કેટલાક પ્રાથમિક કાર્યોનો આલેખ. કાર્યોના મૂળભૂત ગુણધર્મો

વિભાગમાં મુખ્ય પ્રાથમિક કાર્યો અને તેમના ગુણધર્મો પર સંદર્ભ સામગ્રી છે. વર્ગીકરણ આપવામાં આવેલ છે પ્રાથમિક કાર્યો. નીચે પેટાવિભાગોની લિંક્સ છે જે ચોક્કસ કાર્યોના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરે છે - આલેખ, સૂત્રો, ડેરિવેટિવ્ઝ, એન્ટિડેરિવેટિવ્સ (ઇન્ટિગ્રલ), શ્રેણી વિસ્તરણ, જટિલ ચલો દ્વારા અભિવ્યક્તિઓ.

મૂળભૂત કાર્યો માટે સંદર્ભ પૃષ્ઠો

પ્રાથમિક કાર્યોનું વર્ગીકરણ

બીજગણિત કાર્યએક કાર્ય છે જે સમીકરણને સંતોષે છે:
,
જ્યાં આશ્રિત ચલ y અને સ્વતંત્ર ચલ x માં બહુપદી છે.
,
તે આ રીતે લખી શકાય છે:

બહુપદી ક્યાં છે.

બીજગણિત કાર્યોને બહુપદી (સંપૂર્ણ તર્કસંગત કાર્યો), તર્કસંગત કાર્યો અને અતાર્કિક કાર્યોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.સમગ્ર તર્કસંગત કાર્ય , જેને પણ કહેવામાં આવે છેબહુપદી અથવાબહુપદી , ચલ x અને માંથી મેળવવામાં આવે છેમર્યાદિત સંખ્યા નંબરોનો ઉપયોગ કરીનેઅંકગણિત કામગીરી
.

સરવાળો (બાદબાકી) અને ગુણાકાર. કૌંસ ખોલ્યા પછી, બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે: અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય , અથવા માત્રતર્કસંગત કાર્ય
,
, સરવાળા (બાદબાકી), ગુણાકાર અને ભાગાકારની અંકગણિત ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને ચલ x અને સંખ્યાઓની મર્યાદિત સંખ્યામાંથી મેળવવામાં આવે છે. તર્કસંગત કાર્યને ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે

જ્યાં અને બહુપદી છે.અતાર્કિક કાર્ય બીજગણિતીય કાર્ય છે જે તર્કસંગત નથી. એક નિયમ તરીકે, IR હેઠળતર્કસંગત કાર્ય
.
તર્કસંગત કાર્યો સાથે મૂળ અને તેમની રચનાઓને સમજો. ડિગ્રી n ના મૂળને સમીકરણના ઉકેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે
.

તે નીચે મુજબ નિયુક્ત થયેલ છે:ગુણાતીત કાર્યો

બિન-બીજગણિત કાર્યો કહેવાય છે. આ ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતિ, હાયપરબોલિક અને તેમના વ્યસ્ત કાર્યો છે.

મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોની ઝાંખી
તમામ પ્રાથમિક કાર્યોને ફોર્મની અભિવ્યક્તિ પર કરવામાં આવતી વધારા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની મર્યાદિત સંખ્યા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:
z t .

લોગરીધમના સંદર્ભમાં વ્યસ્ત કાર્યોને પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો નીચે સૂચિબદ્ધ છે.
પાવર કાર્ય:
y(x) = x p ,
જ્યાં p ઘાત છે. તે ડિગ્રી x ના આધાર પર આધાર રાખે છે. પર પાછાપાવર કાર્ય
.
ઘાતાંક p ના પૂર્ણાંક બિન-ઋણાત્મક મૂલ્ય માટે, તે બહુપદી છે. પૂર્ણાંક મૂલ્ય p માટે - એક તર્કસંગત કાર્ય. મુ તર્કસંગત અર્થ - અતાર્કિક કાર્ય.

ગુણાતીત કાર્યો

ઘાતાંકીય કાર્ય:
y(x) = a x ,
જ્યાં a એ ડિગ્રીનો આધાર છે. તે ઘાત x પર આધાર રાખે છે.
વ્યસ્ત કાર્ય એ બેઝ a માટે લઘુગણક છે:
x = લોગ a y.

ઘાત, x ઘાત માટે e:
y(x) = e x ,
આ એક ઘાતાંકીય ફંક્શન છે જેની વ્યુત્પન્નતા ફંક્શનની બરાબર છે:
.
ઘાતાંકનો આધાર સંખ્યા e છે:
≈ 2,718281828459045... .
વ્યસ્ત કાર્ય - કુદરતી લઘુગણક - લઘુગણક થી આધાર e:
x = ln y ≡ લોગ e y.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો:
સાઈન: ;
કોસાઇન: ;
સ્પર્શક: ;
કોટેન્જેન્ટ: ;
અહીં હું - કાલ્પનિક એકમ, i 2 = -1 .

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો:
આર્ક્સીન: x = આર્ક્સીન વાય, ;
આર્ક કોસાઇન: x = આર્કોસ વાય, ;
આર્કટેંજન્ટ: x = આર્ક્ટન વાય, ;
ચાપ સ્પર્શક: x = arcctg y, .

1) કાર્ય ડોમેન અને કાર્ય શ્રેણી.

ફંક્શનનું ડોમેન એ તમામ માન્યનો સમૂહ છે વાસ્તવિક મૂલ્યોદલીલ x(ચલ x), જેના માટે કાર્ય y = f(x)નિર્ધારિત ફંક્શનની શ્રેણી એ તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ છે y, જે કાર્ય સ્વીકારે છે.

IN પ્રાથમિક ગણિતવિધેયોનો અભ્યાસ માત્ર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર જ થાય છે.

2) કાર્ય શૂન્ય.

કાર્ય શૂન્ય છે દલીલ મૂલ્ય, જેના પર ફંક્શનની કિંમત શૂન્યની બરાબર છે.

3) ફંક્શનના સતત સંકેતના અંતરાલ.

ફંક્શનના સતત ચિહ્નના અંતરાલ એ દલીલ મૂલ્યોના સેટ છે જેના પર ફંક્શન મૂલ્યો માત્ર હકારાત્મક અથવા માત્ર નકારાત્મક હોય છે.

4) કાર્યની એકવિધતા.

વધતું કાર્ય (ચોક્કસ અંતરાલમાં) એક કાર્ય છે જેના માટે ઉચ્ચ મૂલ્યઆ અંતરાલની દલીલ ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

ઘટતું કાર્ય (ચોક્કસ અંતરાલમાં) એ એક કાર્ય છે જેના માટે આ અંતરાલમાંથી દલીલનું મોટું મૂલ્ય અનુરૂપ છે ઓછી કિંમતકાર્યો

5) સમ (વિષમ) કાર્ય.

સમ ફંક્શન એ એક ફંક્શન છે જેની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મૂળના સંદર્ભમાં અને કોઈપણ માટે સપ્રમાણ છે એક્સવ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી સમાનતા f(-x) = f(x).

સમ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણ છે. એક્સએક વિષમ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર મૂળના સંદર્ભમાં અને કોઈપણ માટે સપ્રમાણ છે વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી સમાનતા સાચી છે f(-x) = - f(x

)..

ફંક્શનને બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં આવી હોય હકારાત્મક સંખ્યા M એવું કે |f(x)| x ના તમામ મૂલ્યો માટે ≤ M. જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં નથી, તો કાર્ય અમર્યાદિત છે.

7) કાર્યની સામયિકતા.

ફંક્શન f(x) સામયિક હોય છે જો ત્યાં બિન-શૂન્ય સંખ્યા T હોય કે જે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી કોઈપણ x માટે નીચે આપેલ ધરાવે છે: f(x+T) = f(x). આ સૌથી નાની સંખ્યાને કાર્યનો સમયગાળો કહેવામાં આવે છે. બધા ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સામયિક છે. (ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો).

19. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ. અર્થશાસ્ત્રમાં કાર્યોનો ઉપયોગ.

મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો. તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

1. રેખીય કાર્ય.

રેખીય કાર્ય ફોર્મનું ફંક્શન કહેવાય છે, જ્યાં x એ ચલ છે, a અને b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

નંબર એકહેવાય છે ઢાળસીધો, તે સ્પર્શક સમાન x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા તરફ આ સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ. સમયપત્રક રેખીય કાર્યએક સીધી રેખા છે. તે બે બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

રેખીય કાર્યના ગુણધર્મો

1. વ્યાખ્યાનું ડોમેન - બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ: D(y)=R

2. મૂલ્યોનો સમૂહ એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે: E(y)=R

3. ફંક્શન શૂન્ય મૂલ્ય લે છે જ્યારે અથવા.

4. વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર કાર્ય વધે છે (ઘટે છે).

5. એક રેખીય કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર સતત છે, વિભેદક અને .

2. ચતુર્ભુજ કાર્ય.

ફોર્મનું કાર્ય, જ્યાં x એ ચલ છે, ગુણાંક a, b, c વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તેને કહેવામાં આવે છે. ચતુર્ભુજ

સેગમેન્ટની લંબાઈ સંકલન અક્ષસૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

સેગમેન્ટની લંબાઈ સંકલન વિમાનસૂત્ર દ્વારા શોધવામાં આવે છે:

ત્રિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીમાં સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધવા માટે, નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

સેગમેન્ટના મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ (સંકલન અક્ષ માટે માત્ર પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે, સંકલન પ્લેન માટે - પ્રથમ બે સૂત્રો, માટે ત્રિ-પરિમાણીય સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ - ત્રણેય સૂત્રો) ની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

કાર્ય- આ ફોર્મનો પત્રવ્યવહાર છે y= f(x) ચલ જથ્થાઓ વચ્ચે, જેના કારણે દરેકને અમુક મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે ચલ કદ x(દલીલ અથવા સ્વતંત્ર ચલ) અન્ય ચલના ચોક્કસ મૂલ્યને અનુરૂપ છે, y(આશ્રિત ચલ, કેટલીકવાર આ મૂલ્યને ફંક્શનની કિંમત કહેવામાં આવે છે). નોંધ કરો કે ફંક્શન તે એક દલીલ મૂલ્ય ધારે છે એક્સઆશ્રિત ચલનું માત્ર એક મૂલ્ય અનુરૂપ હોઈ શકે છે ખાતે. જો કે, સમાન મૂલ્ય ખાતેવિવિધ સાથે મેળવી શકાય છે એક્સ.

કાર્ય ડોમેન- આ સ્વતંત્ર ચલના તમામ મૂલ્યો છે (ફંક્શન દલીલ, સામાન્ય રીતે આ એક્સ), જેના માટે કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, એટલે કે. તેનો અર્થ અસ્તિત્વમાં છે. વ્યાખ્યાનો વિસ્તાર દર્શાવેલ છે ડી(y). દ્વારા મોટા પ્રમાણમાંતમે આ ખ્યાલથી પહેલાથી જ પરિચિત છો. ફંક્શનના ડોમેનને ડોમેન પણ કહેવામાં આવે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યો, અથવા ODZ, જે તમે લાંબા સમયથી શોધવામાં સક્ષમ છો.

કાર્ય શ્રેણી- આ બધું છે શક્ય મૂલ્યોઆ કાર્યનું આશ્રિત ચલ. નિયુક્ત ઇ(ખાતે).

કાર્યમાં વધારો થાય છેઅંતરાલ પર જેમાં દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ હોય છે. કાર્ય ઘટતું જાય છેઅંતરાલ પર જેમાં દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય છે.

ફંક્શનના સતત સંકેતના અંતરાલ- આ સ્વતંત્ર ચલના અંતરાલો છે જેના પર આશ્રિત ચલ તેના હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક ચિહ્નને જાળવી રાખે છે.

કાર્ય શૂન્ય- આ દલીલના મૂલ્યો છે કે જેના પર ફંક્શનની કિંમત શૂન્યની બરાબર છે. આ બિંદુઓ પર, કાર્ય ગ્રાફ એબ્સીસા અક્ષ (OX અક્ષ) ને છેદે છે. ઘણી વાર, ફંક્શનના શૂન્ય શોધવાની જરૂરિયાતનો અર્થ એ થાય છે કે સમીકરણને સરળ રીતે હલ કરવાની જરૂર છે. ઉપરાંત, ઘણીવાર ચિહ્નની સ્થિરતાના અંતરાલ શોધવાની જરૂરિયાતનો અર્થ એ છે કે અસમાનતાને સરળ રીતે હલ કરવાની જરૂર છે.

કાર્ય y = f(x) કહેવાય છે સમ એક્સ

આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ માટે વિરોધી અર્થોદલીલ, સમ કાર્યની કિંમતો સમાન છે. સમયપત્રક સમ કાર્યઓપ-એમ્પના ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં હંમેશા સપ્રમાણ.

કાર્ય y = f(x) કહેવાય છે વિચિત્ર, જો તે સપ્રમાણ સમૂહ પર અને કોઈપણ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એક્સવ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી સમાનતા ધરાવે છે:

આનો અર્થ એ છે કે દલીલના કોઈપણ વિરોધી મૂલ્યો માટે, વિચિત્ર કાર્યના મૂલ્યો પણ વિરુદ્ધ છે. વિષમ કાર્યનો ગ્રાફ હંમેશા મૂળ વિશે સપ્રમાણ હોય છે.

સમ અને ના મૂળનો સરવાળો વિચિત્ર કાર્યો(એબ્સીસા અક્ષ OX ના આંતરછેદના બિંદુઓ) હંમેશા શૂન્ય સમાન હોય છે, કારણ કે દરેક માટે હકારાત્મક મૂળ એક્સહોય નકારાત્મક મૂળ –એક્સ.

એ નોંધવું અગત્યનું છે: અમુક ફંક્શન સમ કે વિષમ હોવું જરૂરી નથી. એવા ઘણા ફંક્શન્સ છે જે ન તો સમાન અને ન તો વિષમ હોય છે. આવા કાર્યો કહેવામાં આવે છે કાર્યો સામાન્ય દૃશ્ય , અને તેમના માટે ઉપર આપેલ કોઈપણ સમાનતા અથવા ગુણધર્મો સંતુષ્ટ નથી.

રેખીય કાર્યએક કાર્ય છે જે સૂત્ર દ્વારા આપી શકાય છે:

રેખીય કાર્યનો આલેખ એક સીધી રેખા છે અને સામાન્ય કેસઆના જેવો દેખાય છે (કેસ માટે ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું છે જ્યારે k> 0, આ કિસ્સામાં કાર્ય વધી રહ્યું છે; પ્રસંગ માટે k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

ચતુર્ભુજ કાર્યનો આલેખ (પેરાબોલા)

પેરાબોલાના ગ્રાફને ચતુર્ભુજ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે:

ચતુર્ભુજ કાર્ય, અન્ય કોઈપણ કાર્યની જેમ, OX અક્ષને તેના મૂળના બિંદુઓ પર છેદે છે: ( x 1; 0) અને ( x 2; 0). જો ત્યાં કોઈ મૂળ ન હોય, તો ચતુર્ભુજ કાર્ય OX અક્ષને છેદતું નથી, જો ત્યાં માત્ર એક જ મૂળ હોય, તો આ બિંદુએ ( x 0; 0) ચતુર્ભુજ કાર્ય માત્ર OX અક્ષને જ સ્પર્શે છે, પરંતુ તેને છેદતું નથી. ચતુર્ભુજ કાર્ય હંમેશા OY અક્ષને કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ પર છેદે છે: (0; c). સમયપત્રક ચતુર્ભુજ કાર્ય(પેરાબોલા) આના જેવો દેખાઈ શકે છે (આકૃતિ એવા ઉદાહરણો બતાવે છે જે તમામ સંભવિત પ્રકારના પેરાબોલાસને ખતમ કરતા નથી):

આ કિસ્સામાં:

• જો ગુણાંક a> 0, કાર્યમાં y = કુહાડી 2 + bx + c, પછી પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે;
• જો a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી ગણતરી કરી શકાય છે નીચેના સૂત્રો. એક્સ ટોપ્સ (પી- ઉપરના ચિત્રોમાં) પેરાબોલાસ (અથવા તે બિંદુ કે જેના પર ચતુર્ભુજ ત્રિકોણીય તેના સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે):

Igrek ટોપ્સ (q- ઉપરના આંકડાઓમાં) પેરાબોલાસ અથવા મહત્તમ જો પેરાબોલાની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે તો ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), મૂલ્ય ચતુર્ભુજ ત્રિપદી:

અન્ય કાર્યોનો આલેખ

પાવર કાર્ય

પાવર ફંક્શન્સના આલેખના કેટલાક ઉદાહરણો અહીં છે:

વિપરિત પ્રમાણસરફંક્શનને કૉલ કરો સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

નંબરની નિશાની પર આધાર રાખે છે kપાછું શેડ્યૂલ પ્રમાણસર નિર્ભરતાબે મૂળભૂત વિકલ્પો હોઈ શકે છે:

એસિમ્પ્ટોટએક એવી રેખા છે કે જેની પાસે ફંક્શનનો ગ્રાફ અનંત નજીક પહોંચે છે પણ છેદતો નથી. આલેખ માટે એસિમ્પ્ટોટ્સ વ્યસ્ત પ્રમાણસરતાઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવેલ કોઓર્ડિનેટ અક્ષો છે કે જેના પર ફંક્શનનો ગ્રાફ અનંત નજીક આવે છે, પરંતુ તેને છેદતો નથી.

ઘાતાંકીય કાર્યઆધાર સાથે એસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ કાર્ય છે:

aસમયપત્રક ઘાતાંકીય કાર્યબે મૂળભૂત વિકલ્પો હોઈ શકે છે (અમે ઉદાહરણો પણ આપીએ છીએ, નીચે જુઓ):

લઘુગણક કાર્યસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ કાર્ય છે:

સંખ્યા એક કરતા મોટી છે કે ઓછી છે તેના પર આધાર રાખે છે aસમયપત્રક લઘુગણક કાર્યબે મૂળભૂત વિકલ્પો હોઈ શકે છે:

કાર્યનો આલેખ y = |x| આના જેવો દેખાય છે:

સામયિક (ત્રિકોણમિતિ) કાર્યોના આલેખ

કાર્ય ખાતે = f(x) કહેવાય છે સામયિક, જો આવી વસ્તુ અસ્તિત્વમાં છે, તો ના શૂન્ય બરાબર, નંબર ટી, શું f(x + ટી) = f(x), કોઈપણ માટે એક્સફંક્શનના ડોમેનમાંથી f(x). જો કાર્ય f(x) સમયગાળા સાથે સામયિક છે ટી, પછી કાર્ય:

ક્યાં: એ, k, b – સતત સંખ્યાઓ, અને kશૂન્યની બરાબર નથી, સમયગાળા સાથે સામયિક પણ ટી 1, જે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

મોટાભાગના ઉદાહરણો સામયિક કાર્યોઆ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે. અહીં મુખ્ય ના આલેખ છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. નીચેની આકૃતિ ફંક્શનના ગ્રાફનો ભાગ બતાવે છે y= પાપ x(સમગ્ર ગ્રાફ અનિશ્ચિત રૂપે ડાબે અને જમણે ચાલુ રહે છે), કાર્યનો ગ્રાફ y= પાપ xકહેવાય છે સાઇનસૉઇડ:

કાર્યનો આલેખ y=cos xકહેવાય છે કોસાઇન. આ આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. કારણ કે સાઈન ગ્રાફ OX અક્ષ સાથે ડાબી અને જમણી તરફ અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રહે છે:

કાર્યનો આલેખ y= tg xકહેવાય છે ટેન્જેન્ટોઇડ. આ આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. અન્ય સામયિક કાર્યોના આલેખની જેમ, આ શેડ્યૂલ OX અક્ષ સાથે ડાબે અને જમણે અનિશ્ચિત રૂપે પુનરાવર્તન થાય છે.

અને છેલ્લે, કાર્યનો ગ્રાફ y=સીટીજી xકહેવાય છે cotangentoid. આ આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. અન્ય સામયિક અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગ્રાફની જેમ, આ આલેખ OX અક્ષ સાથે ડાબી અને જમણી બાજુએ અનિશ્ચિત રૂપે પુનરાવર્તિત થાય છે.

આ ત્રણ મુદ્દાઓનો સફળ, ખંતપૂર્વક અને જવાબદાર અમલીકરણ તમને સીટી પર બતાવવાની મંજૂરી આપશે ઉત્તમ પરિણામ, તમે જે સક્ષમ છો તેની મહત્તમ.

ભૂલ મળી?

જો તમને લાગે કે તમને તેમાં ભૂલ મળી છે શૈક્ષણિક સામગ્રી, તો કૃપા કરીને તેના વિશે ઇમેઇલ દ્વારા લખો. તમે બગની જાણ પણ કરી શકો છો સામાજિક નેટવર્ક(). પત્રમાં, વિષય (ભૌતિકશાસ્ત્ર અથવા ગણિત), વિષય અથવા કસોટીનું નામ અથવા સંખ્યા, સમસ્યાની સંખ્યા અથવા ટેક્સ્ટ (પૃષ્ઠ) માં તે સ્થાન સૂચવો જ્યાં, તમારા મતે, ભૂલ છે. શંકાસ્પદ ભૂલ શું છે તેનું પણ વર્ણન કરો. તમારા પત્ર પર ધ્યાન આપવામાં આવશે નહીં, ભૂલ ક્યાં તો સુધારી દેવામાં આવશે, અથવા તમને સમજાવવામાં આવશે કે તે ભૂલ કેમ નથી.