અર્થશાસ્ત્રમાં મોટી સંખ્યામાં ચેબીશેવના કાયદાનો ઉપયોગ. લ્યાપુનોવના કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની વિભાવના

કાયદો મોટી સંખ્યામાંછે કેન્દ્રીય કાયદોસંભવિતતાનો સિદ્ધાંત એ હકીકતને કારણે કે તે નિયમિતતા અને રેન્ડમનેસ વચ્ચે મૂળભૂત જોડાણ બનાવે છે. જેમ કે, તે દલીલ કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં અકસ્માતો એક પેટર્ન તરફ દોરી જાય છે, જે ઘટનાઓના કોર્સની આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. તેના સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં તે વ્યક્ત થાય છે ચેબીશેવનું પ્રમેય:

ચાલો ( Χ 1; X 2 ; … X n ; ...) સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ (તેઓ માનવામાં આવે છે અનંત સંખ્યા). અને તેમના ભિન્નતાને એકસરખી રીતે બાઉન્ડ કરવા દો (એટલે ​​​​કે, આ બધા રેન્ડમ ચલોના ભિન્નતા કેટલાક સ્થિરતાથી વધુ ન હોય. સાથે):

પછી, હકારાત્મક સંખ્યા ગમે તેટલી નાની હોય, મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ સંતુષ્ટ છે:

જો રેન્ડમ ચલોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય. અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, સંભાવના

આમ, ચેબીશેવનું પ્રમેય જણાવે છે કે જો આપણે પૂરતી મોટી સંખ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ nસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ ( Χ 1; X 2 ; … Xn), તો ઘટનાને લગભગ વિશ્વાસપાત્ર ગણી શકાય (એકતાની નજીકની સંભાવના સાથે) કે આ રેન્ડમ ચલોના અંકગણિત સરેરાશનું વિચલન તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશમાંથી હશે. સંપૂર્ણ મૂલ્યતમને ગમે તેટલું નાનું.

પુરાવો. Χ 1; X 2 ; … Xn):

(4)

; (5)

શરતોને ધ્યાનમાં લઈને (1), અમે તે સ્થાપિત કરીએ છીએ

(6)

આમ, જ્યારે તફાવત છે. એટલે કે, જ્યારે તેની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો ફેલાવો થાય છે ગાણિતિક અપેક્ષાઅનિશ્ચિત રૂપે ઘટે છે. અને આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે મૂલ્ય, એટલે કે, . અથવા, વધુ ચોક્કસ કહીએ તો, રેન્ડમ ચલ તેની ગાણિતિક અપેક્ષા - અચળ - થી ઓછામાં ઓછું કોઈક રીતે વિચલિત થવાની સંભાવના શૂન્ય તરફ વળે છે. એટલે કે, કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાની હકારાત્મક સંખ્યા માટે

તેથી, સાબિત ચેબીશેવ પ્રમેય અનુસાર, અંકગણિત સરેરાશ મોટી સંખ્યામાંસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ ( Χ 1; X 2 ; … Xn), એક અવ્યવસ્થિત ચલ હોવાને કારણે, વાસ્તવમાં અવ્યવસ્થિતતાનું પાત્ર ગુમાવે છે, હકીકતમાં, એક અપરિવર્તનશીલ સ્થિરાંક બની જાય છે. આ સ્થિરાંક મૂલ્યોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે ( Χ 1; X 2 ; … Xn). આ મોટી સંખ્યાનો કાયદો છે.

ચેબીશેવના પ્રમેયનો બીજો પુરાવો આપી શકાય. આ કરવા માટે, અમે ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તે સ્વતંત્ર અને સતત રેન્ડમ ચલો બંને માટે માન્ય છે અને તેની પોતાની કિંમત છે. ચેબીશેવની અસમાનતા આપણને સંભવિતતાનો અંદાજ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે કે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી રેન્ડમ ચલનું વિચલન સંપૂર્ણ મૂલ્યથી વધુ નથી. હકારાત્મક સંખ્યા. ચાલો અલગ રેન્ડમ ચલ માટે ચેબીશેવની અસમાનતાનો પુરાવો રજૂ કરીએ.

ચેબીશેવની અસમાનતા:સંભાવના કે રેન્ડમ ચલનું વિચલન એક્સનિરપેક્ષ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષા ધન સંખ્યા કરતાં ઓછી છે, તેનાથી ઓછી નહીં:

.

પુરાવો: અસમાનતાના અમલીકરણમાં સમાવિષ્ટ ઘટનાઓ અને , વિરુદ્ધ છે, તો તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે, એટલે કે. . આથી અમને રસ છે તેવી સંભાવના. (*)

અમે શોધીશું . આ માટે ચાલો તફાવત શોધીએરેન્ડમ ચલ એક્સ.

આ રકમની તમામ શરતો બિન-નકારાત્મક છે. ચાલો તે શરતોને કાઢી નાખીએ જેના માટે (બાકીની શરતો માટે ), જેના પરિણામે રકમ માત્ર ઘટી શકે છે. ચાલો નિશ્ચિતતા માટે, ધારવા માટે સંમત થઈએ કે kપ્રથમ શરતો (અમે ધારીશું કે વિતરણ કોષ્ટકમાં શક્ય મૂલ્યોતે ક્રમમાં ક્રમાંકિત). આમ,

અસમાનતા બંને પક્ષો થી સકારાત્મક છે, તેથી, તેમને સ્ક્વેર કરીને, આપણે સમકક્ષ અસમાનતા મેળવીએ છીએ . ચાલો બાકીના સરવાળામાં દરેક પરિબળને બદલીને આ ટિપ્પણીનો ઉપયોગ કરીએ સંખ્યા (આ કિસ્સામાં અસમાનતા માત્ર વધી શકે છે), અમને મળે છે. (**)

વધારાના પ્રમેય મુજબ, સંભાવનાઓનો સરવાળો એ સંભાવના છે જે એક્સએક લેશે, ભલે ગમે તે હોય, મૂલ્ય , અને તેમાંના કોઈપણ માટે વિચલન અસમાનતાને સંતોષે છે . તે અનુસરે છે કે સરવાળો સંભાવના વ્યક્ત કરે છે . આ અમને અસમાનતા (**) ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપે છે: . (***).

ચાલો અવેજી કરીએ (***) વી (*) અને અમે મેળવીએ છીએ , જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ચેબીશેવના પ્રમેય 2 નો પુરાવો:

ચાલો એક નવો પરિચય આપીએ રેન્ડમ ચલ- રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ ( Χ 1; X 2 ; … Xn):

ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

; . (*)

ચેબીશેવની અસમાનતાને જથ્થામાં લાગુ કરીને, અમારી પાસે છે.

ગુણોત્તર (*) ને ધ્યાનમાં લેતા,

શરત દ્વારા, તેનો અર્થ છે . (***) અવેજી જમણી બાજુ(**) અસમાનતામાં (**) આપણી પાસે છે

અહીંથી, પરની મર્યાદામાં પસાર થતાં, આપણે મેળવીએ છીએ

કારણ કે સંભાવના એક કરતાં વધી શકતી નથી, આપણે આખરે મેળવીએ છીએ:

જે અમારે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ચાલો આપણે ચેબીશેવના પ્રમેયના એક મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ કેસ પર ધ્યાન આપીએ. જેમ કે, જ્યારે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો ( Χ 1; X 2 ; … Xn) સમાન વિતરણ કાયદા ધરાવે છે, અને પરિણામે, સમાન સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ:

(8)

પછી રેન્ડમ ચલ માટે, (5) મુજબ, આપણી પાસે છે:

(9)

આ કિસ્સામાં મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ (7) ફોર્મ લેશે:

(10)

(10) માંથી નીચેના નિષ્કર્ષ છે મહાન મૂલ્યવિવિધ પ્રકારના માપન કરતી વખતે રેન્ડમ ભૂલોનો સામનો કરવા માટે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે ચોક્કસ જથ્થાને માપવાની જરૂર છે એ. અમે એક નહીં, પરંતુ ઘણા ઉત્પન્ન કરીશું ( n) આ જથ્થાના મૂલ્યનું સ્વતંત્ર પુનરાવર્તિત માપન. કોઈપણ માપન માપન ઉપકરણની અપૂર્ણતા, માપમાં તમામ પ્રકારની અવ્યવસ્થિત દખલ વગેરે સાથે સંકળાયેલ રેન્ડમ ભૂલમાં સહજ છે. તેથી પરિણામો ( Χ 1; X 2 ; … Xn) ઇચ્છિત મૂલ્યના વ્યક્તિગત ક્રમિક માપન એ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આપવામાં આવશે નહીં - તે રેન્ડમ ચલ હશે. વધુમાં, ધરાવતા જથ્થા સાથે સમાન વિતરણો, કારણ કે માપ વારંવાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સતત બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ. પછી જથ્થા માટે - બધાના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ nમાપ - મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ (10) પૂર્ણ થશે. આનો અર્થ એ છે કે આ અંકગણિત સરેરાશ રેન્ડમનેસનું પાત્ર ગુમાવે છે, માં ફેરવાય છે એ – સાચો અર્થમાપેલ જથ્થો. આ, માર્ગ દ્વારા, સૂત્રો (9) દ્વારા પુરાવા મળે છે, જે મુજબ:

(11)

એટલે કે, ઇચ્છિત જથ્થાના પુનરાવર્તિત માપનની પૂરતી મોટી સંખ્યામાં હાથ ધર્યા એ, જેમાંના દરેકમાં રેન્ડમ માપન ભૂલ શક્ય છે, અને પછી આ માપના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

એ(12)

આપણે મૂલ્ય મેળવી શકીએ છીએ અને વ્યવહારીક રીતે રેન્ડમ ભૂલો વિના.

આ નિષ્કર્ષ મોટી સંખ્યાના કાયદાનું પરિણામ છે. IN આ કિસ્સામાંઆ કાયદો એ હકીકતમાં પ્રગટ થાય છે કે જ્યારે માપનો સારાંશ આપવામાં આવે છે ત્યારે (4) રેન્ડમ ભૂલોવ્યક્તિગત પરિમાણો, સૈદ્ધાંતિક રીતે સમાન રીતે ઘણીવાર વત્તા અને બાદબાકી બંને ચિહ્ન સાથે થાય છે, સામાન્ય રીતે એકબીજાને રદ કરશે. અને બાકીની ભૂલ હજુ પણ વિભાજિત કરવામાં આવશે n, એટલે કે, તે વધુ ઘટશે nએકવાર તેથી જ્યારે મોટા મૂલ્યો nમૂલ્ય માપેલ મૂલ્યની લગભગ બરાબર સમાન હશે એ. આ નિષ્કર્ષ કુદરતી રીતે વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

નોંધ. તીવ્રતામાં તેઓ ફક્ત એકબીજાને રદ કરે છે રેન્ડમ ભૂલોમાપન, એટલે કે, રેન્ડમ પરિબળો (દખલગીરી) ની ક્રિયા સાથે સંકળાયેલ ભૂલો. પરંતુ વ્યવસ્થિત (કાયમી) ભૂલો, એટલે કે, દરેક માપમાં સહજ ભૂલો, કુદરતી રીતે જ રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક તીર જે ઉપકરણમાં નીચે પછાડવામાં આવે છે (વ્યવસ્થિત નથી) દરેક માપમાં સતત (વ્યવસ્થિત) ભૂલનું કારણ બને છે, અને તેથી, આ માપનના પરિણામોની અંકગણિત સરેરાશમાં તેનું કારણ બને છે. માપ લેવામાં આવે તે પહેલાં જ પદ્ધતિસરની ભૂલો દૂર કરવી જોઈએ અને માપન પ્રક્રિયા દરમિયાન તેને મંજૂરી નથી.

પછી, જો α એ માપન ઉપકરણનું વિભાજન મૂલ્ય છે, તો બધા પુનરાવર્તિત માપ α ની ચોકસાઈ સાથે કરવામાં આવે છે. પરંતુ તે પછી, સ્વાભાવિક રીતે, તમામ માપના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ માત્ર α ની ચોકસાઈ સાથે સૂચવી શકાય છે, એટલે કે, ઉપકરણની ચોકસાઈ દ્વારા નિર્ધારિત ચોકસાઈ સાથે.

તેથી, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે, જથ્થાના પુનરાવર્તિત માપનની પૂરતી મોટી સંખ્યા કર્યા પછી એઅને પછી આ માપોના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવાથી, આપણને મળે છે ચોક્કસઅર્થ એ.અમે તેને માત્ર માપન ઉપકરણની ચોકસાઈમાં જ મેળવીશું. અને પછી પણ, જો આપણે વ્યવસ્થિત માપન ભૂલને બાકાત રાખીએ.

અહીં એક અન્ય મહત્વપૂર્ણ છે ખાસ કેસમોટી સંખ્યામાં કાયદો. દો X=k- અમુક ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એવી nપુનરાવર્તિત પરીક્ષણો ( એક્સ- રેન્ડમ ચલ). અને દો અને - ઘટનાની સંભાવના અને ઘટનાની બિન-ઘટના એએક પરીક્ષણમાં. રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો - ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એવી nપરીક્ષણો ચાલો પરિચય પણ આપીએ nરેન્ડમ ચલ ( X 1, X 2, … X n), જે ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે એપ્રથમ, બીજામાં,... n-મી પરીક્ષણો. પછી k = X 1 + X 2 +…+ X p, અને ઘટનાની ઘટના એઘટના બનવાની સંભાવના સાથે વ્યવહારીક રીતે એકરુપ છે એએક પરીક્ષણમાં. આ નિષ્કર્ષ એ ઘણી અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધવાનો આધાર છે, જેની સંભાવનાઓ અન્ય કોઈ રીતે (સૈદ્ધાંતિક રીતે) શોધી શકાતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, ટેસ્ટમાં વિકૃત (અસમપ્રમાણતાવાળા) સિક્કા અને ઘટનાને ફેંકી દો એઆ પડકાર માટે, તે ક્રેસ્ટ ડ્રોપ છે. ઘટનાની સંભાવના એદ્વારા શાસ્ત્રીય સૂત્રઅથવા અન્ય કોઈ રીતે સૈદ્ધાંતિક સૂત્રતે શોધવું મુશ્કેલ છે, કારણ કે આવા સૂત્રમાં કોઈક રીતે સિક્કાના વિરૂપતાની લાક્ષણિકતાઓને પ્રતિબિંબિત કરવી આવશ્યક છે. તેથી, ધ્યેય તરફ દોરી જતો વાસ્તવિક માર્ગ એક છે: સિક્કાને વારંવાર ટૉસ કરો (ટૉસની સંખ્યા જેટલી વધારે હશે. n,વધુ સારું) અને પ્રયોગાત્મક રીતે હથિયારોના કોટના દેખાવની સંબંધિત આવર્તન નક્કી કરો. જો nમોટી છે, તો પછી મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર તે શક્ય છે ઉચ્ચ સંભાવનાભારપૂર્વક જણાવો કે .

મોટી સંખ્યાનો કાયદો ઘણી કુદરતી અને સામાજિક ઘટનાઓમાં પોતાને પ્રગટ કરે છે.

ઉદાહરણ 1.જેમ જાણીતું છે, બંધ વાસણમાં મુકવામાં આવેલ ગેસ વહાણની દિવાલો પર દબાણ લાવે છે. ગેસ રાજ્યના કાયદા અનુસાર, સતત ગેસ તાપમાન પર, આ દબાણ સતત રહે છે. જહાજની દિવાલો સામે વ્યક્તિગત પરમાણુઓની અસ્તવ્યસ્ત અસરને કારણે ગેસનું દબાણ થાય છે. બધા પરમાણુઓની ગતિ અને ગતિની દિશાઓ અલગ-અલગ હોય છે, તેથી જહાજની દિવાલો પર વિવિધ પરમાણુઓની અસરના દળો પણ અલગ-અલગ હોય છે. જો કે, જહાજની દિવાલો પર ગેસનું દબાણ વ્યક્તિગત પરમાણુઓના પ્રભાવ બળ દ્વારા નહીં, પરંતુ તેમના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સરેરાશબળ દ્વારા. પરંતુ તેણી સરેરાશ જેવી છે મોટી સંખ્યાઅનુલક્ષીને સક્રિય દળો, મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર, વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહેશે. તેથી, જહાજની દિવાલો પર ગેસનું દબાણ વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહે છે.

ઉદાહરણ 2. એક વીમા કંપની કે જે સોદો કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઓટો વીમા સાથે, અલગ-અલગ વીમાકૃત ઘટનાઓ (કાર અકસ્માતો અને માર્ગ ટ્રાફિક અકસ્માતો) માટે અલગ-અલગ વીમા રકમ ચૂકવે છે. જો કે, આ વીમાની રકમનું સરેરાશ મૂલ્ય, ઘણા બધાની સરેરાશ તરીકે nસ્વતંત્ર વીમાની રકમ, મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર, વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહેશે. તે વીમા દાવાઓના વાસ્તવિક આંકડાઓની તપાસ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. વીમા કંપનીને નુકસાન ટાળવા માટે, તેના ગ્રાહકો પાસેથી વસૂલવામાં આવેલું સરેરાશ વીમા પ્રીમિયમ કંપની દ્વારા તેના ગ્રાહકોને ચૂકવવામાં આવતા સરેરાશ પ્રીમિયમ કરતાં વધુ હોવું જોઈએ. પરંતુ કંપની માટે સ્પર્ધાત્મક (અન્ય વીમા કંપનીઓ સાથે આકર્ષકતામાં સ્પર્ધા કરવા) માટે આ પ્રીમિયમ ખૂબ ઊંચું હોવું જોઈએ નહીં.

કોર્સની શરૂઆતમાં અમે પહેલાથી જ તે હકીકત વિશે વાત કરી હતી ગાણિતિક કાયદાસંભાવના સિદ્ધાંતો સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનામાં અંતર્ગત વાસ્તવિક આંકડાકીય પેટર્નને અમૂર્ત કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ પેટર્નની હાજરી ઘટનાના સામૂહિક સ્વભાવ સાથે ચોક્કસ રીતે સંકળાયેલી છે, એટલે કે, મોટી સંખ્યામાં સજાતીય પ્રયોગો કરવામાં આવે છે અથવા મોટી સંખ્યામાં સંચિત રેન્ડમ પ્રભાવો સાથે, જે તેમની સંપૂર્ણતામાં એક રેન્ડમ ચલ પેદા કરે છે જે આધિન છે. સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કાયદો. સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાની સ્થિરતાની મિલકત પ્રાચીન સમયથી માનવજાત માટે જાણીતી છે. ગમે તે ક્ષેત્રમાં તે પોતાને પ્રગટ કરે છે, તેનો સાર નીચે મુજબ ઉકળે છે: ચોક્કસ લક્ષણોદરેક વ્યક્તિગત અવ્યવસ્થિત ઘટનાની જનતાના સરેરાશ પરિણામ અને આવી ઘટના પર લગભગ કોઈ અસર થતી નથી; સરેરાશથી રેન્ડમ વિચલનો, દરેક વ્યક્તિગત ઘટનામાં અનિવાર્ય, પરસ્પર રદ કરવામાં આવે છે, સમતળ કરવામાં આવે છે, સમૂહમાં સમતળ કરવામાં આવે છે. તે સરેરાશની આ સ્થિરતા છે જે "મોટી સંખ્યાના કાયદા" ની ભૌતિક સામગ્રીને રજૂ કરે છે, જે શબ્દના વ્યાપક અર્થમાં સમજાય છે: ઘણી મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ઘટના સાથે, તેમનું સરેરાશ પરિણામ વ્યવહારીક રીતે રેન્ડમ થવાનું બંધ કરે છે અને તેની આગાહી કરી શકાય છે. ઉચ્ચ ડિગ્રી નિશ્ચિતતા સાથે.

IN સંકુચિત અર્થમાંસંભાવના સિદ્ધાંતમાં "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો" શબ્દનો અર્થ શ્રેણી છે ગાણિતિક પ્રમેય, જેમાંથી દરેકમાં, ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ માટે, એ હકીકત છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગોની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ ચોક્કસ સ્થિરાંકોનો સંપર્ક કરે છે.

2.3 માં અમે પહેલાથી જ આ પ્રમેયમાંથી સૌથી સરળ - જે. બર્નૌલીનું પ્રમેય ઘડ્યું છે. તેણી દાવો કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે, ઘટનાની આવર્તન આ ઘટનાની સંભાવના સુધી પહોંચે છે (વધુ ચોક્કસ રીતે, સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે). અન્ય લોકો સાથે, વધુ સામાન્ય સ્વરૂપોઅમે આ પ્રકરણમાં મોટી સંખ્યાનો કાયદો રજૂ કરીશું. તે બધા ચોક્કસ રેન્ડમ ચલોની સતત, બિન-રેન્ડમ ચલોની સંભાવનામાં કન્વર્જન્સની હકીકત અને શરતો સ્થાપિત કરે છે.

મોટી સંખ્યામાં કાયદો મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે વ્યવહારુ કાર્યક્રમોસંભાવના સિદ્ધાંત. રેન્ડમ ચલોની મિલકત, અમુક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, લગભગ બિન-રેન્ડમની જેમ વર્તે છે, તે વ્યક્તિને આ જથ્થાઓ સાથે વિશ્વાસપૂર્વક કાર્ય કરવાની અને લગભગ સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતા સાથે સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાના પરિણામોની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સામૂહિક રેન્ડમ અસાધારણ ઘટનાના ક્ષેત્રમાં આવી આગાહીઓની શક્યતાઓ મર્યાદા પ્રમેયના અન્ય જૂથની હાજરી દ્વારા વધુ વિસ્તૃત થાય છે, જે રેન્ડમ ચલોના મર્યાદા મૂલ્યોથી સંબંધિત નથી, પરંતુ વિતરણના મર્યાદા કાયદાની ચિંતા કરે છે. તે વિશે છે"કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય" તરીકે ઓળખાતા પ્રમેયના જૂથ વિશે. અમે પહેલાથી જ કહ્યું છે કે જ્યારે પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે, ત્યારે સરવાળોનો વિતરણ કાયદો અમુક શરતોને આધીન, અનિશ્ચિત રૂપે સામાન્ય સુધી પહોંચે છે. આ શરતો, જે ગાણિતિક રીતે વિવિધ રીતે ઘડી શકાય છે - વધુ કે ઓછા સામાન્ય સ્વરૂપમાં - આવશ્યકપણે જરૂરી છે કે વ્યક્તિગત પદોના સરવાળા પરનો પ્રભાવ એકસરખો ઓછો હોય, એટલે કે, રકમમાં સભ્યોનો સમાવેશ થતો નથી. રકમના વિક્ષેપ પરના તેમના પ્રભાવ અનુસાર બાકીની સંપૂર્ણતા પર સ્પષ્ટપણે પ્રભુત્વ ધરાવે છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના વિવિધ સ્વરૂપો એકબીજાથી અલગ પડે છે તે પરિસ્થિતિઓમાં કે જેના માટે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની આ મર્યાદિત મિલકત સ્થાપિત થાય છે.

સાથે મોટી સંખ્યામાં કાયદાના વિવિધ સ્વરૂપો વિવિધ સ્વરૂપોકેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સંભાવના સિદ્ધાંતના કહેવાતા મર્યાદા પ્રમેયનો સમૂહ બનાવે છે. પ્રમેય મર્યાદિત કરોરેન્ડમ અસાધારણ ઘટનાના ક્ષેત્રમાં માત્ર વૈજ્ઞાનિક આગાહીઓ કરવાનું જ નહીં, પણ આ આગાહીઓની સચોટતાનું મૂલ્યાંકન કરવાનું પણ શક્ય બનાવે છે.

આ પ્રકરણમાં આપણે ફક્ત કેટલાક સૌથી વધુ ધ્યાનમાં લઈશું સરળ આકારોપ્રમેય મર્યાદિત કરો. પ્રથમ, આપણે "મોટી સંખ્યાના કાયદા" જૂથ સાથે સંબંધિત પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈશું, પછી "કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય" જૂથ સાથે સંબંધિત પ્રમેય.

ચેબીશેવના મોટી સંખ્યાના કાયદાનો અર્થ નીચે મુજબ છે. જ્યારે વ્યક્તિગત રેન્ડમ ચલ તેની ગાણિતિક અપેક્ષાઓથી ખૂબ દૂર મૂલ્યો લઈ શકે છે, ત્યારે મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ, એકતાની નજીકની સંભાવના સાથે, એક મૂલ્ય લે છે જે તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશથી થોડો અલગ હોય છે.
મોટી સંખ્યામાં ચેબીશેવના કાયદાનો વિશેષ કેસ. દો - પેરવાઇઝ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ જે સંયુક્ત રીતે મર્યાદિત ભિન્નતા ધરાવે છે, એટલે કે. અને સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ . પછી, તે ગમે તે હોઈ શકે , સંબંધ માન્ય છે

આ ફોર્મ્યુલા (), ત્યારથી સીધા જ અનુસરે છે

ટિપ્પણી.તેઓ કહે છે કે રેન્ડમ ચલ સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છેનંબર સુધી એ, જો વધતી જતી અસમાનતાની મનસ્વી રીતે નાની સંભાવના માટે nમર્યાદા વિના એકતા સુધી પહોંચે છે. સંભાવનામાં કન્વર્જન્સનો અર્થ એ નથી. ખરેખર, માં બાદમાં કેસઅસમાનતા તમામ પર્યાપ્ત મોટા મૂલ્યો માટે ધરાવે છે n. સંભાવનામાં સંપાતના કિસ્સામાં, વ્યક્તિગત મનસ્વી રીતે મોટા મૂલ્યો માટે આ અસમાનતા nકદાચ ચલાવવામાં આવ્યો નથી. જો કે, મોટા મૂલ્યો માટે અસમાનતાને સંતોષવામાં નિષ્ફળતા nખૂબ જ દુર્લભ (અસંભવિત) ઘટના છે. આને ધ્યાનમાં લેતા, ચેબીશેવના મોટી સંખ્યાના કાયદાનો એક વિશેષ કેસ નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે.
અંકગણિત સરેરાશ pairwise સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ , સંયુક્ત રીતે મર્યાદિત ભિન્નતા અને સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ધરાવે છે , એ સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે.
ચાલો ચેબીશેવના મોટી સંખ્યાના કાયદાના વિશેષ કેસનો અર્થ સમજાવીએ. ધારો કે આપણે સાચી કિંમત શોધવા માંગીએ છીએ એકેટલાક ભૌતિક જથ્થો(ઉદાહરણ તરીકે, અમુક ભાગનું કદ). આ કરવા માટે, અમે એકબીજાથી સ્વતંત્ર માપનની શ્રેણી બનાવીશું. દરેક માપન કેટલીક ભૂલ () સાથે છે. તેથી, દરેક સંભવિત માપન પરિણામ રેન્ડમ ચલ છે (ઇન્ડેક્સ i- માપન નંબર). ચાલો ધારીએ કે દરેક માપમાં કોઈ પદ્ધતિસરની ભૂલ નથી, એટલે કે સાચા મૂલ્યમાંથી વિચલન એબંને દિશામાં માપેલ જથ્થા સમાન સંભવિત છે. આ કિસ્સામાં, તમામ રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન અને માપેલ મૂલ્યની સમાન હોય છે. એ, એટલે કે
ચાલો આપણે છેલ્લે માની લઈએ કે માપ અમુક બાંયધરીકૃત ચોકસાઈ સાથે કરવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ માપ માટે. આમ, આપણે ચેબીશેવના મોટી સંખ્યાના કાયદાની સ્થિતિમાં છીએ, અને તેથી, જો પરિમાણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય, તો વ્યવહારિક નિશ્ચિતતા સાથે આપણે કહી શકીએ કે ગમે તે હોય, સરેરાશ અંકગણિત પરિણામોમાપન સાચા મૂલ્યથી અલગ છે એકરતાં ઓછું

મોટી સંખ્યાનો કાયદો. ચેબીશેવની અસમાનતા. ચેબીશેવ અને બર્નૌલીના પ્રમેય.
આંકડાકીય દાખલાઓના અભ્યાસથી તે સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બન્યું કે, ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, એકંદર વર્તન મોટી માત્રામાંરેન્ડમ ચલો લગભગ તેમનું રેન્ડમ પાત્ર ગુમાવે છે અને કુદરતી બની જાય છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કેટલાક સરેરાશ વર્તનમાંથી રેન્ડમ વિચલનો એકબીજાને રદ કરે છે). ખાસ કરીને, જો વ્યક્તિગત શરતોના સરવાળા પરનો પ્રભાવ એકસરખો ઓછો હોય, તો સરવાળોનો વિતરણ કાયદો સામાન્યની નજીક આવે છે. ગાણિતિક રચનાઆ નિવેદન પ્રમેયના જૂથમાં આપવામાં આવ્યું છે જેને કહેવાય છે મોટી સંખ્યામાં કાયદો.

ચેબીશેવની અસમાનતા.
ચેબીશેવની અસમાનતા, વધુ પ્રમેય સાબિત કરવા માટે વપરાય છે, તે સતત અને અલગ રેન્ડમ ચલ બંને માટે માન્ય છે. ચાલો તેને અલગ રેન્ડમ ચલ માટે સાબિત કરીએ.
પ્રમેય 13.1 (ચેબીશેવ અસમાનતા). પી( | એક્સ – એમ(એક્સ)| ડી( એક્સ) / ε². (13.1)

પુરાવો. દો એક્સવિતરણ શ્રેણી દ્વારા આપવામાં આવે છે

ઘટનાઓ થી | એક્સ – એમ(એક્સ)| એક્સ – એમ(એક્સ)| ≥ ε વિરુદ્ધ છે, તો પછી આર (|એક્સ – એમ(એક્સ)| p(| એક્સ – એમ(એક્સ)| ≥ ε) = 1, તેથી, આર (|એક્સ – એમ(એક્સ)| p(| એક્સ – એમ(એક્સ)| ≥ ε). અમે શોધીશું આર (|એક્સ – એમ(એક્સ)| ≥ ε).

ડી(એક્સ) = (x 1 – એમ(એક્સ))² પી 1 + (x 2 – એમ(એક્સ))² પી 2 + … + (x n – એમ(એક્સ))² પી n . ચાલો આ રકમમાંથી તે શરતોને બાકાત કરીએ જેના માટે | એક્સ – એમ(એક્સ)| k શરતો પછી

ડી(એક્સ) ≥ (x k + 1 – એમ(એક્સ))² પી k + 1 + (x k + 2 – એમ(એક્સ))² પી k +2 + … + (x n – એમ(એક્સ))² પી n ≥ ε² ( પી k + 1 + પી k + 2 + … + પી n).

તેની નોંધ લો પી k + 1 + પી k + 2 + … + પી nએવી શક્યતા છે કે | એક્સ – એમ(એક્સ)| ≥ ε, કારણ કે આ તમામ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે એક્સ, જેના માટે આ અસમાનતા સાચી છે. આથી, ડી(એક્સ) ≥ ε² આર(|એક્સ – એમ(એક્સ)| ≥ ε), અથવા આર (|એક્સ – એમ(એક્સ)| ≥ ε) ≤ ડી(એક્સ) / ε². પછી વિપરીત ઘટનાની સંભાવના પી( | એક્સ – એમ(એક્સ)| ડી( એક્સ) / ε², જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
ચેબીશેવ અને બર્નૌલીના પ્રમેય.

પ્રમેય 13.2 (ચેબીશેવનું પ્રમેય). જો એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ n- પેરવાઇઝ સ્વતંત્ર રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ કે જેના ભિન્નતા એકસરખી રીતે મર્યાદિત છે ( ડી(એક્સ i) ≤ સી), પછી મનસ્વી રીતે નાની સંખ્યા માટે ε અસમાનતાની સંભાવના

જો રેન્ડમ ચલોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય તો મનસ્વી રીતે 1 ની નજીક હશે.

ટિપ્પણી.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આ શરતો પૂરી થાય છે

પુરાવો. નવા રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો
અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે મેળવીએ છીએ. માટે અરજી કરો ચેબીશેવ અસમાનતા: વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર હોવાથી, પ્રમેયની શરતોને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે: આ પરિણામનો ઉપયોગ કરીને, અમે અગાઉની અસમાનતાને સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ છીએ:

પર લિમિટ પર જઈએ
: સંભાવના 1 થી વધુ ન હોઈ શકે, તે કહી શકાય

પ્રમેય સાબિત થયો છે.
પરિણામ.

જો એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n- સમાન રીતે મર્યાદિત ભિન્નતાઓ સાથે જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ, સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથે એ, તો પછી કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાના ε > 0 માટે અસમાનતાની સંભાવના
જો રેન્ડમ ચલોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય તો તે 1 ની નજીક હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,
.

નિષ્કર્ષ:પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળાની નજીકના મૂલ્યો લે છે, એટલે કે, તે રેન્ડમ ચલનું પાત્ર ગુમાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈપણ ભૌતિક જથ્થાના માપની શ્રેણી હાથ ધરવામાં આવે છે, અને: a) દરેક માપનનું પરિણામ અન્યના પરિણામો પર આધારિત નથી, એટલે કે, બધા પરિણામો જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો છે; b) માપન વ્યવસ્થિત ભૂલો વિના કરવામાં આવે છે (તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ એકબીજાની સમાન અને સાચા મૂલ્યની સમાન હોય છે. એમાપેલ જથ્થો); c) માપની ચોક્કસ ચોકસાઈ સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે, તેથી, વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલોના વિક્ષેપ સમાનરૂપે મર્યાદિત છે; પછી, પૂરતી મોટી સંખ્યામાં માપન સાથે, તેમનો અંકગણિત સરેરાશ માપેલા જથ્થાના સાચા મૂલ્યની મનસ્વી રીતે નજીક હશે.
બર્નૌલીનું પ્રમેય.
પ્રમેય 13.3 (બર્નોલીનું પ્રમેય). જો દરેકમાં nસ્વતંત્ર પ્રયોગોની સંભાવના આરઘટનાની ઘટના એસતત હોય છે, તો પછી પૂરતી મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે સંભવિતતા કે ઘટનાઓની સંબંધિત આવર્તનનું વિચલન મોડ્યુલસ એવી nના પ્રયોગો આરઇચ્છિત તરીકે નાનું હશે, ઇચ્છિત તરીકે 1 ની નજીક:

(13.2)

પુરાવો. ચાલો રેન્ડમ ચલોનો પરિચય કરીએ એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n, ક્યાં એક્સ i – દેખાવની સંખ્યા એવી i-m અનુભવ. તે જ સમયે એક્સ i માત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે: 1 (સંભાવના સાથે આર) અને 0 (સંભાવના સાથે q = 1 – પી). વધુમાં, વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલો જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર છે અને તેમના ભિન્નતા એકસરખી રીતે બંધાયેલા છે (કારણ કે ડી(એક્સ i) = pq, પી + q = 1, ક્યાંથી pq ≤ ¼). પરિણામે, ચેબીશેવનું પ્રમેય તેમના પર લાગુ થઈ શકે છે જ્યારે એમ i = પી:

.

પણ
, કારણ કે એક્સ i જ્યારે તે દેખાય ત્યારે 1 નું મૂલ્ય લે છે એવી આ અનુભવ, અને 0 ની બરાબર કિંમત જો એથયું નથી. આમ,

Q.E.D.
ટિપ્પણી.બર્નૌલીના પ્રમેયમાંથી ન જોઈએ, શું
તે માત્ર વિશે છે સંભાવનાઓકે સંબંધિત આવર્તન અને સંપૂર્ણ સંભાવના વચ્ચેનો તફાવત મનસ્વી રીતે નાનો બની શકે છે. તફાવત નીચે મુજબ છે: સામાન્ય કન્વર્જન્સ સાથે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે ગાણિતિક વિશ્લેષણ, દરેક માટે n, અમુક મૂલ્યથી શરૂ કરીને, અસમાનતા
હંમેશા ચલાવવામાં આવે છે; અમારા કિસ્સામાં આવા મૂલ્યો હોઈ શકે છે n, જેના માટે આ અસમાનતા સાચી નથી. આ પ્રકારના કન્વર્જન્સ કહેવાય છે સંભાવનામાં સંકલન.

વ્યાખ્યાન 14.

લ્યાપુનોવનું કેન્દ્રિય મર્યાદા પ્રમેય. Moivre-Laplace મર્યાદા પ્રમેય.
મોટી સંખ્યાનો કાયદો ફોર્મની તપાસ કરતો નથી મર્યાદા કાયદોરેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિતરણ. આ પ્રશ્નને પ્રમેયના જૂથમાં ગણવામાં આવે છે જેને કહેવાય છે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય.તેઓ દલીલ કરે છે કે અવ્યવસ્થિત ચલોના સરવાળાના વિતરણનો કાયદો, જેમાંના પ્રત્યેકનું અલગ અલગ વિતરણ હોઈ શકે છે, જ્યારે પદોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય ત્યારે સામાન્ય બની જાય છે. આ વ્યવહારિક કાર્યક્રમો માટે સામાન્ય કાયદાનું મહત્વ સમજાવે છે.
લાક્ષણિક કાર્યો.

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, લાક્ષણિક કાર્યોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.
વ્યાખ્યા 14.1.લાક્ષણિક કાર્ય રેન્ડમ ચલ એક્સફંક્શન કહેવાય છે

g(t) = એમ (ઇ itX ) (14.1)

આમ, g (t) કેટલાક જટિલ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા રજૂ કરે છે યુ = ઇ itX, મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલ એક્સ. ખાસ કરીને, જો એક્સ- અલગ રેન્ડમ ચલ, નજીકમાં આપેલ છેવિતરણ, પછી

. (14.2)

વિતરણ ઘનતા સાથે સતત રેન્ડમ ચલ માટે f(x)

(14.3)

ઉદાહરણ 1. ચાલો એક્સ- એક થ્રોમાં 6 પોઈન્ટની સંખ્યા ડાઇસ. પછી સૂત્ર મુજબ (14.2) g(t) =

ઉદાહરણ 2. ચાલો વિતરિત સામાન્યકૃત સતત રેન્ડમ ચલ માટે લાક્ષણિક કાર્ય શોધીએ સામાન્ય કાયદો
. સૂત્ર (14.3) અનુસાર (અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો
અને શું i² = -1).

લાક્ષણિક કાર્યોના ગુણધર્મો.
1. કાર્ય f(x) પર મળી શકે છે જાણીતું કાર્ય g(t) સૂત્ર અનુસાર

(14.4)

(રૂપાંતરણ (14.3) કહેવાય છે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ, અને પરિવર્તન (14.4) – વ્યસ્ત રૂપાંતરફોરિયર).

2. જો રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયસંબંધ દ્વારા સંબંધિત વાય = aX, પછી તેમના લાક્ષણિક કાર્યો સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

g y (t) = g x (ખાતે). (14.5)

3. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું લાક્ષણિક કાર્ય એ શરતોના લાક્ષણિક કાર્યોના ઉત્પાદન સમાન છે: માટે

(14.6)
પ્રમેય 14.1 (સમાન રીતે વિતરિત શરતો માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય). જો એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ n,… - સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો સમાન કાયદોવિતરણ, ગાણિતિક અપેક્ષા ટીઅને તફાવત σ 2, પછી અમર્યાદિત વધારા સાથે nસરવાળો વિતરણનો કાયદો
અનંત સામાન્ય સુધી પહોંચે છે.

પુરાવો.

ચાલો સતત રેન્ડમ ચલ માટે પ્રમેય સાબિત કરીએ એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ n(માટે પુરાવો અલગ માત્રામાંતેવી જ રીતે). પ્રમેયની શરતો અનુસાર, શરતોના લાક્ષણિક કાર્યો સમાન છે:
પછી, ગુણધર્મ 3 દ્વારા, સરવાળાનું લાક્ષણિક કાર્ય વાય nકરશે
ચાલો ફંક્શનને વિસ્તૃત કરીએ g x (t) મેકલોરિન શ્રેણીમાં:

, ક્યાં
ખાતે
.

એમ ધારીને ટી= 0 (એટલે ​​કે, મૂળને બિંદુ પર ખસેડો ટી), તે
.

(કારણ કે ટી= 0). મેક્લોરિન ફોર્મ્યુલામાં મેળવેલા પરિણામોને બદલીને, અમે તે શોધીએ છીએ

.

નવા રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો
, થી અલગ વાય n કે તેના કોઈપણ માટે વિક્ષેપ n 0 બરાબર છે. ત્યારથી વાય nઅને ઝેડ nજોડાયેલ રેખીય અવલંબન, તે સાબિત કરવા માટે તે પૂરતું છે ઝેડ n સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, અથવા, જે તે જ વસ્તુ છે, જે તેના લાક્ષણિક કાર્યનો સંપર્ક કરે છે લાક્ષણિક કાર્યસામાન્ય કાયદો (ઉદાહરણ 2 જુઓ). લાક્ષણિક કાર્યોની મિલકત દ્વારા

ચાલો પરિણામી અભિવ્યક્તિનો લઘુગણક લઈએ:

જ્યાં

ચાલો વિઘટન કરીએ
પર સળંગ n→ ∞, પોતાને વિસ્તરણની બે શરતો સુધી મર્યાદિત કરીએ છીએ, પછી ln(1 - k) ≈ - k. અહીંથી

જ્યાં છેલ્લી મર્યાદા 0 છે, ત્યારથી. આથી,
, એટલે કે
- લાક્ષણિક કાર્ય સામાન્ય વિતરણ. તેથી, શરતોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, જથ્થાના લાક્ષણિક કાર્ય ઝેડ nઅમર્યાદિત રીતે સામાન્ય કાયદાના લાક્ષણિક કાર્યનો સંપર્ક કરે છે; તેથી, વિતરણ કાયદો ઝેડ n (અને વાય n) મર્યાદા વિના સામાન્ય પહોંચે છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

એ.એમ. લ્યાપુનોવે વધુ શરતો માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સાબિત કર્યો સામાન્ય દૃશ્ય:
પ્રમેય 14.2 (લ્યાપુનોવનું પ્રમેય). જો રેન્ડમ ચલ એક્સપરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની ખૂબ મોટી સંખ્યાનો સરવાળો છે જેના માટે નીચેની શરત સંતુષ્ટ છે:

, (14.7)

જ્યાં b k - તીવ્રતાની ત્રીજી સંપૂર્ણ કેન્દ્રિય ક્ષણ એક્સ થી, એ ડી kતે પછી, તેનો તફાવત છે એક્સસામાન્યની નજીકનું વિતરણ છે (લ્યાપુનોવની સ્થિતિનો અર્થ એ છે કે રકમ પર દરેક શબ્દનો પ્રભાવ નજીવો છે).
વ્યવહારમાં, વ્યક્તિ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો પૂરતો ઉપયોગ કરી શકે છે નાની માત્રાશરતો, કારણ કે સંભવિત ગણતરીઓ પ્રમાણમાં ઓછી ચોકસાઈની જરૂર છે. અનુભવ દર્શાવે છે કે દસ કે તેથી ઓછા શબ્દોની રકમ માટે, તેમના વિતરણના નિયમને સામાન્ય દ્વારા બદલી શકાય છે.

અલગ રેન્ડમ ચલ માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ મોઇવર-લેપ્લેસ પ્રમેય છે.

પ્રમેય 14.3 (મોઇવર-લાપ્લેસ પ્રમેય). જો ઉત્પન્ન થાય છે nસ્વતંત્ર પ્રયોગો, જેમાંની દરેક ઘટના એસંભાવના સાથે દેખાય છે આર, તો પછી નીચેનો સંબંધ માન્ય છે:

(14.8)

જ્યાં વાય - ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એવી nપ્રયોગો, q = 1 – પી.

પુરાવો.

અમે તે ધારીશું
, ક્યાં એક્સ i- ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એવી i-m અનુભવ. પછી રેન્ડમ ચલ
(જુઓ પ્રમેય 14.1) સામાન્ય રીતે વિતરિત અને સામાન્યકૃત ગણી શકાય, તેથી, તેના અંતરાલ (α, β) માં પડવાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે.

ત્યારથી વાયધરાવે છે દ્વિપદી વિતરણ, . પછી
. આ અભિવ્યક્તિને અગાઉના સૂત્રમાં બદલીને, આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ (14.8).

પરિણામ.

મોઇવર-લાપ્લેસ પ્રમેયની શરતો હેઠળ, સંભાવના
કે ઘટના એમાં દેખાશે nબરાબર પ્રયોગો kવખત, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે મળી શકે છે:

(14.9)

જ્યાં
, એ
(આ કાર્યના મૂલ્યો વિશેષ કોષ્ટકોમાં આપવામાં આવે છે).

ઉદાહરણ 3. સંભાવના શોધો કે 100 સિક્કા ફેંકવા સાથે, હથિયારોના કોટ્સની સંખ્યા 40 થી 60 ની રેન્જમાં હશે.

ચાલો તેને ધ્યાનમાં રાખીને ફોર્મ્યુલા (14.8) લાગુ કરીએ n= 0.5. પછી પીઆર= 100·0.5 = 50, પછી, જો
આથી,

ઉદાહરણ 4. અગાઉના ઉદાહરણની શરતો હેઠળ, શસ્ત્રોના 45 કોટ્સ દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

અમે શોધીશું
, પછી

વ્યાખ્યાન 15.

મૂળભૂત ખ્યાલો ગાણિતિક આંકડા. વસ્તી અને નમૂના. વિવિધતા શ્રેણી, આંકડાકીય શ્રેણી. જૂથબદ્ધ નમૂના. જૂથબદ્ધ આંકડાકીય શ્રેણી. આવર્તન બહુકોણ. નમૂના વિતરણ કાર્ય અને હિસ્ટોગ્રામ.
ગાણિતિક આંકડાઓ સમૂહને સંચાલિત કરતી પેટર્નની સ્થાપના સાથે વ્યવહાર કરે છે અવ્યવસ્થિત ઘટના, અવલોકનોના પરિણામે પ્રાપ્ત આંકડાકીય માહિતીની પ્રક્રિયાના આધારે. ગાણિતિક આંકડાઓના બે મુખ્ય કાર્યો છે:

આ આંકડાઓને કેવી રીતે એકત્રિત કરવા અને જૂથબદ્ધ કરવા તે નક્કી કરવું;

અભ્યાસના ઉદ્દેશ્યોના આધારે મેળવેલા ડેટાનું પૃથ્થકરણ કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો વિકાસ, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

a) ઘટનાની અજાણી સંભાવનાનું મૂલ્યાંકન; અજ્ઞાત વિતરણ કાર્યનો અંદાજ; વિતરણ પરિમાણોનો અંદાજ, જેનો પ્રકાર જાણીતો છે; અન્ય રેન્ડમ ચલો વગેરે પર અવલંબનનું મૂલ્યાંકન;

b) તપાસો આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓદૃશ્ય વિશે અજ્ઞાત વિતરણઅથવા જાણીતા વિતરણના પરિમાણોના મૂલ્યો વિશે.

આ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે, તમારે તેમાંથી પસંદ કરવાની જરૂર છે મોટી વસ્તીસજાતીય વસ્તુઓ મર્યાદિત જથ્થોઑબ્જેક્ટ્સ, જેના અભ્યાસના પરિણામોના આધારે આ ઑબ્જેક્ટ્સની અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતા વિશે આગાહી કરવી શક્ય છે.

ચાલો ગાણિતિક આંકડાઓની મૂળભૂત વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

વસ્તી - ઉપલબ્ધ વસ્તુઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ.

નમૂના- અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ વસ્તુઓનો સમૂહ વસ્તી.

વસ્તીનું કદએન અને નમૂનાનું કદn - વસ્તીમાં વિચારણા હેઠળની વસ્તુઓની સંખ્યા.

નમૂનાના પ્રકારો:

પુનરાવર્તિત- દરેક પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ આગલા એકને પસંદ કરતા પહેલા સામાન્ય વસ્તીને પરત કરવામાં આવે છે;

પુનરાવર્તિત- પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ સામાન્ય વસ્તીને પરત કરવામાં આવતો નથી.
ટિપ્પણી.અમને રુચિ ધરાવતી સામાન્ય વસ્તીની લાક્ષણિકતાના વર્તન વિશે નમૂનાના અભ્યાસમાંથી તારણો કાઢવા માટે સક્ષમ થવા માટે, તે જરૂરી છે કે નમૂના સામાન્ય વસ્તીના પ્રમાણને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે, એટલે કે, તે છે. પ્રતિનિધિ(પ્રતિનિધિ). મોટી સંખ્યાના કાયદાને ધ્યાનમાં લેતા, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે જો દરેક ઑબ્જેક્ટ રેન્ડમ પર પસંદ કરવામાં આવે તો આ સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે, અને કોઈપણ ઑબ્જેક્ટ માટે નમૂનામાં સમાવવાની સંભાવના સમાન છે.
પરિણામોની પ્રાથમિક પ્રક્રિયા.

અમને રુચિ છે તે રેન્ડમ ચલ દો એક્સનમૂનામાં મૂલ્ય લે છે એક્સ 1 n 1 વખત, એક્સ 2 – n 2 વખત... એક્સ થી - પી થીવખત, અને
જ્યાં n- નમૂનાનું કદ. પછી રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યો એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ થી કહેવાય છે વિકલ્પો, એ n 1 , n 2 ,…, n થી – ફ્રીક્વન્સીઝ. જો આપણે દરેક આવર્તનને નમૂનાના કદ દ્વારા વિભાજીત કરીએ, તો આપણને મળે છે સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ
ચડતા ક્રમમાં લખેલા વિકલ્પોનો ક્રમ કહેવાય છે વિવિધતાલક્ષીતેની બાજુમાં, અને વિકલ્પોની સૂચિ અને તેમની અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝ અથવા સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ – આંકડાકીય શ્રેણી:

10 ડાઇસ થ્રોની 20 શ્રેણીઓ પરફોર્મ કરતી વખતે, છ પોઇન્ટની સંખ્યા 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2, 2,3,4,1. ચાલો કંપોઝ કરીએ વિવિધતા શ્રેણી: 0,1,2,3,4,5. આંકડાકીય શ્રેણીનિરપેક્ષ અને સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ માટે ફોર્મ છે:

જો કેટલીક સતત વિશેષતાઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, તો પછી વિવિધતા શ્રેણીમાં સંખ્યાઓની ખૂબ મોટી સંખ્યા હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં તેનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે જૂથ નમૂના. તેને મેળવવા માટે, એટ્રિબ્યુટના તમામ અવલોકન કરેલ મૂલ્યો ધરાવતા અંતરાલને લંબાઈના કેટલાક સમાન આંશિક અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. h, અને પછી દરેક આંશિક અંતરાલ માટે શોધો n i– માં સમાવિષ્ટ વેરિઅન્ટની ફ્રીક્વન્સીઝનો સરવાળો iમી અંતરાલ. આ પરિણામોમાંથી સંકલિત કોષ્ટક કહેવામાં આવે છે જૂથબદ્ધ આંકડાકીય રીતે બંધ :

આવર્તન બહુકોણ. નમૂના વિતરણ કાર્ય અને હિસ્ટોગ્રામ.
નમૂનામાં અભ્યાસ હેઠળ રેન્ડમ ચલની વર્તણૂકની કલ્પના કરવા માટે, તમે વિવિધ ગ્રાફ બનાવી શકો છો. તેમાંથી એક છે આવર્તન શ્રેણી: એક તૂટેલી રેખા જેના વિભાગો કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુઓને જોડે છે ( x 1 , n 1), (x 2 , n 2),…, (x k , n k), ક્યાં x i x-અક્ષ પર રચાયેલ છે, અને n i - ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર. જો બિન-નિરપેક્ષ મૂલ્યો ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર રચાયેલ છે ( n i), અને સંબંધી ( ડબલ્યુ i) આવર્તન, આપણને મળે છે સંબંધિત આવર્તન બહુકોણ(ફિગ.1) . ચોખા. 1.

રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્ય સાથે સામ્યતા દ્વારા, તમે ચોક્કસ કાર્ય, ઘટનાની સંબંધિત આવર્તનનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો એક્સ x.

વ્યાખ્યા 15.1.નમૂના (અનુભાવિક) વિતરણ કાર્યફંક્શનને કૉલ કરો એફ* (x), દરેક મૂલ્ય માટે વ્યાખ્યાયિત કરે છે એક્સઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એક્સ x. આમ,

, (15.1)

જ્યાં n એક્સ- વિકલ્પોની સંખ્યા, નાની એક્સ, n- નમૂનાનું કદ.
ટિપ્પણી.પ્રાયોગિક ધોરણે જોવા મળતા પ્રાયોગિક વિતરણ કાર્યથી વિપરીત, વિતરણ કાર્ય એફ(xસામાન્ય વસ્તીના ) કહેવાય છે સૈદ્ધાંતિક કાર્યવિતરણ. એફ(x) ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરે છે એક્સ x, એ એફ* (x) - તેની સંબંધિત આવર્તન. પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે n, બર્નૌલીના પ્રમેયમાંથી નીચે મુજબ, એફ* (x) ની સંભાવના છે એફ(x).

પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યની વ્યાખ્યા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે તેના ગુણધર્મો ગુણધર્મો સાથે સુસંગત છે એફ(x), એટલે કે:

1. 
   0 ≤એફ* (x) ≤ 1.
2. 
   એફ* (x) એક બિન-ઘટતું કાર્ય છે.
3. 
   જો એક્સ 1 એ સૌથી નાનો વિકલ્પ છે એફ* (x) = 0 ખાતે એક્સ≤ એક્સ 1; જો એક્સ થી - પછી સૌથી મોટો વિકલ્પ એફ* (x) = 1 ખાતે એક્સ> એક્સ થી .

વ્યાખ્યાન 16.

સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ આંકડાકીય વિતરણ: સેમ્પલ મીન, વેરિઅન્સ અંદાજ, મોડ અને મધ્ય અંદાજ, પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય ક્ષણ અંદાજ. આંકડાકીય વર્ણનઅને દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટરના પરિમાણોના અંદાજની ગણતરી.
ઉપલબ્ધ નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરવામાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યોનો અંદાજ કાઢવાનું ગાણિતિક આંકડાનું એક કાર્ય છે.

વ્યાખ્યા 16.1.નમૂનાનો અર્થસરેરાશ કહેવાય છે અંકગણિત મૂલ્યોનમૂનામાં સ્વીકૃત રેન્ડમ ચલ:

, (16.1)

જ્યાં x i- વિકલ્પો, n i- ફ્રીક્વન્સીઝ.

ટિપ્પણી.નમૂનાનો અર્થ અભ્યાસ હેઠળના રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે સેવા આપે છે. આવો અંદાજ કેટલો સચોટ છે તે પ્રશ્ન પછીથી ચર્ચા કરવામાં આવશે.

વ્યાખ્યા 16.2.નમૂના તફાવતકહેવાય છે

, (16.2)

એ નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન–

(16.3)

જેમ રેન્ડમ ચલોના સિદ્ધાંતમાં, તે સાબિત કરી શકાય છે નીચેના સૂત્રનમૂનાના તફાવતની ગણતરી કરવા માટે:

. (16.4)

ઉદાહરણ 1. ચાલો આંકડાકીય શ્રેણી દ્વારા આપેલ નમૂનાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ

વિવિધતા શ્રેણીની અન્ય લાક્ષણિકતાઓ છે:

- ફેશનએમ 0 - વિકલ્પ ધરાવે છે સૌથી વધુ આવર્તન(અગાઉના ઉદાહરણમાં એમ 0 = 5).

- મધ્યકટી ઇ - વિકલ્પ, જે ભિન્નતા શ્રેણીને બે ભાગમાં વહેંચે છે, વિકલ્પોની સંખ્યામાં સમાન છે. જો નંબર વિકલ્પ વિષમ હોય તો ( n = 2k+ 1), પછી m ઇ = x k + 1 , અને સમાન માટે n = 2k
. ખાસ કરીને, ઉદાહરણ તરીકે 1

પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય ક્ષણોના અંદાજો (કહેવાતા પ્રયોગમૂલક ક્ષણો) અનુરૂપ સૈદ્ધાંતિક ક્ષણોની જેમ જ નક્કી કરવામાં આવે છે:

- ઓર્ડરની પ્રારંભિક પ્રાયોગિક ક્ષણk કહેવાય છે

. (16.5)

ખાસ કરીને,
, એટલે કે, પ્રથમ ક્રમની પ્રારંભિક પ્રયોગમૂલક ક્ષણ નમૂનાની સરેરાશની બરાબર છે.

- ઓર્ડરની કેન્દ્રીય પ્રયોગમૂલક ક્ષણk કહેવાય છે

. (16.6)

ખાસ કરીને,
, એટલે કે, સેકન્ડ-ઓર્ડર સેન્ટ્રલ એમ્પિરિકલ મોમેન્ટ સેમ્પલ વેરિઅન્સની બરાબર છે.
આંકડાકીય વર્ણન અને લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર.
દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલોના આંકડાકીય અભ્યાસમાં, મુખ્ય કાર્ય સામાન્ય રીતે ઘટકો વચ્ચેના સંબંધને ઓળખવાનું છે.

દ્વિ-પરિમાણીય નમૂના એ રેન્ડમ વેક્ટર મૂલ્યોનો સમૂહ છે: ( એક્સ 1 , ખાતે 1), (એક્સ 2 , ખાતે 2), …, (એક્સ n , વાય n). તેના માટે, તમે ઘટકોના નમૂના સરેરાશ નક્કી કરી શકો છો:

અને અનુરૂપ નમૂના ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનો. વધુમાં, એક ગણતરી કરી શકે છે શરતી સરેરાશ: - અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ વાય, અનુરૂપ X = x, અને - અવલોકન કરેલ મૂલ્યોની સરેરાશ એક્સ, અનુરૂપ વાય = y.

જો દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના ઘટકો વચ્ચે અવલંબન હોય, તો તે હોઈ શકે છે વિવિધ પ્રકાર: કાર્યાત્મક અવલંબન જો દરેક શક્ય મૂલ્ય એક્સએક મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે વાય, અને આંકડાકીય, જેમાં એક જથ્થામાં ફેરફાર બીજાના વિતરણમાં ફેરફાર તરફ દોરી જાય છે. જો, એક મૂલ્યમાં ફેરફારના પરિણામે, બીજાનું સરેરાશ મૂલ્ય બદલાય છે, તો તેમની વચ્ચેના આંકડાકીય અવલંબનને સહસંબંધ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યાન 17.

વિતરણ પરિમાણોની આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મો: નિષ્પક્ષતા, સુસંગતતા, કાર્યક્ષમતા. નિષ્પક્ષતા અને નમૂનાની સુસંગતતાનો અર્થ ગાણિતિક અપેક્ષાના અંદાજ તરીકે થાય છે. સેમ્પલિંગ ભિન્નતા પૂર્વગ્રહ. નિષ્પક્ષ વિચલન અનુમાનકનું ઉદાહરણ. અસમ્પ્ટોટિકલી નિષ્પક્ષ અંદાજો. અંદાજો બાંધવા માટેની પદ્ધતિઓ: મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ, ક્ષણ પદ્ધતિ, ક્વોન્ટાઇલ પદ્ધતિ, પદ્ધતિ ઓછામાં ઓછા ચોરસ,અંદાજ માટે બેયસિયન અભિગમ.
વિતરણ પરિમાણો (નમૂનો સરેરાશ, નમૂના તફાવત, વગેરે) ના આંકડાકીય અંદાજો પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તમારે ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે તેઓ વસ્તીની અનુરૂપ લાક્ષણિકતાઓના અંદાજ તરીકે પૂરતા પ્રમાણમાં સેવા આપે છે. ચાલો આપણે તે જરૂરિયાતો નક્કી કરીએ કે જે પૂરી થવી જોઈએ.

ચાલો Θ* - આંકડાકીય મૂલ્યાંકનઅજ્ઞાત પરિમાણ Θ સૈદ્ધાંતિક વિતરણ. ચાલો સામાન્ય વસ્તીમાંથી સમાન કદના ઘણા નમૂનાઓ કાઢીએ nઅને તે દરેક માટે પરિમાણ Θ ના અંદાજની ગણતરી કરો:
પછી અંદાજ Θ* એ રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણી શકાય જે સંભવિત મૂલ્યો લે છે જો ગાણિતિક અપેક્ષા Θ* અંદાજિત પરિમાણની બરાબર નથી, તો અંદાજની ગણતરી કરતી વખતે અમે પ્રાપ્ત કરીશું. પદ્ધતિસરની ભૂલોએક ચિહ્ન (વધુ સાથે જો એમ(Θ*) >Θ, અને ગેરલાભ સાથે જો એમ(Θ*) M (Θ*) = Θ.
વ્યાખ્યા 17.2.આંકડાકીય અંદાજ Θ* કહેવાય છે નિષ્પક્ષ, જો તેની ગાણિતિક અપેક્ષા કોઈપણ નમૂનાના કદ માટે અંદાજિત પરિમાણ Θ જેટલી હોય તો:

એમ(Θ*) = Θ. (17.1)

વિસ્થાપિતએક એવો અંદાજ કહેવાય છે જેની ગાણિતિક અપેક્ષા અંદાજિત પરિમાણ જેટલી ન હોય.

જો કે, નિષ્પક્ષતા નથી પૂરતી સ્થિતિઅંદાજિત પરિમાણના સાચા મૂલ્યની સારી નજીક. જો, આ કિસ્સામાં, Θ* ના સંભવિત મૂલ્યો સરેરાશ મૂલ્યથી નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થઈ શકે છે, એટલે કે, Θ* નું વિક્ષેપ મોટું છે, તો પછી એક નમૂનાના ડેટામાંથી મળેલ મૂલ્ય અંદાજિત પરિમાણથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોઈ શકે છે. તેથી, વિખેરવા પર નિયંત્રણો લાદવા જરૂરી છે.
વ્યાખ્યા 17.2.આંકડાકીય આકારણી કહેવામાં આવે છે અસરકારક, જો તે આપેલ નમૂનાના કદ માટે છે nશક્ય તેટલો નાનો તફાવત છે.
મોટા નમૂનાઓ પર વિચાર કરતી વખતે, આંકડાકીય અંદાજો પણ સુસંગતતાની જરૂરિયાતને આધીન છે.
વ્યાખ્યા 17.3.શ્રીમંતઆંકડાકીય અંદાજ કહેવાય છે કે જ્યારે n→∞ અંદાજિત પરિમાણની સંભાવનામાં વલણ ધરાવે છે (જો આ અંદાજ નિષ્પક્ષ છે, તો તે સુસંગત રહેશે જો n→∞ તેનું વિચલન 0 તરફ વલણ ધરાવે છે).
ચાલો તેની ખાતરી કરીએ ગાણિતિક અપેક્ષાનો નિષ્પક્ષ અંદાજ રજૂ કરે છે એમ(એક્સ).

અમે તેને રેન્ડમ ચલ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું, અને એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ n, એટલે કે, અભ્યાસ હેઠળના રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો જે નમૂના બનાવે છે, - સ્વતંત્ર તરીકે, સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલો એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ n, ગાણિતિક અપેક્ષા રાખવી એ. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો પરથી તે અનુસરે છે

પરંતુ, દરેક જથ્થામાં થી એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ n સામાન્ય વસ્તી જેટલું જ વિતરણ છે, એ = એમ(એક્સ), એટલે કે એમ(
) = એમ(એક્સ), જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી. નમૂનાનો અર્થ માત્ર એક નિષ્પક્ષ નથી, પણ ગાણિતિક અપેક્ષાનો સતત અંદાજ પણ છે. એમ ધારીને એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ nમર્યાદિત ભિન્નતા છે, પછી ચેબીશેવના પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે તેમનો અંકગણિત સરેરાશ, એટલે કે, વધતા જતા nગાણિતિક અપેક્ષાની સંભાવનામાં વલણ ધરાવે છે એતેમના દરેક મૂલ્યો, એટલે કે, માટે એમ(એક્સ). પરિણામે, નમૂનાનો સરેરાશ ગાણિતિક અપેક્ષાનો સુસંગત અંદાજ છે.

નમૂનાના સરેરાશથી વિપરીત, નમૂનાનો તફાવત એ વસ્તીના તફાવતનો પક્ષપાતી અંદાજ છે. તે સાબિત કરી શકાય છે

, (17.2)

જ્યાં ડી જી - વસ્તી તફાવતનું સાચું મૂલ્ય. વિક્ષેપનો બીજો અંદાજ પ્રસ્તાવિત કરી શકાય છે: સુધારેલ તફાવતs ² , સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

. (17.3)

આવો અંદાજ નિષ્પક્ષ રહેશે. તે અનુલક્ષે છે સુધારેલ સરેરાશ પ્રમાણભૂત વિચલન

. (17.4)

વ્યાખ્યા 17.4.અમુક વિશેષતાનું મૂલ્યાંકન કહેવામાં આવે છે એસિમ્પટોટિકલી નિષ્પક્ષ, જો નમૂના માટે એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n

, (17.5)

જ્યાં એક્સ- અભ્યાસ કરેલ જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય.
આકારણીઓ બાંધવા માટેની પદ્ધતિઓ.
1. મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ.
દો એક્સ- અલગ રેન્ડમ ચલ, જે પરિણામે nપરીક્ષણોએ મૂલ્યો લીધા એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n. ચાલો ધારીએ કે આપણે આ જથ્થાના વિતરણનો નિયમ જાણીએ છીએ, જે પરિમાણ Θ દ્વારા નિર્ધારિત છે, પરંતુ આપણે જાણતા નથી. સંખ્યાત્મક મૂલ્યઆ પરિમાણ. ચાલો તેના બિંદુ અંદાજ શોધીએ.

દો આર(એક્સ i, Θ) એ સંભાવના છે કે પરીક્ષણના પરિણામે મૂલ્ય એક્સમૂલ્ય લેશે એક્સ i. ચાલો ફોન કરીએ સંભાવના કાર્યઅલગ રેન્ડમ ચલ એક્સદલીલ કાર્ય Θ, સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત:

એલ (એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n ; Θ) = પી(x 1 ,Θ) પી(x 2 ,Θ)… પી(x n ,Θ).

પછી, પરિમાણ Θ ના બિંદુ અંદાજ તરીકે, આપણે તેનું મૂલ્ય Θ* = Θ( લઈએ છીએ. એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n), જેના પર સંભાવના કાર્ય તેની મહત્તમ પહોંચે છે. અંદાજ Θ* કહેવાય છે મહત્તમ સંભાવના અંદાજ.

કાર્યો થી એલઅને એલ.એન એલΘ ના સમાન મૂલ્ય પર મહત્તમ સુધી પહોંચો, મહત્તમ ln શોધવું વધુ અનુકૂળ છે એલ – લઘુગણક કાર્યવિશ્વસનીયતા. આ કરવા માટે તમારે જરૂર છે:


મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિના ફાયદા: મેળવેલ અંદાજો સુસંગત છે (જો કે તેઓ પક્ષપાતી હોઈ શકે છે), મોટા મૂલ્યો માટે સામાન્ય રીતે અસ્પષ્ટ રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. nઅને અન્ય એસિમ્પટોટિકલી સામાન્ય અંદાજોની તુલનામાં સૌથી નાનો તફાવત છે; જો અંદાજિત પરિમાણ માટે Θ છે અસરકારક આકારણીΘ*, પછી સંભાવના સમીકરણ છે એકમાત્ર ઉકેલΘ*; પદ્ધતિ નમૂનાના ડેટાનો સૌથી વધુ સંપૂર્ણ ઉપયોગ કરે છે અને તેથી તે ખાસ કરીને નાના નમૂનાઓના કિસ્સામાં ઉપયોગી છે.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિનો ગેરલાભ: કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા.
વિતરણ ઘનતાના જાણીતા પ્રકાર સાથે સતત રેન્ડમ ચલ માટે f(x) અને અજ્ઞાત પરિમાણ Θ, સંભાવના કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે:

એલ (એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n ; Θ) = f(x 1 ,Θ) f(x 2 ,Θ)… f(x n ,Θ).

અજ્ઞાત પરિમાણની મહત્તમ સંભાવના અંદાજ એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે જેમ કે એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે.
2. ક્ષણોની પદ્ધતિ.
ક્ષણોની પદ્ધતિ એ હકીકત પર આધારિત છે કે પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય પ્રયોગમૂલક ક્ષણો અનુક્રમે પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય સૈદ્ધાંતિક ક્ષણોના સુસંગત અંદાજો છે, તેથી આપણે સમાનતા કરી શકીએ છીએ સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓસમાન ક્રમની અનુરૂપ પ્રાયોગિક ક્ષણો.

જો વિતરણ ઘનતા પ્રકાર ઉલ્લેખિત છે f(x, Θ), એક અજાણ્યા પરિમાણ Θ દ્વારા નિર્ધારિત, પછી આ પરિમાણનો અંદાજ કાઢવા માટે એક સમીકરણ હોવું પૂરતું છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક સમાન કરી શકે છે પ્રારંભિક ક્ષણોપ્રથમ ઓર્ડર:

,

આમ Θ નક્કી કરવા માટે સમીકરણ મેળવે છે. તેનું સોલ્યુશન Θ* એ પરિમાણનો પોઈન્ટ અંદાજ હશે, જે નમૂનાના સરેરાશનું કાર્ય છે અને તેથી, નમૂના વેરિઅન્ટનું:

Θ = ψ ( એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n).

જો જાણીતી પ્રજાતિઓવિતરણ ઘનતા f(x, Θ 1, Θ 2) બે અજાણ્યા પરિમાણો Θ 1 અને Θ 2 દ્વારા નક્કી થાય છે, પછી તે બે સમીકરણો બનાવવા જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે

ν 1 = એમ 1 , μ 2 = ટી 2 .

અહીંથી
- બે અજ્ઞાત Θ 1 અને Θ 2 સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ. તેના ઉકેલો બિંદુ અંદાજ Θ 1 * અને Θ 2 * હશે - નમૂના વિકલ્પના કાર્યો:

Θ 1 = ψ 1 ( એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n),

Θ 2 = ψ 2 ( એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ n).
3. ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ.

જો તમારે જથ્થાની અવલંબનનો અંદાજ કાઢવાની જરૂર હોય ખાતેઅને એક્સ, અને તેમને જોડતા કાર્યનું સ્વરૂપ જાણીતું છે, પરંતુ તેમાં સમાવિષ્ટ ગુણાંકના મૂલ્યો અજ્ઞાત છે. આ હેતુ માટે કાર્ય ખાતે = φ ( એક્સ) પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો થાય ખાતે 1 , ખાતે 2 ,…, ખાતે nથી φ( એક્સ i) ન્યૂનતમ હતું:

આ કિસ્સામાં તે શોધવા માટે જરૂરી છે સ્થિર બિંદુકાર્યો φ( x; a, b, c… ), એટલે કે, સિસ્ટમ હલ કરો:

(ઉકેલ, અલબત્ત, માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે તે જાણીતું હોય ચોક્કસ પ્રકારકાર્યો φ).

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે પરિમાણોની પસંદગી ધ્યાનમાં લઈએ રેખીય કાર્યઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ.

પરિમાણોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે એઅને bકાર્યમાં y = કુહાડી + b, અમે શોધીશું
પછી
. અહીંથી
. બંને પરિણામી સમીકરણો દ્વારા વિભાજન nઅને પ્રયોગમૂલક ક્ષણોની વ્યાખ્યાઓને યાદ રાખીને, અમે અભિવ્યક્તિઓ મેળવી શકીએ છીએ એઅને bફોર્મમાં:

. તેથી, વચ્ચે જોડાણ એક્સઅને ખાતેફોર્મમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

4. અંદાજો મેળવવા માટે બેયેશિયન અભિગમ.
ચાલો ( વાય, એક્સ) – રેન્ડમ વેક્ટર જેના માટે ઘનતા જાણીતી છે આર(ખાતે|x) શરતી વિતરણ વાયદરેક મૂલ્ય પર X = x. જો પ્રયોગ માત્ર મૂલ્યોમાં પરિણમે છે વાય, અને અનુરૂપ મૂલ્યો એક્સઅજ્ઞાત, પછી કેટલાક અંદાજ માટે આપેલ કાર્ય φ( એક્સ) તેના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે, તે શરતી ગાણિતિક અપેક્ષાને જોવાનો પ્રસ્તાવ છે એમ (φ‌‌( એક્સ)‌‌‌‌‌‌|વાય), સૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

, ક્યાં , આર(એક્સ એક્સ, q(y) – બિનશરતી વિતરણની ઘનતા વાય. સમસ્યા ત્યારે જ ઉકેલી શકાય જ્યારે તેની જાણ થાય આર(એક્સ). કેટલીકવાર, જો કે, માટે સુસંગત અંદાજ બાંધવો શક્ય છે q(y), માત્ર નમૂનામાં મેળવેલ મૂલ્યો પર આધાર રાખીને વાય.

વ્યાખ્યાન 18.

અજાણ્યા પરિમાણોનું અંતરાલ અંદાજ. અંદાજ ચોકસાઈ, આત્મવિશ્વાસની સંભાવના(વિશ્વસનીયતા), આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. જાણીતા અને અજાણ્યા ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનું નિર્માણ. સામાન્ય વિતરણના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.
જ્યારે નાના વોલ્યુમના નમૂના લે છે બિંદુ અંદાજઅંદાજિત પરિમાણથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોઈ શકે છે, જે એકંદર ભૂલો તરફ દોરી જાય છે. તેથી, આ કિસ્સામાં તેનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે અંતરાલ અંદાજ , એટલે કે, જેમાં અંતરાલ સૂચવો આપેલ સંભાવનાઅંદાજિત પરિમાણનું સાચું મૂલ્ય ઘટે છે. અલબત્ત, આ અંતરાલની લંબાઈ જેટલી ઓછી હશે, તેટલો વધુ સચોટ પરિમાણ અંદાજ. તેથી, જો અસમાનતા | Θ* - Θ | 0 લાક્ષણિકતા અંદાજ ચોકસાઈ(જેટલો નાનો δ, તેટલો વધુ સચોટ અંદાજ). પણ આંકડાકીય પદ્ધતિઓઅમને ફક્ત એટલું જ કહેવાની મંજૂરી આપો કે આ અસમાનતા કેટલીક સંભાવનાઓથી સંતુષ્ટ છે.

વ્યાખ્યા 18.1.વિશ્વસનીયતા (વિશ્વાસની સંભાવના) પરિમાણ Θ નો અંદાજ Θ* એ સંભાવના છે γ કે અસમાનતા સંતુષ્ટ છે | Θ* - Θ |
પી (Θ* - δ
આમ, γ એ સંભાવના છે કે Θ અંતરાલમાં આવે છે (Θ* - δ, Θ* + δ).

વ્યાખ્યા 18.2.વિશ્વાસુતે અંતરાલ કહેવાય છે જેમાં તે પડે છે અજ્ઞાત પરિમાણઆપેલ વિશ્વસનીયતા સાથે γ.
આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનું નિર્માણ.
1. જાણીતા ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.

રેન્ડમ ચલને અભ્યાસ હેઠળ રહેવા દો એક્સજાણીતા સરેરાશ ચોરસ σ સાથે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, અને નમૂનાના સરેરાશના મૂલ્યના આધારે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે. એ. અમે નમૂનાના સરેરાશને રેન્ડમ ચલ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું અને મૂલ્યો નમૂના વિકલ્પ છે એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ nસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો સમાન રીતે વિતરિત કરે છે એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, એક્સ n, જેમાંથી દરેકની ગાણિતિક અપેક્ષા છે એઅને પ્રમાણભૂત વિચલન σ. તે જ સમયે એમ() = એ,
(અમે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ). ચાલો અસમાનતાની સંભાવનાનો અંદાજ લગાવીએ
. ચાલો આપેલ અંતરાલમાં આવતા સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલની સંભાવના માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ:

આર (
) = 2F
. પછી, એ હકીકત ધ્યાનમાં લેતા કે, આર() = 2F
=

2F( t), ક્યાં
. અહીંથી
, અને અગાઉની સમાનતા નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

. (18.1)

તેથી, ગાણિતિક અપેક્ષાનું મૂલ્ય એસંભાવના (વિશ્વસનીયતા) સાથે γ અંતરાલમાં આવે છે
, જ્યાં મૂલ્ય tલેપ્લેસ ફંક્શન માટે કોષ્ટકોમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે જેથી સમાનતા 2Ф( t) = γ.
ઉદાહરણ. ચાલો સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધીએ જો નમૂનાનું કદ n = 49,
σ = 1.4, અને આત્મવિશ્વાસની સંભાવના γ = 0.9.

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ t, જેના પર Ф( t) = 0,9:2 = 0,45: t= 1.645. પછી

, અથવા 0.9 ની વિશ્વસનીયતા સાથે 2.471 a a.
2. અજાણ્યા ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષાના અંદાજ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.

જો તે જાણીતું છે કે અભ્યાસ હેઠળ રેન્ડમ ચલ એક્સઅજ્ઞાત પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત, પછી શોધવા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલતેની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે, અમે એક નવું રેન્ડમ ચલ બનાવીએ છીએ

, (18.2)

જ્યાં - નમૂના સરેરાશ, s- સુધારેલ તફાવત, n- નમૂનાનું કદ. આ રેન્ડમ ચલ, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે t, સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણ છે (લેક્ચર 12 જુઓ). k = n- સ્વતંત્રતાની 1 ડિગ્રી.

વિદ્યાર્થી વિતરણ ઘનતા થી
, ક્યાં
પર સ્પષ્ટપણે આધાર રાખતો નથી એઅને σ, તમે ચોક્કસ અંતરાલ (- t γ , t γ ), વિતરણ ઘનતાની સમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા, નીચે પ્રમાણે:
. અહીંથી આપણને મળે છે:

(18.3)

આમ, માટે વિશ્વાસ અંતરાલ પ્રાપ્ત થયો હતો એ, ક્યાં t γ આપેલ માટે અનુરૂપ કોષ્ટકમાંથી શોધી શકાય છે nઅને γ.

ઉદાહરણ. નમૂના માપ દો n = 25, = 3, s= 1.5. ચાલો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધીએ એγ = 0.99 પર. કોષ્ટકમાંથી આપણે તે શોધીએ છીએ t γ (n= 25, γ = 0.99) = 2.797. પછી
, અથવા 0.99 ની સંભાવના સાથે 2.161a a.
3. સામાન્ય વિતરણના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.

અમે ફોર્મનો વિશ્વાસ અંતરાલ શોધીશું ( s – δ, s +δ ), ક્યાં sસુધારેલ નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન છે, અને δ માટે નીચેની સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે: પી (|σ – s|
ચાલો આ અસમાનતાને ફોર્મમાં લખીએ:
અથવા, નિયુક્તિ
,

ચાલો સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત રેન્ડમ ચલ χ ને ધ્યાનમાં લઈએ

,

જેની સાથે ચી-સ્ક્વેર કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે nસ્વતંત્રતાની -1 ડિગ્રી (લેક્ચર 12 જુઓ). તેની વિતરણ ઘનતા

અંદાજિત પરિમાણ σ પર આધાર રાખતું નથી, પરંતુ માત્ર નમૂનાના કદ પર આધાર રાખે છે n. ચાલો અસમાનતાને રૂપાંતરિત કરીએ (18.4) જેથી તે સ્વરૂપ લે χ 1 ચાલો ધારીએ કે q

,

અથવા, વડે ગુણાકાર કર્યા પછી
,
. આથી,
. પછી
ચી-સ્ક્વેર વિતરણ માટેના કોષ્ટકો છે જેમાંથી તમે શોધી શકો છો qઆપેલ મુજબ nઅને γ આ સમીકરણ ઉકેલ્યા વિના. આમ, નમૂનામાંથી મૂલ્યની ગણતરી કરી s અને કોષ્ટકમાંથી મૂલ્ય નક્કી કરવું q, તમે વિશ્વાસ અંતરાલ (18.4) શોધી શકો છો, જેમાં મૂલ્ય σ આપેલ સંભાવના γ સાથે આવે છે.
ટિપ્પણી.જો q> 1, પછી, σ > 0 ની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેતા, σ માટે વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ હશે

. (18.5)

દો n = 20, s= 1.3. ચાલો આપેલ વિશ્વસનીયતા γ = 0.95 માટે σ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધીએ. અનુરૂપ કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધીએ છીએ q (n= 20, γ = 0.95) = 0.37. તેથી, વિશ્વાસ અંતરાલની મર્યાદાઓ છે: 1.3(1-0.37) = 0.819 અને 1.3(1+0.37) = 1.781. તેથી, 0.819