પ્રમાણ. જટિલ ત્રિવિધ નિયમ

શ્વેતસોવ K.I., BEVZ G.P.
પ્રાથમિક ગણિતની હેન્ડબુક
અંકગણિત, બીજગણિત, 1965


1. સરળ ત્રણનો નિયમ. પરના કાર્યોમાંથી પ્રમાણસર માત્રાસૌથી સામાન્ય સમસ્યાઓ કહેવાતા સરળ ટ્રિપલ નિયમ છે. આ સમસ્યાઓમાં, ત્રણ નંબરો આપવામાં આવે છે અને તમારે ચોથો, તેના પ્રમાણસર નક્કી કરવાની જરૂર છે.

સમસ્યા 1. 10 બોલ્ટનું વજન 4 કિલો છે. આમાંથી 25 બોલ્ટનું વજન કેટલું છે? આવી સમસ્યાઓ ઘણી રીતે ઉકેલી શકાય છે.

ઉકેલ I (એકતામાં ઘટાડા દ્વારા).

1) એક બોલ્ટનું વજન કેટલું છે?

4 કિગ્રા: 10 = 0.4 કિગ્રા.

2) 25 બોલ્ટનું વજન કેટલું છે?

0.4 કિગ્રા · 25 = 10 કિગ્રા.

ઉકેલ II (પ્રમાણ પદ્ધતિ). બોલ્ટ્સનું વજન તેમની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણસર હોવાથી, વજનનો ગુણોત્તર ટુકડાઓ (બોલ્ટ્સ) ના ગુણોત્તર સમાન છે. x અક્ષર સાથે ઇચ્છિત વજન દર્શાવતા, અમે પ્રમાણ મેળવીએ છીએ:

એક્સ : 4 = 25: 10,

(કિલો)

તમે આના જેવી દલીલ કરી શકો છો: 25 બોલ્ટ 10 બોલ્ટ કરતાં 2.5 ગણા વધારે છે. તેથી, તેઓ 4 કિલો કરતાં 2.5 ગણા ભારે છે:

4 kg · 2.5 = 10 kg.

જવાબ આપો. 25 બોલ્ટનું વજન 10 કિલો છે.

સમસ્યા 2. પ્રથમ ગિયર 50 આરપીએમ બનાવે છે. બીજું ગિયર, પ્રથમ સાથે મેશ કરેલું, 75 આરપીએમ બનાવે છે. જો પ્રથમના દાંતની સંખ્યા 30 હોય તો બીજા ચક્રના દાંતની સંખ્યા શોધો.

ઉકેલ (એકતામાં ઘટાડો કરીને). બંને જાળીદાર ગિયર્સ એક મિનિટમાં આગળ વધશે સમાન નંબરદાંત, તેથી વ્હીલ્સની ક્રાંતિની સંખ્યા તેમના દાંતની સંખ્યાના વિપરિત પ્રમાણસર છે.

50 રેવ. - 30 દાંત

75 રેવ. - એક્સદાંત

એક્સ : 30 = 50: 75; (દાંત).

તમે આના જેવું પણ કારણ આપી શકો છો: બીજું વ્હીલ પ્રથમ કરતા 1.5 ગણી વધુ ક્રાંતિ કરે છે (75: 50 = 1.5). પરિણામે, તેના દાંત પહેલા કરતા 1.5 ગણા નાના છે:

30: 1.5 = 20 (દાંત).

જવાબ આપો. 20 દાંત.

2. જટિલ ત્રિવિધ નિયમ.જેમાં કાર્યો આ શ્રેણીસંખ્યાબંધ (બે કરતાં વધુ) પ્રમાણસર જથ્થાના અનુરૂપ મૂલ્યો માટે બાકીના જથ્થાના આપેલ મૂલ્યોની બીજી શ્રેણીને અનુરૂપ તેમાંથી એકનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે, જેને જટિલ ત્રિવિધ નિયમ સમસ્યાઓ કહેવાય છે.

કાર્ય. 5 પંપ દ્વારા 3 કલાકમાં 1800 ડોલ પાણી બહાર કાઢવામાં આવ્યું. આવા 4 પંપ 4 કલાકમાં કેટલું પાણી બહાર કાઢશે?

અમને 5. 3 કલાક - 1800 કલાક

અમને 4. 4 કલાક - એક્સવેદ.

1) 1 પમ્પે 3 કલાકમાં કેટલી ડોલથી પાણી બહાર કાઢ્યું?

1800: 5 = 360 (ડોલ).

2) 1 પમ્પે 1 કલાકમાં કેટલી ડોલથી પાણી બહાર કાઢ્યું?

360: 3 = 120 (ડોલ).

3) 4 પંપ 1 કલાકમાં કેટલું પાણી બહાર કાઢશે?

120 · 4 = 480 (ડોલ).

4) 4 પંપ 4 કલાકમાં કેટલું પાણી બહાર કાઢશે?

480 · 4 = 1920 (ડોલ).

જવાબ આપો. 1920 ડોલ

માટે ટૂંકા ઉકેલ સંખ્યાત્મક સૂત્ર:

(ડોલ).

કાર્ય. સંખ્યા 100 ને સંખ્યા 2 અને 3 ના સીધા પ્રમાણસર બે ભાગોમાં વિભાજીત કરો,

આ સમસ્યાને નીચે મુજબ સમજવી જોઈએ: 100 ને બે ભાગોમાં વિભાજીત કરો જેથી પ્રથમ ભાગ બીજા સાથે સંબંધિત હોય કારણ કે 2 થી 3 છે. જો આપણે જરૂરી સંખ્યાઓને અક્ષરો સાથે નિયુક્ત કરીએ એક્સ 1 અને એક્સ 2 પછી આ સમસ્યા આ રીતે ઘડી શકાય છે. શોધો એક્સ 1 અને એક્સ 2 જેમ કે

એક્સ 1 + એક્સ 2 = 100,

એક્સ 1: એક્સ 2 = 2: 3.

ત્રણનો નિયમ

નિર્ણય માટે નિયમ અંકગણિત સમસ્યાઓ, જેમાં જથ્થાઓ પ્રત્યક્ષ અથવા વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા દ્વારા સંબંધિત છે (જુઓ પ્રમાણસરતા). સરળ તકનીકી કાર્યોને લગતી સમસ્યાઓમાં તે શામેલ છે જેમાં બે જથ્થા સામેલ છે x 1 અને x 2, બે મૂલ્યો સાથે a 1 , aતેમાંથી 2 અને એક મૂલ્ય b 1 અન્ય જાણીતા છે. જથ્થાનું બીજું મૂલ્ય નક્કી કરવાનું છે x 2, એટલે કે b 2. સરળ T.p પ્રમાણ પર આધારિત છે a 1:b 1 = a 2:b 2 (સીધા પ્રમાણ માટે) અને a 1:b 1 =b 2:a 2 (માટે વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા), જેમાંથી નીચેના સૂત્રો મેળવવામાં આવે છે:

જટિલ ટેકનીકનો ઉપયોગ સમાવિષ્ટ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે થાય છે n (n> 2) જથ્થો x 1 , x 2 ,..., x n -1 , x n. આ કિસ્સામાં, તમે n- 1 મેગ્નિટ્યુડ x 1 , x 2 ,..., x n-1 બે મૂલ્યો જાણીતા છે a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ,..., l 1 , l 2 અને વાય x n માત્ર એક મૂલ્ય જાણીતું છે k 1, અન્ય - k 2 નક્કી કરવાનું છે. વ્યવહારીક રીતે જટિલ તકનીકી પદ્ધતિ એ એક સરળ તકનીકી પદ્ધતિનો ક્રમિક એપ્લિકેશન છે.

મોટા સોવિયેત જ્ઞાનકોશ. - એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ. 1969-1978 .

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ટ્રિપલ નિયમ" શું છે તે જુઓ:

ચાલો ધારીએ કે જથ્થા A અને B એવા સંબંધમાં છે કે તેમાંથી એક અન્ય જથ્થાના આપેલ મૂલ્ય માટે ચોક્કસ મૂલ્ય લે છે. જો A = a1 માટે B = b1 અને A = a2 માટે B = b2, અને જો ત્યાં a1: a2 = b1: b2 માટે પ્રમાણ હોય તો... ...

ત્રણનો નિયમ- ગણિત. અંકગણિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનો નિયમ જેમાં જથ્થાઓ પ્રત્યક્ષ અથવા વિપરિત પ્રમાણસર હોય છે... અનેક અભિવ્યક્તિઓનો શબ્દકોશ

શબ્દકોશઉષાકોવા

1. RULE, નિયમો, cf. (નિષ્ણાત.). 1. કામની શુદ્ધતા (ટેક.) ચકાસવા માટે દિવાલો નાખતી વખતે લાકડાના મોટા શાસકનો ઉપયોગ થાય છે. 2. છેલ્લું જેના પર શૂમેકર તેના જૂતા (જૂતા) સીધા કરે છે. 3. ગ્રેહાઉન્ડ કૂતરાની પૂંછડી (શિકાર). "તે બધા, ત્યાં જ ... ... ઉષાકોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

બુધ. કાયદો, નિયમન અથવા કાયદો, ચોક્કસ સંજોગોમાં, આપેલ કિસ્સાઓમાં, કાર્યવાહી માટેનો આધાર. કલેક્ટર્સ, ચાર્ટર માટેના નિયમો. પ્રારંભિક નિયમોનોટેશન મઠના નિયમો, ચાર્ટર. સંવાદ પહેલા નિયમો, સૂચનાઓ કે... ... ડાહલ્સ એક્સ્પ્લેનેટરી ડિક્શનરી

સામગ્રીઓ 1 મૂળભૂત નિયમ 2 કો કુસ્તી... વિકિપીડિયા

જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશએફ. Brockhaus અને I.A. એફ્રોન

- (ક્રિસ્ટોફ રુડોલ્ફ) ઑસ્ટ્રિયન ગણિતશાસ્ત્રી (1499 1545), વિયેનીઝ પ્રોફેસર ગ્રામમેટિયસનો વિદ્યાર્થી. 1725 માં, તેમનો બીજગણિત દેખાયો, જેણે આ વિજ્ઞાનના ઇતિહાસમાં એક યુગની રચના કરી (Behend vund hübsch Rechnung durch die kunst reichen regeln Algebre, so... ... જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ F.A. Brockhaus અને I.A. એફ્રોન

- (ગ્રીક શબ્દો άριθμος નંબર અને τέχνη આર્ટમાંથી) ગણિતનો એક ભાગ જે ચોક્કસ ચોક્કસ જથ્થાના ગુણધર્મોના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે; સાંકડા અર્થમાં, અંકગણિત એ સંખ્યાઓમાં વ્યક્ત થયેલ સંખ્યાઓનું વિજ્ઞાન છે અને સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે. એ.…… જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ F.A. Brockhaus અને I.A. એફ્રોન

માં સંખ્યાઓ અને કામગીરી વિશેના જ્ઞાનનો વિસ્તાર નંબર સેટ. અંકગણિત વિશે બોલતા, અમારો અર્થ એ છે કે સંખ્યાની વિભાવનાની ઉત્પત્તિ અને વિકાસ, પદ્ધતિઓ અને ગણતરીના માધ્યમો અને સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીનો અભ્યાસ. વિવિધ પ્રકૃતિના, વિશ્લેષણ …… ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

બે ક્રિયાઓમાંના કાર્યોમાં, કાર્યોના જૂથને અલગ પાડવામાં આવે છે જે ઉકેલી શકાય છે એકતામાં ઘટાડો. આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, બાળકોએ વ્યવહારીક રીતે પ્રમાણસર હોય તેવા જથ્થાના ગુણધર્મો શીખવા જોઈએ.

ચાલો નીચેની સમસ્યાને ઉદાહરણ તરીકે લઈએ: સ્ટીમબોટ 2 કલાકમાં 40 કિમીનું અંતર કાપે છે. એક જ ઝડપે જહાજ 4 કલાકમાં કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે? આ સમસ્યામાં, પ્રથમ વખતના મૂલ્યને અનુરૂપ બે સમય મૂલ્યો અને એક અંતર મૂલ્ય જાણીતું છે; તે જાણીતું છે કે ચળવળની ગતિ બદલાતી નથી; અંતરનું અલગ મૂલ્ય શોધવું જરૂરી છે.

ચાલો વિચાર કરીએ વિવિધ રીતેઆ સમસ્યાના ઉકેલો, ડાબી બાજુએ ઉકેલ લખો અને જમણી બાજુએ તેનું તર્ક.

I ઉકેલની પદ્ધતિ - એકતાને સીધી રીતે ઘટાડવાની પદ્ધતિ

મૌખિક નિર્ણય

2 કલાક - 40 કિમી
1 કલાક - 20 કિમી
4 કલાક - 80 કિમી

લેખિત નિર્ણય

1) 40 કિમી: 2 = 20 કિમી
2)20km x 4 = 80km

સમયનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, જેમાંથી બે મૂલ્યો જાણીતા છે, એકતામાં ઘટાડો થાય છે.

મુ સતત ગતિજ્યારે સમય 2 ગણો ઘટે છે, ત્યારે અંતર 2 ગણું ઘટશે, જ્યારે તે 4 ગણું વધે છે, ત્યારે અંતર 4 ગણું વધશે.

ઉકેલની બીજી પદ્ધતિ એ એકતામાં પાછા આવવાની પદ્ધતિ છે.

મૌખિક નિર્ણય

40 કિમી - 2 કલાક = 120 મિનિટ.
1 કિમી - 3 મિનિટ.
4 કલાક (240 મિનિટ) – 80 કિમી

લેખિત નિર્ણય

1) 120 મિનિટ : 40 = 3 મિનિટ.
2) 240 મિનિટ : 3 મિનિટ = 80 (કિમી)

અંતરનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય એકતામાં ઘટાડવામાં આવે છે, જેમાંથી એક મૂલ્ય જાણીતું છે અને બીજું અજ્ઞાત છે.

સતત ઝડપે, 40 કિમી એટલે કે 3 મિનિટની મુસાફરી કરતાં 1 કિમીની મુસાફરી કરવામાં 40 ગણો ઓછો સમય લાગશે અને 4 કલાક (240 મિનિટ)માં જહાજ 240 મિનિટ જેટલા કિલોમીટર જેટલું અંતર કાપશે. 3 મિનિટથી વધુ.

ઉકેલની ત્રીજી પદ્ધતિ એ સંબંધ શોધવાની પદ્ધતિ છે.

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓનું સંક્ષિપ્ત વર્ણન:

2 કલાક - 40 કિમી
4 કલાક - x

1) 4 કલાક: 2 કલાક = 2
2) 40 કિમી x 2 = 80 કિમી

સતત ગતિએ, જેમ જેમ સમય વધે છે તેમ તેમ મુસાફરી કરેલ અંતર સમાન પ્રમાણમાં વધે છે.

ઉકેલની IV પદ્ધતિ - શોધવાની પદ્ધતિ સંખ્યાત્મક મૂલ્ય સતત મૂલ્ય.

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓનું સંક્ષિપ્ત વર્ણન

2 કલાક - 40 કિમી
4 કલાક -?

1) 40 કિમી: 2 = 20 કિમી
2) 20 કિમી x 4 = 80 કિમી

આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, પદ્ધતિ IV પદ્ધતિ I સાથે સુસંગત છે.

4 કલાકમાં મુસાફરી કરેલ અંતર શોધવા માટે, તમારે ઝડપનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, જે અનુરૂપ સમય મૂલ્ય દ્વારા અંતરને નવા સમય મૂલ્ય દ્વારા વિભાજિત કરીને જોવા મળે છે.

ચાલો સ્થિર જથ્થાના આંકડાકીય મૂલ્ય શોધવાની પદ્ધતિને બીજી સમસ્યામાં લાગુ કરીએ:

સ્ટીમરે 20 કિમી પ્રતિ કલાકની ઝડપે 40 કિમીની મુસાફરી કરી હતી. 30 કિમી પ્રતિ કલાકની ઝડપે જહાજ એક જ સમયે કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?

ઉકેલ.આ સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, સતત જથ્થો સમય છે.

1) જહાજને 40 કિમીની મુસાફરી કરવામાં કેટલા કલાક લાગ્યા?

40 કિમી: 20 કિમી = 2 (કલાક)

2) નવી ઝડપે જહાજ 2 કલાકમાં કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?

30 કિમી x 2 – 60 કિમી

જવાબ: 60 કિ.મી.

આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, સ્થિર મૂલ્યનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધવાની પદ્ધતિ એકતામાં સીધા ઘટાડાની પદ્ધતિથી અલગ છે. આ પદ્ધતિ સાથે વર્ણવેલ પદ્ધતિની સરખામણી પરથી જોઈ શકાય છે એકતામાં સીધો ઘટાડો.

પૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરીના માળખામાં સરળ ટ્રિપલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવાની એક અથવા બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની શક્યતા આંકડાકીય માહિતીની લાક્ષણિકતાઓ પર આધારિત છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ગુણોત્તર શોધવાની પદ્ધતિ ફક્ત ત્યારે જ લાગુ થઈ શકે છે જો સંખ્યાઓ બે વ્યક્ત કરતી હોય વિવિધ અર્થોસમાન જથ્થાના એક બીજાના ગુણાંક છે.

એકતામાં પાછા આવવાની પદ્ધતિસમસ્યા હલ કરતી વખતે ઉપયોગમાં લેવા માટે અનુકૂળ છે જેમાં તમારે જથ્થો અથવા સમયનું અજ્ઞાત મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે. તેથી, માટે અંકગણિત પાઠ્યપુસ્તકોમાં પ્રાથમિક વર્ગોસરળ ટ્રિપલ નિયમ સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવામાં આવે છે તેના આધારે જૂથોમાં પસંદ કરવામાં આવે છે. તે જ સમયે, વર્તમાન પ્રોગ્રામ મુજબ, એકતામાં પ્રત્યક્ષ અને વિપરિત ઘટાડાની પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલવામાં આવતી સમસ્યાઓને વર્ગ II માં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, અને ગુણોત્તર શોધવાની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓને વર્ગ IV માં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

એવું માનવા માટેનું કારણ છે કે ગુણોત્તર શોધીને ઉકેલવામાં આવતી સરળ સમસ્યાઓ, ગ્રેડ II માં રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં વિદ્યાર્થીઓ પહેલેથી જ હલ કરી રહ્યાં છે. સરળ કાર્યોબહુવિધ સરખામણી માટે. હાલના અંકગણિત પાઠ્યપુસ્તકોમાં સ્થિર જથ્થાનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધવાથી કોઈ સમસ્યા હલ થતી નથી, પરંતુ તે બીજા ધોરણમાં પહેલાથી જ ઉકેલ માટે ઓફર કરવી ઉપયોગી છે.

આ સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખતી વખતે, વ્યક્તિએ સરળ ગુણાકાર અને ભાગાકાર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિદ્યાર્થીઓની અગાઉ પ્રાપ્ત કરેલી ક્ષમતા પર આધાર રાખવો જોઈએ, જેમાં ત્રણ એકબીજા સાથે જોડાયેલા જથ્થામાંથી એકનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે, કિંમત શોધવા માટે. વસ્તુઓની કિંમત અને જથ્થા દ્વારા, કિંમત અને કિંમત દ્વારા જથ્થો, કિંમત - કિંમત અને જથ્થા દ્વારા.

જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધોનું બાળકોનું સારું જ્ઞાન એ આધાર તરીકે સેવા આપે છે જેના આધારે તેઓ એકતામાં ઘટાડો કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં માસ્ટર બને છે.

સંબંધ કેવી રીતે શોધવો તે વિદ્યાર્થીઓને સમજાવવા માટે, તમે ઉપયોગ કરી શકો છો વિઝ્યુઅલ એડ્સ(ફિગ. 22). ચાલો સમસ્યા હલ કરીએ: સ્ટેમ્પવાળા 2 પરબિડીયાઓની કિંમત 9 કોપેક્સ છે. આ 6 પરબિડીયાઓની કિંમત કેટલી છે?

જોડીમાં જૂથ થયેલ આ પરબિડીયાઓની છબીને જોવાથી વિદ્યાર્થીઓને એ સમજવામાં મદદ મળશે કે પરબિડીયાઓની જોડીની સંખ્યામાં ઘણી વખત વધારો કરવાથી તેમના મૂલ્યમાં સમાન રકમનો વધારો થાય છે.

ચોખા 22

વિદ્યાર્થીઓ પ્રશ્ન ઊભો કરે છે: 2 પરબિડીયા કરતાં 6 પરબિડીયાઓ કેટલી વાર વધારે છે? - જવાબ શોધો કે તે 3 ગણો વધુ છે, અને 9 કોપેક્સનો ગુણાકાર કરીને 6 પરબિડીયાઓની કિંમત શોધો. 3 દ્વારા.

કાર્યોની સંયુક્ત વિચારણા અને સ્વતંત્ર કાર્યબાળકો સીધી સમસ્યાઓને વિપરીત સમસ્યાઓમાં રૂપાંતરિત કરવા તેમને કેવી રીતે હલ કરવી તે વધુ સારી રીતે સમજવામાં ફાળો આપે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 3 કપના કાર્યની કિંમત 6 રુબેલ્સ છે. આમાંથી 5 કપની કિંમત કેટલી છે? માંગેલ નંબરને મળેલ નંબર સાથે અને એક ડેટાને માંગેલ નંબર સાથે બદલીને, તેને નીચેની વિપરીત સમસ્યાઓમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

1. 5 કપની કિંમત 10 રુબેલ્સ છે. આમાંથી 3 કપની કિંમત કેટલી છે?
2. 3 કપની કિંમત 6 રુબેલ્સ છે. તમે 10 રુબેલ્સ માટે આમાંથી કેટલા કપ ખરીદી શકો છો?
3. 5 કપની કિંમત 10 રુબેલ્સ છે. તમે 6 રુબેલ્સ માટે આમાંથી કેટલા કપ ખરીદી શકો છો?

મૂળ સમસ્યાનો ઉકેલ અને રૂપાંતરિત મુદ્દાઓમાંથી પ્રથમ હાથ ધરવામાં આવે છે એકતામાં સીધા ઘટાડા દ્વારા, બીજા અને ત્રીજાનો ઉકેલ છે એકતામાં પાછા આવવાની પદ્ધતિ.

પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવતી સમસ્યાઓનો પરંપરાગત રીતે ગ્રેડ 5-6ના અંકગણિત અભ્યાસક્રમમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે આ ઉંમરે વિદ્યાર્થીઓએ પ્રમાણને હલ કરવાનું શીખવું જોઈએ, બે વ્યવહારુ સાથે પરિચિત થવું જોઈએ. મહત્વપૂર્ણ અવલંબન- પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ, તેમની વચ્ચે તફાવત કરવાનું શીખો અને અનુરૂપ સમસ્યાઓ હલ કરો. પ્રમાણનો અભ્યાસ અને દર્શાવેલ અવલંબનનો જરૂરિયાતો સાથે બહુ ઓછો સંબંધ છે અંકગણિત અભ્યાસક્રમઅથવા 6ઠ્ઠા ધોરણમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે શીખવાની જરૂરિયાતો સાથે - પાઠ્યપુસ્તકોમાં પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા પર કોઈ સમસ્યા નથી કે જે પ્રમાણ વિના ઉકેલી શકાતી નથી. જો કે, પ્રમાણનો ઉપયોગ છે મહાન મૂલ્યગણિતના વધુ અભ્યાસ માટે. 6ઠ્ઠા ધોરણના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓને પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવાનું સૂચન કરવામાં આવે છે. તેમ છતાં, અમારા મતે, ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પ્રમાણનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી.

ચાલો પ્રમાણને સંડોવતા સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની તકનીકને ધ્યાનમાં લઈએ, જે દેખીતી રીતે થાકેલા રસાયણશાસ્ત્રના શિક્ષકોની છે. ખરાબ જ્ઞાનટકાવારીની ગણતરીના વિદ્યાર્થીઓ. તે સલાહ પર નીચે આવે છે: રેકોર્ડિંગમાં

400 ગ્રામઉકેલ - 100%

20 ગ્રામ મીઠું - x%

આંકડાકીય માહિતીને બે લીટીઓમાં બે લીટીઓ સાથે અલગ કરો, જ્યાં સુધી તમને નિશાની ન મળે ત્યાં સુધી બે લીટીઓને નજીક લાવો
"=" અને પરિણામી પ્રમાણ ઉકેલો:

400 / 20 = 100 /એક્સ.

કેટલીકવાર ઉકેલ પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રમાણ સ્પષ્ટપણે જણાવવામાં આવતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યાર્થી માર્ગદર્શિકામાં "રસાયણશાસ્ત્રમાં 500 સમસ્યાઓ" (પ્રોસ્વેશેનીયે, 1981) ટૂંકી નોંધઉકેલો:

b) 32 ગ્રામસલ્ફર 32 ગ્રામ ઓક્સિજન સાથે જોડાય છે, અને

x g » 8 g »

x = 32·8/ 32 = 8(d).

વી) 32 ગ્રામસલ્ફર 48 ગ્રામ ઓક્સિજન સાથે જોડાય છે, અને

x g » 8 g »

x = 32·8/ 48 = 5.33(જી).

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અહીં પ્રમાણ “પડદા પાછળ” રહે છે; નિર્ણય લેવાની આ પદ્ધતિમાં નિંદનીય કંઈ નથી, નિર્ણય લેતી વખતે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે મોટી સંખ્યામાંરસાયણશાસ્ત્રના પાઠોમાં સમાન કાર્યો. સાચું, અમે એક વિશાળ ઉપયોગ કરશે નહિં સામાન્ય સ્વાગતસ્પષ્ટ કિસ્સામાં “b” અને “c” કિસ્સામાં “≈” ને બદલે “=” ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો. પરંતુ અમને ખાતરી છે કે જો વિદ્યાર્થી પ્રમાણને સમજી શકતો નથી અને તેની ક્રિયાઓનો અર્થ સમજાવી શકતો નથી, તો મોડેલના આધારે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ તેના વિકાસ માટે થોડો લાભ પૂરો પાડે છે.

રસાયણશાસ્ત્રીઓ માટે સારું! તેઓ સીધા પ્રમાણસરતા સાથે વ્યવહાર કરે છે. અને 6ઠ્ઠા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ (ખાસ કરીને જેઓ શિક્ષકની સમજૂતી ચૂકી ગયા છે) કેટલીકવાર ઘરેથી પ્રમાણ વિના પ્રથમ સમસ્યા હલ કરવાની આ પદ્ધતિ લાવે છે: “ચાલો સંખ્યાઓને ક્રોસવાઇઝ ગુણાકાર કરીએ: 20 ને 100 વડે ગુણાકાર કરીએ, x- 400 સુધીમાં, ચાલો મેળવેલા પરિણામોની સમાનતા કરીએ અને શોધીએ x" આવા વિદ્યાર્થીઓ માટે પ્રમાણનો ઉપયોગ શીખવવો મુશ્કેલ છે, કારણ કે તેઓ તેમની પોતાની પદ્ધતિને વધુ સરળ માને છે, પરંતુ "ક્રોસવાઇઝ" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિપરીત પ્રમાણની સમસ્યાઓ ઉકેલવાનો પ્રયાસ કર્યા પછી આ મુશ્કેલી સરળતાથી દૂર થઈ જાય છે.

નોંધ કરો કે નિયમ "ગુણાકાર અને ભાગાકાર ક્રોસવાઇઝ" એ નિયમો જેવો છે જે જૂના દિવસોમાં અંકગણિત સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ઉપયોગમાં લેવાતા હતા. ચાલો આ સંજોગોનો લાભ લઈએ અને ફરી એકવાર મુદ્દાના ઈતિહાસ પર પાછા ફરીએ. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો પરિભાષા સ્પષ્ટ કરીએ.

પ્રાચીન કાળમાં અનેક પ્રકારની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ આવતું હતું ખાસ નિયમોતેમના નિર્ણયો. પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણની પરિચિત સમસ્યાઓ, જેમાં ચોથા મૂલ્યને બે જથ્થાના ત્રણ મૂલ્યોમાંથી શોધવાની જરૂર છે, તેને ટ્રિપલ નિયમ સમસ્યાઓ (સરળ ટ્રિપલ નિયમ) કહેવામાં આવે છે. જો ત્રણ જથ્થા માટે પાંચ મૂલ્યો આપવામાં આવ્યા હતા અને છઠ્ઠું શોધવાનું જરૂરી હતું, તો નિયમને પાંચ કહેવામાં આવે છે. એ જ રીતે, ચાર જથ્થા માટે "સાત-ગણો" નિયમ હતો. આ નિયમોને જટિલ ટ્રિપલ નિયમ સમસ્યાઓ પણ કહેવામાં આવે છે.

અમારા પુસ્તકના પ્રથમ ફકરાના પ્રારંભિક લેખમાં, અમે I. Boeschenstein (1514) ના પુસ્તકમાંથી એક ટુકડો ટાંક્યો છે, જે ટ્રિપલ નિયમ પ્રત્યે શિક્ષકોના લગભગ રહસ્યવાદી વલણને પ્રતિબિંબિત કરે છે, અને સામગ્રીની રજૂઆત પોતે જ ઉચ્ચારણ ધરાવે છે. પ્રિસ્ક્રિપ્શન પાત્ર. નિયમો અનુસાર તાલીમ રશિયામાં વ્યાપક હતી. એલ.એફ.ના સમયથી સમસ્યાનું નિરાકરણ શીખવવાની પદ્ધતિનું વર્ણન કરવા ઈચ્છું છું. મેગ્નિટસ્કી, ચાલો S.I નો સંદર્ભ લો. શોખોર-ટ્રોત્સ્કી, જેમણે તેમની "માધ્યમિક શિક્ષકો માટે અંકગણિતની પદ્ધતિઓ" માં શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ“લખ્યું: “પ્રાચીન સમયમાં અંકગણિત પરના પુસ્તકો કેટલા નિયમોમાં ભરપૂર હતા તેનો અંદાજ લિયોન્ટી મેગ્નિટસ્કીના કાર્ય દ્વારા કરી શકાય છે, જે તેના સમય માટે ખૂબ જ આદરણીય હતો... પ્રથમ પુસ્તકમાં... પૂર્ણાંકો વિશેના ઘણા નિયમો ઉપરાંત અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ, એવા નિયમો સુયોજિત કરે છે જેને લેખક “સમાન” (હવે ટ્રિપલ કહેવાય છે) કહે છે... લેખક અલગ પાડે છે: સંપૂર્ણમાં ટ્રિપલ નિયમ, અપૂર્ણાંકમાં ટ્રિપલ નિયમ, ટ્રિપલ કોન્ટ્રાક્ટાઇલ નિયમ, “રિફ્લેક્સિવ” (વિપરીત પ્રમાણસર) નિયમ , ક્વિન્ટુપલ નિયમ, "સેપ્ટેનરી" નિયમ... , અને પછી, આ નિયમોના ઉપયોગના સ્વરૂપમાં, તે સંખ્યાબંધ "લેખ" પ્રસ્તાવિત કરે છે: ટ્રિપલ ટ્રેડિંગ લેખ ("સંપૂર્ણ" અને "શેરમાં") , ખરીદી અને વેચાણ પર ટ્રિપલ ટ્રેડિંગ લેખ, માર્કેટેબલ શાકભાજી પર ટ્રિપલ ટ્રેડિંગ લેખ અને "સાઇન સાથે" (જે માલના કન્ટેનરની ગણતરી કરવા વિશે છે), "ખરીદી" અને "ઇનવૉઇસેસ", ટ્રિપલ વિશે "પ્રશ્ન" નિયમ, "સમયથી પ્રશ્ન", "ત્રણ નિયમમાં વ્યવસાય", "ત્રણ નિયમમાં વિનિમય"...

આગળ S.I. શોખોર-ટ્રોત્સ્કીએ એલ.એફ. દ્વારા "અંકગણિત" માંથી એક ભાગ ટાંક્યો છે. મેગ્નિટસ્કી, જેમાંથી તે સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે કે સામગ્રીની રજૂઆતની રેસીપી શૈલી, અગાઉના યુરોપિયન સ્ત્રોતોની લાક્ષણિકતા, પ્રથમ રશિયન પાઠયપુસ્તકઅંકગણિત હજુ કાબુ પામ્યું નથી. આ ટુકડામાં, પાંચગણા નિયમના ઉપયોગને સમર્પિત, પ્રથમ નિયમની વ્યાખ્યા અને તેના ઉપયોગનું ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું છે (સમસ્યાનું લખાણ ત્રાંસા શબ્દોમાં છે), પછી જવાબ મેળવવા માટેની રેસીપી; અન્ય કિસ્સાઓમાં તે જ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે.

"એક પાંચ ગણો નિયમ છે, જ્યારે આવા અંદાજો કરવામાં આવે છે, પછી ભલે તે આ પાંચ-ગણા અથવા પાંચ-સૂચિબદ્ધ એક દ્વારા સિવાય, અન્ય કોઈ હુકમ અથવા નિયમ દ્વારા સમજી ન શકાય, અને ટ્રિપલ-વિષય એક પણ છે. જણાવ્યું... કારણ કે નિયમમાં પાંચ સૂચિ [સંખ્યાઓની] પૂરી પાડવામાં આવે છે, અને છઠ્ઠી શોધ કરવામાં આવી છે...: કોઈની પાસે એક વર્ષ માટે વેપારીઓમાં સો રુબેલ્સ હતા, અને તેમની સાથે માત્ર 7 રુબેલ્સ હસ્તગત કર્યા હતા, અને ફરીથી 5 વર્ષ માટે 1000 રુબેલ્સ વેપારીઓને આપ્યા હતા, જેટલા તેઓએ તેમની સાથે મેળવ્યા હતા,અને તમે આ કરો છો, ટ્રિપલ નિયમ શરૂ કરો છો:

વર્ષ વર્ષ

100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5

અને ડાબા હાથની બે યાદીઓને એકબીજાની વચ્ચે ગુણાકાર કરો, અને અન્ય ત્રણને પણ તેમાંથી ગુણાકાર કરો જમણો હાથ, પણ એકબીજા વચ્ચે ક્રમમાં ગુણાકાર કરો, અને તેમના ઉત્પાદનને તે ઉત્પાદન દ્વારા પ્રથમ બેમાંથી વિભાજીત કરો: જેમ કે અહીં.” [ibid.]

અમે શીખવાની પ્રક્રિયામાં આ પ્રકારના કાર્યોનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવના વિશે વાત કરીશું, પરંતુ હમણાં માટે, નિયમનું પાલન કરવાથી, અમને સાચો જવાબ મળશે:

(7 1000 5):(100 1) = 350 ( આર.).

ના સમય દરમિયાન S.I. શોખોર-ટ્રોત્સ્કી હજુ પણ નિયમો અનુસાર સમસ્યાઓ હલ કરવાની પરંપરા ધરાવે છે. તે સમયનું સૌથી પ્રખ્યાત અંકગણિત પાઠ્યપુસ્તક એ.પી. કિસેલેવ (1884 માં પ્રથમ આવૃત્તિ). વાચકને આ પાઠ્યપુસ્તકમાં ત્રિવિધ નિયમને લગતી સમસ્યાઓને લગતી સામગ્રી પ્રસ્તુત કરવાની પદ્ધતિનો ખ્યાલ મેળવવા માટે, અને તે સમયે પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે શાળાના બાળકોને શીખવવાની પ્રથાની કલ્પના કરવામાં સમર્થ થવા માટે. , અમે આ પાઠ્યપુસ્તકની 9મી આવૃત્તિ (1896.) માંથી કેટલાક અવતરણો રજૂ કરીએ છીએ. ટેક્સ્ટમાં અમારી ટિપ્પણીઓ ઇટાલિકમાં છે.

એક સરળ ત્રણ ગણો નિયમ.

આ નિયમ પર આધારિત સમસ્યાઓ પ્રમાણ અથવા એકતામાં ઘટાડો કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

કાર્ય. કાપડના 8 આર્શિન્સની કિંમત 30 રુબેલ્સ છે; આ કાપડની 15 આર્શિન્સની કિંમત કેટલી છે?

S o b o f p o r t i o n ચાલો અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ xકિંમત
15 અર્શ. કાપડ અને આ રીતે નંબરો ગોઠવો:

આર્શિન્સની સંખ્યા. તેમની કિંમત.

8 અર્શ. . . . . . . . 30 ઘસવું.

15" . . . . . . x »

કાપડની કિંમત આર્શિન્સની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોવાથી

x : 30 = 15: 8.

ક્યાં: x= 30 15 / 8 = 56 1 / 4 ઘસવું.

સમીકરણનું R શિક્ષણ આ રીતે સમસ્યાને હલ કરવા માટે, આપણે સૌપ્રથમ શોધીએ છીએ કે 1 અર્શીનનો ખર્ચ કેટલો છે (આ પદ્ધતિને એકતામાં ઘટાડો કહેવામાં આવે છે). સ્પષ્ટતા માટે, અમે ઉકેલ પ્રક્રિયાને લીટીઓમાં ગોઠવીશું:

8 અર્શ. કિંમત 30 રુબેલ્સ.

1 અર્શ. ખર્ચ 30/8 ઘસવું.

8 અર્શ. કિંમત 30/8 · 15 = 56 1/4 ઘસવું.

નોંધ કરો કે પાઠ્યપુસ્તકમાં સામગ્રી રજૂ કરવી સરળ બની શકે છે. છેવટે, સમસ્યા હલ કરવાની બીજી રીત એ ક્રિયાઓ પરના નિર્ણયની બીજી રેકોર્ડિંગ છે:

1) 30: 8 = 30/8 (ઘસવું.); 2) 30/8 15 = 56 (ઘસવું.)

આ રીતે, પરંતુ કોપેક્સમાં કાપડની કિંમતની અભિવ્યક્તિ સાથે, વિદ્યાર્થીઓ અપૂર્ણાંક સાથેની કામગીરી શીખતા પહેલા જ સમસ્યાનું નિરાકરણ લાવવા સક્ષમ હોવા જોઈએ. જટિલ ત્રિવિધ નિયમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાના ઉકેલને રજૂ કરવા માટે, “અંતિમ સૂત્ર” માટે, શાળાના બાળકોને ક્રમશઃ પ્રથમ એક જથ્થામાં ફેરફાર કરવા શીખવવા માટે (અહીંની જેમ) અને પછી ઘણી માત્રાઓ (જેમ કે જટિલ ટ્રિપલ નિયમ પર સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે).

ઉપરાંત, વ્યસ્ત પ્રમાણની સમસ્યાને બે રીતે હલ કરવામાં આવી હતી (પ્રથમ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીને, પછી તેને એકતામાં ઘટાડીને).

સમસ્યાઓ હલ કરવાની રીત જેમાં બે જથ્થાનું એક અનુરૂપ મૂલ્ય, પ્રત્યક્ષ અથવા વિપરિત પ્રમાણસર, આપવામાં આવે છે, અને તે જરૂરી છે શોધો, જો બીજાને નવું મળે તો તેમાંથી એકનું શું મૂલ્ય હશે આપેલ મૂલ્ય, કહેવાય છે સરળ ટ્રિપલ નિયમ.

નીચે એક જટિલ ટ્રિપલ નિયમ માટે સમસ્યા છે, જેની જટિલતા પ્રારંભિક તાલીમની જરૂરિયાતો કરતાં વધી જાય છે - અહીં ચાર નહીં પણ ત્રણ જથ્થા લેવા માટે પૂરતું હશે (એટલે ​​​​કે, એલ.એફ. મેગ્નિટસ્કીની જેમ, ક્વિન્ટુપલ નિયમ માટે સમસ્યા લો, અને "સેપ્ટનરી" માટે નહીં).

જટિલ ત્રિવિધ નિયમ.

કાર્ય. 48 દિવસમાં 18 રૂમ રોશની કરવા માટે 120 પાઉન્ડનો ખર્ચ કરવામાં આવ્યો હતો. કેરોસીન, જેમાં દરેક રૂમમાં 4 દીવા બળતા હતા. 125 પાઉન્ડ કેટલા દિવસ ચાલશે? કેરોસીન, જો 20 ઓરડાઓ પ્રકાશિત થાય અને દરેક રૂમમાં 3 દીવા પ્રગટાવવામાં આવે તો?

S o b o f p o r t i o n ચાલો આ કાર્ય માટેના ડેટાને બે લીટીઓમાં મૂકીએ:

20" - એક્સ» – 125 » – 3 »

જો આપણે પાઉન્ડ અને લેમ્પ્સની સંખ્યાને યથાવત રાખીએ (આ મૂલ્યો કૌંસમાં લેવામાં આવે છે), તો આપણે શોધી શકીએ છીએ x 1 – 20 રૂમને અનુરૂપ દિવસોની સંખ્યા, સરળ ટ્રિપલ નિયમની સમસ્યાનું નિરાકરણ.

18 રૂમ - 48 દિવસ - 120 lb. - 4 દીવા

20" - એક્સ 1" - 120" - 4"

એક્સ 1 = 48·18/20 = 216/5 (દિવસો).

20 રૂમ - 216 / 5 દિવસ - 120 પાઉન્ડ. - 4 દીવા

20" - એક્સ 2" - 125" - 4"

એક્સ 2 = 216·125 / 5·120 = 45 (દિવસો).

હવે ચાલો 4 લેમ્પને 3 લેમ્પથી બદલીએ:

20 રૂમ - 45 દિવસ - 125 પાઉન્ડ. - 4 દીવા

20" - એક્સ» – 125 » – 3 »

એક્સ= 45 4/3 = 60 (દિવસો).

જ્યારે બે કરતાં વધુ માત્રા આપવામાં આવે ત્યારે આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવાની રીત કહેવામાં આવે છે. જટિલ ત્રિવિધ નિયમ.

પરિચય થી એકમ... ચાલો, સગવડ માટે, ડેટા અને જરૂરી સંખ્યાઓ ગોઠવીએ જેથી કરીને xજમણી બાજુના છેલ્લા કૉલમમાં હતું:

20" 125" 3" x »

હવે આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે જો ત્યાં પ્રકાશ હશે તો કેટલા દિવસો હશે 1 રૂમ, કેરોસીન હશે 1 પાઉન્ડ અને દરેક રૂમમાં હશે 1 દીવો આ આપણે શોધીએ છીએ, જે તરફ દોરી જાય છે 1 ધીમે ધીમે એક પછી એક સ્થિતિ.

18 રૂમ 120 પાઉન્ડ. 4 દીવા 48 દિવસ

1 » 120 » 4 » 48 18 »

1 » 1 » 4 » 48 18 / 120 »

1 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 »

હવે આપણે સમસ્યાના પ્રશ્નમાં આપેલ સંખ્યાઓ સાથે ધીમે ધીમે એકમોને બદલીશું:

1 રૂમ 1 પાઉન્ડ. 1 લેમ. 48·18·4 / 120 દિવસ.

20 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 20 »

20 » 125 » 1 » 48 18 4 125 / 120 20 »

20 » 125 » 3 » 48 18 4 125 / 120 20 3 »

તે પરિણામી સૂત્રને ઘટાડવા અને તેની ગણતરી કરવાનું બાકી છે.

અંતિમ ફોર્મ્યુલ . જો તમારી પાસે જટિલ ટ્રિપલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવામાં પૂરતી કુશળતા હોય, તો તમે તરત જ લખી શકો છો અંતિમ સૂત્રમાટે x. ચાલો બતાવીએ કે તે કેવી રીતે થાય છે. ચાલો ઉપરોક્ત સમસ્યા હલ કરીએ:

18 રૂમ - 48 દિવસ - 120 lb. - 4 દીવા

20" - એક્સ» – 125 » – 3 »

દિવસોની સંખ્યા 48 હશે જો 18 રૂમ પ્રકાશિત થાય; જો માત્ર એક જ ઓરડો પ્રકાશિત થાય, તો ત્યાં 48 દિવસ હશે · 18, અને 20 રૂમ પ્રકાશિત કરતી વખતે, દિવસો 48·18/20 (સમાન અન્ય શરતો હેઠળ) હોવા જોઈએ. દિવસોની આ સંખ્યા 120 પાઉન્ડ કેરોસીન દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવશે; જો 1 પાઉન્ડ કેરોસીન હોય, તો દિવસોની સંખ્યા 48·18/20·120 હશે, અને 125 પાઉન્ડ કેરોસીન સાથે તે 48·18·125/20·120 હોવી જોઇએ. દિવસોની આ સંખ્યા પૂરી પાડવામાં આવશે ત્યાં 4 દીવા હતા; 1 લેમ્પ સાથે તે 48·18·125·4 / 20·120 હતો, અને 3 લેમ્પ સાથે તે હોવું જોઇએ:

x = 48 18 125 4 / 120 20 3, અથવા x= 48·18/20·125/120·4/3.

નિયમ. ઇચ્છિત સંખ્યા મેળવવા માટે, સમાન જથ્થાના આપેલ મૂલ્યને બાકીના જથ્થાના આપેલ મૂલ્યોના ગુણોત્તર દ્વારા ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે, નવા મૂલ્યના ગુણોત્તરને પાછલા એક સાથે લઈને, જો મૂલ્ય સીધું હોય. જેની કિંમત માંગવામાં આવી રહી છે તેના માટે પ્રમાણસર, અને નવી કિંમત માટે અગાઉનું મૂલ્ય, જ્યારે મૂલ્ય જે મૂલ્ય માંગવામાં આવી રહ્યું છે તેના વિપરિત પ્રમાણસર છે.

દેખીતી રીતે, આ નિયમ યાદ રાખવું અને સચોટપણે લાગુ કરવું એટલું સરળ ન હતું. ચાલો આપણે એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે તે પ્રથમ બે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને "જટિલ ત્રિવિધ નિયમ પર સમસ્યાઓ હલ કરવામાં પૂરતી કુશળતા સાથે" અંતિમ સૂત્ર તરફ આગળ વધવાનું હતું. શું તે આશ્ચર્યજનક છે કે આવી તાલીમ જટિલ હતી અને વિદ્યાર્થીઓ માટે ઓછી ઉપયોગી હતી, અને શિક્ષકો અને પદ્ધતિશાસ્ત્રીઓમાં વાંધો ઉઠાવ્યો હતો. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, 1921 માં એકીકૃત મજૂર શાળાની સાત વર્ષની શાળાના પ્રથમ અને બીજા તબક્કાના કાર્યક્રમમાં, તે એકદમ સ્પષ્ટ રીતે લખાયેલું છે: "અન્ય તમામ "નિયમો" ભૂતકાળના અવશેષો અને બકવાસ છે, નહીં. કુદરતી પણ, પણ કૃત્રિમ." અને આગળ: "જટિલ ટ્રિપલ નિયમ કૃત્રિમ સમસ્યાઓના સંગ્રહને આવરી લે છે જેને તેમની અર્થહીનતાને કારણે લાંબા સમયથી શાળાના જીવનમાંથી બહાર ફેંકી દેવી જોઈએ."

પ્રોગ્રામના લેખકોનું આટલું તીક્ષ્ણ સ્પષ્ટ વલણ, દેખીતી રીતે, કાર્યો સાથે એટલું જોડાયેલું નહોતું (તેમની પરિસ્થિતિઓ બાળકના અનુભવની નજીક લાવી શકાય છે), પરંતુ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે શાળાના બાળકોને શીખવવાની બિનસહાયક પદ્ધતિ સાથે "દ્વારા. નિયમો." ઉપરોક્ત ટેક્સ્ટના ટુકડાઓ એ.પી.ના પાઠ્યપુસ્તકમાંથી છે. કિસેલેવ પૂર્વ-ક્રાંતિકારી પાઠ્યપુસ્તકોમાં અમને રસની સામગ્રી પ્રસ્તુત કરવાની પદ્ધતિનો ખ્યાલ આપે છે. નોંધ કરો કે 1938 માં સંશોધિત પાઠયપુસ્તકના સંસ્કરણમાં, જટિલ ત્રિવિધ નિયમ પરની સમસ્યાઓ હજી પણ સચવાયેલી હતી, અને પાઠ્યપુસ્તકના એક પૃષ્ઠ કરતાં થોડું વધારે આવી એક સમસ્યાના વિશ્લેષણ માટે સમર્પિત હતું - સીધા "સાત-ગણા" પર. નિયમ જો કે, અહીં ફક્ત "અંતિમ સૂત્ર" જ ગણવામાં આવે છે અને નિયમ ઘડવામાં આવતો નથી. દેખીતી રીતે, આ ફેરફારથી પ્રશ્નમાંના પ્રકારનાં કાર્યોનો ઉપયોગ કરવાની સમસ્યા હલ થઈ નથી.

આ પ્રકારના કાર્યનો ઉપયોગ કરવાની પદ્ધતિને સરળ બનાવવાથી જ તેને શાળાના વ્યવહારમાં રાખવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. આખો વર્ગપરંપરાગત કાર્યો. જેમ આપણે પછી જોઈશું, તેમાંથી ઘણી સામગ્રી પ્રેક્ટિસ અને અમલીકરણની તદ્દન નજીક હોઈ શકે છે પ્રારંભિક કાર્યજ્યારે સરળ ટ્રિપલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખવું અને સરળથી જટિલ સુધી સમસ્યાઓની સાંકળ બાંધવાથી આ પ્રકારની સમસ્યાઓની સુલભતામાં વધારો થશે. જો કે, પ્રશ્ન વણઉકેલાયેલ રહે છે: શું આવી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે બધા વિદ્યાર્થીઓને શીખવવું જરૂરી છે? આનો જવાબ આપણે ઉકેલવા શીખવાના વ્યવહારુ મૂલ્ય તરીકે શું જોઈએ છીએ તેના પર નિર્ભર છે શબ્દ સમસ્યાઓ- ફક્ત વ્યવહારમાં આવતી સમસ્યાઓના નિરાકરણને શીખવવામાં અથવા, વધુમાં, કૃત્રિમ, સમસ્યાઓ સહિત વિવિધ પ્રકારના ઉકેલની પ્રક્રિયામાં શાળાના બાળકોની વિચારસરણી વિકસાવવામાં. શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં જટિલ ત્રિવિધ નિયમોની સમસ્યાઓના ઉપયોગ દ્વારા બીજા ધ્યેયની સિદ્ધિને સારી રીતે સરળ બનાવી શકાય છે. અલબત્ત, આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ લાવવા માટે સક્ષમ થવાની આવશ્યકતા બધા વિદ્યાર્થીઓ માટે ફરજિયાત ન હોઈ શકે, પરંતુ તેમના ઉકેલના વિશ્લેષણમાં સહભાગિતા, પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ વચ્ચેના તફાવતની તાલીમ તે દરેક માટે ઉપયોગી થશે.

માં પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા સમસ્યાઓના ઉપયોગ માટે આધુનિક પાઠ્યપુસ્તકો, પછી પાઠ્યપુસ્તકમાં N.Ya. વિલેન્કીના અને અન્ય.ડાયરેક્ટ અને રિવર્સ પ્રમાણસર નિર્ભરતાફકરો 22 ફાળવેલ છે તેમાં 18 કાર્યો છે. વધુમાં, માં નમૂનાઓ સાથે શરૂ શૈક્ષણિક લખાણ, જથ્થાના અનુરૂપ મૂલ્યો દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અથવા કુદરતી સંખ્યાઓ, જેનો ગુણોત્તર પૂર્ણાંકોમાં વ્યક્ત થતો નથી. આ શીખવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે. વધુમાં, ત્રીજા ભાગની સમસ્યાઓ ટકાવારીની સમસ્યાઓ છે. મુ પ્રારંભિક તાલીમપ્રમાણનો ઉપયોગ, મુશ્કેલીઓને અલગ કરવી વધુ સારું છે: પ્રમાણને અલગથી અભ્યાસ કરો દશાંશઅને ટકા. પાઠ્યપુસ્તકના નીચેના ફકરાઓમાં, સમયાંતરે "પ્રમાણસર" સમસ્યાઓ છે, પરંતુ તેમાંના થોડા છે અને તેમાંથી મોટા ભાગના પ્રમાણ વિના ઉકેલવા માટે પણ સરળ છે.

આમ, પ્રમાણ 5-6 ગ્રેડમાં સમગ્ર ગણિતના અભ્યાસક્રમના અભ્યાસની પ્રક્રિયામાં શાળાના બાળકો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતી સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટેની પદ્ધતિઓના શસ્ત્રાગારને નોંધપાત્ર રીતે સમૃદ્ધ બનાવતા નથી, અને જટિલતામાં વધારો કર્યા વિના, પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા પરના કાર્યો ઇચ્છિત નથી. શાળાના બાળકોના વિકાસ પર અસર. સમાન પ્રકારના સરળ કાર્યોની નાની સંખ્યા માટે, એક વધુ પ્રાપ્ત કરવું હંમેશા શક્ય નથી મહત્વપૂર્ણ ધ્યેય- શાળાના બાળકોને પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ વચ્ચે સારી રીતે તફાવત કરવાનું શીખવો.

અમે એવો દાવો કરતા નથી જૂના સમયપ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણની સમસ્યાઓનો વધુ અસરકારક રીતે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. પરંતુ તેમ છતાં, વધુ વૈવિધ્યસભર કાર્યો, "જટિલ ત્રિવિધ નિયમ" પરના કાર્યો સહિત, શિક્ષકને સૌથી મજબૂત વિદ્યાર્થીઓ વિકસાવવાની તક છોડી દીધી. તેથી જ અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે શિક્ષકો આ હવે લગભગ ભૂલી ગયેલા કાર્યોનો ઉપયોગ તમામ વિદ્યાર્થીઓ સાથે તેમના કાર્યમાં, ખાસ કરીને તેમાંથી સૌથી વધુ તૈયાર સાથે. અલબત્ત, અમે તેમને સામેલ કરવાનું સરળ બનાવીશું શૈક્ષણિક પ્રક્રિયાઅને તેમને હલ કરવા માટે શિક્ષણ પદ્ધતિમાં જરૂરી ગોઠવણો કરો. અમે પ્રોબિંગ સમસ્યા જેવી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તમામ શાળાના બાળકોને શીખવવાનો પ્રસ્તાવ રાખતા નથી. કેરોસીન લેમ્પ, અને ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે બરાબર એ જ રીતે. કદાચ આ કાર્યને કાર્યોની શ્રૃંખલામાં છેલ્લું બનાવવું જોઈએ, જેના ઉકેલ દ્વારા વિદ્યાર્થી માત્ર શિક્ષક દ્વારા સૂચિત ઉકેલોને સમજી શકશે નહીં, પણ સ્વતંત્ર રીતે સરળથી જટિલ તરફ આગળ વધી શકશે. સમાન જટિલતાની સમાન સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે આ પ્રકારનું કાર્ય સમયને ચિહ્નિત કરવા કરતાં વધુ ઉપયોગી થશે. આપણે ક્યાંથી શરૂઆત કરવી જોઈએ?

પ્રથમ, આપણે શાળાના બાળકોને પ્રમાણ કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખવવાની જરૂર છે. તેમને હલ કરવાની મુખ્ય રીત પ્રમાણની મૂળભૂત મિલકત પર આધારિત હોવી જોઈએ. જ્યારે આ ધ્યેય પ્રાપ્ત થાય છે, ત્યારે પ્રમાણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ તેમના ઉકેલને સરળ બનાવવા માટે દર્શાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણ ઉકેલવા માટે
એક્સ/ 5 = 1 / 10 તમે સમીકરણની જમણી અને ડાબી બાજુઓને 5 વડે ગુણાકાર કરી શકો છો અથવા પ્રમાણના મધ્યમ પદોને સ્વેપ કરી શકો છો.

બીજું, સમસ્યાની સ્થિતિમાં બે જથ્થાને ઓળખવા અને તેમની વચ્ચેના સંબંધનો પ્રકાર સ્થાપિત કરવા માટે શાળાના બાળકોને શીખવવું જરૂરી છે.

ત્રીજે સ્થાને, તમારે તેમને સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર પ્રમાણ કેવી રીતે બનાવવું તે શીખવવાની જરૂર છે.

આમ, વિદ્યાર્થીઓ વર્તમાન ગણિત કાર્યક્રમમાં પૂરી પાડવામાં આવેલ કૌશલ્યોની ન્યૂનતમ શ્રેણીમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરશે. આ પછી જ, નિર્ણયની તૈયારી કરવા માટે, વધુ જટિલ કાર્યોપ્રમાણસર જથ્થા (જટિલ ત્રિવિધ નિયમ) પર, તમારે વિદ્યાર્થીઓને પ્રમાણ વિના અભ્યાસ કરેલી સમસ્યાઓ હલ કરવાનો માર્ગ બતાવવાની જરૂર છે. સમસ્યા હલ થવા દો:

- 80 કિમી/કલાકની ઝડપે, એક માલવાહક ટ્રેન 720 કિમીની મુસાફરી કરે છે. જે અંતર જશેમાટેતે તે જ સમયે પેસેન્જર ટ્રેન છે જેની ઝડપ 60 કિમી પ્રતિ કલાક છે?

ચળવળના સતત સમયે પાથ ગતિના પ્રમાણસર છે, જેનો અર્થ છે કે ગતિમાં 80/60 ગણા ઘટાડા સાથે, પાથ 80/60 ગણો ઘટશે.

720: 80 / 60 = 540 (કિમી).

જો ઝડપમાં ઘટાડો થયો નથી, પરંતુ વધારો થયો છે, જો જથ્થાઓ સીધી ન હોય, પરંતુ વિપરિત પ્રમાણસર હોય તો સમસ્યા હલ કરવા માટે સમાન તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. અલબત્ત, આ ટેકનીકનો પ્રથમ ઉપયોગ ઉકેલતી વખતે પૂછવામાં આવતા પ્રશ્નો પહેલા હોવો જોઈએ અગાઉના કાર્યો: આ મૂલ્ય કેટલી વખત વધ્યું (ઘટાડો)? તેમને પ્રથમ જવાબો પૂર્ણ સંખ્યામાં વ્યક્ત કરવા જોઈએ, અને પછી અપૂર્ણાંકમાં, હંમેશા ભાગાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. વધુ મૂલ્યકદથી ઓછા. વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમમાં અનુરૂપ ફેરફાર સાથે બીજા જથ્થાનું મૂલ્ય કેવી રીતે બદલાશે તે નિર્ધારિત કરવાનું શીખે તે પછી જ, તેઓ પ્રથમ બે જથ્થાઓ (ત્રણ નિયમ) સાથે, પછી ત્રણ અને ચાર જથ્થા સાથે (જટિલ ત્રિવિધ નિયમ) સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા આગળ વધી શકે છે. ).

ભાગ ત્રણ

સંબંધો અને પ્રમાણ.

પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવેલી સમસ્યાઓ અને
એકતામાં ઘટાડો કરવાની પદ્ધતિ દ્વારા.

વિભાગ VIII..

§ 50. જટિલ ટ્રિપલ નિયમ.

2661. 45 મેસનને છ દિવસના કામ માટે 216 રુબેલ્સ ચૂકવવામાં આવ્યા હતા; 8 દિવસ સુધી કામ કરતા 30 ચણતરને કેટલું પાણી આપવું જોઈએ?

2662. 5 પંપ દ્વારા 3 કલાકમાં 1800 ડોલ પાણી બહાર કાઢવામાં આવ્યું. 4 સમાન પંપ 4 કલાકમાં કેટલું પાણી પમ્પ કરશે?

2663. 25 કામદારોએ 12 દિવસમાં 36 ફેથમ લાંબી કેનાલ ખોદી. એક જ કામદારોમાંથી 15 કામદારો 10 દિવસમાં કેટલી લાંબી નહેર ખોદી શકે?

2664. 12 મહિનામાં 100 રુબેલ્સની મૂડી 6 રુબેલ્સ નફો લાવે છે. 8,600 રુબેલ્સની મૂડી 4 મહિનામાં કેટલો નફો લાવશે?

2665. એક લંબચોરસ ખેતરમાંથી, 40 ફેથોમ લાંબા અને 30 ફેથોમ પહોળા, 2 ચતુષ્કોણના 6 ચતુર્થાંશ ઓટ્સ એકત્રિત કરવામાં આવ્યા હતા. બીજા ખેતરમાંથી કેટલી ઓટની લણણી કરવામાં આવી હતી, જેની લંબાઈ 96 ફેથોમ અને પહોળાઈ 50 ફેથોમ છે, જો બંને ખેતરોની વાવણી અને કાપણીની સ્થિતિ સમાન હોય તો?

2666. કપડાંની 15 જોડી માટે, 1 આર્શ પહોળા કાપડના 45 આર્શિન્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. 14 વર્શોક્સ. જો 10 સમાન જોડીના કપડાં માટે 60 આર્શિન્સ હોય તો અન્ય કાપડની પહોળાઈ કેટલી હતી?

2667 .18 કામદારો, દિવસમાં 7 કલાક કામ કરે છે, 30 દિવસમાં કેટલાક કામ પૂર્ણ કરે છે અને તેના માટે 201 રુબેલ્સ પ્રાપ્ત કરે છે. 60 કોપેક્સ દિવસમાં 4 કલાક કામ કરતા 14 કામદારોને અન્ય કામ કરવા માટે 67.2 રુબેલ્સ મળ્યા. એમ ધારી રહ્યા છીએ કે બંને બેચના કામદાર માટે કલાક દીઠ પગાર સમાન હતો, તે નક્કી કરો કે કામદારોની બીજી બેચ કેટલા દિવસ કામ કરે છે.

2668. 24 વર્સ્ટના અંતરે રેલ્વે દ્વારા 420 પૂડ માલના પરિવહન માટે, 2 રુબેલ્સ ચૂકવવામાં આવ્યા હતા. 52 કોપેક્સ. આ ગણતરી મુજબ, સેન્ટ પીટર્સબર્ગથી મોસ્કો સુધી નિકોલેવ રેલ્વે સાથે 50 પૂડ માલસામાનના પરિવહન માટે, વ્યક્તિએ 7 રુબેલ્સ ચૂકવવા પડશે. 61 1/4 કોપ. આ રસ્તાની લંબાઈ શોધો.

2669. પેરિસથી રૂએન સુધીની રેલ્વે મુસાફરી માટે લેવામાં આવેલી 155 સેકન્ડ ક્લાસ પેસેન્જર ટિકિટની કિંમત 1,488 ફ્રેંક છે. 4 કિલોમીટરની મુસાફરી કરવા માટે લેવામાં આવેલી 10 સેકન્ડ-ક્લાસ ટિકિટની કિંમત 3 ફ્રાન્ક જેટલી છે અને 16 કિલોમીટર 15 વર્સ્ટ છે તે જાણીને, લંબાઈને વર્સ્ટમાં દર્શાવો રેલવેપેરિસ અને રૂએન વચ્ચે.

2670. જો લોખંડના તાર તૈયાર કરતી મશીનનું વ્હીલ પ્રતિ મિનિટ 60 રિવોલ્યુશન કરે છે, તો આ મશીન 240 આર્શ ઉત્પન્ન કરશે. 3 કલાક 20 મિનિટ માટે વાયર. જો વ્હીલ પ્રતિ મિનિટ 41 2/3 ક્રાંતિ કરે તો તેને 33 1/8 ફેથમ વાયર ઉત્પન્ન કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?

2671. લંબચોરસ ખેતરમાંથી, જેની લંબાઈ 125 ફેથોમ અને પહોળાઈ 0.08 વર્સ્ટ છે, 12 1/2 ક્વાર્ટર ઘઉં એકત્રિત કરવામાં આવ્યા હતા; આમ, ગણતરીએ છનો પાક દર્શાવ્યો હતો. અન્ય લંબચોરસ ખેતરમાંથી, જેની લંબાઈ 0.3 (9) વર્સ્ટ છે, 8 1/3 ક્વાર્ટર ઘઉંની કાપણી કરવામાં આવી હતી, જે પાંચની લણણી જેટલી હતી. એમ ધારી રહ્યા છીએ કે બંને ખેતરોની વાવણીની સ્થિતિ સમાન હતી, બીજા ખેતરની પહોળાઈ નક્કી કરો.

2672. એક પથ્થરનો સ્લેબ, 5.3 ફૂટ લાંબો, 0.8 3 ફૂટ પહોળો અને 2 5/8 ઇંચ જાડો, વજન 4.2 પાઉન્ડ છે. પહેલા સમાન પથ્થરનો બીજો સ્લેબ 7 પાઉન્ડ 35 પાઉન્ડ વજનનો છે અને તે 15 ઇંચ પહોળો અને 2 ઇંચ જાડો છે. બીજો સ્લેબ કેટલો લાંબો છે?

2673 . લોખંડની પટ્ટી, 2 આર્શિન્સ લાંબી, 1 1/2 ઇંચ પહોળી અને 2/3 ઇંચ જાડી, વજન 0.4375 પાઉન્ડ છે. લોખંડની પટ્ટીનું વજન કેટલું હશે, જેની લંબાઈ 2 ફૂટ, પહોળાઈ 1 3/7 ઈંચ અને જાડાઈ 0.16666.... ફૂટ હશે?

2674. 36 કામદારો, દરરોજ 12 કલાક 30 મિનિટ કામ કરે છે લાકડાનું ઘર 30 દિવસમાં. 50 દિવસમાં એક જ ઘર બનાવવા માટે 27 કામદારોએ દિવસમાં કેટલા કલાક કામ કરવું જોઈએ?

2675. કોરિડોરની લંબાઈ 6 ફેથોમ છે. 2 અર્શ. 9 1/7 ઇંચ, પહોળાઈ 1.4(9) ફેથમ્સ. અને ઊંચાઈ 5. (3) યાર્ડ્સ (લંબાઈનું Uard-અંગ્રેજી માપ). વાતાવરણીય હવા, કોરિડોરમાં સમાયેલ છે, તેનું વજન 17 પાઉન્ડ છે. 34 પાઉન્ડ. કોરિડોરની બાજુના ઓરડામાં હવા ભરવાનું વજન 11.9 પાઉન્ડ છે. 0.58 (3) યાર્ડ = 0.75 કમાનો, અને રૂમની ઊંચાઈ 5 5/7 કમાનો છે અને તેની પહોળાઈ ઊંચાઈ કરતાં 0.945 ગણી છે તે જાણીને, આ રૂમની લંબાઈની ગણતરી કરો.

2676. મકાન નંબર 6 ના દાદરને રોશની કરવા માટે ગેસ જેટ, 40 સાંજ સુધી બર્નિંગ, દરરોજ સાંજે 6 કલાક 12 મિનિટ માટે, ગેસ કંપનીને 22 રુબેલ્સ ચૂકવવામાં આવ્યા હતા. 32 કોપેક્સ. બીજી સીડી પર, 60 સાંજ માટે સમાન શિંગડામાંથી 5 બળી ગયા, જેના માટે 27 રુબેલ્સ ચૂકવવામાં આવ્યા. દરરોજ સાંજે બીજા દાદર પર કેટલા કલાક ગેસ બળતો હતો?

2677 . 4 દીવા માટે, જે દરરોજ સાંજે 7 1/2 કલાક માટે પ્રગટાવવામાં આવતા હતા, 30 સાંજે 2.25 પાઉન્ડ કેરોસીનનો વપરાશ કરવામાં આવ્યો હતો. જો દરરોજ સાંજે 4 કલાક અને 30 મિનિટ માટે 5 સમાન દીવા પ્રગટાવવામાં આવે તો કેટલી સાંજે 1.8 પાઉન્ડ કેરોસીનનો વપરાશ થશે?

2678 . 32 મેસન્સ, દરરોજ 8 1/2 કલાક કામ કરતા, 42 દિવસમાં, 10 ફેથમ લાંબી, 7 1/2 ઇંચ જાડી અને 1 ફેથમ 3.5 ફૂટ ઉંચી ઈંટની દીવાલ નાખી. 40 મેસન્સ કેટલા દિવસોમાં, પ્રથમ જેટલી જ તાકાત ધરાવતા, દરરોજ 6.8 કલાક કામ કરતા, 15 ફેથમ લાંબી, 0.9375 આર્શિન્સ જાડી અને 2 1/2 આર્શિન્સ ઊંચી ઈંટની દિવાલ નાખશે?

2679. વિટેબ્સ્ક અને ઓરેલ વચ્ચેના પોસ્ટલ રોડની લંબાઈ 483 વર્સ્ટ છે; એક પ્રવાસીએ 7 દિવસમાં આ અંતર કાપ્યું, દરરોજ 10 કલાક શહેરમાં રહીને અને કલાક દીઠ એટલી જ સંખ્યામાં માઇલની મુસાફરી કરી. અન્ય પ્રવાસીએ મોગિલેવ માટે વિટેબસ્ક છોડ્યું અને, દરરોજ 12 કલાક રસ્તા પર રહીને, તેની મુસાફરી 4 દિવસમાં પૂર્ણ કરી. વિટ્સબસ્કથી મોગિલેવ સુધીના કેટલા વર્સ્ટ્સ છે, જો તે જાણીતું હોય કે બીજા પ્રવાસીએ તે જ સમયે 10 વર્સ્ટની મુસાફરી કરી હતી જ્યારે પ્રથમ પ્રવાસીએ 23 વર્સ્ટની મુસાફરી કરી હતી?

2680. એક ઈંટ (ક્લિંકર), 0.375 આર્શીન લાંબી, 3 ઇંચ પહોળી અને 1 1/2 ઇંચ જાડી, 10 પાઉન્ડ 38.4 સ્પૂલ વજન ધરાવે છે. આરસના લંબચોરસ ટુકડાનું વજન કેટલું હશે, જેની લંબાઈ 8.75 ઇંચ, પહોળાઈ 2 1/4 ઇંચ અને 2 ઇંચની જાડાઈ છે, અને તે જાણીતું છે કે આરસ ઇંટ કરતાં 1 1/2 ગણો ભારે છે?

2681. 25 વણકરો, દિવસમાં 8 1/3 કલાક કામ કરે છે, 32 દિવસમાં 120 આર્શિન્સ શણના, 1 આર્શ પહોળા વણ્યા છે. 5 1/3 ઇંચ. દરરોજ 4 કલાક અને 10 મિનિટ કામ કરતા 40 વણકરો કેટલા દિવસમાં 0.75 આર્શિન્સ પહોળા કાપડના 320 આર્શિન્સ વણશે?

2682. 8 મહિનામાં 1200 રુબેલ્સની મૂડી નફોમાં 40 રુબેલ્સ લાવ્યા; શું સમય છે 100 ઘસવું. 5 રુબેલ્સ લાવશે. નફો?

2683. 7 1/2 મહિના પછી મૂડી 30,000 રુબેલ્સ નફો 1,125 રુબેલ્સ લાવ્યા. આ મૂડીના દરેક 100 રુબેલ્સ 1 વર્ષમાં કેટલો નફો લાવે છે?

2684. 10 મહિનામાં 24,400 રુબેલ્સની મૂડી 1,525 રુબેલ્સ નફો લાવી. તમારી પાસે કેટલી મૂડી હોવી જરૂરી છે જેથી, પ્રથમ જેવી જ પરિસ્થિતિઓમાં ચલણમાં હોવાને કારણે, તે 2 1/2 મહિનામાં 1,250 રુબેલ્સ નફો કરી શકે?

2685. 54 ખોદનારાઓએ, દિવસમાં 10 કલાક કામ કરીને, 33 દિવસમાં 124 ફેથમ લાંબો, 1 ફેથમ 2 1/2 આર્શિન્સ પહોળો અને 6 3/4 ફૂટ ઊંચો પાળો બનાવ્યો. કેટલા ખોદનારાઓને કામ પર રાખવાની જરૂર છે જેથી કરીને, દરરોજ 7 1/2 કલાક કામ કરીને, તેઓ 30 દિવસમાં 7 1/3 આર્શના સ્પ્રિંગ સાથે 0.31 વર્સ્ટ લાંબો પાળો બનાવી શકે? અને 3 6/7 આર્શિન્સ ઉચ્ચ?

2686. 48 ખોદનારાઓએ 9 કલાક અને 20 મિનિટ સુધી દરરોજ કામ કરીને 55 દિવસમાં 40 1/3 ફેથોમ લાંબો, 4 1/2 આર્શિન્સ પહોળો અને 7 આર્શિન્સ ઊંચો માટીનો રેમ્પર્ટ બનાવ્યો. જો શાફ્ટની લંબાઈ 44 ફેથમ અને પહોળાઈ 1 ફેથમ હોય તો 40 ડિગર્સ 64 દિવસમાં 6 કલાક 45 મિનિટ સુધી દરરોજ કામ કરીને શાફ્ટને કેટલી ઊંચાઈ બનાવશે?

2687 . 2 મહિના અને 10 દિવસ માટે 6 સ્ટવ સાથે એપાર્ટમેન્ટને ગરમ કરવા માટે 14 ફેથમ પાઈન લાકડાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. 8 સ્ટોવવાળા એપાર્ટમેન્ટને ગરમ કરવા માટે 10 ફેથમ બિર્ચ લાકડા કેટલા સમય માટે પૂરતા હશે, જો દરેક સ્ટોવ દ્વારા ઉત્પાદિત ગરમીનું પ્રમાણ પ્રથમ એપાર્ટમેન્ટ જેટલું જ હોવું જોઈએ, અને જો પાઈન ફાયરવુડના 9 ફેથમ સમાન ગરમી પ્રદાન કરે છે. બિર્ચ વૃક્ષોના 7 1/2 ફેથમ્સ તરીકે?

2688. લંબચોરસ ખેતરમાંથી, 2 વર્સ્ટ લાંબા અને 1 1/2 વર્સ્ટ પહોળા, 27 ની લણણી સાથે, એટલી બધી ખાંડ બીટ એકત્રિત કરવામાં આવી હતી કે ફેક્ટરીએ તેમાંથી 937 1/2 પૂડ ખાંડનું ઉત્પાદન કર્યું હતું. અન્ય ખેતરમાંથી, જે 400 ફેથમ પહોળું હતું, જેમાં 18 ની લણણી હતી, બીટ એકત્રિત કરવામાં આવ્યા હતા, જેમાંથી 250 પાઉન્ડ ખાંડ કાઢવામાં આવી હતી. એમ ધારી રહ્યા છીએ કે બંને ખેતરો માટે વાવણીની સ્થિતિ અને બીટની ગુણવત્તા સમાન હતી, બીજા ખેતરની લંબાઈ શોધો.

2689. 4 લેખકો, દરરોજ 7 1/2 કલાક કામ કરતા, 15 દિવસમાં 225 શીટ્સની નકલ કરી, દરેક પૃષ્ઠ પર સરેરાશ 32 લીટીઓ. કેટલા શાસ્ત્રીઓને નોકરી પર રાખવાની જરૂર છે જેથી, દરરોજ 5 કલાક અને 20 મિનિટ કામ કરીને, તેઓ દરેક પૃષ્ઠ પર સરેરાશ 36 લીટીઓ મૂકીને 9 દિવસમાં કાગળની 64 શીટની નકલ કરી શકે?

2690. 4 1/2 કલાકના સમયગાળા દરમિયાન, 3 પાઈપોએ 1 ફેથમ લાંબા જળાશયને ભરી દીધું. 2 આર્શિન્સ, 1.5 આર્શિન્સ પહોળા અને 3 2/3 ફૂટ ઊંડા. જો આ જળાશયની લંબાઈ 1 સૂટ હોય તો 4 પાઈપો 5.4 કલાકમાં અન્ય જળાશયને કેટલી ઊંડાઈ સુધી ભરી દેશે. 2 5/8 ફૂટ, પહોળાઈ 1.2 કમાનો, અને જો દરેક પ્રથમ પાઈપ એક જ સમયે 16 ડોલ પાણી રેડે છે, તો છેલ્લી દરેક પાઈપ 9 ડોલ કયામાં રેડે છે?

2691 . 22 વણકરો, દિવસમાં 10 કલાક કામ કરીને 30 દિવસમાં લિનનના 120 ટુકડાઓ તૈયાર કરે છે. આવા કેટલા વણકરોને કામે રાખવાની જરૂર છે જેથી કરીને, દિવસમાં 7 1/2 કલાક કામ કરીને, તેઓ 40 દિવસમાં લિનનના 300 ટુકડાઓ તૈયાર કરી શકે, અને આ દરેક ટુકડાની લંબાઈ 1/10 ગણી લંબાઈની હોવી જોઈએ. પ્રથમ, અને પહોળાઈ પ્રથમની પહોળાઈની 0.8(3) હોવી જોઈએ?

2692. ચોક્કસ સંખ્યામાં સૈનિકોને ખવડાવવા માટે, જો દરેક સૈનિકને દરરોજ 2 1/2 પાઉન્ડ આપવામાં આવે તો 60 દિવસ માટે પૂરતી બ્રેડ સપ્લાય હશે. જો સૈનિકોની સંખ્યા અગાઉની સંખ્યાના 3/8 દ્વારા ઘટાડવામાં આવે અને દરેકનો દૈનિક હિસ્સો 1.25 પાઉન્ડ વધારવામાં આવે તો આ પુરવઠાનો 3/4 કેટલા દિવસ ચાલશે?

2693. પંદર કામદારો અને 12 કામદારો, દરરોજ 10 કલાક અને 30 મિનિટ કામ કરતા, 12 દિવસમાં ખેતરમાંથી અનાજ ઉપાડી ગયા. દિવસના 8.4 કલાક કામ કરતા 21 કામદારો અને 8 મહિલા કામદારો કયા દિવસોમાં ખેતરમાંથી અનાજ કાપશે, જેની લંબાઈ પહેલાની લંબાઈ 0.3: 1/5 સાથે સંબંધિત છે અને જેની પહોળાઈ તેનાથી સંબંધિત છે. પ્રથમની પહોળાઈ 0, 51: 0.5(6), - જો તે જાણીતું હોય કે પુરુષની તાકાત સ્ત્રીની શક્તિ સાથે 0.2(6): 0.1(9) છે?

2694. પૂલમાંથી પાણી બહાર કાઢવા માટે, 3 મોટા અને 5 નાના પંપ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા હતા, જે એકસાથે કામ કરવાથી 6 કલાકમાં તમામ પાણીને બહાર કાઢી શકે છે. 2 1/2 કલાક પછી તેઓ સંયુક્ત ક્રિયા, બે મોટા પંપ ક્ષતિગ્રસ્ત થયા હતા અને તાત્કાલિક 5 નાના પંપો સાથે બદલવામાં આવ્યા હતા. દરેક નાના પંપનું બળ દરેક મોટા પંપના બળ સાથે સંબંધિત છે તે જાણીને, 2 1/2: 4 1/6 તરીકે, નિર્ધારિત કરો કે પૂલમાંથી પાણી બહાર કાઢવામાં કુલ કેટલા કલાકો લાગ્યા.

2695. ઘરની દિવાલ બનાવવા માટે 4215 ઇંટોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાંથી દરેક 10 1/2 ઇંચ લાંબી અને 5.25 ઇંચ પહોળી હતી. અને 2 5/8 ઇંચ જાડા. બીજી દિવાલ બનાવવા માટે, ઇંટોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાંથી દરેક 5 1/2 ઇંચ લાંબી, 3 1/3 ઇંચ પહોળી અને 1 1/4 ઇંચ જાડી હતી. બીજી દિવાલ બનાવવા માટે આમાંથી કેટલી ઇંટોનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે જો તેની લંબાઈ પ્રથમની લંબાઈ કરતાં 0.8(3) હોય, જાડાઈ પ્રથમની જાડાઈ કરતાં 1.1 ગણી હોય અને ઊંચાઈ 0.(5) ની ઊંચાઈ હોય. પ્રથમ દિવાલ?

2696. પચીસ લોકો, દરરોજ 5 કલાક અભ્યાસ કરતા, 15 દિવસમાં 0.(27) કામ કરવામાં સફળ થયા. બીજા કેટલા લોકોને નોકરી પર રાખવાની જરૂર છે જેથી તેઓ, પ્રથમ લોકો સાથે દિવસમાં 8 1/3 કલાક કામ કરે, બાકીનું એ જ કામ 20 દિવસમાં પૂરું કરી શકે?