તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કરો. પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ઘાત, સંખ્યાનો વર્ગ, સંખ્યાનો ઘન

MBOU "સિડોર્સ્કાયા"

માધ્યમિક શાળા»

રૂપરેખા યોજનાનો વિકાસ ખુલ્લો પાઠ

વિષય પર 11મા ધોરણમાં બીજગણિતમાં:

તૈયાર અને હાથ ધરવામાં

ગણિત શિક્ષક

ઇસ્ખાકોવા ઇ.એફ.

11મા ધોરણમાં બીજગણિતના ખુલ્લા પાઠની રૂપરેખા.

વિષય : "ની સાથે ડિગ્રી તર્કસંગત સૂચક».

પાઠનો પ્રકાર : નવી સામગ્રી શીખવી

પાઠ હેતુઓ:

વિદ્યાર્થીઓને અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી (પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી)ના આધારે તર્કસંગત ઘાતાંક અને તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો સાથેની ડિગ્રીની વિભાવનાનો પરિચય આપો.

કોમ્પ્યુટેશનલ કૌશલ્ય અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે સંખ્યાઓને રૂપાંતરિત અને તુલના કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો.

ઉપર લાવો ગાણિતિક સાક્ષરતાઅને વિદ્યાર્થીઓમાં ગાણિતિક રસ.

સાધનસામગ્રી : ટાસ્ક કાર્ડ્સ, પૂર્ણાંક સૂચક સાથે ડિગ્રી દ્વારા વિદ્યાર્થીની રજૂઆત, તર્કસંગત સૂચક, લેપટોપ, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન સાથે ડિગ્રી દ્વારા શિક્ષકની રજૂઆત.

પાઠ પ્રગતિ:

સંસ્થાકીય ક્ષણ.

વ્યક્તિગત ટાસ્ક કાર્ડ્સનો ઉપયોગ કરીને આવરી લેવામાં આવેલા વિષયની નિપુણતા તપાસવી.

કાર્ય નંબર 1.

=2;

બી) =x + 5;

સિસ્ટમ ઉકેલો અતાર્કિક સમીકરણો: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

કાર્ય નંબર 2.

અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલો: = - 3;

બી) = x - 2;

અતાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

પાઠના વિષય અને ઉદ્દેશ્યોની વાતચીત કરો.

આપણા આજના પાઠનો વિષય છે “ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ».

અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને નવી સામગ્રીની સમજૂતી.

તમે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ખ્યાલથી પહેલેથી જ પરિચિત છો. તેમને યાદ કરવામાં મને કોણ મદદ કરશે?

પ્રસ્તુતિનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન " પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી».

કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને કોઈપણ પૂર્ણાંક m અને n સમાનતાઓ સાચી છે:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ;

a 0 = 1(a ≠ 0) આજે આપણે સંખ્યાની શક્તિની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવીશું અને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક ધરાવતા સમીકરણોને અર્થ આપીશું. ચાલો પરિચય આપીએવ્યાખ્યા

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી (પ્રસ્તુતિ "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી"): > પાવર ઓફ એ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે 0 = આર , ક્યાં m પૂર્ણાંક છે, અને n પૂર્ણાંક છે, અને > - કુદરતી ( , ક્યાં .

1), નંબર પર કૉલ કર્યો = તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા આપણે તે મેળવીએ છીએ .

m

ચાલો કોઈ કાર્ય પૂર્ણ કરતી વખતે આ વ્યાખ્યા લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

હું સંખ્યાના મૂળ તરીકે અભિવ્યક્તિ રજૂ કરું છું:

અ) બી) માં) .

હવે આ વ્યાખ્યાને વિપરીત રીતે લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ

II તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે શક્તિ તરીકે અભિવ્યક્તિ વ્યક્ત કરો:

અ) 2 બી) માં) 5 .

0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

0 આરકોઈપણ માટે = 0 આર> 0.

ઉપયોગ કરીને આ વ્યાખ્યા, ઘરોતમે #428 અને #429 પૂર્ણ કરશો.

ચાલો હવે બતાવીએ કે ઉપરોક્ત તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા સાથે, ડિગ્રીના મૂળભૂત ગુણધર્મો સચવાય છે, જે કોઈપણ ઘાતાંક માટે સાચું છે.

કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ r અને s અને કોઈપણ ધન a અને b માટે, નીચેની સમાનતાઓ ધરાવે છે:

1 0 . a આર a s =a r+s ;

ઉદાહરણ: *

2 0 a r: a s =a r-s ;

ઉદાહરણ: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

ઉદાહરણ: ( -2/3

4 0 . ( ab) આર = a આર b આર ; 5 0 . ( = .

ઉદાહરણ: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

એકસાથે અનેક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ: * : .

શારીરિક શિક્ષણ મિનિટ.

અમે પેનને ડેસ્ક પર મૂકી, પીઠ સીધી કરી, અને હવે અમે આગળ પહોંચીએ છીએ, અમે બોર્ડને સ્પર્શ કરવા માંગીએ છીએ. હવે અમે તેને ઊંચું કર્યું છે અને જમણે, ડાબે, આગળ, પાછળ ઝુકાવ્યું છે. તમે મને તમારા હાથ બતાવ્યા, હવે મને બતાવો કે તમારી આંગળીઓ કેવી રીતે નૃત્ય કરી શકે છે.

સામગ્રી પર કામ

ચાલો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે શક્તિના વધુ બે ગુણધર્મો નોંધીએ:

6 0 દો r એ તર્કસંગત સંખ્યા અને 0 છે< a < b . Тогда

a આર < b આરખાતે આર> 0,

a આર < b આરખાતે આર< 0.

7 0 . કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટેઆરઅને sઅસમાનતા થી આર> sતે તેને અનુસરે છે

a આર> એ આર a > 1 માટે,

a આર < а આર 0 પર< а < 1.

ઉદાહરણ: સંખ્યાઓની સરખામણી કરો:

અને ; 2 300 અને 3 200 .

પાઠ સારાંશ:

આજે પાઠમાં આપણે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મોને યાદ કર્યા, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા અને મૂળભૂત ગુણધર્મો શીખ્યા, અને આના ઉપયોગ પર વિચાર કર્યો. સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીવ્યાયામ કરતી વખતે વ્યવહારમાં. હું તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરવા માંગુ છું કે "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક" વિષય ફરજિયાત છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સોંપણીઓ. હોમવર્ક તૈયાર કરતી વખતે (નંબર 428 અને નંબર 429

આ લેખમાં આપણે શોધીશું કે તે શું છે સંખ્યાની શક્તિ. અહીં આપણે સંખ્યાની શક્તિની વ્યાખ્યા આપીશું, જ્યારે આપણે પ્રાકૃતિક ઘાતાંકથી શરૂ કરીને અને અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સમાપ્ત થતા તમામ સંભવિત ઘાતાંકનો વિગતવાર વિચાર કરીશું. સામગ્રીમાં તમને ઉદભવતી તમામ સૂક્ષ્મતાને આવરી લેતા ડિગ્રીના ઘણા ઉદાહરણો મળશે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ઘાત, સંખ્યાનો વર્ગ, સંખ્યાનો ઘન

સાથે શરૂઆત કરીએ. આગળ જોઈને, ચાલો કહીએ કે સંખ્યા a ની શક્તિની વ્યાખ્યા કુદરતી સૂચક n એ a માટે આપવામાં આવે છે, જેને આપણે કૉલ કરીશું ડિગ્રીના આધારે, અને n, જેને આપણે કહીશું ઘાત. અમે એ પણ નોંધીએ છીએ કે પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી ઉત્પાદન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તેથી નીચેની સામગ્રીને સમજવા માટે તમારે સંખ્યાઓના ગુણાકારની સમજ હોવી જરૂરી છે.

વ્યાખ્યા.

કુદરતી ઘાતાંક n સાથે સંખ્યાની શક્તિએ n સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે, જેનું મૂલ્ય n પરિબળના ઉત્પાદન જેટલું છે, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે, એટલે કે, .
ખાસ કરીને, ઘાતાંક 1 સાથેની સંખ્યા a ની શક્તિ એ સંખ્યા પોતે છે, એટલે કે, 1 =a.

ડિગ્રી વાંચવાના નિયમો વિશે તરત જ ઉલ્લેખ કરવો યોગ્ય છે. સાર્વત્રિક પદ્ધતિએન્ટ્રી a n ને વાંચવું એ છે: “a to the power of n”. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, નીચેના વિકલ્પો પણ સ્વીકાર્ય છે: “a થી nth ઘાત” અને “a ની nth શક્તિ”. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પાવર 8 12 લઈએ, આ છે “બારમા ઘાતની આઠ”, અથવા “આઠની બારમી ઘાત” અથવા “આઠની બારમી ઘાત”.

સંખ્યાની બીજી શક્તિ, તેમજ સંખ્યાની ત્રીજી શક્તિના પોતાના નામ છે. સંખ્યાની બીજી શક્તિ કહેવાય છે નંબરનો વર્ગ કરો, ઉદાહરણ તરીકે, 7 2 "સાત વર્ગ" અથવા "સાત નંબરનો વર્ગ" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. સંખ્યાની ત્રીજી શક્તિ કહેવાય છે ઘન સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 5 3 ને "પાંચ ઘન" તરીકે વાંચી શકાય છે અથવા તમે "નંબર 5 નો ઘન" કહી શકો છો.

લાવવાનો સમય છે કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ઉદાહરણો. ચાલો ડિગ્રી 5 7 થી શરૂઆત કરીએ, અહીં 5 એ ડિગ્રીનો આધાર છે, અને 7 એ ઘાતાંક છે. ચાલો બીજું ઉદાહરણ આપીએ: 4.32 એ આધાર છે, અને કુદરતી સંખ્યા 9 એ ઘાતાંક (4.32) 9 છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે માં છેલ્લું ઉદાહરણડિગ્રી 4.32 નો આધાર કૌંસમાં લખાયેલ છે: વિસંગતતાઓને ટાળવા માટે, અમે કૌંસમાં ડિગ્રીના તમામ આધારો મૂકીશું જે કુદરતી સંખ્યાઓથી અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે કુદરતી ઘાતાંક સાથે નીચેની ડિગ્રી આપીએ છીએ , તેમના પાયા કુદરતી સંખ્યાઓ નથી, તેથી તેઓ કૌંસમાં લખેલા છે. ઠીક છે, સંપૂર્ણ સ્પષ્ટતા માટે, આ બિંદુએ આપણે ફોર્મ (−2) 3 અને −2 3 ના રેકોર્ડમાં સમાયેલ તફાવત બતાવીશું. અભિવ્યક્તિ (−2) 3 એ 3 ના કુદરતી ઘાતાંક સાથે −2 ની ઘાત છે, અને અભિવ્યક્તિ −2 3 (તે −(2 3) તરીકે લખી શકાય છે) સંખ્યાને અનુરૂપ છે, ઘાત 2 3 નું મૂલ્ય .

નોંધ કરો કે a^n ફોર્મના ઘાતાંક n સાથે સંખ્યા a ની ઘાત માટે એક સંકેત છે. વધુમાં, જો n એ બહુ-મૂલ્ય ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા છે, તો ઘાત કૌંસમાં લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4^9 એ 4 9 ની શક્તિ માટે અન્ય સંકેત છે. અને અહીં “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને ડિગ્રી લખવાના કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે. નીચેનામાં, આપણે મુખ્યત્વે n ફોર્મના ડિગ્રી નોટેશનનો ઉપયોગ કરીશું.

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિને વધારતા વિપરિત સમસ્યાઓમાંની એક એ છે કે શક્તિનો આધાર શોધવાની સમસ્યા જાણીતું મૂલ્યડિગ્રી અને જાણીતા સૂચક. આ કાર્ય તરફ દોરી જાય છે.

તે જાણીતું છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકો અને દરેકનો સમાવેશ થાય છે અપૂર્ણાંક સંખ્યાહકારાત્મક અથવા નકારાત્મક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. અમે પાછલા ફકરામાં પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તેથી, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે સંખ્યાની ડિગ્રીનો અર્થ a સાથે આપવો જરૂરી છે. અપૂર્ણાંક સૂચક m/n , જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે. ચાલો આ કરીએ.

ચાલો ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લઈએ. પાવર-ટુ-પાવર મિલકત માન્ય રહેવા માટે, સમાનતા હોવી આવશ્યક છે . જો આપણે પરિણામી સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ અને આપણે કેવી રીતે નક્કી કર્યું, તો તેને સ્વીકારવું તાર્કિક છે, જો એમ, n અને a આપવામાં આવે તો, અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે.

તે તપાસવું સરળ છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો માન્ય છે (આ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના વિભાગ ગુણધર્મોમાં કરવામાં આવ્યું હતું).

ઉપરોક્ત તર્ક અમને નીચેના બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે નિષ્કર્ષ: જો m, n અને a આપવામાં આવે તો અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે, તો અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે a ની ઘાતને m ની ઘાત a નું nમું મૂળ કહેવાય છે.

આ વિધાન આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાની નજીક લાવે છે. માત્ર m, n અને a અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે તેનું વર્ણન કરવાનું બાકી છે. m, n અને a પર મુકવામાં આવેલા પ્રતિબંધોના આધારે, ત્યાં બે મુખ્ય અભિગમો છે.

સકારાત્મક m માટે a≥0 અને નકારાત્મક m માટે a>0 લઈને a પર અવરોધ લાદવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે (કારણ કે m≤0 માટે m ની ડિગ્રી 0 વ્યાખ્યાયિત નથી). પછી આપણને મળે છે નીચેની વ્યાખ્યાઅપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ધન સંખ્યા a ની શક્તિ, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, એ સંખ્યાનો nમો મૂળ કહેવાય છે a થી ઘાત m, એટલે કે, .

શૂન્યની અપૂર્ણાંક શક્તિ પણ એકમાત્ર ચેતવણી સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સૂચક હકારાત્મક હોવો જોઈએ.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક m/n સાથે શૂન્યની શક્તિ, જ્યાં m એ ધન પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે, તે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે .
જ્યારે ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવતી નથી, એટલે કે, અપૂર્ણાંક સાથે શૂન્ય સંખ્યાની ડિગ્રી નકારાત્મક સૂચકઅર્થ નથી.

એ નોંધવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા સાથે, એક ચેતવણી છે: કેટલાક નકારાત્મક a અને કેટલાક m અને n માટે, અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે, અને અમે a≥0 શરત રજૂ કરીને આ કિસ્સાઓને છોડી દીધા છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશો અર્થપૂર્ણ છે અથવા , અને ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા આપણને એમ કહેવા દબાણ કરે છે કે ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ અર્થ નથી, કારણ કે આધાર નકારાત્મક ન હોવો જોઈએ.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ એ છે કે મૂળના સમાન અને વિષમ ઘાતાંકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવાનો. આ અભિગમ જરૂરી છે વધારાની સ્થિતિ: સંખ્યા aની ઘાત, જેનું ઘાત છે, તે સંખ્યા aની ઘાત ગણવામાં આવે છે, જેનો ઘાત અનુરૂપ છે અફર અપૂર્ણાંક(આ સ્થિતિનું મહત્વ નીચે સમજાવવામાં આવશે). એટલે કે, જો m/n એ અફર અપૂર્ણાંક છે, તો પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા k માટે ડિગ્રી પ્રથમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

સમ n અને ધન m માટે, અભિવ્યક્તિ કોઈપણ બિન-નકારાત્મક a માટે અર્થપૂર્ણ બને છે (ઋણાત્મક સંખ્યાનું સમ રુટ અર્થમાં નથી હોતું); શૂન્ય દ્વારા). અને વિષમ n અને ધન m માટે, સંખ્યા a કોઈપણ હોઈ શકે છે (મૂળ વિચિત્ર ડિગ્રીકોઈપણ માટે વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યા), અને ઋણ m માટે સંખ્યા a બિન-શૂન્ય હોવી જોઈએ (જેથી શૂન્ય વડે કોઈ ભાગાકાર ન હોય).

ઉપરોક્ત તર્ક આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

વ્યાખ્યા.

m/n ને અફર અપૂર્ણાંક, m પૂર્ણાંક અને n ને કુદરતી સંખ્યા થવા દો. કોઈપણ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક માટે, ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે સંખ્યાની શક્તિ માટે છે



ચાલો આપણે સમજાવીએ કે શા માટે ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીને પહેલા અફર કરી શકાય તેવા ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. જો આપણે ડિગ્રીને માત્ર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, અને અપૂર્ણાંક m/n ની અસ્પષ્ટતા વિશે કોઈ આરક્ષણ ન કર્યું, તો પછી આપણને નીચેની જેવી પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરવો પડશે: 6/10 = 3/5 થી, પછી સમાનતા હોવી જોઈએ , પરંતુ , એ.

સંખ્યા a ના પૂર્ણાંક ઘાતાંકમાંથી, તર્કસંગત ઘાતાંકમાં સંક્રમણ પોતે સૂચવે છે. નીચે આપણે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને વ્યાખ્યાયિત કરીશું, અને અમે આને એવી રીતે કરીશું કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો સાચવવામાં આવે. આ જરૂરી છે કારણ કે પૂર્ણાંકો તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ભાગ છે.

તે જાણીતું છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકનો સમાવેશ થાય છે, અને દરેક અપૂર્ણાંકને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અમે પાછલા ફકરામાં પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તેથી, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે સંખ્યાની ડિગ્રીનો અર્થ આપવો જરૂરી છે. aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/n, ક્યાં , ક્યાંપૂર્ણાંક છે, અને પૂર્ણાંક છે, અને- કુદરતી. ચાલો આ કરીએ.

ચાલો ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લઈએ. પાવર-ટુ-પાવર મિલકત માન્ય રહેવા માટે, સમાનતા હોવી આવશ્યક છે . જો આપણે પરિણામી સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ અને આપણે ડિગ્રીનું nમું મૂળ કેવી રીતે નક્કી કર્યું, તો તે સ્વીકારવું તાર્કિક છે, જો આપેલ આપેલ , ક્યાં, પૂર્ણાંક છે, અનેઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે.

તે તપાસવું સરળ છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો માન્ય છે (આ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના વિભાગ ગુણધર્મોમાં કરવામાં આવ્યું હતું).

ઉપરોક્ત તર્ક અમને નીચેના બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે નિષ્કર્ષ: જો આપવામાં આવે , ક્યાં, પૂર્ણાંક છે, અનેઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ બને છે, પછી સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/nમૂળ કહેવાય છે પૂર્ણાંક છે, અનેની મી ડિગ્રી aએક ડિગ્રી સુધી , ક્યાં.

આ વિધાન આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાની નજીક લાવે છે. જે બાકી છે તે શું છે તેનું વર્ણન કરવાનું છે , ક્યાં, પૂર્ણાંક છે, અનેઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે. પર લાદવામાં આવેલા નિયંત્રણો પર આધાર રાખે છે , ક્યાં, પૂર્ણાંક છે, અનેઅને aત્યાં બે મુખ્ય અભિગમો છે.

1. સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે પર પ્રતિબંધ લાદવો a, સ્વીકારીને a≥0હકારાત્મક માટે , ક્યાંઅને a>0નકારાત્મક માટે , ક્યાં(ક્યારેથી m≤0ડિગ્રી 0 મીવ્યાખ્યાયિત નથી). પછી આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની નીચેની વ્યાખ્યા મળે છે.

વ્યાખ્યા.

ધન સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/n , ક્યાં , ક્યાં- સંપૂર્ણ, અને પૂર્ણાંક છે, અને- એક કુદરતી સંખ્યા, જેને મૂળ કહેવાય છે પૂર્ણાંક છે, અને-સંખ્યાનો મો aએક ડિગ્રી સુધી , ક્યાં, એટલે કે .

શૂન્યની અપૂર્ણાંક શક્તિ પણ એકમાત્ર ચેતવણી સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સૂચક હકારાત્મક હોવો જોઈએ.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક સાથે શૂન્યની શક્તિ m/n , ક્યાં , ક્યાંહકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, અને પૂર્ણાંક છે, અને- કુદરતી સંખ્યા, તરીકે વ્યાખ્યાયિત .
જ્યારે ડિગ્રી નિર્ધારિત ન હોય, એટલે કે, અપૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા શૂન્યની ડિગ્રીનો કોઈ અર્થ નથી.

એ નોંધવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા સાથે, ત્યાં એક ચેતવણી છે: કેટલાક નકારાત્મક માટે aઅને કેટલાક , ક્યાંઅને પૂર્ણાંક છે, અનેઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ અમે શરત રજૂ કરીને આ કેસો કાઢી નાખ્યા છે a≥0. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશો અર્થપૂર્ણ છે અથવા , અને ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા આપણને એમ કહેવા દબાણ કરે છે કે ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ અર્થ નથી, કારણ કે આધાર નકારાત્મક ન હોવો જોઈએ.

2. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ m/nમૂળના સમ અને વિષમ ઘાતાંકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આ અભિગમને વધારાની સ્થિતિની જરૂર છે: સંખ્યાની શક્તિ a, જેનો ઘાતાંક ઘટાડી શકાય એવો સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે, તે સંખ્યાની શક્તિ ગણાય છે a, જેનું સૂચક અનુરૂપ અફર અપૂર્ણાંક છે (આ સ્થિતિનું મહત્વ નીચે સમજાવવામાં આવશે). એટલે કે, જો m/nઅપૂર્ણ અપૂર્ણાંક છે, પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે kડિગ્રી પ્રાથમિક રીતે દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

સમ માટે પૂર્ણાંક છે, અનેઅને હકારાત્મક , ક્યાંઅભિવ્યક્તિ કોઈપણ બિન-નકારાત્મક માટે અર્થપૂર્ણ છે a(નકારાત્મક સંખ્યાના સમાન મૂળનો કોઈ અર્થ નથી), નકારાત્મક માટે , ક્યાંસંખ્યા aહજુ પણ શૂન્યથી અલગ હોવું જોઈએ (અન્યથા શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર થશે). અને વિચિત્ર માટે પૂર્ણાંક છે, અનેઅને હકારાત્મક , ક્યાંસંખ્યા aકોઈપણ હોઈ શકે છે (વિષમ મૂળ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે), અને નકારાત્મક માટે , ક્યાંસંખ્યા aબિન-શૂન્ય હોવું જોઈએ (જેથી શૂન્ય દ્વારા કોઈ ભાગાકાર ન હોય).

ઉપરોક્ત તર્ક આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

વ્યાખ્યા.

દો m/n- અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક, , ક્યાં- સંપૂર્ણ, અને પૂર્ણાંક છે, અને- કુદરતી સંખ્યા. કોઈપણ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક માટે, ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે m/n- આ માટે છે

o કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a, સંપૂર્ણ હકારાત્મક , ક્યાંઅને વિચિત્ર કુદરતી પૂર્ણાંક છે, અને, ઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા a, ઋણ પૂર્ણાંક , ક્યાંઅને વિચિત્ર પૂર્ણાંક છે, અને, ઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા a, સંપૂર્ણ હકારાત્મક , ક્યાંઅને પણ પૂર્ણાંક છે, અને, ઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ હકારાત્મક a, ઋણ પૂર્ણાંક , ક્યાંઅને પણ પૂર્ણાંક છે, અનેઉદાહરણ તરીકે, ;

o અન્ય કિસ્સાઓમાં, અપૂર્ણાંક સૂચક સાથેની ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત નથી .અમે એન્ટ્રી સાથે કોઈ અર્થ જોડતા નથી; m/nકેવી રીતે , નકારાત્મક અપૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે શૂન્ય સંખ્યાની શક્તિ નિર્ધારિત નથી.

આ ફકરાના નિષ્કર્ષમાં, ચાલો એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોરીએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે અથવા મિશ્ર સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, . આ પ્રકારના સમીકરણોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ઘાતાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં લખવાની જરૂર છે, અને પછી અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ઘાતાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો. ઉપરોક્ત ઉદાહરણો માટે અમારી પાસે છે અને

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

ખાસ્યાનોવા ટી.જી.,

ગણિત શિક્ષક

પ્રસ્તુત સામગ્રી ગણિતના શિક્ષકોને “તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક” વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે ઉપયોગી થશે.

પ્રસ્તુત સામગ્રીનો હેતુ: "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક" વિષય પર પાઠ ચલાવવાના મારા અનુભવને જાહેર કરવા કાર્ય કાર્યક્રમશિસ્ત "ગણિત".

પાઠ ચલાવવા માટેની પદ્ધતિ તેના પ્રકારને અનુરૂપ છે - નવા જ્ઞાનનો અભ્યાસ અને પ્રારંભમાં એકીકૃત કરવાનો પાઠ. અપડેટ કરેલ પૃષ્ઠભૂમિ જ્ઞાનઅને અગાઉ મેળવેલ અનુભવ પર આધારિત કુશળતા; પ્રાથમિક યાદ, એકત્રીકરણ અને નવી માહિતીનો ઉપયોગ. એકત્રીકરણ અને નવી સામગ્રીનો ઉપયોગ મેં પરીક્ષણ કરેલ સમસ્યાઓના નિરાકરણના સ્વરૂપમાં થયો હતો વિવિધ જટિલતાઆપવું હકારાત્મક પરિણામવિષય પર નિપુણતા મેળવવી.

પાઠની શરૂઆતમાં, મેં વિદ્યાર્થીઓ સમક્ષ મૂક્યું નીચેના લક્ષ્યો: શૈક્ષણિક, વિકાસલક્ષી, શૈક્ષણિક. પાઠ દરમિયાન મેં ઉપયોગ કર્યો વિવિધ રીતેપ્રવૃત્તિઓ: આગળનો, વ્યક્તિગત, જોડી, સ્વતંત્ર, પરીક્ષણ. કાર્યોને અલગ પાડવામાં આવ્યા હતા અને પાઠના દરેક તબક્કે, જ્ઞાન પ્રાપ્તિની ડિગ્રીને ઓળખવાનું શક્ય બનાવ્યું હતું. કાર્યોની માત્રા અને જટિલતા અનુરૂપ છે ઉંમર લક્ષણોવિદ્યાર્થીઓ મારા અનુભવ પરથી - હોમવર્ક, માં ઉકેલી સમસ્યાઓ જેવી જ અભ્યાસ ખંડ, તમને હસ્તગત જ્ઞાન અને કુશળતાને વિશ્વસનીય રીતે એકીકૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે. પાઠના અંતે, પ્રતિબિંબ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું અને વ્યક્તિગત વિદ્યાર્થીઓના કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવ્યું હતું.

ધ્યેયો સિદ્ધ થયા. વિદ્યાર્થીઓએ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ખ્યાલ અને ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો, ઉકેલ કરતી વખતે આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાનું શીખ્યા. વ્યવહારુ સમસ્યાઓ. માટે સ્વતંત્ર કાર્યઆગામી પાઠમાં ગ્રેડની જાહેરાત કરવામાં આવશે.

હું માનું છું કે ગણિત શીખવવા માટે હું જે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરું છું તેનો ગણિતના શિક્ષકો ઉપયોગ કરી શકે છે.

પાઠનો વિષય: તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

જ્ઞાન અને કુશળતાના સંકુલમાં વિદ્યાર્થીઓની નિપુણતાના સ્તરની ઓળખ અને તેના આધારે, એપ્લિકેશન ચોક્કસ નિર્ણયોશૈક્ષણિક પ્રક્રિયા સુધારવા માટે.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:મૂળભૂત વિભાવનાઓ, નિયમો, તર્કસંગત સૂચક સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેના કાયદાના વિદ્યાર્થીઓમાં નવું જ્ઞાન રચવું, પ્રમાણભૂત પરિસ્થિતિઓમાં જ્ઞાનને સ્વતંત્ર રીતે લાગુ કરવાની ક્ષમતા, સંશોધિત અને બિન-માનક પરિસ્થિતિઓ;

વિકાસશીલ:તાર્કિક રીતે વિચારો અને અમલ કરો સર્જનાત્મકતા;

ઉછેર:ગણિતમાં રસ વિકસાવો, નવા શબ્દો સાથે શબ્દભંડોળ ફરી ભરો, લાભ મેળવો વધારાની માહિતીઆપણી આસપાસની દુનિયા વિશે. ધીરજ, ખંત અને મુશ્કેલીઓને દૂર કરવાની ક્ષમતા કેળવો.

સંસ્થાકીય ક્ષણ

સંદર્ભ જ્ઞાન અપડેટ કરવું

જ્યારે સમાન પાયા સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

2. સમાન પાયા સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, ડિગ્રીના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

3. ઘાતની ડિગ્રી વધારતી વખતે, ઘાતાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

4. ઉત્પાદનની ડિગ્રી પરિબળોની ડિગ્રીના ઉત્પાદનની બરાબર છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

5. ભાગાકારની ડિગ્રી ડિવિડન્ડ અને વિભાજકની ડિગ્રીના ભાગાકાર જેટલી છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

ઉકેલો સાથે કસરતો

અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

ઉકેલ:

IN આ કિસ્સામાંવી સ્પષ્ટ સ્વરૂપકુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના કોઈપણ ગુણધર્મો લાગુ કરી શકાતા નથી, કારણ કે તમામ ડિગ્રી હોય છે વિવિધ કારણો. ચાલો અમુક શક્તિઓને અલગ સ્વરૂપમાં લખીએ:

(ઉત્પાદનની ડિગ્રી પરિબળોની ડિગ્રીના ઉત્પાદનની બરાબર છે);

(જ્યારે સમાન પાયા સાથે ઘાતોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાત ઉમેરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે; જ્યારે ઘાતની ડિગ્રી વધારતા, ઘાતનો ગુણાકાર થાય છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે).

પછી આપણને મળે છે:

IN આ ઉદાહરણમાંકુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના પ્રથમ ચાર ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

અંકગણિત વર્ગમૂળ
- આ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા, જેનો ચોરસ બરાબર છેa,
. મુ
- અભિવ્યક્તિ
વ્યાખ્યાયિત નથી, કારણ કે એવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી કે જેનો વર્ગ નકારાત્મક સંખ્યાના બરાબર હોયa.

ગાણિતિક શ્રુતલેખન(8-10 મિનિટ.)

વિકલ્પ

II. વિકલ્પ

1. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

અ)

b)

1. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

અ)

b)

2. ગણતરી કરો

અ)

b)

માં)

2. ગણતરી કરો

અ)

b)

વી)

સ્વ-પરીક્ષણ(લેપલ બોર્ડ પર):

પ્રતિભાવ મેટ્રિક્સ:

№ વિકલ્પ/કાર્ય

સમસ્યા 1

સમસ્યા 2

વિકલ્પ 1

a) 2

b) 2

a) 0.5

b)

વી)

વિકલ્પ 2

a) 1.5

b)

અ)

b)

c) 4

II. નવા જ્ઞાનની રચના

ચાલો વિચાર કરીએ કે અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે, ક્યાં છે - હકારાત્મક સંખ્યા - અપૂર્ણાંક સંખ્યા અને m-પૂર્ણાંક, n-કુદરતી (n›1)

વ્યાખ્યા: તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે a›0 ની શક્તિઆર = , તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા આપણે તે મેળવીએ છીએ-સમગ્ર, n- કુદરતી ( n› 1) નંબર કહેવાય છે.

તેથી:

ઉદાહરણ તરીકે:

નોંધો:

1. કોઈપણ ધન a અને કોઈપણ તર્કસંગત r સંખ્યા માટે હકારાત્મક રીતે

2. ક્યારે
સંખ્યાની તર્કસંગત શક્તિaનક્કી નથી.

જેવા અભિવ્યક્તિઓ
અર્થ નથી.

3.જો અપૂર્ણાંક હકારાત્મક સંખ્યા છે
.

જો અપૂર્ણાંક નકારાત્મક સંખ્યા, પછી -અર્થ નથી.

ઉદાહરણ તરીકે: - અર્થ નથી.

ચાલો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો a >0, b>0; r, s - કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ. પછી કોઈપણ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી હોય છે નીચેના ગુણધર્મો:

1.
2.
3.
4.
5.

III. એકત્રીકરણ. નવી કુશળતા અને ક્ષમતાઓની રચના.

ટાસ્ક કાર્ડ્સ પરીક્ષણના સ્વરૂપમાં નાના જૂથોમાં કાર્ય કરે છે.

"તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક" વિડિઓ પાઠમાં વિઝ્યુઅલ શામેલ છે શૈક્ષણિક સામગ્રીઆ વિષય પર પાઠ શીખવવા માટે. વિડીયો પાઠમાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વિભાવના, આવી ડિગ્રીના ગુણધર્મો તેમજ વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે શૈક્ષણિક સામગ્રીના ઉપયોગનું વર્ણન કરતા ઉદાહરણો વિશેની માહિતી છે. આ વિડિયો પાઠનો હેતુ શૈક્ષણિક સામગ્રીને સ્પષ્ટ અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવાનો, વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા તેના વિકાસ અને યાદ રાખવાની સુવિધા આપવાનો અને શીખેલા ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવાનો છે.

વિડિયો પાઠના મુખ્ય ફાયદાઓ દૃષ્ટિની રીતે પરિવર્તન અને ગણતરીઓ કરવાની ક્ષમતા, શીખવાની કાર્યક્ષમતામાં સુધારો કરવા માટે એનિમેશન અસરોનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા છે. અવાજ માર્ગદર્શન યોગ્ય વિકાસ કરવામાં મદદ કરે છે ગણિત ભાષણ, અને શિક્ષકના સમજૂતીને બદલવાનું પણ શક્ય બનાવે છે, તેને વ્યક્તિગત કાર્ય હાથ ધરવા માટે મુક્ત કરે છે.

વિડિયો પાઠ વિષયનો પરિચય આપીને શરૂ થાય છે. અભ્યાસને જોડવું નવો વિષયઅગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી સાથે, એ યાદ રાખવાનું સૂચન કરવામાં આવે છે કે n √a અન્યથા કુદરતી n અને હકારાત્મક a માટે 1/n દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ રજૂઆત n-રુટ સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે. આગળ, અમે m/n અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે તે ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રસ્તાવ મૂકીએ છીએ, જેમાં a એ ધન સંખ્યા છે અને m/n એ અપૂર્ણાંક છે. m/n = n √a m તરીકે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે, જે ફ્રેમમાં પ્રકાશિત થાય છે. એ નોંધ્યું છે કે n હોઈ શકે છે કુદરતી સંખ્યા, અને m એ પૂર્ણાંક છે.

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી, તેનો અર્થ ઉદાહરણો દ્વારા પ્રગટ થાય છે: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. એક ઉદાહરણ પણ દર્શાવવામાં આવ્યું છે જેમાં ડિગ્રી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે દશાંશ, માં રૂપાંતરિત થાય છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકરુટ તરીકે રજૂ કરવા માટે: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 અને ઉદાહરણ સાથે નકારાત્મક મૂલ્યડિગ્રી: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

જ્યારે ડિગ્રીનો આધાર શૂન્ય હોય ત્યારે વિશિષ્ટ કેસની વિશિષ્ટતા અલગથી સૂચવવામાં આવે છે. એ નોંધ્યું છે કે આ ડિગ્રીસકારાત્મક અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે જ અર્થ થાય છે. આ કિસ્સામાં, તેનું મૂલ્ય શૂન્ય છે: 0 m/n =0.

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની બીજી વિશેષતા નોંધવામાં આવે છે - કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ગણી શકાય નહીં. ડિગ્રીના ખોટા સંકેતના ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

આગળ વિડિયો પાઠમાં આપણે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરીશું. તે નોંધવામાં આવે છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના ગુણધર્મો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી માટે પણ માન્ય રહેશે. આ કિસ્સામાં પણ માન્ય મિલકતોની સૂચિને યાદ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે:

1. જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઘાતાંકનો ઉમેરો થાય છે: a p a q =a p+q.
2. સમાન પાયા સાથેની ડિગ્રીઓનું વિભાજન આપેલ આધાર અને ઘાતાંકમાં તફાવત સાથે ડિગ્રી સુધી ઘટાડી દેવામાં આવે છે: a p:a q =a p-q.
3. જો આપણે ડિગ્રીને ચોક્કસ શક્તિ સુધી વધારીએ, તો પછી આપણે આપેલ આધાર અને ઘાતાંકના ગુણાંક સાથેની ડિગ્રી સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ: (a p) q =a pq.

આ તમામ ગુણધર્મો તર્કસંગત ઘાતાંક p, q અને ધન આધાર a>0 સાથેની શક્તિઓ માટે માન્ય છે. ઉપરાંત, કૌંસ ખોલતી વખતે ડિગ્રી પરિવર્તન સાચું રહે છે:

1. (ab) p =a p b p - તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે અમુક ઘાતમાં વધારો કરવાથી બે સંખ્યાના ગુણાંકને સંખ્યાના ગુણાંકમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે, જેમાંથી પ્રત્યેકને આપેલ ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે.
2. (a/b) p =a p /b p - તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે અપૂર્ણાંકને ઘાતમાં વધારતા અપૂર્ણાંકમાં ઘટાડો થાય છે જેના અંશ અને છેદને આપેલ ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે.

વિડીયો ટ્યુટોરીયલ એવા ઉદાહરણોની ચર્ચા કરે છે કે જે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે સત્તાના ગણવામાં આવતા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરે છે. પહેલું ઉદાહરણ તમને x in વેરિયેબલ ધરાવતી એક્સપ્રેશનની કિંમત શોધવાનું કહે છે અપૂર્ણાંક શક્તિ: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). અભિવ્યક્તિની જટિલતા હોવા છતાં, શક્તિઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને તે એકદમ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે. સમસ્યાનું નિરાકરણ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાથી શરૂ થાય છે, જે એક શક્તિના તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે શક્તિ વધારવાના નિયમનો ઉપયોગ કરે છે, તેમજ તેની સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરે છે. સમાન આધાર. અવેજી પછી મૂલ્ય સેટ કરો x=8 સરળ અભિવ્યક્તિ x 1/3 +48 માં, મૂલ્ય મેળવવું સરળ છે - 50.

બીજા ઉદાહરણમાં, તમારે એવા અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જરૂર છે કે જેના અંશ અને છેદમાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ હોય. ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તફાવતમાંથી પરિબળ x 1/3 કાઢીએ છીએ, જે પછી અંશ અને છેદમાં ઘટાડવામાં આવે છે, અને વર્ગોના તફાવત માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અંશનું અવયવીકરણ થાય છે, જે સમાનતાના વધુ ઘટાડા આપે છે. અંશ અને છેદમાં પરિબળો. આવા પરિવર્તનનું પરિણામ ટૂંકા અપૂર્ણાંક x 1/4 +3 છે.

શિક્ષક દ્વારા પાઠનો નવો વિષય સમજાવવાને બદલે વિડીયો પાઠ “તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક” નો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ માર્ગદર્શિકા પણ પૂરતી સમાવે છે સંપૂર્ણ માહિતીમાટે સ્વ-અભ્યાસવિદ્યાર્થી સામગ્રી અંતર શિક્ષણ માટે પણ ઉપયોગી થઈ શકે છે.