Détermination de la distance entre : 1 - le point et le plan ; 2 - droit et plat ; 3 - avions ; 4 - les lignes droites qui se croisent sont considérées ensemble, puisque l'algorithme de solution de tous ces problèmes est essentiellement le même et consiste en constructions géométriques, qui doit être effectué pour déterminer la distance entre le point donné A et le plan α. S'il y a une différence, elle consiste uniquement dans le fait que dans les cas 2 et 3, avant de commencer à résoudre le problème, il faut marquer un point arbitraire A sur la droite m (cas 2) ou le plan β (cas 3). distances entre les lignes droites qui se croisent, nous les enfermons d’abord dans des plans parallèles α et β, puis déterminons la distance entre ces plans.

Considérons chacun des cas notés de résolution de problèmes.

1. Déterminer la distance entre un point et un plan.

La distance d'un point à un plan est déterminée par la longueur d'un segment perpendiculaire tiré d'un point au plan.

La solution à ce problème consiste donc à effectuer séquentiellement les opérations graphiques suivantes :

1) à partir du point A on abaisse la perpendiculaire au plan α (Fig. 269) ;

2) trouver le point M d'intersection de cette perpendiculaire avec le plan M = a ∩ α ;

3) déterminer la longueur du segment.

Si le plan α position générale, puis pour abaisser une perpendiculaire sur ce plan, il faut d'abord déterminer la direction des projections horizontale et frontale de ce plan. Trouver le point de rencontre de cette perpendiculaire avec le plan nécessite également des constructions géométriques supplémentaires.

La solution du problème est simplifiée si le plan α occupe une position particulière par rapport aux plans de projection. Dans ce cas, tant la projection de la perpendiculaire que la recherche du point de rencontre avec le plan sont effectuées sans aucune construction auxiliaire supplémentaire.

EXEMPLE 1. Déterminer la distance entre le point A et le plan α se projetant frontalement (Fig. 270).

SOLUTION. Par A" nous dessinons la projection horizontale de la perpendiculaire l" ⊥ h 0α, et par A" - sa projection frontale l" ⊥ f 0α. On marque le point M" = l" ∩ f 0α . Depuis le matin || π 2, alors [A" M"] == |AM| = ré.

L'exemple considéré montre clairement à quel point le problème est résolu simplement lorsque l'avion occupe une position saillante. Par conséquent, si un plan de position générale est spécifié dans les données source, avant de procéder à la solution, le plan doit être déplacé vers une position perpendiculaire à tout plan de projection.

EXEMPLE 2. Déterminer la distance du point K au plan spécifié par ΔАВС (Fig. 271).

1. Nous transférons le plan ΔАВС à la position projetée *. Pour ce faire, on passe du système xπ 2 /π 1 à x 1 π 3 /π 1 : la direction du nouvel axe x 1 est choisie perpendiculairement à la projection horizontale du plan horizontal du triangle.

2. Projeter ΔABC sur un nouveau plan π 3 (le plan ΔABC est projeté sur π 3, dans [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projetez le point K sur le même plan (K" → K" 1).

4. Par le point K" 1 on trace (K" 1 M" 1)⊥ le segment [C" 1 B" 1]. La distance requise d = |K" 1 M" 1 |

La solution au problème est simplifiée si le plan est défini par des traces, puisqu'il n'est pas nécessaire de tracer des projections de lignes de niveau.

EXEMPLE 3. Déterminer la distance du point K au plan α, spécifié par les traces (Fig. 272).

* La plupart manière rationnelle transférer le plan triangulaire vers la position de projection est une manière de remplacer les plans de projection, puisque dans ce cas il suffit de construire une seule projection auxiliaire.

SOLUTION. On remplace le plan π 1 par le plan π 3, pour cela on dessine un nouvel axe x 1 ⊥ f 0α. Sur h 0α on marque un point arbitraire 1" et on détermine sa nouvelle projection horizontale sur le plan π 3 (1" 1). A travers les points X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) et 1" 1 on trace h 0α 1. On détermine la nouvelle projection horizontale du point K → K" 1. A partir du point K" 1 on abaisse la perpendiculaire à h 0α 1 et on marque le point de son intersection avec h 0α 1 - M" 1. La longueur du segment K" 1 M" 1 indiquera la distance requise.

2. Déterminer la distance entre une ligne droite et un plan.

La distance entre une ligne et un plan est déterminée par la longueur d'un segment perpendiculaire tombant d'un point arbitraire de la ligne jusqu'au plan (voir Fig. 248).

Par conséquent, la solution au problème de la détermination de la distance entre la droite m et le plan α n'est pas différente des exemples évoqués au paragraphe 1 pour déterminer la distance entre un point et un plan (voir Fig. 270 ... 272). Comme point, vous pouvez prendre n'importe quel point appartenant à la ligne m.

3. Détermination de la distance entre les avions.

La distance entre les plans est déterminée par la taille du segment perpendiculaire tombé d'un point pris sur un plan à un autre plan.

De cette définition, il s'ensuit que l'algorithme pour résoudre le problème de trouver la distance entre les plans α et β diffère d'un algorithme similaire pour résoudre le problème de détermination de la distance entre la ligne m et le plan α uniquement en ce que la ligne m doit appartenir au plan α , c'est-à-dire que pour déterminer la distance entre les plans α et β suit :

1) prendre une droite m dans le plan α ;

2) sélectionner un point arbitraire A sur la ligne m ;

3) à partir du point A, abaisser la perpendiculaire l au plan β ;

4) déterminer le point M - le point de rencontre de la perpendiculaire l avec le plan β ;

5) déterminer la taille du segment.

En pratique, il est conseillé d'utiliser un algorithme de solution différent, qui ne différera de celui donné que par le fait qu'avant de passer à la première étape, les plans doivent être transférés vers la position de projection.

L'inclusion de cette opération supplémentaire dans l'algorithme simplifie l'exécution de tous les autres points sans exception, ce qui conduit finalement à une solution plus simple.

EXEMPLE 1. Déterminer la distance entre les plans α et β (Fig. 273).

SOLUTION. On passe du système xπ 2 /π 1 à x 1 π 1 /π 3. Vers nouvel avionπ 3 plans α et β occupent une position saillante, donc la distance entre les nouvelles traces frontales f 0α 1 et f 0β 1 est celle souhaitée.

DANS pratique d'ingénierie il faut souvent résoudre le problème de la construction d'un plan parallèle à un plan donné et éloigné de lui en distance spécifiée. L'exemple 2 ci-dessous illustre la solution à un tel problème.

EXEMPLE 2. Il est nécessaire de construire des projections d'un plan β parallèle à un plan donné α (m || n), si l'on sait que la distance entre elles est d (Fig. 274).

1. Dans le plan α, nous traçons des lignes horizontales arbitraires h (1, 3) et des lignes frontales f (1,2).

2. A partir du point 1 on restitue la perpendiculaire l au plan α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Sur la perpendiculaire l, nous marquons un point arbitraire A.

4. Déterminez la longueur du segment - (la position indique sur le diagramme la direction métriquement non déformée de la droite l).

5. Tracez le segment = d sur la droite (1"A 0) à partir du point 1".

6. Marquer sur les projections l" et l" les points B" et B", correspondant au point B 0.

7. Par le point B on trace le plan β (h 1 ∩ f 1). À β || α, il faut respecter la condition h 1 || h et f 1 || F.

4. Détermination de la distance entre les lignes qui se croisent.

La distance entre les lignes sécantes est déterminée par la longueur de la perpendiculaire comprise entre les plans parallèles auxquels appartiennent les lignes sécantes.

Pour tracer des plans α et β parallèles entre eux passant par des droites sécantes m et f, il suffit de tracer par le point A (A ∈ m) une droite p parallèle à la droite f, et par le point B (B ∈ f) une droite k parallèle à la droite m . Les lignes sécantes m et p, f et k définissent les plans mutuellement parallèles α et β (voir Fig. 248, e). La distance entre les plans α et β est égale à la distance requise entre les lignes de croisement m et f.

Une autre méthode peut être proposée pour déterminer la distance entre les lignes sécantes, qui consiste dans le fait que, à l'aide d'une méthode de transformation de projections orthogonales, l'une des lignes sécantes est transférée à la position de projection. Dans ce cas, une projection de la droite dégénère en un point. La distance entre les nouvelles projections des lignes qui se croisent (point A" 2 et segment C" 2 D" 2) est celle requise.

En figue. 275 montre une solution au problème de la détermination de la distance entre les lignes de croisement a et b, étant donné les segments [AB] et [CD]. La solution s'effectue dans l'ordre suivant :

1. Transférez l'une des lignes de croisement (a) vers une position parallèle au plan π 3 ; Pour ce faire, passez du système de plans de projection xπ 2 /π 1 au nouveau x 1 π 1 /π 3, l'axe x 1 est parallèle à la projection horizontale de la droite a. Déterminez a" 1 [A" 1 B" 1 ] et b" 1.

2. En remplaçant le plan π 1 par le plan π 4, on translation la droite

et de positionner a" 2, perpendiculairement au plan π 4 (le nouvel axe x 2 est tracé perpendiculairement à a" 1).

3. Construisez une nouvelle projection horizontale de la droite b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. La distance du point A" 2 à la droite C" 2 D" 2 (segment (A" 2 M" 2 ] (est celle requise.

Il convient de garder à l'esprit que le transfert d'une des lignes croisées vers la position saillante n'est rien d'autre que le transfert des plans de parallélisme, dans lesquels les lignes a et b peuvent être enfermées, également vers la position saillante.

En fait, en déplaçant la ligne a vers une position perpendiculaire au plan π 4, on s'assure que tout plan contenant la ligne a est perpendiculaire au plan π 4, y compris le plan α défini par les lignes a et m (a ∩ m, m | |b). Si nous traçons maintenant une ligne n, parallèle à a et sécante de la ligne b, alors nous obtenons le plan β, qui est le deuxième plan de parallélisme, qui contient les lignes sécantes a et b. Depuis β || α, alors β ⊥ π 4 .

N'importe quel avion dans Système cartésien les coordonnées peuvent être données par l'équation « Axe + By + Cz + D = 0 », où au moins un des nombres « A », « B », « C » est non nul. Soit donné un point `M (x_0;y_0;z_0)`, trouvons la distance de celui-ci au plan `Ax + By + Cz + D = 0`.

Soit la droite passant par le point `M` perpendiculaire au plan « alpha », le coupe au point « K » avec les coordonnées `(x; y; z)`. Vecteur `vec(MK)` est perpendiculaire au plan `alpha`, tout comme le vecteur `vecn` `(A;B;C)`, c'est-à-dire les vecteurs `vec(MK)` et `vecn` colinéaire, `vec(MK)= λvecn`.

Depuis `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` et `vecn(A,B,C)`, puis `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

Point 'K' se trouve dans le plan « alpha » (Fig. 6), ses coordonnées satisfont à l'équation du plan. On remplace `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` dans l'équation `Ax+By+Cz+D=0`, on obtient

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

d'où `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.

Trouver la longueur du vecteur `vec(MK)`, qui est égale à la distance du point `M(x_0;y_0;z_0)` au plan `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

Ainsi, la distance `h` du point `M(x_0;y_0;z_0)` au plan `Ax + By + Cz + D = 0` est la suivante

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

À manière géométrique trouver la distance du point `A` au plan `alpha` trouver la base de la perpendiculaire `A A^"` tombée du point `A` au plan `alpha`. Si le point `A^"` est situé à l'extérieur de la section du plan `alpha` spécifié dans le problème, puis passant par le point `A` tracer une ligne droite `c`, parallèle au plan`alpha`, et choisissez un point `C` plus pratique dessus, projection orthographique lequel `C^"` appartient à cette section du plan « alpha ». Longueur du segment `C C^"`sera égal à la distance requise du point « A »au plan « alpha ».

Dans le droit prisme hexagonal`A...F_1`, dont toutes les arêtes sont égales à `1`, trouvez la distance du point `B` au plan `AF F_1`.

Soit « O » le centre de la base inférieure du prisme (Fig. 7). La droite 'BO' est parallèle à la droite 'AF' et, par conséquent, la distance du point 'B' au plan 'AF F_1' est égale à la distance 'OH' du point 'O' au plan 'AF F_1'. avion 'AF F_1'. Dans le triangle `AOF` nous avons `AO=OF=AF=1`. La hauteur `OH` de ce triangle est `(sqrt3)/2`. Par conséquent, la distance requise est `(sqrt3)/2`.

Montrons une autre façon (méthode du volume auxiliaire) trouver la distance d'un point à un plan. On sait que le volume de la pyramide `V` , l'aire de sa base `S`et hauteur longueur `h`sont liés par la formule « h=(3V)/S ». Mais la longueur et la hauteur d’une pyramide n’est rien d’autre que la distance entre son sommet et le plan de la base. Par conséquent, pour calculer la distance d'un point à un plan, il suffit de trouver le volume et l'aire de la base d'une pyramide avec le sommet en ce point et avec la base se trouvant dans ce plan.

Dana prisme correct`A...D_1`, dans lequel `AB=a`, `A A_1=2a`. Trouvez la distance entre le point d'intersection des diagonales de la base `A_1B_1C_1D_1` et le plan `BDC_1`.

Considérons le tétraèdre `O_1DBC_1` (Fig. 8). La distance requise `h` est la longueur de la hauteur de ce tétraèdre, abaissé du point `O_1` au plan de la face `BDC_1` . Pour le trouver, il suffit de connaître le volume `V`tétraèdre `O_1DBC_1` et la superficie triangle `DBC_1`. Calculons-les. Notez que la ligne droite `O_1C_1` perpendiculaire au plan `O_1DB`, parce qu'il est perpendiculaire à `BD` et `B B_1` . Cela signifie que le volume du tétraèdre est `O_1DBC_1` équivaut à

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Construire des traces du plan donné par ∆BCD et déterminer la distance du point A à avion donné méthode triangle rectangle (pour les coordonnées des points A, B, C et D, voir le tableau 1 de la section Tâches) ;

1.2. Exemple de tâche n°1

La première tâche présente un ensemble de tâches sur les sujets suivants :

1. Projection orthogonale, diagramme de Monge, point, droite, plan: par coordonnées connues de trois points B, C, D construire des projections horizontales et frontales du plan donné par ∆ BCD;

2. Traces d'une droite, traces d'un plan, propriétés d'appartenance à un plan droit: construire des traces du plan donné par ∆ BCD;

3. Plans généraux et particuliers, intersection d'une droite et d'un plan, perpendiculaire d'une droite et d'un plan, intersection de plans, méthode du triangle rectangle: déterminer la distance à partir d'un point UN planer ∆ BCD.

1.2.1. Basé sur les coordonnées connues de trois points B, C, D construisons des projections horizontales et frontales du plan donné par ∆ BCD(Figure 1.1), pour laquelle il faut construire des projections horizontales et frontales des sommets ∆ BCD, puis connectez les projections des sommets du même nom.

Il est connu que suivre l'avion est une droite obtenue à la suite de l'intersection d'un plan donné avec le plan de projection .

Un avion en position générale possède 3 traces : horizontal, frontal et profil.

Pour construire des traces d'un plan, il suffit de construire des traces (horizontales et frontales) de deux droites quelconques situées dans ce plan et de les relier entre elles. Ainsi, la trace du plan (horizontal ou frontal) sera déterminée de manière unique, puisque par deux points du plan (en dans ce cas ces points seront des traces de lignes droites) vous pouvez tracer une ligne droite, et une seule.

La base de cette construction est propriété d'appartenir à un plan droit: si une droite appartient à un plan donné, alors ses traces reposent sur des traces similaires de ce plan .

Le tracé d'une droite est le point d'intersection de cette droite avec le plan de projection. .

La trace horizontale d'une ligne droite se situe dans plan horizontal projections, frontales – en plan frontal projections.

Considérons la construction trace horizontale droit D.B., pour lequel il vous faut :

1. Continuez la projection frontale tout droit D.B. jusqu'à ce qu'il croise l'axe X, point d'intersection M2 est projection frontale trace horizontale ;

2. D'un point de vue M2 restaurer la perpendiculaire (ligne de connexion de projection) jusqu'à ce qu'elle croise la projection horizontale de la ligne droite D.B. M1 et sera une projection horizontale de la trace horizontale (Figure 1.1), qui coïncide avec la trace elle-même M.

La trace horizontale du segment est construite de la même manière NE droit : pointe M'.

Construire trace frontale segment C.B. direct, il vous faut :

1. Continuez la projection horizontale de la ligne droite C.B. jusqu'à ce qu'il croise l'axe X, point d'intersection N°1 est une projection horizontale de la trace frontale ;

2. D'un point de vue N°1 restaurer la perpendiculaire (ligne de connexion de projection) jusqu'à ce qu'elle croise la projection frontale de la ligne droite C.B. ou sa suite. Point d'intersection N 2 et sera une projection frontale de la trace frontale, qui coïncide avec la trace elle-même N.

Joindre les points M'1 Et M1 segment de droite, on obtient trace horizontale plan απ 1. Point α x d'intersection de απ 1 avec l'axe X appelé Point de fuite . Pour construire la trace frontale du plan απ 2, il faut relier la trace frontale N 2 avec le point de fuite des traces α x

Figure 1.1 — Construction de traces planes

L'algorithme pour résoudre ce problème peut être présenté comme suit :

1. (D 2 B 2 ∩ BŒUF) = M 2 ;
2. (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M;
3. (C 2 B 2 ∩ BŒUF) = M' 2 ;
4. (M' 2 M' 1 ∩ C 1 B 1) = M' 1 = M';
5. (CB∩ π 2) = N 2 = N;
6. (MM′) ≡ απ 1 ;
7. (αx N) ≡απ 2 .

1.2.2. Pour résoudre la deuxième partie de la première tâche, vous devez savoir que :

• distance du point UN planer ∆ BCD déterminé par la longueur de la perpendiculaire restituée de ce point au plan ;
• toute droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes situées dans ce plan ;
• sur le schéma, les projections d'une droite perpendiculaire au plan sont perpendiculaires aux projections inclinées de l'horizontale et frontale de ce plan ou aux traces du même nom du plan (Fig. 1.2) (voir le Théorème sur la perpendiculaire à l'avion pendant les cours).

Pour trouver la base d'une perpendiculaire, il faut résoudre le problème de l'intersection d'une droite (dans ce problème, une telle droite est une perpendiculaire à un plan) avec un plan :

1. Enfermer la perpendiculaire dans un plan auxiliaire, qui doit être un plan de position particulière (se projetant horizontalement ou se projetant frontalement ; dans l'exemple, γ se projetant horizontalement est pris comme plan auxiliaire, c'est-à-dire perpendiculaire à π 1, sa trace horizontale γ 1 coïncide avec une projection horizontale d'une perpendiculaire) ;

2. Trouver la ligne d'intersection du plan donné ∆ BCD avec auxiliaire γ ( MN En figue. 1.2);

3. Trouver le point d'intersection de la ligne d'intersection des plans MN avec une perpendiculaire (point À En figue. 1.2).

4. Pour déterminer la vraie distance d'un point UNà un plan donné ∆ BCD Devrait être utilisé méthode du triangle rectangle: la vraie taille d'un segment est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont une branche est l'une des projections du segment, et l'autre est la différence de distances entre ses extrémités et le plan de projections dans lequel la construction est en cours effectué.

5. Déterminez la visibilité des sections perpendiculaires à l'aide de la méthode des points concurrents. Par exemple - points N Et 3 pour déterminer la visibilité sur π 1, les points 4 , 5 - déterminer la visibilité sur π 2.

Figure 1.2 - Construction d'une perpendiculaire au plan

Figure 1.3 — Exemple de conception tâche de contrôle №1

Exemple vidéo de réalisation de la tâche n°1

1.3. Options de tâche 1

Instructions

Pour connaître la distance de points avant avion en utilisant des méthodes descriptives : sélectionnez sur avion point arbitraire; tracez deux lignes droites à travers lui (situées dans ce avion); rétablir la perpendiculaire à avion passant par ce point (construire une ligne perpendiculaire aux deux lignes sécantes en même temps) ; tracer une droite parallèle à la perpendiculaire construite passant par un point donné ; trouver la distance entre le point d'intersection de cette ligne avec le plan et le point donné.

Si le poste points donnée par ses coordonnées tridimensionnelles, et la position avion – équation linéaire, puis pour trouver la distance de avion avant points, utilisez les méthodes géométrie analytique: indiquez les coordonnées points passant par x, y, z, respectivement (x – abscisse, y – ordonnée, z – applicable) ; notons A, B, C, D les équations avion(A – paramètre en abscisse, B – en , C – en application, D – Membre gratuit); calculer la distance de points avant avion selon la formule :s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,où s est la distance entre le point et le plan,|| - valeur absolue(ou module).

Exemple : Trouver la distance entre le point A de coordonnées (2, 3, -1) et le plan, donné par l'équation: 7x-6y-6z+20=0. Des conditions il résulte que : x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. . Remplacez ces valeurs par celles ci-dessus. Vous obtenez : s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Réponse : Distance depuis points avant avion est égal à 2 (unités arbitraires).

Astuce 2 : Comment déterminer la distance d'un point à un plan

Détermination de la distance de points avant avion- une des tâches courantes planimétrie scolaire. Comme on le sait, le plus petit distance depuis points avant avion il y aura une perpendiculaire tirée de ceci points pour ça avion. Par conséquent, la longueur de cette perpendiculaire est considérée comme la distance de points avant avion.

Tu auras besoin de

• équation plane

Instructions

Soit le premier du parallèle f1 donné par l'équation y=kx+b1. Traduire l’expression en Forme générale, vous obtenez kx-y+b1=0, c'est-à-dire A=k, B=-1. La normale sera n=(k, -1).
Suit maintenant une abscisse arbitraire du point x1 sur f1. Alors son ordonnée est y1=kx1+b1.
Soit l'équation de la deuxième des droites parallèles f2 de la forme :
y=kx+b2 (1),
où k est le même pour les deux droites, en raison de leur parallélisme.

Ensuite, vous devez créer équation canonique une ligne perpendiculaire à f2 et f1 contenant le point M (x1, y1). Dans ce cas, on suppose que x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). En conséquence, vous devriez obtenir l’égalité suivante :
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Après avoir résolu le système d'équations constitué des expressions (1) et (2), vous trouverez le deuxième point qui détermine la distance requise entre les parallèles N(x2, y2). La distance requise elle-même sera égale à d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Exemple. Soit les équations de droites parallèles données sur le plan f1 – y=2x +1 (1) ;
f2 – y=2x+5 (2). Prenons un point arbitraire x1=1 sur f1. Alors y1=3. Le premier point aura donc pour coordonnées M (1,3). Équation perpendiculaire générale (3) :
(x-1)/2 = -y+3 ou y=-(1/2)x+5/2.
En substituant cette valeur y dans (1), vous obtenez :
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
La deuxième base de la perpendiculaire est au point de coordonnées N (-1, 3). La distance entre les lignes parallèles sera :
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Sources:

• Développement pulmonaire l'athlétisme en Russie

Dessus de tout plat ou volumétrique figure géométrique uniquement déterminé par ses coordonnées dans l’espace. De la même manière, tout point arbitraire dans le même système de coordonnées peut être déterminé de manière unique, ce qui permet de calculer la distance entre ce point point arbitraire et le haut de la figure.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - un stylo ou un crayon ;
• - calculatrice.

Instructions

Réduisez le problème à trouver la longueur d'un segment entre deux points, si les coordonnées du point spécifié dans le problème et les sommets de la figure géométrique sont connus. Cette longueur peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore par rapport aux projections d'un segment sur l'axe de coordonnées - elle sera égale à racine carréeà partir de la somme des carrés des longueurs de toutes les projections. Par exemple, laissez entrer système tridimensionnel les coordonnées sont données par le point A(X₁;Y₁;Z₁) et le sommet C de toute figure géométrique de coordonnées (X₂;Y₂;Z₂). Alors les longueurs des projections du segment entre elles sur axes de coordonnées peut être comme X₁-X₂, Y₁-Y₂ et Z₁-Z₂, et la longueur du segment comme √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²). Par exemple, si les coordonnées du point sont A(5;9;1) et les sommets sont C(7;8;10), alors la distance entre eux sera égale à √((5-7)²+ (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Calculez d’abord les coordonnées du sommet si elles ne sont pas explicitement présentées dans les conditions du problème. La méthode spécifique dépend du type de figure et des paramètres supplémentaires connus. Par exemple, si on sait Coordonnées 3D trois sommets A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) et C(X₃;Y₃;Z₃), puis les coordonnées de son quatrième sommet ( en face du sommet B) sera (X₃+X₂-X₁ ; Y₃+Y₂-Y₁ ; Z₃+Z₂-Z₁). Après avoir déterminé les coordonnées du sommet manquant, le calcul de la distance entre celui-ci et un point arbitraire sera à nouveau réduit à déterminer la longueur du segment entre ces deux points dans système donné coordonnées - procédez de la même manière que décrit à l'étape précédente. Par exemple, pour le sommet du parallélogramme décrit dans cette étape et le point E de coordonnées (X₄;Y₄;Z₄), la formule de calcul de la distance de l'étape précédente peut être la suivante : √((X₃+X₂-X₁- X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁- Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Pour des calculs pratiques, vous pouvez utiliser, par exemple, le moteur de recherche Google. Ainsi, pour calculer la valeur à l'aide de la formule obtenue à l'étape précédente, pour les points de coordonnées A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), saisissez la requête de recherche suivante : sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Le moteur de recherche calculera et affichera le résultat du calcul (5.19615242).

Vidéo sur le sujet

Récupération perpendiculaireÀ avion- un des tâches importantes en géométrie, il sous-tend de nombreux théorèmes et preuves. Pour construire une droite perpendiculaire avion, vous devez effectuer plusieurs étapes séquentiellement.

Tu auras besoin de

• - avion donné ;
• - le point à partir duquel on veut tracer une perpendiculaire ;
• - boussole;
• - règle;
• - crayon.