ફંક્શન x 2 નું વ્યુત્પન્ન શોધો 3. સરવાળો અને તફાવતનું વ્યુત્પન્ન

વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરીને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.

વ્યુત્પન્નને દલીલની વૃદ્ધિ અને વૃદ્ધિના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સૌથી સરળ (અને ખૂબ જ સરળ નહીં) કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની સમસ્યાઓને ઉકેલવાના પરિણામે, ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક દેખાયું અને બરાબર ચોક્કસ નિયમોતફાવત ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાના ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા સૌપ્રથમ આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) અને ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનિઝ (1646-1716) હતા.

તેથી, અમારા સમયમાં, કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની ઉપર જણાવેલ મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમારે ફક્ત કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતાના નિયમો. વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે નીચેનો અલ્ગોરિધમ યોગ્ય છે.

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિની જરૂર છે સરળ કાર્યોને ઘટકોમાં વિભાજીત કરોઅને કઈ ક્રિયાઓ નક્કી કરો (ઉત્પાદન, સરવાળો, ભાગ)આ કાર્યો સંબંધિત છે. આગળ, આપણે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ, અને ઉત્પાદનના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સૂત્રો, સરવાળો અને ભાગ - તફાવતના નિયમોમાં. પ્રથમ બે ઉદાહરણો પછી વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક અને ભિન્નતાના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. ભિન્નતાના નિયમો પરથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન એ કાર્યોના વ્યુત્પન્નનો સરવાળો છે, એટલે કે.

ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે "X" નું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે, અને સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન બરાબર છે. અમે આ મૂલ્યોને ડેરિવેટિવ્સના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા આવશ્યક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

ઉદાહરણ 2.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. અમે રકમના વ્યુત્પન્ન તરીકે તફાવત કરીએ છીએ જેમાં બીજા શબ્દમાં સ્થિર પરિબળ હોય છે તે વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

જો કંઈક ક્યાંથી આવે છે તે અંગે હજુ પણ પ્રશ્નો ઉદ્ભવતા હોય, તો તે સામાન્ય રીતે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક અને ભેદભાવના સરળ નિયમો સાથે પરિચિત થયા પછી સાફ થઈ જાય છે. અમે હમણાં તેમની તરફ આગળ વધી રહ્યા છીએ.

સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

1. અચળ (સંખ્યા)નું વ્યુત્પન્ન. કોઈપણ સંખ્યા (1, 2, 5, 200...) જે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં છે. હંમેશા શૂન્ય સમાન. આ યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે ઘણી વાર જરૂરી છે
2. સ્વતંત્ર ચલનું વ્યુત્પન્ન. મોટેભાગે "X". હંમેશા એક સમાન. આને લાંબા સમય સુધી યાદ રાખવું પણ જરૂરી છે
3. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે બિન-ચોરસ મૂળને શક્તિઓમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.
4. પાવર -1 માટે ચલનું વ્યુત્પન્ન
5. વ્યુત્પન્ન વર્ગમૂળ
6. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન
7. કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન
8. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન
9. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
10. આર્ક્સીનનું વ્યુત્પન્ન
11. આર્કોસીનનું વ્યુત્પન્ન
12. આર્કટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
13. આર્ક કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
14. કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન
15. લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
16. ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન
17. ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

ભિન્નતાના નિયમો

1. રકમ અથવા તફાવતનું વ્યુત્પન્ન
2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન
2a. અચલ અવયવ વડે ગુણાકાર કરેલ અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન
3. ભાગનું વ્યુત્પન્ન
4. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

નિયમ 1.જો કાર્યો

અમુક બિંદુએ ભિન્નતાપાત્ર હોય છે, તો પછી કાર્યો એક જ બિંદુએ વિભેદક હોય છે

અને

તે વિધેયોના બીજગણિત સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન સમાન છે બીજગણિત રકમઆ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ.

પરિણામ. જો બે વિભેદક કાર્યો એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે, તો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન છે, એટલે કે

નિયમ 2.જો કાર્યો

અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન તે જ બિંદુએ અલગ કરી શકાય છે

અને

તે બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અન્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

કોરોલરી 1. સતત પરિબળ વ્યુત્પન્નની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

કોરોલરી 2. વિવિધ વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન દરેક પરિબળ અને અન્ય તમામના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ ગુણક માટે:

નિયમ 3.જો કાર્યો

અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે અને , પછી આ બિંદુએ તેમનો ભાગ પણ અલગ છેu/v , અને

તે બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન અને છેદના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે, અને છેદ એ છેદનો વર્ગ છે ભૂતપૂર્વ અંશ

અન્ય પૃષ્ઠો પર વસ્તુઓ ક્યાં શોધવી

જ્યારે ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને તેમાંનો ભાગ શોધો વાસ્તવિક સમસ્યાઓતેથી, એકસાથે ઘણા ભિન્નતા નિયમો લાગુ કરવા હંમેશા જરૂરી છે વધુ ઉદાહરણોઆ ડેરિવેટિવ્ઝ માટે - લેખમાં"ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્યોનો ભાગ".

ટિપ્પણી.તમારે સતત (એટલે કે સંખ્યા) ને સરવાળામાં શબ્દ તરીકે અને સતત પરિબળ તરીકે મૂંઝવવું જોઈએ નહીં! શબ્દના કિસ્સામાં, તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, અને કિસ્સામાં સતત પરિબળતે વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. આ લાક્ષણિક ભૂલ, જે પર થાય છે પ્રારંભિક તબક્કોડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરે છે, પરંતુ જેમ જેમ તેઓ ઘણા એક- અને બે-ભાગના ઉદાહરણો ઉકેલે છે, સરેરાશ વિદ્યાર્થી હવે આ ભૂલ કરતો નથી.

અને જો, ઉત્પાદન અથવા ભાગને અલગ કરતી વખતે, તમારી પાસે એક શબ્દ છે u"વિ, જેમાં u- એક સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 2 અથવા 5, એટલે કે, એક સ્થિર, પછી આ સંખ્યાનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હશે અને, તેથી, સમગ્ર શબ્દ શૂન્ય સમાન હશે (આ કેસ ઉદાહરણ 10 માં ચર્ચા કરવામાં આવ્યો છે).

અન્ય સામાન્ય ભૂલ - યાંત્રિક ઉકેલસરળ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. તેથી જ જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્નએક અલગ લેખ સમર્પિત છે. પરંતુ પહેલા આપણે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખીશું સરળ કાર્યો.

રસ્તામાં, તમે અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કર્યા વિના કરી શકતા નથી. આ કરવા માટે, તમારે નવી વિંડોઝમાં મેન્યુઅલ ખોલવાની જરૂર પડી શકે છે. શક્તિઓ અને મૂળ સાથેની ક્રિયાઓઅને અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી .

જો તમે અપૂર્ણાંકના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના ઉકેલો શોધી રહ્યા હોવ તો પાવર અને મૂળ સાથે, એટલે કે જ્યારે ફંક્શન આના જેવું દેખાય છે , પછી "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" પાઠ અનુસરો.

જો તમારી પાસે કોઈ કાર્ય છે જેમ કે , પછી તમે "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" પાઠ લેશો.

સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉદાહરણો - ડેરિવેટિવ કેવી રીતે શોધવું

ઉદાહરણ 3.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. અમે કાર્ય અભિવ્યક્તિના ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: સમગ્ર અભિવ્યક્તિ ઉત્પાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તેના પરિબળો સરવાળો છે, જેમાંથી બીજામાંના એકમાં એક સ્થિર પરિબળ છે. અમે ઉત્પાદન ભિન્નતાનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન બીજાના વ્યુત્પન્ન દ્વારા આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે:

આગળ, અમે સરવાળાના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝના બીજગણિત સરવાળા જેટલું છે. અમારા કિસ્સામાં, દરેક રકમમાં બીજા શબ્દમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય છે. દરેક રકમમાં આપણે સ્વતંત્ર ચલ બંને જોઈએ છીએ, જેનું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે અને એક સ્થિર (સંખ્યા), જેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, "X" એકમાં ફેરવાય છે, અને માઈનસ 5 શૂન્યમાં ફેરવાય છે. બીજા અભિવ્યક્તિમાં, "x" ને 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે "x" ના વ્યુત્પન્ન તરીકે સમાન એકમ દ્વારા બેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમને મળે છે નીચેના મૂલ્યોડેરિવેટિવ્ઝ:

અમે મળેલા ડેરિવેટિવ્સને ઉત્પાદનોના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી સમગ્ર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આપણે અવશેષનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે. અમે અવશેષને અલગ પાડવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન એ અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે. છેદ, અને છેદ એ ભૂતપૂર્વ અંશનો વર્ગ છે. અમને મળે છે:

આપણે ઉદાહરણ 2 માં અંશમાં પરિબળનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે. ચાલો આપણે એ પણ ન ભૂલીએ કે ઉત્પાદન, જે વર્તમાન ઉદાહરણમાં અંશમાં બીજું પરિબળ છે, તેને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવ્યું છે:

જો તમે સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધી રહ્યા છો જેમાં તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, જ્યાં મૂળ અને શક્તિઓનો સતત ઢગલો હોય, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, , પછી વર્ગમાં આપનું સ્વાગત છે "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" .

જો તમારે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને અન્યના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વધુ જાણવાની જરૂર હોય તો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, એટલે કે, જ્યારે ફંક્શન જેવું દેખાય છે , પછી તમારા માટે એક પાઠ "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" .

ઉદાહરણ 5.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે ઉત્પાદન જોઈએ છીએ, જેમાંથી એક પરિબળ એ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે, જેનું વ્યુત્પન્ન આપણે આપણી જાતને ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં ઓળખીએ છીએ. ઉત્પાદનના તફાવતના નિયમ અનુસાર અને કોષ્ટક મૂલ્યવર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન આપણને મળે છે:

ઉદાહરણ 6.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે એક ભાગ જોઈએ છીએ જેનું ડિવિડન્ડ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે. અવશેષોને અલગ પાડવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે આપણે ઉદાહરણ 4 માં પુનરાવર્તિત અને લાગુ કર્યું છે, અને વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નનું ટેબ્યુલર મૂલ્ય, આપણે મેળવીએ છીએ.

વ્યાખ્યા.ફંક્શન $y = f(x)$ ને તેની અંદર બિંદુ $x_0$ ધરાવતા ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ચાલો દલીલને એક ઇન્ક્રીમેન્ટ $\Delta x $ આપીએ જેથી તે આ અંતરાલ છોડે નહીં. ચાલો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો શોધીએ $\Delta y $ (જ્યારે બિંદુ $x_0 $ થી બિંદુ $x_0 + \Delta x $) પર જઈએ અને સંબંધ $\frac(\Delta) કંપોઝ કરીએ y)(\Delta x) $. જો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા $\Delta x \rightarrow 0$ હોય, તો ઉલ્લેખિત મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન$y=f(x) $ બિંદુ પર $x_0 $ અને સૂચવો $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

સંજ્ઞા y નો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યુત્પન્નને દર્શાવવા માટે થાય છે નોંધ કરો કે y" = f(x) એ એક નવું કાર્ય છે, પરંતુ કુદરતી રીતે કાર્ય y = f(x) સાથે સંબંધિત છે, જે ઉપરની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે તે તમામ બિંદુઓ x પર વ્યાખ્યાયિત છે. આ કાર્યને આના જેવું કહેવામાં આવે છે: કાર્ય y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન.

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થનીચે મુજબ છે. જો એબ્સીસા x=a સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, જે y-અક્ષની સમાંતર નથી, તો f(a) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે :
$k = f"(a)$

ત્યારથી $k = tg(a) $, તો પછી સમાનતા $f"(a) = tan(a) $ સાચી છે.

હવે ચાલો અંદાજિત સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનું અર્થઘટન કરીએ. ફંક્શન $y = f(x)$ ને વ્યુત્પન્ન ઇન થવા દો ચોક્કસ બિંદુ$x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x ની નજીક અંદાજિત સમાનતા $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, એટલે કે $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ડેલ્ટા x$. પરિણામી અંદાજિત સમાનતાનો અર્થપૂર્ણ અર્થ નીચે મુજબ છે: ફંક્શનનો વધારો એ દલીલના વધારા માટે "લગભગ પ્રમાણસર" છે, અને પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક એ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે આપેલ બિંદુએક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન $y = x^2$ માટે અંદાજિત સમાનતા $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ માન્ય છે. જો આપણે ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે શોધીશું કે તેમાં તેને શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે.

ચાલો તેને ઘડીએ.

ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?

1. $x$ ની કિંમત ઠીક કરો, $f(x)$ શોધો
2. દલીલ $x$ વધારો આપો $\Delta x$, પર જાઓ નવો મુદ્દો$x+ \Delta x $, શોધો $f(x+ \Delta x) $
3. ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધો: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. સંબંધ બનાવો $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. ગણતરી કરો $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
આ મર્યાદા બિંદુ x પરના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.

જો ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે બિંદુ x પર વિભેદક કહેવાય છે. ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે તફાવતકાર્યો y = f(x).

ચાલો નીચેના પ્રશ્નની ચર્ચા કરીએ: એકબીજા સાથે સંબંધિત બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય અને ભિન્નતા કેવી રીતે છે?

બિંદુ x પર ફંક્શન y = f(x) ને અલગ કરવા દો. પછી બિંદુ M(x; f(x)) પરના કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરી શકાય છે, અને યાદ કરો, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(x) ની બરાબર છે. આવો આલેખ "તોડી" શકતો નથી. બિંદુ M પર, એટલે કે કાર્ય બિંદુ x પર સતત હોવું જોઈએ.

આ "હેન્ડ-ઓન" દલીલો હતી. ચાલો વધુ સખત તર્ક આપીએ. જો x બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ભિન્ન હોય, તો અંદાજિત સમાનતા $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ ધરાવે છે. જો આ સમાનતામાં $\Delta x) $ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી $\Delta y $ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ છે.

તેથી, જો કોઈ ફંક્શન x બિંદુ પર વિભેદક હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત છે.

વિપરીત નિવેદન સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે: ફંક્શન y = |x| દરેક જગ્યાએ સતત છે, ખાસ કરીને બિંદુ x = 0 પર, પરંતુ "જંકશન બિંદુ" (0; 0) પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી. જો કોઈ બિંદુએ સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરી શકાતું નથી, તો તે બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

બીજું ઉદાહરણ. ફંક્શન $y=\sqrt(x)$ બિંદુ x = 0 સહિત સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે, બિંદુ x = 0 સહિત પરંતુ આ બિંદુએ સ્પર્શક y-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ છે, તેનું સમીકરણ x = 0 છે. ઢોળાવ ગુણાંકઆવી લાઇન પાસે નથી, જેનો અર્થ છે કે $f"(0) $ પણ અસ્તિત્વમાં નથી

તેથી, અમે ફંક્શનની નવી મિલકતથી પરિચિત થયા - ભિન્નતા. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી કોઈ કેવી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે તે અલગ છે?

જવાબ ખરેખર ઉપર આપેલ છે. જો કોઈ બિંદુએ એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ ન હોય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે. જો કોઈ સમયે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન ભિન્નતાપાત્ર નથી.

ભિન્નતાના નિયમો

વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત. આ ઑપરેશન કરતી વખતે, તમારે ઘણીવાર ભાગ, સરવાળો, ફંક્શન્સના ઉત્પાદનો, તેમજ "ફંક્શન્સ ઑફ ફંક્શન્સ" એટલે કે જટિલ ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવું પડે છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે ભેદભાવના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ જે આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો સી - સતત સંખ્યાઅને f=f(x), g=g(x) કેટલાક વિભેદક કાર્યો છે, પછી નીચેના સાચા છે તફાવત નિયમો:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

કેટલાક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

જો તમે વ્યાખ્યાને અનુસરો છો, તો એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે Δ yદલીલ વધારો Δ માટે x:

બધું સ્પષ્ટ જણાય છે. પરંતુ કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરો f(x) = x 2 + (2x+ 3) · ઇ xપાપ x. જો તમે વ્યાખ્યા દ્વારા બધું કરો છો, તો ગણતરીના થોડા પૃષ્ઠો પછી તમે ખાલી ઊંઘી જશો. તેથી, ત્યાં સરળ અને વધુ અસરકારક રીતો છે.

શરૂ કરવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે ફંક્શન્સની સમગ્ર વિવિધતામાંથી આપણે કહેવાતા પ્રાથમિક કાર્યોને અલગ પાડી શકીએ છીએ. તે સાપેક્ષ છે સરળ અભિવ્યક્તિઓ, જેના ડેરિવેટિવ્ઝની લાંબા સમયથી ગણતરી કરવામાં આવી છે અને કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ છે. આવા કાર્યો યાદ રાખવા માટે એકદમ સરળ છે - તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે.

પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન

પ્રાથમિક કાર્યો નીચે સૂચિબદ્ધ છે. આ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ હૃદયથી જાણતા હોવા જોઈએ. તદુપરાંત, તેમને યાદ રાખવું બિલકુલ મુશ્કેલ નથી - તેથી જ તેઓ પ્રાથમિક છે.

તેથી, પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ:

નામ	કાર્ય	વ્યુત્પન્ન
સતત	f(x) = સી, સી ∈ આર	0 (હા, શૂન્ય!)
તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ	f(x) = x n	n · x n − 1
સાઇનસ	f(x) = પાપ x	cos x
કોસાઇન	f(x) = cos x	-પાપ x(માઈનસ સાઈન)
સ્પર્શક	f(x) = ટીજી x	1/cos 2 x
કોટેન્જેન્ટ	f(x) = સીટીજી x	- 1/પાપ 2 x
કુદરતી લઘુગણક	f(x) = લોગ x	1/x
મનસ્વી લઘુગણક	f(x) = લોગ a x	1/(x ln a)
ઘાતાંકીય કાર્ય	f(x) = ઇ x	ઇ x(કંઈ બદલાયું નથી)

જો પ્રાથમિક કાર્યને મનસ્વી સ્થિરાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તો નવા કાર્યના વ્યુત્પન્નની પણ સરળતાથી ગણતરી કરવામાં આવે છે:

(સી · f)’ = સી · f ’.

સામાન્ય રીતે, સ્થિરાંકોને વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

દેખીતી રીતે, પ્રારંભિક કાર્યો એકબીજામાં ઉમેરી શકાય છે, ગુણાકાર, વિભાજિત - અને ઘણું બધું. આ રીતે નવા ફંક્શન્સ દેખાશે, હવે ખાસ કરીને પ્રાથમિક નહીં, પણ અમુક નિયમો અનુસાર અલગ પણ. આ નિયમોની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

સરવાળો અને તફાવતનું વ્યુત્પન્ન

કાર્યો આપવા દો f(x) અને g(x), જેના ડેરિવેટિવ્ઝ અમને જાણીતા છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે ઉપર ચર્ચા કરેલ પ્રાથમિક કાર્યો લઈ શકો છો. પછી તમે આ કાર્યોના સરવાળા અને તફાવતનું વ્યુત્પન્ન શોધી શકો છો:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

તેથી, બે કાર્યોના સરવાળા (તફાવત) નું વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્નના સરવાળા (તફાવત) જેટલું છે. ત્યાં વધુ શરતો હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, બીજગણિતમાં "બાદબાકી" નો કોઈ ખ્યાલ નથી. "નકારાત્મક તત્વ" નો ખ્યાલ છે. તેથી તફાવત f − gરકમ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે f+ (−1) g, અને પછી માત્ર એક જ સૂત્ર રહે છે - રકમનું વ્યુત્પન્ન.

f(x) = x 2 + પાપ x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

કાર્ય f(x) એ બે પ્રાથમિક કાર્યોનો સરવાળો છે, તેથી:

f ’(x) = (x 2 + પાપ x)’ = (x 2)' + (પાપ x)’ = 2x+ cos x;

અમે કાર્ય માટે સમાન રીતે કારણ આપીએ છીએ g(x). ફક્ત ત્યાં પહેલેથી જ ત્રણ શબ્દો છે (બીજગણિતના દૃષ્ટિકોણથી):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

જવાબ:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન

ગણિત એક તાર્કિક વિજ્ઞાન છે, તેથી ઘણા લોકો માને છે કે જો સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્નના સરવાળા જેટલું હોય, તો પછી ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન હડતાલ">ડેરિવેટિવ્ઝના ઉત્પાદનની સમાન. પરંતુ તમને સ્ક્રૂ કરો! ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી સંપૂર્ણપણે અલગ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. જેમ કે:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

સૂત્ર સરળ છે, પરંતુ તે ઘણીવાર ભૂલી જાય છે. અને માત્ર શાળાના બાળકો જ નહીં, વિદ્યાર્થીઓ પણ. પરિણામ ખોટી રીતે ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ છે.

કાર્ય. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · ઇ x .

કાર્ય f(x) એ બે પ્રાથમિક કાર્યોનું ઉત્પાદન છે, તેથી બધું સરળ છે:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) કોસ x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- પાપ x) = x 2 (3cos x − xપાપ x)

કાર્ય g(x) પ્રથમ પરિબળ થોડું વધુ જટિલ છે, પરંતુ સામાન્ય યોજનાઆ બદલાતું નથી. દેખીતી રીતે, કાર્યનું પ્રથમ પરિબળ g(x) એ બહુપદી છે અને તેનું વ્યુત્પન્ન સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન છે. અમારી પાસે છે:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ઇ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · ઇ x + (x 2 + 7x− 7) ( ઇ x)’ = (2x+ 7) · ઇ x + (x 2 + 7x− 7) · ઇ x = ઇ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ઇ x = x(x+ 9) · ઇ x .

જવાબ:
f ’(x) = x 2 (3cos x − xપાપ x);
g ’(x) = x(x+ 9) · ઇ x .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે છેલ્લા પગલામાં વ્યુત્પન્નનું પરિબળ છે. ઔપચારિક રીતે, આ કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ મોટાભાગના ડેરિવેટિવ્સની ગણતરી તેમના પોતાના પર કરવામાં આવતી નથી, પરંતુ કાર્યની તપાસ કરવા માટે. આનો અર્થ એ છે કે આગળ વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સમાન કરવામાં આવશે, તેના ચિહ્નો નક્કી કરવામાં આવશે, વગેરે. આવા કેસ માટે, અભિવ્યક્તિનું પરિબળ બનાવવું વધુ સારું છે.

જો ત્યાં બે કાર્યો છે f(x) અને g(x), અને g(x) ≠ 0 સેટ પર અમને રસ છે, અમે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ નવી સુવિધા h(x) = f(x)/g(x). આવા કાર્ય માટે તમે વ્યુત્પન્ન પણ શોધી શકો છો:

નબળા નથી, હહ? માઈનસ ક્યાંથી આવ્યો? શા માટે g 2? અને તેથી! આ સૌથી વધુ એક છે જટિલ સૂત્રો- તમે તેને બોટલ વિના સમજી શકતા નથી. તેથી, તેના પર અભ્યાસ કરવો વધુ સારું છે ચોક્કસ ઉદાહરણો.

કાર્ય. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:

દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં પ્રાથમિક કાર્યો હોય છે, તેથી આપણને માત્ર ભાગના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની જરૂર છે:

પરંપરા મુજબ, ચાલો અંશનું પરિબળ બનાવીએ - આ જવાબને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે:

જટિલ કાર્ય એ અડધા-કિલોમીટર-લાંબા સૂત્રની આવશ્યકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન લેવા માટે તે પૂરતું છે f(x) = પાપ xઅને ચલ બદલો x, કહો, ચાલુ x 2 + ln x. તે કામ કરશે f(x) = પાપ ( x 2 + ln x) - આ તે છે જટિલ કાર્ય. તેનું વ્યુત્પન્ન પણ છે, પરંતુ ઉપર ચર્ચા કરેલ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તેને શોધવાનું શક્ય બનશે નહીં.

મારે શું કરવું જોઈએ? આવા કિસ્સાઓમાં, જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે ચલ અને સૂત્રને બદલવાથી મદદ મળે છે:

f ’(x) = f ’(t) · t', જો xદ્વારા બદલવામાં આવે છે t(x).

એક નિયમ તરીકે, આ સૂત્રને સમજવાની પરિસ્થિતિ ભાગના વ્યુત્પન્ન કરતાં પણ વધુ ઉદાસી છે. તેથી, તે ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે, સાથે સમજાવવું પણ વધુ સારું છે વિગતવાર વર્ણનદરેક પગલું.

કાર્ય. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો: f(x) = ઇ 2x + 3 ; g(x) = પાપ ( x 2 + ln x)

નોંધ કરો કે જો કાર્યમાં છે f(x) અભિવ્યક્તિ 2 ને બદલે x+ 3 સરળ હશે x, પછી તે કામ કરશે પ્રાથમિક કાર્ય f(x) = ઇ x. તેથી, અમે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ: ચાલો 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = ઇ t. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (ઇ t)’ · t ’ = ઇ t · t ’

અને હવે - ધ્યાન! અમે રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ: t = 2x+ 3. અમને મળે છે:

f ’(x) = ઇ t · t ’ = ઇ 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ઇ 2x+ 3 2 = 2 ઇ 2x + 3

હવે ચાલો ફંક્શન જોઈએ g(x). દેખીતી રીતે તેને બદલવાની જરૂર છે x 2 + ln x = t. અમારી પાસે છે:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (પાપ t)’ · t’ = cos t · t ’

રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ: t = x 2 + ln x. પછી:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

બસ! જેમ કે છેલ્લા અભિવ્યક્તિમાંથી જોઈ શકાય છે, સમગ્ર સમસ્યા વ્યુત્પન્ન રકમની ગણતરીમાં ઘટાડી દેવામાં આવી છે.

જવાબ:
f ’(x) = 2 · ઇ 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) કોસ ( x 2 + ln x).

ઘણી વાર મારા પાઠોમાં, "વ્યુત્પન્ન" શબ્દને બદલે હું "પ્રાઈમ" શબ્દનો ઉપયોગ કરું છું. ઉદાહરણ તરીકે, રકમમાંથી મુખ્ય સરવાળો સમાનસ્ટ્રોક તે સ્પષ્ટ છે? સારું, તે સારું છે.

આમ, વ્યુત્પન્નની ગણતરી ઉપર ચર્ચા કરેલા નિયમો અનુસાર આ જ સ્ટ્રોકથી છુટકારો મેળવવા માટે નીચે આવે છે. તરીકે છેલ્લું ઉદાહરણચાલો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે વ્યુત્પન્ન શક્તિ પર પાછા આવીએ:

(x n)’ = n · x n − 1

તે રોલમાં બહુ ઓછા લોકો જાણે છે nસારી કામગીરી કરી શકે છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, મૂળ છે x 0.5. જો મૂળની નીચે કંઈક ફેન્સી હોય તો? ફરીથી, પરિણામ એક જટિલ કાર્ય હશે - તેઓ આવા બાંધકામો આપવાનું પસંદ કરે છે પરીક્ષણોઅને પરીક્ષાઓ.