance à partir d'un point donné dans l'espace tridimensionnel. Pour renforcer cela, regardons des exemples de plusieurs tâches.
Yandex.RTB R-A-339285-1
La distance d'un point à un plan se trouve par distance connue de point en point, où l'un d'eux est donné, et l'autre est une projection sur un plan donné.
Lorsqu'un point M 1 avec un plan χ est spécifié dans l'espace, alors une ligne droite perpendiculaire au plan peut être tracée passant par le point. H1 est point commun leurs intersections. De là on obtient que le segment M 1 H 1 est une perpendiculaire tracée du point M 1 au plan χ, où le point H 1 est la base de la perpendiculaire.
Définition 1
Appelons la distance d'un point donné à la base d'une perpendiculaire tirée d'un point donné à avion donné.
La définition peut être écrite sous différentes formulations.
Définition 2
Distance du point au plan est la longueur de la perpendiculaire tracée d'un point donné à un plan donné.
La distance du point M 1 au plan χ est déterminée comme suit : la distance du point M 1 au plan χ sera la plus petite d'un point donné à n'importe quel point du plan. Si le point H 2 est situé dans le plan χ et n'est pas égal au point H 2, alors on obtient triangle rectangle tapez M 2 H 1 H 2 , qui est rectangulaire, où il y a une jambe M 2 H 1, M 2 H 2 – l'hypoténuse. Cela signifie qu'il s'ensuit que M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 est considéré comme incliné, qui est tiré du point M 1 jusqu'au plan χ. Nous avons que la perpendiculaire tirée d'un point donné au plan est inférieure à l'inclinée tirée du point au plan donné. Regardons ce cas dans la figure ci-dessous.
Distance d'un point à un plan - théorie, exemples, solutions
Il y a un certain nombre problèmes géométriques, dont les solutions doivent contenir la distance du point au plan. Il peut y avoir différentes manières de l'identifier. Pour résoudre, utilisez le théorème de Pythagore ou similarité des triangles. Lorsque, selon la condition, il est nécessaire de calculer la distance d'un point à un plan, précisée dans système rectangulaire les coordonnées de l'espace tridimensionnel sont résolues par la méthode des coordonnées. Ce paragraphe traite de cette méthode.
D'après les conditions du problème, on a qu'un point dans l'espace tridimensionnel de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) avec un plan χ est donné il faut déterminer la distance de M 1 à ; le plan χ. Plusieurs méthodes de résolution sont utilisées pour résoudre ce problème.
Première façon
Cette méthode est basée sur la recherche de la distance d'un point à un plan en utilisant les coordonnées du point H 1, qui sont la base de la perpendiculaire du point M 1 au plan χ. Ensuite, vous devez calculer la distance entre M 1 et H 1.
Pour résoudre le problème de la deuxième manière, utilisez équation normale avion donné.
Deuxième façon
Par condition, nous avons que H 1 est la base de la perpendiculaire qui a été abaissée du point M 1 au plan χ. Ensuite on détermine les coordonnées (x 2, y 2, z 2) du point H 1. La distance requise de M 1 au plan χ est trouvée par la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, où M 1 (x 1, y 1, z 1) et H 1 (x 2, y 2, z 2). Pour résoudre, vous devez connaître les coordonnées du point H 1.
On a que H 1 est le point d'intersection du plan χ avec la droite a, qui passe par le point M 1 situé perpendiculairement au plan χ. Il s'ensuit qu'il est nécessaire d'établir une équation pour une droite passant par un point donné perpendiculaire à un plan donné. C'est alors que l'on pourra déterminer les coordonnées du point H 1. Il faut calculer les coordonnées du point d'intersection de la droite et du plan.
Algorithme pour trouver la distance d'un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) au plan χ :
Définition 3
- établir une équation de la droite a passant par le point M 1 et en même temps
- perpendiculaire au plan χ ;
- trouver et calculer les coordonnées (x 2 , y 2 , z 2) du point H 1, qui sont des points
- intersection de la ligne a avec le plan χ ;
- calculez la distance de M 1 à χ en utilisant la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.
Troisième voie
Dans un système de coordonnées rectangulaires donné O x y z il existe un plan χ, alors on obtient une équation normale du plan de la forme cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. De là, nous obtenons que la distance M 1 H 1 avec le point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) tracé au plan χ, calculée par la formule M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Cette formule est valable, puisqu'elle a été établie grâce au théorème.
Théorème
Si le point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) est donné dans espace tridimensionnel, ayant une équation normale du plan χ de la forme cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, alors la distance du point au plan M 1 H 1 est calculée à partir de la formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, puisque x = x 1, y = y 1, z = z 1.
Preuve
La preuve du théorème revient à trouver la distance d'un point à une ligne. De là, nous obtenons que la distance de M 1 au plan χ est le module de la différence entre la projection numérique du rayon vecteur M 1 avec la distance de l'origine au plan χ. On obtient alors l'expression M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Le vecteur normal du plan χ a la forme n → = cos α, cos β, cos γ, et sa longueur est égale à un, n p n → O M → est la projection numérique du vecteur O M → = (x 1, y 1 , z 1) dans la direction déterminée par le vecteur n → .
Appliquons la formule de calcul vecteurs scalaires. Ensuite, nous obtenons une expression pour trouver un vecteur de la forme n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , puisque n → = cos α , cos β , cos γ · z et O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Formulaire de coordonnées l'entrée prendra la forme n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , alors M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Le théorème est prouvé.
De là, nous obtenons que la distance du point M 1 (x 1, y 1, z 1) au plan χ est calculée en substituant dans côté gaucheéquation normale du plan cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 au lieu des coordonnées x, y, z x 1, y 1 et z 1, lié au point M 1, en prenant valeur absolue la valeur obtenue.
Regardons des exemples de recherche de la distance entre un point avec des coordonnées et un plan donné.
Exemple 1
Calculez la distance du point de coordonnées M 1 (5, - 3, 10) au plan 2 x - y + 5 z - 3 = 0.
Solution
Résolvons le problème de deux manières.
La première méthode commence par calculer le vecteur directeur de la ligne a. Par condition, nous avons que l'équation donnée 2 x - y + 5 z - 3 = 0 est une équation du plan vue générale, et n → = (2, - 1, 5) est le vecteur normal du plan donné. Il est utilisé comme vecteur directeur d’une droite a, perpendiculaire à un plan donné. Doit être écrit équation canonique une droite dans l'espace passant par M 1 (5, - 3, 10) de vecteur directeur de coordonnées 2, - 1, 5.
L'équation deviendra x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.
Les points d'intersection doivent être déterminés. Pour ce faire, combinez doucement les équations dans un système pour passer des équations canoniques aux équations de deux droites qui se croisent. Ce point prenons H 1. Nous obtenons cela
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Après quoi vous devez activer le système
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Passons à la règle de solution du système gaussien :
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1
Nous obtenons cela H 1 (1, - 1, 0).
On calcule la distance d'un point donné à l'avion. On prend les points M 1 (5, - 3, 10) et H 1 (1, - 1, 0) et on obtient
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
La deuxième solution consiste d'abord à réduire l'équation donnée 2 x - y + 5 z - 3 = 0 à aspect normal. Nous déterminons le facteur de normalisation et obtenons 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. De là, nous dérivons l'équation du plan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Le côté gauche de l'équation est calculé en substituant x = 5, y = - 3, z = 10, et vous devez prendre la distance de M 1 (5, - 3, 10) à 2 x - y + 5 z - 3 = 0 module. On obtient l'expression :
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Réponse : 2 h 30.
Lorsque le plan χ est spécifié par l'une des méthodes de la section sur les méthodes de spécification d'un plan, vous devez d'abord obtenir l'équation du plan χ et calculer la distance requise en utilisant n'importe quelle méthode.
Exemple 2
Dans l'espace tridimensionnel, les points de coordonnées M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) sont spécifiés. Calculez la distance de M 1 au plan A B C.
Solution
Vous devez d'abord écrire l'équation du plan passant par les trois points donnés avec les coordonnées M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Il s’ensuit que le problème a une solution similaire à la précédente. Cela signifie que la distance du point M 1 au plan A B C a une valeur de 2 30.
Réponse : 2 h 30.
Trouver la distance d'un point donné sur un plan ou à un plan auquel ils sont parallèles est plus pratique en appliquant la formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . On en déduit que les équations normales des plans sont obtenues en plusieurs étapes.
Exemple 3
Trouver la distance d'un point donné de coordonnées M 1 (- 3 , 2 , - 7) à plan de coordonnées O x y z et avion, donné par l'équation 2 ans - 5 = 0 .
Solution
Le plan de coordonnées O y z correspond à une équation de la forme x = 0. Pour le plan O y z c'est normal. Par conséquent, il est nécessaire de substituer les valeurs x = - 3 dans le côté gauche de l'expression et de prendre la valeur absolue de la distance du point de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7) au plan. On obtient une valeur égale à - 3 = 3.
Après la transformation, l'équation normale du plan 2 y - 5 = 0 prendra la forme y - 5 2 = 0. Ensuite, vous pouvez trouver la distance requise entre le point de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7) et le plan 2 y - 5 = 0. En remplaçant et en calculant, nous obtenons 2 - 5 2 = 5 2 - 2.
Répondre: La distance requise de M 1 (- 3, 2, - 7) à O y z a une valeur de 3, et à 2 y - 5 = 0 a une valeur de 5 2 - 2.
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Détermination de la distance entre : 1 - le point et le plan ; 2 - droit et plat ; 3 - avions ; 4 - les lignes droites qui se croisent sont considérées ensemble, puisque l'algorithme de solution de tous ces problèmes est essentiellement le même et consiste en constructions géométriques, qui doit être effectué pour déterminer la distance entre le point donné A et le plan α. S'il y a une différence, elle consiste uniquement dans le fait que dans les cas 2 et 3, avant de commencer à résoudre le problème, il faut marquer sur la droite m (cas 2) ou le plan β (cas 3) point arbitraire A. Lors de la détermination de la distance entre les lignes qui se croisent, nous les enfermons d’abord dans des plans parallèles α et β, puis déterminons la distance entre ces plans.
Considérons chacun des cas notés de résolution de problèmes.
1. Déterminer la distance entre un point et un plan.
La distance d'un point à un plan est déterminée par la longueur d'un segment perpendiculaire tiré d'un point au plan.
La solution à ce problème consiste donc à effectuer séquentiellement les opérations graphiques suivantes :
1) à partir du point A on abaisse la perpendiculaire au plan α (Fig. 269) ;
2) trouver le point M d'intersection de cette perpendiculaire avec le plan M = a ∩ α ;
3) déterminer la longueur du segment.
Si le plan α position générale, puis pour abaisser une perpendiculaire sur ce plan, il faut d'abord déterminer la direction des projections horizontale et frontale de ce plan. Trouver le point de rencontre de cette perpendiculaire avec le plan nécessite également des constructions géométriques supplémentaires.
La solution du problème est simplifiée si le plan α occupe une position particulière par rapport aux plans de projection. Dans ce cas, tant la projection de la perpendiculaire que la recherche du point de rencontre avec le plan sont effectuées sans aucune construction auxiliaire supplémentaire.
EXEMPLE 1. Déterminer la distance entre le point A et le plan α se projetant frontalement (Fig. 270).
SOLUTION. Par A" on trace la projection horizontale de la perpendiculaire l" ⊥ h 0α, et par A" - son projection frontale l" ⊥ f 0α. Marquez le point M" = l" ∩ f 0α. Puisque AM || π 2, alors [A" M"] == |AM| = d.
L'exemple considéré montre clairement à quel point le problème est résolu simplement lorsque l'avion occupe une position saillante. Par conséquent, si un plan de position générale est spécifié dans les données source, avant de procéder à la solution, le plan doit être déplacé vers une position perpendiculaire à tout plan de projection.
EXEMPLE 2. Déterminer la distance du point K au plan spécifié par ΔАВС (Fig. 271).
1. Nous transférons le plan ΔАВС à la position projetée *. Pour ce faire, on passe du système xπ 2 /π 1 à x 1 π 3 /π 1 : la direction du nouvel axe x 1 est choisie perpendiculairement à la projection horizontale du plan horizontal du triangle.
2. Projeter ΔABC sur un nouveau plan π 3 (le plan ΔABC est projeté sur π 3, dans [ C " 1 B " 1 ]).
3. Projetez le point K sur le même plan (K" → K" 1).
4. Par le point K" 1 on trace (K" 1 M" 1)⊥ le segment [C" 1 B" 1]. La distance requise d = |K" 1 M" 1 |
La solution au problème est simplifiée si le plan est défini par des traces, puisqu'il n'est pas nécessaire de tracer des projections de lignes de niveau.
EXEMPLE 3. Déterminer la distance du point K au plan α, spécifié par les traces (Fig. 272).
* La plupart manière rationnelle transférer le plan triangulaire vers la position de projection est une manière de remplacer les plans de projection, puisque dans ce cas il suffit de construire une seule projection auxiliaire.
SOLUTION. On remplace le plan π 1 par le plan π 3, pour cela on dessine un nouvel axe x 1 ⊥ f 0α. Sur h 0α on marque un point arbitraire 1" et on détermine sa nouvelle projection horizontale sur le plan π 3 (1" 1). A travers les points X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) et 1" 1 on trace h 0α 1. On détermine la nouvelle projection horizontale du point K → K" 1. A partir du point K" 1 on abaisse la perpendiculaire à h 0α 1 et on marque le point de son intersection avec h 0α 1 - M" 1. La longueur du segment K" 1 M" 1 indiquera la distance requise.
2. Déterminer la distance entre une ligne droite et un plan.
La distance entre une ligne et un plan est déterminée par la longueur d'un segment perpendiculaire tombé d'un point arbitraire de la ligne sur le plan (voir Fig. 248).
Par conséquent, la solution au problème de la détermination de la distance entre la droite m et le plan α n'est pas différente des exemples évoqués au paragraphe 1 pour déterminer la distance entre un point et un plan (voir Fig. 270 ... 272). Comme point, vous pouvez prendre n'importe quel point appartenant à la ligne m.
3. Détermination de la distance entre les avions.
La distance entre les plans est déterminée par la taille du segment perpendiculaire tombé d'un point pris sur un plan à un autre plan.
De cette définition, il s'ensuit que l'algorithme pour résoudre le problème de trouver la distance entre les plans α et β diffère d'un algorithme similaire pour résoudre le problème de détermination de la distance entre la ligne m et le plan α uniquement en ce que la ligne m doit appartenir au plan α , c'est-à-dire que pour déterminer la distance entre les plans α et β suit :
1) prendre une droite m dans le plan α ;
2) sélectionner un point arbitraire A sur la ligne m ;
3) à partir du point A, abaisser la perpendiculaire l au plan β ;
4) déterminer le point M - le point de rencontre de la perpendiculaire l avec le plan β ;
5) déterminer la taille du segment.
En pratique, il est conseillé d'utiliser un algorithme de solution différent, qui ne différera de celui donné que par le fait qu'avant de passer à la première étape, les plans doivent être transférés vers la position de projection.
L'inclusion de cette opération supplémentaire dans l'algorithme simplifie l'exécution de tous les autres points sans exception, ce qui conduit finalement à une solution plus simple.
EXEMPLE 1. Déterminer la distance entre les plans α et β (Fig. 273).
SOLUTION. On passe du système xπ 2 /π 1 à x 1 π 1 /π 3. Par rapport à nouvel avionπ 3 plans α et β occupent une position saillante, donc la distance entre les nouvelles traces frontales f 0α 1 et f 0β 1 est celle souhaitée.
DANS pratique d'ingénierie il faut souvent résoudre le problème de la construction d'un plan parallèle à un plan donné et éloigné de lui en distance spécifiée. L'exemple 2 ci-dessous illustre la solution à un tel problème.
EXEMPLE 2. Il est nécessaire de construire des projections d'un plan β parallèle à un plan donné α (m || n), si l'on sait que la distance entre elles est d (Fig. 274).
1. Dans le plan α, tracez des lignes horizontales arbitraires h (1, 3) et des lignes frontales f (1,2).
2. A partir du point 1 on restitue la perpendiculaire l au plan α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").
3. Sur la perpendiculaire l, nous marquons un point arbitraire A.
4. Déterminez la longueur du segment - (la position indique sur le diagramme la direction métriquement non déformée de la droite l).
5. Tracez le segment = d sur la droite (1"A 0) à partir du point 1".
6. Marquer sur les projections l" et l" les points B" et B", correspondant au point B 0.
7. Par le point B on trace le plan β (h 1 ∩ f 1). À β || α, il faut respecter la condition h 1 || h et f 1 || f.
4. Détermination de la distance entre les lignes qui se croisent.
La distance entre les lignes sécantes est déterminée par la longueur de la perpendiculaire contenue entre les plans parallèles auxquels appartiennent les lignes sécantes.
Pour tracer des plans α et β parallèles entre eux passant par des droites sécantes m et f, il suffit de tracer par le point A (A ∈ m) une droite p parallèle à la droite f, et par le point B (B ∈ f) une droite k parallèle à la droite m . Les lignes sécantes m et p, f et k définissent les plans mutuellement parallèles α et β (voir Fig. 248, e). La distance entre les plans α et β est égale à la distance requise entre les lignes de croisement m et f.
Une autre façon de déterminer la distance entre les lignes qui se croisent peut être proposée, qui consiste à utiliser une sorte de méthode de transformation projections orthogonales l'une des lignes de croisement est transférée vers la position saillante. Dans ce cas, une projection de la droite dégénère en un point. La distance entre les nouvelles projections des lignes qui se croisent (point A" 2 et segment C" 2 D" 2) est celle requise.
Sur la fig. 275 montre une solution au problème de la détermination de la distance entre les lignes de croisement a et b, étant donné les segments [AB] et [CD]. La solution s'effectue dans l'ordre suivant :
1. Déplacez l'une des lignes de croisement (a) vers une position parallèle au planπ 3 ; Pour ce faire, passez du système de plans de projection xπ 2 /π 1 au nouveau x 1 π 1 /π 3, l'axe x 1 est parallèle à la projection horizontale de la droite a. Déterminez a" 1 [A" 1 B" 1 ] et b" 1.
2. En remplaçant le plan π 1 par le plan π 4, on translation la droite
et positionner un" 2, perpendiculaire au planπ 4 (le nouvel axe x 2 est tracé perpendiculairement à un "1).
3. Construisez une nouvelle projection horizontale de la droite b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].
4. La distance du point A" 2 à la droite C" 2 D" 2 (segment (A" 2 M" 2 ] (est celle requise.
Il convient de garder à l'esprit que le transfert d'une des lignes croisées vers la position saillante n'est rien d'autre que le transfert des plans de parallélisme, dans lesquels les lignes a et b peuvent être enfermées, également vers la position saillante.
En fait, en déplaçant la ligne a vers une position perpendiculaire au plan π 4, on s'assure que tout plan contenant la ligne a est perpendiculaire au plan π 4, y compris le plan α défini par les lignes a et m (a ∩ m, m | |b). Si nous traçons maintenant une ligne n, parallèle à a et sécante de la ligne b, alors nous obtenons le plan β, qui est le deuxième plan de parallélisme, qui contient les lignes sécantes a et b. Depuis β || α, alors β ⊥ π 4 .
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