ઋતુઓ

નિર્ધારકોના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને તેમના ભૌમિતિક અર્થ ઘરમિલકત 2.12. રેખીય રીતે ગ્રામ મેટ્રિક્સનું નિર્ધારક

આશ્રિત સિસ્ટમવેક્ટર 0 છે. પુરાવો.વેક્ટર્સની સિસ્ટમને રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા દો. પછી, ક્યાં તો સિસ્ટમ સમાવે છે
શૂન્ય વેક્ટર , અને આ કિસ્સામાં નિવેદન સ્પષ્ટ છે, અથવા ત્યાં એક વેક્ટર છે જે સિસ્ટમના અગાઉના વેક્ટર દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ગ્રામ મેટ્રિક્સમાંમાંથી બાદબાકી કરો
i , અને આ કિસ્સામાં નિવેદન સ્પષ્ટ છે, અથવા ત્યાં એક વેક્ટર છે જે સિસ્ટમના અગાઉના વેક્ટર દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ગ્રામ મેટ્રિક્સમાં-મી પંક્તિ, ગુણાંક સાથેની અગાઉની પંક્તિઓ . ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક બદલાશે નહીં, પરંતુમી પંક્તિ શૂન્ય થઈ જશે. શૂન્ય-પંક્તિ મેટ્રિક્સનું નિર્ધારક

શૂન્ય બરાબર , અને તેથી, ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન છે. આરચાલો એક નજર કરીએ
ભૌમિતિક અર્થ વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસ. જો
k વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસ=1, પછી
- વેક્ટર લંબાઈનો ચોરસ. જો >1, પછી આપણે તેને વેક્ટરની સિસ્ટમ પર લાગુ કરીએ છીએઓર્થોગોનલાઇઝેશન પ્રક્રિયા અને રચના
ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ વેક્ટર. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ
પી
સિસ્ટમમાંથી સંક્રમણ મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ માટે. આ મેટ્રિક્સ ધરાવે છે
ત્રિકોણાકાર દૃશ્ય , અને તેના મુખ્ય કર્ણ પર 1 છે, અને તેનો નિર્ણાયક 1 ની બરાબર છે. વધુમાં, અને તેથી ગ્રામ મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો સમાન છે. વેક્ટર સિસ્ટમ થીઓર્થોગોનલ છે, તો વેક્ટરની આ સિસ્ટમનું ગ્રામ મેટ્રિક્સ કર્ણ છે, અને તેનું નિર્ણાયક છે વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસઉત્પાદન સમાન
આ સિસ્ટમના વેક્ટરની ચોરસ લંબાઈ. આમ, સમાનતા સ્થાપિત થાય છે. કેસ ધ્યાનમાં લો =2. પછી
બાજુથી નીચે આવેલા સમાંતરગ્રામની ઊંચાઈની લંબાઈ જેટલી
(જુઓ ભૂલ: સંદર્ભ સ્ત્રોત મળ્યો નથી). તેથી, ઉત્પાદન
વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલ સમાંતરગ્રામના વિસ્તારની બરાબર, અને ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસચોરસ સમાન આ સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર. જો
=3, પછી વેક્ટર
વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલ પ્લેન સુધી

. તેથી, ત્રણ વેક્ટરના ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલ સમાંતર પાઇપના જથ્થાના ચોરસ સમાન છે. વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસ. કારણ કે તમામ તર્કને મનસ્વી પરિમાણમાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે, તેથી મિલકત ત્યાં સ્થાપિત થાય છે.
પ્રોપર્ટી 2.13 વેક્ટરની સિસ્ટમના ગ્રામ મેટ્રિક્સનું નિર્ણાયક 0 ની બરાબર છે જો સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત હોય, અને વોલ્યુમના વર્ગમાં

-વેક્ટર્સ દ્વારા ફેલાયેલ પરિમાણીય સમાંતર

અન્યથા.

આશ્રિત સિસ્ટમચાલો હવે હદમર્દની અસમાનતા બતાવીએ.
રેખીય રીતે આશ્રિત, તો અસમાનતા સ્પષ્ટ છે. વેક્ટરની આ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર રહેવા દો. ચાલો તેના પર ઓર્થોગોનલાઇઝેશન પ્રક્રિયા લાગુ કરીએ અને વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ બનાવીએ
. વેક્ટર વેક્ટરનો ઓર્થોગોનલ ઘટક છે પર રેખીય શેલવેક્ટર
, અને તેથી,
બેસેલની અસમાનતા દ્વારા (પ્રમેય 2.2). આગળ, તે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

જો વેક્ટરની મૂળ સિસ્ટમ ઓર્થોગોનલ હોય તો જ હડમર્ડની અસમાનતા સમાનતામાં ફેરવાય છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, અસમાનતા કડક છે.

કોરોલરી 2.5 અસમાનતાઓ માન્ય છે
અને
.

આશ્રિત સિસ્ટમ IN n- પરિમાણીય અંકગણિત જગ્યાચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ સ્કેલર ઉત્પાદનસૂત્ર અનુસાર
. મેટ્રિક્સના સ્તંભો દ્વારા રચાયેલી વેક્ટરની સિસ્ટમનો વિચાર કરો એ. આ વેક્ટર સિસ્ટમનું ગ્રામ મેટ્રિક્સ બરાબર છે
અને હદમાર્દની અસમાનતા દ્વારા
. કારણ કે
, પછી અસમાનતા
સ્થાપિત. ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સ પર પરિણામી અસમાનતા લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ
.

કોરોલરી 2.6 ચાલો
. પછી
.

પુરાવોદેખીતી રીતે

ચાલો મૂકીએ
અને, આગળ, ઇન્ડક્શન દ્વારા
. મેટ્રિક્સ ઓર્ડર છે , તેનો નિર્ણાયક સમાન છે
અને તેના તમામ તત્વો સમાન છે
. આ મેટ્રિક્સ પર અસમાનતા (કોરોલરી 2.6) સમાનતામાં ફેરવાય છે તે ચકાસવું સરળ છે.

1. મનસ્વી વેક્ટરનો વિચાર કરો. ચાલો પહેલા ધારીએ કે આ વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. આ કિસ્સામાં, આમાંના કોઈપણ વેક્ટર માટે સંકલિત ગ્રામ નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ હશે. પછી, (22) મુજબ ધારી રહ્યા છીએ

(23)

અને આ અસમાનતાઓ અને અસમાનતાનો શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર

, (24)

.

આમ, રેખીય માટે ગ્રામ નિર્ધારક સ્વતંત્ર વેક્ટરહકારાત્મક, રેખીય રીતે આશ્રિત લોકો માટે તે શૂન્ય છે. ગ્રામ નિર્ધારક ક્યારેય નકારાત્મક નથી.

ચાલો સંક્ષેપ માટે સૂચિત કરીએ . પછી (23) અને (24) થી

સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર ક્યાં છે અને આગળ,

,

વેક્ટર પર બનેલ સમાંતર પાઇપનું વોલ્યુમ ક્યાં છે. આગળ ચાલુ રાખીને, અમે શોધીએ છીએ:

,

અને છેલ્લે

. (25)

તેને ધાર પરની જેમ વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા -પરિમાણીય સમાંતર પાઇપનું વોલ્યુમ કહેવું સ્વાભાવિક છે.

ચાલો , અમુક ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સૂચિત કરીએ અને ચાલો

પછી (14) પર આધારિત

અને તેથી [જુઓ સૂત્ર (25)]

. (26)

આ સમાનતાનો નીચેનો ભૌમિતિક અર્થ છે:

સમાંતર પાઈપનું ચોરસ વોલ્યુમ સરવાળો સમાનતમામ કોઓર્ડિનેટ-ડાયમેન્શનલ સબસ્પેસ પર તેના અંદાજોના ચોરસ વોલ્યુમ. ખાસ કરીને, જ્યારે (26) થી તે નીચે મુજબ છે:

. (26)

સૂત્રો (20), (21), (22), (26), (26") નો ઉપયોગ કરીને, પરિમાણીય એકાત્મક અને યુક્લિડિયન વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સંખ્યાબંધ મૂળભૂત મેટ્રિક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે.

2. ચાલો વિસ્તરણ પર પાછા ફરીએ (15). તે આમાંથી સીધું અનુસરે છે:

જે, (22) સાથે સંયોજનમાં, અસમાનતા આપે છે (મનસ્વી વેક્ટર માટે )

આ કિસ્સામાં, સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે જો અને માત્ર જો વેક્ટર વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હોય.

અહીંથી કહેવાતી હદમર્દ અસમાનતા મેળવવાનું સરળ છે

જ્યાં સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે જો અને માત્ર જો વેક્ટર જોડીમાં ઓર્થોગોનલ હોય. અસમાનતા (29) નીચેની ભૌમિતિક રીતે સ્પષ્ટ હકીકતને વ્યક્ત કરે છે:

સમાંતર પાઇપનું પ્રમાણ તેની ધારની લંબાઈના ઉત્પાદન કરતાં વધુ હોતું નથી અને જ્યારે સમાંતર લંબચોરસ હોય ત્યારે જ તે આ ઉત્પાદનની બરાબર હોય છે.

હદમર્દની અસમાનતા તેને આપી શકાય સામાન્ય દેખાવ, (28) મૂકવું અને કેટલાક ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટથી બનેલા નિર્ણાયકને ધ્યાનમાં રાખીને પરિચય:

.

પછી (26") અને (28) માંથી તે અનુસરે છે

. (28)

3. ચાલો હવે અસમાનતા (27) અને અસમાનતા (28) બંનેને આવરી લેતી સામાન્યકૃત હદમાર્ડ અસમાનતા સ્થાપિત કરીએ:

અને સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે જો અને માત્ર જો દરેક વેક્ટર કોઈપણ વેક્ટર અથવા નિર્ણાયકોમાંના એક માટે ઓર્થોગોનલ હોય, શૂન્ય બરાબર.

અસમાનતા (28") નો નીચેનો ભૌમિતિક અર્થ છે:

સમાંતર પાઇપનું વોલ્યુમ બે વધારાના ચહેરાઓના વોલ્યુમના ઉત્પાદન કરતાં વધુ નથી અને જો અને માત્ર જો આ ચહેરાઓ પરસ્પર ઓર્થોગોનલ હોય અથવા તેમાંના ઓછામાં ઓછા એકમાં શૂન્ય વોલ્યુમ હોય તો જ આ ઉત્પાદનની બરાબર છે.

અમે વેક્ટર્સની સંખ્યાના સંદર્ભમાં અસમાનતા (29) ની માન્યતા પ્રસ્થાપિત કરીશું. જ્યારે આ સંખ્યા 1 હોય ત્યારે અસમાનતા સાચી છે [જુઓ સૂત્ર (27)].

ચાલો બે સબસ્પેસનો પરિચય કરીએ અને અનુક્રમે, બેઝ અને સાથે. દેખીતી રીતે, . ચાલો ઓર્થોગોનલ વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લઈએ

.

સમાંતરના જથ્થાના ચોરસને પાયાના જથ્થાના ચોરસ અને ઊંચાઈના વર્ગના ગુણાંક સાથે બદલીને [જુઓ. સૂત્ર (22)], આપણે શોધીએ છીએ

આ કિસ્સામાં, વેક્ટરના વિઘટનથી તે નીચે મુજબ છે:

, (31)

અને અહીં નિશાની ત્યારે જ થાય છે જ્યારે

હવે સંબંધો (30), (30"), (31) અને ઇન્ડક્શન ધારણાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

અમને અસમાનતા મળી (29). જ્યારે આ અસમાનતામાં નિશાની થાય છે ત્યારે સ્પષ્ટતા તરફ આગળ વધીએ છીએ, અમે તે ધારીએ છીએ અને . પછી (30") મુજબ પણ અને . સંબંધોમાં (32) સમાન ચિન્હ દરેક જગ્યાએ ધરાવે છે, પછી, વધુમાં, ઇન્ડક્શન ધારણા દ્વારા, દરેક વેક્ટર દરેક વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે. દેખીતી રીતે, વેક્ટર પાસે પણ આ ગુણધર્મ છે

આમ, સામાન્યકૃત હદમાર્ડ અસમાનતા સંપૂર્ણપણે સ્થાપિત છે.

4. સામાન્યકૃત હદમાર્ડ અસમાનતા (29) ને પણ વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપ આપી શકાય છે.

ચાલો મનસ્વી હકારાત્મક ચોક્કસ હર્મિટિયન સ્વરૂપ હોઈએ. આધાર સાથે પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, અમે ફોર્મને મૂળભૂત મેટ્રિક સ્વરૂપ તરીકે લઈએ છીએ (પૃષ્ઠ 224 જુઓ). પછી તે એકાત્મક જગ્યા બની જશે. ચાલો સામાન્યીકૃત હદમાર્ડ અસમાનતાને આધારભૂત વેક્ટર પર લાગુ કરીએ: - ગુણાંકનું વાસ્તવિક મેટ્રિક્સ હકારાત્મક નિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપવેક્ટર્સ વચ્ચે અને , તેને સંબંધમાંથી નક્કી કર્યા પછી

.

બુન્યાકોવ્સ્કીની અસમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે તેનું વાસ્તવિક મૂલ્ય છે.

લગભગ 20 વર્ષ પહેલાં મને યુનિવર્સિટીમાં ઉચ્ચ ગણિતનો અભ્યાસ કરવાની તક મળી, અને અમે મેટ્રિસથી શરૂઆત કરી (કદાચ તે સમયના તમામ વિદ્યાર્થીઓની જેમ). કેટલાક કારણોસર, એવું માનવામાં આવે છે કે મેટ્રિસિસ સૌથી વધુ છે સરળ વિષયહું જાણું છું ઉચ્ચ ગણિત. કદાચ - કારણ કે મેટ્રિસીસ સાથેની તમામ ક્રિયાઓ નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિઓના જ્ઞાન અને નિર્ધારક પર અનેક સૂત્રો બાંધવામાં આવે છે - ફરીથી, નિર્ણાયક પર. એવું લાગે છે કે બધું સરળ છે. પરંતુ... મૂળભૂત પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયાસ કરો - નિર્ણાયક શું છે, શું અર્થ જ્યારે તમે તેની ગણતરી કરો છો ત્યારે તમને કેટલો નંબર મળે છે? (સંકેત: એક પ્રકાર જેમ કે "એક નિર્ણાયક એ સંખ્યા છે જે દ્વારા મળે છે ચોક્કસ નિયમો" સાચો જવાબ નથી, કારણ કે તે મેળવવાની પદ્ધતિ વિશે વાત કરે છે, અને નિર્ણાયકના સાર વિશે નહીં). તમે આપી રહ્યા છો? - તો આગળ વાંચો...

હું હમણાં જ કહેવા માંગુ છું કે હું શિક્ષણ અથવા પદથી ગણિતશાસ્ત્રી નથી. સિવાય કે મને વસ્તુઓના સારમાં રસ છે, અને કેટલીકવાર હું તેમાંથી "તળિયે જવાનો" પ્રયાસ કરું છું. નિર્ણાયક સાથે પણ તે જ હતું: બહુવિધ રીગ્રેશનનો સામનો કરવો જરૂરી હતો, અને અર્થમિતિશાસ્ત્રના આ વિભાગમાં લગભગ બધું જ... મેટ્રિસીસ દ્વારા કરવામાં આવે છે, તેમને શાપ આપો. તેથી મારે જાતે થોડું સંશોધન કરવું પડ્યું, કારણ કે હું જાણતો ન હતો તે ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંથી કોઈએ પૂછેલા પ્રશ્નનો સ્પષ્ટ જવાબ આપ્યો ન હતો, જે શરૂઆતમાં "નિર્ધારક શું છે" જેવું લાગતું હતું. દરેક વ્યક્તિએ દલીલ કરી હતી કે નિર્ણાયક એ એક સંખ્યા છે જેની ગણતરી વિશિષ્ટ રીતે કરવામાં આવે છે, અને જો તે શૂન્યની બરાબર હોય, તો... સામાન્ય રીતે, રેખીય બીજગણિત પરના કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકની જેમ. આભાર, અમે પાસ થયા.

જો એક વ્યક્તિ કોઈ વિચાર લઈને આવ્યો હોય, તો બીજી વ્યક્તિ તેને સમજવા માટે સક્ષમ હોવી જોઈએ (જો કે કેટલીકવાર તમારે આ કરવા માટે વધારાના જ્ઞાન સાથે સજ્જ કરવું પડે છે). "મહાન અને શક્તિશાળી" શોધ એંજીનને કરેલી અપીલ દર્શાવે છે કે "સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ વેક્ટર્સ દ્વારા રચાયેલા મેટ્રિક્સના નિર્ધારકના મોડ્યુલસ જેટલું છે - સમાંતરગ્રામની બાજુઓ." બોલતા સરળ ભાષામાં, જો મેટ્રિક્સ એ સમીકરણોની સિસ્ટમ લખવાની રીત છે, તો દરેક સમીકરણ વ્યક્તિગત રીતે વેક્ટરનું વર્ણન કરે છે. મૂળ બિંદુથી મેટ્રિક્સમાં ઉલ્લેખિત વેક્ટરનું નિર્માણ કરીને, અમે આમ અવકાશમાં ચોક્કસ આકૃતિને વ્યાખ્યાયિત કરીશું. જો આપણી જગ્યા એક-પરિમાણીય છે, તો આકૃતિ એક સેગમેન્ટ છે; જો તે દ્વિ-પરિમાણીય છે, તો આકૃતિ સમાંતરગ્રામ છે, વગેરે.

તે તારણ આપે છે કે એક-પરિમાણીય જગ્યા માટે નિર્ણાયક એ સેગમેન્ટની લંબાઈ છે, પ્લેન માટે - આકૃતિનો વિસ્તાર, ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ માટે - તેનું વોલ્યુમ... તેઓ આગળ વધે છે. n-પરિમાણીય જગ્યાઓ, જેની આપણે કલ્પના કરી શકતા નથી. જો કોઈ આકૃતિનું વોલ્યુમ (એટલે ​​​​કે 3*3 મેટ્રિક્સ માટે નિર્ણાયક) શૂન્ય બરાબર હોય, તો તેનો અર્થ એ કે આકૃતિ પોતે ત્રિ-પરિમાણીય નથી (તે દ્વિ-પરિમાણીય, એક-પરિમાણીય અથવા તો હોઈ શકે છે. એક બિંદુ). મેટ્રિક્સનો ક્રમ એ જગ્યાનું સાચું (મહત્તમ) પરિમાણ છે જેના માટે નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી.

તેથી, નિર્ણાયક સાથે લગભગ બધું જ સ્પષ્ટ છે: તે સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા વર્ણવેલ વેક્ટર દ્વારા રચાયેલી આકૃતિનો "વોલ્યુમ" નક્કી કરે છે (જોકે તે સ્પષ્ટ નથી કે તેનું મૂલ્ય શા માટે આપણે મૂળ મેટ્રિક્સ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ તેના પર નિર્ભર નથી. અથવા ટ્રાન્સપોઝ્ડ - કદાચ ટ્રાન્સપોઝિશન એક પ્રકાર છે સંલગ્ન રૂપાંતર?). હવે આપણે મેટ્રિસિસ પરની કામગીરીને સમજવાની જરૂર છે...

જો મેટ્રિક્સ એ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે (અન્યથા શા માટે આપણને અમુક સંખ્યાઓના કોષ્ટકની જરૂર પડશે જેનો વાસ્તવિકતા સાથે કોઈ સંબંધ નથી?), તો પછી આપણે તેની સાથે વિવિધ વસ્તુઓ કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે સમાન મેટ્રિક્સની બે પંક્તિઓ ઉમેરી શકીએ છીએ, અથવા એક પંક્તિને સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ (એટલે ​​​​કે, આપણે પંક્તિના દરેક ગુણાંકને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ). જો આપણી પાસે સમાન પરિમાણો સાથે બે મેટ્રિસિસ હોય, તો આપણે તેમને ઉમેરી શકીએ છીએ (મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે આપણે ગેંડા સાથે બુલડોગ ઉમેરતા નથી - પરંતુ શું ગણિતશાસ્ત્રીઓ, જ્યારે મેટ્રિસિસનો સિદ્ધાંત વિકસાવતા હતા, ત્યારે આ દૃશ્ય વિશે વિચાર્યું?). આ સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે, ખાસ કરીને કારણ કે રેખીય બીજગણિતમાં આવી ક્રિયાઓ સમીકરણોની સિસ્ટમો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

જો કે, મેટ્રિક્સ ગુણાકારનો મુદ્દો શું છે? હું કેવી રીતે સમીકરણોની એક સિસ્ટમને બીજા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકું? આ કિસ્સામાં મને જે મળે છે તેનો અર્થ શું છે? મેટ્રિસિસના ગુણાકાર માટે શા માટે વિનિમયાત્મક નિયમ લાગુ પડતો નથી (એટલે ​​​​કે, મેટ્રિસિસ B * A નું ઉત્પાદન A * B ના માત્ર સમાન નથી, પરંતુ હંમેશા શક્ય નથી)? શા માટે, જો આપણે મેટ્રિક્સને કૉલમ વેક્ટર વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને કૉલમ વેક્ટર મળે, અને જો આપણે પંક્તિ વેક્ટરને મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને પંક્તિ વેક્ટર મળે?

ઠીક છે, તે વિકિપીડિયા જેવું નથી, તે સમાન છે આધુનિક પાઠ્યપુસ્તકોરેખીય બીજગણિતમાં કોઈપણ સ્પષ્ટ સમજૂતી આપવા માટે શક્તિહીન છે. "પહેલાં માનો અને પછી સમજો" એ સિદ્ધાંત મુજબ કંઈક અભ્યાસ કરવો એ મારા માટે નથી, તેથી હું સદીઓના ઊંડાણમાં ખોદું છું (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, હું 20મી સદીના પૂર્વાર્ધના પાઠ્યપુસ્તકો વાંચું છું) અને શોધું છું. રસપ્રદ શબ્દસમૂહ…

જો સામાન્ય વેક્ટરનો સંગ્રહ, એટલે કે. લક્ષિત ભૌમિતિક વિભાગો, એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ છે, તો ચોક્કસ સમતલની સમાંતર વેક્ટર ધરાવતી આ જગ્યાનો ભાગ એ દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા છે, અને ચોક્કસ રેખાની સમાંતર તમામ વેક્ટર એક-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા બનાવે છે.

કોઈપણ લેખ તે ક્ષણે સમાપ્ત થાય છે જ્યારે લેખક તેને લખીને થાકી જાય છે. એ t. કારણ કે મેં મારી જાતને વિશાળતાને સ્વીકારવાનું લક્ષ્ય નક્કી કર્યું ન હતું, પરંતુ માત્ર મેટ્રિસિસ પર વર્ણવેલ ક્રિયાઓના સારને સમજવા માંગતો હતો અને હું જે સમીકરણો ઉકેલી રહ્યો હતો તે સમીકરણોની સિસ્ટમો સાથે મેટ્રિસિસ કેવી રીતે સંબંધિત છે તે સમજવા માંગતો હતો, તેથી મેં વધુ ઊંડાણમાં અભ્યાસ કર્યો નથી. રેખીય બીજગણિત, પરંતુ ઇકોનોમેટ્રિક્સ પર પાછા ફર્યા અને બહુવિધ રીગ્રેસન, પરંતુ તે વધુ સભાનપણે કર્યું. હું શું અને શા માટે કરું છું અને શા માટે માત્ર આ રીતે સમજવું અને અન્યથા નહીં. મને આ સામગ્રીમાં જે મળ્યું છે તેનું શીર્ષક "રેખીય બીજગણિતની મૂળભૂત કામગીરીના સાર પર એક પ્રકરણ" તરીકે આપી શકાય છે, જે કેટલાક કારણોસર તેઓ પાઠ્યપુસ્તકોમાં છાપવાનું ભૂલી ગયા હતા. પરંતુ આપણે પાઠ્યપુસ્તકો વાંચતા નથી, શું આપણે? સાચું કહું તો, જ્યારે હું યુનિવર્સિટીમાં હતો, ત્યારે હું ખરેખર ચૂકી ગયો સમજવુમુદ્દાઓ અહીં ઉઠાવ્યા છે, તેથી હું આશા રાખું છું કે આ મુશ્કેલ સામગ્રી શક્ય હોય ત્યાં સુધી રજૂ કરીને સરળ શબ્દોમાં, હું એક સારું કાર્ય કરી રહ્યો છું અને કોઈને વસ્તુઓના તળિયે પહોંચવામાં મદદ કરી રહ્યો છું મેટ્રિક્સ બીજગણિત, મેટ્રિસીસ પરની કામગીરીને “ટેમ્બોરિન સાથેની કમલાની” વિભાગમાંથી વિભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવી વ્યવહારુ સાધનો, સભાનપણે લાગુ કરો."

મિલકત 2.7. વેક્ટર્સની રેખીય રીતે આશ્રિત સિસ્ટમના ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક 0 ની બરાબર છે.

આશ્રિત સિસ્ટમવેક્ટર્સની સિસ્ટમને રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા દો. પછી, કાં તો સિસ્ટમમાં શૂન્ય વેક્ટર હોય છે, અને આ કિસ્સામાં નિવેદન સ્પષ્ટ છે, અથવા ત્યાં એક વેક્ટર છે જે સિસ્ટમના અગાઉના વેક્ટરની દ્રષ્ટિએ રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ગ્રામ મેટ્રિક્સમાં, માંથી બાદબાકી કરો , અને આ કિસ્સામાં નિવેદન સ્પષ્ટ છે, અથવા ત્યાં એક વેક્ટર છે જે સિસ્ટમના અગાઉના વેક્ટર દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ગ્રામ મેટ્રિક્સમાંમી પંક્તિ, ગુણાંક સાથેની અગાઉની પંક્તિઓ. ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક બદલાશે નહીં, પરંતુ , અને આ કિસ્સામાં નિવેદન સ્પષ્ટ છે, અથવા ત્યાં એક વેક્ટર છે જે સિસ્ટમના અગાઉના વેક્ટર દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ગ્રામ મેટ્રિક્સમાંમી પંક્તિ શૂન્ય થઈ જશે. શૂન્ય પંક્તિવાળા મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્ય સમાન છે, અને તેથી ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્ય સમાન છે.

ચાલો વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમના ગ્રામ મેટ્રિક્સના ભૌમિતિક અર્થને ધ્યાનમાં લઈએ. જો વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસ=1, તો વેક્ટર લંબાઈનો વર્ગ છે. જો વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસ>1, પછી અમે વેક્ટરની સિસ્ટમમાં ઓર્થોગોનલાઇઝેશન પ્રક્રિયા લાગુ કરીએ છીએ અને વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ વેક્ટરસિસ્ટમથી સિસ્ટમમાં સંક્રમણનું મેટ્રિક્સ. આ મેટ્રિક્સ ત્રિકોણાકાર આકાર ધરાવે છે, અને તેનો મુખ્ય કર્ણ 1 છે, અને તેનો નિર્ણાયક 1 છે. વધુમાં, અને તેથી, ગ્રામ મેટ્રિક્સના નિર્ધારકો સમાન છે. વેક્ટરની સિસ્ટમ ઓર્થોગોનલ હોવાથી, વેક્ટર્સની આ સિસ્ટમનો ગ્રામ મેટ્રિક્સ વિકર્ણ છે, અને તેનો નિર્ણાયક આ સિસ્ટમના વેક્ટરની લંબાઈના વર્ગોના ઉત્પાદન સમાન છે. આમ, સમાનતા સ્થાપિત થાય છે. કેસ ધ્યાનમાં લો વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસ=2. પછી તે બાજુથી નીચી સમાંતર ચતુષ્કોણની ઊંચાઈની લંબાઈ જેટલી છે (ફિગ. 1 જુઓ). પરિણામે, ઉત્પાદન વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલ સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે, અને ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક આ સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળના ચોરસ જેટલો છે. જો વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસ=3, તો વેક્ટર એ વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલા પ્લેન માટે વેક્ટરનો ઓર્થોગોનલ ઘટક છે. પરિણામે, ત્રણ વેક્ટરના ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલ સમાંતર પાઇપના વોલ્યુમના ચોરસ સમાન છે. કારણ કે તમામ તર્કને મનસ્વી પરિમાણમાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે, તેથી મિલકત ત્યાં સ્થાપિત થાય છે.

પ્રોપર્ટી 2.8 વેક્ટરની સિસ્ટમના ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક 0 ની બરાબર છે જો સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત હોય અને વોલ્યુમના ચોરસ હોય વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમમાંથી ગ્રામ મેટ્રિસિસ-વેક્ટર્સ દ્વારા અલગ રીતે ફેલાયેલ પરિમાણીય સમાંતર.

ચાલો હવે હદમર્દની અસમાનતા બતાવીએ.

પ્રમેય 2.4.

આશ્રિત સિસ્ટમજો વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત હોય, તો અસમાનતા સ્પષ્ટ છે. વેક્ટરની આ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર રહેવા દો. ચાલો તેના પર ઓર્થોગોનલાઇઝેશન પ્રક્રિયા લાગુ કરીએ અને વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ બનાવીએ. વેક્ટર એ વેક્ટરના રેખીય હલ પરના વેક્ટરનો ઓર્થોગોનલ ઘટક છે, અને તેથી, બેસેલની અસમાનતા દ્વારા (પ્રમેય 2.2). આગળ, આ તે છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

જો વેક્ટરની મૂળ સિસ્ટમ ઓર્થોગોનલ હોય તો જ હડમર્ડની અસમાનતા સમાનતામાં ફેરવાય છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, અસમાનતા કડક છે.

કોરોલરી 2.5 અસમાનતાઓ માન્ય છે અને .

આશ્રિત સિસ્ટમ IN n-પરિમાણીય અંકગણિત જગ્યા આપણે સૂત્ર દ્વારા સ્કેલર ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ . મેટ્રિક્સના સ્તંભો દ્વારા રચાયેલી વેક્ટરની સિસ્ટમનો વિચાર કરો એ.વેક્ટરની આ સિસ્ટમનું ગ્રામ મેટ્રિક્સ સમાન છે અને હડમર્ડની અસમાનતા દ્વારા . કારણ કે , પછી અસમાનતા સ્થાપિત. ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સ પર પરિણામી અસમાનતા લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ .