મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર. ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર

ભૌમિતિક પ્રગતિ અંકગણિતની તુલનામાં ગણિતમાં ઓછું મહત્વનું નથી. ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંખ્યાઓ b1, b2,..., b[n] નો ક્રમ છે જેમાંથી દરેક આગામી પદને પાછલા એક વડે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. સતત સંખ્યા. આ સંખ્યા, જે વૃદ્ધિના દર અથવા પ્રગતિના ઘટાડાને પણ દર્શાવે છે, તેને કહેવામાં આવે છે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદઅને સૂચવો

માટે પૂર્ણ કાર્યભૌમિતિક પ્રગતિની, છેદ ઉપરાંત, તેની પ્રથમ અવધિ જાણવી અથવા નક્કી કરવી જરૂરી છે. માટે હકારાત્મક મૂલ્યછેદ પ્રગતિ છે એકવિધ ક્રમ, અને જો સંખ્યાઓનો આ ક્રમ એકવિધ રીતે ઘટતો હોય અને જો તે એકવિધ રીતે વધી રહ્યો હોય. કેસ જ્યારે છેદ એક સમાનવ્યવહારમાં માનવામાં આવતું નથી, કારણ કે અમારી પાસે ક્રમ છે સમાન સંખ્યાઓ, અને તેમનો સરવાળો કોઈ વ્યવહારુ રસ ધરાવતો નથી

ભૌમિતિક પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દસૂત્ર દ્વારા ગણતરી

ભૌમિતિક પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળોફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ચાલો ઉકેલો ધ્યાનમાં લઈએ શાસ્ત્રીય સમસ્યાઓભૌમિતિક પ્રગતિ માટે. ચાલો સમજવા માટે સૌથી સરળ મુદ્દાઓથી પ્રારંભ કરીએ.

ઉદાહરણ 1. ભૌમિતિક પ્રગતિનું પ્રથમ પદ 27 છે, અને તેનો છેદ 1/3 છે. ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ છ પદો શોધો.

ઉકેલ: ચાલો ફોર્મમાં સમસ્યાની સ્થિતિ લખીએ

ગણતરીઓ માટે આપણે ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

તેના આધારે, અમે પ્રગતિની અજાણી શરતો શોધીએ છીએ

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી. પ્રગતિ પોતે આના જેવી દેખાશે

ઉદાહરણ 2. ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ શબ્દો આપવામાં આવ્યા છે: 6; -12; 24. છેદ અને તેનો સાતમો પદ શોધો.

ઉકેલ: અમે તેની વ્યાખ્યાના આધારે ભૌમિતિક પ્રગતિના છેદની ગણતરી કરીએ છીએ

અમે વૈકલ્પિક ભૌમિતિક પ્રગતિ મેળવી છે જેનો છેદ -2 બરાબર છે. સાતમા પદની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

આ સમસ્યા હલ કરે છે.

ઉદાહરણ 3. ભૌમિતિક પ્રગતિ તેના બે પદો દ્વારા આપવામાં આવે છે . પ્રગતિની દસમી મુદત શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો તેને લખીએ મૂલ્યો સેટ કરોસૂત્રો દ્વારા

નિયમો અનુસાર, વ્યક્તિએ છેદ શોધવાની અને પછી શોધવાની જરૂર પડશે ઇચ્છિત મૂલ્ય, પરંતુ દસમી મુદત માટે અમારી પાસે છે

ઇનપુટ ડેટા સાથે સરળ મેનિપ્યુલેશન્સના આધારે સમાન ફોર્મ્યુલા મેળવી શકાય છે. શ્રેણીની છઠ્ઠી મુદતને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરો, અને પરિણામે આપણને મળે છે

જો પરિણામી મૂલ્યને છઠ્ઠા પદથી ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો આપણને દસમો મળે છે

આમ, માટે સમાન કાર્યોમાટે સરળ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ઝડપી રસ્તોતમે યોગ્ય ઉકેલ શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 4. ભૌમિતિક પ્રગતિ આવર્તક સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે

ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ અને પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો આપેલ ડેટાને સમીકરણોની સિસ્ટમના રૂપમાં લખીએ

બીજા સમીકરણને પ્રથમ વડે ભાગીને છેદને વ્યક્ત કરો

ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાંથી પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ શોધીએ

ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો શોધવા માટે નીચેના પાંચ શબ્દોની ગણતરી કરીએ

ગણિત એટલે શુંલોકો પ્રકૃતિ અને પોતાને નિયંત્રિત કરે છે.

સોવિયેત ગણિતશાસ્ત્રી, શિક્ષણશાસ્ત્રી એ.એન. કોલમોગોરોવ

ભૌમિતિક પ્રગતિ.

અંકગણિતની પ્રગતિની સમસ્યાઓની સાથે, ગણિતમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં ભૌમિતિક પ્રગતિના ખ્યાલને લગતી સમસ્યાઓ પણ સામાન્ય છે. આવી સમસ્યાઓને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે, તમારે ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મો જાણવાની અને તેનો ઉપયોગ કરવામાં સારી કુશળતા હોવી જરૂરી છે.

આ લેખ ભૌમિતિક પ્રગતિના મૂળભૂત ગુણધર્મોની રજૂઆત માટે સમર્પિત છે. લાક્ષણિક સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો પણ અહીં આપવામાં આવ્યા છે., ગણિતમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓના કાર્યોમાંથી ઉધાર લીધેલ.

ચાલો પહેલા ભૌમિતિક પ્રગતિના મૂળભૂત ગુણધર્મોને નોંધીએ અને સૌથી વધુ યાદ કરીએ મહત્વપૂર્ણ સૂત્રોઅને નિવેદનો, આ ખ્યાલ સાથે સંબંધિત.

વ્યાખ્યા.સંખ્યાના ક્રમને ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે જો દરેક સંખ્યા, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરતા પહેલાની સમાન હોય છે. સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિ માટેસૂત્રો માન્ય છે

, (1)

ક્યાં. સૂત્ર (1) સૂત્ર કહેવાય છે સામાન્ય સભ્યભૌમિતિક પ્રગતિ, અને સૂત્ર (2) ભૌમિતિક પ્રગતિના મુખ્ય ગુણધર્મનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે: પ્રગતિની દરેક પદ તેના પડોશી પદોના ભૌમિતિક સરેરાશ સાથે એકરુપ હોય છે અને .

નોંધ, તે ચોક્કસપણે આ ગુણધર્મને કારણે છે કે પ્રશ્નમાં પ્રગતિને "ભૌમિતિક" કહેવામાં આવે છે.

ઉપરોક્ત સૂત્રો (1) અને (2) નીચે પ્રમાણે સામાન્યકૃત છે:

, (3)

રકમની ગણતરી કરવા માટેપ્રથમ ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યોફોર્મ્યુલા લાગુ પડે છે

જો આપણે સૂચિત કરીએ, તો પછી

ક્યાં. કારણ કે, સૂત્ર (6) એ સૂત્ર (5) નું સામાન્યીકરણ છે.

કિસ્સામાં જ્યારે અને ભૌમિતિક પ્રગતિઅનંત રીતે ઘટી રહ્યું છે. રકમની ગણતરી કરવા માટેઅનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની તમામ શરતોમાં, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે

. (7)

ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મ્યુલા (7) નો ઉપયોગ કરીને આપણે બતાવી શકીએ છીએ, શું

ક્યાં. આ સમાનતાઓ સૂત્ર (7)માંથી શરત હેઠળ મેળવવામાં આવે છે કે , (પ્રથમ સમાનતા) અને , (બીજી સમાનતા).

પ્રમેય.જો, તો પછી

પુરાવો. જો, તો પછી

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ચાલો "ભૌમિતિક પ્રગતિ" વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1.આપેલ: , અને . શોધો.

ઉકેલ.જો આપણે સૂત્ર (5) લાગુ કરીએ, તો

જવાબ:.

ઉદાહરણ 2.રહેવા દો. શોધો.

ઉકેલ.ત્યારથી અને , આપણે સૂત્રો (5), (6) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

જો સિસ્ટમ (9) ના બીજા સમીકરણને પ્રથમ વડે ભાગવામાં આવે, પછી અથવા. તે આના પરથી અનુસરે છે કે . ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

1. જો, પછી સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણ (9) થી આપણી પાસે છે.

2. જો , તો .

ઉદાહરણ 3.દો , અને . શોધો.

ઉકેલ.સૂત્ર (2) થી તે તેને અનુસરે છે અથવા . ત્યારથી, પછી અથવા.

શરત મુજબ. જો કે, તેથી. ત્યારથી અને પછી અહીં આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે

જો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને પ્રથમ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો પછી અથવા .

ત્યારથી, સમીકરણ અનન્ય યોગ્ય મૂળ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, તે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણથી અનુસરે છે.

સૂત્ર (7) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ.

જવાબ:.

ઉદાહરણ 4.આપેલ: અને. શોધો.

ઉકેલ.ત્યારથી.

ત્યારથી, પછી અથવા

સૂત્ર (2) મુજબ આપણી પાસે છે. આ સંદર્ભે, સમાનતા (10)માંથી આપણે મેળવીએ છીએ અથવા .

જો કે, શરત દ્વારા, તેથી.

ઉદાહરણ 5.તે જાણીતું છે. શોધો.

ઉકેલ. પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે બે સમાનતા છે

ત્યારથી, પછી અથવા. કારણ કે, પછી.

જવાબ:.

ઉદાહરણ 6.આપેલ: અને. શોધો.

ઉકેલ.સૂત્ર (5) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ

ત્યારથી. ત્યારથી , અને , પછી .

ઉદાહરણ 7.રહેવા દો. શોધો.

ઉકેલ.સૂત્ર (1) મુજબ આપણે લખી શકીએ છીએ

તેથી, અમારી પાસે છે અથવા . તે જાણીતું છે કે અને , તેથી અને .

જવાબ:.

ઉદાહરણ 8.જો અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ શોધો

અને .

ઉકેલ. સૂત્ર (7) પરથી તે અનુસરે છેઅને . અહીંથી અને સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

જો સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ ચોરસ છે, અને પછી પરિણામી સમીકરણને બીજા સમીકરણ દ્વારા વિભાજીત કરો, પછી આપણને મળે છે

અથવા .

જવાબ:.

ઉદાહરણ 9.બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે ક્રમ , , ભૌમિતિક પ્રગતિ છે.

ઉકેલ.દો , અને . સૂત્ર (2) મુજબ, જે ભૌમિતિક પ્રગતિના મુખ્ય ગુણધર્મને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, આપણે લખી શકીએ છીએ અથવા .

અહીંથી આપણને ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે, જેના મૂળ છેઅને .

ચાલો તપાસીએ: જો, પછી , અને ;

જો , પછી , અને .પ્રથમ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે

અને , અને બીજામાં - અને .

જવાબ: , .ઉદાહરણ 10.

, (11)

સમીકરણ ઉકેલો

ક્યાં અને . ઉકેલ.સમીકરણ (11) એ અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો છે, જેમાં અને , આધીન છે: અને .

સૂત્ર (7) પરથી તે અનુસરે છે, શું . આ સંદર્ભમાં, સમીકરણ (11) સ્વરૂપ લે છેઅથવા . યોગ્ય રુટ ચતુર્ભુજ સમીકરણછે

જવાબ:.

ઉદાહરણ 11.પી સુસંગતતા હકારાત્મક સંખ્યાઓ એક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે, એ - ભૌમિતિક પ્રગતિ, અને અહીં. શોધો.

ઉકેલ.કારણ કે અંકગણિત ક્રમ, તે (અંકગણિત પ્રગતિની મુખ્ય મિલકત). ત્યારથી, પછી અથવા. તે આના પરથી અનુસરે છે, કે ભૌમિતિક પ્રગતિનું સ્વરૂપ છે. સૂત્ર (2) મુજબ, પછી અમે તે લખીએ છીએ.

ત્યારથી અને પછી . આ કિસ્સામાં, અભિવ્યક્તિફોર્મ લે છે અથવા. શરત મુજબ, તેથી Eq થી.અમે મેળવીએ છીએ એકમાત્ર ઉકેલવિચારણા હેઠળ સમસ્યા, એટલે કે .

જવાબ:.

ઉદાહરણ 12.રકમની ગણતરી કરો

. (12)

ઉકેલ. સમાનતાની બંને બાજુઓ (12) ને 5 વડે ગુણાકાર કરો અને મેળવો

જો આપણે પરિણામી અભિવ્યક્તિમાંથી (12) બાદ કરીએ, તે

અથવા

ગણતરી કરવા માટે, અમે મૂલ્યોને સૂત્ર (7) માં બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ. ત્યારથી.

જવાબ:.

અહીં આપેલા સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો અરજદારોને તૈયારી કરવામાં ઉપયોગી થશે પ્રવેશ પરીક્ષાઓ. સમસ્યા હલ કરવાની પદ્ધતિઓના ઊંડા અભ્યાસ માટે, ભૌમિતિક પ્રગતિ સાથે સંબંધિત, ઉપયોગ કરી શકાય છે શિક્ષણ સહાયભલામણ કરેલ સાહિત્યની યાદીમાંથી.

1. કોલેજો/એડી માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. એમ.આઈ. સ્કેનવી. – એમ.: મીર એન્ડ એજ્યુકેશન, 2013. – 608 પૃષ્ઠ.

2. સુપ્રુન વી.પી. ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિત: વધારાના વિભાગો શાળા અભ્યાસક્રમ. - એમ.: લેનાન્ડ / યુઆરએસએસ, 2014. - 216 પૃષ્ઠ.

3. મેડિન્સકી એમ.એમ. સંપૂર્ણ અભ્યાસક્રમ પ્રાથમિક ગણિતકાર્યો અને કસરતોમાં. પુસ્તક 2: સંખ્યા ક્રમ અને પ્રગતિ. - એમ.: એડિટસ, 2015. - 208 પૃષ્ઠ.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે?

શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ

સૈદ્ધાંતિક માહિતી

	અંકગણિત પ્રગતિ	ભૌમિતિક પ્રગતિ
વ્યાખ્યા	અંકગણિત પ્રગતિ એક એનએક એવો ક્રમ છે જેમાં દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા અગાઉના સભ્યની બરાબર હોય છે. ડી (ડી- પ્રગતિ તફાવત)	ભૌમિતિક પ્રગતિ b nબિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ છે, જેમાંથી પ્રત્યેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ અગાઉના પદની બરાબર છે q (q- પ્રગતિનો છેદ)
પુનરાવૃત્તિ સૂત્ર	કોઈપણ કુદરતી માટે n a n + 1 = a n + d	કોઈપણ કુદરતી માટે n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
ફોર્મ્યુલા nમી પદ	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
લાક્ષણિક મિલકત
પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો

ટિપ્પણીઓ સાથે કાર્યોના ઉદાહરણો

કાર્ય 1

અંકગણિત પ્રગતિમાં ( એક એન) a 1 = -6, a 2

nમા પદના સૂત્ર મુજબ:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 ડી

શરત અનુસાર:

a 1= -6, પછી a 22= -6 + 21 ડી .

પ્રગતિનો તફાવત શોધવા માટે તે જરૂરી છે:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

જવાબ: a 22 = -48.

કાર્ય 2

ભૌમિતિક પ્રગતિનો પાંચમો શબ્દ શોધો: -3; 6;....

1લી પદ્ધતિ (n-ટર્મ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને)

ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેના સૂત્ર મુજબ:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

કારણ કે b 1 = -3,

2જી પદ્ધતિ (આવર્તક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને)

કારણ કે પ્રગતિનો છેદ -2 (q = -2), તો:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

જવાબ: b 5 = -48.

કાર્ય 3

અંકગણિત પ્રગતિમાં ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. આ પ્રગતિની સિત્તેરમી મુદત શોધો.

અંકગણિત પ્રગતિ માટે લાક્ષણિક મિલકતજેવો દેખાય છે .

આમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

.

ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

જવાબ: 95.

કાર્ય 4

અંકગણિત પ્રગતિમાં ( a n ) a n= 3n - 4. પ્રથમ સત્તર પદોનો સરવાળો શોધો.

અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n શબ્દોનો સરવાળો શોધવા માટે, બે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

.

જેમાં એક છે આ કિસ્સામાંવાપરવા માટે વધુ અનુકૂળ?

શરત દ્વારા, મૂળ પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર જાણીતું છે ( એક એન) એક એન= 3n - 4. તમે તરત જ શોધી શકો છો અને a 1, અને a 16શોધ્યા વિના ડી. તેથી, અમે પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.

જવાબ: 368.

કાર્ય 5

અંકગણિત પ્રગતિમાં( એક એન) a 1 = -6; a 2= -8. પ્રગતિની બાવીસમી મુદત શોધો.

nમા પદના સૂત્ર મુજબ:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 ડી.

શરત દ્વારા, જો a 1= -6, પછી a 22= -6 + 21d . પ્રગતિનો તફાવત શોધવા માટે તે જરૂરી છે:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

જવાબ: a 22 = -48.

કાર્ય 6

ભૌમિતિક પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદો લખેલા છે:

x દ્વારા દર્શાવેલ પ્રગતિનો શબ્દ શોધો.

ઉકેલતી વખતે, અમે nth શબ્દ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું b n = b 1 ∙ q n - 1ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે. પ્રગતિની પ્રથમ મુદત. પ્રગતિ q ના છેદ શોધવા માટે, તમારે પ્રગતિની આપેલ કોઈપણ શરતો લેવાની અને અગાઉના એક વડે ભાગાકાર કરવાની જરૂર છે. અમારા ઉદાહરણમાં, આપણે લઈ શકીએ અને વિભાજીત કરી શકીએ. આપણે તે q = 3 મેળવીએ છીએ. n ને બદલે, આપણે સૂત્રમાં 3 ને બદલીએ છીએ, કારણ કે આપેલ ભૌમિતિક પ્રગતિની ત્રીજી પદ શોધવી જરૂરી છે.

મળેલા મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલીને, આપણને મળે છે:

.

જવાબ:.

કાર્ય 7

અંકગણિત પ્રગતિમાંથી, સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે nમી મુદત, તે એક પસંદ કરો જેના માટે શરત સંતુષ્ટ છે a 27 > 9:

કારણ કે આપેલ શરતપ્રગતિની 27મી મુદત માટે પૂર્ણ થવી જોઈએ, અમે દરેક ચાર પ્રગતિમાં n ને બદલે 27 બદલીએ છીએ. 4 થી પ્રગતિમાં અમને મળે છે:

.

જવાબ: 4.

કાર્ય 8

અંકગણિત પ્રગતિમાં a 1= 3, ડી = -1.5. સ્પષ્ટ કરો ઉચ્ચતમ મૂલ્ય n જેના માટે અસમાનતા છે એક એન > -6.

>> ગણિત: ભૌમિતિક પ્રગતિ

વાચકની સગવડ માટે, આ ફકરો બરાબર એ જ યોજના અનુસાર બાંધવામાં આવ્યો છે જે અમે અગાઉના ફકરામાં અનુસર્યા હતા.

1. મૂળભૂત ખ્યાલો.

વ્યાખ્યા.સંખ્યાત્મક ક્રમ, જેનાં તમામ સભ્યો 0 થી જુદાં હોય છે અને જેમાંથી દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ થાય છે, તેને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને અગાઉના સભ્ય પાસેથી મેળવવામાં આવે છે તેને ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, 5 નંબરને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવે છે.

આમ, ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંબંધો દ્વારા વારંવાર વ્યાખ્યાયિત થયેલ સંખ્યાત્મક ક્રમ (b n) છે

તે શક્ય છે, જોઈ સંખ્યા ક્રમ, નક્કી કરો કે તે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે કે કેમ? કરી શકે છે. જો તમને ખાતરી છે કે અનુક્રમના કોઈપણ સભ્યનો પાછલા સભ્ય સાથેનો ગુણોત્તર સ્થિર છે, તો તમારી પાસે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે.
ઉદાહરણ 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

ઉદાહરણ 2.

આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જે ધરાવે છે
ઉદાહરણ 3.

આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જે ધરાવે છે
ઉદાહરણ 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જેમાં b 1 - 8, q = 1.

નોંધ કરો કે આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ પણ છે (§ 15 માંથી 3 ઉદાહરણ જુઓ).

ઉદાહરણ 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જેમાં b 1 = 2, q = -1.

દેખીતી રીતે, ભૌમિતિક પ્રગતિ એ વધતો ક્રમ છે જો b 1 > 0, q > 1 (ઉદાહરણ 1 જુઓ), અને જો b 1 > 0, 0 હોય તો ઘટતો ક્રમ< q < 1 (см. пример 2).

ક્રમ (b n) એ ભૌમિતિક પ્રગતિ છે તે દર્શાવવા માટે, નીચેના સંકેત ક્યારેક અનુકૂળ હોય છે:

આયકન "ભૌમિતિક પ્રગતિ" વાક્યને બદલે છે.
ચાલો એક વિચિત્ર અને તે જ સમયે ભૌમિતિક પ્રગતિની એકદમ સ્પષ્ટ મિલકત નોંધીએ:
જો ક્રમ ભૌમિતિક પ્રગતિ છે, પછી ચોરસનો ક્રમ, એટલે કે. ભૌમિતિક પ્રગતિ છે.
બીજી ભૌમિતિક પ્રગતિમાં, પ્રથમ પદ q 2 ની બરાબર અને બરાબર છે.
જો ભૌમિતિક પ્રગતિમાં આપણે b n ને અનુસરતા તમામ પદોને કાઢી નાખીએ, તો આપણને મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિ મળે છે.
આ ફકરાના આગળના ફકરાઓમાં આપણે સૌથી વધુ વિચારણા કરીશું મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોભૌમિતિક પ્રગતિ.

2. ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર.

ભૌમિતિક પ્રગતિનો વિચાર કરો છેદ q. અમારી પાસે છે:

અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે કોઈપણ સંખ્યા માટે સમાનતા સાચી છે

આ ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર છે.

ટિપ્પણી.

જો તમે વાંચો મહત્વપૂર્ણ નોંધઅગાઉના ફકરામાંથી અને તેને સમજો, પછી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સૂત્ર (1) સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરો ગાણિતિક ઇન્ડક્શનએ જ રીતે જે અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેના સૂત્ર માટે કરવામાં આવ્યું હતું.

ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેના સૂત્રને ફરીથી લખીએ

અને નોટેશન દાખલ કરો: અમને y = mq 2 મળે છે, અથવા, વધુ વિગતવાર,
દલીલ x ઘાતાંકમાં સમાયેલ છે, તેથી આ કાર્યને ઘાતાંકીય કાર્ય કહેવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે ભૌમિતિક પ્રગતિને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ N પર વ્યાખ્યાયિત ઘાતાંકીય કાર્ય તરીકે ગણી શકાય. ફિગ માં. 96a ફંક્શન ફિગનો ગ્રાફ બતાવે છે. 966 - કાર્ય ગ્રાફ બંને કિસ્સાઓમાં અમારી પાસે છે અલગ બિંદુઓ(એબ્સીસાસ x = 1, x = 2, x = 3, વગેરે સાથે) ચોક્કસ વળાંક પર પડેલો છે (બંને આકૃતિઓ સમાન વળાંક દર્શાવે છે, ફક્ત અલગ રીતે સ્થિત છે અને વિવિધ ભીંગડા પર દર્શાવવામાં આવે છે). આ વળાંકને ઘાતાંકીય વળાંક કહેવામાં આવે છે. વિશે વધુ વાંચો ઘાતાંકીય કાર્યઅને તેના ગ્રાફિક્સની ચર્ચા 11મા ધોરણના બીજગણિત કોર્સમાં કરવામાં આવશે.

ચાલો પાછલા ફકરામાંથી ઉદાહરણો 1-5 પર પાછા ફરીએ.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જેના માટે b 1 = 1, q = 3. ચાલો nth પદ માટે સૂત્ર બનાવીએ
2) આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જેના માટે ચાલો nth શબ્દ માટે એક સૂત્ર બનાવીએ

આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જે ધરાવે છે ચાલો nમી ​​પદ માટે સૂત્ર બનાવીએ
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જેના માટે b 1 = 8, q = 1. ચાલો nth પદ માટે સૂત્ર બનાવીએ
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... આ એક ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જેમાં b 1 = 2, q = -1. ચાલો nમી ​​પદ માટે સૂત્ર બનાવીએ

ઉદાહરણ 6.

ભૌમિતિક પ્રગતિ આપેલ છે

તમામ કિસ્સાઓમાં, ઉકેલ ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા શબ્દના સૂત્ર પર આધારિત છે

a) ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટે સૂત્રમાં n = 6 મૂકવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

b) અમારી પાસે છે

512 = 2 9 થી, આપણને n - 1 = 9, n = 10 મળે છે.

ડી) અમારી પાસે છે

ઉદાહરણ 7.

ભૌમિતિક પ્રગતિના સાતમા અને પાંચમા પદ વચ્ચેનો તફાવત 48 છે, પ્રગતિના પાંચમા અને છઠ્ઠા પદનો સરવાળો પણ 48 છે. આ પ્રગતિની બારમી પદ શોધો.

પ્રથમ તબક્કો.ગાણિતિક મોડલ દોરે છે.

સમસ્યાની શરતો સંક્ષિપ્તમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે:
પછી સમસ્યાની બીજી સ્થિતિ (b 7 - b 5 = 48) તરીકે લખી શકાય

સમસ્યાની ત્રીજી સ્થિતિ (b 5 + b 6 = 48) તરીકે લખી શકાય છે

પરિણામે, અમે બે ચલો b 1 અને q સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

જે, શરત 1 સાથે સંયોજનમાં) ઉપર લખેલ છે ગાણિતિક મોડેલકાર્યો

બીજો તબક્કો.

સંકલિત મોડેલ સાથે કામ કરવું. સિસ્ટમના બંને સમીકરણોની ડાબી બાજુઓને સમાન કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

(અમે સમીકરણની બંને બાજુઓને બિન-શૂન્ય અભિવ્યક્તિ b 1 q 4 દ્વારા વિભાજિત કરી છે).

q 2 - q - 2 = 0 સમીકરણમાંથી આપણે q 1 = 2, q 2 = -1 શોધીએ છીએ. સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં મૂલ્ય q = 2 ને બદલીને, આપણને મળે છે
સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં મૂલ્ય q = -1 ને બદલીને, આપણે b 1 1 0 = 48 મેળવીએ છીએ; આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

તેથી, b 1 =1, q = 2 - આ જોડી સમીકરણોની સંકલિત સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

હવે આપણે જેના વિશે ભૌમિતિક પ્રગતિ લખી શકીએ છીએ અમે વાત કરી રહ્યા છીએસમસ્યામાં: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

ત્રીજો તબક્કો.

સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપો. તમારે b 12 ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. અમારી પાસે છે

જવાબ: b 12 = 2048.

3. મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર.

એક મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિ આપવા દો

ચાલો તેની શરતોના સરવાળાને S દ્વારા સૂચિત કરીએ, એટલે કે.

ચાલો આ રકમ શોધવા માટે એક સૂત્ર મેળવીએ.

ચાલો શરૂઆતથી જ શરૂ કરીએ સરળ કેસ, જ્યારે q = 1. પછી ભૌમિતિક પ્રગતિ b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn માં b 1 ની બરાબર n સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. પ્રગતિ b 1, b 2, b 3, ..., b 4 જેવી લાગે છે. આ સંખ્યાઓનો સરવાળો nb 1 છે.

ચાલો હવે q = 1 S n શોધવા માટે, અમે એક કૃત્રિમ તકનીક લાગુ કરીએ છીએ: અમે S n q અભિવ્યક્તિના કેટલાક રૂપાંતરણો કરીએ છીએ. અમારી પાસે છે:

પરિવર્તનો કરતી વખતે, અમે, સૌ પ્રથમ, ભૌમિતિક પ્રગતિની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો, જે મુજબ (તર્કની ત્રીજી રેખા જુઓ); બીજું, તેઓએ ઉમેર્યું અને બાદબાકી કરી, તેથી જ અભિવ્યક્તિનો અર્થ, અલબત્ત, બદલાયો નથી (તર્કની ચોથી લાઇન જુઓ); ત્રીજે સ્થાને, અમે ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા શબ્દ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો:

સૂત્ર (1) માંથી આપણે શોધીએ છીએ:

આ ભૌમિતિક પ્રગતિના n શરતોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર છે (કિસ્સા માટે જ્યારે q = 1 હોય).

ઉદાહરણ 8.

મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિ આપેલ છે

a) પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો; b) તેની શરતોના વર્ગોનો સરવાળો.

b) ઉપર (જુઓ પૃ. 132) આપણે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે કે જો ભૌમિતિક પ્રગતિના તમામ પદોનો વર્ગ કરવામાં આવે, તો આપણને પ્રથમ પદ b 2 અને છેદ q 2 સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ મળે છે. પછી નવી પ્રગતિની છ શરતોનો સરવાળો દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવશે

ઉદાહરણ 9.

જેના માટે ભૌમિતિક પ્રગતિની 8મી મુદત શોધો

હકીકતમાં, અમે નીચેની પ્રમેય સાબિત કરી છે.

સંખ્યાત્મક ક્રમ એ ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જો અને માત્ર જો તેના દરેક પદનો વર્ગ, પ્રથમ પ્રમેય સિવાય (અને છેલ્લો, મર્યાદિત ક્રમના કિસ્સામાં), પૂર્વવર્તી અને અનુગામી પદોના ગુણાંક સમાન હોય ( ભૌમિતિક પ્રગતિની લાક્ષણિક મિલકત).

ચાલો હવે અનંત ભૌમિતિક પ્રગતિના સારાંશના પ્રશ્ન પર વિચાર કરીએ. ચાલો આપેલ અનંત પ્રગતિના આંશિક સરવાળાને તેના પ્રથમ પદોનો સરવાળો કહીએ. ચાલો પ્રતીક દ્વારા આંશિક સરવાળો દર્શાવીએ

દરેક અનંત પ્રગતિ માટે

વ્યક્તિ તેના આંશિક સરવાળોનો (પણ અનંત) ક્રમ બનાવી શકે છે

અમર્યાદિત વધારા સાથેના ક્રમને મર્યાદા રાખવા દો

આ કિસ્સામાં, સંખ્યા S, એટલે કે, પ્રગતિના આંશિક સરવાળોની મર્યાદા, અનંત પ્રગતિનો સરવાળો કહેવાય છે. અમે સાબિત કરીશું કે અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિમાં હંમેશા સરવાળો હોય છે, અને અમે આ રકમ માટે એક સૂત્ર મેળવીશું (અમે એ પણ બતાવી શકીએ છીએ કે જ્યારે અનંત પ્રગતિકોઈ રકમ નથી, અસ્તિત્વમાં નથી).

ચાલો અભિવ્યક્તિ લખીએ આંશિક રકમસૂત્ર (91.1) અનુસાર પ્રગતિની શરતોના સરવાળા તરીકે અને અમે આંશિક રકમની મર્યાદા પર વિચાર કરીશું

પ્રમેય 89 થી તે જાણીતું છે કે ઘટતી પ્રગતિ માટે; તેથી, તફાવત મર્યાદા પ્રમેય લાગુ પાડીને, આપણે શોધીએ છીએ

(નિયમનો ઉપયોગ અહીં પણ થાય છે: સતત પરિબળમર્યાદા ચિહ્નની બહાર લેવામાં આવે છે). અસ્તિત્વ સાબિત થયું છે, અને તે જ સમયે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છે:

સમાનતા (92.1) પણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે

તે અહીં વિરોધાભાસી લાગે છે કે રકમ અનંત સંખ્યાશરતોને ખૂબ જ ચોક્કસ અંતિમ મૂલ્ય અસાઇન કરવામાં આવે છે.

આ પરિસ્થિતિને સમજાવવા માટે સ્પષ્ટ ઉદાહરણ આપી શકાય છે. બાજુવાળા ચોરસને ધ્યાનમાં લો એક સમાન(ફિગ. 72). ચાલો આ ચોરસને વિભાજીત કરીએ આડી રેખાબે સમાન ભાગોમાં અને ટોચનો ભાગતેને તળિયે લાગુ કરો જેથી બાજુઓ 2 અને સાથે લંબચોરસ બને. તે પછી જમણો અડધોઅમે આ લંબચોરસને આડી રેખા વડે ફરીથી અડધા ભાગમાં વહેંચીશું અને ઉપરના ભાગને નીચેના ભાગ સાથે જોડીશું (ફિગ. 72 માં બતાવ્યા પ્રમાણે). આ પ્રક્રિયાને ચાલુ રાખીને, અમે 1 ના બરાબર ક્ષેત્રફળવાળા મૂળ ચોરસને સતત રૂપાંતરિત કરીએ છીએ સમાન કદના આંકડા(પાતળા પગલાઓ સાથે સીડીનું સ્વરૂપ લેવું).

આ પ્રક્રિયાના અનંત ચાલુ રાખવાથી, ચોરસનો સમગ્ર વિસ્તાર અસંખ્ય પદોમાં વિઘટિત થાય છે - 1 અને ઊંચાઈના સમાન પાયાવાળા લંબચોરસના ક્ષેત્રો ચોક્કસ રીતે એક અનંત ઘટતી પ્રગતિ, તેનો સરવાળો બનાવે છે

એટલે કે, એક અપેક્ષા મુજબ, ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું.

ઉદાહરણ. નીચેની અનંત પ્રગતિના સરવાળો શોધો:

ઉકેલ, a) અમે નોંધ્યું છે કે આ પ્રગતિ તેથી, સૂત્ર (92.2) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

b) અહીં તેનો અર્થ એ છે કે અમારી પાસે સમાન સૂત્ર (92.2) નો ઉપયોગ કરીને

c) અમે શોધીએ છીએ કે આ પ્રગતિનો કોઈ સરવાળો નથી.

ફકરા 5 માં, અમે સામયિકના વ્યુત્ક્રમ માટે અનંત રીતે ઘટતી પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ બતાવ્યો દશાંશસામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં.

કસરતો

1. અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો 3/5 છે અને તેના પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો 13/27 છે. પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ અને છેદ શોધો.

2. ચાર સંખ્યાઓ શોધો જે વૈકલ્પિક ભૌમિતિક પ્રગતિ બનાવે છે, જેમાં બીજી અવધિ 35 દ્વારા પ્રથમ કરતાં ઓછી છે, અને ત્રીજી 560 દ્વારા ચોથા કરતાં મોટી છે.

3. બતાવો કે જો ક્રમ

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ બનાવે છે, પછી ક્રમ

કોઈપણ માટે, તે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ બનાવે છે. શું આ નિવેદન ક્યારે સાચું રહેશે

ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના ઉત્પાદન માટે સૂત્ર મેળવો.