ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (§ 1.5) ને કર્નલ સાથે લીનિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે ગણી શકાય
ચાલો આધાર પર આધારિત તેની અલગ રજૂઆત શોધીએ
અંતરાલ પર મર્યાદિત સ્પેક્ટ્રમ સાથેના સંકેતો માટે, જેના માટે રજૂઆત માન્ય છે
આવા સિગ્નલનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ બરાબર છે
ચાલો હવે સામયિક સંકેત પર વિચાર કરીએ
તેનું સ્પેક્ટ્રમ છે
સેગમેન્ટ સાથે લેવામાં આવેલા સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમના નમૂનાઓ ક્યાં છે (કોષ્ટક 1.2, લાઇન 19 જુઓ). જો T પૂરતો મોટો હોય, અને આ અંતરાલમાં સિગ્નલ ઝડપથી શૂન્ય થઈ જાય છે, જેથી પીરિયડ્સના ઓવરલેપને કારણે સરવાળા (3.60)માં તેની વિકૃતિઓ અવગણી શકાય, તો તેથી
જ્યાં k ઉપરનો સરવાળો અંદર કરવામાં આવે છે
T ના મૂલ્યો અને હંમેશા પસંદ કરી શકાય છે જેથી મૂલ્ય પૂર્ણાંક હોય. અમે તેને N સૂચિત કરીએ છીએ. અમે પણ સૂચિત કરીએ છીએ
અહીં તે પસંદ કરવામાં આવ્યું છે જેથી કરીને (3.62) માંનો સરવાળો k ઉપર 0 થી લઈ શકાય પછી આપણને મળે છે
આ સંબંધને ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે
સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ઇનવર્ટિબલ છે:
તેનો મુખ્ય ભાગ મેટ્રિક્સ છે
કર્નલની એક અલગ રજૂઆત છે સતત પરિવર્તનફોરિયર.
ફોર્મ્યુલા (3.65) એ (3.3) નું એનાલોગ છે. નોંધ કરો કે તે આધાર માટે તરત જ (3.3) પાસેથી મેળવી શકાય છે
અનુક્રમના ગુણાંકો સમયાંતરે વિસ્તરેલા સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમના નમૂનાઓ જેટલા છે જે ઇન્ક્રીમેન્ટમાં લેવામાં આવે છે આ DFT અને સતત ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ વચ્ચેનું જોડાણ છે. મર્યાદિત સિગ્નલ લંબાઈની ધારણાથી તે અનુસરે છે કે સેમ્પલિંગ પ્રમેય તેના સ્પેક્ટ્રમ માટે માન્ય છે અને તેથી, તે મૂલ્યોમાંથી પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે - સિગ્નલ નમૂનાઓના DFT ગુણાંક.
એક-પરિમાણીય DFT ના સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. 3.1. કોષ્ટકની જમણી સ્તંભમાં સતત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ગુણધર્મો સાથે તેમની સરખામણી કરવાની સુવિધા માટે. 3.1 કોષ્ટકની અનુરૂપ રેખાઓની સંખ્યાઓ બતાવે છે. 1.2. DFT અને વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત
(સ્કેન જુઓ)
(સ્કેન જુઓ)
(સ્કેન જુઓ)
કોષ્ટકની સાતત્ય. 3.1 (સ્કેન જુઓ)
સતત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ - ચક્રીયતા, અથવા સામયિકતા: અનુક્રમના નમૂનાઓની સંખ્યા અને તેના DFT મોડ્યુલો N ગણાય છે, એટલે કે, જાણે વર્તુળમાં હોય; ચક્રમાં બિંદુઓની સંખ્યા N છે (કોષ્ટક 3.1, રેખા 2).
એક-પરિમાણીય DFT સાથે સામ્યતા દ્વારા, દ્વિ-પરિમાણીય સિગ્નલો અને સ્પેક્ટ્રામાં દ્વિ-પરિમાણીય નમૂનારૂપ પ્રમેય લાગુ કરીને, વ્યક્તિ દ્વિ-પરિમાણીય DFT મેળવી શકે છે. સામાન્ય રીતે, માત્ર દ્વિ-પરિમાણીય ડીએફટીનો ઉપયોગ થાય છે, જે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સમાં દ્વિ-પરિમાણીય નમૂના પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે:
તે અનુકૂળ છે કે તેને બે એક-પરિમાણીય DFT માં પરિબળ બનાવી શકાય છે, એટલે કે, તે અલગ કરી શકાય તેવું છે.
વ્યસ્ત 2D DFT આ રીતે લખાયેલ છે
દ્વિ-પરિમાણીય DFT ના કેટલાક ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. 3.2. દ્વિ-પરિમાણીય DFT દ્વિ-પરિમાણીય ચક્રીયતા (સામયિકતા) દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. અમે ધારી શકીએ છીએ કે દ્વિ-પરિમાણીય DFT ના ગુણાંક એ સિગ્નલના દ્વિ-પરિમાણીય સતત સ્પેક્ટ્રમના નમૂનાઓ છે, જે સમયાંતરે પ્લેન પર ગુણાકાર થાય છે. લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, જેમ કે ફિગમાં. 3.4, એ.
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સનો ઉપયોગ કરતી વખતે, છબી જટિલના સરવાળા તરીકે રજૂ થાય છે ઘાતાંકીય કાર્યોકંપનવિસ્તાર, આવર્તન અને તબક્કાના ચલો. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ખૂબ જ ભજવે છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાઉન્નતીકરણ, વિશ્લેષણ, પુનઃસ્થાપન અને સંકોચન સહિત ઇમેજ પ્રોસેસિંગના ઘણા ક્ષેત્રોમાં.
- ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ
- ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ, ઝડપી ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સહિત
- ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની એપ્લિકેશન (કેટલાક ઉદાહરણો વ્યવહારુ એપ્લિકેશનફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ)
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ
જો ƒ(m,n)બે અલગ અવકાશી ચલો m અને n, પછીનું કાર્ય છે દ્વિ-પરિમાણીય પરિવર્તનફોરિયર કાર્યો ƒ(m,n)નીચેના અભિવ્યક્તિ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે
ચલો કોણીય ફ્રીક્વન્સીઝ છે. આમ, તે કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે ƒ(m,n)આવર્તન ડોમેનમાં. અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે જટિલ-મૂલ્યવાળું કાર્ય છે. આવર્તન શ્રેણીની અંદર છે , . તેની નોંધ લો એફ(0,0) બધા ચલોના સરવાળા તરીકે રજૂ થાય છે ƒ(m,n). આ કારણોસર એફ(0,0) ને ઘણી વખત ફોરિયર રૂપાંતરણનો સ્થિર ઘટક કહેવામાં આવે છે.
વ્યસ્ત દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અભિવ્યક્તિ દ્વારા રજૂ થાય છે
તે. આ અભિવ્યક્તિ રજૂ કરે છે ƒ(m,n)રકમ તરીકે અનંત સંખ્યાજટિલ ઘાતાંકીય કાર્યો (સાઇન તરંગો) વિવિધ ફ્રીક્વન્સી સાથે. કંપનવિસ્તાર અને તબક્કો રજૂઆતમાં ફ્રીક્વન્સીઝનું યોગદાન નક્કી કરે છે.
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું વિઝ્યુલાઇઝેશન
ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મને સમજાવતા, ચાલો ધારીએ કે ફંક્શન ƒ(m,n) 1 બરાબર છે અને લંબચોરસ તરીકે રજૂ થાય છે. ડાયાગ્રામ, કાર્યને સરળ બનાવવા માટે ƒ(m,n)રજૂ કરવામાં આવશે સતત કાર્યબે અલગ ચલો mઅને n.
લંબચોરસ કાર્ય
નીચેની આકૃતિ, મેશ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાંથી મેળવેલા કંપનવિસ્તાર મૂલ્યોની કલ્પના કરે છે લંબચોરસ કાર્યઅગાઉની આકૃતિમાં બતાવેલ છે. કંપનવિસ્તાર વિઝ્યુલાઇઝેશનને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ વિઝ્યુલાઇઝેશન પણ કહેવામાં આવે છે.
લંબચોરસ કાર્ય છબી કંપનવિસ્તાર
કાર્યની ટોચ મધ્યમાં છે અને મૂલ્ય દર્શાવે છે એફ(0,0), જે તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો છે ƒ(m,n). અન્ય તમામ ઘટકો ઊભી અને આડી ફ્રીક્વન્સીઝ પર ઊર્જાના વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવાની બીજી રીત એ છે કે મૂલ્યોને ઈમેજ તરીકે દર્શાવવું.
લંબચોરસ ફંક્શનના ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું લઘુગણક પ્રતિનિધિત્વ
ચાલો વિવિધ સરળ સ્વરૂપોના કાર્યોના ફ્યુરિયર પરિવર્તનના ઉદાહરણો જોઈએ.
વિવિધ સરળ સ્વરૂપોના કાર્યોના ફ્યુરિયર રૂપાંતરણના ઉદાહરણો
અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ
ડિસ્ક્રીટ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ્સ વિવિધ કંપનવિસ્તાર અને ફ્રીક્વન્સીઝ સાથેના સિનુસોઇડ્સના સરવાળા તરીકે એક છબીને રજૂ કરે છે. ઇમેજ એપ્લિકેશનમાં dct2 ફંક્શન પ્રોસેસિંગ ટૂલબોક્સછબીઓના દ્વિ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર કોસાઇન રૂપાંતરણો લાગુ કરે છે. સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની એક વિશેષતા એ છે કે કેટલાક સ્થાનિક વિસ્તારોચિત્રો દર્શાવી શકાય છે નાની રકમસ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ગુણાંક. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ઘણીવાર ઇમેજ કમ્પ્રેશન પદ્ધતિઓના વિકાસમાં થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડિસ્ક્રીટ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ એ આંતરરાષ્ટ્રીય ધોરણનો આધાર છે જેનો ઉપયોગ JPEG લોસી ઇમેજ કમ્પ્રેશન અલ્ગોરિધમમાં થાય છે. "JPEG" ફોર્મેટના નામમાં નામના પ્રથમ અક્ષરો હોય છે કાર્યકારી જૂથ, જેણે આ ધોરણના વિકાસમાં ભાગ લીધો હતો (સંયુક્ત ફોટોગ્રાફિક નિષ્ણાત જૂથ).
દ્વિ-પરિમાણીય અલગ કોસાઇન મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મ એપરિમાણો સાથે નીચેના અભિવ્યક્તિ અનુસાર અમલમાં મૂકવામાં આવે છે
મૂલ્યો Bpqમેટ્રિક્સના અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશનના ગુણાંક કહેવામાં આવે છે એ.
(એ નોંધવું જોઈએ કે MATLAB માં મેટ્રિક્સ સૂચકાંકો હંમેશા 1 થી શરૂ થાય છે, 0 થી નહીં. તેથી, મેટ્રિક્સ ઘટકો કે જે MATLAB માં A(1,1) અને B(1,1) તરીકે રજૂ થાય છે તે તત્વોને અનુરૂપ હશે. એ 00અને B00ઉપરોક્ત સૂત્રમાંથી.)
વ્યસ્ત અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ અભિવ્યક્તિઓ અનુસાર લાગુ કરવામાં આવે છે
વ્યસ્ત અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ અભિવ્યક્તિને મેટ્રિક્સ રજૂઆત તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે એનીચેના કાર્યોના સરવાળા તરીકે પરિમાણો સાથે
આ કાર્યોને અલગ કોસાઈન ટ્રાન્સફોર્મના મૂળભૂત (મૂળભૂત) કાર્યો કહેવામાં આવે છે. ડિસ્ક્રીટ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ ગુણાંક Bpqદરેક મૂળભૂત કાર્ય માટે વજન તરીકે ગણી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, તત્વ કદ સાથે મેટ્રિક્સ માટે 64 છે મૂળભૂત કાર્યો, જે છબીમાં બતાવવામાં આવ્યું છે.
64 મૂળભૂત કાર્યો કે જે તત્વ માપો સાથે મેટ્રિક્સ માટે મેળવવામાં આવે છે
આડી ફ્રીક્વન્સીઝ ડાબેથી જમણે વધે છે, અને વર્ટિકલ ફ્રીક્વન્સીઝ ઉપરથી નીચે સુધી વધે છે.
ડિસ્ક્રીટ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ મેટ્રિક્સ
અરજી ઇમેજ પ્રોસેસિંગટૂલબોક્સ બે તક આપે છે અલગ અલગ રીતેઅલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો અમલ. પ્રથમ પદ્ધતિ dct2 ફંક્શનમાં લાગુ કરવામાં આવી છે. dct2 ફંક્શન ગણતરીઓને ઝડપી બનાવવા માટે ઝડપી ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરે છે. બીજી પદ્ધતિ અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરે છે, જે dctmtx ફંક્શન દ્વારા પરત કરવામાં આવે છે. ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ T નીચેના અભિવ્યક્તિ અનુસાર રચાય છે
મેટ્રિક્સ માટે એપરિમાણ સાથે એ પરિમાણ સાથેનું મેટ્રિક્સ છે, જ્યાં દરેક કૉલમમાં એક-પરિમાણીય અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ હોય છે એ. દ્વિ-પરિમાણીય અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ એતરીકે ગણવામાં આવે છે B=T*A*T'. વ્યસ્ત દ્વિ-પરિમાણીય અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ બીતરીકે ગણવામાં આવે છે T'*B*T.
ડિસ્ક્રીટ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ અને ઇમેજ કમ્પ્રેશન
JPEG ઇમેજ કમ્પ્રેશન અલ્ગોરિધમમાં, મૂળ છબીને પરિમાણો અથવા તત્વોના બ્લોકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આગળ, દરેક બ્લોક માટે દ્વિ-પરિમાણીય અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરવામાં આવે છે. અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ્સના ગુણાંક ક્વોન્ટાઇઝ્ડ, એન્કોડેડ અને ટ્રાન્સમિટેડ છે. JPEG રીસીવર ડિસ્ક્રીટ કોસાઈન ટ્રાન્સફોર્મ ગુણાંકને ડીકોડ કરે છે, દરેક બ્લોકમાં ઈન્વર્સ 2D ડિસ્ક્રીટ કોસાઈન ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરે છે, અને પછી તેમને એક જ ઈમેજમાં જોડે છે.
ચાલો મૂળ ઇમેજના ઘટકોના કદ સાથે બ્લોક્સમાં દ્વિ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર કોસાઇન રૂપાંતરણની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. વધુમાં, છબીનું પુનઃનિર્માણ કરતી વખતે, અમે દરેક બ્લોકમાંથી માત્ર 10 ગુણાંકને ધ્યાનમાં લઈશું, બાકીના શૂન્ય પર સેટ કરવામાં આવશે. વર્ણવેલ ગણતરીઓ હાથ ધરતી વખતે, ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સનો પણ ઉપયોગ કરવામાં આવશે.
I = imread("cameraman.tif"); I = im2double(I); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,,"P1*x*P2",T,T"); માસ્ક = ; B2 = blkproc(B,,"P1.*x",માસ્ક); I2 = blkproc(B2,,"P1 *x*P2",T",T); imshow(I); આકૃતિ, ઇમશો(I2)
આકૃતિ બે છબીઓ બતાવે છે - મૂળ અને પુનર્નિર્મિત. છબી પુનઃનિર્માણમાં માત્ર 15% અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. જો કે, એ નોંધવું જોઇએ કે પુનઃનિર્માણ કરેલી છબીની ગુણવત્તા તદ્દન સ્વીકાર્ય છે. અલગ કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મના અન્ય ગુણધર્મો જોવા માટે, dctdemo ફંક્શન જુઓ.
રેડોન પરિવર્તન
ઇમેજ પ્રોસેસિંગ ટૂલબોક્સમાં રેડોન ફંક્શન આપેલ દિશાઓ સાથે ઇમેજ અંદાજોના મેટ્રિક્સની ગણતરી કરે છે. દ્વિ-પરિમાણીય કાર્ય f(x,y) નું પ્રક્ષેપણ દર્શાવેલ રેખા સાથેના અવિભાજ્ય સમાન છે. રેડોન ફંક્શન એ ધરી પરના ઇમેજ અંદાજોની ગણતરી છે, જે આડી કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝની તુલનામાં ડિગ્રીમાં ખૂણાઓ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. આકૃતિ ચોક્કસ કોણ પર ચોક્કસ આકૃતિનું પ્રક્ષેપણ દર્શાવે છે
પરિભ્રમણ કોણ થીટા સાથે સમાંતર બીમ પ્રક્ષેપણ
નીચેની આકૃતિ સરળ દ્વિ-પરિમાણીય કાર્ય માટે આડી અને ઊભી અંદાજો દર્શાવે છે.
કેટલાક સરળ કાર્યના આડા અને ઊભા અંદાજો
અંદાજો સાથે ગણતરી કરી શકાય છે મનસ્વી કોણથીટા ઇમેજ પ્રોસેસિંગ ટૂલબોક્સમાં બનેલ રેડોન ફંક્શન ચોક્કસ દિશાઓ સાથે ઇમેજ અંદાજોની ગણતરી કરે છે. x' અક્ષ પર દ્વિ-પરિમાણીય કાર્ય f(x,y) નું પ્રક્ષેપણ એક રેખીય અભિન્ન છે
આમ, x'y' અક્ષો ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કોણ દ્વારા ફેરવીને નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.
નીચેની છબી રેડોન ટ્રાન્સફોર્મની ભૂમિતિ દર્શાવે છે.
રેડોન ટ્રાન્સફોર્મ ભૂમિતિ
રેડોન પરિવર્તનનું વિઝ્યુલાઇઝેશન
રેડોન ટ્રાન્સફોર્મેશન કરતી વખતે, મૂળ ઇમેજ અને એન્ગલ થીટાના વેક્ટરનો ઉલ્લેખ કરવો જરૂરી છે.
રેડોન (આઇ, થીટા);
આરએક મેટ્રિક્સ છે જેમાં દરેક કૉલમ વેક્ટર થીટામાં સમાવિષ્ટ ખૂણાઓમાંથી એક માટે રેડોન ટ્રાન્સફોર્મ છે. વેક્ટર xp x અક્ષ સાથે અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. કેન્દ્રીય પિક્સેલ I અભિવ્યક્તિ ફ્લોર((size(I)+1)/2) અનુસાર નક્કી કરવામાં આવે છે.
ચાલો જોઈએ કે રેડોન ટ્રાન્સફોર્મ્સમાં અંદાજો કેવી રીતે ગણવામાં આવે છે. ચાલો 0° અને 45° ના ખૂણા પરના અંદાજોને ધ્યાનમાં લઈએ.
I = શૂન્ય(100,100); I(25:75, 25:75) = 1; imshow(I)
રેડોન(I,); આકૃતિ પ્લોટ(xp,R(:,1)); શીર્ષક("R_(0^o) (x\prime)")
0° પર રેડોન પરિવર્તન
આકૃતિ; પ્લોટ(xp,R(:,2)); શીર્ષક("R_(45^o) (x\prime)")
રેડોન રૂપાંતરણ 45° પર
પર રેડોન પરિવર્તન મોટી સંખ્યામાંખૂણાઓ ઘણીવાર છબી તરીકે પ્રદર્શિત થાય છે. IN આ ઉદાહરણમાંચોરસના રૂપમાં ઇમેજ માટે રેડોન ટ્રાન્સફોર્મેશનને 1°ના રિઝોલ્યુશન સાથે 0° થી 180° સુધીના ખૂણા પર ગણવામાં આવે છે.
થીટા = 0:180;
= રેડોન(I,theta); imagesc(theta,xp,R); શીર્ષક("R_(\theta) (X\prime)"); xlabel("\theta (ડિગ્રી)"); ylabel("X\prime"); સેટ(gca,"XTick",0:20:180); કલરમેપ(ગરમ); રંગપટ્ટી
180 અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને રેડોન પરિવર્તન
રેડોન ટ્રાન્સફોર્મેશન અન્ય જાણીતા ઓપરેશન્સ જેવા જ છે, જેને હોચ ટ્રાન્સફોર્મેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. રેડોન ફંક્શનનો ઉપયોગ સીધી રેખાઓ શોધવા માટે થઈ શકે છે. ચાલો આ પ્રક્રિયાના મુખ્ય તબક્કાઓ જોઈએ.
મેટ્રિક્સમાં સૌથી મોટું શિખર આર=1° અને x´= -80 ને અનુલક્ષે છે. x’ ના અંતરે એક ખૂણા પર મૂળ છબીના કેન્દ્રમાંથી એક રેખા દોરવામાં આવી છે. એક સીધી રેખા આ રેખા પર કાટખૂણે દોરવામાં આવે છે, જે સીધી રેખાને અનુલક્ષે છે મૂળ છબી. વધુમાં, ઇમેજમાં અન્ય રેખાઓ છે જે મેટ્રિક્સમાં રજૂ કરવામાં આવી છે આરઅનુરૂપ શિખરો.
સીધી રેખા શોધ માટે રેડોન ટ્રાન્સફોર્મ ભૂમિતિ
હું માનું છું કે બધું જ છે સામાન્ય રૂપરેખાફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ જેવા અદ્ભુત ગાણિતિક સાધનના અસ્તિત્વ વિશે જાણો. જો કે, કેટલાક કારણોસર તે યુનિવર્સિટીઓમાં એટલી નબળી રીતે શીખવવામાં આવે છે કે પ્રમાણમાં ઓછા લોકો સમજે છે કે આ પરિવર્તન કેવી રીતે કાર્ય કરે છે અને તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો જોઈએ. દરમિયાન, આ પરિવર્તનનું ગણિત આશ્ચર્યજનક રીતે સુંદર, સરળ અને ભવ્ય છે. હું દરેકને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અને કેવી રીતે સંબંધિત વિષય વિશે થોડું વધુ જાણવા માટે આમંત્રિત કરું છું એનાલોગ સંકેતોકોમ્પ્યુટેશનલ પ્રોસેસિંગ માટે અસરકારક રીતે ડિજિટલમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
કોઈ ઉપયોગ નથી જટિલ સૂત્રોઅને Matlab હું નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશ:
- FT, DTF, DTFT - શું તફાવત છે અને કેવી રીતે દેખીતી રીતે સંપૂર્ણપણે અલગ ફોર્મ્યુલા આવા કલ્પનાત્મક રીતે સમાન પરિણામો આપે છે?
- પરિણામોનું યોગ્ય અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું ઝડપી રૂપાંતરફોરિયર (FFT)
- જો તમને 179 નમૂનાઓનો સંકેત આપવામાં આવે અને FFT ને લંબાઈના ઇનપુટ ક્રમની જરૂર હોય તો શું કરવું સમાન રીતે deuces
- શા માટે, જ્યારે અપેક્ષિત સિંગલ “સ્ટીક” ને બદલે, ફોરિયરનો ઉપયોગ કરીને સાઇનસૉઇડનું સ્પેક્ટ્રમ મેળવવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ગ્રાફ પર એક વિચિત્ર સ્ક્વિગલ દેખાય છે અને તેના વિશે શું કરી શકાય છે
- શા માટે એનાલોગ ફિલ્ટર્સ ADC પહેલા અને DAC પછી મૂકવામાં આવે છે?
- શું સેમ્પલિંગ ફ્રિકવન્સી કરતાં અડધા કરતાં વધુ આવર્તન સાથે ADC સિગ્નલને ડિજિટાઇઝ કરવું શક્ય છે (શાળાનો જવાબ ખોટો છે, સાચો જવાબ શક્ય છે)
- ડિજિટલ સિક્વન્સનો ઉપયોગ કરીને મૂળ સિગ્નલને કેવી રીતે પુનઃસ્થાપિત કરવું
હું એ ધારણાથી આગળ વધીશ કે વાચક સમજે છે કે અવિભાજ્ય શું છે, એક જટિલ સંખ્યા (તેમજ તેનું મોડ્યુલસ અને દલીલ), ફંક્શન્સનું કન્વ્યુલેશન, વત્તા ડિરાક ડેલ્ટા ફંક્શન શું છે તેનો ઓછામાં ઓછો "હેન્ડ-ઓન" વિચાર. છે. જો તમને ખબર નથી, તો કોઈ વાંધો નથી, ઉપરની લિંક્સ વાંચો. માં "કાર્યોનું ઉત્પાદન" હેઠળ આ લખાણહું દરેક જગ્યાએ “બિંદુ પ્રમાણે ગુણાકાર” સમજીશ
આપણે કદાચ એ હકીકતથી શરૂઆત કરવી જોઈએ કે સામાન્ય રૂપાંતરફ્યુરિયર એ એક પ્રકારની વસ્તુ છે જે તમે નામ પરથી અનુમાન લગાવી શકો છો, કેટલાક ફંક્શનને અન્યમાં રૂપાંતરિત કરે છે, એટલે કે, વાસ્તવિક ચલ x(t) ના દરેક ફંક્શનને તેના સ્પેક્ટ્રમ અથવા ફૌરિયર ઈમેજ y(w) સાથે સાંકળે છે:
જો આપણે સામ્યતા આપીએ, તો અર્થમાં સમાન પરિવર્તનનું ઉદાહરણ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ભિન્નતા, ફંક્શનને તેના વ્યુત્પન્નમાં ફેરવવું. એટલે કે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ આવશ્યકપણે ડેરિવેટિવ લેવા જેવું જ ઓપરેશન છે, અને તે ઘણીવાર સૂચવવામાં આવે છે. એ જ રીતે, ફંક્શન પર ત્રિકોણાકાર "કેપ" દોરો. માત્ર ભિન્નતાથી વિપરીત, જેને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ હંમેશા વધુ સામાન્ય જટિલ સંખ્યાઓ સાથે "કાર્ય કરે છે". આ કારણે, આ રૂપાંતરણના પરિણામો પ્રદર્શિત કરવામાં હંમેશા સમસ્યાઓ હોય છે, ત્યારથી જટિલ સંખ્યાઓએક દ્વારા નહીં, પરંતુ ઓપરેટિંગ પરના બે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓગ્રાફિક્સ એક નિયમ તરીકે, જટિલ સંખ્યાઓને મોડ્યુલસ અને દલીલના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવી અને તેમને બે અલગ ગ્રાફ તરીકે અલગથી દોરવા તે સૌથી અનુકૂળ છે:
જટિલ મૂલ્યની દલીલના ગ્રાફને ઘણીવાર બોલાવવામાં આવે છે આ કિસ્સામાં"તબક્કો સ્પેક્ટ્રમ", અને મોડ્યુલ ગ્રાફ - "કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ". કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ સામાન્ય રીતે વધુ રસ ધરાવે છે, અને તેથી સ્પેક્ટ્રમનો "તબક્કો" ભાગ ઘણીવાર છોડવામાં આવે છે. આ લેખમાં આપણે "કંપનવિસ્તાર" વસ્તુઓ પર પણ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, પરંતુ આપણે ગ્રાફના ગુમ થયેલ તબક્કાના ભાગના અસ્તિત્વ વિશે ભૂલવું જોઈએ નહીં. વધુમાં, સામાન્ય જટિલ મૂલ્ય મોડ્યુલને બદલે, તે ઘણીવાર દોરવામાં આવે છે દશાંશ લઘુગણક 10 વડે ગુણાકાર. પરિણામ ડેસિબલ્સ (dB) માં પ્રદર્શિત મૂલ્યો સાથેનો લઘુગણક ગ્રાફ છે.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ખૂબ જ નહીં નકારાત્મક સંખ્યાઓલઘુગણક ગ્રાફ (-20 ડીબી અથવા ઓછું) વ્યવહારીક રીતે અનુરૂપ છે શૂન્ય સંખ્યાઓ"સામાન્ય" ચાર્ટ પર. તેથી, આવા ગ્રાફ પરના વિવિધ સ્પેક્ટ્રાની લાંબી અને પહોળી "પૂંછડીઓ", જ્યારે "સામાન્ય" કોઓર્ડિનેટ્સમાં પ્રદર્શિત થાય છે, ત્યારે નિયમ પ્રમાણે, વ્યવહારીક રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. પ્રથમ નજરે રજૂઆતમાં આવી વિચિત્રતાની સગવડ એ હકીકત પરથી ઊભી થાય છે કે ફ્યુરિયર છબીઓ વિવિધ કાર્યોઘણીવાર તે એકબીજામાં ગુણાકાર કરવા માટે જરૂરી છે. જટિલ-મૂલ્યવાળી ફ્યુરિયર છબીઓના આવા બિંદુવાર ગુણાકાર સાથે, તેમના તબક્કાના સ્પેક્ટ્રા ઉમેરવામાં આવે છે, અને તેમના કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રાનો ગુણાકાર થાય છે. પ્રથમ કરવું સરળ છે, જ્યારે બીજું પ્રમાણમાં મુશ્કેલ છે. જો કે, કંપનવિસ્તારનો ગુણાકાર કરતી વખતે કંપનવિસ્તારના લઘુગણકનો ઉમેરો થાય છે, તેથી લઘુગણક આલેખકંપનવિસ્તાર, જેમ કે તબક્કાના આલેખ, ફક્ત બિંદુ દ્વારા બિંદુ ઉમેરી શકાય છે. વધુમાં, માં વ્યવહારુ સમસ્યાઓસિગ્નલના "કંપનવિસ્તાર" સાથે નહીં, પરંતુ તેની "શક્તિ" (કંપનવિસ્તારનો ચોરસ) સાથે કામ કરવું ઘણીવાર વધુ અનુકૂળ હોય છે. ચાલુ લઘુગણક સ્કેલબંને આલેખ (કંપનવિસ્તાર અને શક્તિ) સમાન દેખાય છે અને માત્ર ગુણાંકમાં જ ભિન્ન છે - પાવર ગ્રાફ પરના તમામ મૂલ્યો કંપનવિસ્તાર સ્કેલ કરતા બમણા મોટા હોય છે. તદનુસાર, આવર્તન (ડેસિબલ્સમાં) દ્વારા પાવર વિતરણને કાવતરું કરવા માટે, તમે કંઈપણ ચોરસ કરી શકતા નથી, પરંતુ દશાંશ લઘુગણકની ગણતરી કરો અને તેને 20 વડે ગુણાકાર કરો.
તમે કંટાળી ગયા છો? થોડી વાર રાહ જુઓ, અમે ટૂંક સમયમાં આલેખનું અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું તે સમજાવતા લેખના કંટાળાજનક ભાગ સાથે પૂર્ણ કરીશું :). પરંતુ તે પહેલાં, તમારે એક અત્યંત સમજવું જોઈએ મહત્વપૂર્ણ વસ્તુ: જો કે ઉપરોક્ત તમામ સ્પેક્ટ્રમ પ્લોટ અમુક મર્યાદિત શ્રેણીના મૂલ્યો માટે દોરવામાં આવ્યા હતા (ખાસ કરીને હકારાત્મક સંખ્યાઓ), આ તમામ પ્લોટ્સ વાસ્તવમાં પ્લસ અને માઈનસ અનંત સુધી ચાલુ રહે છે. આલેખ આલેખના કેટલાક "સૌથી અર્થપૂર્ણ" ભાગનું નિરૂપણ કરે છે, જે સામાન્ય રીતે પ્રતિબિંબિત થાય છે નકારાત્મક મૂલ્યોપરિમાણ અને મોટા પાયે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે ત્યારે ચોક્કસ પગલા સાથે સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થાય છે.
ગ્રાફ પર શું દોરવામાં આવ્યું છે તે નક્કી કર્યા પછી, ચાલો ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અને તેના ગુણધર્મો પર પાછા આવીએ. ત્યાં અનેક છે અલગ અલગ રીતેઆ રૂપાંતર કેવી રીતે નક્કી કરવું, નાની વિગતોમાં ભિન્ન (વિવિધ સામાન્યીકરણ). ઉદાહરણ તરીકે, અમારી યુનિવર્સિટીઓમાં, કેટલાક કારણોસર, તેઓ વારંવાર ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મના સામાન્યકરણનો ઉપયોગ કરે છે, જે કોણીય આવર્તન (રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ) ના સંદર્ભમાં સ્પેક્ટ્રમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. હું વધુ અનુકૂળ પશ્ચિમી ફોર્મ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરીશ જે સામાન્ય આવર્તન (હર્ટ્ઝ) ના સંદર્ભમાં સ્પેક્ટ્રમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ડાયરેક્ટ અને વ્યસ્ત રૂપાંતરઆ કિસ્સામાં ફોરિયર ડાબી બાજુના સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને આ પરિવર્તનના કેટલાક ગુણધર્મો કે જેની આપણને જરૂર પડશે તે જમણી બાજુના સાત બિંદુઓની સૂચિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
આ ગુણધર્મોમાં પ્રથમ રેખીયતા છે. જો આપણે ફંક્શનનું અમુક રેખીય સંયોજન લઈએ, તો આ સંયોજનનું ફોરિયર રૂપાંતરણ આ ફંકશનની ફોરિયર ઈમેજનો સમાન રેખીય સંયોજન હશે. આ મિલકત તમને ઘટાડવા માટે પરવાનગી આપે છે જટિલ કાર્યોઅને તેમના ફોરિયર સરળ લોકોમાં પરિવર્તિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફ્રિક્વન્સી f અને કંપનવિસ્તાર a સાથેના સિનુસાઈડલ ફંક્શનનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ બે ડેલ્ટા ફંક્શન્સનું સંયોજન છે જે f અને -f બિંદુઓ પર સ્થિત છે અને a/2 ગુણાંક સાથે છે:
જો આપણે અલગ-અલગ ફ્રીક્વન્સીઝવાળા સાઇનસૉઇડ્સના સમૂહનો સમાવેશ કરતું ફંક્શન લઈએ, તો રેખીયતાના ગુણધર્મ અનુસાર, આ ફંક્શનના ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાં ડેલ્ટા ફંક્શનના અનુરૂપ સમૂહનો સમાવેશ થશે. આ અમને સિદ્ધાંત અનુસાર સ્પેક્ટ્રમનું નિષ્કપટ પરંતુ દ્રશ્ય અર્થઘટન આપવા દે છે “જો ફંક્શન ફ્રીક્વન્સીના સ્પેક્ટ્રમમાં f કંપનવિસ્તાર a ને અનુલક્ષે છે, તો મૂળ કાર્યને સિનુસોઇડ્સના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી એક હશે. ફ્રિક્વન્સી f અને કંપનવિસ્તાર 2a સાથેનો સાઇનસૉઇડ." કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, આ અર્થઘટન ખોટું છે, કારણ કે ડેલ્ટા ફંક્શન અને ગ્રાફ પરનો બિંદુ સંપૂર્ણપણે અલગ વસ્તુઓ છે, પરંતુ આપણે પછીથી જોઈશું, માટે સ્વતંત્ર પરિવર્તનોફોરિયર, તે સત્યથી એટલું દૂર રહેશે નહીં.
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની બીજી મિલકત એ છે કે સિગ્નલના સમયની પાળીમાંથી કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમની સ્વતંત્રતા. જો આપણે કોઈ ફંક્શનને x-અક્ષ સાથે ડાબી કે જમણી તરફ લઈ જઈએ, તો માત્ર તેના તબક્કા સ્પેક્ટ્રમ બદલાશે.
ત્રીજી ગુણધર્મ એ છે કે સમય અક્ષ (x) ની સાથે મૂળ ફંક્શનને સ્ટ્રેચિંગ (સંકુચિત કરવું) ફ્રિક્વન્સી સ્કેલ (w) સાથે તેની ફોરિયર ઈમેજને પ્રમાણસર સંકુચિત કરે છે (લંબાય છે). ખાસ કરીને, મર્યાદિત અવધિના સિગ્નલનું વર્ણપટ હંમેશા અનંત પહોળું હોય છે અને તેનાથી વિપરીત, મર્યાદિત પહોળાઈના સ્પેક્ટ્રમ હંમેશા અમર્યાદિત સમયગાળાના સંકેતને અનુરૂપ હોય છે.
ચોથા અને પાંચમા ગુણધર્મો કદાચ બધામાં સૌથી વધુ ઉપયોગી છે. તેઓ ફંક્શનના કન્વોલ્યુશનને તેમની ફ્યુરિયર ઈમેજોના પોઈન્ટવાઈઝ ગુણાકારમાં ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે અને તેનાથી વિપરિત - ફંક્શનના પોઈન્ટવાઈઝ ગુણાકારને તેમની ફ્યુરિયર ઈમેજીસના કન્વ્યુલેશનમાં ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે. થોડું આગળ હું બતાવીશ કે આ કેટલું અનુકૂળ છે.
છઠ્ઠી મિલકત ફોરિયર છબીઓની સમપ્રમાણતા વિશે બોલે છે. ખાસ કરીને, આ ગુણધર્મમાંથી તે અનુસરે છે કે વાસ્તવિક-મૂલ્યવાળું કાર્ય (એટલે કે, કોઈપણ "વાસ્તવિક" સિગ્નલ) ના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાં કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમહંમેશા છે સમ કાર્ય, અને તબક્કો સ્પેક્ટ્રમ (જો શ્રેણીમાં લાવવામાં આવે તો -pi...pi) વિચિત્ર છે. તે આ કારણોસર છે કે સ્પેક્ટ્રા લગભગ ક્યારેય ગ્રાફ પર દોરવામાં આવતા નથી. નકારાત્મક ભાગસ્પેક્ટ્રમ - વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન સંકેતો માટે તે કોઈ પ્રદાન કરતું નથી નવી માહિતી(પરંતુ, હું પુનરાવર્તન કરું છું, તે શૂન્ય પણ નથી).
છેલ્લે, છેલ્લી, સાતમી મિલકત, કહે છે કે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સિગ્નલની "ઊર્જા" સાચવે છે. તે ફક્ત મર્યાદિત અવધિના સંકેતો માટે જ અર્થપૂર્ણ છે, જેની ઊર્જા મર્યાદિત છે, અને સૂચવે છે કે અનંત પર આવા સંકેતોનું સ્પેક્ટ્રમ ઝડપથી શૂન્યની નજીક આવે છે. તે ચોક્કસપણે આ ગુણધર્મને કારણે છે કે સ્પેક્ટ્રમ ગ્રાફ સામાન્ય રીતે સિગ્નલના ફક્ત "મુખ્ય" ભાગને દર્શાવે છે, જે ઊર્જાનો સિંહનો હિસ્સો ધરાવે છે - બાકીનો ગ્રાફ ફક્ત શૂન્ય તરફ વળે છે (પરંતુ, ફરીથી, શૂન્ય નથી).
આ 7 ગુણધર્મોથી સજ્જ, ચાલો ભાષાંતર કરવા માટેના સિગ્નલને “ડિજિટાઇઝિંગ” કરવાના ગણિતને જોઈએ. સતત સંકેતસંખ્યાઓના ક્રમમાં. આ કરવા માટે, આપણે "ડીરાક કોમ્બ" તરીકે ઓળખાતા ફંક્શન લેવાની જરૂર છે:
ડીરાક કોમ્બ એ એકતા ગુણાંક સાથે ડેલ્ટા ફંક્શનનો એક સામયિક ક્રમ છે, જે શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને સ્ટેપ T સાથે આગળ વધે છે. સિગ્નલને ડિજિટાઇઝ કરવા માટે, T શક્ય તેટલી નાની સંખ્યા તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:
સતત કાર્યને બદલે, આવા ગુણાકાર પછી, ચોક્કસ ઊંચાઈના ડેલ્ટા સ્પંદનોનો ક્રમ પ્રાપ્ત થાય છે. તદુપરાંત, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની પ્રોપર્ટી 5 અનુસાર, પરિણામી ડિસક્રીટ સિગ્નલનું વર્ણપટ એ સંબંધિત ડિરાક કોમ્બ સાથે મૂળ સ્પેક્ટ્રમનું કન્વ્યુલેશન છે. તે સમજવું સરળ છે કે, કન્વોલ્યુશનના ગુણધર્મોના આધારે, મૂળ સિગ્નલના વર્ણપટને 1/T ના પગલા સાથે આવર્તન ધરી સાથે અનંત સંખ્યામાં "કૉપિ" કરવામાં આવે છે, અને પછી સારાંશ કરવામાં આવે છે.
નોંધ કરો કે જો મૂળ સ્પેક્ટ્રમની મર્યાદિત પહોળાઈ હોય અને અમે પૂરતા પ્રમાણમાં ઉચ્ચ સેમ્પલિંગ આવર્તનનો ઉપયોગ કર્યો હોય, તો મૂળ સ્પેક્ટ્રમની નકલો ઓવરલેપ થશે નહીં, અને તેથી એકબીજા સાથે સરવાળો થશે નહીં. તે સમજવું સરળ છે કે આવા "ભંગી" સ્પેક્ટ્રમમાંથી મૂળને પુનઃસ્થાપિત કરવું સરળ બનશે - તે ફક્ત શૂન્યના ક્ષેત્રમાં સ્પેક્ટ્રમ ઘટક લેવા માટે પૂરતું હશે, અનંતતા તરફ જતી વધારાની નકલોને "કાપીને". આ કરવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે શ્રેણી -1/2T...1/2T અને આ શ્રેણીની બહાર શૂન્યમાં T ની બરાબર લંબચોરસ ફંક્શન વડે સ્પેક્ટ્રમનો ગુણાકાર કરવો. આવા ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફંક્શન sinc(Tx) ને અનુલક્ષે છે અને ગુણધર્મ 4 મુજબ, આવા ગુણાકાર એ ફંક્શન sinc(Tx) સાથે ડેલ્ટા ફંક્શનના મૂળ ક્રમના કન્વ્યુલેશનની સમકક્ષ છે.
એટલે કે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે સમય-નમૂનાથી મૂળ સિગ્નલને સરળતાથી પુનઃનિર્માણ કરવાની એક રીત છે, જો કે અમે ઓછામાં ઓછા બે વાર સેમ્પલિંગ ફ્રીક્વન્સીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (સ્પેક્ટ્રમમાં નકારાત્મક ફ્રીક્વન્સીઝની હાજરીને કારણે) મૂળ સિગ્નલમાં હાજર મહત્તમ આવર્તન કરતાં વધુ. આ પરિણામ વ્યાપકપણે જાણીતું છે અને તેને "કોટેલનિકોવ/શેનોન-નાયક્વિસ્ટ પ્રમેય" કહેવામાં આવે છે. જો કે, હવે નોંધવું સરળ છે (સાબિતીને સમજવું), આ પરિણામ, વ્યાપક ગેરસમજની વિરુદ્ધ, નક્કી કરે છે પર્યાપ્ત, પરંતુ નહીં જરૂરીમૂળ સિગ્નલ પુનઃસ્થાપિત કરવા માટેની સ્થિતિ. અમારે માત્ર એ સુનિશ્ચિત કરવાની જરૂર છે કે સિગ્નલના નમૂના લીધા પછી સ્પેક્ટ્રમનો જે ભાગ આપણને રુચિ ધરાવે છે તે એકબીજાને ઓવરલેપ ન કરે, અને જો સિગ્નલ પૂરતા પ્રમાણમાં સાંકડી હોય (સ્પેક્ટ્રમના બિન-શૂન્ય ભાગની નાની "પહોળાઈ" હોય), પછી આ પરિણામ ઘણીવાર સિગ્નલની મહત્તમ આવર્તન કરતાં બમણી ઓછી સેમ્પલિંગ આવર્તન પર પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આ તકનીકને "અંડરસેમ્પલિંગ" (સબસેમ્પલિંગ, બેન્ડપાસ સેમ્પલિંગ) કહેવામાં આવે છે અને તમામ પ્રકારના રેડિયો સિગ્નલની પ્રક્રિયામાં તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ફ્રિક્વન્સી બેન્ડમાં 88 થી 108 MHz સુધી કાર્યરત FM રેડિયો લઈએ, તો તેને ડિજિટાઈઝ કરવા માટે આપણે કોટેલનિકોવના પ્રમેય દ્વારા ધારેલા 216 MHz ને બદલે માત્ર 43.5 MHz ની આવર્તન સાથે ADC નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, જો કે, તમારે ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળા ADC અને સારા ફિલ્ટરની જરૂર પડશે.
મને નોંધ લેવા દો કે નીચા ઓર્ડરની ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝનું "ડુપ્લિકેશન" એ સિગ્નલ સેમ્પલિંગની તાત્કાલિક મિલકત છે જે પરિણામને બદલી ન શકાય તેવી રીતે "બગાડે છે". તેથી, જો સિગ્નલ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉચ્ચ-ઓર્ડર ફ્રીક્વન્સીઝ (એટલે કે, લગભગ હંમેશા) સમાવી શકે છે, તો ADC ની સામે એક એનાલોગ ફિલ્ટર મૂકવામાં આવે છે, જે મૂળ સિગ્નલમાં બિનજરૂરી દરેક વસ્તુને "કાપી નાખે છે". આ કરવામાં મોડું થશે). આ ફિલ્ટર્સની લાક્ષણિકતાઓ, એનાલોગ ઉપકરણો તરીકે, આદર્શ નથી, તેથી સિગ્નલને કેટલાક "નુકસાન" હજુ પણ થાય છે, અને વ્યવહારમાં તે અનુસરે છે કે સ્પેક્ટ્રમમાં સૌથી વધુ ફ્રીક્વન્સીઝ, નિયમ તરીકે, અવિશ્વસનીય છે. આ સમસ્યાને ઘટાડવા માટે, ઇનપુટ એનાલોગ ફિલ્ટરને ઓછી બેન્ડવિડ્થ પર સેટ કરીને અને એડીસીની સૈદ્ધાંતિક રીતે ઉપલબ્ધ આવર્તન શ્રેણીના માત્ર નીચેના ભાગનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલને ઘણીવાર ઓવરસેમ્પલ કરવામાં આવે છે.
અન્ય સામાન્ય ગેરસમજ, માર્ગ દ્વારા, જ્યારે DAC આઉટપુટ પર સિગ્નલ "સ્ટેપ્સ" માં દોરવામાં આવે છે. "પગલાઓ" પહોળાઈ T અને ઊંચાઈ 1 ના લંબચોરસ કાર્ય સાથે નમૂનારૂપ સિગ્નલ સિક્વન્સના કન્વ્યુલેશનને અનુરૂપ છે:
આ ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથેના સિગ્નલ વર્ણપટને આ લંબચોરસ ફંક્શનના ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને સમાન લંબચોરસ ફંક્શન માટે તે ફરીથી sinc(w), “ખેંચાયેલ” છે, અનુરૂપ લંબચોરસની પહોળાઈ જેટલી નાની હશે. આવા "DAC" સાથેના નમૂનારૂપ સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમને આ સ્પેક્ટ્રમ દ્વારા પોઈન્ટ દ્વારા પોઈન્ટનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સ્પેક્ટ્રમની "વધારાની નકલો" સાથે બિનજરૂરી ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝ સંપૂર્ણપણે કાપી નાખવામાં આવતી નથી, પરંતુ સ્પેક્ટ્રમના "ઉપયોગી" ભાગનો ઉપરનો ભાગ, તેનાથી વિપરીત, ક્ષીણ થાય છે.
વ્યવહારમાં, અલબત્ત, કોઈ આ કરતું નથી. DAC બનાવવા માટે ઘણા જુદા જુદા અભિગમો છે, પરંતુ વેઇટિંગ-ટાઇપ DAC ની સૌથી નજીકના અર્થમાં પણ, DAC માં લંબચોરસ કઠોળ, તેનાથી વિપરિત, શક્ય તેટલું ટૂંકું પસંદ કરવામાં આવે છે (ડેલ્ટાના વાસ્તવિક ક્રમની અંદાજિત કાર્યો) સ્પેક્ટ્રમના ઉપયોગી ભાગના અતિશય દમનને ટાળવા માટે. પરિણામી બ્રોડબેન્ડ સિગ્નલમાં "વધારાની" ફ્રીક્વન્સીઝ લગભગ હંમેશા એનાલોગ લો-પાસ ફિલ્ટર દ્વારા સિગ્નલ પસાર કરીને રદ કરવામાં આવે છે, જેથી કન્વર્ટરની "અંદર" અથવા, ખાસ કરીને, તેના આઉટપુટ પર કોઈ "ડિજિટલ પગલાં" ન હોય.
જો કે, ચાલો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પર પાછા જઈએ. ઉપર વર્ણવેલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પ્રી-સેમ્પલ સિગ્નલ સિક્વન્સ પર લાગુ થાય છે તેને ડિસ્ક્રીટ ટાઈમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (DTFT) કહેવાય છે. આવા રૂપાંતરણ દ્વારા મેળવેલ સ્પેક્ટ્રમ હંમેશા 1/T-સામયિક હોય છે, તેથી DTFT સ્પેક્ટ્રમ સેગમેન્ટ પરના તેના મૂલ્યો દ્વારા સંપૂર્ણપણે નક્કી થાય છે, n=0,…,N-1 - મૂળ જટિલ સંકેત જેમાં N જટિલ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. . ચાલો X[k], k=0,…N-1 - તેનો જટિલ સ્પેક્ટ્રમ, N જટિલ સંખ્યાઓનો પણ સમાવેશ કરીએ. પછી ડાયરેક્ટ અને ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ માટે નીચેના સૂત્રો માન્ય છે:
જો આપણે આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સ્પેક્ટ્રમમાં વાસ્તવિક સિગ્નલનું વિઘટન કરીએ, તો સ્પેક્ટ્રમના પ્રથમ N/2+1 જટિલ ગુણાંક "સામાન્ય" વાસ્તવિક DFT ના સ્પેક્ટ્રમ સાથે મેળ ખાશે, જે "જટિલ" સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત છે અને બાકીના ગુણાંકો. અડધા સેમ્પલિંગ આવર્તનની તુલનામાં તેમનું સપ્રમાણ પ્રતિબિંબ હશે. કોસાઈન ગુણાંક માટે પ્રતિબિંબ સમ છે, અને સાઈન ગુણાંક માટે તે વિષમ છે.
2D DFT
છબીઓ માટે કે જે દ્વિ-પરિમાણીય સંકેત છે, સ્પેક્ટ્રમ એ દ્વિ-પરિમાણીય સંકેત પણ છે. ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મના આધારભૂત કાર્યોનું સ્વરૂપ છે:
તદુપરાંત, તબક્કાઓ પણ અલગ હોઈ શકે છે. છબીમાં, આ દરેક આધારભૂત કાર્યો ચોક્કસ આવર્તન, ચોક્કસ અભિગમ અને ચોક્કસ તબક્કાના તરંગને રજૂ કરે છે.
અહીં N 1 xN 2 એ મૂળ સિગ્નલનું કદ છે, જે સ્પેક્ટ્રમનું કદ પણ છે. k 1 અને k 2 એ આધારભૂત કાર્યોની સંખ્યા છે (દ્વિ-પરિમાણીય DFT ના ગુણાંકની સંખ્યા કે જેના પર આ કાર્યો જોવા મળે છે). સ્પેક્ટ્રમનું કદ મૂળ સિગ્નલના કદ જેટલું હોવાથી, પછી k 1 = 0,...,N 1 -1; k 2 = 0, …,N 2 -1.
n 1 અને n 2 એ આધારભૂત કાર્યોની ચલ દલીલો છે. આધારભૂત કાર્યોની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સિગ્નલની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે એકરુપ હોવાથી, પછી n 1 = 0,...,N 1 -1; n 2 = 0,…,N 2 -1.
દ્વિ-પરિમાણીય DFT (જટિલ સ્વરૂપમાં) નીચેના સૂત્રો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (અહીં x એ મૂળ સંકેત છે અને X એ તેનું સ્પેક્ટ્રમ છે):
ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને દ્વિ-પરિમાણીય DFTની સીધી ગણતરી માટે પ્રચંડ કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચની જરૂર પડે છે. જો કે, તે સાબિત કરી શકાય છે કે દ્વિ-પરિમાણીય DFT પાસે વિભાજિતતા ગુણધર્મ છે, એટલે કે. તેની ગણતરી બે પરિમાણમાંથી ક્રમિક રીતે કરી શકાય છે.
દ્વિ-પરિમાણીય DFT ની ગણતરી કરવા માટે, તે છબીની બધી પંક્તિઓના એક-પરિમાણીય જટિલ DFT ની ગણતરી કરવા માટે પૂરતું છે, અને પછી પરિણામી "ઇમેજ" માં તમામ કૉલમના એક-પરિમાણીય જટિલ DFT ની ગણતરી કરો.
આ કિસ્સામાં, તમામ એક-પરિમાણીય જટિલ DFTs ના પરિણામો આ DFTs માટેના મૂળ ડેટાની જગ્યાએ લખેલા હોવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, છબીની પ્રથમ પંક્તિના એક-પરિમાણીય DFTની ગણતરી કરતી વખતે, તમારે આ છબીની પ્રથમ પંક્તિમાં DFT પરિણામ લખવાની જરૂર છે (તેનું કદ સમાન છે). આ કરવા માટે, તમારે દરેક "પિક્સેલ" ને જટિલ સંખ્યા તરીકે સંગ્રહિત કરવાની જરૂર છે.
આમ, ઈમેજના DFT ની ગણતરી કરવા માટે એક અસરકારક અલ્ગોરિધમ એ છે કે પ્રથમ બધી પંક્તિઓમાંથી અને પછી ઈમેજના તમામ કૉલમમાંથી એક-પરિમાણીય FFT ની ગણતરી કરવી.
ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ એલ્ગોરિધમ્સમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સમાંનું આ એક છે (તેના ફેરફારોનો ઉપયોગ MP3 માં ઑડિઓ કમ્પ્રેશન, JPEG માં ઇમેજ કમ્પ્રેશન વગેરેમાં થાય છે), તેમજ સ્વતંત્ર (માટે) ફ્રીક્વન્સીઝના વિશ્લેષણ સાથે સંબંધિત અન્ય ક્ષેત્રોમાં ઉદાહરણ તરીકે, ડિજિટાઇઝ્ડ એનાલોગ ) સિગ્નલ. સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને ઇનપુટ તરીકે એક અલગ કાર્યની જરૂર છે. આવા કાર્યો ઘણીવાર નમૂના દ્વારા બનાવવામાં આવે છે (સતત કાર્યોમાંથી નમૂનારૂપ મૂલ્યો). ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ આંશિક વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવામાં મદદ કરે છે અને કન્વોલ્યુશન જેવી કામગીરી કરે છે. ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સનો ઉપયોગ સમય શ્રેણીના વિશ્લેષણમાં, આંકડાઓમાં પણ સક્રિયપણે થાય છે. પરિવર્તનો એક-પરિમાણીય, દ્વિ-પરિમાણીય અને ત્રિ-પરિમાણીય પણ હોઈ શકે છે.
પ્રત્યક્ષ રૂપાંતર:
વિપરીત રૂપાંતરણ:
હોદ્દો:
§ એન- સમયગાળા દરમિયાન માપવામાં આવેલ સિગ્નલ મૂલ્યોની સંખ્યા, તેમજ વિઘટન ઘટકોની સંખ્યા;
§ - માપેલા સિગ્નલ મૂલ્યો (સંખ્યાઓ સાથે અલગ સમયના બિંદુઓ પર, જે સીધા રૂપાંતર માટે ઇનપુટ ડેટા છે અને વિપરીત રૂપાંતર માટે આઉટપુટ ડેટા છે;
§ - એનમૂળ સિગ્નલ કંપોઝ કરતા સાઇનુસોઇડલ સિગ્નલોના જટિલ કંપનવિસ્તાર; સીધા રૂપાંતર માટે આઉટપુટ ડેટા અને વિપરીત રૂપાંતર માટે ઇનપુટ ડેટા છે; કંપનવિસ્તાર જટિલ હોવાથી, તેમાંથી કંપનવિસ્તાર અને તબક્કા બંનેની ગણતરી કરવી શક્ય છે;
§ એ kth સાઇનસૉઇડલ સિગ્નલનું સામાન્ય (વાસ્તવિક) કંપનવિસ્તાર છે;
§ arg( X કે) - kth sinusoidal સિગ્નલનો તબક્કો (એક જટિલ સંખ્યાની દલીલ);
§ k- kth સિગ્નલની આવર્તન, બરાબર , જ્યાં ટી- સમયગાળો જે દરમિયાન ઇનપુટ ડેટા લેવામાં આવ્યો હતો.
બાદમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે રૂપાંતરણ સિગ્નલને સાઇનસૉઇડલ ઘટકોમાં વિઘટિત કરે છે (જેને હાર્મોનિક્સ કહેવામાં આવે છે) આવર્તન સાથે એન ઓસિલેશન પ્રતિ પીરિયડથી એક ઓસિલેશન સુધી. સેમ્પલિંગ ફ્રીક્વન્સી પોતે સમયગાળા દીઠ N સેમ્પલ્સ જેટલી હોવાથી, ઉચ્ચ-આવર્તન ઘટકો યોગ્ય રીતે પ્રદર્શિત કરી શકાતા નથી - મોઇરે અસર થાય છે. આ એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે N જટિલ કંપનવિસ્તારનો બીજો ભાગ, હકીકતમાં, પ્રથમની મિરર ઇમેજ છે અને વધારાની માહિતી ધરાવતું નથી.
કેટલાક સામયિક સંકેતો ધ્યાનમાં લો x(t) T ની સમાન અવધિ સાથે. ચાલો તેને ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરીએ:
ચાલો સિગ્નલનો નમૂનો લઈએ જેથી પીરિયડ દીઠ N નમૂનાઓ હોય. ચાલો અલગ સિગ્નલને નમૂનાઓના રૂપમાં રજૂ કરીએ: x n = x(tn), જ્યાં , પછી ફોરિયર શ્રેણી દ્વારા આ વાંચન નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે:
સંબંધનો ઉપયોગ કરીને: , આપણને મળે છે:
જ્યાં 
તેથી અમને મળ્યું ઇન્વર્સ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ.
ચાલો હવે માટે અભિવ્યક્તિને સ્કેલરલી ગુણાકાર કરીએ x nચાલુ કરો અને અમને મળે છે:
અહીં આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએ: a) ભૌમિતિક પ્રગતિના મર્યાદિત સંખ્યાના શબ્દો (ઘાતો) ના સરવાળા માટે એક અભિવ્યક્તિ, અને b) જટિલ સંખ્યાઓ માટે યુલર કાર્યોના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે ક્રોનેકર પ્રતીક માટે અભિવ્યક્તિ. તે નીચે મુજબ છે:
આ સૂત્ર વર્ણવે છે ડાયરેક્ટ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ.
સાહિત્યમાં, વ્યસ્ત રૂપાંતરણમાં ગુણક લખવાનો રિવાજ છે, અને તેથી રૂપાંતરણ સૂત્રો સામાન્ય રીતે નીચેના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે:
ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ એક રેખીય રૂપાંતરણ છે જે સમયના નમૂનાના વેક્ટરને સમાન લંબાઈના વર્ણપટના નમૂનાઓના વેક્ટરમાં રૂપાંતરિત કરે છે. આમ, વેક્ટર દ્વારા ચોરસ મેટ્રિક્સના ગુણાકાર તરીકે પરિવર્તનનો અમલ કરી શકાય છે:
