પ્રમાણ. અન્ય શબ્દકોશોમાં "ટ્રિપલ નિયમ" શું છે તે જુઓ

શ્વેતસોવ K.I., BEVZ G.P.
પ્રાથમિક ગણિતની હેન્ડબુક
અંકગણિત, બીજગણિત, 1965


1. સરળ ત્રિવિધ નિયમ.પ્રમાણસર જથ્થા સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓમાં, સૌથી સામાન્ય કહેવાતા સરળ ટ્રિપલ નિયમ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ છે. આ સમસ્યાઓમાં, ત્રણ નંબરો આપવામાં આવે છે અને તમારે ચોથો, તેના પ્રમાણસર નક્કી કરવાની જરૂર છે.

સમસ્યા 1. 10 બોલ્ટનું વજન 4 કિલો છે. આમાંથી 25 બોલ્ટનું વજન કેટલું છે? આવી સમસ્યાઓ ઘણી રીતે ઉકેલી શકાય છે.

ઉકેલ I (એકતામાં ઘટાડા દ્વારા).

1) એક બોલ્ટનું વજન કેટલું છે?

4 કિગ્રા: 10 = 0.4 કિગ્રા.

2) 25 બોલ્ટનું વજન કેટલું છે?

0.4 કિગ્રા · 25 = 10 કિગ્રા.

ઉકેલ II (પ્રમાણ પદ્ધતિ). બોલ્ટ્સનું વજન તેમની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણસર હોવાથી, વજનનો ગુણોત્તર ટુકડાઓ (બોલ્ટ્સ) ના ગુણોત્તર સમાન છે. x અક્ષર સાથે ઇચ્છિત વજન દર્શાવતા, અમે પ્રમાણ મેળવીએ છીએ:

એક્સ : 4 = 25: 10,

(કિલો)

તમે આની જેમ દલીલ કરી શકો છો: 25 બોલ્ટ 10 બોલ્ટ કરતાં 2.5 ગણા વધારે છે. તેથી, તેઓ 4 કિલો કરતાં 2.5 ગણા ભારે છે:

4 kg · 2.5 = 10 kg.

જવાબ આપો. 25 બોલ્ટનું વજન 10 કિલો છે.

સમસ્યા 2. પ્રથમ ગિયર 50 આરપીએમ બનાવે છે. બીજું ગિયર, પ્રથમ સાથે મેશ કરેલું, 75 આરપીએમ બનાવે છે. જો પ્રથમના દાંતની સંખ્યા 30 હોય તો બીજા ચક્રના દાંતની સંખ્યા શોધો.

ઉકેલ (એકતામાં ઘટાડો કરીને). બંને જાળીદાર ગિયર્સ એક મિનિટમાં આગળ વધશે સમાન નંબરદાંત, તેથી વ્હીલ રિવોલ્યુશનની સંખ્યા તેમના દાંતની સંખ્યાના વિપરીત પ્રમાણસર છે.

50 રેવ. - 30 દાંત

75 રેવ. - એક્સદાંત

એક્સ : 30 = 50: 75; (દાંત).

તમે આના જેવું પણ કારણ આપી શકો છો: બીજું વ્હીલ પ્રથમ કરતા 1.5 ગણી વધુ ક્રાંતિ કરે છે (75: 50 = 1.5). પરિણામે, તેના દાંત પહેલા કરતા 1.5 ગણા નાના છે:

30: 1.5 = 20 (દાંત).

જવાબ આપો. 20 દાંત.

2. જટિલ ત્રિવિધ નિયમ.સમસ્યાઓ જેમાં, એકબીજાને અનુરૂપ મૂલ્યોની આપેલ શ્રેણી માટે, ત્યાં ઘણી છે (બે કરતાં વધુ) પ્રમાણસર માત્રાબાકીના જથ્થાના આપેલ મૂલ્યોની બીજી શ્રેણીને અનુરૂપ તેમાંથી એકનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે, જેને જટિલ ત્રિવિધ નિયમ સમસ્યાઓ કહેવાય છે.

કાર્ય. 5 પંપ દ્વારા 3 કલાકમાં 1800 ડોલ પાણી બહાર કાઢવામાં આવ્યું. આવા 4 પંપ 4 કલાકમાં કેટલું પાણી બહાર કાઢશે?

અમને 5. 3 કલાક - 1800 કલાક

અમને 4. 4 કલાક - એક્સવેદ.

1) 1 પમ્પે 3 કલાકમાં કેટલી ડોલથી પાણી બહાર કાઢ્યું?

1800: 5 = 360 (ડોલ).

2) 1 પમ્પે 1 કલાકમાં કેટલી ડોલથી પાણી બહાર કાઢ્યું?

360: 3 = 120 (ડોલ).

3) 4 પંપ 1 કલાકમાં કેટલું પાણી બહાર કાઢશે?

120 · 4 = 480 (ડોલ).

4) 4 પંપ 4 કલાકમાં કેટલું પાણી બહાર કાઢશે?

480 · 4 = 1920 (ડોલ).

જવાબ આપો. 1920 ડોલ

માટે ટૂંકા ઉકેલ સંખ્યાત્મક સૂત્ર:

(ડોલ).

કાર્ય. સંખ્યા 100 ને સંખ્યા 2 અને 3 ના સીધા પ્રમાણસર બે ભાગોમાં વિભાજીત કરો,

આ સમસ્યાને નીચે મુજબ સમજવી જોઈએ: 100 ને બે ભાગોમાં વિભાજીત કરો જેથી પ્રથમ ભાગ બીજા સાથે સંબંધિત હોય કારણ કે 2 થી 3 છે. જો આપણે જરૂરી સંખ્યાઓને અક્ષરો સાથે નિયુક્ત કરીએ એક્સ 1 અને એક્સ 2 પછી આ સમસ્યા આ રીતે ઘડી શકાય છે. શોધો એક્સ 1 અને એક્સ 2 જેમ કે

એક્સ 1 + એક્સ 2 = 100,

એક્સ 1: એક્સ 2 = 2: 3.

મધ્યયુગીન અંકગણિતના સંકલનકારો ત્રિવિધ નિયમની પ્રશંસા કરવા માટે કંટાળી જાય તેટલી મજબૂત અભિવ્યક્તિ નથી. “તે વાક્ય ટ્રિપલ પ્રશંસનીય છે અને શ્રેષ્ઠ રેખાઅન્ય તમામ રેખાઓમાંથી." "ફિલોસોફરો તેને સુવર્ણ રેખા કહે છે." જર્મન પાઠ્યપુસ્તકોમાં તેઓએ તેને "તમામ વખાણ કરતા ઉપર" તરીકે બોલ્યા, તે "વેપારીઓની ચાવી" છે. ફ્રેન્ચમાં પણ તે રેગલ ડોરી નામથી જાણીતું હતું - સુવર્ણ નિયમ. તે બીજગણિતના સમગ્ર વિજ્ઞાનનો વિરોધ કરતો હતો.

આપણા સમયમાં વધુ સાધારણ સ્થાન પર કબજો કરવા માટે ટેવાયેલા વિભાગની આટલી અમૂલ્ય પ્રશંસા શા માટે કરવામાં આવે છે? આ શોધવું ખૂબ જ રસપ્રદ છે, અને અમે અમારી જાતને થોડી પાછળ જવાની અને આપીએ છીએ સંક્ષિપ્ત વર્ણનધ્યેયો કે જે અંકગણિત પ્રાચીન સમયથી અનુસરે છે.

તેના વિકાસના પ્રારંભિક તબક્કામાં દરેક વિજ્ઞાન વ્યવહારિક જરૂરિયાતોને કારણે થાય છે અને બદલામાં, તેમને સંતોષવા માટે પ્રયત્ન કરે છે. પછી, તે જે પરિસ્થિતિઓ હેઠળ વિકાસ પામે છે તેના આધારે, વિજ્ઞાન ક્યારેક ખૂબ જ ઝડપથી, ક્યારેક વધુ ધીમેથી, સૈદ્ધાંતિક રંગ લે છે અને તેનો અભ્યાસ કરનારાઓ પર શૈક્ષણિક અસર કરે છે, એટલે કે. તેમની માનસિક ક્ષમતાઓને સુધારે છે: મન, લાગણી અને ઇચ્છા: ધીમી વૃદ્ધિ સાથે, વિજ્ઞાન લાંબા સમય સુધી નિપુણતાનો અગ્રેસર રહે છે, માત્ર કૌશલ્ય આપે છે, વ્યક્તિને યાંત્રિક કુશળતા આપે છે અને તેને યાંત્રિકતાના લક્ષણો આપે છે. અંકગણિતે બંને દિશાઓનો અનુભવ કર્યો છે. એક તરફ, ગ્રીક વૈજ્ઞાનિકોએ અંકગણિતમાં સૌથી વધુ શૈક્ષણિક તત્વ જોયું; તેઓ સતત પ્રશ્નો પૂછતા હતા "કેમ?" અને "શા માટે?", હંમેશા કારણ અને નિષ્કર્ષની શોધમાં; ગ્રીક શાળાઓના વિદ્યાર્થીઓએ વિજ્ઞાનના સારનો અભ્યાસ કર્યો, તેના વિશે વિચાર્યું, અને તેથી અભ્યાસની તેમના પર શૈક્ષણિક અને વિકાસલક્ષી અસર પડી. બીજી બાજુ, હિંદુઓ કલાની બાજુથી અંકશાસ્ત્રને જોતા હતા; તેઓને "કેમ?" પ્રશ્ન ગમતો ન હતો, પરંતુ તેમનો મુખ્ય પ્રશ્ન હંમેશા રહેતો હતો: "આ કેવી રીતે કરવું?" હિંદુઓની દિશા આરબો અને ત્યાંથી મધ્યયુગીન યુરોપ તરફ ગઈ. તેમાં, તે ખૂબ જ ઉષ્માભર્યા સ્વાગત સાથે મળી, અને તેના માટે માટી ખૂબ આભારી હોવાનું બહાર આવ્યું: લોકોના મહાન સ્થળાંતર પછી અને સતત ચાલતા યુદ્ધો પછી, ચોક્કસ, વારંવારના વિકાસ વિશે વિચારવાનું પણ કંઈ નહોતું. અમૂર્ત વિજ્ઞાન, અને તે સમયે તે પોતાને તેના લાગુ ભાગ સુધી મર્યાદિત કરવા માટે પૂરતું હતું, તે ફક્ત "તે કેવી રીતે કરવું" શીખવવા પૂરતું હતું, "તે શા માટે કરવું" નહીં. અને તેથી વ્યવહારુ રંગ અંકગણિતની પાછળ રહ્યો લાંબા સમય સુધી, લગભગ આજ સુધી, તે જ સમયે, તેનો અભ્યાસ સંકુચિત રીતે યાંત્રિક હતો: તારણો વિના, ખુલાસાઓ વિના, પાયામાં તપાસ કર્યા વિના; પાઠ્યપુસ્તકોમાં દરેક જગ્યાએ "તમે આ રીતે કરો છો", "તમારે આ રીતે કરવું જોઈએ" શોધી શકો છો, અને વિદ્યાર્થી ફક્ત પુષ્ટિ કરી શકે છે અને પ્રેક્ટિસમાં લાગુ કરી શકે છે; અમારા મેગ્નિટસ્કીમાં પણ સંખ્યાબંધ લાક્ષણિક અભિવ્યક્તિઓ છે: "સીટસે જુઓ", "શોધ જુઓ"; ચાલો ધારીએ કે આ અભિવ્યક્તિઓમાં તેની પાસે "વિચારો અને તે આવશે" છે, પરંતુ બરાબર કેવી રીતે વિચારવું, બહુ ઓછા સંકેતો આપવામાં આવ્યા છે. અંકગણિતના વ્યવહારિક મહત્વને અનુરૂપ, તે ખાસ કરીને દરેક વસ્તુ પર ભાર મૂકે છે અને તેનું મૂલ્યાંકન કરે છે જે તાત્કાલિક લાભ લાવી શકે અને આવક પેદા કરી શકે.

17મી સદીના રશિયન અંકગણિત કહે છે, “જે કોઈ આ શાણપણને જાણે છે, તે સાર્વભૌમને મહાન સન્માન અને પગારમાં હોઈ શકે છે; આ શાણપણ અનુસાર, મહેમાનો રાજ્યોમાં વેપાર કરે છે અને તમામ પ્રકારના માલસામાન અને વેપારમાં તેઓ શક્તિ અને તમામ પ્રકારના પગલાં જાણે છે, પૃથ્વીના લેઆઉટ અને દરિયાઈ પ્રવાહ બંનેમાં, તેઓ ખૂબ જ કુશળ છે, અને તેઓ ગણતરીઓ જાણે છે. યાદીમાં દરેક નંબર."

પરંતુ અંકગણિતનો કયો ભાગ સમસ્યા ઉકેલવા કરતાં વધુ વ્યવહારુ, સીધી રીતે લાગુ પડતી કુશળતા પ્રદાન કરી શકે છે? તેથી, મધ્યયુગીન લેખકોના તમામ પ્રયત્નોનો હેતુ શક્ય તેટલી વધુ સમસ્યાઓ એકત્રિત કરવાનો હતો અને વધુમાં, સૌથી વધુ વૈવિધ્યસભર રોજિંદા સામગ્રી સાથે. વેચાણ અને ખરીદી વિશે, બિલ અને વ્યાજ વિશે, મિશ્રણ વિશે, વિનિમય વિશે સમસ્યાઓ હતી; વિવિધતા ભયંકર હતી અને સમસ્યાઓના સમગ્ર સમૂહને ઉકેલવાનો કોઈ રસ્તો નહોતો. ઓછામાં ઓછા અંશે જૂથ બનાવવા અને કેટલીક સિસ્ટમ અને વ્યવસ્થા દાખલ કરવા માટે, તેઓએ તમામ કાર્યોને વિભાગો અથવા પ્રકારોમાં વિતરિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. આ વિચાર, અલબત્ત, સારો છે, પરંતુ તે સામાન્ય રીતે ખૂબ જ અસફળ રીતે અમલમાં આવ્યો હતો, અને કાર્યોનું વિતરણ તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિઓ અનુસાર નહીં, જેમ કે તેઓ હોવું જોઈએ, પરંતુ તેમની સામગ્રી અનુસાર, એટલે કે, તેમના દેખાવ અનુસાર; ઉદાહરણ તરીકે, સસલાનો પીછો કરતા કૂતરાઓ વિશે, ઝાડ વિશે, કુમારિકાઓ વિશે, વગેરે વિશે ખાસ પ્રકારની સમસ્યા હતી.

સમસ્યાઓને તેમની સામગ્રી અનુસાર વિભાજીત કરીને હલ કરવાથી લગભગ કોઈ ફાયદો થયો નથી, કારણ કે તે ઉકેલને વધુ સારી રીતે સમજવામાં મદદ કરતું નથી. અને, પ્રાચીન લેખકોના મતે, તે સમજવું ભાગ્યે જ જરૂરી હતું.

"તે કંઈ નથી," માર્ગદર્શક તેના વિદ્યાર્થીઓને આશ્વાસન આપતા હતા: "તમે કંઈપણ સમજી શકતા નથી, તમે ભવિષ્યમાં પણ ઘણું સમજી શકશો નહીં."

સમજવાને બદલે, એવી ભલામણ કરવામાં આવી હતી કે તમે વહી જશો નહીં, પરંતુ જે પૂછવામાં આવે છે તે બધું હૃદયથી શીખો, અને પછી તેને પ્રેક્ટિસમાં લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરો, એટલે કે, ઉદાહરણો પર, અને સમજણની બધી શક્તિ સમજવા પર કેન્દ્રિત હતી. નિયમનો નિષ્કર્ષ, પરંતુ વધુ વિનમ્ર એક પર, કેવી રીતે અરજી કરવી સામાન્ય નિયમઉદાહરણો માટે.

અને તેથી ટ્રિપલ નિયમ ઘણી બાબતોમાં ઉત્કૃષ્ટ અને વિશેષ ધ્યાન આપવા લાયક હતો. પ્રથમ, તેના કાર્યોની શ્રેણી ખૂબ વ્યાપક છે, બીજું, નિયમ પોતે જ એકદમ સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો છે, અને ત્રીજું, આ નિયમ લાગુ કરવો પ્રમાણમાં સરળ હતો. આ બધા ગુણો માટે તેઓએ તેને "સોનેરી", "વેપારીઓની ચાવી", વગેરે નામ આપ્યું.

ત્રણનો નિયમહિંદુઓમાં તેની શરૂઆત થઈ, જ્યાં તેની સમસ્યાઓ મોટાભાગે એકતામાં ઘટાડા દ્વારા હલ કરવામાં આવી. આરબ વિજ્ઞાની અલખ્વારીઝમી (9મી સદી એડી) એ બીજગણિતને આભારી છે. લિયોનાર્ડો ફિબોનાસી, 13મી સદીના ઇટાલિયન. R. X. અનુસાર, ટ્રિપલ નિયમ માટે એક વિશેષ વિભાગ સમર્પિત કરે છે જેને કહેવાય છે: ad majorem guisam, જ્યાં સામાનની કિંમતની ગણતરી કરવા માટે કાર્યો આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ: 100 રોટલી (પિસાન વજન) ની કિંમત 40 લીર છે, 5 રોટલીની કિંમત શું છે? શરત આ રીતે લખવામાં આવી હતી:

નીચેના ક્રમમાં આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટેનો નિયમ સૂચવવામાં આવ્યો છે: 40 વડે 5 ભાગ્યા 100 નું ઉત્પાદન.

16મી સદીથી ટ્રિપલ નિયમ પર ખાસ ધ્યાન આપવામાં આવ્યું છે, એટલે કે, મહત્વપૂર્ણ શોધો અને નવા દેશોની શોધને કારણે યુરોપિયન વેપાર અને ઉદ્યોગ તરત જ આગળ વધ્યા ત્યારથી. પરંતુ આનાથી અમને આ પ્રકરણને સંપૂર્ણ રીતે અસંતોષકારક રીતે વિકસાવવાથી રોક્યું નહીં, ઓછામાં ઓછું અમારા દૃષ્ટિકોણથી. સૌ પ્રથમ, નિયમ સંપૂર્ણપણે બાહ્ય છબી દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવ્યો હતો: “સમસ્યામાં ત્રણ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે અને ચોથો નંબર આપે છે, જેમ કે જો તમે ઘરના ત્રણ ખૂણાઓ મૂકો છો, તો તે ચોથો ખૂણો નક્કી કરશે; બીજી સંખ્યાનો 3જી વડે ગુણાકાર થવો જોઈએ અને જે થાય છે તેને 1લી સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે છે.” આવી વ્યાખ્યા મૂંઝવણમાં પરિણમી શકે નહીં, અને સૌ પ્રથમ પ્રશ્ન ઊભો થયો: પ્રથમ નંબર શું માનવામાં આવે છે, અને શું ત્રણ આપેલ સંખ્યાઓ સાથેની બધી સમસ્યાઓ ટ્રિપલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે? પાઠ્યપુસ્તકોએ આ ગેરસમજને સમજાવવી જરૂરી માન્યું નથી. વધુમાં, સમસ્યાઓ માત્ર પૂર્ણ સંખ્યાઓ સાથે જ નહીં, પણ અપૂર્ણાંકો સાથે પણ હલ કરવામાં આવી હતી, અને અન્ય અંકગણિતમાં તે એટલી અસંગત રીતે ગોઠવવામાં આવી હતી કે સમસ્યાઓ સાથે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓઅપૂર્ણાંક પરના પ્રકરણો અગાઉ ટ્રિપલ નિયમ પર મૂકવામાં આવ્યા હતા, કારણ કે આખો ત્રિવિધ નિયમ અપૂર્ણાંક સંખ્યાના અંકગણિત પહેલાં આવ્યો હતો.

પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકો સાથે ત્રિવિધ નિયમ પછી, તે જણાવવામાં આવ્યું હતું ખાસ નિયમ“કોન્ટ્રાક્ટિવ”, જે અમુક ચોક્કસ સંખ્યાઓને કેવી રીતે ઘટાડવી તે સમજાવે છે, અને પછી “પ્રતિબિંબીત” નિયમ આવ્યો; તે એક ખૂબ જ ગૂંચવણભર્યો વિભાગ હતો, જેમાં વિપરીત પ્રમાણ સાથેના પ્રશ્નો હતા, અને પાઠયપુસ્તકોના લેખકો આ જૂથની કઈ સમસ્યાઓનો ભેદ કરી શક્યા ન હતા; વિદ્યાર્થીઓએ તેમના પોતાના અનુમાન પર આધાર રાખવો પડ્યો અને તેમની ચાતુર્યથી સંતુષ્ટ રહેવું પડ્યું. XV અને XII સદીઓમાં. સમજૂતી નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવી હતી: “જો અનાજના માપની કિંમત 1½ ગુણ હોય, તો 1 માર્ક માટે તેઓ બે પાઉન્ડ બ્રેડ આપે છે; જો અનાજના માપની કિંમત 1¾ માર્કસ હોય, તો માર્ક દીઠ બ્રેડના કેટલા પૂડ આપવામાં આવશે; અમે ટ્રિપલ નિયમ દ્વારા હલ કરીએ છીએ, તે કામ કરશે

પરંતુ બુદ્ધિશાળીઓને ખ્યાલ આવશે કે જ્યારે અનાજના ભાવમાં વધારો થશે, ત્યારે તેઓ ઓછા અનાજ આપશે, વધુ નહીં, તેથી પ્રશ્ન ફેરવવો જ જોઇએ, ત્યાં હશે.

મેગ્નિટસ્કી (1703) સમાન ભાવનામાં અર્થઘટન કરે છે

"ત્યાં એક પ્રતિબિંબીત નિયમ છે, જ્યારે કોઈ કાર્યમાં પ્રથમને બદલે ત્રીજી સૂચિ મૂકવાની જરૂર હોય છે: આ વારંવાર સિવિલ કેસોમાં જરૂરી છે, જેમ કે બટ પર બોલતા હોય: એક ચોક્કસ સજ્જન એક સુથારને બોલાવે છે અને યાર્ડનો ઓર્ડર આપે છે. બાંધવા માટે, તેને વીસ કામદારો આપ્યા: અને પૂછ્યું, તે કેટલા દિવસોમાં તેનું આંગણું બાંધશે, તેણે જવાબ આપ્યો, ત્રીસ દિવસમાં; અને માસ્ટરને 5 દિવસમાં આખી વસ્તુ બનાવવાની જરૂર છે, અને આ હેતુ માટે તેણે સુથારને પૂછ્યું કે કેટલા લોકો રાખવા લાયક છે, જેથી તમે તેમની સાથે 5 દિવસમાં આંગણું બનાવી શકો, અને તે સુથાર, મૂંઝવણમાં, તમને પૂછે છે. અંકગણિત રીતે: 5 દિવસમાં તેના માટે તે આંગણું બનાવવા માટે કેટલા લોકો રાખવા યોગ્ય છે, અને એકવાર તમે ટ્રિપલ નિયમના ક્રમ અનુસાર ફક્ત બનાવવાનું શરૂ કરો; પછી તમે ખરેખર પાપ કર્યું છે; પરંતુ તે તમારા માટે યોગ્ય નથી: 30-20-5, પરંતુ તેને ચાળણીમાં ફેરવવું: 5-20-30; 30 X 20=600; 600: 5=120.”

ટ્રિપલ નિયમ પછી પાંચ આવ્યા, સાત આવ્યા. અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે આ જટિલ ત્રિવિધ નિયમના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે, એટલે કે જ્યારે, 5 અથવા 7 ડેટા અનુસાર, જે એકબીજા સાથે પ્રમાણસર સંબંધમાં હોય છે, 6ઠ્ઠી અથવા 8મી, તેમની અનુરૂપ સંખ્યા, અન્યમાં જોવા મળે છે. શબ્દો: ક્વિન્ટુપલ નિયમને 2 પ્રમાણની જરૂર છે, અને સાત એટલે ત્રણ. પાંચ ગણો નિયમ 18મી સદીમાં નીચે પ્રમાણે સમજાવવામાં આવ્યો હતો:

તે એવી ગણતરીઓ કરે છે જે અન્ય નિયમ મુજબ કરી શકાતી નથી; તેમાં 5 નંબરો આપવામાં આવ્યા છે, અને તેમાંથી છઠ્ઠી જરૂરી સંખ્યા મળી છે; ઉદાહરણ તરીકે, કોઈએ 100 રુબેલ્સ પરિભ્રમણમાં મૂક્યા, અને તેઓ તેને 7 રુબેલ્સનો નફો લાવ્યો, કોઈને આશ્ચર્ય થાય છે કે તેને 100 રુબેલ્સમાંથી કેટલો નફો મળ્યો હશે; 5 વર્ષ માટે;

તે આ રીતે ઉકેલવામાં આવે છે: 100-1-7-1000-5, બે ડાબી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો, અને 3 જમણી સંખ્યાઓનો પણ ગુણાકાર કરો અને છેલ્લા ઉત્પાદનને પ્રથમ દ્વારા વિભાજીત કરો, જવાબ 350 હશે, તેથી ઘણા રુબેલ્સ નફો થશે 1000 રુબેલ્સ આપો. 5 વર્ષ માટે.

સરળ અને જટિલ ત્રિવિધ નિયમો સામાન્ય રીતે 16મી-18મી સદીમાં વહેંચવામાં આવતા હતા. કાર્યોની સામગ્રીના આધારે, નાના વિભાગોના સમૂહમાં કે જે ખૂબ જટિલ નામો ધરાવે છે. મેગ્નિટસ્કી અનુસાર આ નામો છે: "ટ્રિપલ ટ્રેડિંગ નિયમ," એટલે કે, ખરીદેલ ઉત્પાદનની કિંમતની ગણતરી; b "ખરીદી અને વેચાણ વિશે ટ્રિપલ ટ્રેડિંગ", અગાઉના એક જેવું જ, પરંતુ માત્ર વધુ જટિલ; c "વેપારપાત્ર શાકભાજીનો ટ્રિપલ વેપાર અને નિશાની સાથે," જ્યારે તમારે સામાન્ય રીતે ડીશ અને કેસીંગ્સ માટે કપાત કરવી પડે; ડી "નફો અને નુકસાન પર"; e “ટ્રિપલ નિયમમાં પ્રશ્ન લેખ”, તેમાં અત્યંત વૈવિધ્યસભર સામગ્રીના કાર્યો છે, મોટે ભાગે વ્યસ્ત પ્રમાણ સાથે; f "સમય સાથેનો પ્રશ્ન લેખ", જ્યાં તમને કામ, મુસાફરી વગેરેની અવધિની ગણતરી કરવાનું કહેવામાં આવે છે.

19મી સદીની શરૂઆતમાં, બાઝેડોવે ટ્રિપલ નિયમમાં અને ફરીથી તે જ દિશામાં યાંત્રિક, બેભાન કૌશલ્યમાં બીજા ફેરફારની દરખાસ્ત કરી. આ જર્મન શિક્ષકે ટ્રિપલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના ઉકેલને વધુ સરળ બનાવવાની તૈયારી કરી અને તેને ઉકેલવામાં સામેલ તર્કની માત્રાને વધુ ઘટાડી અને તેના સ્થાને તૈયાર ફોર્મ્યુલા લખી. તે આ સંખ્યાઓને 2 કૉલમમાં ગોઠવવાની સલાહ આપે છે: સૂત્રના અંશમાં જે સંખ્યાઓ શામેલ હોવી જોઈએ તે અજ્ઞાત જથ્થા અને તમામ સંખ્યાઓ ડાબી બાજુએ લખેલી છે, અને છેદ બનાવે છે તે તમામ પરિબળો જમણી બાજુએ લખેલા છે. ઉદાહરણ: 1200 લોકોને 4 મહિના સુધી ખવડાવવા માટે, 2400 સેન્ટર લોટની જરૂર છે; 4000 કેન્દ્રો 3 મહિનામાં કેટલા લોકોનું ઉત્પાદન કરશે? અમે 2 કૉલમ લખીએ છીએ:

અને અમને જવાબ સૂત્ર મળે છે

અંશમાં 1200, 4000 અને 4 નંબરો અને છેદમાં 2400 અને 3 શા માટે શામેલ છે? આનો જવાબ નીચેના નિયમથી આપી શકાય છે: અંશમાં એવી સંખ્યા શામેલ હોય છે જે ઇચ્છિત સાથે સમાન હોય છે, એટલે કે, અમારા કિસ્સામાં, સંખ્યા 1200; વધુમાં, તેમાં બીજી શરત (4000 4) ની તે બધી સંખ્યાઓ પણ શામેલ છે, જે જરૂરી એકના સીધા પ્રમાણસર છે; જો તેઓ વિપરિત પ્રમાણસર હોય, જેમ કે અમારા ઉદાહરણ 3 માં, તો તેઓ 1લી સ્થિતિ (4) ની અનુરૂપ સંખ્યાઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

આ તે છે જે આપણે ત્રિવિધ શાસનના ઐતિહાસિક વિકાસ વિશે જાણ કરી શકીએ છીએ. જે કહેવામાં આવ્યું છે તેમાંથી, આપણે એવા નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ છીએ જે આપણા સમય માટે યોગ્ય છે. મધ્યયુગીન અંકગણિત, તેના પ્રશ્નોના યાંત્રિક ઉકેલ સાથે માત્ર નિયમો આપવા અને તારણો છોડવાની વૃત્તિ સાથે, તે પછીની દરેક વસ્તુ પર ખૂબ જ મોટો પ્રભાવ પાડ્યો હતો. શાળા જીવન, અને એટલો મોટો છે કે આપણા સમયમાં પણ દરેક પગલા પર તેના નિશાન દેખાય છે. આદતોમાંથી મુક્ત થવા માટે આપણે ગમે તેટલી પરંપરાને દૂર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, તેઓ આપણને ખૂબ નજીકથી અપનાવી લીધા છે અને સંપૂર્ણપણે દૂર ફેંકી દેવા માટે આપણી સાથે ખૂબ જ મજબૂત રીતે જોડાયેલા છે. અમારી શાળા હજુ પણ સભાનતાની પૂરતી ભાગીદારી વિના, અંકગણિતના અભ્યાસ માટે દોષિત છે. ત્રિવિધ નિયમ આનો સારો પુરાવો છે. અમારી સરેરાશ અને નીચી શાળા, કે તેનો હેતુ સામાન્ય શિક્ષણ આપવાનો છે, અને એકાઉન્ટન્ટ્સ, કારકુનો, બુકકીપર્સ વગેરેને તાલીમ આપવાનો નથી. દરમિયાન, ઈટાલિયનો અને જર્મનોની હસ્તકલાની તકનીકો, જેમણે કોઈ વ્યક્તિને વિકસાવવા માટે નહીં, પરંતુ તેને બનાવવાની માંગ કરી હતી. ગણતરી મશીન, ઘણી વખત હવે પણ વપરાય છે. શા માટે આ બધા નિયમો: ટ્રિપલ, મિશ્રણ, વગેરે? તેઓએ કયા હેતુની સેવા કરવી જોઈએ? તેઓ ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓમાંથી નિષ્કર્ષ હોવા જોઈએ, અને સમસ્યાઓના ઉકેલની આગળ નહીં; અગાઉ શીખેલા નિયમ મુજબ સમસ્યાઓ ઉકેલવી હાનિકારક છે, પરંતુ વ્યક્તિએ મફત વ્યક્તિગત વિચારણાઓનો ઉપયોગ કરીને જવાબ સુધી પહોંચવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. એક શબ્દમાં, નિયમને રેસીપીના રૂપમાં સમજવો જોઈએ નહીં, જે તેમાંથી વિવિધ અત્યાધુનિક ઉકેલો તૈયાર કરવા માટે યાદ રાખવા માટે પૂરતું છે; પરંતુ તેનું મૂલ્ય માત્ર એક નિષ્કર્ષ તરીકે જ હોવું જોઈએ કે જેના પર વિદ્યાર્થી આવે છે: જો વિદ્યાર્થી આ નિષ્કર્ષ લઈ શકતો નથી, તો તેનો અર્થ એ છે કે થોડા કાર્યો લેવામાં આવ્યા છે, અથવા તે વ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવવામાં આવ્યા નથી, અને આ ભૂલને વધુ વ્યવસ્થિત દ્વારા સુધારવી આવશ્યક છે. કાર્યોની ગોઠવણી; જો વિદ્યાર્થી કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢે છે જે શિક્ષકને ગમશે તેટલું સંપૂર્ણ અને વિગતવાર નથી, તો પછી તેને પાઠ્યપુસ્તક દ્વારા લાદવામાં આવેલા નિયમને શીખવા માટે દબાણ કરવા કરતાં તેનાથી સંતુષ્ટ રહેવું વધુ સારું છે: તે ટૂંક સમયમાં ભૂલી જશે અને તેની પાસે રહેશે નહીં. વિકાસલક્ષી અસર, કારણ કે સ્વતંત્રતા એ ગાણિતિક વ્યુત્પત્તિની આવશ્યક ગુણવત્તા હોવી જોઈએ, અને આવશ્યક સ્થિતિની સભાનતા, અભ્યાસક્રમના તમામ ભાગો સાથે ગાઢ જોડાણ હોવું જોઈએ, તેથી જ મેમરી દ્વારા આત્મસાત કરવામાં આવેલા અલગ ટુકડાઓના માથામાં યાંત્રિક નિવેશ થઈ શકતું નથી. સ્થાન લેવું.

અંકગણિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનો નિયમ જેમાં જથ્થાઓ પ્રત્યક્ષ અથવા વ્યસ્ત દ્વારા સંબંધિત છે પ્રમાણસર નિર્ભરતા(જુઓ પ્રમાણસરતા). સરળ તકનીકી કાર્યોને લગતી સમસ્યાઓમાં તે શામેલ છે જેમાં બે જથ્થા સામેલ છે x 1 અને x 2, બે મૂલ્યો સાથે a 1 , aતેમાંથી 2 અને એક મૂલ્ય b 1 અન્ય જાણીતા છે. જથ્થાનું બીજું મૂલ્ય નક્કી કરવાનું છે x 2, એટલે કે b 2. સરળ T.p પ્રમાણ પર આધારિત છે a 1:b 1 = a 2:b 2 (સીધા પ્રમાણ માટે) અને a 1:b 1 =b 2:a 2 (માટે વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા), જેમાંથી નીચેના સૂત્રો મેળવવામાં આવે છે:

જટિલ ટેકનીકનો ઉપયોગ સમાવિષ્ટ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે થાય છે n (n> 2) જથ્થો x 1 , x 2 ,..., x n -1 , x n. આ કિસ્સામાં, તમે n- 1 મેગ્નિટ્યુડ x 1 , x 2 ,..., x n-1 બે મૂલ્યો જાણીતા છે a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ,..., l 1 , l 2 અને y x n માત્ર એક મૂલ્ય જાણીતું છે k 1, અન્ય - k 2 નક્કી કરવાનું છે. વ્યવહારિક રીતે જટિલ તકનીકી પદ્ધતિ એ એક સરળ તકનીકી પદ્ધતિનો ક્રમિક એપ્લિકેશન છે.

• - ઉદ્દેશ્ય અર્થમાં - એકરૂપતા, અસ્તિત્વની એકવિધતા, ઘટના અથવા ક્રિયા, વિભાવનાઓમાં ઘડવામાં આવે છે, જે હજુ સુધી કુદરતી રીતે જરૂરી તરીકે ઓળખાય નથી. વ્યક્તિલક્ષી અર્થમાં - અમુક પ્રકારની પ્રિસ્ક્રિપ્શન...

  શરૂઆત આધુનિક કુદરતી વિજ્ઞાન

• - પ્રથમ, દ્વિતીય અને તૃતીય સ્થાનોમાંથી અનુભવને સમજવાની પ્રક્રિયા. ...

  ન્યુરોલિન્ગ્વિસ્ટિક પ્રોગ્રામિંગનો શબ્દકોશ

• - - હુકમનામું, કોઈ વસ્તુનો ક્રમ સ્થાપિત કરતો હુકમ. શિક્ષણની પ્રવૃત્તિ વિકાસ, સ્વીકૃતિ, પાલન, વિવિધ પ્રકારના નિયમોની પુષ્ટિમાં પ્રગટ થાય છે...

  શિક્ષણશાસ્ત્રીય પરિભાષા શબ્દકોષ

• - 1. સાંકડી દિવાલોથી વિભાજિત ત્રણ વિન્ડો ઓપનિંગ્સની રચના. 2...

  આર્કિટેક્ચરલ ડિક્શનરી

• - 1. છિદ્રો સાથેનો સીધો, સ્વચ્છ પ્લાન્ડ બ્લોક, જે ધાર સાથે લોગ, બાર અને બોર્ડની રૂપરેખા માટે વપરાય છે. 2. સ્ટીયરીંગ વ્હીલ...

  દરિયાઈ શબ્દકોશ

• - સેમી....

  ચિની ફિલસૂફી. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

• - ટ્રિપલ ક્રોસ - ત્રીજા સાથે 2 જન્મજાત રેખાઓના સંકરનું ક્રોસિંગ, જિનોટાઇપિક રીતે અગાઉના બે સાથે સારી રીતે જોડાયેલું; આ સંવર્ધન તકનીકનો ઉપયોગ ઉચ્ચ ઉત્પાદક ટ્રિપલ હાઇબ્રિડ મેળવવા માટે થાય છે...

  મોલેક્યુલર બાયોલોજીઅને જીનેટિક્સ. શબ્દકોશ

• - અંગ્રેજી: નિયમ હુકમનામું, હુકમ, કોઈપણ હુકમ સ્થાપિત કરતી જોગવાઈ...

  બાંધકામ શબ્દકોશ

• - ડાઉનવર્ડ ટ્રેન્ડ માટે રિવર્સલ આકૃતિ. ઊંધી માથા અને ખભા કરતાં નબળા સંકેત છે: ટ્રિપલ બોટમ જુઓ. આ પણ જુઓ: વિપરીત આંકડા  ...

  નાણાકીય શબ્દકોશ

• - ફાઉન્ડ્રી જુઓ...

  બ્રોકહોસ અને યુફ્રોનનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

• - અંકગણિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનો નિયમ જેમાં જથ્થાઓ પ્રત્યક્ષ અથવા વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા દ્વારા સંબંધિત છે...

  ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

• - પ્રારંભિક અભિવ્યક્તિવિરામચિહ્નો દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે, સામાન્ય રીતે અલ્પવિરામ. પ્રારંભિક શબ્દો માટે વિરામચિહ્નો પર વિગતો માટે, પરિશિષ્ટ 2 જુઓ. તેમના દર્દીઓ નાના હતા, તેઓ મોટા શર્ટ પહેરતા હતા, અને મોટા દર્દીઓ નાના પહેરતા હતા...

  વિરામચિહ્નો પર શબ્દકોશ-સંદર્ભ પુસ્તક

• - યુનિઝમ. કોઈ વસ્તુની સામાન્યતા અથવા નિયમિતતા પર ભાર મૂકવા માટે વપરાય છે. પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિકના પ્રવચનો એકત્રિત કરવામાં આવે છે, સંપૂર્ણ પ્રેક્ષકોશ્રોતાઓ દંતકથાઓ માહિતીના અભાવથી ઉદ્ભવે છે ...

  શૈક્ષણિક શબ્દસમૂહશાસ્ત્રીય શબ્દકોશ

• - નિયમ, -આહ...

  ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

• - એક નિયમ તરીકે adv. ગુણવત્તા-સંજોગો 1. હંમેશની જેમ. 2...

  Efremova દ્વારા સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

• - ક્રિયાવિશેષણ, સમાનાર્થીની સંખ્યા: 10 મોટે ભાગેમોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં હંમેશની જેમ હંમેશની જેમ હંમેશની જેમ સામાન્ય રીતે સામાન્ય રીતે મોટાભાગે હંમેશની જેમ મોટાભાગે...

  સમાનાર્થી શબ્દકોષ

પુસ્તકોમાં "ટ્રિપલ નિયમ".

"ત્રિપલ આનંદ"