અંકગણિત પ્રગતિ. અંકગણિત પ્રગતિ

અથવા અંકગણિત - આ એક પ્રકારનો આદેશ આપ્યો છે સંખ્યા ક્રમ, જેનાં ગુણધર્મોનો અભ્યાસ શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં કરવામાં આવે છે. આ લેખ અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નની વિગતવાર ચર્ચા કરે છે.

આ કેવા પ્રકારની પ્રગતિ છે?

પ્રશ્ન પર આગળ વધતા પહેલા (અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો), તે સમજવા યોગ્ય છે કે આપણે શું વાત કરી રહ્યા છીએ.

કોઈપણ ક્રમ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જે દરેક અગાઉની સંખ્યામાંથી અમુક મૂલ્ય ઉમેરીને (બાદબાકી કરીને) મેળવવામાં આવે છે, તેને બીજગણિત (અંકગણિત) પ્રગતિ કહેવાય છે. આ વ્યાખ્યા, જ્યારે ગાણિતિક ભાષામાં અનુવાદિત થાય છે, ત્યારે તે સ્વરૂપ લે છે:

અહીં હું - સીરીયલ નંબરશ્રેણીનું તત્વ a i. આમ, માત્ર એક પ્રારંભિક સંખ્યા જાણીને, તમે સરળતાથી સમગ્ર શ્રેણી પુનઃસ્થાપિત કરી શકો છો. સૂત્રમાં પરિમાણ d ને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે.

તે સરળતાથી બતાવી શકાય છે કે વિચારણા હેઠળની સંખ્યાઓની શ્રેણી માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

a n = a 1 + d * (n - 1).

એટલે કે, ક્રમમાં nમા ઘટકનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ ઘટકમાં 1 n-1 વખત તફાવત d ઉમેરવો જોઈએ.

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો શું છે: સૂત્ર

સૂચવેલ રકમ માટે સૂત્ર આપતા પહેલા, તે એક સરળ ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે ખાસ કેસ. પ્રગતિ આપવામાં આવે છે કુદરતી સંખ્યાઓ 1 થી 10 સુધી, તમારે તેમનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. પ્રોગ્રેસન (10) માં થોડા શબ્દો હોવાથી, સમસ્યાનું નિરાકરણ શક્ય છે, એટલે કે ક્રમમાં તમામ ઘટકોનો સરવાળો કરો.

એસ 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

એક વાત ધ્યાનમાં લેવા જેવી છે રસપ્રદ વાત: દરેક પદ સમાન મૂલ્ય d = 1 દ્વારા આગલા શબ્દથી અલગ હોવાને કારણે, પછી દસમા સાથે પ્રથમ, નવમા સાથે બીજા અને તેથી વધુનો જોડીવાર સરવાળો સમાન પરિણામ આપશે. ખરેખર:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ રકમમાંથી માત્ર 5 છે, એટલે કે, શ્રેણીના ઘટકોની સંખ્યા કરતા બરાબર બે ગણા ઓછા છે. પછી દરેક રકમ (11) ના પરિણામ દ્વારા સરવાળો (5) ની સંખ્યાને ગુણાકાર કરવાથી, તમે પ્રથમ ઉદાહરણમાં મેળવેલા પરિણામ પર પહોંચશો.

જો આપણે આ દલીલોને સામાન્ય બનાવીએ, તો આપણે નીચેની અભિવ્યક્તિ લખી શકીએ છીએ:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

આ અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે એક પંક્તિમાં તમામ ઘટકોનો સરવાળો કરવો જરૂરી નથી; પ્રથમ a 1 અને છેલ્લા a n ની કિંમત જાણવા માટે તે પૂરતું છે કુલ સંખ્યા n શરતો.

એવું માનવામાં આવે છે કે ગૌસે આ સમાનતા વિશે સૌ પ્રથમ વિચાર્યું હતું જ્યારે તે આપેલ સમસ્યાનો ઉકેલ શોધી રહ્યા હતા. શાળા શિક્ષકકાર્ય: પ્રથમ 100 પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.

m થી n સુધીના તત્વોનો સરવાળો: સૂત્ર

પાછલા ફકરામાં આપેલ સૂત્ર અંકગણિત પ્રગતિ (પ્રથમ તત્વો) નો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે, પરંતુ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં તે પ્રગતિની મધ્યમાં સંખ્યાઓની શ્રેણીનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે. આ કેવી રીતે કરવું?

આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે વિચારીને આગામી ઉદાહરણ: m-th થી n-th સુધીના શબ્દોનો સરવાળો શોધવો જરૂરી છે. સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે નવી સંખ્યા શ્રેણીના સ્વરૂપમાં પ્રગતિના m થી n સુધીના આપેલા સેગમેન્ટને રજૂ કરવા જોઈએ. આમાં m-th રજૂઆતશબ્દ a m પ્રથમ હશે, અને a n ને n-(m-1) ક્રમાંકિત કરવામાં આવશે. આ કિસ્સામાં, સરવાળા માટે પ્રમાણભૂત સૂત્ર લાગુ કરવાથી, નીચેની અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થશે:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

સૂત્રોના ઉપયોગનું ઉદાહરણ

અંકગણિતની પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે જાણીને, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના એક સરળ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય છે.

નીચે એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, તમારે તેની શરતોનો સરવાળો મેળવવો જોઈએ, 5મીથી શરૂ થઈને 12મી સાથે સમાપ્ત થાય છે:

આપેલ સંખ્યાઓ સૂચવે છે કે તફાવત d 3 ની બરાબર છે. nમા તત્વ માટે અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, તમે પ્રગતિના 5મા અને 12મા પદોના મૂલ્યો શોધી શકો છો. તે તારણ આપે છે:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

વિચારણા હેઠળના બીજગણિત પ્રગતિના અંતે સંખ્યાઓના મૂલ્યો જાણતા, તેમજ શ્રેણીમાં કઈ સંખ્યાઓ તેઓ કબજે કરે છે તે જાણીને, તમે અગાઉના ફકરામાં મેળવેલા સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તે બહાર આવશે:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે આ મૂલ્ય અલગ રીતે મેળવી શકાય છે: પહેલા પ્રથમ 12 તત્વોનો સરવાળો શોધો પ્રમાણભૂત સૂત્ર, પછી સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ 4 ઘટકોના સરવાળાની ગણતરી કરો, પછી પ્રથમ સરવાળામાંથી બીજાને બાદ કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... એ અંકગણિત પ્રગતિ છે, કારણ કે દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એકથી ત્રણ દ્વારા અલગ પડે છે (ત્રણ ઉમેરીને અગાઉના એકમાંથી મેળવી શકાય છે):

આ પ્રગતિમાં, તફાવત \(d\) ધન છે (\(3\) ની બરાબર), અને તેથી દરેક આગામી પદ અગાઉના એક કરતા વધારે છે. આવી પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે વધારો.

જો કે, \(d\) પણ નકારાત્મક સંખ્યા હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિમાં \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... પ્રગતિ તફાવત \(d\) ઓછા છ બરાબર છે.

અને આ કિસ્સામાં, દરેક આગલું તત્વ પાછલા એક કરતાં નાનું હશે. આ પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે ઘટતું.

અંકગણિત પ્રગતિ સંકેત

પ્રગતિ નાના લેટિન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જે સંખ્યાઓ પ્રગતિ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સભ્યો(અથવા તત્વો).

તેઓ અંકગણિત પ્રગતિ તરીકે સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ ક્રમમાં તત્વની સંખ્યા જેટલી સંખ્યાત્મક અનુક્રમણિકા સાથે.

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) તત્વોનો સમાવેશ કરે છે \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) અને તેથી વધુ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રગતિ માટે \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા

સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉપર પ્રસ્તુત માહિતી લગભગ કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પહેલેથી જ પૂરતી છે (OGE પર ઓફર કરાયેલ તે સહિત).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિશરતો દ્વારા આપવામાં આવેલ \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(b_5=23\)

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો આપવામાં આવ્યા છે: \(62; 49; 36…\) આ પ્રગતિના પ્રથમ નકારાત્મક પદનું મૂલ્ય શોધો..
ઉકેલ:

જવાબ: \(-3\)

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિના કેટલાક સળંગ ઘટકો આપેલ છે: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત તત્વની કિંમત શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(7,5\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવે છે નીચેની શરતો: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) આ પ્રગતિના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_6=9\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિમાં \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). આ પ્રગતિનો તફાવત શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(d=7\).

અંકગણિત પ્રગતિ માટે મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અંકગણિત પ્રગતિ પરની ઘણી સમસ્યાઓ મુખ્ય વસ્તુને સમજીને સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે - કે અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓની સાંકળ છે, અને આ સાંકળમાં દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એકમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. પ્રગતિનો તફાવત).

જો કે, કેટલીકવાર એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે "હેડ-ઓન" નક્કી કરવું ખૂબ જ અસુવિધાજનક હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો કે પહેલા જ ઉદાહરણમાં આપણે પાંચમું તત્વ \(b_5\), પરંતુ ત્રણસો છઠ્ઠું \(b_(386)\) શોધવાની જરૂર છે. શું આપણે ચાર \(385\) વખત ઉમેરવાની જરૂર છે? અથવા કલ્પના કરો કે ઉપાંત્ય ઉદાહરણમાં તમારે પ્રથમ સિત્તેર તત્વોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. તમે ગણીને થાકી જશો...

તેથી, આવા કિસ્સાઓમાં, તેઓ "હેડ-ઓન" વસ્તુઓને હલ કરતા નથી, પરંતુ અંકગણિત પ્રગતિ માટે મેળવેલા વિશિષ્ટ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે. અને મુખ્ય છે પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર અને \(n\) પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર.

\(n\)મી શબ્દનું સૂત્ર: \(a_n=a_1+(n-1)d\), જ્યાં \(a_1\) એ પ્રગતિનું પ્રથમ પદ છે;
\(n\) - જરૂરી તત્વની સંખ્યા;
\(a_n\) - સંખ્યા સાથે પ્રગતિનો શબ્દ \(n\).

આ સૂત્ર આપણને માત્ર પ્રથમ અને પ્રગતિના તફાવતને જાણીને, ત્રણ-સોમું અથવા મિલિયનમું તત્વ પણ ઝડપથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ. અંકગણિત પ્રગતિ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(b_(246)=1850\).

પ્રથમ n પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), જ્યાં

\(a_n\) - છેલ્લો સરવાળો શબ્દ;

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ એ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે \(a_n=3.4n-0.6\). આ પ્રગતિના પ્રથમ \(25\) પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(25)=1090\).

પ્રથમ શબ્દોના સરવાળા \(n\) માટે, તમે બીજું સૂત્ર મેળવી શકો છો: તમારે ફક્ત \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) ને બદલે તેના માટે સૂત્ર આપો \(a_n=a_1+(n-1)d\). અમને મળે છે:

પ્રથમ n પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), જ્યાં

\(S_n\) – \(n\) પ્રથમ તત્વોનો જરૂરી સરવાળો;
\(a_1\) – પ્રથમ સરવાળો શબ્દ;
\(ડી\) - પ્રગતિ તફાવત;
\(n\) - કુલ ઘટકોની સંખ્યા.

ઉદાહરણ. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ \(33\)-ex પદોનો સરવાળો શોધો: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(33)=-231\).

વધુ જટિલ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ

હવે તમારી પાસે બધું છે જરૂરી માહિતીલગભગ કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યા ઉકેલવા માટે. ચાલો તે સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈને વિષય પૂરો કરીએ જેમાં તમારે માત્ર સૂત્રો લાગુ કરવાની જરૂર નથી, પણ થોડો વિચાર પણ કરો (ગણિતમાં આ ઉપયોગી થઈ શકે છે ☺)

ઉદાહરણ (OGE). પ્રગતિના તમામ નકારાત્મક શબ્દોનો સરવાળો શોધો: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(65)=-630.5\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)મી થી \(42\) તત્વ સહિતનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S=1683\).

અંકગણિતની પ્રગતિ માટે, ત્યાં ઘણા વધુ સૂત્રો છે જે અમે તેમની ઓછી વ્યવહારિક ઉપયોગિતાને કારણે આ લેખમાં ધ્યાનમાં લીધા નથી. જો કે, તમે તેમને સરળતાથી શોધી શકો છો.

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, સૌથી વધુ માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો ઉપયોગી સંસાધનમાટે

સંખ્યા ક્રમ

તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:
તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:

સંખ્યા ક્રમ
ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:

અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.
સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમની મી પદ કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વગેરે
આ સંખ્યા ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે.
"પ્રોગ્રેસન" શબ્દ 6ઠ્ઠી સદીમાં રોમન લેખક બોથિયસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તે વધુ સમજવામાં આવ્યો હતો. વ્યાપક અર્થમાં, અનંત સંખ્યાના ક્રમની જેમ. "અંકગણિત" નામ સતત પ્રમાણના સિદ્ધાંતમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો પ્રાચીન ગ્રીક લોકો દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા પહેલાના સભ્ય જેટલો છે. આ સંખ્યાને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

કઈ સંખ્યા ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે અને કઈ નથી તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

a)
b)
c)
ડી)

સમજાયું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
છેઅંકગણિત પ્રગતિ - b, c.
નથીઅંકગણિત પ્રગતિ - a, d.

ચાલો આપેલ પ્રગતિ () પર પાછા જઈએ અને તેના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. અસ્તિત્વ ધરાવે છે બેતેને શોધવાની રીત.

1. પદ્ધતિ

જ્યાં સુધી આપણે પ્રગતિની મી મુદત સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી આપણે અગાઉના મૂલ્યમાં પ્રગતિ નંબર ઉમેરી શકીએ છીએ. તે સારું છે કે અમારી પાસે સારાંશ આપવા માટે વધુ નથી - ફક્ત ત્રણ મૂલ્યો:

તેથી, વર્ણવેલ અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.

2. પદ્ધતિ

જો આપણે પ્રગતિની મી મુદતનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો શું? સારાંશમાં અમને એક કલાકથી વધુ સમય લાગશે, અને તે હકીકત નથી કે સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે અમે ભૂલો કરતા નથી.
અલબત્ત, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એવી રીત શોધી કાઢી છે જેમાં અગાઉના મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઉમેરવાની જરૂર નથી. દોરેલા ચિત્રને નજીકથી જુઓ... ચોક્કસ તમે પહેલેથી જ એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું હશે, એટલે કે:

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શું છે:


બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

આ રીતે આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

શું તમે ગણતરી કરી? જવાબ સાથે તમારી નોંધોની તુલના કરો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે અનુક્રમે પાછલા મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો ઉમેરી ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની જેમ બરાબર એ જ નંબર મળ્યો છે.
ચાલો "વ્યક્તિગતીકરણ" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ આ સૂત્ર- ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકીએ અને મેળવીએ:

અંકગણિત પ્રગતિમાં વધારો અથવા ઘટાડો થઈ શકે છે.

વધી રહી છે- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા વધારે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

ઉતરતા- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા ઓછું છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ અંકગણિત પ્રગતિના વધતા અને ઘટતા બંને શબ્દોમાં શરતોની ગણતરીમાં થાય છે.
ચાલો વ્યવહારમાં આ તપાસીએ.
અમને નીચેની સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી એક અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવી છે: ચાલો તપાસીએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિની મી સંખ્યા શું હશે જો આપણે તેની ગણતરી કરવા માટે અમારા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

ત્યારથી:

આમ, અમને ખાતરી છે કે સૂત્ર અંકગણિતની પ્રગતિ ઘટતા અને વધતા બંનેમાં કાર્ય કરે છે.
આ અંકગણિતની પ્રગતિની મી અને મી શરતો જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

અંકગણિત પ્રગતિ ગુણધર્મ

ચાલો સમસ્યાને જટિલ બનાવીએ - અમે અંકગણિત પ્રગતિની મિલકત મેળવીશું.
ચાલો કહીએ કે અમને નીચેની શરત આપવામાં આવી છે:
- અંકગણિત પ્રગતિ, મૂલ્ય શોધો.
સરળ, તમે કહો અને તમે પહેલાથી જ જાણો છો તે સૂત્ર અનુસાર ગણતરી કરવાનું શરૂ કરો:

ચાલો, આહ, પછી:

બિલકુલ સાચું. તે તારણ આપે છે કે આપણે પહેલા શોધીએ છીએ, પછી તેને પ્રથમ નંબરમાં ઉમેરીએ છીએ અને આપણે જે શોધી રહ્યા છીએ તે મેળવીએ છીએ. જો પ્રગતિ નાના મૂલ્યો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો તેમાં કંઈ જટિલ નથી, પરંતુ જો આપણને સ્થિતિમાં નંબરો આપવામાં આવે તો શું? સંમત થાઓ, ગણતરીમાં ભૂલ થવાની સંભાવના છે.
હવે વિચારો કે શું કોઈ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને એક પગલામાં ઉકેલવી શક્ય છે? અલબત્ત હા, અને તે જ અમે હવે બહાર લાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના જરૂરી શબ્દને સૂચવીએ કારણ કે, તેને શોધવાનું સૂત્ર આપણને જાણીતું છે - આ તે જ સૂત્ર છે જે આપણે શરૂઆતમાં મેળવ્યું છે:
, પછી:

• પ્રગતિની પાછલી મુદત છે:
• પ્રગતિની આગામી મુદત છે:

ચાલો પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો કરીએ:

તે તારણ આપે છે કે પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો એ તેમની વચ્ચે સ્થિત પ્રગતિ શબ્દનું ડબલ મૂલ્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અગાઉના જાણીતા અને આપેલ પ્રગતિ શબ્દનું મૂલ્ય શોધવા માટે સળંગ મૂલ્યો, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને તેમને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

તે સાચું છે, અમને સમાન નંબર મળ્યો. ચાલો સામગ્રીને સુરક્ષિત કરીએ. પ્રગતિ માટેના મૂલ્યની જાતે ગણતરી કરો, તે બિલકુલ મુશ્કેલ નથી.

શાબાશ! તમે પ્રગતિ વિશે લગભગ બધું જ જાણો છો! તે ફક્ત એક જ સૂત્ર શોધવાનું બાકી છે, જે, દંતકથા અનુસાર, બધા સમયના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક, "ગણિતશાસ્ત્રીઓના રાજા" - કાર્લ ગૌસ દ્વારા સરળતાથી પોતાના માટે અનુમાનિત કરવામાં આવ્યું હતું.

જ્યારે કાર્લ ગૌસ 9 વર્ષનો હતો, ત્યારે એક શિક્ષક, અન્ય વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓનું કાર્ય તપાસવામાં વ્યસ્ત હતો, તેણે વર્ગમાં નીચેનું કાર્ય પૂછ્યું: "બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાની ગણતરી કરો (અન્ય સ્રોતો અનુસાર) થી લઈને." શિક્ષકના આશ્ચર્યની કલ્પના કરો જ્યારે તેના એક વિદ્યાર્થીએ (આ કાર્લ ગૌસ હતો) એક મિનિટ પછી કાર્યનો સાચો જવાબ આપ્યો, જ્યારે ડેરડેવિલના મોટાભાગના સહપાઠીઓને, લાંબી ગણતરીઓ પછી, ખોટું પરિણામ મળ્યું...

યુવાન કાર્લ ગૌસે એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું જે તમે પણ સરળતાથી નોંધી શકો છો.
ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે -th પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિ છે: આપણે અંકગણિત પ્રગતિના આ શબ્દોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. અલબત્ત, આપણે મેન્યુઅલી તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ, પરંતુ જો કાર્યને તેની શરતોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તો શું, જેમ કે ગૌસ શોધી રહ્યા હતા?

અમને આપવામાં આવેલ પ્રગતિનું નિરૂપણ કરીએ. પ્રકાશિત સંખ્યાઓ પર નજીકથી નજર નાખો અને તેમની સાથે વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરો.


શું તમે તેનો પ્રયાસ કર્યો છે? તમે શું નોંધ્યું? અધિકાર! તેમની રકમ સમાન છે

હવે મને કહો, અમને આપેલી પ્રગતિમાં કુલ આવી કેટલી જોડી છે? અલબત્ત, બધી સંખ્યાઓનો બરાબર અડધો, એટલે કે.
એ હકીકતને આધારે કે અંકગણિત પ્રગતિના બે પદોનો સરવાળો સમાન છે, અને સમાન જોડી સમાન છે, અમે તે મેળવીએ છીએ કુલ રકમસમાન છે:
.
આમ, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર આ હશે:

કેટલીક સમસ્યાઓમાં આપણે મી શબ્દ જાણતા નથી, પરંતુ આપણે પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ છીએ. મી શબ્દના સૂત્રને સરવાળા સૂત્રમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરો.
તમને શું મળ્યું?

શાબાશ! હવે ચાલો તે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ જે કાર્લ ગૌસને પૂછવામાં આવી હતી: તમારા માટે ગણતરી કરો કે th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અને th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.

તમને કેટલું મળ્યું?
ગૌસે જોયું કે શરતોનો સરવાળો સમાન છે, અને શરતોનો સરવાળો છે. તે તમે નક્કી કર્યું છે?

વાસ્તવમાં, અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર 3જી સદીમાં પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફેન્ટસ દ્વારા સાબિત થયું હતું, અને આ સમય દરમિયાન, વિનોદી લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કર્યો હતો.
ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો પ્રાચીન ઇજિપ્તઅને સૌથી વધુ મોટા પાયે બાંધકામતે સમય - પિરામિડનું બાંધકામ... ચિત્ર તેની એક બાજુ બતાવે છે.

અહીં પ્રગતિ ક્યાં છે, તમે કહો છો? કાળજીપૂર્વક જુઓ અને પિરામિડ દિવાલની દરેક હરોળમાં રેતીના બ્લોક્સની સંખ્યામાં એક પેટર્ન શોધો.


શા માટે અંકગણિત પ્રગતિ નથી? જો બ્લોક ઇંટો પાયા પર મૂકવામાં આવે તો એક દિવાલ બનાવવા માટે કેટલા બ્લોકની જરૂર છે તેની ગણતરી કરો. હું આશા રાખું છું કે મોનિટર પર તમારી આંગળી ખસેડતી વખતે તમે ગણતરી કરશો નહીં, તમને છેલ્લું સૂત્ર અને અંકગણિત પ્રગતિ વિશે અમે જે કહ્યું તે બધું યાદ છે?

IN આ કિસ્સામાંપ્રગતિ આના જેવી લાગે છે: .
અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
અંકગણિત પ્રગતિના પદોની સંખ્યા.
ચાલો આપણા ડેટાને છેલ્લા સૂત્રોમાં બદલીએ (2 રીતે બ્લોક્સની સંખ્યાની ગણતરી કરો).

પદ્ધતિ 1.

પદ્ધતિ 2.

અને હવે તમે મોનિટર પર ગણતરી કરી શકો છો: અમારા પિરામિડમાં રહેલા બ્લોક્સની સંખ્યા સાથે પ્રાપ્ત મૂલ્યોની તુલના કરો. સમજાયું? સારું કર્યું, તમે અંકગણિતની પ્રગતિના nમા શબ્દોના સરવાળામાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
અલબત્ત, તમે બેઝ પરના બ્લોક્સમાંથી પિરામિડ બનાવી શકતા નથી, પણ ક્યાંથી? આ સ્થિતિ સાથે દિવાલ બનાવવા માટે કેટલી રેતીની ઇંટોની જરૂર છે તેની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.
શું તમે મેનેજ કર્યું?
સાચો જવાબ બ્લોક્સ છે:

તાલીમ

કાર્યો:

1. માશા ઉનાળા માટે આકારમાં આવી રહી છે. દરરોજ તે સ્ક્વોટ્સની સંખ્યામાં વધારો કરે છે. જો તેણીએ પ્રથમ તાલીમ સત્રમાં સ્ક્વોટ્સ કર્યું હોય તો માશા અઠવાડિયામાં કેટલી વાર સ્ક્વોટ્સ કરશે?
2. સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.
3. લોગ સંગ્રહ કરતી વખતે, લોગર્સ તેમને એવી રીતે સ્ટેક કરે છે કે દરેક ટોચનું સ્તરઅગાઉના એક કરતાં એક ઓછો લોગ સમાવે છે. એક ચણતરમાં કેટલા લોગ હોય છે, જો ચણતરનો પાયો લોગ હોય તો?

જવાબો:

1. ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ કિસ્સામાં
   (અઠવાડિયા = દિવસો).

   જવાબ:બે અઠવાડિયામાં, માશાએ દિવસમાં એકવાર સ્ક્વોટ્સ કરવું જોઈએ.

2. પ્રથમ વિષમ સંખ્યા, છેલ્લો નંબર.
   અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
   માં બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા અડધી છે, જો કે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિની મી પદ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ હકીકતને તપાસીએ:

   સંખ્યાઓમાં વિષમ સંખ્યાઓ હોય છે.
   ચાલો ઉપલબ્ધ ડેટાને સૂત્રમાં બદલીએ:

   જવાબ:માં સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે.

3. ચાલો પિરામિડ વિશેની સમસ્યાને યાદ કરીએ. અમારા કેસ માટે, a , કારણ કે દરેક ટોચનું સ્તર એક લોગ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તો કુલ સ્તરોનો સમૂહ છે, એટલે કે.
   ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:ચણતરમાં લોગ છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

1. - સંખ્યા ક્રમ જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન હોય છે. તે વધી અથવા ઘટી શકે છે.
2. ફોર્મ્યુલા શોધવીઅંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે - , પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.
3. અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત- - સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં પ્રગતિમાં છે.
4. અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોબે રીતે શોધી શકાય છે:
   
   , મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિ. મધ્યમ સ્તર

સંખ્યા ક્રમ

ચાલો બેસો અને કેટલાક નંબરો લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:

તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે. પરંતુ આપણે હંમેશા કહી શકીએ કે કયું પ્રથમ છે, કયું બીજું છે, અને તેથી વધુ, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે.

સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સંખ્યા ચોક્કસ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને અનન્ય સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. અને અમે આ નંબર આ સેટમાંથી અન્ય કોઈ નંબરને સોંપીશું નહીં.

સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો મી સભ્ય કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

તે ખૂબ અનુકૂળ છે જો ક્રમનો મી શબ્દ અમુક સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર

ક્રમ સુયોજિત કરે છે:

અને સૂત્ર નીચેનો ક્રમ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ એ ક્રમ છે (અહીં પ્રથમ પદ સમાન છે, અને તફાવત છે). અથવા (, તફાવત).

nth શબ્દ સૂત્ર

અમે એક ફોર્મ્યુલાને રિકરન્ટ કહીએ છીએ જેમાં, મી શબ્દ શોધવા માટે, તમારે અગાઉના અથવા ઘણા પહેલાના મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે:

દાખલા તરીકે, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધવા માટે, આપણે અગાઉના નવની ગણતરી કરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, તે દો. પછી:

સારું, હવે સ્પષ્ટ છે કે સૂત્ર શું છે?

દરેક લીટીમાં આપણે અમુક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. કયો? ખૂબ જ સરળ: આ વર્તમાન સભ્યની સંખ્યા ઓછા છે:

હવે વધુ અનુકૂળ છે, બરાબર ને? અમે તપાસીએ છીએ:

તમારા માટે નક્કી કરો:

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, nમી પદ માટે સૂત્ર શોધો અને સોમો પદ શોધો.

ઉકેલ:

પ્રથમ પદ સમાન છે. શું તફાવત છે? અહીં શું છે:

(આ કારણે તેને તફાવત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પ્રગતિના ક્રમિક પદોના તફાવત સમાન છે).

તેથી, સૂત્ર:

પછી સોમો પદ સમાન છે:

થી સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે?

દંતકથા અનુસાર, મહાન ગણિતશાસ્ત્રીકાર્લ ગૌસે, 9 વર્ષના છોકરા તરીકે, થોડીવારમાં આ રકમની ગણતરી કરી. તેણે નોંધ્યું કે પ્રથમનો સરવાળો અને છેલ્લી તારીખસમાન છે, બીજા અને ઉપાંત્યનો સરવાળો સમાન છે, ત્રીજા અને અંતથી 3જાનો સરવાળો સમાન છે, વગેરે. આવી કુલ કેટલી જોડી છે? તે સાચું છે, બધી સંખ્યાઓની બરાબર અડધી સંખ્યા, એટલે કે. તેથી,

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આ હશે:

ઉદાહરણ:
બધાનો સરવાળો શોધો બે અંકની સંખ્યાઓ, ગુણાંક.

ઉકેલ:

આવો પહેલો નંબર આ છે. દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના નંબરમાં ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. આમ, આપણને જે સંખ્યાઓમાં રસ છે તે પ્રથમ પદ અને તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ બનાવે છે.

આ પ્રગતિ માટે મી શબ્દનું સૂત્ર:

જો તે બધા બે-અંકના હોવા જોઈએ તો પ્રગતિમાં કેટલા પદો છે?

ખૂબ જ સરળ: .

પ્રગતિની છેલ્લી મુદત સમાન હશે. પછી સરવાળો:

જવાબ:.

હવે તમારા માટે નક્કી કરો:

1. દરરોજ રમતવીર પાછલા દિવસ કરતા વધુ મીટર દોડે છે. તે અઠવાડિયામાં કુલ કેટલા કિલોમીટર દોડશે, જો પ્રથમ દિવસે તે કિમી મીટર દોડશે?
2. સાઇકલ સવાર પાછલા દિવસ કરતાં દરરોજ વધુ કિલોમીટરની મુસાફરી કરે છે. પ્રથમ દિવસે તેણે કિ.મી. તેને એક કિલોમીટર કવર કરવા માટે કેટલા દિવસ મુસાફરી કરવાની જરૂર છે? તેની મુસાફરીના છેલ્લા દિવસ દરમિયાન તે કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?
3. સ્ટોરમાં રેફ્રિજરેટરની કિંમત દર વર્ષે સમાન રકમ દ્વારા ઘટે છે. દર વર્ષે રેફ્રિજરેટરની કિંમત કેટલી ઘટે છે તે નક્કી કરો જો, રુબેલ્સ માટે વેચાણ માટે મૂકવામાં આવે, છ વર્ષ પછી તે રુબેલ્સમાં વેચવામાં આવે.

જવાબો:

1. અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે અંકગણિતની પ્રગતિને ઓળખવી અને તેના પરિમાણો નક્કી કરવા. આ કિસ્સામાં, (અઠવાડિયા = દિવસો). તમારે આ પ્રગતિની પ્રથમ શરતોનો સરવાળો નક્કી કરવાની જરૂર છે:
   .
   જવાબ:
2. અહીં તે આપવામાં આવ્યું છે: , મળવું આવશ્યક છે.
   દેખીતી રીતે, તમારે અગાઉની સમસ્યાની જેમ સમાન સરવાળા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
   .
   મૂલ્યો બદલો:

   રુટ દેખીતી રીતે ફિટ નથી, તેથી જવાબ છે.
   ચાલો મી શબ્દના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા દિવસે મુસાફરી કરેલ પાથની ગણતરી કરીએ:
   (કિમી).
   જવાબ:

3. આપેલ: . શોધો:.
   તે સરળ ન હોઈ શકે:
   (ઘસવું).
   જવાબ:

અંકગણિત પ્રગતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં અડીને સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.

અંકગણિત પ્રગતિ વધી શકે છે () અને ઘટી રહી છે ().

ઉદાહરણ તરીકે:

અંકગણિત પ્રગતિનો nમો શબ્દ શોધવા માટેનું સૂત્ર

સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા છે.

અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત

તે તમને પ્રગતિનો શબ્દ સરળતાથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે જો તેની પડોશી શરતો જાણીતી હોય - પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોનો સરવાળો

રકમ શોધવાની બે રીત છે:

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાની મેળે કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

સફળ થવા માટે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકો પ્રાપ્ત થયા હતા સારું શિક્ષણ, જેમણે તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાઓ. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની આગળ ઘણું બધું ખુલ્લું છે વધુ શક્યતાઓઅને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... વધુ ખુશ થવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો સાથે, વિગતવાર વિશ્લેષણ અને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોનો વધુ સારી રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકનું આયુષ્ય વધારવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

અને નિષ્કર્ષમાં ...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેમાં દરેક સંખ્યા સમાન રકમ દ્વારા અગાઉના એક કરતા મોટી (અથવા ઓછી) હોય છે.

આ વિષય ઘણીવાર જટિલ અને અગમ્ય લાગે છે. પત્ર સૂચકાંકો nમી મુદતપ્રગતિ, પ્રગતિના તફાવતો - આ બધું કોઈક રીતે ગૂંચવણમાં મૂકે છે, હા... ચાલો અંકગણિત પ્રગતિનો અર્થ સમજીએ અને બધું તરત જ સારું થઈ જશે.)

અંકગણિત પ્રગતિનો ખ્યાલ.

અંકગણિત પ્રગતિ એ ખૂબ જ સરળ અને સ્પષ્ટ ખ્યાલ છે. શું તમને કોઈ શંકા છે? નિરર્થક.) તમારા માટે જુઓ.

હું સંખ્યાઓની અપૂર્ણ શ્રેણી લખીશ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

શું તમે આ શ્રેણીને વિસ્તારી શકો છો? પાંચ પછી કયા નંબરો આવશે? દરેક વ્યક્તિ... ઉહ... ટૂંકમાં, દરેકને ખ્યાલ આવશે કે 6, 7, 8, 9, વગેરે નંબરો આગળ આવશે.

ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ. હું તમને સંખ્યાઓની અપૂર્ણ શ્રેણી આપું છું:

2, 5, 8, 11, 14, ...

તમે પેટર્નને પકડી શકશો, શ્રેણીને વિસ્તૃત કરી શકશો અને નામ મેળવી શકશો સાતમુંપંક્તિ નંબર?

જો તમને સમજાયું કે આ સંખ્યા 20 છે, તો અભિનંદન! તને લાગ્યું એટલું જ નહિ મુખ્ય મુદ્દાઓઅંકગણિત પ્રગતિ,પણ બિઝનેસમાં સફળતાપૂર્વક તેનો ઉપયોગ કર્યો! જો તમને તે સમજાયું નથી, તો આગળ વાંચો.

હવે ચાલો સંવેદનામાંથી મુખ્ય મુદ્દાઓને ગણિતમાં અનુવાદિત કરીએ.)

પ્રથમ મુખ્ય મુદ્દો.

અંકગણિત પ્રગતિ સંખ્યાઓની શ્રેણી સાથે સંબંધિત છે.આ શરૂઆતમાં મૂંઝવણભર્યું છે. આપણે સમીકરણો ઉકેલવા, ગ્રાફ દોરવા અને આ બધું કરવા માટે ટેવાયેલા છીએ... પરંતુ અહીં આપણે શ્રેણીને લંબાવીએ છીએ, શ્રેણીની સંખ્યા શોધીએ છીએ...

તે બરાબર છે. તે માત્ર એટલું જ છે કે પ્રગતિ એ ગણિતની નવી શાખા સાથેનો પ્રથમ પરિચય છે. વિભાગને "શ્રેણી" કહેવામાં આવે છે અને તે ખાસ કરીને સંખ્યાઓ અને અભિવ્યક્તિઓની શ્રેણી સાથે કામ કરે છે. તેની આદત પાડો.)

બીજો મુખ્ય મુદ્દો.

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, કોઈપણ સંખ્યા અગાઉના એક કરતા અલગ હોય છે સમાન રકમ દ્વારા.

પ્રથમ ઉદાહરણમાં, આ તફાવત એક છે. તમે જે પણ નંબર લો છો, તે અગાઉના એક કરતા એક વધુ છે. બીજામાં - ત્રણ. કોઈપણ સંખ્યા અગાઉના એક કરતા ત્રણ વધુ હોય છે. વાસ્તવમાં, તે આ ક્ષણ છે જે આપણને પેટર્નને સમજવાની અને અનુગામી સંખ્યાઓની ગણતરી કરવાની તક આપે છે.

ત્રીજો મુખ્ય મુદ્દો.

આ ક્ષણ આશ્ચર્યજનક નથી, હા... પરંતુ તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. તે અહીં છે: દરેક પ્રગતિ નંબરતેની જગ્યાએ ઉભો છે.ત્યાં પ્રથમ નંબર છે, ત્યાં સાતમો છે, ત્યાં ચાલીસ-પાંચમો છે, વગેરે. જો તમે તેમને અવ્યવસ્થિત રીતે મિશ્રિત કરો છો, તો પેટર્ન અદૃશ્ય થઈ જશે. અંકગણિતની પ્રગતિ પણ અદૃશ્ય થઈ જશે. જે બાકી છે તે માત્ર સંખ્યાઓની શ્રેણી છે.

તે સમગ્ર મુદ્દો છે.

અલબત્ત, માં નવો વિષયનવી શરતો અને હોદ્દો દેખાય છે. તમારે તેમને જાણવાની જરૂર છે. નહિંતર, તમે કાર્યને સમજી શકશો નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે કંઈક નક્કી કરવું પડશે:

અંકગણિત પ્રગતિ (a n) ના પ્રથમ છ પદો લખો, જો a 2 = 5, d = -2.5 હોય.

પ્રેરણાદાયક?) પત્રો, કેટલાક અનુક્રમણિકાઓ... અને કાર્ય, માર્ગ દ્વારા, સરળ ન હોઈ શકે. તમારે ફક્ત શરતો અને હોદ્દાઓનો અર્થ સમજવાની જરૂર છે. હવે અમે આ બાબતમાં નિપુણતા મેળવીશું અને કાર્ય પર પાછા આવીશું.

શરતો અને હોદ્દો.

અંકગણિત પ્રગતિસંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેમાં દરેક સંખ્યા પાછલા એક કરતા અલગ છે સમાન રકમ દ્વારા.

આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે . ચાલો આ ખ્યાલને વધુ વિગતવાર જોઈએ.

અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.

અંકગણિત પ્રગતિ તફાવતતે રકમ છે જેના દ્વારા કોઈપણ પ્રગતિ સંખ્યા વધુઅગાઉનું એક.

એક મહત્વપૂર્ણ બિંદુ. કૃપા કરીને શબ્દ પર ધ્યાન આપો "વધુ".ગાણિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે દરેક પ્રગતિ સંખ્યા છે ઉમેરીનેપાછલી સંખ્યા સાથે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત.

ગણતરી કરવા માટે, ચાલો કહીએ બીજુંશ્રેણીની સંખ્યા, તમારે જરૂર છે પ્રથમસંખ્યા ઉમેરોઅંકગણિત પ્રગતિનો આ ખૂબ જ તફાવત. ગણતરી માટે પાંચમું- તફાવત જરૂરી છે ઉમેરોથી ચોથું,સારું, વગેરે.

અંકગણિત પ્રગતિ તફાવતહોઈ શકે છે હકારાત્મક,પછી શ્રેણીની દરેક સંખ્યા વાસ્તવિક હશે અગાઉના એક કરતાં વધુ.આ પ્રગતિ કહેવાય છે વધારોઉદાહરણ તરીકે:

8; 13; 18; 23; 28; .....

અહીં દરેક નંબર મેળવવામાં આવે છે ઉમેરીનેસકારાત્મક સંખ્યા, પહેલાના એકથી +5.

તફાવત હોઈ શકે છે નકારાત્મકપછી શ્રેણીમાં દરેક સંખ્યા હશે પાછલા એક કરતા ઓછું.આ પ્રગતિ કહેવાય છે (તમે તેના પર વિશ્વાસ કરશો નહીં!) ઘટતું

ઉદાહરણ તરીકે:

8; 3; -2; -7; -12; .....

અહીં દરેક નંબર પણ મેળવવામાં આવે છે ઉમેરીનેપાછલા એક માટે, પરંતુ પહેલાથી જ નકારાત્મક સંખ્યા, -5.

માર્ગ દ્વારા, પ્રગતિ સાથે કામ કરતી વખતે, તેની પ્રકૃતિને તરત જ નક્કી કરવા માટે તે ખૂબ જ ઉપયોગી છે - પછી ભલે તે વધી રહ્યું હોય કે ઘટતું હોય. આ નિર્ણયને નેવિગેટ કરવામાં, તમારી ભૂલોને શોધવા અને મોડું થાય તે પહેલાં તેને સુધારવામાં ઘણી મદદ કરે છે.

અંકગણિત પ્રગતિ તફાવતસામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ડી.

કેવી રીતે શોધવું ડી? ખૂબ જ સરળ. શ્રેણીની કોઈપણ સંખ્યામાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે અગાઉનાસંખ્યા બાદબાકી કરો. માર્ગ દ્વારા, બાદબાકીના પરિણામને "તફાવત" કહેવામાં આવે છે.)

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ડીઅંકગણિત પ્રગતિ વધારવા માટે:

2, 5, 8, 11, 14, ...

અમે શ્રેણીમાં કોઈપણ સંખ્યા લઈએ છીએ જે અમને જોઈએ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 11. અમે તેમાંથી બાદ કરીએ છીએ અગાઉની સંખ્યાતે 8:

આ સાચો જવાબ છે. આ અંકગણિત પ્રગતિ માટે, તફાવત ત્રણ છે.

તમે તેને લઈ શકો છો કોઈપણ પ્રગતિ નંબર,કારણ કે ચોક્કસ પ્રગતિ માટે ડી-હંમેશા સમાન.ઓછામાં ઓછું ક્યાંક પંક્તિની શરૂઆતમાં, ઓછામાં ઓછું મધ્યમાં, ઓછામાં ઓછું ગમે ત્યાં. તમે ફક્ત પ્રથમ નંબર જ લઈ શકતા નથી. માત્ર કારણ કે ખૂબ જ પ્રથમ નંબર અગાઉનું કોઈ નથી.)

બાય ધ વે, એ જાણીને d=3, આ પ્રગતિની સાતમી સંખ્યા શોધવી ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો પાંચમા નંબરમાં 3 ઉમેરીએ - આપણને છઠ્ઠો મળે છે, તે 17 થશે. ચાલો છઠ્ઠા નંબરમાં ત્રણ ઉમેરીએ, આપણને સાતમો નંબર મળશે - વીસ.

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ ડીઉતરતા અંકગણિત પ્રગતિ માટે:

8; 3; -2; -7; -12; .....

હું તમને યાદ કરાવું છું કે, સંકેતોને ધ્યાનમાં લીધા વિના, નક્કી કરવા ડીકોઈપણ નંબર પરથી જરૂર છે પાછલાને દૂર કરો.કોઈપણ પ્રગતિ નંબર પસંદ કરો, ઉદાહરણ તરીકે -7. તેનો અગાઉનો નંબર -2 છે. પછી:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે: પૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક, અતાર્કિક, કોઈપણ સંખ્યા.

અન્ય શરતો અને હોદ્દો.

શ્રેણીના દરેક નંબરને કહેવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિના સભ્ય.

પ્રગતિના દરેક સભ્ય તેનો પોતાનો નંબર છે.નંબરો કડક ક્રમમાં છે, કોઈપણ યુક્તિઓ વિના. પ્રથમ, બીજો, ત્રીજો, ચોથો, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિમાં 2, 5, 8, 11, 14, ... બે પ્રથમ પદ છે, પાંચ બીજા છે, અગિયાર ચોથું છે, સારું, તમે સમજો છો...) કૃપા કરીને સ્પષ્ટપણે સમજો - નંબરો પોતેસંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, સંપૂર્ણ, અપૂર્ણાંક, નકારાત્મક, કોઈપણ, પરંતુ સંખ્યાઓની સંખ્યા- સખત ક્રમમાં!

માં પ્રગતિ કેવી રીતે લખવી સામાન્ય દૃશ્ય? કોઈ પ્રશ્ન નથી! શ્રેણીમાં દરેક નંબર એક અક્ષર તરીકે લખવામાં આવે છે. અંકગણિતની પ્રગતિ દર્શાવવા માટે, અક્ષરનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે a. સભ્ય સંખ્યા નીચે જમણી બાજુએ ઇન્ડેક્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. અમે અલ્પવિરામ (અથવા અર્ધવિરામ) દ્વારા વિભાજિત શબ્દો લખીએ છીએ, જેમ કે:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- આ પ્રથમ નંબર છે, a 3- ત્રીજું, વગેરે. ફેન્સી કંઈ નથી. આ શ્રેણી ટૂંકમાં આ રીતે લખી શકાય છે: (એ એન).

પ્રગતિ થાય છે મર્યાદિત અને અનંત.

અલ્ટીમેટપ્રગતિ ધરાવે છે મર્યાદિત જથ્થોસભ્યો પાંચ, આડત્રીસ, ગમે તે. પરંતુ તે એક મર્યાદિત સંખ્યા છે.

અનંતપ્રગતિ - ધરાવે છે અનંત સંખ્યાસભ્યો, જેમ તમે ધારી શકો છો.)

લખો મર્યાદિત પ્રગતિતમે આના જેવી શ્રેણીમાંથી પસાર થઈ શકો છો, બધી શરતો અને અંતે એક બિંદુ:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

અથવા આની જેમ, જો ત્યાં ઘણા સભ્યો છે:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

IN ટૂંકી નોંધતમારે વધુમાં સભ્યોની સંખ્યા દર્શાવવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે (વીસ સભ્યો માટે), આના જેવું:

(a n), n = 20

આ પાઠમાંના ઉદાહરણોની જેમ, પંક્તિના અંતે અંડાકાર દ્વારા અનંત પ્રગતિને ઓળખી શકાય છે.

હવે તમે કાર્યો હલ કરી શકો છો. કાર્યો સરળ છે, કેવળ અંકગણિત પ્રગતિના અર્થને સમજવા માટે.

અંકગણિત પ્રગતિ પરના કાર્યોના ઉદાહરણો.

ચાલો ઉપર આપેલ કાર્યને વિગતવાર જોઈએ:

1. અંકગણિત પ્રગતિ (a n) ના પ્રથમ છ પદો લખો, જો a 2 = 5, d = -2.5 હોય.

અમે કાર્યને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ સ્પષ્ટ ભાષા. એક અનંત અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવે છે. આ પ્રગતિનો બીજો નંબર જાણીતો છે: a 2 = 5.પ્રગતિ તફાવત જાણીતો છે: d = -2.5.આપણે આ પ્રગતિના પ્રથમ, ત્રીજા, ચોથા, પાંચમા અને છઠ્ઠા પદો શોધવાની જરૂર છે.

સ્પષ્ટતા માટે, હું સમસ્યાની શરતો અનુસાર શ્રેણી લખીશ. પ્રથમ છ પદો, જ્યાં બીજી મુદત પાંચ છે:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + ડી

અભિવ્યક્તિમાં બદલો a 2 = 5અને d = -2.5. માઈનસ વિશે ભૂલશો નહીં!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ત્રીજી ટર્મ બીજી ટર્મ કરતા નાની નીકળી. બધું તાર્કિક છે. જો સંખ્યા પાછલા એક કરતા વધારે હોય નકારાત્મકમૂલ્ય, જેનો અર્થ છે કે સંખ્યા પોતે પહેલાના કરતા ઓછી હશે. પ્રગતિ ઘટી રહી છે. ઠીક છે, ચાલો તેને ધ્યાનમાં લઈએ.) અમે અમારી શ્રેણીની ચોથી પદની ગણતરી કરીએ છીએ:

a 4 = a 3 + ડી

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + ડી

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + ડી

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

તેથી, ત્રીજાથી છઠ્ઠા પદની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. પરિણામ નીચેની શ્રેણી છે:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

તે પ્રથમ શબ્દ શોધવાનું બાકી છે a 1દ્વારા પ્રખ્યાત બીજું. આ બીજી દિશામાં એક પગલું છે, ડાબી તરફ.) તેથી, અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત ડીમાં ઉમેરવું જોઈએ નહીં a 2, એ દૂર લઈ જાઓ

a 1 = a 2 - ડી

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

બસ. સોંપણીનો જવાબ:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

પસાર થવામાં, હું નોંધવા માંગુ છું કે અમે આ કાર્યને હલ કર્યું છે આવર્તકમાર્ગ આ ડરામણી શબ્દસીધો અર્થ એ છે કે પ્રગતિના સભ્યની શોધ કરવી અગાઉના (સંલગ્ન) નંબર અનુસાર.અમે નીચે પ્રગતિ સાથે કામ કરવાની અન્ય રીતો જોઈશું.

આ સરળ કાર્યમાંથી એક મહત્વપૂર્ણ નિષ્કર્ષ કાઢી શકાય છે.

યાદ રાખો:

જો આપણે ઓછામાં ઓછા એક પદ અને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ, તો આપણે આ પ્રગતિનો કોઈપણ શબ્દ શોધી શકીએ છીએ.

શું તમને યાદ છે? આ સરળ નિષ્કર્ષ તમને મોટાભાગની સમસ્યાઓ હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે શાળા અભ્યાસક્રમઆ વિષય પર. બધા કાર્યો આસપાસ ફરે છે ત્રણ મુખ્યપરિમાણો: અંકગણિત પ્રગતિના સભ્ય, પ્રગતિનો તફાવત, પ્રગતિના સભ્યની સંખ્યા.બધા.

અલબત્ત, અગાઉના તમામ બીજગણિત રદ થયા નથી.) અસમાનતાઓ, સમીકરણો અને અન્ય બાબતો પ્રગતિ સાથે જોડાયેલ છે. પણ પ્રગતિ પોતે અનુસાર- બધું ત્રણ પરિમાણોની આસપાસ ફરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આ વિષય પરના કેટલાક લોકપ્રિય કાર્યો જોઈએ.

2. n=5, d = 0.4 અને a 1 = 3.6 હોય તો શ્રેણી તરીકે મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિ લખો.

અહીં બધું સરળ છે. બધું પહેલેથી જ આપવામાં આવ્યું છે. તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે, તેમની ગણતરી કરો અને તેમને લખો. કાર્યની સ્થિતિમાં શબ્દો ચૂકી ન જવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: “અંતિમ” અને “ n=5". જેથી જ્યાં સુધી તમે ચહેરા પર સંપૂર્ણપણે વાદળી ન થઈ જાઓ ત્યાં સુધી ગણતરી ન કરો.) આ પ્રગતિમાં ફક્ત 5 (પાંચ) સભ્યો છે:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

જવાબ લખવાનું બાકી છે:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

બીજું કાર્ય:

3. નક્કી કરો કે શું નંબર 7 અંકગણિત પ્રગતિ (a n) નો સભ્ય હશે, જો a 1 = 4.1; d = 1.2.

હમ્મ... કોણ જાણે? કંઈક કેવી રીતે નક્કી કરવું?

કેવી રીતે... શ્રેણીના રૂપમાં પ્રગતિ લખો અને જુઓ કે ત્યાં સાત હશે કે નહીં! અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

હવે સ્પષ્ટ દેખાય છે કે આપણે માત્ર સાત જ છીએ દ્વારા સરકી ગયો 6.5 અને 7.7 ની વચ્ચે! સાત અમારી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં આવતા નથી, અને તેથી, સાત આપેલ પ્રગતિના સભ્ય રહેશે નહીં.

જવાબ: ના.

અહીં એક સમસ્યા પર આધારિત છે વાસ્તવિક વિકલ્પ GIA:

4. અંકગણિત પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદો લખેલા છે:

...; 15; એક્સ; 9; 6; ...

અહીં અંત અને શરૂઆત વિના લખાયેલી શ્રેણી છે. કોઈ સભ્ય સંખ્યા નથી, કોઈ તફાવત નથી ડી. તે બરાબર છે. સમસ્યાને હલ કરવા માટે, અંકગણિત પ્રગતિનો અર્થ સમજવા માટે તે પૂરતું છે. ચાલો જોઈએ અને જોઈએ કે શું શક્ય છે જાણવા માટેઆ શ્રેણીમાંથી? ત્રણ મુખ્ય પરિમાણો શું છે?

સભ્ય સંખ્યા? અહીં એક પણ સંખ્યા નથી.

પરંતુ ત્યાં ત્રણ નંબરો છે અને - ધ્યાન! - શબ્દ "સતત"સ્થિતિમાં. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ સખત રીતે ક્રમમાં છે, અંતર વિના. શું આ પંક્તિમાં બે છે? પડોશી જાણીતી સંખ્યાઓ? હા, મારી પાસે છે! આ 9 અને 6 છે. તેથી, આપણે અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતની ગણતરી કરી શકીએ છીએ! છમાંથી બાદ કરો અગાઉનાસંખ્યા, એટલે કે નવ:

માત્ર નાનકડી બાબતો બાકી છે. X માટે પહેલાની સંખ્યા કઈ હશે? પંદર. આનો અર્થ એ કે X સરળતાથી શોધી શકાય છે સરળ ઉમેરો. અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતને 15 માં ઉમેરો:

બસ. જવાબ: x=12

અમે નીચેની સમસ્યાઓ જાતે હલ કરીએ છીએ. નોંધ: આ સમસ્યાઓ સૂત્રો પર આધારિત નથી. કેવળ અંકગણિત પ્રગતિનો અર્થ સમજવા માટે.) અમે ફક્ત સંખ્યાઓ અને અક્ષરોની શ્રેણી લખીએ છીએ, તેને જુઓ અને આકૃતિ કરો.

5. અંકગણિત પ્રગતિનો પ્રથમ હકારાત્મક શબ્દ શોધો જો 5 = -3 હોય; d = 1.1.

6. તે જાણીતું છે કે સંખ્યા 5.5 એ અંકગણિત પ્રગતિ (a n) નો સભ્ય છે, જ્યાં a 1 = 1.6; d = 1.3. આ સભ્યની સંખ્યા n નક્કી કરો.

7. તે જાણીતું છે કે અંકગણિત પ્રગતિમાં 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 શોધો.

8. અંકગણિત પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદો લખેલા છે:

...; 15.6; એક્સ; 3.4; ...

x અક્ષર દ્વારા દર્શાવેલ પ્રગતિનો શબ્દ શોધો.

9. ટ્રેને સ્ટેશનથી આગળ વધવાનું શરૂ કર્યું, એકસરખી ગતિમાં 30 મીટર પ્રતિ મિનિટનો વધારો કર્યો. પાંચ મિનિટમાં ટ્રેનની સ્પીડ કેટલી હશે? તમારો જવાબ કિમી/કલાકમાં આપો.

10. તે જાણીતું છે કે અંકગણિત પ્રગતિમાં 2 = 5; a 6 = -5. 1 શોધો.

જવાબો (અવ્યવસ્થિતમાં): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

શું બધું કામ કર્યું? અમેઝિંગ! તમે વધુ માટે અંકગણિત પ્રગતિમાં માસ્ટર કરી શકો છો ઉચ્ચ સ્તર, નીચેના પાઠોમાં.

બધું કામ નથી કર્યું? કોઈ સમસ્યા નથી. સ્પેશિયલ સેક્શન 555 માં, આ બધી સમસ્યાઓને ટુકડે-ટુકડે ઉકેલવામાં આવી છે.) અને, અલબત્ત, એક સરળ વ્યવહારુ તકનીકનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે જે આવા કાર્યોના ઉકેલને સ્પષ્ટપણે, સ્પષ્ટપણે, એક નજરમાં તરત જ પ્રકાશિત કરે છે!

બાય ધ વે, ટ્રેન પઝલમાં એવી બે સમસ્યાઓ છે કે જેનાથી લોકો વારંવાર ઠોકર ખાય છે. એક કેવળ પ્રગતિની દ્રષ્ટિએ છે, અને બીજું ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કોઈપણ સમસ્યાઓ માટે સામાન્ય છે. આ એકથી બીજામાં પરિમાણનો અનુવાદ છે. તે દર્શાવે છે કે આ સમસ્યાઓ કેવી રીતે ઉકેલવી જોઈએ.

આ પાઠમાં આપણે અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રાથમિક અર્થ અને તેના મુખ્ય પરિમાણોને જોયા. આ વિષય પર લગભગ તમામ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે આ પૂરતું છે. ઉમેરો ડીનંબરો પર, શ્રેણી લખો, બધું હલ થઈ જશે.

ફિંગર સોલ્યુશન પંક્તિના ખૂબ જ ટૂંકા ટુકડાઓ માટે સારી રીતે કામ કરે છે, જેમ કે આ પાઠમાંના ઉદાહરણોમાં. જો શ્રેણી લાંબી હોય, તો ગણતરીઓ વધુ જટિલ બની જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્રશ્નમાં 9 સમસ્યા હોય તો આપણે બદલીએ છીએ "પાંચ મિનિટ"પર "પાંત્રીસ મિનિટ"સમસ્યા નોંધપાત્ર રીતે વધુ ખરાબ થશે.)

અને એવા કાર્યો પણ છે જે સારમાં સરળ છે, પરંતુ ગણતરીઓની દ્રષ્ટિએ વાહિયાત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

એક અંકગણિત પ્રગતિ (a n) આપવામાં આવે છે. 121 શોધો જો a 1 =3 અને d=1/6.

તો શું, આપણે 1/6 ઘણી વખત, ઘણી વખત ઉમેરીશું?! તમે તમારી જાતને મારી શકો છો!?

તમે કરી શકો છો.) જો તમને ખબર નથી સરળ સૂત્ર, જે તમને આવા કાર્યોને એક મિનિટમાં હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ સૂત્ર આગામી પાઠમાં હશે. અને આ સમસ્યા ત્યાં જ ઉકેલાય છે. એક મિનિટમાં.)

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

સંખ્યા ક્રમની વિભાવના સૂચવે છે કે દરેક કુદરતી સંખ્યા અમુકને અનુરૂપ છે વાસ્તવિક મૂલ્ય. સંખ્યાઓની આવી શ્રેણી કાં તો મનસ્વી અથવા હોઈ શકે છે ચોક્કસ ગુણધર્મો- પ્રગતિ. IN બાદમાં કેસક્રમના દરેક અનુગામી તત્વ (સદસ્ય) ની ગણતરી પાછલા એકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

અંકગણિત પ્રગતિ - ક્રમ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો, જેમાં તેના પડોશી સભ્યો દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે સમાન સંખ્યા (સમાન મિલકતશ્રેણીના તમામ ઘટકો, 2જી થી શરૂ થાય છે, ધરાવે છે). આ નંબર- અગાઉના અને અનુગામી શબ્દો વચ્ચેનો તફાવત સ્થિર છે અને તેને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે.

પ્રગતિ તફાવત: વ્યાખ્યા

j મૂલ્યો A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ N ના સમૂહ સાથે સંબંધ ધરાવતા ક્રમને ધ્યાનમાં લો. એક અંકગણિત પ્રગતિ, તેની વ્યાખ્યા મુજબ, એક ક્રમ છે, જેમાં a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = ડી. મૂલ્ય d એ આ પ્રગતિનો ઇચ્છિત તફાવત છે.

d = a(j) – a(j-1).

હાઇલાઇટ:

• વધતી જતી પ્રગતિ, જે કિસ્સામાં d > 0. ઉદાહરણ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• ઘટતી પ્રગતિ, પછી ડી< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

તફાવત પ્રગતિ અને તેના મનસ્વી તત્વો

જો પ્રગતિની 2 મનસ્વી શરતો જાણીતી હોય (i-th, k-th), તો આપેલ ક્રમ માટેનો તફાવત સંબંધના આધારે નક્કી કરી શકાય છે:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, જેનો અર્થ થાય છે d = (a(i) – a(k))/(i-k).

પ્રગતિ અને તેની પ્રથમ મુદતનો તફાવત

આ અભિવ્યક્તિ અજ્ઞાત મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવામાં મદદ કરશે માત્ર એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં ક્રમ ઘટકની સંખ્યા જાણીતી હોય.

પ્રગતિ તફાવત અને તેનો સરવાળો

પ્રગતિનો સરવાળો એ તેની શરતોનો સરવાળો છે. તેના પ્રથમ j તત્વોના કુલ મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, પરંતુ ત્યારથી a(j) = a(1) + d(j – 1), પછી S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.