દ્વિપદીની ડિગ્રીનું વિસ્તરણ. ચોક્કસ સભ્ય શોધવી

કુર્યાકોવા તાત્યાના સેર્ગેવેના

ગણિત શિક્ષક, મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "માધ્યમિક શાળા નંબર 36", અંગારસ્ક

ન્યૂટનનો દ્વિપદી એ એવા વિષયોમાંનો એક છે જેની વિચારણા વિદ્યાર્થીઓને માત્ર સંયોજક વિભાવનાઓ જ નહીં, પરંતુ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોની પણ ઊંડાણપૂર્વકની સમજણમાં ફાળો આપે છે. આ લેખ "ન્યુટનનો દ્વિપદી" વિષય પર ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે વ્યાખ્યાન માટેના વિકલ્પોમાંથી એક રજૂ કરે છે.

વિષય: "ન્યુટનનું દ્વિપદી"

વ્યાખ્યાન રૂપરેખા 1. ન્યૂટનના દ્વિપદીનો ખ્યાલ

2. દ્વિપદી અને દ્વિપદી ગુણાંકના ગુણધર્મો

3. લાક્ષણિક કાર્યો"ન્યુટનનું દ્વિપદી" વિષય પર

4. ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રના ઉપયોગ માટે આવતી સમસ્યાઓ ("ન્યુટનના દ્વિપદી" વિષય પર બિન-માનક સમસ્યાઓ)

સાહિત્ય

1. કોલેજો / એડ માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સ્પર્ધાત્મક સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. M.I. Skanavi: પાઠ્યપુસ્તક. ભથ્થું સેન્ટ પીટર્સબર્ગ, 1995. - પૃષ્ઠ.84.

2. સુપ્રુન વી.પી. ગણિતમાં વધેલી જટિલતાની પસંદ કરેલી સમસ્યાઓ. Mn.: પોલિમ્યા, 1998. - 108 પૃષ્ઠ.

ન્યૂટનના દ્વિપદીનો ખ્યાલ

ન્યૂટનનું દ્વિપદી એ સ્વરૂપનું વિસ્તરણ છે:

પરંતુ, કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સમગ્ર સૂત્રને દ્વિપદી કહી શકાય નહીં, કારણ કે "દ્વિપદી" નો અનુવાદ "દ્વિપદી" તરીકે થાય છે. વધુમાં, વિસ્તરણ સૂત્ર ન્યૂટન પહેલા પણ જાણીતું હતું, આઇઝેક ન્યૂટને આ વિસ્તરણને n ના કિસ્સામાં લંબાવ્યું હતું

લક્ષ્યન્યૂટનના દ્વિપદીનો અભ્યાસ કરવો - કોમ્પ્યુટેશનલ ક્રિયાઓને સરળ બનાવવી.

ઘટકોન્યૂટનનું દ્વિપદી સૂત્ર:

પાસ્કલના ત્રિકોણનું વ્યવહારુ મહત્વ એ હકીકતમાં રહેલું છે કે તેની મદદથી તમે મેમરીમાંથી માત્ર સરવાળો અને તફાવતના વર્ગો માટેના જાણીતા સૂત્રો જ નહીં, પણ સરવાળો (તફાવત)ના ક્યુબ માટેના સૂત્રોને પણ સરળતાથી ફરીથી બનાવી શકો છો. ચોથી ડિગ્રી અને ઉચ્ચ.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણની ચોથી રેખા સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે દ્વિપદી ગુણાંકચોથા ડિગ્રી દ્વિપદી માટે:

પાસ્કલના ત્રિકોણનો વિકલ્પ:

શબ્દ દ્વારા ચાર કૌંસ શબ્દનો ગુણાકાર કરો:

ન્યૂટનના ચોથા ડિગ્રીના દ્વિપદીના વિસ્તરણને યાદ કરો:

જ્યાં T એ વિસ્તરણ શબ્દ છે;
– સીરીયલ નંબરવિસ્તરણ મુદત.

– 2 –

દ્વિપદી અને દ્વિપદી ગુણાંકના ગુણધર્મો

પુરાવો

વિસ્તરણની મી મુદતને ધ્યાનમાં લો:

ઘાતાંકનો સરવાળો aઅને b:

પુરાવો

દો
, પછી:

પછી:

સાબિતી - તમારી જાતને

– 3 –

"ન્યુટનનું દ્વિપદી" વિષય પર લાક્ષણિક સમસ્યાઓ

આ વિષય પરના લાક્ષણિક (માનક) કાર્યોમાં ગણતરીના કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

દ્વિપદી વિસ્તરણનો શબ્દ (સદસ્ય સંખ્યા) શોધો

વિસ્તરણની જાણીતી શરતોના આધારે દ્વિપદી મેળવો (જાણીતી રકમનો ઉપયોગ કરીને)

દ્વિપદી વિસ્તરણના દ્વિપદી ગુણાંકના સરવાળાની ગણતરી કરો

અને અન્ય.

અમે ઉદાહરણો સાથે દર્શાવીશું (તેમનો ઉકેલ મુશ્કેલ નથી, તેથી અમે તેમાંના મોટા ભાગનાને જાતે હલ કરવાનું સૂચન કરીએ છીએ).

ઉદાહરણ 1

દ્વિપદી સૂત્ર દ્વારા વિસ્તૃત કરો

ઉકેલ તમારો પોતાનો છે

સાઇન સિક્વન્સ પર ધ્યાન આપો!

ઉદાહરણ 2

વિસ્તરણની છઠ્ઠી મુદત શોધો

ઉકેલ તમારો પોતાનો છે

ચિહ્ન પર ધ્યાન આપો!

નીચેના સાથે પ્રારંભ કરવું વધુ સારું છે:

ઉદાહરણ 3

વિસ્તરણના બે મધ્યમ પદો શોધો

ઉકેલ તમારો પોતાનો છે

નોંધ કરો કે આ પદો અંતથી સમાન છે, તેથી તેમના દ્વિપદી ગુણાંક સમાન હશે.

સોલ્યુશન પ્રક્રિયા દરમિયાન સમાન પાયા (એટલે ​​​​કે, સરળીકરણ) સાથે શક્તિઓના પરિવર્તનને હાથ ધરવાનું ભૂલશો નહીં.

ઉદાહરણ 4

દ્વિપદી વિસ્તરણમાં
એક વિસ્તરણ શબ્દ શોધો જેમાં સમાવિષ્ટ ન હોય એક્સ

કારણ કે વિસ્તરણમાં અમે એક શબ્દ શોધી રહ્યા છીએ જેમાં શામેલ નથી એક્સ, તે

જવાબ:

– 4 –

સમસ્યાઓ કે જે ન્યુટનના દ્વિપદી સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે ઉકળે છે

("ન્યુટનનું દ્વિપદી" વિષય પર બિન-માનક સમસ્યાઓ)

આ વિષય પરના બિન-માનક કાર્યોમાં તે શામેલ છે જેમાં દ્વિપદીનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાતનો કોઈ સ્પષ્ટ સંકેત નથી. જો કે, અંતે, ઉકેલ તે નીચે આવે છે અને ખૂબ જ રસપ્રદ લાગે છે.

ઉદાહરણ 5

તે કોઈપણ માટે સાબિત કરો
અને કોઈપણ માટે
અધિકાર બર્નૌલી અસમાનતા :

પુરાવો

દો

ત્યારથી

ચાલો જરૂરિયાતને સુધારીએ: તે સાબિત કરો
, ક્યાં

કારણ કે
, જેનો અર્થ છે કે વિસ્તરણમાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ વિસ્તરણ શબ્દો છે, પછી:

આનો અર્થ એ છે કે

ઉદાહરણ 6

તે સાબિત કરો

સાબિતી - તમારી જાતને

(સંકેત: બર્નૌલીની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરો)

ઉદાહરણ 7

કોઈપણ કુદરતી માટે તે સાબિત કરો nસંખ્યા 9 વડે વિભાજ્ય છે

પુરાવો

ચાલો માં દ્વિપદી જોવાનું શરૂ કરીએ સામાન્ય દૃશ્ય:

ઉદાહરણ 8

સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો બદલીએ:

પછી અમે સમીકરણ ફરીથી લખીએ છીએ:

ચાલો સમીકરણની ડાબી બાજુએ દ્વિપદી સૂત્ર લાગુ કરીએ:

જવાબ:
બિન-માનક કાર્યો... સૌથી સરળ સંભાવના કાર્યો+ + + 124-130 સંયોજનો અને પ્લેસમેન્ટ. ફોર્મ્યુલા દ્વિપદી ન્યુટન. + ...

સત્તાઓ (a + b) n સાથે નીચેના અભિવ્યક્તિઓનો વિચાર કરો, જ્યાં a + b એ કોઈપણ દ્વિપદી છે અને n એ પૂર્ણાંક છે.

દરેક અભિવ્યક્તિ બહુપદી છે. તમે બધા અભિવ્યક્તિઓમાં લક્ષણોની નોંધ લઈ શકો છો.

1. દરેક સમીકરણમાં ઘાતાંક n કરતાં એક વધુ પદ હોય છે.

2. દરેક શબ્દમાં શક્તિઓનો સરવાળો n ની બરાબર છે, એટલે કે. શક્તિ કે જેના પર દ્વિપદી ઉછરે છે.

3. શક્તિઓ દ્વિપદી શક્તિ n થી શરૂ થાય છે અને 0 તરફ ઘટે છે. છેલ્લી અવધિમાં પરિબળ a નથી. પ્રથમ પદમાં પરિબળ b નથી, એટલે કે. ડિગ્રી b 0 થી શરૂ થાય છે અને n સુધી વધે છે.

4. ગુણાંક 1 થી શરૂ થાય છે અને "અડધા માર્ગ" સુધી ચોક્કસ મૂલ્યો દ્વારા વધે છે, અને પછી તે જ મૂલ્યોથી ઘટીને 1 પર પાછા આવે છે.

ચાલો ગુણાંક પર નજીકથી નજર કરીએ. ચાલો કહીએ કે આપણે (a + b) 6 ની કિંમત શોધવા માંગીએ છીએ. અમે હમણાં જ નોંધેલી સુવિધા અનુસાર, અહીં 7 સભ્યો હોવા જોઈએ
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
પરંતુ આપણે દરેક ગુણાંકનું મૂલ્ય કેવી રીતે નક્કી કરી શકીએ, c i ? આપણે આ બે રીતે કરી શકીએ છીએ. પ્રથમ પદ્ધતિમાં ત્રિકોણમાં ગુણાંક લખવાનો સમાવેશ થાય છે, નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે. આ તરીકે ઓળખાય છે પાસ્કલનો ત્રિકોણ :


ત્રિકોણમાં ઘણી વિશેષતાઓ છે. તમે કરી શકો તેટલા શોધો.
તમને ઉપરની લીટી પરની સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને નંબરોની આગલી સ્ટ્રિંગ લખવાની રીત મળી હશે. એકમો હંમેશા બાજુઓ પર સ્થિત છે. દરેક બાકીની સંખ્યા એ સંખ્યા ઉપરની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. ચાલો નીચેની લીટી ઉમેરીને અભિવ્યક્તિ (a + b) 6 ની કિંમત શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ, અમને મળેલા લક્ષણોનો ઉપયોગ કરીને:

આપણે તે છેલ્લી લીટીમાં જોઈએ છીએ

પ્રથમ અને છેલ્લો નંબર 1 ;
બીજી સંખ્યા 1 + 5 છે, અથવા 6 ;
ત્રીજો નંબર 5 + 10 છે, અથવા 15 ;
ચોથો નંબર 10 + 10 છે, અથવા 20 ;
પાંચમી સંખ્યા 10 + 5 છે, અથવા 15 ; અને
છઠ્ઠી સંખ્યા 5 + 1 છે, અથવા 6 .

તેથી અભિવ્યક્તિ (a + b) 6 બરાબર થશે
(a + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6.

પાવર (a + b) 8 સુધી વધારવા માટે, આપણે પાસ્કલના ત્રિકોણમાં બે રેખાઓ ઉમેરીએ છીએ:

પછી
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

અમે નીચે પ્રમાણે અમારા પરિણામોનો સારાંશ આપી શકીએ છીએ.

પાસ્કલના ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને ન્યૂટનનું દ્વિપદી

કોઈપણ દ્વિપદી a+ b અને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
જ્યાં c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n સંખ્યાઓ પાસ્કલના ત્રિકોણની (n + 1) શ્રેણીમાંથી લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1પાવર સુધી વધારો: (u - v) 5 .

ઉકેલઆપણી પાસે (a + b)n છે, જ્યાં a = u, b = -v, અને n = 5. આપણે પાસ્કલના ત્રિકોણની 6મી પંક્તિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
1 5 10 10 5 1
પછી અમારી પાસે છે
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
નોંધ કરો કે શબ્દોના ચિહ્નો + અને - વચ્ચે વધઘટ થાય છે. જ્યારે ડિગ્રી -v એક વિષમ સંખ્યા છે, ત્યારે ચિહ્ન - છે.

ઉદાહરણ 2પાવર સુધી વધારો: (2t + 3/t) 4 .

ઉકેલઆપણી પાસે (a + b)n છે, જ્યાં a = 2t, b = 3/t, અને n = 4. આપણે પાસ્કલના ત્રિકોણની 5મી પંક્તિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
1 4 6 4 1
પછી અમારી પાસે છે

કારણભૂત મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને દ્વિપદી વિસ્તરણ

ચાલો કહીએ કે આપણે (a + b) 11 ની કિંમત શોધવા માંગીએ છીએ. પાસ્કલના ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરવાનો ગેરલાભ એ છે કે આપણે ત્રિકોણની અગાઉની બધી પંક્તિઓની ગણતરી કરવી પડશે. જરૂરી પંક્તિ. આગામી પદ્ધતિતમને આને ટાળવા દે છે. તે તમને ચોક્કસ પંક્તિ શોધવાની પણ પરવાનગી આપે છે - 8મી પંક્તિ કહો - અન્ય તમામ પંક્તિઓનું મૂલ્યાંકન કર્યા વિના. આ પદ્ધતિ ગણતરીઓ, આંકડાઓમાં ઉપયોગી છે અને તેનો ઉપયોગ કરે છે દ્વિપદી ગુણાંક સંકેત .
આપણે ન્યુટનના દ્વિપદીને નીચે પ્રમાણે ઘડી શકીએ.

ફેક્ટોરિયલ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને ન્યુટનનું દ્વિપદી

કોઈપણ દ્વિપદી (a + b) અને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે,
.

ન્યુટનના દ્વિપદીને પદ્ધતિ દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે ગાણિતિક ઇન્ડક્શન. તે બતાવે છે કે તેને શા માટે કહેવામાં આવે છે દ્વિપદી ગુણાંક .

ઉદાહરણ 3ઘાત સુધી વધારો: (x 2 - 2y) 5 .

ઉકેલઆપણી પાસે (a + b) n છે, જ્યાં a = x 2 , b = -2y, અને n = 5. પછી, ન્યુટનના દ્વિપદીનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે.


છેલ્લે, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

ઉદાહરણ 4પાવર સુધી વધારો: (2/x + 3√x) 4.

ઉકેલઆપણી પાસે (a + b)n છે, જ્યાં a = 2/x, b = 3√x, અને n = 4. પછી, ન્યુટનના દ્વિપદીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ


છેલ્લે (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

ચોક્કસ સભ્ય શોધવી

ચાલો ધારીએ કે આપણે અભિવ્યક્તિમાંથી એક અથવા બીજા શબ્દને નિર્ધારિત કરવા માંગીએ છીએ. અમે જે પદ્ધતિ વિકસાવી છે તે અમને પાસ્કલના ત્રિકોણની બધી પંક્તિઓ અથવા અગાઉના તમામ ગુણાંકની ગણતરી કર્યા વિના આ શબ્દ શોધવાની મંજૂરી આપશે.

નોંધ કરો કે ન્યુટનના દ્વિપદીમાં આપણને 1લી મુદત આપે છે, આપણને 2જી પદ આપે છે, આપણને 3જી પદ આપે છે વગેરે. આનો સારાંશ નીચે મુજબ કરી શકાય છે.

(k + 1) પદ શોધવું

(k + 1) અભિવ્યક્તિનો શબ્દ (a + b) n છે.

ઉદાહરણ 5અભિવ્યક્તિ (2x - 5y) 6 માં 5મો શબ્દ શોધો.

ઉકેલપ્રથમ, નોંધ લો કે 5 = 4 + 1. પછી k = 4, a = 2x, b = -5y, અને n = 6. પછી અભિવ્યક્તિનું 5મું પદ હશે

ઉદાહરણ 6અભિવ્યક્તિ (3x - 2) 10 માં 8મી પદ શોધો.

ઉકેલપ્રથમ, આપણે નોંધીએ છીએ કે 8 = 7 + 1. પછી k = 7, a = 3x, b = -2 અને n = 10. પછી અભિવ્યક્તિનો 8મો પદ હશે

સબસેટની કુલ સંખ્યા

ધારો કે સમૂહમાં n ઑબ્જેક્ટ્સ છે. k તત્વો ધરાવતા સબસેટની સંખ્યા છે. કુલ સંખ્યાસમૂહના સબસેટ્સ એટલે 0 તત્વો સાથેના સબસેટની સંખ્યા, તેમજ 1 તત્વ સાથેના સબસેટની સંખ્યા અને 2 તત્વો સાથેના સબસેટની સંખ્યા, વગેરે. n તત્વોવાળા સમૂહના ઉપગણોની કુલ સંખ્યા છે
.
હવે પાવર (1 + 1) n ને વધારવા જોઈએ:

.
તેથી. કુલ જથ્થોસબસેટ્સ (1 + 1) n, અથવા 2 n. અમે નીચેના સાબિત કર્યા છે.

સબસેટની કુલ સંખ્યા

n તત્વોવાળા સમૂહના ઉપગણોની કુલ સંખ્યા 2n છે.

ઉદાહરણ 7સમૂહ (A, B, C, D, E) માં કેટલા સબસેટ્સ છે?

ઉકેલસમૂહમાં 5 તત્વો છે, પછી સબસેટની સંખ્યા 2 5 અથવા 32 છે.

ઉદાહરણ 8વેન્ડીઝ રેસ્ટોરન્ટ ચેઇન નીચેના હેમબર્ગર ટોપિંગ ઓફર કરે છે:
{કેચઅપ, મસ્ટર્ડ, મેયોનેઝ, ટામેટાં, લેટીસ, ડુંગળી, મશરૂમ્સ, ઓલિવ, ચીઝ}.
કેટલા વિવિધ પ્રકારોવેન્ડી કયા બર્ગર ઓફર કરી શકે છે, બર્ગરના કદ અથવા બર્ગરની સંખ્યાને બાદ કરતાં?

ઉકેલદરેક હેમબર્ગર પરના ટોપિંગ્સ એ તમામ સંભવિત ટોપિંગ્સના સેટના સબસેટના સભ્યો છે, અને ખાલી સેટ ફક્ત હેમબર્ગર છે. સંભવિત હેમબર્ગરની કુલ સંખ્યા સમાન હશે

. આમ, વેન્ડીઝ 512 વિવિધ હેમબર્ગર ઓફર કરી શકે છે.

ગણિત પાઠ યોજના:

« દ્વિપદી પ્રમેય. દ્વિપદી ગુણાંકના ગુણધર્મો"

ગોલ :

- શૈક્ષણિક : ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રનો પરિચય આપો, જ્યારે દ્વિપદીને શક્તિમાં વધારતા ત્યારે ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખવો;
- વિકાસશીલ : મેમરી, અલ્ગોરિધમિક અને વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો તાર્કિક વિચારસરણી, ધ્યાન;
- શૈક્ષણિક: જવાબદારી, સ્વતંત્રતા અને પ્રામાણિકતાની ભાવના વિકસાવવાનું ચાલુ રાખો.)

સાધનસામગ્રી : કોમ્પ્યુટર, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન, પ્રેઝન્ટેશન, સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી સાથેના કાર્ડ.

પાઠનો પ્રકાર - કે સંયુક્ત;

વિદ્યાર્થીઓના કાર્યના સ્વરૂપો - આગળનો, વ્યક્તિગત.

પાઠ પ્રગતિ:

1 . સંસ્થાકીય બિંદુ:

વિષય, પાઠના લક્ષ્યો અને વિચારણા હેઠળના વિષયના વ્યવહારિક મહત્વ વિશેનો સંદેશ.

2. જ્ઞાન અપડેટ કરવું

આઈ . આગળનો સર્વે:

1) સંયોજનશાસ્ત્ર શું અભ્યાસ કરે છે?

2) તમે કયા પ્રકારનાં જોડાણો અથવા નમૂનાઓ જાણો છો?

3) ક્રોસવર્ડ પઝલ "કોમ્બીનેટરિક્સ" ઉકેલો

II . મૌખિક ગણતરી:

5!=….(120), એ 5 2 =…(20), સી 4 2 =….(8)

બેન્ચ પર 5 લોકોને કેટલી રીતે બેસાડી શકાય?

3. નવી સામગ્રીની રજૂઆત: કાર્ડ સાથે કામ સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી. વિદ્યાર્થી સંદેશાઓ સાંભળવા અને તેનું વિશ્લેષણ કરવું. સારાંશ લખી રહ્યા છીએ.

આઈ ) સંયોજનશાસ્ત્રનો ઇતિહાસ ( વિદ્યાર્થી સંદેશ)

છેલ્લા પાઠમાં આપણે સંયોજનશાસ્ત્રની મૂળભૂત બાબતો શીખ્યા. હોમવર્કપ્રથમ માટે સર્જનાત્મક જૂથવિજ્ઞાન તરીકે સંયોજનશાસ્ત્રના ઉદભવના ઇતિહાસ પર એક અહેવાલ તૈયાર કરવાનો હતો. (વિદ્યાર્થી સંદેશ)

વિજ્ઞાન તરીકે સંયોજનશાસ્ત્રના વિકાસમાં કયા વૈજ્ઞાનિકોએ ફાળો આપ્યો?

તે સમયના ઉત્કૃષ્ટ દિમાગમાંનું એક અંગ્રેજ હતું વૈજ્ઞાનિક આઇઝેકન્યુટન. તમારું હોમવર્ક આ મહાન પ્રતિભા વિશે અહેવાલ તૈયાર કરવાનું હતું.

II આઇઝેક ન્યુટન એક મહાન ગણિતશાસ્ત્રી છે. વિદ્યાર્થી સંદેશ)

મહાન ગણિતશાસ્ત્રી આઇઝેક ન્યુટનના કેટલા તેજસ્વી વિચારો અને શોધો છે તે તમે અહેવાલમાંથી સાંભળ્યું છે. તેમની એક શોધ સૂત્ર છેદ્વિપદી પ્રમેય .

III ) ન્યુટનનું દ્વિપદી.

આ શોધ માટે જ આપણે આજનો પાઠ સમર્પિત કરીશું. ચાલો પાઠનો વિષય લખીએ.અમારા પાઠના ઉદ્દેશ્યો : ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રથી પરિચિત થાઓ, દ્વિપદીને ઘાતમાં વધારતી વખતે ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રને લાગુ કરવાનું શીખો.

દ્વિપદી શબ્દનો અર્થ થાય છે "બે સંખ્યા." ચાલો ન્યૂટનને અનુસરીએ અને તેને મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ જેથી કરીને આપણે તેને લાગુ કરી શકીએ.

તમને કદાચ યાદ હશે (અથવા ઓછામાં ઓછું યાદ રાખવું જોઈએ) બે પદોના સરવાળાના વર્ગ અને ઘન માટે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો (આ સરવાળો કહેવાય છે "દ્વિપદી ", રશિયનમાં -દ્વિપદી .

જો તમે આ સૂત્રો ભૂલી ગયા હો, તો તમે સ્પષ્ટ સમાનતામાં કૌંસ ખોલીને સીધા જ મેળવી શકો છો

કદાચ તમને પ્રશ્ન થયો હશે: શું ચોથા, પાંચમા, દસમા ડિગ્રીના દ્વિપદી માટેના ફોર્મ્યુલા મેળવવાનું શક્ય છે (કોમ્પ્યુટર વિના) - ગમે તે હોય?

ચાલો ઓછામાં ઓછા પાંચમા ડિગ્રી પર સીધા જ જવાનો પ્રયાસ કરીએ, અને ત્યાં, કદાચ, "ઝાડીઓમાં પિયાનો" હશે (ઓર્ડર ખાતર, અમે શરતોને જમણી બાજુએ ઉતરતા ક્રમમાં મૂકીશું.એ , તે મહત્તમથી શૂન્ય સુધી ઘટે છે):

હવે તેને અલગથી લખીએ સંખ્યાત્મક ગુણાંકઆપેલ ઘાતમાં દ્વિપદી વધારતી વખતે સૂત્રોની જમણી બાજુએ:

તમે કદાચ પહેલાથી જ અનુમાન લગાવ્યું હશે કે પાછલા પૃષ્ઠ પર "ઝાડીઓમાં પિયાનો" પાસ્કલનો ત્રિકોણ છે. તે તપાસવું સરળ છે કે આંકડાકીય ગુણાંક લખેલા પાસ્કલના ત્રિકોણની રેખાઓ છે, જે ત્રીજાથી શરૂ થાય છે. આ "કાપાયેલ ત્રિકોણ", જેમાં પ્રથમ બે લીટીઓ ખૂટે છે, તેને સરળતાથી પૂર્ણ કરી શકાય છે (આના દ્વારા લીટીઓ મેળવોn=0 અનેn=1 ):

અંતે આપણને મળે છે:

આ નિવેદન પાસ્કલના ઘણા સમય પહેલા જાણીતું હતું - તે 11મી-12મી સદીમાં રહેતા કોઈને પણ જાણીતું હતું. મધ્ય એશિયાના ગણિતશાસ્ત્રી અને કવિ ઓમર ખય્યામ (કમનસીબે, આ અંગેનું તેમનું કાર્ય આપણા સુધી પહોંચ્યું નથી). સૂત્રનું પ્રથમ વર્ણન જે અમારી પાસે આવ્યું છે તે મધ્ય એશિયાના ગણિતશાસ્ત્રી અલ-તુસીના પુસ્તકમાં સમાયેલું છે, જે 1265 માં પ્રગટ થયું હતું, જ્યાં સંખ્યાઓનું કોષ્ટક (દ્વિપદી ગુણાંક) સુધી અને સહિત આપવામાં આવ્યું છે.

યુરોપીયન વૈજ્ઞાનિકો પૂર્વીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા દેખીતી રીતે, સૂત્રથી પરિચિત થયા. મિલકતોનો વિગતવાર અભ્યાસ કર્યો ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઅને 1654માં ફિલસૂફ બી. પાસ્કલ. તમારું હોમવર્ક તેના પર એક રિપોર્ટ તૈયાર કરવાનું હતું. ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિકપાસ્કેલ.

IV ) બ્લેઝ પાસ્કલ ( વિદ્યાર્થી સંદેશ)

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે દ્વિપદીને કોઈપણ શક્તિમાં કેવી રીતે વધારવી n. ડાબી બાજુએ આપણે લખીએ છીએ (a+b) n. અને જમણી બાજુએ આપણે રકમ લખીએ છીએ એ n + એ n-1 b + … + b n, દરેક ટર્મમાં ગુણાંક માટે જગ્યા છોડીને. અને અમે આ સ્થાનોને નંબરો સાથે ભરીએ છીએ n-પાસ્કલના ત્રિકોણની મી લાઇન, જે, અલબત્ત, અગાઉથી લખવાની જરૂર છે.

દ્વિપદીનું નિર્માણa+b ડિગ્રી સુધીn વિઘટન નામના સૂત્ર દ્વારા ઉત્પન્ન કરી શકાય છેન્યુટનનો દ્વિપદી :

(a+b) n = એ n +C 1 n a n - 1 b+C 2 n a n - 2 b 2 +...C k n a n - k b k +... +C n - 1 n ab n - 1 +C n n b n

જ્યાંસી k n - બધા શક્ય સંયોજનો , જે રચના કરી શકાય છેn તત્વો, k દરેક .

ઉદાહરણ : (a+b) 5 = એ 5 +C 1 5 a 4 b+C 2 5 a 3 b 2 +C 3 5 a 2 b 3 +C 4 5 ab 4 +C 5 5 b 5 = એ 5 + 5a 4 b+10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 +b 5

આ રીતે, તમે કોઈપણ ઘાતમાં દ્વિપદી વધારવા માટેનું સૂત્ર લખી શકો છો. ચાલો ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દ્વિપદીના વિસ્તરણમાં શરતોના કેટલાક ગુણધર્મો જોઈએ.

વી ) ન્યુટનના દ્વિપદીના ગુણધર્મો

ગુણાંક સપ્રમાણ છે.

જો કૌંસમાં માઈનસ ચિહ્ન હોય, તો + અને – ચિહ્નો વૈકલ્પિક.

દરેક પદની ડિગ્રીનો સરવાળો દ્વિપદીની ડિગ્રી જેટલો છે.

વિસ્તરણ ગુણાંકનો સરવાળો (a + b) n2 બરાબર છે n .

VI ) નવી સામગ્રીનું એકીકરણ.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રોનો અભ્યાસ કરતી વખતે અમે તમને ન્યૂટનના દ્વિપદીના ઉપયોગથી પરિચય કરાવ્યો: ન્યૂટનના દ્વિપદીનો ઉપયોગ બીજે ક્યાં થાય છે?

VII ) ન્યુટનના દ્વિપદીનો ઉપયોગ.

નિષ્કર્ષમાં, એક ઉદાહરણનો વિચાર કરો જેમાં ન્યુટનના દ્વિપદીનો ઉપયોગ આપણને આપેલ સંખ્યા દ્વારા અભિવ્યક્તિની વિભાજ્યતાને સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ.

સાબિત કરો કે અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય , જ્યાં n એ કુદરતી સંખ્યા છે, જે શેષ વિના 16 વડે ભાગી શકાય છે.

ઉકેલ.

ચાલો અભિવ્યક્તિના પ્રથમ પદને તરીકે રજૂ કરીએ અને ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

પરિણામી ઉત્પાદન મૂળ અભિવ્યક્તિની વિભાજ્યતાને 16 દ્વારા સાબિત કરે છે.ન્યુટનના દ્વિપદીનો ઉપયોગ ફર્મેટના પ્રમેયના પુરાવામાં, અનંત શ્રેણીના સિદ્ધાંતમાં અને ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિમાં થાય છે.

VIII ) શબ્દસમૂહશાસ્ત્રીય એકમ "ન્યુટનના દ્વિપદી" નો અર્થ શું છે?

નજીવી બાબત પર લાગુ થયેલ રમૂજી વાક્ય, એક સરળ કાર્ય જેને કેટલાક ભૂલથી પૂર્ણ કરવા માટે ખૂબ મુશ્કેલ અથવા અત્યંત મુશ્કેલ માને છે.
શબ્દસમૂહની ઉત્પત્તિ : નવલકથામાંથી (1891 - 1940) "ધ માસ્ટર એન્ડ માર્ગારીતા" (1940).
કોરોવીવના શબ્દો, જેમણે બારમેન સોકોવ સાથે વોલેન્ડની વાતચીત પર ટિપ્પણી કરવાનું નક્કી કર્યું. બારમેન એવા દર્શકો વિશે ફરિયાદ કરે છે જેમણે તેને નકલી પૈસા ચૂકવ્યા હતા, ત્યાંથી "બુફે એકસો નવ રુબેલ્સ સમાપ્ત થાય છે."
"સારું, અલબત્ત, આ રકમ નથી," વોલેન્ડે તેના મહેમાનને નમ્રતાપૂર્વક કહ્યું, "જોકે, માર્ગ દ્વારા, તમારે ખરેખર તેની પણ જરૂર નથી." તમે ક્યારે મૃત્યુ પામશો?
આ સમયે બારમેન રોષે ભરાયો હતો.
"આ કોઈને ખબર નથી અને કોઈને ચિંતા નથી," તેણે જવાબ આપ્યો.
"સારું, હા, અમને ખબર નથી," તે જ કહ્યું ઓફિસમાંથી અવાજ (કોરોવીવ), -તેના વિશે વિચારો, ન્યૂટનનું દ્વિપદી ! ચોથા વોર્ડમાં ફર્સ્ટ મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીના ક્લિનિકમાં લિવર કેન્સરથી આવતા વર્ષે ફેબ્રુઆરીમાં નવ મહિનામાં તેનું મૃત્યુ થશે.

IX ) પાઠ સારાંશ. પ્રતિબિંબ

જરા વિચારો, ન્યુટનનું દ્વિપદી

"જરા વિચારો, ન્યુટનનું દ્વિપદી"
બિલાડીએ હિપ્પોપોટેમસને મેવો કર્યો
(તે વોલેન્ડનો નમ્ર નોકર છે),
જીવનના માર્ગની આગાહી કરવી.
આ બધું જ પુષ્ટિ કરે છે
ન્યૂટન એક પ્રતિભાશાળી છે, પરંતુ લાંબા સમય સુધી
બિનોમ ચીનમાં પ્રખ્યાત હતું,
આરબો તેના વિશે જાણતા હતા.
પરંતુ ન્યૂટને ઉકેલનું સામાન્યીકરણ કર્યું,
તેણે સત્તા માટે બહુપદી વધારી...
અમને બધી શંકાઓમાંથી મુક્ત કરો
અમને બીજી કોઈ સમસ્યા નથી.
કોઈપણ ચર્ચા વિના અમને જણાવો
આપણને તે દ્વિપદીની શા માટે જરૂર છે?
અસાધારણ ઘટનાનું સંયોજન
આપણે તેને દ્વિપદી વિના શોધીશું નહીં.
નવે. 7, 2015

તમે પાઠમાં નવું શું શીખ્યા? શું આ સૂત્ર ગણિત માટે મહત્વપૂર્ણ છે? તમારા માટે સમજવું મુશ્કેલ હતું નવી સામગ્રી?

હોમવર્ક. ટેસ્ટ માટે તૈયારી.

( દરેક વિદ્યાર્થી માટે કાગળના ટુકડા પર સોંપણી)

1. ટીમના 12 સભ્યોમાંથી, તમારે કેપ્ટન અને ડેપ્યુટી પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

2. ગણતરી કરો: 4P 3 +3A 2 10 -C 2 5

સ્નાતકો આર્થિક સંસ્થાતેઓ ત્રણ અલગ અલગ સંસ્થાઓમાં કામ કરે છે: બેંકમાં 17 લોકો, કંપનીમાં 23 અને ટેક્સ ઓફિસમાં 19 લોકો. તમે અવ્યવસ્થિત રીતે મળો તે સ્નાતક બેંકમાં કામ કરે તેવી સંભાવના શોધો?

અહીં 8 જુદા જુદા પુસ્તકો છે, જેમાંથી 2 કાવ્યસંગ્રહો છે. સંદર્ભ પુસ્તકો એકબીજાની બાજુમાં રહે તે રીતે આ પુસ્તકોને શેલ્ફ પર કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

KVN રમવા માટે તમારે 6 લોકોની ટીમ પસંદ કરવાની જરૂર છે જો ટીમમાં છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા સમાન હોવી જોઈએ, અને વર્ગમાં 12 છોકરીઓ અને 10 છોકરાઓ હોય તો આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

કેટલા ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓવિવિધ નંબરો સાથે તમે નંબરોમાંથી 0,1,3,6,7,9 બનાવી શકો છો?

ફેક્ટરાઇઝ કરો: ( a- b) 9 અને (3 x+ y) 10

વિજ્ઞાન અને જીવન // ચિત્રો

બ્લેઝ પાસ્કલ (1623-1662).

આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727).

પાસ્કલનો ત્રિકોણ.

આજે, જેમ કે ત્રીસ કે ચાલીસ વર્ષ પહેલાં, માટે અરજદારો પ્રવેશ પરીક્ષાઓયુનિવર્સિટીના વિદ્યાર્થીઓ પરંપરાગત રીતે ન્યૂટનના દ્વિપદી વિશેના પ્રશ્ન સાથે ટિકિટ મેળવવામાં ડરે ​​છે. (સૂત્રના લેખક મહાન અંગ્રેજી ભૌતિકશાસ્ત્રી, ગણિતશાસ્ત્રી, ખગોળશાસ્ત્રી અને ફિલસૂફ સર આઇઝેક ન્યૂટન છે.) મુદ્દો માત્ર એટલો જ નથી કે સૂત્ર જટિલ લાગે છે. તેના અભ્યાસનો કાર્યક્રમમાં સમાવેશ કરવામાં આવ્યો હતો ઉચ્ચ શાળા, પછી તેઓને મુખ્ય અભ્યાસક્રમના અવકાશની બહાર લઈ જવામાં આવ્યા, પરંતુ ગંભીર યુનિવર્સિટીઓમાં, પરીક્ષકોએ ન્યૂટનના દ્વિપદી વિશે પૂછ્યું અને પૂછવાનું ચાલુ રાખ્યું.

હકીકતમાં, અહીં ડરવા જેવું કંઈ નથી. ન્યુટનનું દ્વિપદી - મનસ્વી માટે વિસ્તરણ સૂત્ર કુદરતી ડિગ્રીદ્વિપદી \((a+b)^n \) બહુપદીમાં. આપણામાંના દરેક "સરવાળાના વર્ગ" \((a+b)^2 \) અને "સરવાળાના ઘન" \((a+b)^3 \) માટેના સૂત્રો હૃદયથી જાણે છે, પરંતુ બહુપદી, મુશ્કેલીઓની શરતોના ગુણાંકની વ્યાખ્યા સાથે ઘાતાંક વધે છે. ભૂલ ન થાય તે માટે, ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac(n)(1a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]!}

વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં, દ્વિપદીમાં ગુણાંક માટેનું સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખાયેલું છે:

\[ C_(n)^(k) = \frac(n{k!(n-k)!} \]!}

જ્યાં k-બહુપદીમાં શબ્દની ક્રમાંકિત સંખ્યા.

યાદ કરો કે ફેક્ટોરિયલ એ ઉત્પાદન છે કુદરતી સંખ્યાઓ 1 થી n,એટલે કે, \(1*2*3*\ldots*n \) - સૂચિત n!,ઉદાહરણ તરીકે, \(4! = 1*2*3*4 = 24\).

સૂત્ર યાદ રાખવું ખરેખર મુશ્કેલ છે. પરંતુ ચાલો તેનું વિશ્લેષણ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તે જોઈ શકાય છે કે કોઈપણ બહુપદીમાં છે એક એનઅને b nસહગુણાંકો સાથે 1. તે પણ સ્પષ્ટ છે કે બહુપદીના દરેક અન્ય પદ દ્વિપદીના દરેક પદની ચોક્કસ શક્તિઓના ઉત્પાદન જેવા દેખાય છે (a+b),અને શક્તિઓનો સરવાળો હંમેશા n ની બરાબર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] તમામ પદોમાં પરિબળની શક્તિઓનો સરવાળો ત્રણ બરાબર છે (3, 2+1, 1+2, 3). આ જ અન્ય કોઈપણ ડિગ્રી માટે સાચું છે. એકમાત્ર પ્રશ્ન એ છે કે શરતો માટે કયા ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

દેખીતી રીતે, શાળાના બાળકો અને વિદ્યાર્થીઓના કાર્યને સરળ બનાવવા માટે, મહાન ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી અને ભૌતિકશાસ્ત્રી બ્લેઈસ પાસ્કલ ત્રણસો અને પચાસ વર્ષ પહેલાં વિચાર સાથે આવ્યા હતા. ખાસ સાધનઆ સમાન ગુણાંક નક્કી કરવા - "પાસ્કલનો ત્રિકોણ".

તે નીચે પ્રમાણે બાંધવામાં આવે છે: ત્રિકોણના શિરોબિંદુ પર આપણે 1 લખીએ છીએ. એકમ અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ છે \((a+b)^0, \) કારણ કે કોઈપણ સંખ્યા શૂન્યની શક્તિમાં વધારો કરે છે. જેમ જેમ આપણે ત્રિકોણ પૂર્ણ કરીએ છીએ, અમે નીચે એક વધુ લખીએ છીએ. આ એ જ દ્વિપદીના વિસ્તરણ ગુણાંક છે જે પ્રથમ ઘાતમાં ઉભા થયા છે:\((a+b)^1 = a+b.\) ચાલો આગળ વધીએ. ત્રિકોણની બાજુઓ એકમો બનાવે છે, અને તેમની વચ્ચે ટોચ પર સ્થિત બે એકમોનો સરવાળો છે, એટલે કે, 2. આ ત્રિકોણ "સરવાળાના વર્ગ" ના ગુણાંક છે:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

આગલી પંક્તિ, અગાઉની જેમ, એકમોથી શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે, અને તેમની વચ્ચે ટોચ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: 1, 3, 3, 1. અમે "સમ ક્યુબ" ના વિઘટન ગુણાંક મેળવ્યા છે. ચોથા ડિગ્રીના દ્વિપદીના ગુણાંકની સંખ્યા 1, 4, 6, 4, 1 અને તેથી વધુ હશે.

ઉદાહરણ તરીકે, પાસ્કલના ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને, ચાલો દ્વિપદીના સરવાળાને છઠ્ઠી ઘાતમાં બહુપદીમાં વિસ્તૃત કરીએ:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

બધું ખૂબ જ સરળ છે અને જીવનભર યાદ રહેશે. માર્ગ દ્વારા, પાસ્કલના ત્રિકોણને રફ ડ્રોઇંગ પર દોરીને ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રને યાદ રાખવું અને મેળવવું પણ ખૂબ સરળ છે.

વિજ્ઞાનના કેટલાક ઈતિહાસકારો બ્લેઈસ પાસ્કલને માત્ર ત્રિકોણના લેખકત્વનું શ્રેય આપે છે જે દ્વિપદી ગુણાંક શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે, પણ દ્વિપદી સૂત્ર પણ. તેઓ માને છે કે પાસ્કલ તેને ન્યૂટન કરતાં થોડો વહેલો મેળવ્યો હતો, જેમણે માત્ર વિવિધ ઘાતાંક માટે સૂત્રનું સામાન્યીકરણ કર્યું હતું.