સીધી રેખા. રેખાનું સમીકરણ

બે પોઈન્ટ આપવા દો એમ(એક્સ 1 ,યુ 1) અને એન(એક્સ 2,y 2). ચાલો આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધીએ.

કારણ કે આ રેખા બિંદુ પરથી પસાર થાય છે એમ, પછી સૂત્ર (1.13) અનુસાર તેનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

યુ – વાય 1 = કે(X–x 1),

જ્યાં કે- અજ્ઞાત કોણીય ગુણાંક.

આ ગુણાંકનું મૂલ્ય એ સ્થિતિ પરથી નક્કી થાય છે કે ઇચ્છિત સીધી રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે એન, જેનો અર્થ છે કે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (1.13)

વાય 2 – વાય 1 = કે(એક્સ 2 – એક્સ 1),

અહીંથી તમે આ રેખાનો ઢોળાવ શોધી શકો છો:

,

અથવા રૂપાંતર પછી

(1.14)

ફોર્મ્યુલા (1.14) નક્કી કરે છે બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ એમ(એક્સ 1, વાય 1) અને એન(એક્સ 2, વાય 2).

ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે પોઈન્ટ એમ(એ, 0), એન(0, બી), એ ¹ 0, બી¹ 0, સંકલન અક્ષો પર આડો, સમીકરણ (1.14) વધુ સરળ સ્વરૂપ લેશે

સમીકરણ (1.15)કહેવાય છે સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ, અહીં એઅને બીઅક્ષો પર એક સીધી રેખા દ્વારા કાપેલા ભાગોને દર્શાવો (આકૃતિ 1.6).

આકૃતિ 1.6

ઉદાહરણ 1.10. બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો એમ(1, 2) અને બી(3, –1).

. (1.14) મુજબ, ઇચ્છિત રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

2(વાય – 2) = -3(એક્સ – 1).

બધા સભ્યોને સ્થાનાંતરિત કરી રહ્યાં છીએ ડાબી બાજુ, આપણે અંતે જરૂરી સમીકરણ મેળવીએ છીએ

3એક્સ + 2વાય – 7 = 0.

ઉદાહરણ 1.11. બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો એમ(2, 1) અને રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ એક્સ+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. આપણે આ સમીકરણોને એકસાથે હલ કરીને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીશું

જો આપણે આ સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરીએ, તો આપણને 2 મળશે એક્સ+ 1 = 0, ક્યાંથી. મળેલ મૂલ્યને કોઈપણ સમીકરણમાં બદલીને, આપણે ઓર્ડિનેટનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ યુ:

હવે બિંદુઓ (2, 1)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ લખીએ અને:

અથવા

તેથી અથવા -5( વાય – 1) = એક્સ – 2.

આપણે છેલ્લે ફોર્મમાં ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ એક્સ + 5વાય – 7 = 0.

ઉદાહરણ 1.12. બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો એમ(2.1) અને એન(2,3).

સૂત્ર (1.14) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

બીજા છેદથી તેનો કોઈ અર્થ નથી શૂન્ય બરાબર. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે બંને બિંદુઓના એબ્સિસાસનું મૂલ્ય સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે ઇચ્છિત સીધી રેખા અક્ષની સમાંતર છે ઓ.વાયઅને તેનું સમીકરણ છે: x = 2.

ટિપ્પણી . જો, સૂત્ર (1.14) નો ઉપયોગ કરીને લીટીનું સમીકરણ લખતી વખતે, છેદમાંથી કોઈ એક શૂન્ય સમાન નીકળે, તો અનુરૂપ અંશને શૂન્ય સાથે સમાન કરીને ઇચ્છિત સમીકરણ મેળવી શકાય છે.

ચાલો પ્લેન પર લીટીને વ્યાખ્યાયિત કરવાની અન્ય રીતો પર વિચાર કરીએ.

1. બિન-શૂન્ય વેક્ટરને આપેલ રેખા પર લંબરૂપ રહેવા દો એલ, અને બિંદુ એમ 0(એક્સ 0, વાય 0) આ લાઇન પર આવેલું છે (આકૃતિ 1.7).

આકૃતિ 1.7

ચાલો સૂચિત કરીએ એમ(એક્સ, વાય) મનસ્વી બિંદુસીધી રેખા પર એલ. વેક્ટર અને ઓર્થોગોનલ. આ વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનાલિટીની શરતોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ અથવા એ(એક્સ – એક્સ 0) + બી(વાય – વાય 0) = 0.

આપણે બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવ્યું છે એમ 0 એ વેક્ટર માટે લંબ છે. આ વેક્ટર કહેવાય છે સામાન્ય વેક્ટર સીધી રેખા સુધી એલ. પરિણામી સમીકરણ આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે

ઓહ + વૂ + સાથે= 0, જ્યાં સાથે = –(એએક્સ 0 + દ્વારા 0), (1.16),

જ્યાં એઅને IN- સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ.

અમે પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

2. પ્લેન પર એક સીધી રેખા નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: બિન-શૂન્ય વેક્ટરને આપેલ સીધી રેખાની સમાંતર રહેવા દો એલઅને સમયગાળો એમ 0(એક્સ 0, વાય 0) આ લાઇન પર આવેલું છે. ચાલો ફરી એક મનસ્વી મુદ્દો લઈએ એમ(એક્સ, y) સીધી રેખા પર (આકૃતિ 1.8).

આકૃતિ 1.8

વેક્ટર અને સમરેખા

ચાલો આ વેક્ટર્સની સમન્વયતા માટેની સ્થિતિ લખીએ: , ક્યાં ટી – મનસ્વી સંખ્યા, પેરામીટર કહેવાય છે. ચાલો આ સમાનતાને કોઓર્ડિનેટ્સમાં લખીએ:

આ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે પેરામેટ્રિક સમીકરણો પ્રત્યક્ષ. ચાલો આ સમીકરણોમાંથી પરિમાણને બાકાત કરીએ ટી:

આ સમીકરણો અન્યથા ફોર્મમાં લખી શકાય છે

. (1.18)

પરિણામી સમીકરણ કહેવામાં આવે છે પ્રામાણિક સમીકરણપ્રત્યક્ષ. વેક્ટર કહેવાય છે નિર્દેશન વેક્ટર સીધુ છે .

ટિપ્પણી . તે જોવું સરળ છે કે જો રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર છે એલ, તો તેની દિશા વેક્ટર ત્યારથી વેક્ટર હોઈ શકે છે, એટલે કે.

ઉદાહરણ 1.13. બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ લખો એમ 0(1, 1) રેખા 3 ને સમાંતર એક્સ + 2યુ– 8 = 0.

ઉકેલ . વેક્ટર એ આપેલ અને ઇચ્છિત રેખાઓ માટે સામાન્ય વેક્ટર છે. ચાલો બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ એમ 0 સે આપેલ વેક્ટરસામાન્ય 3( એક્સ –1) + 2(યુ– 1) = 0 અથવા 3 એક્સ + 2у– 5 = 0. અમે ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ મેળવ્યું.

બિંદુ K(x 0 ; y 0) અને રેખા y = kx + a ની સમાંતરમાંથી પસાર થતી રેખા સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

જ્યાં k એ રેખાનો ઢોળાવ છે.

વૈકલ્પિક સૂત્ર:
બિંદુ M 1 (x 1 ; y 1)માંથી પસાર થતી અને Ax+By+C=0 રેખાની સમાંતર રેખા સમીકરણ દ્વારા રજૂ થાય છે.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

ઉદાહરણ નંબર 2. રેખા 2x + 5y = 0 ની સમાંતર રેખાનું સમીકરણ લખો અને સંકલન અક્ષો સાથે મળીને રચના કરો, એક ત્રિકોણ જેનું ક્ષેત્રફળ 5 છે.
ઉકેલ . રેખાઓ સમાંતર હોવાથી, ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ 2x + 5y + C = 0 છે. ક્ષેત્રફળ જમણો ત્રિકોણ, જ્યાં a અને b તેના પગ છે. ચાલો સંકલન અક્ષો સાથે ઇચ્છિત રેખાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ:
;
.
તેથી, A(-C/2,0), B(0,-C/5). ચાલો તેને વિસ્તાર માટેના સૂત્રમાં બદલીએ: . અમને બે ઉકેલો મળે છે: 2x + 5y + 10 = 0 અને 2x + 5y – 10 = 0.

ઉદાહરણ નંબર 3. બિંદુ (-2; 5) અને રેખા 5x-7y-4=0 ની સમાંતરમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો.
ઉકેલ. આ સીધી રેખા સમીકરણ y = 5 / 7 x – 4 / 7 (અહીં a = 5 / 7) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)) છે, એટલે કે. 7(y-5)=5(x+2) અથવા 5x-7y+45=0 .

ઉદાહરણ નંબર 4. ફોર્મ્યુલા (2) નો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ 3 (A=5, B=-7) ઉકેલ્યા પછી, આપણે 5(x+2)-7(y-5)=0 શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ નંબર 5. બિંદુ (-2;5) અને રેખા 7x+10=0 ની સમાંતરમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો.
ઉકેલ. અહીં A=7, B=0. ફોર્મ્યુલા (2) 7(x+2)=0 આપે છે, એટલે કે. x+2=0. ફોર્મ્યુલા (1) લાગુ પડતું નથી, ત્યારથી આપેલ સમીકરણ y ની તુલનામાં ઉકેલી શકાતો નથી (આ રેખા ઓર્ડિનેટની સમાંતર છે).

યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં સીધી રેખાના ગુણધર્મો.

કોઈપણ બિંદુ દ્વારા અનંત સંખ્યામાં સીધી રેખાઓ દોરી શકાય છે.

કોઈપણ બે બિન-સંયોગી બિંદુઓ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરી શકાય છે.

પ્લેનમાં બે અલગ-અલગ રેખાઓ કાં તો એક બિંદુ પર છેદે છે અથવા છે

સમાંતર (અગાઉના એકને અનુસરે છે).

IN ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાત્રણ વિકલ્પો છે સંબંધિત સ્થિતિબે સીધી રેખાઓ:

• રેખાઓ છેદે છે;

• રેખાઓ સમાંતર છે;

• સીધી રેખાઓ છેદે છે.

સીધું રેખા— પ્રથમ ક્રમનો બીજગણિત વળાંક: માં કાર્ટેશિયન સિસ્ટમસીધી રેખા સંકલન કરે છે

પ્લેન પર પ્રથમ ડિગ્રી (રેખીય સમીકરણ) ના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

સામાન્ય સમીકરણપ્રત્યક્ષ

વ્યાખ્યા. પ્લેન પરની કોઈપણ સીધી રેખા પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે

Ax + Wu + C = 0,

અને સતત A, Bતે જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી. આ પ્રથમ ક્રમ સમીકરણ કહેવાય છે સામાન્ય

સીધી રેખાનું સમીકરણ.સ્થિરાંકોના મૂલ્યો પર આધાર રાખીને A, Bઅને સાથેનીચેના વિશિષ્ટ કેસો શક્ય છે:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- એક સીધી રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (બાય + C = 0)- ધરીની સમાંતર સીધી રેખા ઓહ

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ધરીની સમાંતર સીધી રેખા ઓહ

. B = C = 0, A ≠0- સીધી રેખા ધરી સાથે એકરુપ છે ઓહ

. A = C = 0, B ≠0- સીધી રેખા ધરી સાથે એકરુપ છે ઓહ

સીધી રેખાનું સમીકરણ આમાં રજૂ કરી શકાય છે વિવિધ સ્વરૂપોમાંઆપેલ કોઈપણ પર આધાર રાખીને

પ્રારંભિક શરતો.

બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટરમાંથી સીધી રેખાનું સમીકરણ.

વ્યાખ્યા. કાર્ટેશિયનમાં લંબચોરસ સિસ્ટમઘટકો સાથે વેક્ટરનું સંકલન કરો (A, B)

સીધી રેખાને લંબરૂપ, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે

Ax + Wu + C = 0.

ઉદાહરણ. બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો A(1, 2)વેક્ટરને લંબરૂપ (3, -1).

ઉકેલ. A = 3 અને B = -1 સાથે, ચાલો સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ: 3x - y + C = 0. ગુણાંક C શોધવા માટે

ચાલો આપેલ બિંદુ A ના કોઓર્ડિનેટ્સને પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ: 3 - 2 + C = 0, તેથી

C = -1. કુલ: જરૂરી સમીકરણ: 3x - y - 1 = 0.

બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ.

અવકાશમાં બે બિંદુઓ આપવા દો M 1 (x 1 , y 1 , z 1)અને M2 (x 2, y 2, z 2),પછી રેખાનું સમીકરણ,

આ બિંદુઓમાંથી પસાર થવું:

જો કોઈપણ છેદ શૂન્ય હોય, તો અનુરૂપ અંશ શૂન્યની બરાબર સેટ કરવો જોઈએ. ચાલુ

પ્લેન, ઉપર લખેલી સીધી રેખાનું સમીકરણ સરળ છે:

જો x 1 ≠ x 2અને x = x 1, જો x 1 = x 2 .

અપૂર્ણાંક = kકહેવાય છે ઢાળ પ્રત્યક્ષ.

ઉદાહરણ. A(1, 2) અને B(3, 4) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ઉકેલ. ઉપર લખેલા સૂત્રને લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:

બિંદુ અને ઢાળનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ.

જો રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ Ax + Wu + C = 0તરફ દોરી જાય છે:

અને નિયુક્ત કરો , પછી પરિણામી સમીકરણ કહેવામાં આવે છે

ઢાળ k સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ.

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરથી સીધી રેખાનું સમીકરણ.

સામાન્ય વેક્ટર દ્વારા સીધી રેખાના સમીકરણને ધ્યાનમાં લેતા બિંદુ સાથે સામ્યતા દ્વારા, તમે કાર્ય દાખલ કરી શકો છો

બિંદુ દ્વારા એક સીધી રેખા અને સીધી રેખાનો નિર્દેશન વેક્ટર.

વ્યાખ્યા. દરેક બિન-શૂન્ય વેક્ટર (α 1 , α 2), જેના ઘટકો સ્થિતિને સંતોષે છે

Aα 1 + Bα 2 = 0કહેવાય છે સીધી રેખાનું નિર્દેશન વેક્ટર.

Ax + Wu + C = 0.

ઉદાહરણ. દિશા વેક્ટર (1, -1) અને બિંદુ A(1, 2) માંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ઉકેલ. અમે ફોર્મમાં ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ શોધીશું: Ax + By + C = 0.વ્યાખ્યા મુજબ,

ગુણાંકોએ નીચેની શરતોને સંતોષવી આવશ્યક છે:

1 * A + (-1) * B = 0, એટલે કે. A = B.

પછી સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: કુહાડી + અય + સી = 0,અથવા x + y + C / A = 0.

ખાતે x = 1, y = 2અમે મેળવીએ છીએ C/A = -3, એટલે કે જરૂરી સમીકરણ:

x + y - 3 = 0

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ.

જો સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં Ах + Ву + С = 0 С≠0, તો, -С વડે ભાગતાં, આપણને મળે છે:

અથવા ક્યાં

ભૌમિતિક અર્થગુણાંક એ છે કે ગુણાંક a એ આંતરછેદ બિંદુનું સંકલન છે

ધરી સાથે સીધા ઓહ,એ b- ધરી સાથે રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું સંકલન ઓહ.

ઉદાહરણ. સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે x - y + 1 = 0.આ રેખાના સમીકરણને ભાગોમાં શોધો.

C = 1, , a = -1, b = 1.

સામાન્ય સમીકરણપ્રત્યક્ષ

જો સમીકરણની બંને બાજુ Ax + Wu + C = 0સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો જે કહેવાય છે

સામાન્યકરણ પરિબળ, પછી આપણને મળે છે

xcosφ + ysinφ - p = 0 -રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

સામાન્યીકરણ પરિબળનું ચિહ્ન ± પસંદ કરવું આવશ્યક છે જેથી કરીને μ*C< 0.

આર- કાટખૂણેની લંબાઇ મૂળથી સીધી રેખા સુધી ઘટી છે,

એ φ - ધરીની સકારાત્મક દિશા સાથે આ લંબ દ્વારા રચાયેલ કોણ ઓહ.

ઉદાહરણ. રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે 12x - 5y - 65 = 0. લખવું જરૂરી છે વિવિધ પ્રકારોસમીકરણો

આ સીધી રેખા.

સેગમેન્ટમાં આ રેખાનું સમીકરણ:

ઢાળ સાથે આ રેખાનું સમીકરણ: (5 વડે ભાગાકાર)

રેખાનું સમીકરણ:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

એ નોંધવું જોઈએ કે દરેક સીધી રેખા સેગમેન્ટમાં સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખાઓ,

અક્ષોની સમાંતર અથવા મૂળમાંથી પસાર થવું.

પ્લેન પર સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો.

વ્યાખ્યા. જો બે લીટીઓ આપવામાં આવે છે y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, તે તીવ્ર કોણઆ રેખાઓ વચ્ચે

તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે

બે રેખાઓ સમાંતર છે જો k 1 = k 2. બે સીધી રેખાઓ લંબરૂપ છે,

જો k 1 = -1/ k 2 .

પ્રમેય.

પ્રત્યક્ષ Ax + Wu + C = 0અને A 1 x + B 1 y + C 1 = 0જ્યારે ગુણાંક પ્રમાણસર હોય ત્યારે સમાંતર

A 1 = λA, B 1 = λB. જો પણ С 1 = λС, પછી રેખાઓ એકરૂપ થાય છે. બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ

આ રેખાઓના સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલ તરીકે જોવા મળે છે.

પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ આ બિંદુઆ રેખા પર લંબ છે.

વ્યાખ્યા. એક બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા M 1 (x 1, y 1)અને રેખા પર લંબ છે y = kx + b

સમીકરણ દ્વારા રજૂ:

એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર.

પ્રમેય. જો એક બિંદુ આપવામાં આવે છે M(x 0, y 0),પછી સીધી રેખાનું અંતર Ax + Wu + C = 0તરીકે વ્યાખ્યાયિત:

પુરાવો. બિંદુ દો M 1 (x 1, y 1)- કાટખૂણેનો આધાર બિંદુ પરથી નીચે પડ્યો એમઆપેલ માટે

પ્રત્યક્ષ પછી પોઈન્ટ વચ્ચેનું અંતર એમઅને એમ 1:

(1)

કોઓર્ડિનેટ્સ x 1અને 1 પરસમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલ તરીકે શોધી શકાય છે:

સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ એમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ છે આપેલ બિંદુ M 0 કાટખૂણે

સીધી રેખા આપેલ છે. જો આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + બાય 0 + C = 0,

પછી, હલ કરીને, આપણને મળે છે:

આ સમીકરણોને સમીકરણ (1) માં બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ:

પ્રમેય સાબિત થયો છે.