મોનોમિયલ અને તેનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ. મોનોમિયલનો ખ્યાલ

મોનોમિયલ એ સંખ્યાઓ, ચલો અને તેમની શક્તિઓનું ઉત્પાદન છે. સંખ્યાઓ, ચલો અને તેમની શક્તિઓને પણ એકવિધ ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. મોનોમિયલ 5aa2b2b ને 20a^2b^2 સુધી ઘટાડી શકાય છે આ ફોર્મને મોનોમિયલનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત દૃશ્યમોનોમિયલ એ ગુણાંક (જે પ્રથમ આવે છે) અને ચલોની શક્તિઓનું ઉત્પાદન છે. ગુણાંક 1 અને -1 લખેલા નથી, પરંતુ -1 થી બાદબાકી રાખવામાં આવી છે. મોનોમિયલ અને તેનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ

સમીકરણો 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x એ સંખ્યાઓ, ચલો અને તેમની શક્તિઓનું ઉત્પાદન છે. આવા અભિવ્યક્તિઓને મોનોમિયલ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓ, ચલો અને તેમની શક્તિઓને પણ એકવિધ ગણવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 8, 35,y અને y2 સમીકરણો એકવિધ છે.

મોનોમિયલનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ એ પ્રથમ સ્થાને સંખ્યાત્મક પરિબળ અને વિવિધ ચલોની શક્તિઓના ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં એકવિધ છે. તેમાં સમાવિષ્ટ તમામ ચલો અને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીને કોઈપણ મોનોમિયલને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. એકવિધને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનું અહીં એક ઉદાહરણ છે:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખેલા એકવિધના સંખ્યાત્મક પરિબળને મોનોમિયલનો ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોનોમિયલ -7x2y2 નો ગુણાંક -7 બરાબર છે. મોનોમિયલ x3 અને -xy ના ગુણાંક 1 અને -1 સમાન ગણવામાં આવે છે, કારણ કે x3 = 1x3 અને -xy = -1xy

મોનોમિયલની ડિગ્રી એ તેમાં સમાવિષ્ટ તમામ ચલોના ઘાતાંકનો સરવાળો છે. જો મોનોમિયલમાં ચલ ન હોય, એટલે કે, તે સંખ્યા છે, તો તેની ડિગ્રી શૂન્યની બરાબર ગણવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, મોનોમિયલ 8x3yz2 ની ડિગ્રી 6 છે, મોનોમિયલ 6x 1 છે અને -10 ની ડિગ્રી 0 છે.

મોનોમિયલનો ગુણાકાર. સત્તાઓ માટે મોનોમિયલ વધારવું

જ્યારે મોનોમિયલનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને મોનોમિયલ્સને પાવરમાં વધારવામાં આવે છે, ત્યારે સમાન આધાર સાથે સત્તાઓનો ગુણાકાર કરવાનો નિયમ અને પાવરને પાવરમાં વધારવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ એક મોનોમિયલ ઉત્પન્ન કરે છે, જે સામાન્ય રીતે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં રજૂ થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

મોનોમિયલ એ અભિવ્યક્તિઓના મુખ્ય પ્રકારોમાંનો એક છે જેનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત આ સામગ્રીમાં અમે તમને જણાવીશું કે આ અભિવ્યક્તિઓ શું છે, તેમના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપને વ્યાખ્યાયિત કરીશું અને ઉદાહરણો બતાવીશું, અને એકવિધની ડિગ્રી અને તેના ગુણાંક જેવા સંબંધિત ખ્યાલોને પણ સમજીશું.

એકવિધ શું છે

IN શાળા પાઠ્યપુસ્તકોસામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે નીચેની વ્યાખ્યાઆ ખ્યાલ:

વ્યાખ્યા 1

મોનોમિયલનો સમાવેશ થાય છેસંખ્યાઓ, ચલો, તેમજ તેમની શક્તિઓ સાથે કુદરતી સૂચકઅને વિવિધ પ્રકારોતેમની પાસેથી સંકલિત કાર્યો.

આ વ્યાખ્યાના આધારે, અમે આવા અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો આપી શકીએ છીએ. આમ, બધી સંખ્યાઓ 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 એકવિધ હશે. તમામ ચલો, ઉદાહરણ તરીકે, x, a, b, p, q, t, y, z, પણ વ્યાખ્યા પ્રમાણે મોનોમિયલ હશે. આમાં ચલો અને સંખ્યાઓની શક્તિઓનો પણ સમાવેશ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 અને ટી 15, તેમજ ફોર્મના અભિવ્યક્તિઓ 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z, વગેરે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે એકવિધમાં એક સંખ્યા અથવા ચલ, અથવા અનેક હોઈ શકે છે, અને તેનો ઉલ્લેખ એક બહુપદીમાં ઘણી વખત કરી શકાય છે.

પૂર્ણાંકો, તર્કસંગત સંખ્યાઓ અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ જેવી સંખ્યાઓ પણ મોનોમિયલ્સની છે. તમે માન્ય અને જટિલ સંખ્યાઓ. આમ, ફોર્મ 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 પણ એકવિધ હશે.

મોનોમિયલનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ શું છે અને અભિવ્યક્તિને તેમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું

સગવડ માટે, બધા મોનોમિયલ પ્રથમ તરફ દોરી જાય છે ખાસ પ્રકાર, પ્રમાણભૂત કહેવાય છે. ચાલો આનો અર્થ શું છે તે ખાસ ઘડીએ.

વ્યાખ્યા 2

મોનોમિયલનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપતેનું સ્વરૂપ કહેવાય છે જેમાં તે સંખ્યાત્મક પરિબળનું ઉત્પાદન છે અને કુદરતી ડિગ્રીવિવિધ ચલો. સંખ્યાત્મક પરિબળ, જેને મોનોમિયલનો ગુણાંક પણ કહેવાય છે, સામાન્ય રીતે ડાબી બાજુએ પ્રથમ લખવામાં આવે છે.

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના કેટલાક મોનોમિયલ પસંદ કરીએ: 6 (આ ચલ વગરનું એકવિધ છે), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. આમાં અભિવ્યક્તિનો પણ સમાવેશ થાય છે x y(અહીં ગુણાંક 1 ની બરાબર હશે), − x 3(અહીં ગુણાંક - 1 છે).

હવે અમે મોનોમિયલ્સના ઉદાહરણો આપીએ છીએ જેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે: 4 એ 2 એ 3(અહીં તમારે સમાન ચલોને જોડવાની જરૂર છે), 5 x (− 1) 3 y 2(અહીં તમારે ડાબી બાજુના આંકડાકીય પરિબળોને જોડવાની જરૂર છે).

સામાન્ય રીતે, એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં મોનોમિયલમાં ઘણા બધા ચલો અક્ષરોમાં લખેલા હોય છે, અક્ષરના પરિબળો આમાં લખવામાં આવે છે. મૂળાક્ષરોનો ક્રમ. ઉદાહરણ તરીકે, લખવું વધુ સારું છે 6 a b 4 c z 2, કેવી રીતે b 4 6 a z 2 c. જો કે, જો ગણતરીના હેતુ માટે તેની જરૂર હોય તો ઓર્ડર અલગ હોઈ શકે છે.

કોઈપણ મોનોમિયલને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. આ કરવા માટે, તમારે તમામ જરૂરી ઓળખ પરિવર્તન કરવાની જરૂર છે.

મોનોમિયલની ડિગ્રીનો ખ્યાલ

મોનોમિયલની ડિગ્રીની સાથેનો ખ્યાલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ચાલો આ ખ્યાલની વ્યાખ્યા લખીએ.

વ્યાખ્યા 3

એકવિધ શક્તિ દ્વારા, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે, તે તમામ ચલોના ઘાતાંકનો સરવાળો છે જે તેના સંકેતમાં સમાવિષ્ટ છે. જો તેમાં એક પણ ચલ નથી, અને મોનોમિયલ પોતે 0 થી અલગ છે, તો તેની ડિગ્રી શૂન્ય હશે.

ચાલો એકવિધ શક્તિના ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ 1

આમ, મોનોમિયલ a ની ડિગ્રી 1 ની બરાબર છે, કારણ કે a = a 1. જો આપણી પાસે મોનોમિયલ 7 હોય, તો તેની પાસે ડિગ્રી શૂન્ય હશે, કારણ કે તેમાં કોઈ ચલ નથી અને તે 0 થી અલગ છે. અને અહીં રેકોર્ડિંગ છે 7 a 2 x y 3 a 2 8મી ડિગ્રીનું મોનોમિયલ હશે, કારણ કે તેમાં સમાવિષ્ટ ચલોની તમામ ડિગ્રીના ઘાતાંકનો સરવાળો 8 ની બરાબર હશે: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડીને મોનોમિયલ અને મૂળ બહુપદી સમાન ડિગ્રી ધરાવશે.

ઉદાહરણ 2

ચાલો બતાવીએ કે મોનોમિયલની ડિગ્રીની ગણતરી કેવી રીતે કરવી 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં તે તરીકે લખી શકાય છે − 6 x 8 y 4. અમે ડિગ્રીની ગણતરી કરીએ છીએ: 8 + 4 = 12 . આનો અર્થ એ થયો કે મૂળ બહુપદીની ડિગ્રી પણ 12 જેટલી છે.

મોનોમિયલ ગુણાંકનો ખ્યાલ

જો આપણી પાસે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં એકવિધ ઘટાડીને ઓછામાં ઓછા એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તો અમે તેના વિશે એક સંખ્યાત્મક પરિબળ સાથેના ઉત્પાદન તરીકે વાત કરીએ છીએ. આ પરિબળ કહેવાય છે સંખ્યાત્મક ગુણાંક, અથવા મોનોમિયલનો ગુણાંક. ચાલો વ્યાખ્યા લખીએ.

વ્યાખ્યા 4

મોનોમિયલનો ગુણાંક એ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડીને મોનોમિયલનું સંખ્યાત્મક પરિબળ છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ તરીકે વિવિધ મોનોમિયલ્સના ગુણાંક લઈએ.

ઉદાહરણ 3

તેથી, અભિવ્યક્તિમાં 8 અને 3ગુણાંક નંબર 8 અને માં હશે (− 2 , 3) x y zતેઓ કરશે − 2 , 3 .

ગુણાંક પર ખાસ ધ્યાન આપવું જોઈએ એક સમાનઅને માઈનસ એક. એક નિયમ તરીકે, તેઓ સ્પષ્ટ રીતે સૂચવવામાં આવતા નથી. એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના એકવિધમાં, જેમાં કોઈ સંખ્યાત્મક પરિબળ નથી, ગુણાંક 1 ની બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે, a, x · z 3, a · t · x, કારણ કે તેઓ હોઈ શકે છે 1 · a, x · z 3 તરીકે ગણવામાં આવે છે - કેવી રીતે 1 x z 3વગેરે

તેવી જ રીતે, સંખ્યાત્મક પરિબળ ન ધરાવતા અને બાદબાકીના ચિહ્નથી શરૂ થતા મોનોમિયલ્સમાં, આપણે - 1 ને ગુણાંક તરીકે ગણી શકીએ.

ઉદાહરણ 4

ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિઓ − x, − x 3 · y · z 3 આવા ગુણાંક ધરાવશે, કારણ કે તેને − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ) · x 3 y z 3 વગેરે.

જો મોનોમિયલમાં એક પણ અક્ષરનું પરિબળ નથી, તો પછી આપણે આ કિસ્સામાં ગુણાંક વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. આવા મોનોમિયલ-સંખ્યાઓના ગુણાંક આ સંખ્યાઓ પોતે જ હશે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, મોનોમિયલ 9 નો ગુણાંક 9 ની બરાબર હશે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

આ પાઠમાં આપણે એકવિધની કડક વ્યાખ્યા આપીશું, ધ્યાનમાં લો વિવિધ ઉદાહરણોપાઠ્યપુસ્તકમાંથી. ચાલો શક્તિઓ સાથે ગુણાકાર કરવાના નિયમો યાદ કરીએ સમાન આધારો પર. ચાલો એકવિધનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ, મોનોમિયલના ગુણાંક અને તેના અક્ષર ભાગને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. ચાલો મોનોમિયલ પર બે મુખ્ય પ્રમાણભૂત કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો અને ચોક્કસની ગણતરી સંખ્યાત્મક મૂલ્યખાતે મોનોમિયલ આપેલ મૂલ્યોતેમાં શાબ્દિક ચલો શામેલ છે. ચાલો એકવિધને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે એક નિયમ ઘડીએ. ચાલો ઉકેલતા શીખીએ લાક્ષણિક કાર્યોકોઈપણ મોનોમિયલ સાથે.

વિષય:મોનોમિયલ. મોનોમિયલ પર અંકગણિત કામગીરી

પાઠ:મોનોમિયલનો ખ્યાલ. મોનોમિયલનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ

કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો:

3. ;

અમે શોધીશું સામાન્ય લક્ષણોઆપેલ અભિવ્યક્તિઓ માટે. ત્રણેય કેસોમાં, અભિવ્યક્તિ એ સંખ્યાઓ અને ચલોનું ઉત્પાદન છે જે ઘાત સુધી વધે છે. તેના આધારે અમે આપીએ છીએ મોનોમિયલની વ્યાખ્યા : મોનોમિયલ કંઈક આના જેવું કહેવાય છે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ, જેમાં શક્તિઓ અને સંખ્યાઓના ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે.

હવે અમે અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો આપીએ છીએ જે મોનોમિયલ નથી:

ચાલો આ અભિવ્યક્તિઓ અને અગાઉના અભિવ્યક્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ. તેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે 4-7 ઉદાહરણોમાં સરવાળો, બાદબાકી અથવા ભાગાકારની ક્રિયાઓ છે, જ્યારે ઉદાહરણો 1-3માં, જે એકવિધ છે, ત્યાં આ કોઈ ક્રિયાઓ નથી.

અહીં થોડા વધુ ઉદાહરણો છે:

અભિવ્યક્તિ નંબર 8 એ એકવિધ છે કારણ કે તે શક્તિ અને સંખ્યાનું ઉત્પાદન છે, જ્યારે ઉદાહરણ 9 એ એકવિધ નથી.

હવે આવો જાણીએ મોનોમિયલ પરની ક્રિયાઓ .

1. સરળીકરણ. ચાલો ઉદાહરણ નંબર 3 જોઈએ ;અને ઉદાહરણ નંબર 2 /

બીજા ઉદાહરણમાં આપણે માત્ર એક જ ગુણાંક જોઈએ છીએ - , દરેક ચલ માત્ર એક જ વાર થાય છે, એટલે કે ચલ " એ"ને એક નકલમાં "" તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, તેવી જ રીતે, ચલ "" અને "" માત્ર એક જ વાર દેખાય છે.

ઉદાહરણ નંબર 3 માં, તેનાથી વિપરિત, બે જુદા જુદા ગુણાંક છે - અને , આપણે ચલ "" ને બે વાર - "" તરીકે અને "" તરીકે જોઈએ છીએ, તેવી જ રીતે, ચલ "" બે વાર દેખાય છે. એટલે કે, આ અભિવ્યક્તિસરળ બનાવવું જોઈએ, આમ આપણે પહોંચીએ છીએ મોનોમિયલ પર કરવામાં આવતી પ્રથમ ક્રિયા એ મોનોમિયલને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની છે . આ કરવા માટે, અમે એક્સપ્રેશનને ઉદાહરણ 3 થી પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડીશું, પછી અમે આ ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરીશું અને શીખીશું કે કોઈપણ મોનોમિયલને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં કેવી રીતે ઘટાડવું.

તેથી, એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો:

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો કરવાની કામગીરીમાં પ્રથમ ક્રિયા હંમેશા તમામ સંખ્યાત્મક પરિબળોને ગુણાકાર કરવાની છે:

;

પરિણામ આ ક્રિયાનાબોલાવવામાં આવશે મોનોમિયલનો ગુણાંક .

આગળ તમારે શક્તિઓને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. ચાલો ચલની શક્તિઓનો ગુણાકાર કરીએ " એક્સ"સમાન પાયા સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવાના નિયમ મુજબ, જે જણાવે છે કે જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે:

ચાલો હવે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરીએ" ખાતે»:

;

તેથી, અહીં એક સરળ અભિવ્યક્તિ છે:

;

કોઈપણ મોનોમિયલને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. ચાલો ઘડીએ માનકીકરણ નિયમ :

તમામ સંખ્યાત્મક પરિબળોને ગુણાકાર કરો;

પરિણામી ગુણાંકને પ્રથમ સ્થાને મૂકો;

તમામ ડિગ્રીનો ગુણાકાર કરો, એટલે કે, અક્ષરનો ભાગ મેળવો;

એટલે કે, કોઈપણ મોનોમિયલ ગુણાંક અને અક્ષર ભાગ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. આગળ જોતાં, અમે નોંધીએ છીએ કે સમાન અક્ષરનો ભાગ ધરાવતા મોનોમિયલ્સને સમાન કહેવામાં આવે છે.

હવે આપણે કામ કરવાની જરૂર છે મોનોમિયલ્સને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટેની તકનીક . પાઠ્યપુસ્તકમાંથી ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો:

સોંપણી: એકવિધને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવો, ગુણાંક અને અક્ષરના ભાગને નામ આપો.

કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે, અમે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ અને સત્તાના ગુણધર્મોને એકવિધ ઘટાડવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.

1. ;

3. ;

પ્રથમ ઉદાહરણ પર ટિપ્પણીઓ: પ્રથમ, ચાલો નક્કી કરીએ કે આ અભિવ્યક્તિ ખરેખર એકવિધ છે કે કેમ આ કરવા માટે, ચાલો તપાસ કરીએ કે તેમાં સંખ્યાઓ અને શક્તિઓના ગુણાકારની ક્રિયાઓ છે અને શું તેમાં સરવાળો, બાદબાકી અથવા ભાગાકારની ક્રિયાઓ છે. આપણે કહી શકીએ કે ઉપરોક્ત સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોવાથી આ અભિવ્યક્તિ એકવિધ છે. આગળ, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં મોનોમિયલ ઘટાડવાના નિયમ અનુસાર, અમે સંખ્યાત્મક પરિબળોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:

- અમને માટે ગુણાંક મળ્યો મોનોમિયલ આપેલ;

; ; ; એટલે કે, અભિવ્યક્તિનો શાબ્દિક ભાગ પ્રાપ્ત થાય છે:;

ચાલો જવાબ લખીએ: ;

બીજા ઉદાહરણ પર ટિપ્પણીઓઅમે જે નિયમ કરીએ છીએ તેને અનુસરીને:

1) સંખ્યાત્મક પરિબળોનો ગુણાકાર કરો:

2) શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો:

ચલો એક જ નકલમાં રજૂ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ કંઈપણ સાથે ગુણાકાર કરી શકતા નથી, તેઓ ફેરફારો વિના ફરીથી લખવામાં આવે છે, ડિગ્રીનો ગુણાકાર થાય છે:

ચાલો જવાબ લખીએ:

;

IN આ ઉદાહરણમાંમોનોમિયલ ગુણાંક એક સમાન, અને અક્ષરનો ભાગ છે.

ત્રીજા ઉદાહરણ પર ટિપ્પણીઓ: aઅગાઉના ઉદાહરણોની જેમ, અમે નીચેની ક્રિયાઓ કરીએ છીએ:

1) સંખ્યાત્મક પરિબળોનો ગુણાકાર કરો:

;

2) શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો:

;

ચાલો જવાબ લખીએ: ;

IN આ કિસ્સામાંમોનોમિયલનો ગુણાંક "", અને શાબ્દિક ભાગ છે .

હવે વિચાર કરીએ મોનોમિયલ પર બીજું પ્રમાણભૂત ઓપરેશન . મોનોમિયલ એ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ છે જેમાં શાબ્દિક ચલોનો સમાવેશ થાય છે જે ચોક્કસ પર લઈ શકે છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યો, તો આપણી પાસે અંકગણિત છે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ, જેની ગણતરી કરવી જોઈએ. એટલે કે, બહુપદી પરની આગામી ક્રિયા છે તેમના ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્યની ગણતરી .

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. આપેલ મોનોમિયલ:

આ મોનોમિયલ પહેલેથી જ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે, તેનો ગુણાંક એક સમાન છે, અને અક્ષરનો ભાગ

અગાઉ આપણે કહ્યું હતું કે બીજગણિત અભિવ્યક્તિની હંમેશા ગણતરી કરી શકાતી નથી, એટલે કે તેમાં સમાવિષ્ટ ચલો કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકતા નથી. મોનોમિયલના કિસ્સામાં, તેમાં સમાવિષ્ટ ચલો કોઈપણ હોઈ શકે છે, આ એકવિધનું લક્ષણ છે.

તેથી, માં ઉદાહરણ આપ્યું, , , પર મોનોમિયલના મૂલ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

મોનોમિયલનો ખ્યાલ

મોનોમિયલની વ્યાખ્યા: મોનોમિયલ એ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ છે જે માત્ર ગુણાકારનો ઉપયોગ કરે છે.

મોનોમિયલનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ

મોનોમિયલનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ શું છે? મોનોમિયલ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જો તેમાં પ્રથમ સ્થાને સંખ્યાત્મક પરિબળ હોય અને આ પરિબળને મોનોમિયલનો ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, મોનોમિયલમાં માત્ર એક જ છે, મોનોમિયલના અક્ષરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે અને દરેક અક્ષર માત્ર એક જ વાર દેખાય છે.

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં એકવિધનું ઉદાહરણ:

અહીં પ્રથમ સ્થાને સંખ્યા છે, મોનોમિયલનો ગુણાંક, અને આ સંખ્યા આપણા મોનોમિયલમાં માત્ર એક છે, દરેક અક્ષર માત્ર એક જ વાર આવે છે અને અક્ષરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે, આ કિસ્સામાં તે લેટિન મૂળાક્ષરો છે.

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં એકવિધનું બીજું ઉદાહરણ:

દરેક અક્ષર માત્ર એક જ વાર આવે છે, તેઓ લેટિન મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે, પરંતુ એકવિધ ગુણાંક ક્યાં છે, એટલે કે. સંખ્યાત્મક પરિબળ કે જે પ્રથમ આવવું જોઈએ? અહીં તે એક સમાન છે: 1adm.

શું મોનોમિયલનો ગુણાંક નકારાત્મક હોઈ શકે? હા, કદાચ, ઉદાહરણ: -5a.

શું મોનોમિયલનો ગુણાંક અપૂર્ણાંક હોઈ શકે? હા, કદાચ, ઉદાહરણ: 5.2a.

જો મોનોમિયલમાં માત્ર સંખ્યા હોય, એટલે કે. કોઈ અક્ષર નથી, હું તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં કેવી રીતે લાવી શકું? કોઈપણ મોનોમિયલ કે જે સંખ્યા છે તે પહેલાથી જ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં છે, ઉદાહરણ તરીકે: સંખ્યા 5 પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં એકવિધ છે.

મોનોમિયલ્સને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું

એકવિધને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં કેવી રીતે લાવવું? ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.

મોનોમિયલ 2a4b આપવા દો; આપણે તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે. આપણે તેના બે સંખ્યાત્મક અવયવોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને 8ab મેળવીએ છીએ. હવે મોનોમિયલ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે, એટલે કે. માત્ર એક સંખ્યાત્મક પરિબળ ધરાવે છે, જે પ્રથમ સ્થાને લખાયેલ છે, મોનોમિયલમાં દરેક અક્ષર માત્ર એક જ વાર આવે છે અને આ અક્ષરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે. તેથી 2a4b = 8ab.

આપેલ છે: મોનોમિયલ 2a4a, એકવિધને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવો. અમે સંખ્યા 2 અને 4 નો ગુણાકાર કરીએ છીએ, ઉત્પાદન aa ને 2 ની બીજી શક્તિ સાથે બદલીએ છીએ. અમને મળે છે: 8a 2 . આ એકવિધનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ છે. તેથી 2a4a = 8a 2 .

સમાન monomials

સમાન મોનોમિયલ શું છે? જો મોનોમિયલ માત્ર ગુણાંકમાં ભિન્ન હોય અથવા સમાન હોય, તો તેને સમાન કહેવામાં આવે છે.

સમાન મોનોમિયલનું ઉદાહરણ: 5a અને 2a. આ મોનોમિઅલ્સ માત્ર ગુણાંકમાં અલગ પડે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન છે.

શું મોનોમિયલ 5abc અને 10cba સમાન છે? ચાલો બીજા મોનોમિયલને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ અને 10abc મેળવીએ. હવે આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે મોનોમિયલ 5abc અને 10abc માત્ર તેમના ગુણાંકમાં જ અલગ છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન છે.

મોનોમિયલનો ઉમેરો

મોનોમિયલનો સરવાળો કેટલો છે? આપણે ફક્ત સમાન મોનોમિયલનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ. ચાલો મોનોમિયલ ઉમેરવાનું ઉદાહરણ જોઈએ. મોનોમિયલ 5a અને 2a નો સરવાળો કેટલો છે? આ મોનોમિયલનો સરવાળો તેમના જેવો જ એકવિધ હશે, જેનો ગુણાંક સરવાળો સમાનશરતોના ગુણાંક. તેથી, મોનોમિયલનો સરવાળો 5a + 2a = 7a છે.

મોનોમિયલ ઉમેરવાના વધુ ઉદાહરણો:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

ફરી. તમે ફક્ત સમાન મોનોમિયલ ઉમેરી શકો છો;

બાદબાકી એકવિધ

મોનોમિયલ વચ્ચે શું તફાવત છે? આપણે ફક્ત સમાન મોનોમિયલ્સને બાદ કરી શકીએ છીએ. ચાલો મોનોમિયલ બાદબાકીનું ઉદાહરણ જોઈએ. મોનોમિયલ 5a અને 2a વચ્ચે શું તફાવત છે? આ મોનોમિઅલ્સનો તફાવત તેમના જેવો જ એકવિધ હશે, જેનો ગુણાંક તફાવત સમાનઆ મોનોમિયલ્સના ગુણાંક. તેથી, મોનોમિયલનો તફાવત 5a - 2a = 3a છે.

મોનોમિયલ બાદબાકીના વધુ ઉદાહરણો:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

મોનોમિઅલ્સનો ગુણાકાર

મોનોમિયલનું ઉત્પાદન શું છે? ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

તે મોનોમિયલનું ઉત્પાદન એ એકપાત્રીય સમાન છે જેના પરિબળો મૂળ મોનોમિયલ્સના પરિબળોથી બનેલા છે.

બીજું ઉદાહરણ:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

આ પરિણામ કેવી રીતે આવ્યું? દરેક પરિબળમાં પાવર માટે "a" શામેલ છે: પ્રથમમાં - "a" થી 2 ની શક્તિ, અને બીજામાં - "a" થી 5 ની શક્તિ. આનો અર્થ એ છે કે ઉત્પાદનમાં પાવર માટે "a" હશે 7 ના, કારણ કે જ્યારે સમાન અક્ષરોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમની શક્તિઓના ઘાતાંક ફોલ્ડ થાય છે:

A 2 * a 5 = a 7 .

આ જ પરિબળ "b" ને લાગુ પડે છે.

પ્રથમ પરિબળનો ગુણાંક બે છે, અને બીજો એક છે, તેથી પરિણામ 2 * 1 = 2 છે.

આ રીતે પરિણામની ગણતરી કરવામાં આવી હતી: 2a 7 b 12.

આ ઉદાહરણો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે મોનોમિયલ્સના ગુણાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને સમાન અક્ષરોને ઉત્પાદનમાં તેમની શક્તિઓના સરવાળા દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

આ પાઠમાં આપણે એકવિધની કડક વ્યાખ્યા આપીશું અને પાઠ્યપુસ્તકમાંથી વિવિધ ઉદાહરણો જોઈશું. ચાલો સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવાના નિયમો યાદ કરીએ. ચાલો એકવિધનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ, મોનોમિયલનો ગુણાંક અને તેના અક્ષર ભાગને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. ચાલો મોનોમિયલ પરની બે મુખ્ય લાક્ષણિક કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો અને તેમાં સમાવિષ્ટ શાબ્દિક ચલોના આપેલ મૂલ્યો માટે મોનોમિયલના ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્યની ગણતરી. ચાલો એકવિધને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે એક નિયમ ઘડીએ. ચાલો જાણીએ કે કોઈપણ મોનોમિયલ સાથે પ્રમાણભૂત સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી.

વિષય:મોનોમિયલ. મોનોમિયલ પર અંકગણિત કામગીરી

પાઠ:મોનોમિયલનો ખ્યાલ. મોનોમિયલનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ

કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો:

3. ;

ચાલો આપેલ સમીકરણો માટે સામાન્ય લક્ષણો શોધીએ. ત્રણેય કેસોમાં, અભિવ્યક્તિ એ સંખ્યાઓ અને ચલોનું ઉત્પાદન છે જે ઘાત સુધી વધે છે. તેના આધારે અમે આપીએ છીએ મોનોમિયલની વ્યાખ્યા : મોનોમિયલ એ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ છે જેમાં સત્તાઓ અને સંખ્યાઓના ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે.

હવે અમે અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો આપીએ છીએ જે મોનોમિયલ નથી:

અહીં થોડા વધુ ઉદાહરણો છે:

હવે આવો જાણીએ મોનોમિયલ પરની ક્રિયાઓ .

1. સરળીકરણ. ચાલો ઉદાહરણ નંબર 3 જોઈએ ;અને ઉદાહરણ નંબર 2 /

ઉદાહરણ નંબર 3 માં, તેનાથી વિપરિત, બે જુદા જુદા ગુણાંક છે - અને , આપણે ચલ "" ને બે વાર - "" તરીકે અને "" તરીકે જોઈએ છીએ, તેવી જ રીતે, ચલ "" બે વાર દેખાય છે. એટલે કે, આ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવી જોઈએ, આમ આપણે આવીએ છીએ મોનોમિયલ પર કરવામાં આવતી પ્રથમ ક્રિયા એ મોનોમિયલને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની છે . આ કરવા માટે, અમે એક્સપ્રેશનને ઉદાહરણ 3 થી પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડીશું, પછી અમે આ ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરીશું અને શીખીશું કે કોઈપણ મોનોમિયલને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં કેવી રીતે ઘટાડવું.

તેથી, એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો:

;

આ ક્રિયાનું પરિણામ કહેવામાં આવશે મોનોમિયલનો ગુણાંક .

ચાલો હવે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરીએ" ખાતે»:

;

તેથી, અહીં એક સરળ અભિવ્યક્તિ છે:

;

તમામ સંખ્યાત્મક પરિબળોને ગુણાકાર કરો;

પરિણામી ગુણાંકને પ્રથમ સ્થાને મૂકો;

તમામ ડિગ્રીનો ગુણાકાર કરો, એટલે કે, અક્ષરનો ભાગ મેળવો;

સોંપણી: એકવિધને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવો, ગુણાંક અને અક્ષરના ભાગને નામ આપો.

1. ;

3. ;

- અમને આપેલ મોનોમિયલનો ગુણાંક મળ્યો;

; ; ; એટલે કે, અભિવ્યક્તિનો શાબ્દિક ભાગ પ્રાપ્ત થાય છે:;

ચાલો જવાબ લખીએ: ;

બીજા ઉદાહરણ પર ટિપ્પણીઓઅમે જે નિયમ કરીએ છીએ તેને અનુસરીને:

1) સંખ્યાત્મક પરિબળોનો ગુણાકાર કરો:

2) શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો:

ચાલો જવાબ લખીએ:

;

આ ઉદાહરણમાં, મોનોમિયલનો ગુણાંક એક સમાન છે, અને અક્ષરનો ભાગ છે.

1) સંખ્યાત્મક પરિબળોનો ગુણાકાર કરો:

;

2) શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો:

;

ચાલો જવાબ લખીએ: ;

આ કિસ્સામાં, મોનોમિયલનો ગુણાંક "", અને અક્ષરનો ભાગ છે .

હવે વિચાર કરીએ મોનોમિયલ પર બીજું પ્રમાણભૂત ઓપરેશન . મોનોમિયલ એ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ છે જેમાં શાબ્દિક ચલોનો સમાવેશ થાય છે જે ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્યો લઈ શકે છે, અમારી પાસે અંકગણિત સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ છે જેનું મૂલ્યાંકન કરવું આવશ્યક છે. એટલે કે, બહુપદી પરની આગામી ક્રિયા છે તેમના ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્યની ગણતરી .

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. આપેલ મોનોમિયલ:

તેથી, આપેલ ઉદાહરણમાં, તમારે , , , પર મોનોમિયલના મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.